Mở rộng bài toán hình học VMO 2013 Trần Quang Hùng Đề thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam năm 2013 có một bài toán hay, đề bài có thể viết gọn lại như

Bản ghi

1 ở rộng bài toán hình học VO 2013 Trần uang ùng Đề thi học sinh giỏi quốc gia Việt am năm 2013 có một bài toán hay, đề bài có thể viết gọn lại như sau ài toán 1. ho tam giác, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc, lần lượt tại,., lần lượt là đối xứng của, qua I. Đường thẳng giao I,I lần lượt tại,. iả sử, cố định, thay đổi sao cho tỷ số = k không đổi. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua một điểm cố định. I R hứng minh. ọi I,I lần lượt cắt tại,. hú ý tam giác cân tại nên = = 180 = 180 ( ) = 180 I = I. Từ đó tứ giác I nội tiếp suy ra I = I = 90. Tương tự I 90. Từ đó nếu gọi là trung điểm, là trung điểm đễ có tam tam giác cân nên (1). o, lần lượt là đối xứng của, qua I nên đường thẳng đối xứng đường thẳng qua I., lần lượt cắt I tại, suy ra I là trung điểm, tương tự I là trung điểm. Vậy hai đoạn và đối xứng nhau qua I. Từ đó nếu gọi R là trung điểm thì trung điểm của và R đối xứng nhau qua I hay I là trung điểm R. ọi trung trực cắt tại, ta thấy R vuông góc, song song (2). Từ (1) và (2) suy ra R song song. ọi I cắt tại, dễ có I I vuông góc nên I cũng song song với R,. Từ đó trong hình thang R có I là trung điểm R nên I là đường trung bình, vậy là trung điểm. Theo tính chất đường phân giác = = k không đổi nên cố định. là trung điểm cố định nên đối xứng qua cố định. Vậy trung trực đi qua cố định. 1

2 hận xét. hần đầu ta chứng minh I = I = 90 là các bài toán rất cơ bản liên quan tới đường tròn nội tiếp và các tiếp điểm. Trong đề toán còn cho giả thiết = k không đổi thực chất giả thiết này chỉ nhằm duy nhất mục đích suy ra chân đường phân giác góc là cố định. Với ý tưởng trong chứng minh ta thấy đường tròn đường kính và phép đối xứng tâm I có vai trò qua trọng. ựa vào ý tưởng đó ta có thể dần dần mở rộng bài toán này như sau ài toán 2. ho tam giác, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc, lần lượt tại,., lần lượt là điểm chia I,I theo một tỷ số m cố định. Đường thẳng giao I,I lần lượt tại,. iả sử, cố định, thay đổi sao cho tỷ số = k không đổi. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua một điểm cố định. I hứng minh. Về cơ bản lời giải hoàn toàn giống lời giải bài toán 1 trong trường hợp, đối xứng, qua I. Ta chỉ chú ý rằng nếu, chia I,I tỷ số m có nghĩa là đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép vị tự tâm I tỷ số m. ua đó một cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh được trung trực đi qua cố định là ảnh vị tự của qua tâm tỷ số m. hận xét. Trong bài toán trên ta vẫn thấy vai trò qua trọng của đường tròn đường kính. Ta có thể tìm cách thay thế yếu tố đó, ta thay thế đường tròn đường kính bằng một đường tròn bất kỳ đi qua,. Ta thu được bài toán sau ài toán 3. ho tam giác, I là tâm đường tròn nội tiếp. ột đường tròn () bất kỳ qua,. I,I lần lượt cắt () tại, khác,. cắt, lần lượt tại,., là đối xứng của, qua I. cắt I,I tại,. iả sử đường tròn () và, cố định. thay đổi sao cho tỷ số = k không đổi. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua một điểm cố định. 2

3 I hứng minh. Về cơ bản lời giải giống lời giải bài toán 1, xong ở đây chỉ khác là giao của. Ta cố gắng chứng minh vuông góc với I thì bài toán được giải quyết theo ý tưởng bài toán 1, thật vậy ta thấy I = = = I. Từ đó tứ giác I nội tiếp, ta suy ra = = I. Tương tự = I mà I = I do đó tam giác cân có I là phân giác nên I vuông góc. Vậy đến đây lời giải hoàn toàn tương tự bài lời giải bài toán 1 bằng phép đối xứng tâm I. Ta chú ý trung trực sẽ đi qua điểm cố định đối xứng qua. hận xét. ài toán tuy tổng quát cho bài toán gốc xong lời giải đạt được dễ dàng hơn do đã xuất hiện tâm trong đề bài. Thực chất ta có thể phát biểu lại bài toán trở thành khó hơn như sau ài toán 4. ho tam giác, I là tâm đường tròn nội tiếp. ác điểm, thuộc, sao cho I = I = α không đổi., là đối xứng của, qua I. cắt I,I tại,. iả sử thay đổi và, cố định sao cho tỷ số = k không đổi. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua một điểm cố định. 3

4 I hứng minh. o I = I = α không đổi ta dễ chứng minh tam giác cân và từ đó, nếu gọi I,I cắt tại, ta dễ chỉ ra,,, nằm trên đường tròn () cố định. hân phân giác góc là cố định khi đó trung trực sẽ đi qua điểm đối xứng của qua cố định. Với ý tưởng mở rộng qua phép vị tự hoàn toàn tương tự bài toán 2. Ta đề xuất bài toán sau lời giải kết hợp bài toán 2 và bài toán 3,4 ài toán 5. ho tam giác, I là tâm đường tròn nội tiếp. ác điểm, thuộc, sao cho I = I = α không đổi., là các điểm lần lượt chia I,I tỷ số m cố định. cắt I,I tại,. iả sử thay đổi và, cố định sao cho tỷ số = k không đổi. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua một điểm cố định. hận xét. húng ta bắt đầu có thể nhận thấy vai trò của tâm I đường tròn nội tiếp có thể thay thế được. Tuy vậy khi đó yếu tố chân đường phân giác cố định sẽ không còn được giữ nguyên ài toán 6. ho tam giác, là một điểm bất kỳ. Đường tròn () bất kỳ đi qua,., lần lượt cắt () tại,. cắt, tại,., lần lượt đối xứng, qua. cắt, tại Y,Z. iả sử, và () cố định, thay đổi sao cho đường nối và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một điểm cố định trên. hứng minh rằng trung trực luôn đi qua điểm cố định. 4

5 Z Y X hứng minh. Về cơ bản lời giải hoàn toàn tương tự các bài toán trên. Ta chỉ chú ý nếu gọi X là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta dễ chứng minh được X vuông góc với. hú ý rằng với giả thiết thì X đi qua cố định thuộc. Từ đó một cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh được trung trực YZ đi qua điểm đối xứng của qua cố định. hận xét. Tuy rằng bài toán có vài trò tổng quát hơn các bài trước xong ta dễ dàng thu được lời giải hơn nhờ các yếu tố cố định đã cho sẵn. húng ta hoàn toàn có thể tổng quát hơn một chút bằng cách thay các điểm chia, theo tỷ số m không đổi. Thực ra với bài toán tổng quát và bất kỳ ta có thể khai thác được rất nhiều tính chất mới từ bài toán này, xin dành cho bạn đọc tiếp tục tìm tòi. uối cùng tôi xin nêu ra một ví dụ ứng dụng bài toán tổng quát khi là trực tâm, lời giải nó xin dành cho bạn đọc. ài toán 7. ho đoạn và thuộc cố định. Đường tròn (O) thay đổi đi qua,. đối xứng với O qua. Đường thẳng qua O song song với cắt (O) tại sao cho và khác phía với. () là một đường tròn cố định đi qua,. cắt đường thẳng qua vuông góc tại., cắt () tại, khác,. Y,Z là đối xứng của, qua. hứng minh rằng trung trực của Y Z luôn đi qua một điểm cố định khi (O) di chuyển. 5

6 Tài liệu [1] VO problem 3 at the os [2]. S.. oxeter and S.. reitzer. eometry revisited, volume 19. The athematical ssociation of merica, [3] V. V. rasolov. roblems in lane eometry..:, Trần uang ùng, trường TT chuyên T-ĐT-Đ -mail: analgeomatica@gmail.com 6