Bài toán số 3 trong kì thi chọn HSG Quốc gia năm 2016 Nguyễn Văn Linh Năm Giới thiệu Trong kì thi chọn HSG Quốc gia năm 2016 (VMO 2016) có bài

Bản ghi

1 ài toán số 3 trong kì thi chọn HSG Quốc gia năm 2016 Nguyễn Văn inh Năm Giới thiệu rong kì thi chọn HSG Quốc gia năm 2016 (VO 2016) có bài toán số 3 phát biểu như sau. ài toán. ho tam giác có, cố định, thay đổi sao cho tam giác nhọn. Gọi D là trung điểm và, tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên,. a) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. cắt O và lần lượt tại và N. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác N đi qua một điểm cố định. b) ác tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại, cắt nhau tại. hứng minh thuộc một đường thẳng cố định. rước tiên xin giới thiệu tới bạn đọc lời giải của bài toán. hứng minh. a) Xét trường hợp <. rường hợp còn lại chứng minh tương tự. a có D = DO = D O = D (90 ) = = ND. Do đó tứ giác DN nội tiếp. Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác N luôn đi qua D cố định. O N D G b) ách 1. éo dài D cắt ( ) lần thứ hai tại. Do tứ giác D là tứ giác điều hòa nên ta có (D ) = 1. ại có D là trung điểm nên. à D = 90 nnd. Điều này nghĩa là nằm trên đường trung trực của cố định. 1

2 ách 2. éo dài D giao tại G, D giao tại. a có = 180 2, G = = 90, do đó G = = 1. Suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác G. 2 Áp dụng định lý con bướm cho đường tròn (, ) với hai dây cung và G cùng đi qua D. a có D = D nên D. Vậy nằm trên đường trung trực của cố định. Đây là một bài toán không mới. Ý b) từng xuất hiện trong cuộc thi olmogorov của Nga (xem [1]). ác giả rần Quang Hùng cũng đã mở rộng tại [3], [4]. ác giả khá bất ngờ khi kì thi năm nay lấy lại đề của nước khác. Vì tính quen thuộc của nó nên đây là một trong những câu dễ kiếm điểm trong đề. uy vậy cấu hình của bài toán khá đẹp mắt và còn nhiều điều để khám phá. rong bài viết này tác giả sẽ mở rộng và khai thác những vấn đề xung quanh. 2 hai thác rước tiên chúng ta xem xét câu a). Rõ ràng trong lời giải không sử dụng đến dữ kiện D là trung điểm mà chỉ xét tới yếu tố cố định của D. Do đó chúng ta có thể mở rộng câu a) cho điểm D bất kì trên. Đường tròn ngoại tiếp tam giác N vẫn luôn đi qua D. Ở đây chúng ta sẽ tập trung vào câu b). ó thể nhận thấy cấu hình của câu b) rất giống bài toán 1 trong kì thi chọn đội tuyển Quốc tế của Việt Nam năm 2012, phát biểu như sau. ài 1. ho đường tròn (O) và hai điểm, cố định trên (O) sao cho không phải là đường kính của (O). là điểm bất kì trên (O). Gọi D,, lần lượt là trung điểm của,,.,, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên, trên D và trên D. Hai tiếp tuyến tại, N của đường tròn ngoại tiếp tam giác N giao nhau tại. hứng minh rằng là điểm cố định khi chuyển động trên (O). O H N D Gọi H là trực tâm tam giác. hông khó nhận ra rằng đường tròn (N) chính là đường tròn đường kính DH., N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên H và H. Do đó nếu xét tam giác H thì câu b) thực chất là một phần của bài toán 1. ài toán 1 khác biệt ở chỗ chuyển động trên (O) trong khi ở câu b), là điểm bất kì trong mặt phẳng. Như vậy nếu thay giả thiết của câu b) ta thu được bài toán sau. 2

3 ài 2. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) có, cố định, chuyển động trên (O). Gọi D là trung điểm và, tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên,. ác tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại, cắt nhau tại. hứng minh là điểm cố định. Ở ý a) chúng ta đã thay trung điểm bằng một điểm cố định bất kì trên. a thử làm như vậy với bài toán 2 và thu được bài toán tổng quát. ài 3. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) có, cố định, chuyển động trên (O). Gọi D là một điểm cố định trên và, tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên,. ác tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại, cắt nhau tại. hứng minh chuyển động trên một đường tròn cố định. D O' O 1 R O 2 Q hứng minh. Gọi là giao của D với, là giao của D với. heo cách 2 của câu b) ta thu được là trung điểm. Gọi là giao của hai tiếp tuyến tại và của (O). ác điểm O 1, O 2 lần lượt nằm trên, sao cho DO 1, DO 2. a có DO 1 = = = 2 D suy ra O 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác D. ương tự, O 2 là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại R, tại Q. Suy ra R, Q lần lượt là đường kính của (O 1 ) và (O 2 ). Suy ra giao điểm của R và Q là điểm đối xứng với qua tâm O của (). a có QR = 90 = 90 = RQ nên R = Q. ại có R Q = 180 = 2 = 2 RQ nên nằm trên (, Q). Do D cố định nên Q cố định, suy ra (, Q) cố định. a có D là trực tâm của tam giác nên D là hình bình hành, suy ra là trung điểm D. Vậy chuyển động trên ảnh của (, Q) qua phép vị tự tâm D tỉ số 1 2. Nhận xét. Quay lại bài toán 2. hi D là trung điểm, hay (, 0), suy ra là trung điểm D cố định. hai thác thêm bài toán 3 ta thu được kết quả khá đẹp sau. 3

4 ài 4. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) có, cố định, chuyển động trên (O). Gọi D là một điểm cố định trên. ác điểm, lần lượt nằm trên và sao cho D và D. hứng minh rằng đường tròn () luôn đi qua một điểm cố định và tâm của () chuyển động trên một đường tròn cố định. O O 1 D I O' R O 2 Q hứng minh. Với các kí hiệu như lời giải bài 3. Gọi là giao điểm thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). a có = D + D = + = 180 nên tứ giác nội tiếp. a sẽ chứng minh là điểm cố định. a có O 2 = 2 DQ = O 1 nên ( O 1 O 2 ). ại có = D+ D = D+ D = = nên (O ). Do (O ) và ( O 1 O 2 ) đều là các đường tròn cố định nên giao điểm là điểm cố định. Gọi O là tâm của (). (O ) và (O 1 ) giao nhau tại và, (O ) và (O 2 ) giao nhau tại và. Do đó O 1 O O 2 = 180 = = const. Do đó O chuyển động trên đường tròn cố định đi qua O 1 và O 2. a sẽ xác định chính xác đường tròn này. Gọi I là trung điểm O. (I) giao (O 1 ) tại và, (I) giao (O 2 ) tại và nên O 1 IO 2 = 180 = 180, suy ra tứ giác O 1 IO 2 nội tiếp. ại có I = I nên IO 1 = IO 2. a có O 1 IO 2 = 180 = 2 = 2 O 1 O O 2 nên I là tâm ngoại tiếp tam giác O O 1 O 2. Vậy O chuyển động trên đường tròn (I, IO 1 ). Nhận xét. ho điểm D bất kì trong mặt phẳng, ta thu được 2 bài toán tương tự như sau. ài 5. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) có, cố định, chuyển động trên (O). Gọi D là một điểm cố định trong mặt phẳng. Gọi, là hình chiếu vuông góc của D trên và. iếp tuyến tại và của đường tròn đường kính D cắt nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên một đường tròn cố định. âm của đường tròn này là trung điểm của D với là giao của hai tiếp tuyến tại và. Đồng thời gọi, lần lượt là giao của D và, D và, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. hi đó O chuyển động trên đường tròn có tâm là trung điểm O. ài 6. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) có, cố định, chuyển động trên (O). Gọi D là một điểm cố định trong mặt phẳng. Gọi XY Z là tam giác pedal của D ứng với tam giác. iếp tuyến tại Y và Z của (XY Z) giao nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên một đường tròn cố định. 4

5 Qua thảo luận, tác giả Nguyễn ê hước có nhận xét rằng nếu cố định tam giác và cho D chuyển động trên thì chuyển động trên một đường thẳng cố định. Để chứng minh bài toán này chúng ta sẽ thông qua một bài toán khác như sau. ài 7. ho tam giác. D là điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên và. hứng minh rằng trung điểm của chuyển động trên một đường thẳng cố định. hứng minh. a phát biểu một bổ đề. ổ đề 1. ho tam giác. Hai đường cao,. ác điểm, lần lượt nằm trên và sao cho và đẳng giác trong. hi đó trung điểm,, thẳng hàng. G ' ' I N H hứng minh. Gọi G, H, lần lượt là giao của với, với, với. I,,, lần lượt là trung điểm,,,. hân giác giao I tại N, phân giác giao I tại N. a có I, đẳng giác trong nên N là phân giác I. Suy ra NI N = I = I =. hứng minh tương tự, N I N =. Do đó N N. Vậy N nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần. hay, N, I, thẳng hàng. Do, đẳng giác trong góc nên ta thu được tứ giác G H nội tiếp. hứng minh tương tự phần trên suy ra N nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần G H.. Suy ra, N, thẳng hàng. Vậy, I, thẳng hàng. rở lại bài toán. ' ' Q D 5

6 Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của, trên và. Gọi Q là trung điểm, là điểm đối xứng của D qua Q. a có D là hình bình hành nên D. Suy ra = D = D =. Suy ra,, thẳng hàng. a có D là đường kính của ( ), Q là trung điểm nên là trực tâm tam giác. Do đó và D đẳng giác trong. Áp dụng bổ đề 1 suy ra Q chuyển động trên đường thẳng nối trung điểm của và. ài 8. ho tam giác. D là điểm chuyển động trên. Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên và. iếp tuyến tại và của đường tròn ngoại tiếp tam giác giao nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên một đường thẳng cố định. Q d 1 D ' d 2 hứng minh. Gọi là giao của D với, là giao của D với. Q là trung điểm, là điểm đối xứng với qua phân giác. Do D là trực tâm tam giác, là giao hai tiếp tuyến tại và của (D) nên là trung điểm. Suy ra Q và đẳng giác trong. Điều này nghĩa là, Q, thẳng hàng. Do Q nên Q = = cos. Suy ra Q = cos. heo bài toán 7, Q chuyển động trên một đường thẳng cố định (ta gọi là đường thẳng d 1 ). à 1 là ảnh của Q qua phép vị tự tâm tỉ số cos nên chuyển động trên ảnh của d 1 qua phép vị tự trên (ta gọi là đường thẳng d 2 ). ại có và đối xứng với nhau qua phân giác nên chuyển động trên ảnh của đường thẳng d 2 qua phép đối xứng trục trên. Vậy chuyển động trên một đường thẳng cố định. Nhận xét. 1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. ằng cách xét hai đường đẳng giác D và O trong với phương pháp tương tự lời giải bài 8, ta có thể chứng minh O chuyển động trên một đường thẳng cố định. 2. ài toán 8 phụ thuộc vào hai yếu tố cố định là và đường thẳng. Rõ ràng phương của đường thẳng xác định phương của đường thẳng chuyển động. ại [4], tác giả rần Quang Hùng đưa ra bài toán sau, cũng là mở rộng của ý b) bài 3 VO

7 ài 9. ho tam giác có trực tâm H, là trung điểm. là điểm chuyển động trên H. Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên và. iếp tuyến tại và của ( ) cắt nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên đường trung trực của. H hứng minh. heo bài 8, để xác định đường thẳng chuyển động trong bài 9 ta chỉ cần chỉ ra hai vị trí đặc biệt của. Rõ ràng khi H, và khi, theo câu b) bài 3 VO 2016 ta thu được nằm trên đường trung trực của. Vậy luôn chuyển động trên đường trung trực của. ác cách giải khác của bài toán này bạn đọc xem tại nguồn trích dẫn trên. Điều chúng ta quan tâm ở đây là phương của đường thẳng H xác định phương của đường thẳng chuyển động vuông góc với. Điều này khá thú vị. Áp dụng tính chất này ta thu được bài toán sau. ài 10. ho tam giác có trực tâm H, là trung điểm. Qua H kẻ đường thẳng d song song với. là điểm chuyển động trên d. Gọi, lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên H và H. iếp tuyến tại và của (H ) cắt nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên đường cao H. H hứng minh. a có phương của đường thẳng H trùng với phương của đường thẳng nên với mỗi điểm chuyển động trên d, phương của xác định phương của đường thẳng chuyển động. ại có là trực tâm của tam giác H nên theo nhận xét trên, phương của đường thẳng xác định 7

8 phương của đường thẳng chuyển động vuông góc với. Nói cách khác chuyển động trên một đường thẳng vuông góc với. Do d đi qua H nên khi H thì H. Như vậy chuyển động trên đường cao H. Sau đây chúng ta sẽ mở rộng bài toán 8. Do là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác nên ta có thể mở rộng theo hướng sau. ài 11. ho tam giác. là điểm bất kì chuyển động trên. ột đường tròn qua, cắt, lần lượt tại,. Qua kẻ các đường song song với,, cắt, tạo thành tứ giác XY Z. hứng minh rằng tứ giác XY Z nội tiếp đường tròn tâm và chuyển động trên một đường thẳng cố định. ' ' X Y R W U S O 2 Z O 1 hứng minh. Do và là hai đường đối song trong nên XZ và Y cũng là hai đường đối song trong. Suy ra tứ giác XY Z nội tiếp đường tròn tâm. Qua kẻ đường song song với cắt tại. Qua kẻ đường song song với cắt tại. Gọi (O 1 ), (O 2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác và. giao XZ tại R, giao tại, giao Y tại W, giao XZ tại U, giao tại, giao Y tại S. a có và XZ đối song trong nên tứ giác X Z nội tiếp, suy ra RX RZ = R R. Điều này nghĩa là R nằm trên trục đẳng phương của () và (O 2 ). hứng minh tương tự suy ra RS là trục đẳng phương của () và (O 2 ), W U là trục đẳng phương của () và (O 1 ). ặt khác, là hình bình hành nên R R = U U = = S, suy ra RS. ương tự, S U. a thu được RS U. à O 1 U, O 2 RS nên, O 1, O 2 thẳng hàng. Vậy chuyển động trên đường thẳng O 1 O 2 cố định. ũng với chú ý rằng phương của đường thẳng xác định phương của O 1 O 2, ta tổng quát bài toán 9 như sau. 8

9 ài 12. ho tam giác. ột đường tròn qua, cắt, lần lượt tại,. giao tại. là trung điểm. là một điểm chuyển động trên. Qua kẻ các đường song song với,, cắt, tạo thành tứ giác XY Z. hứng minh rằng tứ giác XY Z nội tiếp đường tròn tâm và chuyển động trên đường trung trực của đoạn thẳng. Y X H G O 1 Z O 2 N hứng minh. heo bài toán 11, ta chỉ cần chỉ ra hai vị trí của nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng. Rõ ràng khi thì O 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác và O 1 nằm trên trung trực của. hi thì do = nên áp dụng định lý con bướm suy ra ( O 2 trên hình vẽ). Vậy chuyển động trên trung trực của. ó thể mở rộng theo hướng khác như sau. ài 13. ho tam giác. là điểm bất kì chuyển động trên. rên hai cạnh, lần lượt lấy hai điểm, cố định. Qua kẻ đường song song với cắt tại, kẻ đường song song với cắt tại. iếp tuyến tại và của ( ) giao nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên một đường thẳng cố định. hứng minh. rước tiên ta phát biểu một bổ đề sau. ổ đề 2. (RIQ mở rộng). ho hai đường thẳng d 1 và d 2, trên d 1 theo thứ tự lấy các điểm,,, trên d 2 theo thứ tự lấy các điểm,, sao cho = = k. Xét phép vị tự quay f góc α, tỉ số i có tâm lần lượt là,, : f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =. hi đó,, thẳng hàng và = k. hứng minh. 9

10 ' '' '' 1 2 ' 3 '' 3 2 ' 1 Xét phép tịnh tiến : 1, 1, : 2, 2, : 3, 3. a có 1 2 nên 1 2. hứng minh tương tự suy ra 1 2 = 1 = 1 = Suy ra 2 = 2. hú ý rằng ( 1, 2 ) = ( 1, 2 ) nên 2 3 = 2 3, tức là,, thẳng hàng đồng thời = 2 = 2 2. rở lại bài toán. ' ' Gọi là giao của hai tiếp tuyến tại và của ( ), là giao của hai tiếp tuyến tại và của ( ). Rõ ràng = = = nên các tam giác,, đồng dạng cùng hướng. hú ý rằng = = nên áp dụng bổ đề 2 suy ra,, thẳng hàng. Vậy chuyển động trên đường thẳng cố định. Nhận xét. a hoàn toàn có thể sử dụng lời giải trên cho bài toán

11 a sẽ xác định cụ thể phương của đường thẳng qua bài toán sau. ài 14. ho tam giác. ột đường tròn () qua, cắt, lần lượt tại,. giao tại Q. Gọi là giao của hai tiếp tuyến tại và của ( ), là giao của hai tiếp tuyến tại và của ( ). hứng minh rằng Q. ' ' Q X I hứng minh. Dựng đường tròn (, ) và (, ). a sẽ chứng minh Q là trục đẳng phương của () và (). Do Q Q = Q Q nên Q nằm trên trục đẳng phương của () và (). ẻ đường kính I của ( ). giao tại X. a biết rằng Q X tại điểm iquel của tứ giác toàn phần.x nên Q đi qua I. Gọi là giao của I với, là giao của I với. a có = 90 = 1 2 nên nằm trên (). ương tự nằm trên (). ại có I I = I I nên I nằm trên trục đẳng phương của () và (). Vậy QI là trục đẳng phương của () và () hay Q. Đến đây ta có một hướng mở rộng khác cho bài 12 như sau. ài 15. ho tam giác. ột đường tròn () qua, cắt, lần lượt tại,. giao tại Q. là một điểm chuyển động trên Q. Qua lần lượt kẻ các đường song song với,, cắt, tại,. iếp tuyến tại và của ( ) giao nhau tại. hứng minh rằng chuyển động trên một đường thẳng vuông góc với. hứng minh. a phát biểu và chứng minh hai bổ đề sau. ổ đề 3. ho tam giác nội tiếp đường tròn (O). là điểm đối xứng với qua O. Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại, kẻ đường thẳng song song với cắt tại. Q là giao của hai tiếp tuyến tại, của ( ), là giao của hai tiếp tuyến tại, của (O). hi đó Q O. 11

12 I O Q hứng minh. Gọi I, lần lượt là trung điểm Q, O. ẻ Q, Q. a có Q và tứ giác OQ nội tiếp nên O = OQ = O. Do đó (O ). ương tự (O ). Suy ra là trục đẳng phương của (I) và () hay I. Dễ thấy O, O nên O là trực tâm tam giác, suy ra O. a thu được I O. ại có Q là đường đối trung của tam giác nên Q và O đẳng giác trong, suy ra Q hay Q O. Suy ra OI là hình bình hành. à I = IQ, O = nên Q O. ổ đề 4. ho tam giác nội tiếp (O). D là một điểm chuyển động trên đường trung trực của. Qua D kẻ đường thẳng cắt, lần lượt tại, sao cho D là trung điểm của. Gọi X là giao của hai tiếp tuyến tại, của ( ). hi đó X chuyển động trên một đường thẳng song song với O. 12

13 O D Y X Z hứng minh. Gọi là trung điểm. Qua O kẻ đường thẳng cắt, lần lượt tại, sao cho O là trung điểm. Gọi Y là giao của hai tiếp tuyến tại, của (), Z là giao của hai tiếp tuyến tại, của (O). a có Y X Z. ại có O, D, lần lượt là trung điểm của,, và O, D, thẳng hàng nên theo định lý RIQ, =. Áp dụng bổ đề 2 suy ra X, Y, Z thẳng hàng. heo bổ đề 3, Y Z O nên X chuyển động trên đường thẳng Y Z O. rở lại bài toán. 13

14 " ' X Q W S O Y U R Gọi, lần lượt là giao của Q với ( ), (). Do Q đi qua điểm iquel của tứ giác toàn phần nên, lần lượt là điểm đối xứng với qua tâm ngoại tiếp hai tam giác và. Qua kẻ đường song song với cắt tại X, kẻ đường song song với cắt tại Y. cắt tại W, cắt tại U. a có nên theo định lý hales, W = U = X X. Suy ra X. ương tự Y. a thu được XY là hình bình hành. à O là đường trung bình của tam giác nên là trung điểm, suy ra là trung điểm XY. Gọi S là giao của hai tiếp tuyến tại và của ( ), R là giao của hai tiếp tuyến tại X và Y của (XY ). Do nằm trên trung trực của và là trung điểm XY nên áp dụng bổ đề 4 suy ra SR. à nên SR. Như vậy khi chuyển động trên Q, chuyển động trên đường thẳng SR. Nhận xét. ột điều khá thú vị ta thu được từ hai bài 14 và 15 là nếu chuyển động trên thì phương của đường thẳng chuyển động là phương vuông góc với Q còn nếu chuyển động trên Q thì phương của đường thẳng chuyển động là phương vuông góc với. uối cùng chúng ta sẽ thay đổi giả thiết của bài toán 12. ài 16. ho tam giác và một điểm bất kì trong mặt phẳng. ột đường tròn (O ) chuyển động đi qua, cắt, tại,. Qua kẻ đường song song với, cắt, tạo thành tứ giác XY Z. hứng minh rằng tứ giác XY Z nội tiếp đường tròn () và chuyển động trên một đường thẳng cố định. 14

15 Y 1 ' X 1 Y ' Y 2 X 2 X O' Z hứng minh. a chọn hai vị trí cố định của X, Y là X 1, X 2 và Y 1, Y 2. hi đó X 1 = Y 1, X 2 = Y 2. heo giả thiết, X = Y. Do đó X 1 X 2 X Y 1 Y 2 Y. Suy ra X 1X = Y 1Y. XX 2 Y Y 2 Suy ra X/(X 1 Y 1 ) = XX 1 = Y Y 1 = Y/(X 1 Y 1 ) hay (XY ) đi qua giao điểm của hai đường X/(X2 Y 2 ) XX 2 Y Y 2 Y/(X2 Y 2 ) tròn cố định (X 1 Y 1 ) và (X 2 Y 2 ). ương tự ( Z) đi qua. Vậy điểm iquel của tứ giác XY Z là điểm cố định. Suy ra chuyển động trên đường thẳng cố định. rên đây là những tìm tòi của tác giả về những vấn đề xung quanh bài 3 VO ạn đọc có thể nhận ra một phương pháp rất hay trong các bài toán chứng minh yếu tố cố định là chọn ra một số vị trí đặc biệt rồi chứng minh điểm cần tìm nằm trên đường đi qua các vị trí đặc biệt đó. ạn đọc cũng có thể phát triển tiếp mô hình và tự tìm ra những bài toán của riêng mình. ài viết xin được dừng lại ở đây. 15

16 ài liệu [1] darij grinberg, nother easy problem [midpoint of projected], os orum. [2] rken, ircle with diameter on the median, os orum. [3] ạp chí oán học và uổi trẻ số 440 tháng 2 năm [4] rần Quang Hùng, Về một bài toán hay trên H. [5] mathlink, angents to cirumcircle meet at the fixed point, os orum. Nguyễn Văn inh, Hà Nội. mail: ovemathforever@gmail.com 16