Ứng dụng của tỉ số phương tích Nguyễn Văn Linh Sinh viên K50 TNH ĐH Ngoại thương 1 Giới thiệu húng ta bắt đầu từ công thức hiệu số phương tích của một điểm đối với hai đường tròn ho hai đường tròn không đồng tâm ( 1, R 1 ) và (, R ) có trục đẳng phương d Xét một điểm M bất kì, gọi K là hình chiếu của M trên d, H là giao điểm của 1 với d Khi đó P M/(1 ) P M/( ) 1 KM (1) M K 1 H I hứng minh Gọi I là trung điểm 1 Ta có P M/(1) P M/() (M1 R 1 ) (M R ) M1 M + R R 1 (M 1 M ) + (H H 1 ) ( M 1 M )( M 1 + M ) ( H 1 H )( H 1 + H ) 1 MI 1 HI 1 ( MI HI) 1 MH 1 MK 1 KM Nhận xét Nếu điểm M nằm trên ( ) ta có P M/() 0, công thức hiệu số phương tích trở thành: P M/(1) 1 KM () Từ đó chúng ta có hệ quả sau: Hệ quả 1 ho ba đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ) đồng trục và một điểm M bất kì nằm trên ( 3 ) Khi đó P M/( 1) 3 1 P M/() 3 hứng minh Gọi K là hình chiếu của M trên trục đẳng phương d của 3 đường tròn Theo nhận xét trên ta có P M/( 1) 1 3 KM P M/() 3 KM 3 1 3 1
Ngược lại, ta cũng có: Hệ quả Quỹ tích các điểm M thỏa mãn P M/( 1 ) với ( 1 ) và ( ) P M/( ) k không đổi là một đường tròn đồng trục hứng minh Dựng đường tròn ( 3 ) qua M sao cho ( 3 ), ( 1 ), ( ) đồng trục, suy ra 1,, 3 thẳng hàng Theo hệ quả trên P M/( 1 ) 3 1 k P M/( ) 3 Do đó 3 cố định Với mỗi vị trí của tâm 3 chỉ có duy nhất một đường tròn đồng trục với ( 1 ) và ( ) Như vậy ( 3 ) không phụ thuộc vào vị trí của M, tức là M chuyển động trên đường tròn ( 3 ) đồng trục với ( 1 ) và ( ) R Ngoài ra ta có thể chứng minh bán kính của ( 3 ) bằng k + R1 + ( 1 R 1 R )k 1 k Nhận xét 1 Khi k 1 thì ( 3 ) suy biến thành trục đẳng phương d Ta có bài toán quỹ tích quen thuộc: tập hợp các điểm M có cùng phương tích với hai đường tròn ( 1 ) và ( ) là trục đẳng phương d Khi k 1 thì 3 là trung điểm của 1 Đường tròn ( 3 ) được gọi là đường tròn đẳng phương của hai đường tròn ( 1 ) và ( ) Một số tính chất của đường tròn đẳng phương sẽ được xem xét ở mục sau 3 Khi ( 1 ) và ( ) cùng suy biến thành đường tròn điểm, ( 3 ) trở thành đường tròn pollonius của đoạn thẳng 1 ứng với tỉ số k Ứng dụng ài 1 ho 3 đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ) có tâm cùng nằm trên đường thẳng d Kí hiệu d ij là trục đẳng phương của cặp đường tròn ( i ) và ( j ) (i, j 1, 3, i j) Gọi 1,, 3 lần lượt là giao điểm của d 3, d 13, d 1 với d hứng minh rằng 1 1 3 3 1 3 1 3 hứng minh Do 1 nằm trên trục đẳng phương của ( ) và ( 3 ) nên P 1 /( ) P 1 /( 3 ) Ta thu được P 1 /( 1 ) P 1 /( ) P 1 /( 1 ) P 1 /( 3 ) Theo công thức (1) suy ra 1 3 1 1 3 1 Từ đó 1 3 1 3 1 1 hứng minh tương tự suy ra đpcm ài ho đường tròn (, R) và một điểm cố định Gọi M là điểm chuyển động trên () hứng minh rằng trục đẳng phương d của (, R) và (M, M) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định hứng minh Gọi H là hình chiếu của trên d Do (M, M) nên theo công thức () ta có P /() MH Suy ra H P /() M Vậy H R const Tức là d tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm, bán kính R R R ài 3 ho 3 đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ) đồng trục là điểm bất kì trên ( 3 ) sao cho nằm ngoài ( 1 ) và ( ) Lần lượt kẻ tiếp tuyến, tới ( 1 ), ( ) giao ( 1 ), ( ) lần thứ hai lần lượt tại D, E hứng minh rằng tỉ số D không đổi E
D E 3 1 hứng minh Do ( 1 ), ( ), ( 3 ) đồng trục nên theo hệ quả 1, P /( 1) P /() 3 1 3 Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ta có sin sin sin 1 E sin 1 D 1 E 1 D E D R1 R Vậy D E R 1 R R 1 3 const R 1 3 ài 4 ho hai đường tròn ( 1 ) và ( ) có P, Q lần lượt là tâm vị tự ngoài và trong hứng minh rằng đường tròn đường kính P Q đồng trục với ( 1 ) và ( ) hứng minh Ta có P 1 R 1 do đó P 1 P R Tương tự với Q suy ra P P/( 1) trục với ( 1 ) và ( ) P P/() R 1 R P R 1 R, suy ra P P/( 1) P P/() P 1 R 1 R 1 P R R P Q/( 1) Theo hệ quả, đường tròn đường kính P Q đồng P Q/() ài 5 (Greek M 003) ho đường tròn (), một điểm cố định trên () và một điểm R cố định nằm trong () Một đường thẳng d chuyển động qua R cắt () tại, Gọi H là trực tâm tam giác hứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm T sao cho H + HT const T H R 1 hứng minh Gọi 1 là hình chiếu của trên 1 cắt () lần thứ hai tại Ta có P H/(R) H H1 H1 1 P H/() H H H const Suy ra H chuyển động trên một đường tròn ω cố định và đồng trục với (R) và () Hiển nhiên ω 3
Gọi T là điểm đối xứng với qua tâm của ω Suy ra điểm T xác định duy nhất và H + HT T const ài 6 ho tứ giác lồi D, D giao tại E, giao D tại F hứng minh rằng các đường tròn đường kính, D, EF đồng trục E G H I J F D hứng minh Kẻ G vuông góc với D; H, F I, DJ cùng vuông góc với Đặt các góc của tứ giác D lần lượt là,,, D Ta có P E/() EG E P E/(D) E EJ Do EG ED EJ E nên EG EJ E ED Suy ra P E/() E P E/(D) ED E E Theo định lý hàm số sin ta thu được P E/() P E/(D) sin D sin sin sin hứng minh tương tự, P F/() sin D sin P F/(D) sin sin Lại có P I/() IH I P I/(D) IJ I F F F F D P F/() Như vậy P E/() P F/() P I/() P F/(D) P E/(D) P F/(D) P I/(D) Theo hệ quả thì (EF I) đồng trục với () và (D) hay 3 đường tròn (), (D), (EF ) đồng trục Nhận xét Từ bài toán 5 ta thu được hai định lý quen thuộc: 1 Trung điểm của, D, EF thẳng hàng (đường thẳng Gauss-Newton) ác trực tâm của các tam giác E, ED, F D, F thẳng hàng (đường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần) ài 7 (IM Shortlist 01) ho tam giác nội tiếp đường tròn tâm Gọi d là đường thẳng bất kì cắt,, lần lượt tại X, Y, Z; P là hình chiếu của trên d hứng minh rằng các đường tròn (XP ), (Y P ), (ZP ) đồng trục 4
P Y F Z X E hứng minh (Trần Minh Ngọc) Đường tròn (P X) đồng trục với (P Y ) và (P Z) khi và chỉ khi P /(P Y ) P X/(P Y ) P /(P Z) P X/(P Z) E XP XY Hay F XP XZ XY XZ (1) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác Y Z với đường thẳng (X,, ) ta có XY XZ Z Y 1 Suy ra XY XZ Z Y Như vậy (1) tương đương E F Y Z Ta có Z Z Y Y P Z/() P Y/() Z Y ZP Y P ZY ZP Y Z Y P Z ZE Y F Y Do đó Z (Z ZE) Y (F Y + Y ) hay Z E Y F hay E F Y Z Ta có đpcm ài 8 ho tam giác và điểm P nằm trong tam giác Một đường tròn ω qua P cắt (P ), (P ), (P ) lần thứ hai lần lượt tại X, Y, Z ác đường thẳng P, P, P cắt ω lần thứ hai tại M, N, L hứng minh rằng XM, Y N, ZL đồng quy ' N' Z' U L' M' P Y' X' ' ' 5
hứng minh (Luis González) Xét phép nghịch đảo cực P phương tích bất kì Khi đó ω biến thành đường thẳng l không qua P, (P ), (P ), (P ) lần lượt biến thành các đường thẳng,, X, Y, Z biến thành giao điểm X, Y, Z của l với,, M, N, L biến thành giao điểm M, N, L của P, P, P với l Như vậy XM, Y N, ZL đồng quy khi và chỉ khi ω 1 (P X M ), ω (P Y N ), ω 3 (P Z L ) đồng trục Gọi U là giao của P với Suy ra P ( UZ ) P (M N L Z ), ( UZ ) (Y X L Z ) Từ đó Z N Z M L M L Y L N L X Z X Z Y Suy ra L X L M Z M Z X Hay PL /ω 1 PZ /ω 1 L Y L N Z N Z Y P L /ω P Z /ω Điều này nghĩa là (P Z L ) đồng trục với ω 1 và ω Từ đó có đpcm ài 9 Một đường thẳng d nào đó cắt hai đường tròn () và (I) theo thứ tự tại các cặp điểm, và, Khi đó các giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn thứ nhất tại và và các tiếp tuyến với đường tròn thứ hai tại và cùng nằm trên một đường tròn có tâm thẳng hàng với các tâm của hai đường tròn đã cho P ' ' Q N I J M hứng minh Giả sử các tiếp tuyến cắt nhau tạo thành tứ giác MNP Q như hình vẽ Đặt N P α, P N β Ta cần chứng minh P M/() P M/(I) P N/() P N/(I) P P/() P P/(I) P Q/() P Q/(I) Khi và chỉ khi M M N P N P Q Q Theo định lý hàm số sin, M sin M M sin M sin β Hoàn toàn tương tự với các điểm N, P, Q ta sin α thu được M M N P N P Q Q sin β sin α Vậy M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn đồng trục với () và (I), tức là có tâm nằm trên I ài 10 ho hai tam giác và cùng nội tiếp đường tròn (, R) và có cùng trọng tâm G Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của và, và, và hứng minh rằng tâm đường tròn (XY Z) nằm trên G 6
' 1 ' Y ' ' 1 ' Z 1 G 1 1 ' ' ' X ' 1 3 hứng minh (dựa theo Nguyễn Minh Hà) Do hai tam giác và có cùng trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp nên hiển nhiên chúng có chung đường tròn Euler Gọi 1, 1, 1 ;,, lần lượt là trung điểm,, ;,, Suy ra 1, 1, 1,,, cùng thuộc một đường tròn Phép nghịch đảo cực phương tích R : I R : 1 1,, 1 1,, 1 1, Suy ra 1, 1, 1,,, cùng thuộc một đường tròn ω Dễ thấy hai tam giác 1 1 1 và có chung đường tròn nội tiếp () Gọi giao tại X suy ra 1,, X cùng nằm trên đường đối cực của X với (), tức là 1,, X thẳng hàng Gọi 3 là giao của 1 và 1 Ta có 3XZ X + X 1 Z + Z 1 3 ZX, suy ra tam giác 3 ZX cân tại 3 hứng minh tương tự suy ra đường tròn (XY Z) là đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi giao điểm các đường thẳng 1, 1, 1 Áp dụng bài toán 9 cho hai đường tròn () và (XY Z) với đường thẳng (Z,,, X) suy ra đường tròn ω đồng trục với () và (XY Z) Mặt khác do ω là ảnh của đường tròn Euler qua phép nghịch đảo I R nên tâm của ω nằm trên G Vậy tâm của (XY Z) nằm trên G ài 11 (Đường thẳng Droz-Farny) ho tam giác với trực tâm H Gọi d 1, d là hai đường thẳng qua H sao cho d 1 d Gọi 1, 1, 1 lần lượt là giao của d 1 với,, ;,, lần lượt là giao của d với,, hứng minh rằng trung điểm của 1, 1, 1 cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường thẳng Droz-Farny của tam giác ứng với d 1 và d 7
Y Z 1 1 1 H X hứng minh Trung điểm của 1, 1, 1 thẳng hàng khi và chỉ khi các đường tròn đường kính 1, 1, 1 đồng trục Khi và chỉ khi P 1 /( 1 ) P 1 /( 1 ) P /( 1 ) P /( 1 ) hay 1 1 1 H 1 1 1 H H H Như vậy ta cần chứng minh 1 1 hay 1 1 1 1 1 1 Ta có 1 1 1 H 1 H sin sin H 1, sin Do đó 1 1 1 sin H 1 sin H 1 1 sin H 1 Lại có 1 sin 1H sin H H 1 H sin H 1 sin H 1 H 1 H H 1 H H 1 H Vậy 1 1 H 1 H H 1 H H 1 H Tương tự suy ra 1 1 1 1 Từ đó có đpcm ài 1 ho tam giác nội tiếp đường tròn () ác đường cao 1, 1 giao nhau tại H Gọi M là trung điểm M 1 giao tại I, M 1 giao tại J Gọi D là hình chiếu của trên H hứng minh rằng, D, I, J cùng thuộc một đường tròn 8
I J D 1 1 F H E M hứng minh Gọi E, F lần lượt là trung điểm, Dễ thấy D là trục đẳng phương của đường tròn đường kính H và đường tròn đường kính Ta có 1 1 là đường đối song với, mà EF nên 1 1 là đường đối song với EF hay tứ giác 1 1 EF nội tiếp Suy ra J 1 1 1 EF Lại có JM là tiếp tuyến của (H) nên J 1 1 180 F 1 E (do tam giác F 1 cân tại F ) Suy ra 1 1 J E 1 F Ta thu được J 1 J J 1 EF J 1 F 1 Như vậy tồn tại một phép vị tự quay tâm 1 biến F J, E 1 nên F 1 J E 1 1 Suy ra J 1 JF 1 1 1 E hay J 1 JF 1 1 1 E Vậy J 1 JJF EF 1 1 F 1 1 E a/ 1 1 c/b/ hay P J/(H) a 1 1 P J/() bc hứng minh tương tự suy ra P J/(H) P I/(H) a 1 1 P J/() P I/() bc Tức là I, J nằm trên một đường tròn đồng trục với (H) và () Vậy, D, I, J cùng thuộc một đường tròn ài 13 (Trần Quang Hùng) ho tam giác M, N lần lượt là các điểm trên, sao cho MN song song với đường đối trung ứng với đỉnh Một đường tròn ( 1 ) qua, M giao một đường tròn ( ) qua, N tại hai điểm X, Y hứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XY là trung điểm 1 9
M N X 1 K J Y hứng minh Gọi K là giao của đường đối trung ứng với đỉnh với ; J là giao của MN với Ta có N KJ K, M KJ K Suy ra P /( 1 ) M P /( ) N M N KJ K K KJ K K 1 Do đó nằm trên đường tròn đẳng phương của ( 1 ) và ( ), tức là tâm của (XY ) là trung điểm của 1 ài 14 (Mathley 7) ho tứ giác D nội tiếp đường tròn () giao D tại E, D giao tại F, giao D tại I Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của (F ) và (F D) với F I hứng minh rằng EK EL F K E M I N H D L hứng minh Gọi H là giao của E với F I M, N lần lượt là trung điểm của D, Theo định lý rocard suy ra E F I Do đó, M, N, H, cùng nằm trên đường tròn đường kính Xét P M/(F ) M MF P M/(F D) MD MF 1 Tương tự suy ra P M/(F ) P M/(F D) P N/(F ) P N/(F D) 1 Từ đó (F MN) đồng trục với (F ) và (F D) Mà H (F MN) nên P H/(F ) P H/(F D) 1 10
HK HF Hay 1 Suy ra H là trung điểm KL HL HF Tam giác EKL có H vừa là chân đường cao vừa là trung điểm KL nên EK EL 3 Đường tròn đẳng phương Đường tròn đẳng phương đang xem xét được phân biệt với đường tròn đẳng phương của 3 đường tròn (xem [4]) Ở phần 1 chúng ta đã biết định nghĩa đường tròn đẳng phương ω của hai đường tròn ( 1, R 1 ) và (, R ) là quỹ tích các điểm có tỉ số phương tích đến hai đường tròn bằng 1 ω đồng trục với ( 1 ) và ( ) đồng thời có tâm là trung điểm 1 Với mỗi điểm M nằm trên ω, ta có P M/(1 ) + P M/( ) 0 Suy ra M 1 R 1 + M R 0 hay M 1 + M R 1 + R Theo công thức tính đường trung tuyến suy ra M + 1 1 R 1 + R Như vậy bình phương bán kính R của ω bằng 1 (R 1 +R ) 1 4 1 Điều kiện bán kính phải không âm do đó ta cần xem xét các trường hợp sau Nếu ( 1 ) và ( ) cắt nhau thì ω luôn tồn tại, nhưng trong trường hợp ( 1 ) và ( ) không cắt nhau, có hai trường hợp xảy ra Nếu ( 1 ) và ( ) chứa nhau thì ω tồn tại Nếu ( 1 ) và ( ) ngoài nhau, vị trí của 1 và phải thỏa mãn trung điểm của 1 nằm ngoài hai điểm tới hạn của bộ đường tròn đồng trục d là trục đẳng phương của ( 1 ) và ( ) Trong trường hợp hai đường tròn ( 1 ) và ( ) trực giao, ω trở thành đường tròn đường kính 1 Tính chất 1 Nếu hai đường tròn ( 1 ) và ( ) cắt nhau tại, Một đường thẳng bất kì qua cắt ( 1 ), ( ) lần lượt tại, D Khi đó quỹ tích trung điểm của D là đường tròn đẳng phương của ( 1 ) và ( ) hứng minh Gọi M là trung điểm D Ta có P M/( 1 ) P M/( ) M M 1 Suy ra M ω M MD Tính chất Một cát tuyến cắt ( 1 ), ( ) lần lượt tại các điểm, và, D Khi đó (D) 1 khi và chỉ khi trung điểm của hoặc D nằm trên đường tròn đẳng phương của ( 1 ) và ( ) M 1 N D hứng minh Gọi M, N lần lượt là trung điểm của, D Ta có (D) 1 khi và chỉ khi M M MD Tương đương P M/( 1) M M P M/() M 1 hay M nằm trên ω hứng minh tương tự với điểm N Hệ quả Nếu hai đường tròn ( 1 ) và ( ) trực giao, cát tuyến d cắt hai đường tròn thành một hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi d đi qua một trong hai tâm của ( 1 ) và ( ) 11
Tính chất 3 P là một điểm bất kì trên mặt phẳng Khi đó P P/ω 1 (P P/( 1 ) + P P/( )) hứng minh Theo công thức tính bán kính đường tròn đẳng phương ta có P P/ω P R 1 (P 1 +P 1 1 ) 1 (R 1 +R )+ 1 4 1 1 (P 1 R 1 )+ 1 (P R ) 1 (P P/( 1 ) + P P/( )) Tính chất 4 ho 3 đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ) sao cho mỗi cặp hai trong ba đường tròn đều có đường tròn đẳng phương Gọi ω ij là đường tròn đẳng phương của hai đường tròn ( i ), ( j ) (i, j 1, 3, i j) P là một điểm bất kì trên mặt phẳng Khi đó P P/ω1 + P P/ω3 + P P/ω13 P P/(1 ) + P P/( ) + P P/(3 ) hứng minh Dễ dàng chứng minh tính chất 4 theo tính chất 3 Tính chất 5 Với giả thiết như tính chất 4 Ta có đường tròn đẳng phương của ω ij và ( k ) trùng với đường tròn đẳng phương của ω ik và ω jk (i, j, k 1, 3, i j k) 1 1 I 13 3 3 hứng minh Kí hiệu ij là tâm của ω ij Gọi P là tâm đẳng phương của ( 1 ), ( ), ( 3 ) và phương tích từ P đến 3 đường tròn bằng T Theo tính chất 3, P P/ωij 1 (P P/( i ) + P P/(j )) 1 T T Như vậy P là tâm đẳng phương của 6 đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ), ω 1, ω 3, ω 13 Gọi (I) là đường tròn đẳng phương của ω 1 và ω 3 hứng minh tương tự ta cũng suy ra P P/(I) T Ta có I là trung điểm 1 3 ; 1, 3, 13 lần lượt là trung điểm của 1, 3, 1 3 nên I là trung điểm của 13 Như vậy 3 đường tròn ( ), ω 13, (I) có trục đẳng phương song song Mà 3 đường tròn có tâm đẳng phương P nên chúng đồng trục Nghĩa là (I) là đường tròn đẳng phương của ( ) và ω 13 hứng minh tương tự cho các cặp còn lại Từ lời giải trên ta thu được tính chất tổng quát sau Tính chất 6 Từ 3 đường tròn ( 1 ), ( ), ( 3 ), ta xây dựng một chuỗi đường tròn ( 1 ), ( ),, ( n ) sao cho ( k ) là đường tròn đẳng phương của trong k 1 đường tròn ( 1 ), ( ),, ( k 1 ) (k 4, n) Khi đó n đường tròn ( 1 ), ( ),, ( n ) có chung tâm đẳng phương 1
Tính chất 7 ho tam giác và hai điểm P, Q liên hợp đẳng giác Một đường tròn ω P tâm P cắt 3 cạnh,, lần lượt tại các cặp điểm 1, ; 1, ; 1, Khi đó tồn tại đường tròn ω Q tâm Q trực giao với các đường tròn đường kính 1, 1, 1 và đường tròn pedal của tam giác ứng với hai điểm P, Q là đường tròn đẳng phương của ω P và ω Q 1 1 P b P c P Q hứng minh Gọi P b, P c, P a lần lượt là hình chiếu của P trên,, Suy ra P b, P c lần lượt là tâm của ( 1 ) và ( 1 ) Ta có Q P b P c và 1 1 nên Q là trục đẳng phương của ( 1 ) và ( 1 ) hứng minh tương tự suy ra Q là tâm đẳng phương của ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) Như vậy đường tròn tâm Q bán kính bằng căn của phương tích từ Q đến 3 đường tròn ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) sẽ trực giao với 3 đường tròn đó Ta có P P b /ω P P b 1 P b P Pb /ω Q P b 1 Suy ra P b nằm trên đường tròn đẳng phương của ω P và ω Q hứng minh tương tự suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác P a P b P c là đường tròn đẳng phương của ω P và ω Q Ta có đpcm 4 ài tập áp dụng ài 15 ho tứ giác D D giao tại K Đường tròn ngoại tiếp các tam giác K và KD cắt nhau lần thứ hai tại T Gọi M, N lần lượt là trung điểm D, hứng minh rằng tứ giác KMT N nội tiếp ài 16 ho tam giác với phân giác D Gọi (I) và (I a ) lần lượt là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc hứng minh rằng đường tròn đường kính D đồng trục với (I) và (I a ) ài 17 ho tam giác có trực tâm H, trọng tâm G hứng minh rằng đường tròn đường kính HG đồng trục với đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler của tam giác ài 18 ho tam giác nội tiếp đường tròn (), với trực tâm H và tâm đường tròn Euler E Gọi, lần lượt là hai điểm trên, sao cho E là trung điểm của hứng minh rằng các đường tròn ( ), (H), () đồng trục ài 19 ho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn () Hai đường cao và giao nhau tại trực tâm H Đường thẳng qua H song song với cắt tại X, đường thẳng qua H song song với cắt tại Y (H) giao () lần thứ hai tại Z hứng minh rằng, X, Y, Z cùng thuộc một đường tròn ài 0 ho hai đường tròn ( 1 ) và ( ) giao nhau tại hai điểm Gọi là một dây cung chuyển động trên ( ) sao cho đường tròn tâm P đường kính trực giao với đường tròn ( 1 ) Tìm quỹ tích điểm P 13
ài 1 (Nguyễn Văn Linh) ho hai đường tròn ( 1 ) và ( ) giao nhau tại, Gọi, D lần lượt là các điểm trên ( 1 ), ( ) sao cho D, D giao ( ), ( 1 ) lần thứ hai tại E, F Đường thẳng qua vuông góc với cắt ( 1 ), ( ) lần lượt tại X, Y Gọi M là trung điểm XY hứng minh rằng tứ giác DEF nội tiếp đường tròn tâm M ài ho tam giác có trực tâm H Phân giác ngoài góc cắt các đường tròn (H), (H) lần lượt tại D, E hứng minh rằng trung điểm của, H, DE thẳng hàng ài 3 (IM Shortlist 1987) ho tam giác Một tam giác đều chuyển động sao cho ngoại tiếp tam giác (các đỉnh của tam giác tương ứng nằm trên cạnh tam giác ) Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác 14
Tài liệu [1] Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm, Euclidean geometry blog http://nguyenvanlinhwordpresscom/013/04/19/bicentric-polygons/ [] Nathan ltshiller-ourt, ollege Geometry: n Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the ircle, Dover Publications, New York, 007 [3] Julian Lowell oolidge, Treatise on the ircle and the Sphere, xford, 1916 [4] Radical ircle, from Wolfram Mathworld http://mathworldwolframcom/radicalirclehtml [5] ops Forum http://artofproblemsolvingcom/forum/portalphp?ml1 15