ỨG ỤG Ủ ỘT ÀI TÁ Ì Ọ guyễn Văn inh, lớp 112 Toán, Khối TT chuyên ĐKT-ĐQG à ội huyên mục: Tìm hiểu sâu thêm toán học sơ cấp Trước tiên để tiện theo dõi, trong chuyên đề này ta kí hiệu đường tròn đường kính XY là (XY ). Trong hình học có nhiều bài toán tuy đơn giản nhưng lại là chìa khóa để giải những bài toán lớn, tạo nên lời giải ngắn gọn và sáng tạo. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu tới bạn đọc một vài ứng dụng đặc sắc của bài toán sau: ài toán 1: ho tam giác nội tiếp (). ột đường thẳng bất kì đi qua cắt, lần lượt tại,. hứng minh rằng (), (), () đồng quy. K Gọi K, lần lượt là điểm đối xứng của, qua. cắt () lần thứ hai tại. Áp dụng định lý ascal cho 6 điểm,,,,, K ta có giao điểm của và, K và, K và thẳng hàng. à,, thẳng hàng nên là giao điểm của K và. o K, là đường kính của () nên K = Ĉ = 90 o, hay (), (), () đồng quy tại. Ta có đpcm. Sau đây là một vài ứng dụng của bài toán 1. ài toán 2: Với các kí hiệu như bài toán 1, chứng minh rằng (), () và đường tròn uler của tam giác đồng quy. Trước tiên ta giới thiệu và chứng minh một bổ đề: ổ đề: ho tam giác nội tiếp () với trực tâm. là chân đường vuông góc hạ từ xuống. là điểm bất kì nằm trên ().Q là điểm trên sao cho.q =.. Khi đó Q thuộc đường tròn uler của tam giác. 1
' Q K ' ' Gọi,, lần lượt là trung điểm,,. () = {, }. Ta có. = 2. = 2.Q =.K. K = 2Q. Xét phép vị tự V 1 2 :,,. o đó V 1 2 : () ( ). à V 1 2 : K Q, K () nên Q ( ). Vậy Q nằm trên đường tròn uler của tam giác. Trở lại bài toán: ' ' Gọi là trực tâm tam giác,, là các đường cao. Gọi là giao điểm thứ hai của () và (). Ta có (), ().. =. nên thuộc trục đẳng phương của () và (), hay. Suy ra. =.. Áp dụng bổ đề trên ta thu được nằm trên đường tròn uler của tam giác. hận xét: Thực chất bài toán 2 là trường hợp đặc biệt của một định lý rất đẹp trong hình học mang tên ontené. o khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi chỉ xin nêu ra ở đây, hẹn bạn đọc một dịp khác sẽ tìm hiểu sâu hơn về định lý này: Định lý ontené 2: ếu điểm di chuyển trên một đường thẳng d cố định đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường tròn ngoại tiếp tam giác edal của đối với tam giác 2
cắt đường tròn uler của tam giác tại một điểm S cố định và S là điểm nti-steiner của đường thẳng d đối với tam giác trung tuyến của tam giác. hú ý rằng và là các trường hợp đặc biệt của. Khi đó tam giác edal của trở thành () và (). ài toán 3: ho tam giác. ột đường thẳng bất kì đi qua cắt, lần lượt tại,. Gọi,, lần lượt là trung điểm,,. hứng minh rằng,,, cùng thuộc một đường tròn. Ta có, thứ tự là đường trung bình của tam giác, nên //, //. Suy ra =. (1) ặt khác, áp dụng bài toán 1 thì (), () và () đồng quy tại.,. Từ đó = 180 o =. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm. hận xét: ài toán 3 có thể mở rộng như sau: ho tam giác nội tiếp ()., là hai điểm bất kì trên,. Gọi,, lần lượt là trung điểm,,. Gọi Q là hình chiếu của trên. hứng minh rằng,,, Q cùng thuộc một đường tròn. Đây cũng là một mở rộng cho bài toán 2, I 2009. ài toán 4: (oàng Quốc Khánh-Tạp chí athvn số 1): ho tứ giác ngoại tiếp (). Gọi,,, Q lần lượt là tiếp điểm của,,, với (). Đường thẳng qua vuông góc với cắt Q tại I. Đường thẳng qua vuông góc với Q cắt tại. hứng minh rằng I//. 3
Q X I Y Áp dụng bài toán 1 ta thu được I,, thẳng hàng. o và I nên //I. Tương tự, //. Gọi là giao điểm của và I. Ta có =. =. I = I. Suy ra I// (đpcm) ài toán 5 (guyễn inh à- Tạp chí athvn số 3/ 2009): ho tam giác nội tiếp (). 1 là một điểm bất kì trên, 2 là điểm đối xứng với qua. Đường thẳng 1 2 lại cắt () tại 3. ấy 4 đối xứng với qua 1. Đường thẳng qua 4, vuông góc với lại cắt () tại 5. hứng minh rằng 3 5 đi qua trực tâm tam giác. R 4 3 5 ' 1 2 4
Xét trường hợp 1 [] ( trường hợp 1 nằm ngoài chứng minh tương tự) o 3 2 = 90 o = 3 1 nên 3 ( 1 ). Gọi là giao của ( 1 ) và đường tròn uler () của tam giác, là trực tâm tam giác. là hình chiếu của trên. Theo bài toán 2 ta có 3,, thẳng hàng. Gọi 4 ( 1 ) = {}  1 = 90 o. à 1 4 1,, thẳng hàng. Gọi 3 () = { 3, 5 }. Ta sẽ chứng minh 5 5, tức là 4 5 4 5 //. 3 5 4 = 180 o  5  5 = 3 4  3 +  3 = Ĥ 4 +  3  1 =  3 = Ĥ 4 = Ĥ = 1 = Ô 1 ( ) Gọi R, thứ tự là trung điểm, suy ra R, (). Ta có R =  = 1, ÂR = 1 R 1 (g.g) 1 = R 1 = 1, mà Ô 1 =  1 = 90 o 1 1 (c.g.c) Ô 1 =  1. Vậy ( ) đúng. Ta có đpcm. ời kết: Trên đây là một vài ứng dụng của bài toán 1. hắc chắn đằng sau nó còn nhiều điều thú vị đang chờ các bạn khám phá. húc các bạn tìm ra nhiều bài toán nhỏ khác để "mở khóa" cho những bài toán lớn. Tài liệu [1] Tạp chí athvn http://athvn.org [2] ontené Theorems, from Wolfram athwold http://mathworld.wolfram.com/ontenetheorems.html [3] Roger.ohnson, dvanced uclidean geometry, over reprint, 1960. mail: lovemathforever@gmail.com 5