ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ½ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Ø Ö ¾ º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½ ½ ¾¼ ½ ¾¼ ➊ Ó óµ Æ Ð ÞÒ Ø ÑÓÒ ÒÒÓÙ Ù Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ x 0 1 1+y 4 dy ÙÖ Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ð Þ Ô Ø Ó ØÚ ÖÙ Ú Ò Ó ÒÑ ØÓÖ Ðݺ ÎÝ Ø Ø Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò Ý ÙÒ Ò ÑÒÓö Ò 0, ). ( 1) n+1 x x 2 + n 2 Ë Ø ÚØ Ð Ò ÖÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÓ Ò ö Ω q = [x, x 2, x 2 + 3x] λ 3x 3. Æ Ð ÞÒ Ø ÙÒ Ø Ö ÓÙ Ø Ñ Ý 2 7(x 1)+ a n (x 1) n, n=2 Þ ÖÓÚ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÃÓ ÒØÝ a n Ò ÓÙ ÞÒ Ñݺ y + 3y x 3y x 2= 21x2. ÇÚ Ø Þ ÙÒ ÓÒ ÐÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ñö n ØÑ Ð Ò Ñ ÙÒ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö Ù Ò ÑÒÓö Ò 0, ). g n (x)=e xn( 1 e x)n e x,
ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ½ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Ø Ö ¾ º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½ ½ ¾¼ ½ ¾¼ ➊ Ó óµ (x 3y 1)(1 3y )+yy = 0. Æ Ð ÞÒ Ø Ò ÔÖÓ Þ Ó Ñ (x 0, y 0 )=(5, 1). Å ØÓØÓ Ò Ò ÔÖóÒ Ý Ó ÓÙ x? ÈÓ Ù ÒÓ Ò Ð ÞÒ Ø Æ Ð ÞÒ Ø ÙÒ Ø Ö ÓÙ Ø Ñ Ý Þ ÖÓÚ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÃÓ ÒØÝ a n Ò ÓÙ ÞÒ Ñݺ 3 (3+ 2 π+ π )( x π ) + 2 2 n=2 a n ( x π 2) n, x 2 sin(x) y [2 sin(x)+ x cos(x)] (xy y)=0. Æ Ð ÞÒ Ø ÓÙ ØÓÚÓÙ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ý Ò Ò Ó ÓÖº ( 1) n+1 2n 2 + n x2n ÊÓÞ Ó Ò Ø Þ ÐÞ Ù ÙÒ ( 1) n n x 2 + n Ö ÚÓÚ Ø Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ ( 1, 1) Ð Ò ÔÓ Ð ÒÙº ÈÓ ÖÓ Ò Þ óúó Ò Ø Æ Ð ÞÒ Ø Å Ð ÙÖ ÒÓÚÙ Ù ÙÒ g(x)=sin 2 (x), Ó ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ó öø Ô ÐÙ ÒÓÙ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ ÙÒ g(x) ÓÙ Ø Ñ ÚÝÔÓ Ø Ò Ýº
ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ½ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Æ Ø Ö ½ º ÔÖÓ Ò ¾¼½ ¾¼ ½½ ¾¼ ➊ ½½ Ó óµ Æ Ð ÞÒ Ø Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ xy 3y = 8x 1+2x2 (1+ x 2 ) 2. ÊÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ ( f n (x)) Ò ÑÒÓö Ò M= 0, ), ¹Ð ( f n (x)= 3 x x2 n2+ 2 n 3 ) e x n. ÎÝ Ø Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒ ÒÒ Ý ( ) 4 n 5n n3+ x n. n Ë Ø ÚØ ÑÓÒ ÒÒÓÙ Ù Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ x 0 1 1+y 3 dy ÚÝ Ø Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º ÀÐ ÒÓÙ ÑÓÒ ÒÒÓÙ Ù Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ ÚÓ ÒÑ ØÓÖ Ðݺ ÊÓÞ Ó Ò Ø Ò Þ óúó Ò Ø ¹Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ˆL= x 2d2 dx 2+ 6xd dx + 1 Ð Ò ÖÒ Ò Þ Ð Þ Ø Ò Ó Ú Ð Ù ÔÓÔ Ø Ò Ø Ö Þ Ò ÚÐ ØÒÓ Ø ÑÒÓö ÒÝ Ú Ò ÖÓÚÒ ˆL(y)=0. Ó Ò Ò Ñ Ó ÓÖ Ñ ÙÚ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ
ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ¾ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Ø Ö º Ð Ò ¾¼½ ½ ¾¼ ½ ¾¼ ➊ Ó óµ Ë Ø ÚØ ÒÓÒ ØÚ Ö Ø Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö Ø ÓÖÑÝ 4x 2 + 4xy 4y 2 + 9z 2 Ò Ó Þ Ð Ø ÒÓÚØ ØÝÔ Ò ØÒÓ Ø Ø ØÓ ÓÖÑÝ ÙÖ Ø Ó Ò ØÙÖÝ Ò Þ Ú Ú Ö Ý 4x 2 + 4xy 4y 2 + 9z 2 = 2. Æ ð Ò Ñ ØÖ ÔÖÓ ØÓÖ R 2 Ñ ØÖ ÓÙ ( a, b)= a 1 b 1 + a 2 b 2. ÎÝ Ö Ð Ø Ó ÓÐ Ó Ù (0, 0) Ó ÔÓÐÓÑ ÖÙ ÖÓÚÒ Ñ Ø Ñº Ð ÖÓÞ Ó Ò Ø ¹Ð Ò Ø Ö Þ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ( a n ) ; a n= ( 1 n, 0); Ú ØÓÑØÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÓÒÚ Ö ÒØÒ º ÎÝ Ú ØÐ Ø º Æ Ð ÞÒ Ø Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÓ Þ Ó Ñ (x 0, y 0 )=( 1, 2). ( b n ) ; b n = (0, 1 n ); (y+ x 4x 2 y) y = 4xy 2 x y x 2 y + (3x 2 + 2x)y + (3x 2 + 4x 2)y + (x 2 + 2x 2)y=0 Ú Ø ¹Ð ö Ò Ñ Þ Ò Ø ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ º  ÓÙ Ùö ÐÓ Ù Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ 2y + 3 y+6x y+3x = y x ÚÝ ÓÚÙ ÔÓ Ñ Ò y(1)= 6. ÍÖ Ø Ø Ü ØÙ ¹Ð º
ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ¾ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Ø Ö º Ð Ò ¾¼½ ½ ¾¼ ½ ¾¼ ➊ Ó óµ y + 2y + 5y=16e x cos(2x). à Ø Ó Ý ÒÓÙ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ö Þ Ò ÔÓÐ Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ y(1)= 2. y + (x 2 4) y x = x9 y, Ë Ø ÚØ ÒÓÒ ØÚ Ö Ø Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö Ø ÓÖÑÝ 2x 2 2xy+2y 2 3z 2 Ò Ó Þ Ð Ø ÒÓÚØ Ó ÒÓØÙ Þ ÔÓÖÒ Ó Ò ÜÙ ØÖÚ ÒÓ Ø Ø ØÓ ÓÖÑÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø ÓÙ Ú Ö Ù Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÖÓÚÒ 2x 2 2xy+2y 2 3z 2 =µ ÔÖÓ ÖóÞÒ Ó ÒÓØݵ R. Î À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø ÙÒ ÒÓÚ Ò Ò (0,+ ) Þ Ò Ð ÖÒ ÓÙ Ò ÔÖÓ Ø Ò ØÚ Ñ ÚÞØ Ù 0 f (x)g(x)e x dx. ÊÓÞ Ó Ò Ø Þ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ( 1 n! xn e x ) Ú ØÓÑØÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÓÒÚ Ö ÒØÒ º x 2 y + (2x 6x 2 )y + (12x 2 8x 2)y + (4+8x 8x 2 )y=0 Ú Ø ¹Ð ö Ò Ñ Þ Ò Ø ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ º
ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ º ¾ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ú Ö ÒØ Æ Ô Ø ½½º Ð Ò ¾¼½ ¼ ½½ ¼ ➊ Ó Ýµ Æ ðh À Ð ÖØóÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ò Ø Ð Ñ C. ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ú ØÓÖÝ x, y H ÐÓα CÑ Ü Ñ ÐÒ Þ ÒÓ Ù Ø ÚÖ Þ x+α y 2 + x α y 2. à Ø Ó Ý ÒÓÙ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ Íö Ø ØÙ ö Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ xy (6x+1)y + (9x+3)y=24x 3 e 3x. V= { y(x) C 3 (R) : xy (6x+1)y + (9x+3)y=0 y 6y + 9y = 0 } Ñ Ñ ÒÞ Ò º Æ Ð ÞÒ Ø ÓÖÑ ÐÒ Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ 2y = x+2y y x ÖÓÞ Ó Ò Ø ÓÙ Ö ÙÐ ÖÒ Ùö ÐÓ Ù Ô Ø ÚÙ º ➍ Ó Ýµ Æ ð Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ R 2 Þ Ò ÒÓÖÑ Ô Ô Ñ x := 2 x 1 +3 x 2. Æ ðχ( x, y) Ñ ØÖ Ò ÖÓÚ Ò ØÓÙØÓ ÒÓÖÑÓÙº Ó Ó Ö Þ Ù Ò ÖÙ ØÖ Ò ØÓ ÓØÓ Þ Ò µ Ø ÐÒ Ò ÖØÒ Ø ØÚ Ö Ó ÓÐ H 6 (1, 2). ÃÚ Ö Ø ÓÙ ÔÐÓ Ù Q(x, y, z)= 1 2x+ x 2 + 8y 8xy+17y 2 8z+6xz 22yz+10z 2 = 0 Ô Ú Ø Ò ÒÓÖÑ ÐÒ ØÚ ÖQ(ξ,η,λ) Ø ÒÓÚØ Ò ØÙÖÝ Ö ÙÐ Ö ØÙ Ò Þ Ú ÔÓÐ ÖÒ Þ ÒÓÖÑ Ð ÞÙ ØÖ Ò ÓÖÑ º ÆÙÑ Ö Ý Ý Ú ØÓÑØÓ Ô Ð Ò ØÓÐ ÖÙ ➏ Ó óµ Æ Ð ÞÒ Ø Ú Ò Ò Ó Ý Ò Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ x 3 y 2x 2 y 8xy + 20y= ( ) 2 28. x
x 2 x 1
ÇÔÖ ÚÒ Þ ÔÓ ØÓÚ Ô ÑÒ ÔÖ Þ Ô Ñ ØÙ ¼½Å Ø ½ º Ð Ò ¾¼½ ¼ ½½ ¼ ➊ ½¼ Ó óµ xy + (5 6x)y + (12x 20)y + (20 8x)y=0 Ú Ø ¹Ð ö Ò Ñ Þ Ò Ø ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ º Î À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø ÙÒ ÒÓÚ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ 0, 1 1 Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ 0 f (x)g(x)dx Ò Ð ÞÒ Ø Ú ÒÝ ÑÓÒÓÑÝ Ø Ö Ú Ö ÙÒ a(x)= x Ð 30. ÈÖÓ Ú Ö Ø ÓÙ ÔÐÓ Ù x 2 + 2xy+2xz 4x+6yz 6y 4z 2 4z=0 Ø ÒÓÚØ Ð ÚÒ Ú Ð Ò ØÙÖÙ ÒÓÖÑ ÐÒ ØÚ Ö Ò Þ Ú Ø º Ð Ø ÒÓÚØ Ô ÐÙ ÒÓÙ ÒÓÖÑ Ð ÞÙ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ô Ú Ø Ó Ñ Ø ÓÚ Ó ØÚ ÖÙº ÆÙÑ Ö Ý Ý Ú ØÓÑØÓ Ô Ð Ò ØÓÐ ÖÙ º ÄÞ Ò Ó Ò ÐÞ Ï Ö ØÖ ÓÚÑ Ö Ø Ö Ñ ÖÓÞ Ó ÒÓÙØ Þ ( 1) n+1 n 1 n 2 x 2 + n 2 ÓÒÚ Ö Ù Ò ÑÒÓö Ò A= 0,+ ) Ø ÒÓÑ ÖÒ Ø ÐÒ ÚÝ Ú ØÐ Ø Ë Ø ÚØ Å Ð ÙÖ ÒÓÚÙ Ù ÙÒ g(x)=(1 3x) 2/3 ÙÖ Ø Ó ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º ÌÚ Ö Ý ÙÔÖ ÚØ ÔÓÑÓ Ú Ò Ó Ò ØÓÖ Ðóº ÈÖÓ Ù Ð Ò Þ ÔÓ ØÙ ÒÙØÒÓ Þ Ø Ð ÔÓ ¾½ Ó óº