HI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓ HUẨN KIẾN THỨ TÓM TẮT GIÁO KHO 1 Định nghĩa: LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI Á ẠNG ÀI TẬP ài toán 1: TÍNH GÓ GIỮ HI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng d,d trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách ách 1 Tìm góc giữa hai đường thẳng d,d bằng cách chọn một điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng) Từ O dựng các đường thẳng d ',d ' lần lượt song song ( có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d và d Góc giữa hai đường thẳng d,d chính là góc giữa hai đường thẳng ' ' d,d Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác b + c a cos = bc ách Tìm hai vec tơ chỉ phương u,u của hai đường thẳng d,d Khi đó góc giữa hai đường thẳng d,d xác định bởi cos( d,d ) u u = u u Lưu ý : Để tính u u, u, u ta chọn ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u,u qua các vec tơ a,b,c rồi thực hiện các tính toán O d d 1 d' d' 1 ác ví dụ Ví dụ 1 ho tứ diện Gọi M,N lần lượt là trung điểm của và, a 3 biết = = a,mn = Tính góc giữa hai đường thẳng và
ách 1 Gọi I là trung điểm của Ta có IM IN Đặt MIN = α Xét tam giác IMN có (, ) = ( IM,IN ) a a a 3 IM = =,IN = =,MN = Theo định lí côsin, ta có M I N a a a 3 IM IN MN + + 1 cosα= = = IMIN a a MIN = 1 suy ra (, ) =6 ách cos(,) = ( ) IMIN cos IM,IN = IM IN ( ) MN = IN IM MN = IN IM = IM + IN INIM IM + IN MN a INIM = = 8 IMIN ( ) ( ) 1 cos, = cos IM,IN = = IM IN Vậy (, ) =6 Ví dụ ho tứ diện có tất cả các cạnh bằng m ác điểm M,N lần lượt là trung điểm của và Tính góc gữa đường thẳng MN với các đường thẳng, và Đặt = a, = b, = c Khi đó, ta có a b c m = = = và ( a, b) ( b,c) ( c,a) 6 = = =
m Ta có ab = bc = ca = Vì M,N là trung điểm của và nên ( ) ( ) 1 1 MN = + = a + c b 1 m MN = a b c ac ab bc + + + = 4 m MN = 1 1 - MN = ( a + c b) b = ab bc b + = Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và bằng 9 1 MN = a + c b a c = a ac ab ac c bc + + = - ( )( ) Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và bằng 1 m - MN ( a c b)( b c) = + + = cos( MN,) 9 MN = MN m = = m m Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và bằng 45 ài toán : ÙNG TÍH VÔ HƯỚNG ĐỂ HỨNG MINH HI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓ Phương pháp: Để chứng minh d d ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau: hứng minh d d ta chứng minh u u = trong đó u,u lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d và d b c Sử dụng tính chất a b a c Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d,d và tính trực tiếp góc đó ác ví dụ Ví dụ 1 ho tứ diện đều cạnh a Gọi O là tâm đường tròn noại tiếp tam giác hứng minh O M N
Ta có = O O, ta lưu ý trong tam giác + thì = suy ra O = O( O O) = OO + OO O + O O + O = + = ( Vì = = a,o = O = R ) Vậy O 4 Ví dụ ho tứ diện có = Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của 3 5,, ho biết JK = Tính góc giữa đường thẳng với các đường 6 thẳng IJ và 1 Ta có IJ =, IK = = 3 4 5 IJ + IK = + = ( 1) 4 9 36 5 5 Mà JK = JK = ( ) 6 36 suy ra IJ + IK = JK JI IK Từ ( 1 ) và ( ) Mặt khác ta có IJ,IK IJ Tương tự IJ I J K O Ví dụ 3 ho tứ diện có = = Gọi O là điểm thỏa mãn O = O = O = O và G là trọng tâm của tam giác, gọi E là trung điểm của G và F là trung điểm của E hứng minh OF vuông góc với G khi và chỉ khi O vuông góc với
Đặt O = O = O = O = R( 1) và O = a,o = b,o = c,o = d Ta có = = nên ΔO = ΔO = ΔO ( c c c) suy ra O = O = O ( ), từ ( 1 ) và ( ) ra ab = ac = ad ( 3) Gọi M là trung điểm của và do G = GM nên 3G = + M = + + suy = O O + O O + O O = a + c + d 3b( 4) Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của E,G ta có 1OF = 6( O + OE) = 6O + 3( O + OG) = 6O + 3O + 3OG = 6O + 3O + O + OM = 7O + 3O + O + O = 7a + 3b + c + d ( 5) Từ ( ) ( ) 5 ta có 36GOF = ( 7a + 3b + c + d)( a 3b + c + d ) =7a 9b + c + d 18ab + 8ac + 8ad + cd Theo (3) ta có 36GOF = d( c a) = O suy ra GOF = O = hay OF G O 4 và Á ÀI TOÁN LUYỆN TẬP 16 ho tứ diện có hai mặt và là các tam giác đều a) hứng minh b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh,,, hứng minh MNPQ là hình chữ nhật 17 ho hình lập phương '''' cạnh a Trên các cạnh và ' lấy các điểm M và N sao cho M = N = x( x a) hứng minh a) ' '' b) ' MN 18 ho hình chóp S có S = S = S = a và = a Tính góc giữa hai đường thẳng và S 19 ho hình chóp S có đáy là hình thoi, S = và S a) Tính góc giữa hai đường thẳng S và b) Gọi I,J lần lượt là các điểm thuộc S và S sao cho IJ hứng minh góc giữa và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J ho hai tam giác cân và có chung cạnh đáy nằm trong hai mặt phẳng khác nhau F E O G M
a) hứng minh b) Gọi M,N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng và sao cho M = km,n = kn Tính góc giữa hai đường thẳng MN và 1 ho hình hộp thoi '''' có tất cả các cạnh đều bằng a và = ' = ' = 6 hứng minh '' ho tứ diện Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh và ho biết = = a và MN = a 3 Tính góc giữa hai đường thẳng và 3 ho tứ diện đều có cạnh bằng a Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm của,,, và a) hứng minh MN RP,MN RQ b) hứng minh 4 ho tứ diện có = = a, = = b, = = c a) hứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó b) Tính góc giữa hai đường thẳng và 5 ho hình chóp S có đáy là hình bình hành với = a, = a Tam giác S vuông can tại, M là một điểm trên cạnh ( M khác và S cắt,s,s lần lượt tại ) Mặt phẳng ( α ) đi qua M và song sog với ( ) N,P,Q a) hứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Đặt M = x Tính diện tích của MNPQ theo a và