Mục lục Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước

Mục lục Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 3 Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước 3 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 6 3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 6 5 Điểm Thuộc Đồ Thị 0

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Tìm m để hàm số y = 3 3 m + ) + 9 m đạt cực trị tại, thỏa mãn Lời giải Đạo hàm y = 3 6m + ) + 9; = 9m + ) 7 = 9m + 8m 8 m > + 3 Hàm số đã cho có hai cực trị y có hai nghiệm phân biệt > 0 m < 3 Giả sử hàm số đạt cực trị tại,, theo định lý Vi-ét có + = m + ), = 3 Khi đó + ) 4 4 4m + ) 4 3 m Kết hợp ta có m 3; 3 ) + 3; ) Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3 m + ) + 3m m + ) + đạt trị tại các điểm có hoành độ dương Lời giải Đạo hàm y = 3 6m + ) + 3mm + ); = 9m + ) 9mm + ) = 9 > 0, m R Do đó đồ thị hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi : m S > 0 m + ) > 0 P > 0 mm + ) > 0 > m > 0 m > 0 m < Vậy với m > 0 thì đồ thị hàm số đã cho đạt trị tại các điểm có hoành độ dương 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m + có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành = 0 Lời giải Đạo hàm y = 3 6m = 3 m); y = 0 = m Do đó đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi : m 0 m 0 y0)ym) < 0 4m 3) m > 3 < 0 4 Vậy với m > 3 4 thì đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành 4 Tìm m để hàm số y = 3 3m + ) + 6mm + ) + có cực trị đồng thời giá trị cực đại của hàm số lớn hơn Lời giải Đạo hàm y = 6 6m + ) + 6mm + ); = 9m + ) 36mm + ) = 9 > 0, m R = m Do đó hàm số luôn có cực trị với mọi m và y = 0 = m + Bảng biến thiên : 3

Nguyễn Minh Hiếu m m + + y + 0 0 + ym) + y ym + ) Suy ra hàm số đạt cực đại tại = m; y CĐ = ym) = m 3 + 3m + m 0 Do đó hàm số có giá trị cực đại lớn hơn m 3 + 3m + > m m + 3) > 0 m > 3 Vậy với m 3 ) ; + \0} thì hàm số có cực trị đồng thời giá trị cực đại của hàm số lớn hơn 5 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 + 3 + 3mm + ) + có hai điểm cực trị đồng thời khoảng cách giữa chúng bằng 5 = m Lời giải Đạo hàm y = 3 +6+3mm+); = 9+9mm+) = 9m+) ; y = 0 = m + Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m m + m Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm : A m; m 3 3m + ), B m + ; m 3 + 9m + m + 5 ) Ta có AB = m + ; 4m 3 + m + m + 4 ) AB = 4m + ) + 6m + ) 6 Theo giả thiết AB = m = 0 5 m + ) + 4m + ) 6 = 5 m + ) = m = Vậy m = 0 hoặc m = thỏa mãn) 6 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m 3m + có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : y = 0 Lời giải Đạo hàm y = 3 3m; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m > 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm : A m; m m 3m + ), B m; m m 3m + ) Theo giả thiết các điểm cực trị cách đều đường thẳng d nên ta có : d A, d) = d B, d) m + m m + 3m = m m m + 3m m = 3 Vậy với m = 3 thì đồ thị hàm số có hai ực trị cách đều đường thẳng d 7 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3 m + m3 có cực đại, cực tiểu đối ứng nhau qua đường thẳng y = = 0 Lời giải Đạo hàm y = 3 3m; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm A 0; ) m3 và Bm; 0) Ta có AB = m; ) m3 Gọi I trung điểm AB I m; ) 4 m3 Đặt d : y = y = 0 d có vectơ chỉ phương u d = ; ) 4

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Hai điểm A, B đối ứng nhau qua đường thẳng d khi và chỉ khi : AB ud = 0 I d m m3 = 0 m 4 m3 = 0 m = 0 loại) m = ± Với với m = ± thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối ứng nhau qua d 8 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 + 3 m + ) + có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = + 3 một góc 45 0 Lời giải Đạo hàm y = 3 +6 m ; = 9+3m+) = 3m+; y = 3 +)y 3 m+4)+ 3 m+7) Hàm số có cực đại, cực tiểu y có hai nghiệm phân biệt > 0 3m + > 0 m > 4 Khi đó đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm A ; y ), B, y ), trong đó, là nghiệm của y Ta có y = 3 m + 4) + 3 m + 7), y = 3 m + 4) + m + 7) 3 Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d : y = 3 m + 4) + m + 7) 3 Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = ; 3 ) m + 4) và d có vectơ chỉ phương u = ; ) Theo giả thiết góc giữa d và d bằng 45 0 nên ta có : 4 3 m + 4) + 4 9 m + 4) 5 = 4 ) 3 m + 4) = 5 + 49 ) m + 4) m = m = 9 loại) Vậy m = 9 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 m + có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông Lời giải Đạo hàm y = 4 3 4m = 4 m ) = 0 ; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m > 0 m 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại ba điểm : A0; ), B m; m 4), C m; m 4) AB = m; m 4 ), AC = m; m 4) Đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông khi và chỉ khi : AB AC = 0 m + m 8 m = 0 loại) = 0 m = ± Vậy với m = ± thì đồ thị hàm số đã cho có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông 0 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 m + m + m 4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều Lời giải Đạo hàm y = 4 3 4m = 4 m ) = 0 ; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại ba điểm : A 0; m + m 4), B m; m 4 m + m ), C m; m 4 m + m ) Khi đó AB = m; m ) AB = m + m 4 ; BC = m; 0) BC = m Dễ thấy ABC cân tại A nên ABC đều AB = BC m + m 4 = 4m m = 3 3 Vậy với m = 3 3 thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều 5

Nguyễn Minh Hiếu Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 + 4m + 4m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6 = 0 Lời giải Đạo hàm y = 4 + 8m = + 4m); y = 0 = 4m Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m < 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại ba điểm : A 0; 4m ), B m; 4m ), C m; 4m ) Gọi H là trung điểm BC ta có H 0; 4m ) AH = 0; 8m ) AH = 8m Lại có ) BC = 4 m; 0 BC = 4 m Vì tam giác ABC cân tại A nên S ABC = AHBC = 8m 4 m = 6m m Theo giả thiết ta có S ABC = 6 6m m = 6 m = thỏa mãn) Vậy với m = thì đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích 6 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 + 4m 4m có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác nhận điểm H 0; ) làm trực tâm Lời giải Đạo hàm y = 4 3 + 8m = 4 m ) = 0 ; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m > 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho đạt cực trị tại ba điểm : A 0; 4m), B ) ) m; 4m 4m, C m; 4m 4m Suy ra HB = m; 4m 4m + ), AC = m; 4m ) Dễ thấy tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC nhận H làm trực tâm khi và chỉ khi : HB AC = 0 m + 4m 4m 4m + ) = 0 8m 3 8m + m = 0 m = Vậy m = Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 3 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = 3 + 3 3 và parabol y = 4 + Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 + 3 3 = 4 + 3 + + 4 = 0 = Do đó đồ thị hàm số y = 3 + 3 3 cắt parabol y = 4 + tại điểm ; ) 4 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 8 + 7 tiếp úc với đường thẳng y = m 9 Lời giải Đồ thị hàm số tiếp úc với đường thẳng y = m 9 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : 4 8 + 7 = m 9 ) 4 3 6 = m ) Thay ) vào ) ta có 4 8 + 7 = 4 4 6 9 = 4 m = 0 Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y = 4 8 + 7 tiếp úc với đường thẳng y = m 9 5 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m + 3) + 8m 8 tiếp úc với trục hoành 6

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đồ thị hàm số tiếp úc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : 3 3m + 3) + 8m 8 = 0 ) 6 6m + 3) + 8m = 0 ) = 3 Ta có ) m + 3) + 3m = 0 3) m) = 0 = m Với = 3 thay vào ) được 54 7m + 3) + 54m 8 = 0 m = 35 7 m = Với = m thay vào ) được m 3 3m m + 3) + 8m 8 = 0 m = 4 ± 6, Vậy với m = 35 7, m =, m = 4 ± 6 thì đồ thị hàm số đã cho tiếp úc với trục hoành 6 Tìm m để đồ thị hàm số y = m 3 + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : m 3 + 8m = 0 + ) m m + ) + 4m ) = 0 = m m + ) + 4m = 0 Đặt f) = m m + ) + 4m có = m + 4m + Đồ thị hàm số cắt O tại ba điểm phân biệt f) có hai nghiệm phân biệt khác m 0 m 0 m 0 Từ đó ta có > 0 m + 4m + > 0 f ) 0 m + 0 6 < m < Vậy m 6 ; ) \ 0} thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 7 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 + m + 3 cắt đường thẳng y = tại đúng một điểm Lời giải Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 3 + m + 3 = m = 3 + Xét hàm số f) = 3 + trên R\ 0} có f ) = 3 ; f ) = 0 = Bảng biến thiên: 0 + f ) + + 0 + 3 f) Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = tại đúng một điểm khi m > 3 8 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 m + 4 + 4m 6 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 m + 4 + 4m 6 = 0 ) + m) + 8 m ) = 0 = + m) + 8 m = 0 Đặt f) = + m) + 8 m có = m) 48 m) = m + 4m 8 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi f) có hai nghiệm dương phân biệt khác 7

Nguyễn Minh Hiếu > 0 S > 0 Điều này tương đương với P > 0 f) 0 Vậy m + 4 ; 4 ) m + 4m 8 > 0 m > 0 8 m > 0 6 4m 0 + 4 < m < 4 9 Tìm m để đường thẳng y = m + cắt đồ thị hàm số y = 3 + 6 + tại ba điểm phân biệt A0; ), B, C sao cho B là trung điểm AC Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 + 6 + = m + 6 + m ) = 0 = 0 6 + m = 0 Đặt f) = 6 + m có = 9 m Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m + tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều này tương đương với > 0 f0) 0 9 m > 0 m 0 m < 9 m 0 Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m+ tại ba điểm A0; ), B ; m + ), C ; m + ) 0 + = Theo giả thiết B là trung điểm AC nên ta có = m + = m + Lại theo Định lý Vi-ét ta có + = 3, từ đó suy ra = = và = m m = 4 Vậy m = 4 0 Tìm m để đường thẳng d : y = cắt đồ thị hàm số y = m) 3 6m + 9 m) tại ba điểm phân biệt A0; ), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : m) 3 6m + 9 m) = = 0 m) 6m + 9 m) = 0 Đặt f) = m) 6m + 9 m) có = 36m 36 Đồ thị hàm số cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác 0 a 0 m m Điều này tương đương với > 0 36m 36 > 0 m > f0) 0 Khi đó d cắt đồ thị hàm số tại A0; ), B ; ) và C ; ), trong đó + = 6m m, = 9 Ta có BC = ; 0) BC = = 36m + ) 4 = m 4m + 4 36 Lại có do, d) = S OBC = 36m do, d)bc = m 4m + 4 36 Theo giả thiết S OBC = 3 Vậy m = 4 hoặc m = 4 3 36m m 4m + 4 36 = 3 3m 96m + 96 = 0 m = 4 m = 4 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 + 3 + 3 m) + 3 m cắt đường thẳng y = 4 tại ba điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 9 8

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 + 3 + 3 m) + 3 m = 4 3 + 3 + 3 + 7 = m + ) m = + ) + 6 + Xét hàm số f) = + ) + 6 trên 9; + )\ } + Có f 6 ) = + ) + ) ; f ) = 0 = Bảng biến thiên : 9 + f ) 0 + 6 + f) Từ bảng biến thiên ta có < m 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3 + 3 m) + + 3m cắt O tại ba điểm phân biệt có hoành độ,, 3 thỏa mãn điều kiện < < < 3 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : + 3 3 + 3 m) + + 3m = 0 m = 3 3 + 3 + 3 3 Xét hàm số f) = 3 3 + 3 + 3 3 Bảng biến thiên : trên R\} có f ) = 3 6 + 6 4 3 ) ; f ) = 0 = + f ) 0 + + + f) Từ bảng biến thiên ta thấy m > thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = m ) 4 + 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm m ) 4 + 3 = 0 Đặt = t 0, phương trình trở thành m )t t + 3 = 0 ) có = 3m ) = 3 m Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi ) có nghiệm dương phân biệt m 0 a 0 3 m > 0 m > 0 Điều này tương đương với S > 0 P > 0 Vậy với m m > 0 3 m > 0 + m < 3 m > < m < 3 ; 3 ) thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt 4 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 + m m + cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 9

Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 4 + m m + = 0 = = m Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt *) có hai nghiệm phân biệt m = m = Từ đó ta có m < 0 m < ) Vậy với m = hoặc m < thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt 5 Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 3m + 4) + m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 4 3m + 4) + m = 0 ) Đặt = t 0, phương trình ) trở thành t 3m + 4)t + m = 0 ) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ) có hai nghiệm dương phân biệt m > 4 5 m < 4 > 0 5m + 4m + 6 > 0 Điều này tương đương với S > 0 3m + 4 > 0 P > 0 m > 0 m > 4 3 m 0 Khi đó phương trình ) có hai nghiệm t, t t < t ) ) có bốn nghiệm ± t, ± t Phương trình ) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi : t + t = t t + t = t t = 3 t t = 9t Theo định lý Vi-ét có : m > 4 5 m 0 t + t = 3m + 4 t t = m Vậy m = hoặc m = 9 0t = 3m + 4 3m + 4) 9t = 9 m 00 = m m = m = 9 TM) 6 Tìm m để đường thẳng y = + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm = + m m ) + m = 0 Đặt f) = m ) + m có = m ) 4m ) = m 6m + 5 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = + m tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi : > 0 m 6m + 5 > 0 f) 0 m + + m 0 m > 5 m < Vậy m > 5 hoặc m < 7 Tìm m để đường thẳng qua A ; ) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm + thuộc hai nhánh phân biệt Lời giải Đường thẳng đi qua A ; ) với hệ số góc m bất kỳ có phương trình dạng d : y = m + m + Phương trình hoành độ giao điểm = m + m + + m + 3m + m + 3 = 0 Đặt f) = m + 3m + m + 3 có = m m Đồ thị hàm số cắt d tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi : m 0 > 0 f ) 0 m 0 m m > 0 3 0 0 m > m < 0

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Giả sử đồ thị hàm số cắt d tại hai điểm có hoành độ, ta có + = 3, = m + 3 m Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt khi và chỉ khi + ) + ) < 0 + + + < 0 3 + m + 3 m + < 0 3 m < 0 m < 0 Vậy với m < 0 thì đồ thị hàm số cắt d tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt 8 Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = + m luôn cắt đồ thị hàm số y = + 3 + tại hai điểm phân biệt M, N Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm + 3 + = + m + m + ) + m 3 = 0 Đặt f) = + m + ) + m 3 có = m 6m + 5 > 0, m R và f ) = 0, m R Do đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = +m tại hai điểm phân biệt M ; +m), N ; +m) Ta có ] MN = ; ) MN = 5 ) = 5 + ) 4 *) Theo định lý Vi-ét có + = m + MN = m + ) 5 4, = m 3, thay vào *) ta có : ] 4 m 3 5 5 ] = m 6m + 5) = m 3) + 6 0 Dấu bằng ảy ra khi m = 3 Vậy MN đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m = 3 9 Tìm m để đường thẳng y = + m cắt đồ thị hàm số y = + tại hai điểm phân biệt A, B sao + cho tam giác OAB vuông tại O Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm + + = + m + 4 m) + m = 0 Đặt f) = + 4 m) + m có = m + 8 > 0, R và f ) = 0, R Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = +m tại hai điểm A ; + m), B ; + m) Khi đó OA = ; + m), OB = ; + m) Theo giả thiết tam giác OAB vuông tại O nên ta có : OA OB = 0 + + m) + m) = 0 5 m + ) + m = 0 ) Theo Định lý vi-ét ta có + = m 4, = m 5 m) m 4) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán 3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số thay vào ) được : + m = 0 m 7m + 3 = 0 vô nghiệm) 30 Cho hàm số y = 3 3 + có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C) tại điểm có hoành độ = 3 Lời giải Đạo hàm y = 3 6 Gọi điểm tiếp úc là M 3; y 0 ), ta có y 0 = y3) = ; y 3) = 9 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M3; ) là y = 9 3) + y = 9 6 3 Cho hàm số y = 3 có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C) tại điểm có tung độ + y = 3

Nguyễn Minh Hiếu Lời giải Đạo hàm y 4 = + ) Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; 3), ta có y 0 ) = 3 0 3 0 + = 3 0 = 0 y 0) = 4 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M0; 3) là y = 4 3 3 Cho hàm số y = + có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C) tại giao điểm của C) và đường thẳng y = + 6 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm + = = + 6 = 4 Do đó đồ thị C) cắt đường thẳng y = + 6 tại hai điểm M ; 4) và M 4; ) Ta có y 3 = ), suy ra y ) = 3, y 4) = 3 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M ; 4) là y = 3 ) + 4 y = 3 + 0 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M 4; ) là y = 3 4) + y = 3 + 0 3 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là y = 3 + 0 và y = 3 + 0 3 33 Cho hàm số y = 3 + 3m + m + ) + có đồ thị Cm) Tìm m để tiếp tuyến của Cm) tại điểm có hoành độ = đi qua điểm A ; ) Lời giải Ta có: y = 3 + 6m + m + y ) = 4 5m; y ) = m Do đó tiếp tuyến tại điểm có hoành độ = là y = 4 5m) + ) + m Mặt khác tiếp tuyến qua A; ) nên ta có = 4 5m) + m m = 5 8 Vậy m = 5 8 34 Cho hàm số y = 3 + m + ) có đồ thị Cm) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị Cm) tại giao điểm của Cm) với Oy Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8 Lời giải Đồ thị Cm) cắt trục Oy tại M0; m) Ta có y = 3 m y 0) = m tiếp tuyến tại M0; m) là y = m + ) m m Với m = 0, tiếp tuyến không cắt O Với m 0, tiếp tuyến cắt O tại N m ; 0 Khi đó OM = m, ON = m m S OMN = m) OMON = m m) Theo giả thiết ta có S OMN = 8 = 8 m) m = 9 ± 4 5 = 6 m m m = 7 ± 4 3 Vậy m = 9 ± 4 5 hoặc m = 7 ± 4 3 TM) 35 Cho hàm số y = 3 3 9 + có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết tiếp tuyến qua điểm M ; 6) Lời giải Đạo hàm y = 3 6 9 Gọi điểm tiếp úc là A 0 ; y 0 ), ta có y 0 = 3 0 3 0 9 0 + ; y 0 ) = 3 0 6 0 9 Phương trình tiếp tuyến của C) tại A 0 ; y 0 ) là y = 3 0 6 0 9 ) 0 ) + 3 0 3 0 9 0 + Tiếp tuyến đi qua M ; 6) nên ta có 6 = 3 0 6 0 9 ) 0 )+ 3 0 3 0 9 0 = 0+ 0 = Với 0 = ta có phương trình tiếp tuyến y = 9 3 Với 0 = ta có phương trình tiếp tuyến y = 6 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của C) qua M ; 6) là y = 9 3 và y = 6 36 Cho hàm số y = + có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết tiếp tuyến qua điểm A 6; 5)

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đạo hàm y 4 = ) Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có y 0 = 0 + 0 ; 4 y 0 ) = 0 ) 4 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M 0 ; y 0 ) là y = 0 ) 0) + 0 + 0 4 Tiếp tuyến đi qua A 6; 5) nên ta có 5 = 0 ) 6 0) + 0 + 0 0 = 0 0 = 6 Với 0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến y = Với 0 = 6 ta có phương trình tiếp tuyến y = 4 + 7 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của C) qua A 6; 5) là y = và y = 4 + 7 37 Cho hàm số y = có đồ thị C) Tìm những điểm M trên C) sao cho tiếp tuyến với C) + ) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : 4 + y = 0 ) 0 Lời giải Ta có M C) M 0 ; 0 ) y 0 ) = 0 + ) 0 + ) Do đó tiếp tuyến tại M là y = 0 + ) 0) + 0 0 + ) ) Khi đó tiếp tuyến tại M cắt O tại A 0 + 0 + ; 0 và cắt Oy tại B 0; 0 ) 0 0 + ) Gọi G là trọng tâm tam giác OAB ta có G 0 + 0 + ; 0 ) 0 6 6 0 + ) Lại có G thuộc đường thẳng d : 4 + y = 0 nên 4 0 + 0 + + 0 0 6 6 0 + ) = 0 ) Vì A, B O nên 0 0 0, do đó ) 4 + 0 + ) = 0 0 = 0 = 3 Vậy M ) ; 3 hoặc M 3 ; 5 ) 38 Cho hàm số y = + 3 có đồ thị C) Tiếp tuyến tại điểm S bất kỳ của C) cắt hai tiệm cận của + C) tại P và Q Chứng minh S là trung điểm P Q Lời giải Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = và tiệm cận đứng = Lấy S 0 ; ) 0 + 3 C) Ta có: y = 0 + + ) y 0 ) = 0 + ) Phương trình tiếp tuyến của C) tại S là y = 0 + ) 0) + 0 + 3 0 + Tiếp tuyến cắt tiêm cận ngang tại P 0 + ; ) và cắt tiệm cận đứng tại Q ; ) 0 + 5 0 + P + Q = 0 + = 0 = S Ta có + 0 + 5 y P + y Q = 0 + =, do đó S là trung điểm của P Q đpcm) 0 + 3 0 + = y S 39 Cho hàm số y = 3 + có đồ thị C) Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến C) Lời giải Lấy điểm Mm; 4) trên đường thẳng y = 4 Đường thẳng qua Mm; 4) với hệ số góc k bất kỳ có phương trình dạng d : y = k m) 4 Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : 3 + = k m) 4 ) 3 = k ) 3

Nguyễn Minh Hiếu Thay ) vào ) ta có : 3 + = 3 ) m) 4 3 3m + m 6 = 0 ) + 4 3m) + 8 6m) = 0 = + 4 3m) + 8 6m = 0 Đặt f) = + 4 3m) + 8 6m có = 9m + 4m 48 Từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến C) khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác > 0 9m Điều này tương đương với f) 0 m > 4 + 4m 48 > 0 3 4 m 0 m < 4 m ) 4 Vậy m ; 4) 3 ; + \ } 40 Cho hàm số y = + có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 Lời giải Đạo hàm y = 5 ) Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 5 5 0 ) = 5 0 = 0 = 3 Với 0 = y 0 = 3 phương trình tiếp tuyến tại M ; 3) là y = 5 ) 3 y = 5 + Với 0 = 3 y 0 = 7 phương trình tiếp tuyến tại M 3; 7) là y = 5 3) + 7 y = 5 + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 5 + và y = 5 + 4 Cho hàm số y = + 3 có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ Lời giải Đạo hàm y 5 = ) Tiếp tuyến cần tìm song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai nên có hệ số góc k = Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 5 0 ) = 0 = ± 5 Với 0 = + 5 Với 0 = 5 5 y 0 = tiếp tuyến tại M y 0 = 5 tiếp tuyến tại M + 5 ; Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = + 5 và y = 5 ) 5 là y = + 5 ) 5 ; 5 là y = 5 4 Cho hàm số y = 4 + 6 có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 6y + 5 = 0 Lời giải Đạo hàm y = 4 3 Tiếp tuyến vuông góc với d : 6y + 5 = 0 y = 6 + 5 nên có hệ số góc k = 6 6 Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 6 4 3 0 0 = 6 0 = Với 0 = y 0 = 4 phương trình tiếp tuyến của C) tại M ; 4) là y = 6 + 0 Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 6 + 0 43 Cho hàm số y = có đồ thị C) Lập phương trình tiếp tuyến của C), biết tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân 4

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng = và tiệm cận ngang y = Do đó tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tạo thành tam giác cân khi hệ số góc k = ± Hơn nữa y = < 0, R\} nên k = ) Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 0 ) = 0 = 0 0 = Với 0 = 0 y 0 = 0 phương trình tiếp tuyến tại M 0; 0) là y = Với 0 = y 0 = phương trình tiếp tuyến tại M ; ) là y = + 4 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = và y = + 4 44 Cho hàm số y = 3 + 3 + m + có đồ thị C m ) Tìm m để Cm) cắt đường thẳng y = tại ba điểm phân biệt C 0; ), D, E sao cho các tiếp tuyến với Cm) tại D và E vuông góc với nhau = 0 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 3 + 3 + m + = + 3 + m = 0 Đặt f) = + 3 + m có = 9 4m Đường thẳng y = cắt Cm) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có nghiệm phân biệt khác 0 > 0 9 4m > 0 Điều này tương đương với f0) 0 m < 9 m 0 4 m 0 Khi đó Cm) cắt đường thẳng y = tại ba điểm C0; ), D ; ), E ; ) Lại có y = 3 + 6 + m, do đó tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau khi và chỉ khi : y )y ) = 3 + 6 + m ) 3 + 6 + m ) = ) Hay 9 ) + 8 + ) + 3m + ) + 36 + 6m + ) + m + = 0 ) Lại có + = 3, = m thay vào ) được : 9m 54m + 3m9 m) + 36m 8m + m + = 0 m = 9 ± 65 8 thỏa mãn) Vậy m = 9 ± 65 8 45 Cho hàm số y = + 3 có đồ thị C) Tìm m để đường thẳng d : y = + m cắt C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của C) tại A, B song song với nhau Lời giải Đạo hàm y 7 = ) Phương trình hoành độ giao điểm + 3 = + m + m 6) m 3 = 0 Đặt f) = + m 6) m 3 Ta có = m 6) + 8m + 3) = m + 4m + 60 > 0, m R và f) = 0, m R Do đó d luôn cắt C) tại hai điểm phân biệt A ; y ) và B ; y ) ) Tiếp tuyến tại A và B song song khi và chỉ khi : y ) = y 7 ) ) = 7 ) ) = ) = loại) + = 4 Theo vi-ét có + = m 6 m 6 = 4 m = Vậy với m = thì d cắt C) tại hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến của C) tại A, B song song 5

Nguyễn Minh Hiếu 4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 46 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 3 m = 0 Lời giải Ta có 3 3 m = 0 3 3 = m y O 3 U 5 Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị C) và đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có : m > 0: Phương trình có nghiệm m = 0: Phương trình có nghiệm 4 < m < 0: Phương trình có 3 nghiệm m = 4: Phương trình có nghiệm m < 4: Phương trình có nghiệm 47 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 3 + Tìm m để phương trình 4 3 6 m = 0 có ba nghiệm phân biệt Lời giải Ta có 4 3 6 m = 0 3 3 + = m + y O U Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C) và đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 0 < m Vậy với < m < 0 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt + < < m < 0 48 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 4 + + 3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 + m = 0 Lời giải Ta có 4 + m = 0 4 + + 3 = m + 6

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số y 4 3 O Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C) và đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị ta có: m > : Phương trình vô nghiệm m = : Phương trình có nghiệm < m < : Phương trình có 4 nghiệm m = : Phương trình có 3 nghiệm m < : Phương trình có nghiệm 49 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 4 4 + 3 Tìm m để phương trình 4 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt Lời giải Ta có 4 + m = 0 4 4 + 3 = 3 m y 3 O Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C) và đường thẳng y = 3 m Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt < 3 m < 3 0 < m < Vậy với 0 < m < thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 50 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 + 3 Tìm m để phương trình 3 3 + m + ) = 0 có đúng bốn nghiệm Lời giải Ta có 3 3 + m + ) = 0 3 + 3 = m y O 7

Nguyễn Minh Hiếu Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C) và đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm < m < < m < Vậy với m ; ) thì phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 3 Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 3 3 + m ) = 0 Lời giải Ta có 3 3 + m ) = 0 3 3 = m ) Từ đồ thị C), bỏ phần đồ thị bên trái Oy, sau đó đối ứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy ta được đồ thị C ) của hàm số y = 3 3 y O 3 Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C ) và đường thẳng y = m ) Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt m ) = m = Vậy với m = thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 3 + 4 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt 3 3 m = 0 Lời giải Hàm số đã cho viết thành y = ) 3 3 ) + Ta có 3 3 m = 0 3 3 + = m + Từ đồ thị C), bỏ phần đồ thị bên trái đường thẳng d : =, sau đó đối ứng phần đồ thị bên phải d qua d ta được đồ thị C ) của hàm số y = 3 3 + y O Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C ) và đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 0 < m + < < m < 0 Vậy với mọi m ; 0) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 53 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 3 + Tìm m để phương trình 3 3 + m + m = 0 có ba nghiệm phân biệt 8

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Lời giải Ta có 3 3 + m + m = 0 3 3 + = m m Từ đồ thị đã vẽ, đối ứng phần đồ thị bên dưới O qua O, sau đó bỏ phần đồ thị bên dưới O, ta được đồ thị C ) của hàm số y = 3 3 + y 3 O Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C ) và đường thẳng y = m m m = m Dựa vào đồ thị, phương trình có ba nghiệm phân biệt m = 3 m m = 0 m = 3 m = 0 m = Vậy với m ; 0; ; 3 } thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt 54 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 4 4 + 3 Tìm m để phương trình 4 4 3 + 3 = m có đúng tám nghiệm Lời giải Từ đồ thị C), đối ứng phần đồ thị bên dưới O qua O, sau đó bỏ phần đồ thị bên dưới O, ta được đồ thị C ) của hàm số y = 4 4 + 3 ẏ 3 O Dựa vào đồ thị, phương trình có tám nghiệm phân biệt 0 < m < Vậy với m 0; ) thì phương trình đã cho có tám nghiệm phân biệt 55 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 3 + 3 4 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình + ) = m Lời giải Ta có + ) = m + ) = m 3 + 3 4 = m Từ đồ thị C), đối ứng phần đồ thị bên dưới O qua O, sau đó bỏ phần đồ thị bên dưới O ta được đồ thị C ) của hàm số y = 3 + 3 4 9

Nguyễn Minh Hiếu y 4 O Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C ) và đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có: m > 4: Phương trình có nghiệm m = 4: Phương trình có 3 nghiệm 0 < m < 4: Phương trình có 4 nghiệm m = 0: Phương trình có một nghiệm m < 0: Phương trình vô nghiệm 5 Điểm Thuộc Đồ Thị 56 Tìm m để đồ thị hàm số y = m Lời giải Đồ thị hàm số y = m qua điểm A ; 6) qua điểm A ; 6) 6 = m m = ± 57 Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số C) : y = 3 6 + 9 là tâm đối ứng của nó Lời giải Ta có y = 3 + 9; y = 6 ; y = 0 = y = Do đó đồ thị C) có điểm uốn U; ) Thực hiện phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OU = X + Công thức chuyển hệ tọa độ là y = Y + Phương trình đường cong C) trong hệ tọa độ mới UXY là Y + = X + ) 3 6X + ) + 9 X + ) Y = X 3 3X Vì Y = X 3X là hàm số lẻ nên đồ thị C) nhận gốc tọa độ mới U làm tâm đối ứng 58 Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 m + 3 nhận I ; 0) làm điểm uốn Lời giải Ta có y = 3 m + 6; y = 6 m + 6; y = 0 = m y = m m = Đồ thị hàm số nhận I; 0) làm điểm uốn 0 = m m = Vậy với m = thì đồ thị hàm số nhận I; 0) làm điểm uốn 59 Tìm trên đồ thị hàm số y = các điểm có tọa độ nguyên Lời giải Hàm số viết thành y = + Gọi M 0 ; y 0 ) là điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên ta có : 0 Z y 0 Z 0 Z + 0 Z 0 0 Z 0 Z

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 0 = Hay 0 là ước của 0 = ± 0 = 0 Vậy trên đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên là M 0; ) và M ; 3) 60 Tìm trên đồ thị hàm số y = + 3 Lời giải Hàm số viết thành y = + + Gọi M 0 ; y 0 ) là điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên ta có : 0 Z y 0 Z 0 Z 0 + + 0 Z các điểm có toạ độ nguyên 0 = Hay 0 là ước của 0 = ± 0 = 0 Vậy trên đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên là M 0; ) và M ; ) 0 Z 0 Z 6 Tìm điểm cố định của họ đường cong Cm) : y = 3 + m ) + m 4m + ) m + ) Lời giải Biến đổi hàm số ta có ) m + 4 ) m + 3 + y = 0 Giả sử M 0 ; y 0 ) là điểm cố định của họ Cm), ta có : 0 ) m + 0 4 0 ) m + 3 0 0 + 0 y 0 = 0, m R 0 = 0 Điều này tương đương với 0 4 0 = 0 3 0 0 + 0 y 0 Vậy điểm cố định của hộ Cm) là M; 0) 6 Tìm trên đồ thị hàm số y = 3 + Lời giải Gọi hai điểm cần tìm là A, B Giả sử A 0 ; 3 ) 0 + B 0 Vì B thuộc đồ thị hàm số nên ta có : 0 = y 0 = 0 hai điểm đối ứng nhau qua M ; ) 4 0 ; 3 0 + 0 ), 0 ± 3 0 + 0 = 3 4 0) + 8 0 + 3 0 40 = 0 4 0 0 = 0 = 5 thỏa mãn) Vậy hai điểm cần tìm là ; 4) và 5; ) 63 Cho hàm số y = + có đồ thị C) Tìm trên C) hai điểm phân biệt A, B đối ứng nhau qua đường thẳng d : + y 3 = 0 Lời giải Đường thẳng vuông góc d có phương trình dạng : y + m = 0 y = + m Phương trình hoành độ giao điểm của và C) là : + = + m + m ) m = 0 Đặt f) = + m ) m có = m + 8 > 0, m R và f) = 0, m R Do đó luôn cắt C) tại hai điểm phân biệt A ; + m), B ; + m), trong đó + = m + Gọi I trung điểm AB I = ; ) + m + m = ; + m ) Khi đó A, B đối ứng qua d I d m + + m 3 = 0 m = 0 Vậy A + ; + ), B ; ) hoặc A ; ), B + ; + )

Nguyễn Minh Hiếu 64 Tìm trên đồ thị hàm số y = những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng + d : 3 + 4y = 0 bằng ) 0 Lời giải Lấy điểm M 0 ;, 0, thuộc đồ thị hàm số ta có : 0 + 0 = 3 0 + 4 0 0 + d M, ) = = 3 3 + 4 0 + 7 0 = 5 0 + Vậy có bốn điểm cần tìm là M ; ), M 5 3 ; 5 ), M 3,4 0 = 5 3 0 = 6 ± 6 3 6 ± 6 ; 43 3 6 3 5 65 Cho hàm số y = 4 + có đồ thị C) Tìm trên C) các điểm cách đều hai trục tọa độ + Lời giải Lấy điểm M 0 ; 4 ) 0 +, 0, trên C) 0 + Điểm M cách đều hai trục tọa độ khi và chỉ khi : 0 = 4 0 + 0 + 0 + 0 = 4 0 + Vậy có bốn điểm cần tìm là M, 0 3 0 = 0 0 + 5 0 + = 0 3 ± 3 ; 3 ± ) 3, M 3,4 ) 0 = 3 ± 3 0 = 5 ± 5 ± ; 5 66 Cho hàm số y = + Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất Lời giải Ta có y = +, do đó đồ thị hàm số có tiệm cận dứng = và tiệm cận iên y = Giao điểm của hai tiệm cận là I; ) Lấy M 0 ; 0 + ) ta có IM = 0 ; 0 + ) 0 0 ) Suy ra IM = 0 ) + 0 + 0 = 0 ) + 0 ) + + Dấu bằng ảy ra khi 0 + ) = 0 ) 0 = ± 4 Vậy IM đạt giá trị nhỏ nhất bằng + khi M ± 4 ; ± 4 ± 4 ) 67 Cho hàm số y = 3 5 có đồ thị C) Tìm điểm M trên C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3 và tiệm cận đứng = Lấy điểm M 0 ; 3 ) 0 5 C), 0, ta có : 0 d M, TCĐ) + d M, TCN) = 0 + 3 0 5 0 3 = 0 + 0 Dấu bằng ảy ra khi 0 = 0 0 = 3 0 = Vậy d M, TCĐ) + d M, TCN) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M3; 4) và M; ) )

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 68 Cho hàm số y = có đồ thị C) Tìm điểm M trên C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục + toạ độ là nhỏ nhất Lời giải Giả sử M 0 ; ) 0 C), 0 là điểm cần tìm 0 + Ta có d M, O) + d M, Oy) = 0 + 0 0 + Lấy A0; ) C), ta có d A, O) + d A, Oy) =, suy ra d M, O) + d M, Oy) 0 Do đó ta có 0 < 0 + 0 0 0 + 0 0 Với 0 0, ta có : d M, O) + d M, Oy) = 0 + 0 0 + = 0 + + 0 + 0 + 0 + = 0 0 Dấu bằng ảy ra khi và chỉ khi 0 + = 0 = 0 + Vậy d M, O) + d M, Oy) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M ; ) 69 Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y = có khoảng cách bé nhất Lời giải Lấy M ; ), < và M ; ), > là hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị Ta có M M = ; ) ) = ; ) ) Do đó ta có : ] M M ) = ) + ) ) ] = + ) + ) ) ] 4 ) ) + ) ) ] = 4 ) ) + ) ) 8 = Dấu bằng ảy ra khi và chỉ khi ) ) = ) ) Vậy M M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi M 0; ) và M ; 0) CÁC BÀI TOÁN THI = = 0 70 A-04) Cho hàm số y = + có đồ thị C) Tìm tọa độ điểm M thuộc C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = bằng Lời giải Ta có M C) nên có tọa độ dạng M 0 ; ) 0 +, 0 ) 0 0 + 0 + 0 Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = là d = 3

Nguyễn Minh Hiếu Mặt khác theo giả thiết d = nên ta có : 0 + 0 + 0 = 0 + = 0 0 0 + 4 = 0 vô nghiệm) 0 + 0 = 0 0 = 0 0 = Vậy có hai điểm M cần tìm là M 0; ) và M ; 0) 7 B-04) Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m + có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, biết A; 3) Lời giải Đạo hàm y = 3 3m = 3 m ) ; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m > 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị B m; m m + ), C m; m m + ) Ta có BC = m; 4m m); gọi I trung điểm BC, ta có I0; ) AI = ; ) Tam giác ABC cân tại A AI BC = 0 4 m + 8m m = 0 m = 0 loại) m = Vậy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 7 D-04) Cho hàm số y = 3 3 có đồ thị C) Tìm tọa độ điểm M thuộc C) sao cho tiếp tuyến của C) tại M có hệ số góc bằng 9 Lời giải Đạo hàm y = 3 3 Ta có M C) nên có tọa độ dạng M 0 ; 3 0 3 0 ) Tiếp tuyến của C) tại M có hệ số góc bằng 9 y 0 ) = 9 3 0 3 = 9 0 = ± Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M ; 0) và M ; 4) 73 CĐ-04) Cho hàm số y = 3 + 3 có đồ thị C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C) tại điểm thuộc C) có hoành độ = Lời giải Đạo hàm y = 3 + 6 Gọi điểm tiếp úc là M ; y 0 ), ta có y 0 = ; y ) = 3 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M; ) là y = 3 ) + y = 3 74 A-03) Tìm m để hàm số y = 3 + 3 + 3m nghịch biến trên khoảng 0; + ) Lời giải Đạo hàm y = 3 + 6 + 3m Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; + ) y 0, 0; + ) Hay 3 + 6 + 3m 0, 0; + ) m, 0; + ) Xét f) = trên 0; + ) có f ) = ; f ) = 0 = Bảng biến thiên : 0 + f ) 0 + 0 f) Từ bảng biến thiên ta có m thì hàm số đã cho nghịch biến trên 0; + ) 75 B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m + ) + 6m có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = + = Lời giải Đạo hàm y = 6 6m + ) + 6m; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A; 3m ), B m; m 3 + 3m ) 4 +

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Suy ra AB = m ; m ) 3 ) Đường thẳng y = + có vectơ chỉ phương u = ; ) Đường thẳng AB vương góc với đường thẳng y = + khi và chỉ khi : Vậy m = hoặc m = AB u = 0 m m ) 3 = 0 m = loại) m = 0 m = 76 D-03) Tìm m để đường thẳng y = + cắt đồ thị hàm số y = 3 3m + m ) + tại ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 3m + m ) + = + = 0 3m + m = 0 Đặt f) = 3m + m có = 9m 8m Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = + tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều này tương đương với Vậy m < 0 hoặc m > 8 9 > 0 f0) 0 9m 8m > 0 m 0 m < 0 m > 8 9 77 CĐ-03) Cho hàm số y = + có đồ thị C) Gọi M là điểm thuộc C) có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của C) tại M cắt các trục O và Oy lần lượt tại A và B Tính diện tích tam giác OAB Lời giải Đạo hàm y 3 = ) Giả sử M 0 ; 5), 0 ), ta có 0 + 0 = 5 0 = y ) = 3 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M; 5) là) y = 3 ) + 5 y = 3 + Tiếp tuyến của C) tại M cắt O tại A 3 ; 0 và cắt Oy tại B0; ) Do đó diện tích tam giác OAB là S OAB = OAOB = = 3 6 78 A-0) Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 m + ) + m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông = 0 Lời giải Đạo hàm y = 4 3 4m + ); y = 0 = m + Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m > Khi đó đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị : A 0; m ), B m + ; m ), C m + ; m ) Ta có AB = m + ; m + ) ) ; AC = m + ; m + ) ) Dễ thấy tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi : AB AC = 0 m + ) 4 m + ) = 0 m = 0 Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông 79 B-0) Tìm m để đồ thị hàm số y = 3 3m + 3m 3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 5

Nguyễn Minh Hiếu = 0 Lời giải Đạo hàm y = 3 6m; y = 0 = m Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt m 0 Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A 0; 3m 3), B m; m 3) Suy ra OA = 3 m 3, db, OA) = m S OAB = OAdB, OA) = 3m4 Lại có S OAB = 48 3m 4 = 48 m = ± thỏa mãn) Vậy m = ± 80 D-0) Tìm m để hàm số y = 3 3 m 3m ) + 3 có hai điểm cực trị và sao cho + + ) = Lời giải Đạo hàm y = m 3m ); = m + 43m ) = 3m 4 Hàm số có hai cực trị y có hai nghiệm phân biệt > 0 3m 4 > 0 Giả sử hàm số đạt cực trị tại,, theo định lý Vi-ét có + = m, = 3m m = 0 loại) Theo giả thiết + + ) = 3m + m = m = 3 Vậy m = 3 m > 3 m < 3 8 CĐ-0) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = + 3, biết d vuông góc với đường + thẳng y = + Lời giải Đạo hàm y = + ) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng y = + nên có hệ số góc k = Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = y 0 ) = 0 + ) = Với 0 = 0 y 0 = 3 phương trình tiếp tuyến tại M 0; 3) là y = + 3 Với 0 = y 0 = phương trình tiếp tuyến tại M ; ) là y = Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = + 3 và y = 0 = 0 0 = 8 A-0) Cho hàm số y = + có đồ thị C) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = +m luôn cắt đồ thị C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k, k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C) tại A và B Tìm m để tổng k + k đạt giá trị lớn nhất Lời giải Đạo hàm y = ) Phương trình hoành độ giao điểm + = + m + m m = 0 ) Đặt f) = + m m có = m + m + > 0, m R và f = 0, m R Do đó đồ thị C) luôn cắt đường thẳng y = + m tại hai điểm phân biệt A ; + m), B ; + m) Khi đó k + k = ) ) = 4 + ) 8 4 + ) + 4 + ) + ) ) Theo định lý Vi-ét có + = m, = m + thay vào ) được : k + k = 4m + 4 m + ) + 4m + m + ) + m + ) = 4m + ) Vậy k + k đạt giá trị lớn nhất bằng khi m = 6

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số 83 B-0) Tìm m để đồ thị hàm số y = 4 m + ) +m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung = 0 Lời giải Đạo hàm y = 4 3 4m + ); y = 0 = m + Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị y có ba nghiệm phân biệt m > Khi đó đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị : A 0; m), B m + ; m m ), C m + ; m m ) Suy ra OA = m ; BC = m + ; 0 ) BC = m + Theo giả thiết ta có OA = BC m = 4m + ) ± thỏa mãn) Vậy m = ± 84 D-0) Tìm k để đường thẳng y = k + k + cắt đồ thị hàm số y = + tại hai điểm phân + biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm + = k + k + + k + 3k ) + k = 0 Đặt f) = k + 3k ) + k có = k 6k + Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = k + k + tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác k 0 k 0 k Điều này tương đương với > 0 k 0 6k + > 0 k > 3 + f ) 0 0 k < 3 Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = k+k+ tại hai điểm A ; k +k+), B ; k +k+) Theo giả thiết ta có : Vậy k = 3 d A, O) = d B, O) k + k + = k + k + k + k + = k + k + k + k + = k k = loại) k + ) + 4k + = 0 k 3k + 4k + = 0 k k = 3 thỏa mãn) 85 CĐ-0) Cho hàm số y = 3 3 + 3 + có đồ thị C) Viết phương trình tiếp tuyến của C) tại giao điểm của C) với trục tung Lời giải Giao điểm của C) với trục tung là M0; ) Đạo hàm y = + 4 3 y 0) = 3 Phương trình tiếp tuyến của C) tại M0; ) là y = 3 + 86 A-00) Tìm m để hàm số y = 3 + m) + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ,, 3 thoả mãn điều kiện + + 3 < 4 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 3 + m) + m = 0 ) m ) = 0 = m = 0 Đặt f) = m có = + 4m Đồ thị hàm số cắt O tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi f) có hai nghiệm phân biệt khác 7

Nguyễn Minh Hiếu > 0 f) 0 + 4m > 0 m 0 Điều này tương đương với m > 4 m 0 Khi đó đồ thị hàm số cắt O tại ba điểm phân biệt có hoành độ,, 3 Giả sử 3 =, là hai nghiệm của f) do đó + =, = m Theo giả thiết + + 3 < 4 + ) < 3 + m < 3 m < Kết hợp ta có m 4 ; ) \ 0} 87 B-00) Tìm m để đường thẳng y = + m cắt đồ thị hàm số y = + tại hai điểm phân biệt + A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3, O là gốc tọa độ Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : + + = + m + 4 m) + m = 0 Đặt f) = + 4 m) + m có = m + 8 > 0, m R và f ) = 0, m R Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = +m tại hai điểm A ; +m), B ; +m) Ta có do, AB) = m và AB = ; ) AB = 5 + ) 4 ] = 5m 5 + 8) Theo giả thiết S OAB = 3 4 m m + 8 = 3 m = ± Vậy m = ± 88 D-00) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 6 + Lời giải Đạo hàm y = 4 3 Tiếp tuyến vuông góc với y = + nên có hệ số góc k = 6 6 Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 6 4 3 0 0 = 6 0 = Với 0 = y 0 = 4 phương trình tiếp tuyến của C) tại M ; 4) là y = 6 + 0 Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 6 + 0 89 CĐ-00) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3 + 3 tại điểm có hoành độ bằng Lời giải Đạo hàm y = 3 + 6 Gọi điểm tiếp úc là M ; y 0 ), ta có y 0 = ; y ) = 3 Phương trình tiếp tuyến tại M ; ) là y = 3 + ) + y = 3 + 90 A-009) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = +, biết tiếp tuyến đó cắt trục + 3 hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O Lời giải Đạo hàm y = + 3) > 0, 3 Tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tạo thành tam giác cân nên có hệ số góc k = Gọi điểm tiếp úc là M 0 ; y 0 ), ta có k = 0 + 3) = 0 = 0 = Với 0 = y 0 = 0 phương trình tiếp tuyến tại M ; 0) là y = Với 0 = y 0 = phương trình tiếp tuyến tại M ; ) là y = loại vì đi qua O) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 B-009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số y = 4 4 Với các giá trị nào của m, phương trình = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt Lời giải Ta có = m 4 4 = m Từ đồ thị C), đối ứng phần đồ thị bên dưới O qua O, sau đó bỏ phần đồ thị bên dưới O, ta được đồ thị C ) của hàm số y = 4 4 Số nghiệm phương trình đã cho là số giao điểm của C ) và đường thẳng y = m 8

Chuyên đề Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số y O Dựa vào đồ thị, phương trình có sáu nghiệm phân biệt 0 < m < 0 < m < Vậy với m 0; ) thì phương trình đã cho có sáu nghiệm phân biệt 9 B-009) Tìm m để đường thẳng y = + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 0 = + m m = 0 Đặt f) = m có = m + 8 > 0, m R và f0) = 0, m R Do đó đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = + m tại hai điểm A ; + m), B ; + m) Ta có ] AB = ; ) AB = ) = + ) 4 *) ) m Theo định lý Vi-ét có + = m, = thay vào *) được AB = m 4 + = + 4 Lại theo giả thiết có AB = 4 m + 4 = 6 m = ± 6 Vậy m = ± 6 93 D-009) Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số 4 3m + ) + 3m tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm 4 3m + ) + 3m = = = 3m + ) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn khi và chỉ khi phương trình ) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn và khác 0 < 3m + < 4 Điều này tương đương với 3m + 3 < m < m 0 Vậy m 3 ) ; \0} 94 CĐ-009) Tìm m để hàm số y = 3 m ) + m) + có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương Lời giải Đạo hàm y = 3 m ) + m; = m ) 3 m) = 4m + m 5 Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương khi và chỉ khi : 4m > 0 m 5 > 0 m < m ) m > 5 S > 0 > 0 4 3 P > 0 m m > 5 4 < m < > 0 3 m < Vậy 5 4 < m < 9