Bài 11: Phân tích dữ liệu mô phỏng Under construction.

Sai số Sai số tính từ N phép đo độc lập hoặc thu được từ mô phỏng: N A = 1 N i=1 A i mean value σ= 1 N N 1 i=1 ( A i A ) 2 unbiased standard deviation σ N A= A ± σ N standard error of mean (standard deviation of mean) giá trị trông đợi kèm sai số

Tương quan corr(a, B)= Hàm tương quan (correlation function) ( A A )( B B ) σ A σ B σ A = A 2 A 2 σ B = B 2 B 2 Hàm tương quan C (s 1, s 2 )=corr ( A(s 1 ), B(s 2 )) s - không gian hoặc thời gian C (s 1, s 2 )=C (s 1 s 2 ) C (s 1, s 2 )=C ( s 1 s 2 ) with translational symmetry with translational & rotational symmetry

Hàm tự tương quan (autocorrelation function) Là hàm tương quan của một đại lượng với chính nó: C (s 1, s 2 )=corr ( A(s 1 ), A(s 2 )) Hàm tự tương quan theo tọa độ: C ( r i, r j )= ( A( r i) A )( A( r j ) A ) σ 2 Hàm tự tương quan theo thời gian: C (t)= 1 T 1 σ 2 T 0 ( A(t ' ) A )( A(t ' +t ) A ) dt '

Ứng dụng của hàm tương quan Độ dài tương quan: C ( r i, r j )=C 0 e r i r j / ξ ξ - correlation length Thời gian tự tương quan: C (t)=c 0 e t / t Tính t từ dữ liệu mô phỏng: t 1 T C 0 0 t - autocorrelation time C (t)dt Trong mô phỏng, các giá trị lấy mẫu trong 1 lần mô phỏng được coi là độc lập nếu thời gian giữa các lần lấy mẫu lớn hơn đáng kể so với thời gian tự tương quan t.

Thời gian hồi phục (relaxation time) Quá trình hồi phục là quá trình tiến về trạng thái cân bằng từ một trạng thái mất cân bằng Đối với nhiều hệ quá trình hồi phục tuân theo hàm mũ: A(t )= A 0 e t / t A(t )= A 0 (1 e t / t ) t được gọi là thời gian hồi phục. Tính thời gian hồi phục từ dữ liệu mô phỏng: t 1 T A 0 0 A(t)dt

Thời gian tới đầu tiên (first passage time) Là thời gian cần thiết để một quá trình ngẫu nhiên đạt một giá trị đích nào đó lần đầu tiên. First passage time distribution for 1D Brownian motion: f (t )= x 0 4 π D t exp ( x 2 ) 0 3 4 D t

Hàm phân bố bán kính (radial distribution function) Thường dùng để xác định cấu trúc của chất lỏng Có thể đo được bằng thực nghiệm S(k) là ảnh Fourier của g(r).

Hàm phân bố bán kính http://rkt.chem.ox.ac.uk/lectures/liqsolns/liquids.html

Khoảng cách đầu cuối của polymer (end-to-end distance) N R= i=1 r i R= R 2 Chuỗi lý tưởng (ideal chain) R N 1/ 2 Chuỗi tự tránh (self-avoiding chain): theo lý thuyết Flory R N d (d +2) R N 3/5 d - số chiều (d=3)

Năng lượng tự do F (q)= k B T ln P (q) P(q): phân bố thu được từ mô phỏng ở nhiệt độ T F(q) năng lượng tự do phụ thuộc vào q.

Phương pháp đơn histogram Từ dữ liệu mô phỏng cho 1 nhiệt độ, ta có thể tính trung bình nhiệt động ở các nhiệt độ khác. β β' N β ( ) số trạng thái trong khoảng (, +d) N β ' ( )=N β ()e (β β' ) A β = N β () A( ) N β ( ) A β' = (β β ') N β ( ) A( )e N β ( )e (β β ' )

Phương pháp đa histogram Weighted Histogram Analysis Method (WHAM) A. M. Ferrenberg & R. H. Swendsen, Phys. Rev. Lett. 63, 1195 (1989) Giả sử có R histogram thu được từ các mô phỏng tại R nhiệt độ khác nhau: N k ( ), k=1,2,..., R β k = 1 k B T k N k ( )=n k tổng số trạng thái trong mô phỏng k Z β = g ( )e β = P (β, ) hàm phân hoạch hàm mật độ trạng thái

N k ( ) Đặt f k =ln Z (β k ) P (β k, ) n k Z (β k ) = g ()e β Z (β k ) g ( ) N k ( ) n k e β k Z (β k ) g ( ) N k ( ) n k exp( f k +β k ) Có thể tính g() trung bình từ nhiều mô phỏng: R g ( )= k =1 w k () N R k () exp( f n k +β k ) w k ()=1 k k =1 các trọng số

Để giảm thiểu sai số, chọn: w k ( )= n k exp( f k β k ) R l=0 n l exp( f l β l ) Khi đó: g ( )= R l =0 R k =1 N k ( ) n l exp( f l β l ) f k =ln Z (β k )=ln P (β k, )=g ()e β k P (β k, )

Ta có hệ phương trình tự hợp: P (β k, )= R k =1 R l=0 N k ( )e β k n l exp( f l β l ) f k =ln P (β k, ) Giải hệ trên bằng p/p tự hợp cho đến khi f k hội tụ: f k (n) f k (n 1) <ϵ k n là thứ tự vòng lặp sai số đủ nhỏ: ϵ=10 5

Sau khi có các giá trị f k có thể tính P(β,) tại nhiệt độ bất kỳ: P (β, )= A β = R l=0 R k=1 N k ( )e β n l exp( f l β l ) A( ) P (β, ) P(β, )

Để phương pháp hoạt động tốt các histogram cần giao nhau.