ĐỀ THI HSG LỚP TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC: 08-09 THỜI GIAN : 80 PHÚT Bài (4 điểm) Cho hàm số y x x + 4 có đồ thị C, đường thẳng ( d ) đi qua ( ;) A và có hệ số góc m Tìm m để ( d ) cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt,, A B C sao cho BC 4 Bài (4 điểm) Giải phương trình Bài (4 điểm) 7 + 9 + + 5 x x x x x x x Cho dãy số ( n) n Tìm giới hạn lim( n) u thỏa mãn u u + u + + u + u n u, n n u n n n Bài 4 (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a Gọi I là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI IH và góc giữa hai mặt phẳng( SAB );( SBC ) bằng 60 ο Tính thể tích khối chóp S ABCđã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SI theo a Bài 5 (4 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện của biểu thức P 7 x+ y 4 x + xy+ 8y x + y Tìm giá trị lớn nhất 8 HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (4 điểm) Cho hàm số y x x + 4 có đồ thị hệ số góc m Tìm m để ( d ) cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt,, +) Phương trình đường thẳng ( d ) : y m( x ) + C, đường thẳng ( d ) đi qua ( ;) A B C sao cho BC 4 A và có +) Phương trình hoành độ giao điểm x x m x x x mx m + 4 ( ) + + + 0 x ( x )( x x m ) 0 g x x x m g x có hai nghiệm, Giả sử 0 0 BC m + x x m + + 4 x x xx m + 4+ 4m+ 8 m Thay m vào Vậy m x x, khi đó B( x ; m( x ) + ); C( x ; m( x ) + ) g( x) x x 0 x ; x (thỏa mãn) Bài (4 điểm) Giải phương trình x 7x + 9x+ ( x )( x + 5 x )( x ) Điều kiện: x 0 x Phương trình đã cho tương đương với ( x 4)( x x ) ( x )( x + 5 x )( x ) ( x )( x )( x x ) ( x )( x 5 x )( x ) + + x 0 x x 4 Dễ thấy x không là nghiệm của phương trình đã cho ( x x )( x + ) ( x )( x + 5 x ) ( ) Với x >, giải phương trình ( ), ta được x x x x + 5 x x + x 4 + 5 x 4 + x + 5 x + f ( x 4) f ( x ) x 4+ x + t + 5t + Xét hàm số f ( t) trên ( ; + ), có f ( t) + > 0; t > t+ t+
Suy ra f ( t ) là hàm số đồng biến trên f t mà f ( x 4) f ( x ) x 4 0 4 9 5 Do đó 4 x + x x x 4 x x x 9x+ 9 0 9+ 5 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 4; x Bài (4 điểm) Cho dãy số Theo giả thiết ta có: u n thỏa mãn u n u + u + + u + u n u, n n n n Tìm giới hạn lim( n) ( ) ( ) ( ) n u n+ u u + u + + u + u n u + u n + n u n u n+ u nu n+ n n+ n n+ n+ n n+ n n n n n n n u u u u n+ n+ n+ n+ n+ n n+ n n n n n n 4 u n+ n+ n n+ n+ 4 4n 4n lim lim 4 n n+ n+ n+ un n un n un Bài 4 (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a Gọi I là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI IH và góc giữa hai mặt phẳng( SAB );( SBC ) bằng 60 ο Tính thể tích khối chóp S ABCđã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SI theo a BH AC AC SBH AC SB SH AC a) Từ giả thiết của bài toán ta có
Kẻ AJ SB IJ SB CJ SB hai đường thẳng AJ vàcj góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCB ) bằng góc giữa Dễ thấy AIJ là tam giác cân tại J, kết hợp với giả thiết góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCB ) bằng 60 ο ta có hai trường hợp sau: TH: AJC 60 AJI 0 ο ο Ta có a 6 ο IJ AItan 60 BJ BI + IJ a IJ BH BIJ BSH SH Mặt khác BJ AC a 4a IB BH Nên ta có a 6 6a SH VS ABC SH S ABC (đvtt) 8 TH: AJC 0 AJI 60 ο ο Ta có IJ tan 0 a ο a AI BJ BI + IJ 6 6 Làm tương tự TH ta có a a SH VS ABC SH S ABC (đvtt) 8 b) Gọi E là trung điểm của BC IE AB Do vậy ta có (, ) (,) (,) d AB SI d AB SIE d B SIE BI IH d B SIE d H SIE Do (,) (,) Kẻ HK IE ( K thuộc IE ) Mặt khác ta lại có SH ( ABC ) nên Kẻ (,) HF SK HF SIE d H SIE HJ SH IE IE SHK SIE SHK SH HK Xét tam giác vuông SHK ta có: + HF HF HK SH SH + HK Mặt khác HK IH HK BE a BE IB 6 - Khi 6 a 6 SH ta có HF a 5
- Khi SH a ta có HF a 9 Bài 5 (4 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện của biểu thức P 7 x+ y 4 x + xy+ 8y x + y Tìm giá trị lớn nhất 8 Ta có: 4 x + xy+ 8y 6x + xy+ 8y 7( x y) + ( x+ 0y) x+ 0y Suy ra: 7( + ) 4 + + 8 7 + 4 ( + 0 ) 4( + ) P x y x xy y x y x y x y 4 8 Mặt khác: x + y x + y + ( x + y ) P Đẳng thức xảy ra ở ( )&( ) khi và chỉ khi 4 x Vậy GTLN P 8 đạt được khi y 7( x y) 0 4 x x y y 8 x + y