Định lý Menelaus và tâm đường tròn ngoại tiếp Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Trong bài giảng này, chúng ta sẽ đi sâu vào xem xét và ứng dụng một b

Bản ghi

1 Định lý Menelaus và tâm đường tròn ngoại tiếp Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN Trong bài giảng này, chúng ta sẽ đi sâu vào xem xét và ứng dụng một bài toán cơ bản trong tam giác là các trung trực của ba cạnh đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp và định lý Menelaus, đó là hai vấn đề rất cơ bản phù hợp với nội dung hình học lớp 9, tuy vậy khi kết hợp để ứng dụng chúng ta lại có được những bài toán hay. ài toán 1 (Tâm đường tròn ngoại tiếp). ho tam giác, gọi d a,d b,d c là các đường trung trực của,, thì d a,d b,d c đồng quy tại điểm O, điểm đồng quy tại và O cách đều ba cạnh của tam giác, O được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. ài toán 2. ho tam giác, dựng các tam giác cân,, cân tại đỉnh,, tương ứng, gọi,, trung điểm,,. hứng minh rằng,, đồng quy. ' Hình 1. hứng minh. Theo tính chất tam giác cân dễ thấy,, là trung trực của,, vậy chúng đồng quy tại tâm ngoại tiếp tam giác. ài toán 3. ho tam giác và điểm bất kỳ, các trung trực của,, đôi một cắt nhau tương ứng tại,,. Gọi,, là trung điểm,,. hứng minh rằng,, đồng quy 1

2 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 2 ' Hình 2. hứng minh. Ta chú ý là các tam giác,, cân vậy đường thẳng qua,, lần lượt là các trung trực của,, vậy chúng đồng quy tại tâm ngoại tiếp tam giác. ài toán 4. ho tam giác điểm bất kỳ, gọi a, b, c là đối xứng của qua,,, gọi,, là trung điểm của b c, c a, a b. hứng minh rằng,, đồng quy tại tâm ngoại tiếp tam giác a b c.

3 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 3 c b a Hình 3. hứng minh. Ta cũng chú ý rằng các tam giác b c, c a, a b cân tại,, tương ứng vậy các đường thẳng,, chính là các đường trung trực của tam giác a b c vậy chúng đồng quy. ài toán 5. ho tam giác, gọi,, là trung điểm của,,, gọi a, b, c là điểm đối xứng của qua,,, gọi,, là trung điểm b c, c a, a b. hứng minh rằng,, đồng quy. a b ' c Hình 4. hứng minh. Sử dụng bài toán 3 cho tam giác hoặc ta thấy ngay,, là các trung trực đoạn b c, c a, a b ta thấy ngay điều phải chứng minh.

4 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 4 ài toán 6. ho tam giác, gọi,, là trung điểm của,,, gọi O a,o b,o c là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,,, gọi,, là trung điểmo b O c,o c O a,o a O b. hứng minh rằng,, đồng quy. hứng minh. Gọi N là tâm đường tròn chín điểm của tam giác, ta chú ý rằng O a,ob,o c chính là đối xứng của N qua,, vậy áp dụng bài toán 4 dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. O a N O c O b ' Hình 5. ài toán 7. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi a, b, c là các hình chiếu của lên,,, gọi,, là trung điểm,,, gọi,, là trung điểm của b c, c a, a b. hứng minh rằng,, đồng quy. c ' b a Hình 6. hứng minh. Ta dễ thấy a, b, c chính là đối xứng của qua,,, áp dụng bài toán 3 cho tam giác ta suy ra điều phải chứng minh. ác bài toán trên có vẻ rất đơn giản song đằng sau chúng là những ứng dụng bất ngờ, chúng ta sẽ ứng dụng chúng thông qua một bổ đề cơ bản

5 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 5 ổ đề 7.1 (Định lý Menelaus). ho tam giác và các điểm,, nằm trên các đường thẳng,, tương ứng khi đó nếu,, thẳng hàng thì.. = 1 Nếu.. = 1 luôn có duy nhất một điểm nằm ngoài cạnh tam giác, hoặc cả ba điểm nằm ngoài ba cạnh tam giác thì,, thằng hàng. Hình 7. ' hứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh, nếu,, thẳng hàng thì.. = 1, thật vậy, qua ta kẻ đường thẳng song song với cắt tại, theo định lý Thales ta có =, = vậy ta có.. =.. = 1 Đảo lại nếu các.. = 1, không mất tổng quát giả sử duy nhất nằm ngoài khi đó hoặc, đều thuộc, hoặc, đều không thuộc, khi đó ta gọi giao đường thẳng tại, dễ thấy với vị trí như vậy của, thì cũng không thuộc

6 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 6 ' ' Hình 8... =.. = 1 Vậy suy ra =, do cả và nằm ngoài nên hay,, thẳng hàng, đó là điều phải chứng minh. ổ đề 7.2 (Định lý esargues). ho tam giác và tam giác nếu gọi,, tương ứng là giao của,, với,, chứng minh rằng,, đồng quy khi và chỉ khi,, thẳng hàng.

7 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 7 ' Hình 9. Lời giải bổ đề. hần thuận, giả sử,, giao nhau tại, ta lần lượt áp dụng định lý Menelaus như sau Tam giác với,, thẳng hàng ta có.. = 1. Tam giác với,, thẳng hàng ta có.. = 1. Tam giác với,, thẳng hàng ta có.. = 1. Vậy ta nhân các tỷ số trên với nhau ta được.. = 1 xét tam giác với,, thuộc ba cạnh,, theo định lý Menelaus suy ra,, thẳng hàng. hần đảo, ta sẽ sử dụng phần thuận, giả sử,, thẳng hàng, ta gọi giao tại, ta sẽ chứng minh,, đồng quy bằng cách chỉ ra,, thẳng hàng, thật vậy, xét hai tam giác và có,, đồng quy tại, vậy theo phần thuận giao điểm tương ứng = {}, = {}, = { } thẳng hàng, đó là điều phải chứng minh. Sau đây ta lại đưa ra những ứng dụng hay của bổ đề trên vào các bài toán ta đang xét

8 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 8 ài toán 8. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi,, là trung điểm các cạnh,,, gọi,, là đối xứng của qua,,. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, có một điểm chung nữa khác. Y Z ' X Hình 10. hứng minh. Ta chú ý rằng các đường tròn này đã có một điểm chung là vậy nên để chứng minh chúng có một điểm chung nữa khác ta chỉ cần chứng minh tâm của chúng thẳng hàng. Gọi trung trực của,, cắt nhau tương ứng tạo thành tam giác X,Y,Z, ta thấy rằng giao điểm của YZ,ZX,XY với,, tương ứng chính là các tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, vậy nên theo ổ đề 2 các giao điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi X, Y, Z đồng quy, áp dụng bài toán 2 cho tam giác với các trung trực YZ,ZX,XY thì X, Y, Z đồng quy, ta có điều phải chứng minh. ài toán 9. ho tam giác, gọi,, là trung điểm,,, gọi O a,o b,o c là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác,,. hứng minh rằng giao điểm của trung trực của các đoạn O a,o b,o c với,, tương ứng nằm trên một đường thẳng.

9 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 9 O a N O c O b ' Hình 11. hứng minh. Ta chú ý rằng O a,o b,o c chính là đối xứng của tâm đường tròn chín điểm N của tam giác qua,, giao điểm của trung trực O a,o b,o c với,, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác NO a,no b,no c, theo chứng minh bài toán 7 thì chúng thẳng hàng. Ta hoàn toàn có thể tổng quát bài toán trên như sau và cách giải hoàn toàn tương tự ài toán 10. ho tam giác, gọi,, là trung điểm,,, gọi a, b, c là đối xứng của qua,,. hứng minh rằng giao điểm của trung trực của các đoạn a, b, c với,, tương ứng nằm trên một đường thẳng. ài toán 11. ho tam giác, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, gọi trung trực của O,O,O giao,, tại,,. hứng minh rằng,, thẳng hàng.

10 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 10 ' O a O Hình 12. hứng minh. Ta gọi,, là trung điểm,, và O a,o b,o c là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác,, ta dễ thấy O a là trung điểm O, hay trung trực của O đi qua O a và vuông góc với O. Gọi trung trực của O a giao tại, bằng tính chất đường trung bình dễ thấy là trung điểm mặt khác cũng do tính chất đường trung bình trong tam giác thì cũng đi qua trung điểm hay đi qua, vậy theo định lý Thales ta dễ thấy =. Nếu xác định tương tự ta được, và =, = ta chú ý rằng theo chứng minh bài toán 8 thì,, thẳng hàng vậy theo định lý Menelaus ta suy ra = 1 vậy suy.. ra.. = = 1 hay,, thẳng hàng, cũng theo định lý Menelaus... Ta có ngay một số hệ quả của bài toán 10 như sau ài toán 12. ho tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp O, gọi,, là đối xứng của,, qua,,. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác O,O,O có một điểm chung nữa khác O. ài toán 13. ho tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp O, gọi O a,o b,o c là đối xứng của,, qua,,. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OO a,oo b,oo c có một điểm chung nữa khác O. Sử dụng bài toán 12 ta lại chứng minh được một bài toán giống bài toán 8 ài toán 14. ho tam giác, gọi,, là trung điểm,,, gọi O a,o b,o c là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác,,, gọi N là tâm đường tròn chín điểm của tam giác. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác NO a, NO b, NO c có một điểm chung nữa khác N. ài toán 15. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi,, lần lượt là giao điểm của các đường thẳng qua vuông góc với,, và,, thì,, thẳng hàng.

11 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 11 ' ' Hình 13. hứng minh. Ta gọi,, là trung điểm,,, ta gọi là giao của trung trực của và bằng tính chất đường trung bình dễ thấy là trung điểm mặt khác cũng do tính chất đường trung bình trong tam giác thì cũng đi qua trung điểm hay đi qua, vậy theo định lý Thales ta dễ thấy =. Nếu xác định tương tự ta được, và =, = ta chú ý rằng theo chứng minh bài toán 7 thì,, thẳng hàng vậy theo định lý Menelaus ta suy ra = 1 vậy suy ra.... = = 1 hay,, thẳng.. hàng, cũng theo định lý Menelaus. Nhận xét. Đường thẳng nối,, gọi là cát tuyến trực giao của ứng với tam giác, ta sẽ còn ứng dụng nó trong những bài toán khác. ài toán 16. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi giao đường tròn ngoại tiếp tam giác là tương tự ta có, gọi X,Y,Z là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, thì các đường tròn ngoại tiếp các tam giác X, Y, Z có một điểm chung nữa khác.

12 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 12 X Z Y Hình 14. hứng minh. Trước hết ta dễ thấy trung trực các đoạn,, cắt nhau tương ứng tạix,y,z, gọi,, lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác,,, tương ứng thì ta dễ thấy,, lần lượt thuộc YZ,ZX,XY, mặt khác ta cũng dễ thấy,, cũng tương ứng song song với XY,YZ,ZX (do chúng cùng vuông góc,,). Khi đó ta cũng dễ thấy,, là đối xứng của qua,,, áp dụng bài toán 7 cho tam giác XYZ,,, là trung điểm YZ,ZX,XY, với,, lần lượt là đối xứng của qua,, thì các đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, có một điểm chung nữa khác, ta có điều phải chứng minh. ài toán 17. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi a, b, c là hình chiếu của lên ba cạnh,,, gọi,, là hình chiếu của,, lên a, b, c, gọi X,Y,Z là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, khi đó các đường tròn ngoại tiếp tam giác a X, b Y, c Z có một điểm chung nữa khác. '

13 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 13 Z c b Y a X Hình 15. hứng minh. Ta dễ thấy = 90 nên nằm trên đường tròn đường kính, mặt khác do b, c là hình chiếu của lên, tương ứng nên b, c cũng nằm trên đường tròn đường kính, nói cách khác là giao điểm của a và đường tròn ngoại tiếp tam giác b c, vậy áp dụng bài toán 15 cho tam giác a b c kiểm tra lại các giả thiết tương ứng, ta có ngay điều phải chứng minh. ài toán 18. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi,, là các đường cao của tam giác. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác,, có một điểm chung nữa khác.

14 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 14 Y Z ' X Hình 16. Lời giải. Ta vẫn chú ý rằng các đường tròn này đã có một điểm chung là vậy nên để chứng minh chúng có một điểm chung nữa khác ta chỉ cần chứng minh tâm của chúng thẳng hàng. Gọi,, là trung điểm của,, ta dễ thấy,, lần lượt là trung trực của,,, gọi trung trực của,, cắt nhau tương ứng tạo thành tam giác X,Y,Z, ta thấy rằng giao điểm của YZ,ZX,XY với,, tương ứng chính là các tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác,, vvậy nên theo ổ đề 2 các giao điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi X, Y, Z đồng quy, nhưng theo bài toán 2 thì X, Y, Z đồng quy, ta có điều phải chứng minh. ài toán 19. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi các đường cao,, của tam giác đồng quy tại H. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác H,, có một điểm chung nữa khác.

15 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 15 H Hình 17. hứng minh. Sử dụng bài toán 17 cho tam giác H có các đường cao là H,, và điểm bất kỳ ta có điều phải chứng minh. ài toán 20. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi I a,i b,i c là các tâm đường tròn bàng tiếp tam giác tương ứng. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác I a,i b,i c có một điểm chung nữa khác.

16 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 16 I b I c I a Hình 18. hứng minh. Ta dễ thấy I a,i b,i c là các chân đường cao của tam giác I a I b I c, áp dụng bài toán 17 cho tam giác I a I b I c và điểm bất kỳ, ta có điều phải chứng minh. ài toán 21. ho tam giác và điểm bất kỳ, gọi I b,i c là các tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc, tương ứng, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. hứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác I,I b,i c có một điểm chung nữa khác.

17 Trần Quang Hùng - THT chuyên KHTN 17 I b I c I Hình 19. hứng minh. Ta gọi I a là tâm bàng tiếp góc, dễ thấy I chính là trực tâm tam giác I a I b I c, áp dụng bài toán 19 vào tam giác I a I b I c trực tâm I và điểm bất kỳ, ta có điều phải chứng minh. Lời kết. húng ta đã trải qua một chặng đường nhỏ gồm nhiều bài toán thú vị, ai yêu thích môn hình học thì có thể cảm nhận sâu sắc vẻ đẹp của những bài toán về sau, nếu đọc qua thì các bài toán ban đầu chúng ta thấy chúng hầu như rất dễ nhưng về sau có những bài toán thuộc loại khó, tuy vậy chúng ta đã giải chúng vô cùng đơn giản do chúng được sắp xếp thành một chuỗi liên tiếp và khoa học, vẻ đẹp dường như nằm trong những điều đơn giản nhất đó là lời tác giải muốn nói trong toàn bộ bài viết, do hạn chế trong chương trình hình học THS nên toàn bộ những ứng dụng của các bài toán về ba đường tròn có hai điểm chung không được nhắc tới, nếu độc giả nào biết qua về phép nghịch đảo thì còn có thể thấy được những ứng dụng không ngờ đến của các bài toán đó. Thay cho lời kết xin chúc các bạn thành công trên con đường khám phá hình học.