ÂÓßÚ ÓÒ ØÝÔ ÑØÓ ÓÖ ÖØ ÒØ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ ÓÖ ÈÐ ØÒ ËÐÓÚÒ ÂÓÒØ ÛÓÖ ÛØ ÅÐ º ÀÓ ØÒ ÍØÖØ ÍÒÚÖ Øݵ ÌÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐѺ Ï ÓÒ Ö ½ Ü ½ Ü ½ Ü ¾ Ý ¾ Ý ¾ Ý ½µ ÛÖ Ö Ò Ò ÖÐ ÑØÖ ÓÖ ½ ¾º ÔÖ µ Ò ÒÚÐÙ Ø Ø ½µ ÓÖ ÒÓÒÞÖÓ Ü Ýº Ì ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ Ü Å Ý Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒÚØÓÖº ÈÖÓÐÑ Ò ÔÔÖÓÜÑص ÒÚÐÙ µ Ò ÔÔÖÓÜÑص ÒÚØÓÖ Ü Å Ýº ÊØ ÒØ ÔÖÓÐѺ ÅØÖ Ö ÝÑÑØÖº ÓÖ ÒÓÒÞÖÓ Ü Ý Û Ú Ü Ì ½ Ü Ý Ì ¾ Ý Ü Ì ½ Ü Ý Ì ¾ Ý ¼ ÖØ ÒØ ÔÖÓÐÑ ÖÐ ÒÔÖ Ò ØÖ Ü Ø Ò ½ Ò ¾ ÐÒÖÐÝ ÒÔÒÒØ ÒÚØÓÖ º ÌÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ ÔÔÖÓº ÇÒ Ø ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ Ô Ê Ò ½ Å Ê Ò ¾ Û Ò ¼ ½ Å ¾ ½ Å ¾ ½ ½ Å ¾ ½ Å ¾ ¾ ½ Å ¾ ½ Å ¾ ÈÖÓÐÑ ½µ Ò ØÒ ÜÔÖ ØÛÓ ÓÙÔÐ ÒÖÐÞ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Èµ ½ Þ ¼ Þ ¾ Þ ¼ Þ ¾µ Á ÔÖÓÐÑ ÖØ ÒØ ØÒ ÝÑÑØÖ ¼ ÝÑÑØÖ ÔÓ ØÚ ÒØ ½ ¼ ½ Ò ½ ¼ ¾ ÓÑÑÙغ Ï Ò ÓÐÚ ÔÖÓÐÑ ¾µ Ù Ò ØÒÖ ÑØÓ ÓÖ È ÙØ Ø ÑÒ ÓÒ Æ Ò ½ Ò ¾ º ½
ÂÓ¹Ú ÓÒ ØÝÔ ÑØÓº Ò Ù Ô ÑØÓ Û ØÖØ ÛØ ÚÒ Ö Ù Ô ÖÓÑ Û ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ ÒÔÖ Ö ÓÑÔÙØ ÜØÖØÓÒµº ÁÒ Ø ÜØÖØÓÒ Û ÓÐÚ Ø Ñ ØÝÔ Ó ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Ø ÓÖÒÐ ÓÒ ÙØ Ó ÑÐÐÖ ÑÒ ÓÒº ØÖ ØÔ Û ÜÔÒ Ø Ù Ô Ý ÒÛ ÖØÓÒ ÜÔÒ ÓÒµº Ø Ö Ù Ô ÖÓÛ Ø ÒÔÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÙÐ ÓÒÚÖ ØÓ Ò ÒÔÖ Ó Ø ÓÖÒÐ ÔÖÓÐѺ ÜØÖØÓÒº ÄØ Ø ¹ÑÒ ÓÒÐ Ö Ù Ô Í Ó Ê Ò ½ Ò Î Ó Ê Ò ¾ ÖÔÖ ÒØ Ý ÑØÖ Í ¾ Ê Ò ½ Ò Î ¾ Ê Ò ¾ ÛØ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ÓÐÙÑÒ Ö ÔØÚÐݺ Ì ÊØÞßÐÖÒ ÓÒØÓÒ ½ ½ ½ µù Í ¾ ¾ ¾ µú Î Ð ØÓ Ø ÑÐÐÖ ÔÖÓØ ÖØ ÒØ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÔÖÓÐÑ Í Ì ½Í Í Ì ½Í Í Ì ½Í Î Ì ¾Î Î Ì ¾Î Î Ì ¾Î µ Ò ÒÚÐÙ µ Ó µ ÊØÞ ÚÐÙº Á µ Ò ÒÚÐÙ Ó Ò Å Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÒÚØÓÖ ØÒ ÙÅÚ ÊØÞ ÚØÓÖ ÛÖ Ù Í Ò Ú Î º ÐØÓØÖ Û ÓØÒ ¾ ÊØÞ ÔÖ ØØ Ö ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ØÓ Ø ÒÔÖ Ó ½µº Ê ÙÐ Ö Ò Ö ½ ½ ½ ½ µù Ö ¾ ¾ ¾ ¾ µú ÜÔÒ ÓÒº Ï Ö ÐÓÓÒ ÓÖ ÑÔÖÓÚÑÒØ Ù Ø Ú Ù ØØ ½ Ù µ ½ Ù µ ½ Ù µ ¾ Ú Øµ ¾ Ú Øµ ¾ Ú Øµ µ ÌÓÖÑ µ ÙÅÚµ ÊØÞ ÔÖ Ù Ü Ú Ý Ø µ Ô µ ¾ µ ¾ Ç ¾ Ø ¾ µ Á Û ÖÛÖØ Ö Ø ÕÙØÓÒ Ò µ ½ ½ ½ µ Ö ½ µ ½ Ù µ ½ Ù µ ½ µ ½ ØÒ µ ½ µ ½ ÑÜ Ö ÓÖÖ ØÖÑ Ò Û ÒÐØ Ø µ ½ Ù µ ½ Ù ÑÜ ¾Ò ÓÖÖ ØÖÑ Ò Û Á ÒÐØ Ø ÁÁ ÔÖÓØ Ø ÛÝ ¾
Áº ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ÛØ ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ º ÏÒ Û ÒÐØ ¾Ò Ò Ö ÓÖÖ ØÖÑ Û ÓØÒ ½ ½ ½ µ Ö ½ Ø ÖØ¹Ò ÓÖØÓÓÒÐ ØÓ Ù Ó Ø ÐØ¹Ò º Ï Ø ØÛÓ ÔÖØ ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ Á ÙÙ Ì µ ½ ½ ½ µ Á ÙÙ Ì µ Ö ½ Á ÚÚ Ì µ ¾ ¾ ¾ µ Á ÚÚ Ì µø Ö ¾ µ ÇÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ ÔÖ ÖÚ Ø ÝÑÑØÖÝ Ó Ø ÑØÖ º Ì ÕÙØÓÒ µ ÓÖ Ò Ø Ö ÒÓØ Ó ÙÐÐ ÖÒ ÙØ ØÝ Ö ÓÒ ØÒغ Ï ÓÐÚ ØÑ ÓÒÐÝ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÛØ ÃÖÝÐÓÚ Ù Ô ÑØÓ ÛØ ÒØÐ Ù ¼ ÓÖ Ò ØÒ Ý Û ØÔ Ó ÅÁÆÊ˺ ÁÁº ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ÛØ ÓÐÕÙ ÔÖÓØÓÒº ÏÒ Û ÒÐØ Ö ÓÖÖ ØÖÑ Û ÓØÒ ½ ½ ½ µ Ö ½ µ ½ Ù µ ½ Ù ¾ ¾ ¾ µø Ö ¾ µ ¾ Ú µ ¾ Ú Á Û Ò ØÒ Û Ò ÛÖØ Å Å Ö Ø ½ ½ ½ ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ Ö½ Ö ¾ Ö µ ½ Ù ¾ Ú µ ½ Ù ¾ Ú Ï ÔÖÓØ ¾Ò ÓÖÖ ØÖÑ ÛÝ Ù Ò Ø ÓÐÕÙ ¾¹ÔÖÓØÓÒ È Á Î Ï Ì Î µ ½ Ï Ì ÛÖ ½ Ù ½ Ù ÔÒ Î µ ÔÒ ¾ Ú ¾ Ú Ù ¼ Ï ¼ Ú Ò ÓØÒ Ø ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ È ÅÈ Ø Ö µ ÓÖ Û ÓÐÚ µ ÓÒÐÝ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ ÛØ ÃÖÝÐÓÚ Ù Ô ÑØÓ ÛØ ÒØÐ Ù ¼ ÓÖ Ò ØÒ Ý Û ØÔ Ó ÅÊ˺ Ì Â¹ØÝÔ ÑØÓ ÛØ Ø ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ µ ÆÛØÓÒ Ñ ÐÖØ Ý Ø ÔÖÓØÓÒ Ó ½µ ÓÒØÓ Ø Ù Ô Ó ÐÐ ÔÖÚÓÙ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ º ÌÖÓÖ Û Ò ÜÔØ ÐÓÐÐÝ Ø Ð Ø ÕÙÖØ ÓÒÚÖÒ ÛÒ Ø ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ Ö ÓÐÚ ÜØÐݺ
ËÐØÓÒ Ó ÊØÞ ÔÖ º Á Û Ö ÒØÖ Ø Ò ÜØÖÓÖ ÒÚÐÙ ÓÖ Ò ØÒ Ò Ø ÓÒ ÛØ ÑÜÑÐ ØÒ Ò ÚÖÝ ØÔ Û ÐØ ÊØÞ ÔÖ µ Ù Å Úµ ÛØ ÑÜÑÐ º ÁÒ Ø Û Ú ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒÚÖÒ Ç ÓÙÖ Ð Ò ÑÒÝ Ù Ô ÑØÓ Ñ ÓÒÚÖÒ ÔÓ Ð Ò Û Ò ÓØÒ ÑÜ º Á Û Ö ÒØÖ Ø Ò ÒØÖÓÖ ÒÚÐÙ ÓÖ Ò ØÒ Ò Ø ÓÒ ÐÓ Ø ØÓ ¼ ¼µ ØÒ Ò ÚÖÝ ØÔ Û ÐØ ÊØÞ ÔÖ µ Ù Å Úµ ÛØ ÑÒÑÙÑ ¾ ¾ º Ì ÓÒÚÖÒ ÖÖØ ÙØ ÒÙÑÖÐ Ö ÙÐØ ÓÛ ØØ Ø ÑØÓ Ò Ù ÓÖ ÒØÖÓÖ ÒÚÐÙ ÛÐк Ì ÕÙ ØÓÒ ÖÑÒ Ø ÔÓ Ð ØÓ ÒÖÐÞ ÖÑÓÒ ÊØÞ ÚÐÙ ØÓ ÖØ ÒØ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐѺ ÒÝ ÔÖÓÖ ÓÒ Ø ÙØ ÑØ Ð ØÓ ØØÖ ÑØÓ ÓÖ ÒØÖÓÖ ÒÚÐÙ º ÓÑÔÙØÒ ÑÓÖ ÒÔÖ º ËØÒÖ ØÓÒ ØÒÕÙ Ò ÒÓØ ÔÔÐ ÓÖ ØÛÓ Ö ÓÒ Ü Å Ýµ ¼ Ò ÒÓØ ÛÖØØÒ Í Å Î ÛÖ Í Ê Ò ½ Ò Î Ê Ò ¾ º ÌÖ Ò Ü Ø ÒÚÐÙ µ Ò ¼ ¼ µ ÛØ ÒÚØÓÖ Ü Å Ý Ò Ü ¼ Å Ý ¼ Ö ÔØÚÐÝ Ù ØØ µ ¼ ¼ µ Ò Ü Ü ¼ º ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÒÚØÓÖ ÛØ «ÖÒØ ÚÐÙ Ö ¼ ¹ÓÖØÓÓÒÐ º Ü ½ Å Ý ½ µ Ì ¼ Ü ¾ Å Ý ¾ µ ¼ Û ÓÒ Ö Ò ÐØÓÒ ÓÒÐÝ ÊØÞ ÚØÓÖ ØØ Ö ¼ ¹ÓÖØÓÓÒÐ ØÓ ÐÖÝ ÓÑÔÙØ ÒÚØÓÖ º ËÙÑÑÖÝ Ó Ø ÐÓÖØѺ ½º Ù ½ Ò Ø Ú ½ ØÖØÒ ÚØÓÖ µ ÓÖ ½ ¾ ÓÙØÖ ÐÓÓÔµ ¾º ÅË Í ½ µ Í ÜÔÒ ÓÒµ ÅË Î ½ ص Î º ÓÑÔÙØ ÖØÑÓ Ø ÊØÞ ÔÖ µ Å µ Ó ÜØÖØÓÒµ Í Ì ½Í Í Ì ½Í Í Ì ½Í Î Ì ¾Î Î Ì ¾Î Î Ì ¾Î º ÓÑÔÙØ Ö ÙÐ Ö ½ ½ ½ ½ µù Ö ¾ ¾ ¾ ¾ µú º ËØÓÔ Ö ½ ¾ Ö ¾ ¾ µ ½¾ ØÓÔÔÒ ÖØÖµ º ËÓÐÚ ÔÔÖÓÜÑØÐÝ Ò Ù Ø Ú ÖÓÑ ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ µ ¹РÐÓÖØÑ ÓÖ ÖØÑÓ Ø ÒÚÐÙ Ó ÖØ ÒØ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Ê ØÖØ º Ø Ü ØÒ ÑØÓ Ö Ð ØÓ ÓÐÚ ÓÒÐÝ ÐÓÛ¹ÑÒ ÓÒÐ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÔÖÓÐÑ Ò Ö ÓÒÐ ØÑ Û ÜÔÒ Ö Ô ÙÔ ØÓ Ø ÔÖ ÐØ ÑÒ ÓÒ Ð ÑÜ Ò ØÒ Ö ØÖØ Ø ÐÓÖØÑ Ù Ò Ø ÑÓ Ø ÔÖÓÑ Ò Ð ÑÒ ÒÚØÓÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ Ø ÒØÐ Ö Ôº ÌÑ ÓÑÔÐÜØݺ Ó ÓÒ ÓÙØÖ ØÔ ËÙÔÔÓ ØØ Ò Ò ½ Ò ¾ Ò ÐØ Ñ Ø ÒÙÑÖ Ó ÅÊË ØÔ º Ì ØÑ ÓÑÔÐÜØÝ Ò ÑØÖ Ç ÑÒ ¾ µ ÔÖ ÑØÖ Ç ÑÅÎ µ ÛÖ ÅÎ ÒÓØ ÑØÖܹÚØÓÖ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÛØ Ò Ò ÑØÖܺ
ÆÙÑÖÐ ÜÔÖÑÒØ º ÓÖ Ø Ø Ø ÜÑÔÐ Û Ø 1.5 É É Ì É É Ì É À É Ì µ 1.5 ÛÖ ½ ¾ ¾ À ½ Ö ÖÒÓÑ ÓÒÐ ÑØÖ ¾ ¼ ½µ ½ À ¾ Ö ÖÒÓÑ ÓÒÐ ÑØÖ ¾ ½ ¾µ É ÖÒÓÑ ÓÖØÓÓÒÐ ÑØÖܺ Ï Ø Ø ÓØÒ ÖØ ÒØ ÔÖÓÐÑ Ó ØØ Ø ÖØÑØ ÑÒ Ó Ø ÒÚÐÙ ¼ ¼µº.5 1 1.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 λ ØÖÙØÓÒ Ó ÒÚÐÙ ÓÖ Ò ½¼¼ ÓÒÚÖÒ ØÓÖݺ 2 JO(2) JO(1) JO(25) 2 JS(2) JS(1) JS(25) log1 of residual norm 4 6 log1 of residual norm 4 6 8 8 1 5 1 15 2 25 3 35 4 number of outer iterations 1 1 2 3 4 5 6 7 number of outer iterations ÓÒÚÖÒ ÔÐÓØ ÓÖ ÒÚÐÙ ÛØ Ø ÑÜÑÐ ÓÖ Ò ½¼¼ Ò Ù Ú ½ ½ Ì º Ì ÔÐÓØ ÓÛ Ø ÐÓ ½¼ Ó Ø Ö ÙÐ ÒÓÖÑ Ö ½ ¾ Ö ¾ µ ½¾ ÚÖ Ù Ø ÓÙØÖ ØÖØÓÒ ÒÙÑÖ Ù Ò ¾ ÓÐ ÐÒµ ½¼ ÓØØ ÐÒµ Ò ¾ ÐÒµ ÅÊË ØÔ ØÓ ÓÐÚ Ø ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ÛØ ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ ÐØ ÔÐÓص Ò ÓÐÕÙ ÔÖÓØÓÒ ÖØ ÔÐÓص Ö ÔØÚÐݺ ÓÑÔÙØÒ ÑÓÖ ÒÔÖ º.5.6 exact computed.5.6 exact computed.7.7 µ.8 µ.8.9.9 1 1 1.1.7.8.9 1 1.1 λ 1.1.7.8.9 1 1.1 λ Ö Ø ½ ÐØ ÔÐÓص Ò Ö Ø ¼ ÖØ ÔÐÓص ÓÑÔÙØ ÒÚÐÙ ÛØ ÑÜÑÐ ÓÖ Ò ½¼¼ ÓÑÔÙØ Ù Ò ÐØÓÒ ÓÖ ÊØÞ ÚØÓÖ º Ì Â¹ØÝÔ ÑØÓ Ù ÅÊË ØÔ ÓÖ Ø ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ÛØ ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ º
ËØØ Ø º Ï Ø Ø Ø ÑØÓ Ù Ò «ÖÒØ ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ Ò «ÖÒØ ÒÒÖ ØÖØÓÒ ÔÖÓ º Ì ÓÐÓÛÒ ÔÐÓØ ÔÖ ÒØ Ø ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ØÖØÓÒ ÔÖÒØ Ó ÓÒÚÖÒ ØÓ Ø Ó Ò ÒÚÐÙ Ò ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ÓÔ ÓÚÖ ¾¼ ØÖÐ ÛØ «ÖÒØ ÖÒÓÑ ÒØÐ ÚØÓÖ º 1 orthogonal oblique 25 orthogonal oblique 8 2 iterations 6 4 Ì ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ØÖØÓÒ Ø ÒÙÑÖ Ó ÓÙØÖ ØÔ µ iterations 15 1 2 5 1 1 2 4 8 16 32 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 percentage 8 6 4 2 ÈÖÒØ Ó ÓÒÚÖÒ ØÓ Ø ÓÐ ºº ÐØ ÒÚÐÙ ÛØ Ø ÑÜÑÐ ÖØ ÒÚÐÙ ÐÓ Ø ØÓ ¼ ¼µº percentage 8 6 4 2 18 1 2 4 8 16 32 64 25 2 3 4 5 6 7 8 9 16 14 2 flops 12 1 8 6 4 2 ÚÖ ÒÙÑÖ Ó ÓÔ ½¼ µ flops 15 1 5 1 2 4 8 16 32 64 2 3 4 5 6 7 8 9 ÓÒÐÙ ÓÒº ÆÛ Â¹Ð ÑØÓ ÓÖ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ Ö Ø ÑØÓ ÓÖ ÐÖ ÑØÖ Ó Ó ÓÖØÓÓÒÐ ÓÖ ÓÐÕÙ ÆÛØÓҹе ÓÖÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ¾ ÓÖØÓÓÒÐ ½¹ ÓÖ ½ ÓÐÕÙ ¾¹ ÔÖÓØÓÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÚÖÒØ Ð ÜÔÒ Ú ÓÖ ÜØÖÓÖ ÒÚÐÙ ÓÐÕÙ ÚÖÒØ ÑÓÖ ÜÔÒ Ú ÙØ ÑÓÖ ÖÐÐ ÓÖ ÒØÖÓÖ ÒÚÐÙ ÖÑÓÒ ÔÔÖÓ ÒÓØ ÓÚÓÙ ØÖØÓÖÛÖ ÒÖÐÞØÓÒ ØÓ ¾¹ÔÖÑØÖ ÛÓÖ Ò ÔÖÓÖ ÊØÞ ØÓÖÝ Â ÓÖ ÒÖÐ ØÛÓ¹ÔÖÑØÖ ÒÚÐÙ ÔÖÓÐÑ ÈÖÔÖÒØ ÚÐÐ Ø ÛÛÛ¹ÐԺѺÙҹк»ÔÐ ØÒ»ÓÖºØѺ