Naêm hoïc: 9 www.mathvn.com --
A. SOÁ PHÖÙC. COÄNG, TRÖØ, NHAÂN, CHIA SOÁ PHÖÙC. I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.. Soá phöùc laø moät beåu thöùc daïng a + b, trong ñoù a, b laø caùc soá thöïc vaø soá thoûa maõn =-. Kí heäu = a+ b : ñôn vò aûo, a: phaàn thöïc, b: phaàn aûo. Chuù yù: y M b o = a+ = a ñöôïc goï laø soá thöïc (a Î Ì ) o = + b= b ñöôïc goï laø soá aûo o = + vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo O a x Beåu deãn hình hoïc cuûa soá phöùc: M(a;b) beåu deãn cho soá phöùc Û = a + b. Ha soá phöùc baèng nhau. Cho ha soá phöùc = a+ b vaø ' = a ' + b' vôù a,b,a ', b'î ìa= a ' = ' Ûí îb = b '. Coäng vaø tröø soá phöùc. Cho ha soá phöùc = a+ b vaø ' = a ' + b' vôù a,b,a ', b'î + ' = ( a+ a ') + ( b+ b' ) - = ( a- a ') + ( b- b' ) o Soá ñoá cuûa = a + b laø = a b (a, b Î ) 4. Nhaân ha soá phöùc. Cho ha soá phöùc = a+ b vaø ' = a ' + b' vôù a,b,a ', b'î. ' = ( aa '- bb' ) + ( ab' + a 'b) 5. Soá phöùc leân hôïp cuûa soá phöùc = a + b laø = a- b o = ; + = + ;. =. o laø soá thöïc Û = ; laø soá aûo Û = - 6. Moâñun cuûa soá phöùc = a + b o = a + b = = OM o ³ " ÎC, = Û = o. ' = ', + ' + ' ", ' Î 7. Cha ha soá phöùc. o Soá phöùc nghòch ñaûo cuûa ( ) - ¹ : = www.mathvn.com --
o Thöông cuûa cha cho (¹ ) : ' = - = = ¹, o Vôù, = wû = w. æ ç è ' ö = ø, = II. CAÙC DAÏNG TOAÙN Baø toaùn. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo vaø moâñun cuûa caùc soá phöùc sau: a. ( 4)( ) ( ) () = + - + ; b. = - + - ; c. = + ( ) Gaû. a. = + (- 4)(+ ) = + 4-8= 4-7 Phaàn thöïc a = 4; Phaàn aûo b = - 7; moâñun = 7 5 b. = (- ) - () = + - (- 8) = + Phaàn thöïc a = ; Phaàn aûo b = ; moâñun = 6 c. ( ) = + = + - = - Phaàn thöïc a = ; Phaàn aûo b = ; moâñun = -. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo vaø moâñun cuûa caùc soá phöùc sau: a. (4 ) + ( + ) ( ) - (- ) h. l. ( + ) ( - ) - (+ ) - (- ) (5 + ) b. ( + ) ( ). ( ) 4 5 m. - - - - - + + c. n. - - - - j. ( - ) + + d. o. + (- ) k. - + - - e. ( + ) ( ) p. - 4 ( - 4 )( + ) f. ( ) ( ) + - - g. ( + ) ( ). Tính a. b. c. - m m h. a+ a b. ( ) 4 j. - [ ( 5 - )]. n. ( + ) o. ( ) 4+ p. q. + + ( )(4- ) + www.mathvn.com --
d. e. a+ a a- a + (- )( ) f. ( + )( + 4) g. + + (6 + )(5 + ) k. 5+ 4 4- + + 6 - + l. ( ) ( ) m. ( )( ) r. ( - 4)( + ) + 4- - s. - + (5 ) + t. + - - Baø toaùn. Tính ( ) Gaû. 6 6 6 6 6 5 6 5 6 ( ) = é( ) ù = () =. =.( ) =.(- ) =- ë û Tính. a. + + + +... + 9 b. ( ) ( + ) + (- ) - c. 8 8 Baø toaùn. Tìm caùc soá thöïc x vaø y beát x+ y- + = x- y+ + 4 Gaû. ìx- = x+ ìx= 4 x+ y- + = x- y+ + 4 Û (x- ) + (y+ ) = (x+ ) + (4- y)ûí Ûí îy+ = 4- y îy= Tìm caùc soá thöïc x vaø y beát: a. (x + ) + (y + ) = x (y 4) b. ( x) = + ( y) c. (x - ) + (y + ) = (x + ) (y 5) d. (x + y) + (y + ) = (x + ) (y 4) Baø toaùn 4. Tìm taäp hôïp caùc ñeåm M treân maët phaúng phöùc beåu deãn cho soá phöùc thoûa maõn: a. + = - - ; b. + Gaû. Ñaët = x+ y, kh ñoù: a. + = - - Û x+ y+ = x+ y- - Û x + (y+ ) = x- + (y- ) Û x + (y+ ) = (x- ) + (y- ) Û x+ y- = Vaäy taäp hôïp caùc ñeåm beåu deãn soá phöùc laø ñöôøng thaúng x+ y- = b. + Û x+ y+ Û x+ + y Û (x+ ) + y Û (x+ ) + y www.mathvn.com -4-
Vaäy taäp hôïp caùc ñeåm beåu deãn soá phöùc laø hình troøn (x+ ) + y taâm I(-;) vaø baùn kính baèng Tìm taäp hôïp caùc ñeåm M treân maët phaúng phöùc beåu deãn cho soá phöùc thoûa maõn: a. + + = 4 b. = - + c. = - + 4 - = + d. e. - = a. + = 4 b. - = f. + = g. + = - h. =. = - + 4 j. - ( _ ) = vaø. = 5 k. l. = vaø phaàn aûo cuûa = m. -( - 4) = æ + ö ç è -ø n. = 4 - + o. = p. < q. - = - r. phaàn thöïc cuûa thuoäc ñoïan [;], phaàn aûo cuûa thuoäc ñoaïn [-;] c. + = - 4 d. + = B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI TREÂN TRÖÔØNG SOÁ PHÖÙC I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.. Caên baäc ha cuûa soá phöùc o = coù moät caên baäc ha laø o = a laø soá thöïc döông coù caên baäc laø ± a o = a laø soá thöïc aâm coù caên baäc ha laø ± a. o = x + y laø soá phöùc coù caên baäc laø w = a + b sao cho w ì - = = Û í îxy= b x y a (a, b, x, y Î ). Phöông trình baäc ha A + B + C = (A, B, C laø soá thöïc cho tröôùc, A ¹ ). Tính D= B - 4AC o o D> : Phöông trình coù ha ngheäm phaân beät B, - ± D = A D< : Phöông trình coù ha ngheäm phaân beät B, - ± D = A www.mathvn.com -5-
o = D : Phöông trình coù ngheäm keùp laø B www.mathvn.com -6- = =- A. Phöông trình baäc ha A + B + C = (A, B, C laø soá phöùc cho tröôùc, A ¹ ). Tính D= B - 4AC o ¹ D : Phöông trình coù ha ngheäm phaân beät (d laø caên baäc ha cuûa D ) o = D : Phöông trình coù ngheäm keùp laø B II. CAÙC DAÏNG TOAÙN. Baø toaùn. Tìm caên baäc ha cuûa caùc soá phöùc sau: a. - 4; b. - 4 (NC) Gaû. a. Ha caên baäc ha cuûa - 4 laø ± - 4.=± b. Goï w= x+ y laø caên baäc ha cuûa - 4, ta coù:, = =- A - B±d =, A ìé x =- ( loaï) ì éx= é ìx= 4 ìx - y = ìx - x - 4= êí ìx - y = ïê ï ï ï ïê x = 4 ïëx=- êîy=- í Ûí Ûí Ûíë Ûí Û xy 4 y y ê î =- ï =- ï =- ï ï ìx=- î x î x y y ê ï =- =- í î x ï î x êë îy= Vaäy - 4 coù ha caên baäc ha laø - vaø - +. Tìm caên baäc ha cuûa caùc soá phöùc sau: 8;; - 9; - ; -I; -; ; 4. Tìm caên baäc ha cuûa caùc soá phöùc sau: (NC) - 5+ ; 8+ 6 ; - 56; - + 4 ; +4; 5 Baø toaùn. Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: a. (- )+ 4+ 5= 7- ; b. Gaû. a. b. 5 4- + - = - -8 5 8 (- )+ 4+ 5= 7- Û (- )= - 8Û = = - - + - = 5- Û = + Û = (+ )(4- ) = 5-5 4-4- Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: + - a. = + - + h. 5 = - 4
b. + = c. ( ) + = + d. ( )( + )( + ) = e. ( ) 4 = f. ( 4-5) = + g. ( - ) ( + ) = s. ( + ) ( + 5) = ( + ) t. ( + 4) =( + )( 4 + ) www.mathvn.com -7-. ( ) 5 4- + - = - j. ( + ) ( + 5)= ( + ) k. ( ) + (6 4)= 5 l. ( + 4) + ( )= + 5. m. æ ö ç - = + è ø [( - ) + + ]( + ) = n. Baø toaùn. Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: (NC) a. 7 + + = ; b. - x + x- = Gaû. a. 7 + + = D= b - 4ac=- 47< Phöông trình coù ngheäm phaân beät: - b+ D - + 47. 47 = = =- + a 4 4 4 -b- D -- 47. 47 = = =- - a 4 4 4 b. - x + x- = D ' = b' - ac=- < Phöông trình coù ngheäm phaân beät: x x - b' + D ' -. = = = - a - -b '- D ' --. = = = + a -. Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: a. x -. x+ = h. + = b.. x -. x+ =. 4 + 4 = c. x - x+ = d. x + x + = j. 5 7 + = k. - + 7 = e. x + x + = l. 8 = f. 4 8 = m. + +7 = g. x = n. + = o. + + 5 = p. 8 4 + = q. x + 7 = r. x x + = s. x 5x +7= t. x 4x + = u. + =
. Gaû phöông trình sau treân tröôøng soá phöùc a. 4 5 6 = g. 4 + + + + = b. 4 +7 8 = c. 4 8 h. 5 + 4 + + + + = 9 = d. 4 + 6. 4 - - 7 = - + 5 = - e. 4 + 4 77 = j. + + - = f. 8 4 + 8 = + Baø toaùn 4. Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: (NC) a. x - (+ 4)x+ 5- = ; b. - + - = Gaû. a. x - (+ 4)x+ 5- = D= b - 4ac=- + 4 = ( ) ¹ Goï d laø moät caên baäc ha cuûa D, ta coù d= Do D¹, phöông trình coù ngheäm phaân beät: - b+d + 4+ x= = = + a -b-d + 4 - ( ) x = = = a b. - + - = D ' = b' - ac=- = (- ) ¹ Goï d ' laø moät caên baäc ha cuûa D ', ta coù d ' = - Do D ' ¹, phöông trình coù ngheäm phaân beät: - b ' +d ' + - = = = a -b '-d ' - (- ) = = =- a (NC). Gaû caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: a. x ( )x + 4 = j. b. ( + )( - ) = c. x + ( ) x- - = d. + = e. + (- + ) = f. + ( ) ( + ) = g. + ( ) ( + ) = h. x -( + 8) x+ 4- = www.mathvn.com -8- - 8+ 499- = k. ( ) ( ) + - - 6 + - + = l. ( ) - cosj+ snj + cosj snj =. m. ( ) 4-8 - + 6-6 = 4 n. - 4( - ) + 8-44 = o. ( )x x ( + ) = p. ( + )x ( )x + =
. -( 5-4) - ( 5 ) = q. + 8 + 68 =. Gaû caùc heä phöông trình : a. b. ì = 4+ í î + = 5- ì. =-5-5. í î + =-5+. c. d. ì í + = 5+ î + = 4 - ì u + v + 4uv= í îu + v = e. ìï - = í ïî - = - C. DAÏNG LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA SOÁ PHÖÙC. (NC) I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT.. Daïng löôïng gaùc cuûa soá phöùc. = r(cosj+ sn j ) (r > ) laø daïng löông gaùc cuûa = a + b (a, b Î, ¹ ) o r= a + b laø moâñun cuûa o j laø moät acgumen cuûa thoûa ì a cosj= ï r í ï b sn ïî j= r. Nhaân cha soá phöùc döôù daïng löôïng gaùc. Neáu = r(cosj+ sn j ), ' = r '(cos j+ ' sn j') thì : o. ' = r.r '[cos( j+j ') + sn( j+j ')] r o = [cos( j-j ') + sn( j-j ')] ' r ' * n n. Coâng thöùc Moa-vrô : nî N thì Nhaân xeùt: n (cosj+ sn j ) = cos nj+ sn nj [r(cosj+ sn j )] = r (cos nj+ sn n j ) 4. Caên baäc ha cuûa soá phöùc döôù daïng löôïng gaùc Caên baäc ha cuûa soá phöùc = r(cos j+ snj) (r > ) laø j j j j j j r(cos + sn ) vaø - r(cos + sn ) = r[cos( + p ) + sn( + p )] II. CAÙC DAÏNG TOAÙN. Baø toaùn. Veát daïng löôïng gaùc cuûa caùc soá phöùc sau: a. = - ; b. =--. Gaû. a. = - o Moâ ñun r= a + b = www.mathvn.com -9-
o Goï j laø moät acgumen cuûa ta coù é æ pö æ pöù = ê ç - + ç - 4 4 ú ë è ø è øû Daïng löôïng gaùc cos sn b. =--. o Moâ ñun r= a + b = o Daïng löôïng gaùc Goï j laø moät acgumen cuûa ta coù é æ pö æ pöù = êcosç - + snç - ú ë è ø è øû ì cosj= ï p í Þj=- ï 4 snj=- ïî ì cosj=- ï p í Þj=- ï snj=- ïî. Tìm moät acgumen cuûa moã soá phöùc sau: a. - +. p p d. cos -.sn f. ( -. )( ) 4 4 b. 4 4 p p e. - sn -.cos g. - c.. 8 8. Thöïc heän pheùp tính p p p p a. 5 (cos +.sn ).(cos +.sn ) c. (cos o + sn o )(cos5 o + 6 6 4 4 sn5 o ) (cos 45 +.sn 45 ) b. p p (cos5 +.sn5 ) (cos +.sn ) d.. Veát döôù daïng löôïng gaùc caùc soá phöùc sau: a. - - d. b. + e...( - ) c. ( - )( ) Baø toaùn. Tính: Gaû. ( ) a. (- ) ( + ) 6 ; b. ( + ) a. (- ) ( ) + 6 9 p (cos +.sn f. p ) + g. = snj+. cosj é æ æ pö æ pööù 5é æ 5pö æ 5pöù (- ) = ê ç cosç - + snç - ú = cosç - + snç - = ( - ) =- 4 4 ê ú ë è è ø è øøû ë è ø è øû www.mathvn.com --
6 6 é æ p pöù ( ) ê ç ú ( ) ( ) + = cos + sn =. cosp+ snp = - =- ë è 6 6øû 5 ( ) ( ) Þ - + =- - = ( ). 64 48 ( ) b. ( + ) 9 6 6 é æ p pöù 5æ 5p 5pö ( ) = ê ç cos + sn =. cos + sn = ( ) = 4 4 ú ç ë è øû è ø ( ) 9 é æ p pöù 9æ p pö + = êç cos + sn = cos + sn =-5 6 6 ú ç ë è øû è ø ( ) Þ =- 9 + 6 ( ) Tính : a. [ (cos + sn )] 7 6 b. ( - ) c. d. æ ö ç è-ø æ ç + è ö ø e. f. 9 æ + ö ç è ø æ 5+ ö ç è - ø æ p p ö ç cos - sn ( ) è ø g. 5 7 Baø toaùn. Tìm caên baäc ha cuûa caùc soá phöùc sau: Gaû. a. -- a. =-- ; b. Daïng löôïng gaùc: Ha caên baäc ha cuûa laø - = é æ pö æ pöù = êcosç - + snç - ú ë è ø è øû é æ pö æ pöù æ ö 6 w= êcosç - + snç - ú= - = - = - ë è ø è øû ç è ø h. æ ö ç è- + ø. ( ) 5 j. ( ) 5 ( + ) 49 é æ pö æ pöù æ ö 6 w =- êcosç - + snç - ú=- - =- + =- + ë è ø è øû ç è ø b. - = Daïng löôïng gaùc é æ 7pö æ 7pöù = êcosç - + snç - ú ë è ø è øû 8 k. (cos o + sn o ) 5 vaø www.mathvn.com --
Ha caên baäc ha cuûa laø 4 Tìm caên baäc ha cuûa moã soá phöùc sau : a. + 4. b. 4 + 6 5. c. 6. d. 4 e. ( - ) 6 é æ 7pö æ 7pöù w= êcosç - + snç - 4 4 ú vaø ë è ø è øû 4 é æ 7pö æ 7pöù 4 é æ7pö æ7pöù w =- êcosç - + snç - = cos + sn 4 4 ú ê ç ç 4 4 ú ë è ø è øû ë è ø è øû f. æ ç è + ö ø 4 g. - 4 h. ( -). j. p cos 4 p cos - - k. 4+ 6 5 l. -- 6 p sn 4 p sn www.mathvn.com --