Titan Education APMOPS MOCK Test 1 Solution 30 questions, 2 hours. No calculators used. 1. The number A2...2B has 2012 digits (all digits standing between A and B are 2). This number is divisible by 72. Find the digits A and B. Sô A2 2B co 2012 chư sô (tâ t ca ca c chư sô giư a A va B la 2). Sô na y chia hê t cho 72. Ha y ti m ca c chư sô A va B. Đa p sô : A = 8, B = 4. Gia i. Sô N chia hê t cho 72 như vâỵ no pha i chia hê t cho 8. Tư đo suy ra sô 22B chia hê t cho 8. Vi 22B = 220 + B va 220 chia 8 dư 4 nên B = 4. Sô N chia hê t cho 72 nên no pha i chia hê t cho 9. Suy ra tô ng ca c chư sô cu a N chia hê t cho 9, tư c la A + 2010 2 + 4 chia hê t cho 9. Tư đây suy ra A = 8. 2. Calculate 1 2 2 2 + 3 2 4 2 + 5 2 6 2 + + 2011 2 2012 2. Ti nh 1 2 2 2 + 3 2 4 2 + 5 2 6 2 + + 2011 2 2012 2. Đa p sô : 2025078. Gia i. Ta co 1 2 2 2 = 3, 3 2 4 2 = 7, 5 2 6 2 = 11,, 2011 2 2012 2 = 4023. Như vâỵ tô ng đa cho bă ng (3 + 7 + 11 + + 4023). Đây la ca c sô đê m ca ch 4 nên co tâ t ca 4023 3 1 1006 sô như vâỵ. 4 Ghe p că p 3 + 4023 = 4026, 7 + 4019 = 4026, ta đươ c 503 că p co tô ng bă ng 4026. Suy ra 3 + 7 + 11 + + 4023 = 503 4026 = 2025078. Tư đo đa p sô la 2025078. 3. Somebody placed digits 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 around the circumference of a circle in arbitrary order. Reading clockwise three consecutive digits you get a 3-digit whole number. There are nine such 3-digit numbers altogether. Find their sum.
Môṭ ngươ i đăṭ ca c sô 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quanh môṭ đươ ng tro n theo môṭ thư tư na o đo. Đo c theo chiê u kim đô ng hô ba chư sô liên tiê p ta đươ c môṭ sô co 3 chư sô. Co tâ t ca 9 sô co 3 chư sô như vâỵ. Ha y ti nh tô ng cu a 9 sô na y. Đa p sô : 4995. Gia i. Ta co thê să p thư tư theo đu ng thư tư tăng dâ n. Như thê se đươ c ca c sô 123, 234, 345,., 789, 891, 912. Ta thâ y mô i sô xuâ t hiêṇ ơ mô i ha ng đu ng 1 lâ n, do đo tô ng ca c sô se la (1+2+3+4+ +9) + (1+2+3+4+ +9) 10 + (1+2+3+4+ +9) 100 = 45 111 = 4995. 4. Jane and John wish to buy a candy. However Jane needs seven more cents to buy the candy, while John needs one more cent. They decide to buy only one candy together, but discover that they do not have enough money. How much does the candy cost? Jane va John muô n mua keọ. Nhưng Jane co n thiê u 7 xu mơ i đu mua 1 cây keọ, trong khi John thiê u 1 xu. Ho quyê t đi nh mua chung 1 cây keọ nhưng nhâṇ ra ră ng ho vâñ không đu tiê n mua keọ. Ho i cây ke o gia bao nhiêu xu. Đa p sô : 7 xu. Gia i. John chi co n thiê u 1 xu la đu mua keọ. Vâỵ ma gô p ca vơ i John vâñ chưa đu tiê n mua. Suy ra Jane không co xu na o (chu y xu la đơn vi tiê n tê nho nhâ t ). Vi Jane thiê u 7 xu đê mua keọ nên keọ gia 7 xu. 5. In a right-angled triangle ACD, the area of shaded region is 10 cm 2, as shown in the figure below. AD = 5 cm, AB = BC, DE = EC. Find the length of AB. Trong tam gia c vuông ACD, diêṇ ti ch cu a hi nh tô đâṃ bă ng 10cm 2 như trên hi nh ve. AD = 5 cm, AB = BC, DE = EC. Ti m đô da i đoa n AB. Đa p sô : 8cm Gia i. Do AB = BC, DE = EC nên EB la đươ ng trung biǹh cu a tam gia c ACD. Suy ra EB song song DA va EB = DA/2. Hai tam gia c EBD va DBA co chung đươ ng cao va DA = 2EB nên diêṇ tićh tam gia ABD = 2 lâ n diêṇ tićh tam gia c EBD. Suy ra diêṇ tićh tam gia c
ABD = 20cm 2. Vi diê n ti ch tam gia c ABD bă ng (1/2)AD AB va AD = 5 nên tư đây suy ra AB = 8. 6. A, B and C are stamp-collectors. A has 18 stamps more than B. The ratio of the number of stamps of B to that of C is 7:5. The ratio of the sum of B s and C s stamps to that of A s is 6:5. How many stamps does C have? A, B va C la như ng ngươ i sưu tâ m tem. A co nhiê u hơ n B 18 con tem. Ty lê giư a sô tem cu a B va C la 7:5. Ty lê giư a tô ng sô tem cu a B va C trên sô tem cu a A la 6:5. Ho i C co bao nhiêu con tem? Đa p sô : 30. Gia i. Go i sô tem cu a A, B, C lâ n lươṭ la A, B, C. Ta co A = B + 18, B : C = 7 : 5, (B+C) : A = 6 : 5. Tư điê u kiêṇ thư hai suy ra B = 7C/5. Tư điê u kiêṇ thư c ba suy ra A = 5(B+C)/6 = 5(7C/5 + C)/6 = 2C. Thay va o điê u kiêṇ đâ u, ta đươ c 2C = 7C/5 + 18, suy ra 10C = 7C + 90. Suy ra C = 30. 7. Figures I, II and III are squares. The perimeter of I is 12 and the perimeter of II is 24. Find the perimeter of III. Ca c hi nh I, II va III la ca c hi nh vuông. Chu vi cu a I la 12 va chu vi cu a II la 24. Ha y ti nh chu vi cu a III. Đa p sô : 36. Gia i. Chu vi cu a I bă ng 12, suy ra caṇh cu a I bă ng 12/4 = 3. Chu vi cu a II bă ng 24, suy ra ca nh cu a II bă ng 24/4 = 6. Suy ra caṇh cu a III bă ng 3 + 6 = 9. Suy ra chu vi cu a III bă ng 9 4 = 36. 8. James uses 1 3 of his land for growing duarians, 1 4 for bananas, 3 8 remaining 9 hectares for mangoes. What is the total area of his land? for guavas and the
James sư duṇg 1 3 sô đâ t cu a anh ta đê trô ng sâ u riêng, 1 4 đê trô ng chuô i, 3 đê trô ng ô i 8 va sô đâ t co n la i gô m 9 hec-ta đê trô ng xoa i. Ho i diê n ti ch toa n bô đâ t cu a anh ta la bao nhiêu? Đa p sô : 216. Gia i. Tô ng sô phâ n đâ t đê trô ng sâ u riêng, chuô i va ô i la 1 1 3 8 6 9 23 3 4 8 24 24 Sô phâ n đâ t đê trô ng xoa i la 23 1 1 24 24 Sô đâ t trô ng xoa i na y tương ư ng vơ i 9 he c-ta. Suy ra toa n bô sô đâ t la 9 24 = 216. 9. A farmer has some goats and chickens. He counts 110 legs and 74 eyes. How many goats does he have? Môṭ nông trang viên co môṭ sô dê va môṭ sô ga. Ông ta đê m đươ c 110 ca i chân va 74 con mă t. Ho i ông ta co bao nhiêu con dê? Đa p sô : 18 Gia i. Ta chu y ră ng dê v a ga đê u co 2 mă t. Như vâỵ suy ra ca tha y co 37 con dê. No i vê sô chân thi dê co 4 chân, co n ga chi co 2 chân. Nê u tâ t ca 37 con vât đê u la ga thi ta se co 74 ca i chân. Như vâỵ thiê u 110 74 = 36 ca i chân. Bây giơ nê u cư thay môt con ga bă ng 1 con dê thi ta thêm đươ c 2 chân. Như vâỵ đê bu va o 36 ca i chân co n thiê u, ta pha i thay 18 con ga bă ng 18 con dê. Co thê gia i bă ng ca ch lâ p phương tri nh: Go i x la sô dê va y la sô ga thi ta co 4x + 2y = 110 va 2x + 2y = 74. Trư hai phương triǹh cho nhau, ta đươ c 2x = 36. Suy ra x = 18. 10. The sequence below is arranged by using number 1, 2 and 3 only: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, What is the 100 th number?
Da y sô dươ i đây chi đươ c ta o tha nh bơ i ca c chư sô 1, 2 va 3: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Ho i sô thư 100 la sô na o? Đa p sô : 2. Gia i. Ta thâ y đâ u tiên co 1 sô 1, sau đo 2 sô 2, 3 sô 3, 4 sô 1, 5 sô 2 Ta đê y 1 + 2 + 3 + + 13 = 13.14/2 = 91. Như vâỵ sô thư 91 la sô 1 (trong loat 13 sô 1). Tiê p theo se la 14 sô 2, trong đo co sô thư 100. 11. Find how many three-digit numbers satisfy all the following conditions: if it is divided by 2, the remainder is 1, if it is divided by 3, the remainder is 2, if it is divided by 4, the remainder is 3, if it is divided by 5, the remainder is 4, if it is divided by 8, the remainder is 7. Co bao nhiêu sô co ba chư sô tho a ma n tâ t ca ca c điê u kiê n sau: khi chia sô na y cho 2 ta đươ c sô dư la 1, khi chia sô na y cho 3 ta đươ c sô dư la 2, khi chia sô na y cho 4 ta đươ c sô dư la 3, khi chia sô na y cho 5 ta đươ c sô dư la 4, khi chia sô na y cho 8 ta đươ c sô dư la 7. Đa p sô : 8. Gia i. Go i sô na y la N thi tư điê u kiê n đê ba i, suy ra N + 1 chia hê t cho 2, 3, 4, 5, 8 va do đo N + 1 chia hê t cho bôi sô chung nho nhâ t cu a 2, 3, 4, 5, 8 la 120. Tư đo N + 1 la 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960. Co 8 sô như vâỵ. 12. If BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK = TEST then what is the value of TEST? (BOOK and TEST are 4-digit numbers, and different letters stand for different digits). Nê u BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK + BOOK = TEST thi gia tri cu a TEST la bao nhiêu? (BOOK va TEST la ca c sô co 4 chư sô, ca c chư ca i kha c nhau đa i diê n cho ca c chư sô kha c nhau). Đa p sô : 8658.
Gia i. Ta co BOOK 6 = TEST. Nê n B > 1 thi B 6 se co nhơ sang ha ng tiê p theo. Vâỵ chi co thê B = 1. Tư đây cu ng suy ra T 6. Do T la kê t qua cu a phe p nhân K vơ i 6 (co thê co nhơ ) nên T chă n, suy ra T = 6 hoă c 8. Nê u T = 6 thi K = 1 hoă c bă ng 6, điê u na y tra i vơ i điê u kiêṇ ca c chư ca i kha c nhau đai diêṇ ca c chư sô kha c nhau. Vâỵ T = 8. Đê K 6 8 thi K = 3 hoă c K = 8. Trươ ng hơ p K = 8 loa i (vi tru ng vơ i T), Suy ra K = 3. Như vâỵ ta đươ c phe p tińh: 1OO3 6 = 8ES8. Nê u O 5 thi 1OO3 1553. Ma 1553 6 = 9318 > 8EST nên loai. Vâỵ O < 5. Thư hai trươ ng hơ p O = 2, O = 4, ta đươ c nghiêṃ duy nhâ t la O = 4. Va ta co 1443 6 = 8658. 13. The figure shown is formed by seven line segments. What is the total number of triangles in the figure? Hi nh bên đươ c ta o tha nh tư 7 đoaṇ thă ng. Ho i co tâ t ca bao nhiêu tam gia c trong hi nh? Đa p sô : 18. 14. Lily plans to spend all of her $31 to buy different types of pens that cost $2, $3 and $4 respectively. If she wants to buy at least 1 pen of each type, what is the maximum number of pens that she can buy? Lily dư điṇh du ng hê t sô tiê n 31 đô la đê mua ca c loaị bu t kha c nhau co gia 2 đô la, 3 đô la, 4 đô la tương ư ng. Nê u cô â y muô n mua môĩ loaị i t nhâ t 1 cây thi cô â y co thê mua đươ c nhiê u nhâ t bao nhiêu cây bu t? Đa p sô : 14. Gia i. Đâ u tiên Lily mua mô i loa i 1 cây hê t 2 + 3 + 4 = 9 đô la. Sô tiê n co n lai 31 9 = 22 đô la Lily se mua loai bu t re nhâ t, đươ c 11 cây. Như vâỵ Lily mua đươ c nhiê u nhâ t 3 + 11 = 14 cây. 15. a, b and c are two-digit numbers. The unit digit of a is 7, the unit digit of b is 5 and the tens digit of c is 1. If a b + c = 2006, find the value of a + b + c.
a, b va c la ca c sô co hai chư sô. Chư sô ha ng đơn vi cu a a la 7, chư sô ha ng đơn vi cu a b la 5 va chư sô ha ng chu c cu a c la 1. Nê u a b + c = 2006, ha y ti m gia tri cu a a + b + c. Đa p sô : 103. Gia i. a co chư sô ha ng đơn vi la 7, b co chư sô ha ng đơn vi ḷa 5. Suy ra a b co chư sô ha ng đơn vi la 5. Tư đo c co chư sô ha ng đơn vi ḷa 1. Như vâỵ c = 11. Suy ra a b = 1995 = 3 5 7 19. Tư đây dê thâ y a = 3 19 = 57 va b = 5 7 = 35. Tư đo a + b + c = 57 + 35 + 11 = 103. 16. A class of students bought and equally distributed a certain number of notebooks. If the notebooks are distributed to girls only, each girl will receive 15 notebooks. If the notebooks are distributed to boys only, each boy will receive 10 notebooks. If the notebooks are equally distributed to everyone in the class, how many notebooks will each student receive? Môṭ lơ p ho c mua môṭ sô cuô n vơ va chia đê u cho ca c ho c sinh. Nê u sô vơ na y chia đê u cho ca c ho c sinh nư, thi mô i ba n nư đươ c 15 cuô n. Nê u cu ng sô vơ na y chia đê u cho ca c ba n nam thi mô i ba n nam đươ c 10 cuô n. Ho i nê u sô vơ na y chia đê u cho tâ t ca ca c tha nh viên cu a lơ p, thi mô i ba n đươ c bao nhiêu cuô n. Đa p sô : 6. Gia i. Go i sô nư la G va sô nam la B thi ta co 15G = 10B (= tô ng sô sa ch ). Suy ra B = 3G/2. Tư đo nê u chia đê u cho tâ t ca thi mô i ngươ i đươ c 15G 15G G B 3 G G 2 6. 17. In the following figure, AMOQ, MBNO, ONCP, QOPD and ABCD are rectangles. If the area of QOPD is 51 square units, the area of ONCP is 17 square units and the area of MBNO is 29 square units, find the area of the quadrilateral MNPQ.
Trong hi nh trên đây, AMOQ, MBNO, ONCP, QOPD va ABCD la ca c hi nh chư nhâṭ. Nê u diêṇ ti ch QOPD la 51 m 2, diêṇ ti ch ONCP la 17 m 2 va diê n ti ch MBNO la 29 m 2. Ha y ti nh diê n ti ch tư gia c MNPQ. Đa p sô : 92. Gia i. Ta thâ y Dt (QOPD) Dt (MBNO) = PO OQ ON OM = (PO ON) (QO OM) = Dt(ONCP) Dt(AMOQ). Tư đo Dt(AMOQ) = Dt(QOPD) Dt (MBNO)/Dt(ONCP) = 51 29/17 = 87. Suy ra diêṇ tićh hiǹh chư nhât ABCD bă ng 51 + 29 + 17 + 87 = 184. Diêṇ tićh tư gia c MNPQ bă ng 1/2 diêṇ tićh tư gia c ABCD do đo đa p sô la 92. 18. The lengths of two sides of a triangle are 2006 and 6002 units respectively. If the length, in the same units, of the third side of this triangle is an integer, how many different triangles can exist? Hai caṇh cu a môṭ tam gia c la 2006 va 6002 đơn vi đô da i tương ư ng. Nê u như caṇh co n la i, cu ng cu ng đơn vi, cu ng la sô nguyên. Ho i co bao nhiêu tam gia c kha c nhau như thê tô n taị? Đa p sô : 4011. Go i ca nh đo la a, ta co 6002 2006 < a < 6002 + 2006. Suy ra 3996 < a < 8008. Suy ra 3997 a 8007. Co tâ t ca 8007 3997 + 1 = 4011 gia tri cu a a, tương ư ng vơ i sô tam gia c kha c nhau.
19. We have four cards numbered 1, 2, 3 and 4 respectively. Three of the four cards are placed into the boxes as shown in the equation below. How many different values of n can be obtained? Ta co 4 tâ m bi a đươ c đa nh sô 1, 2, 3, 4 tương ư ng. Ba trong sô 4 tâ m bi a đo đươ c đăṭ va o ca c vi tri như ơ trên hi nh. Ho i ta co thê nhâ n đươ c bao nhiêu gia tri n kha c nhau? Đa p sô : 8. Gia i. Sô n lơ n nhâ t ma ta co thê nhâṇ la sô 11 (đăt 3, 4 va o dâ u + va 1 va o dâ u -). Sô n nho nhâ t ma ta co thê nhâ n la sô 4 (đăt 1, 2 va o dâ u + va 4 va o dâ u -). Như thê co 11 4 + 1 = 8 gia tri co thê. Đê câ n thâṇ, ta kiê m tra tâ t ca ca c kha năng đê u co thê xa y ra : 4 = 5 + 1 + 2 4 5 = 5 + 1 + 2 3 6 = 5 + 2 + 3 4 7 = 5 + 1 + 4 3 8 = 5 + 2 + 4 3 9 = 5 + 2 + 3 1 10 = 5 + 2 + 4 1 11 = 5 + 3 + 4 1 20. In a regular hexagon ABCDEF, two diagonals, FC and BD, intersect at G. What is the ratio of the area of BCG to that of quadrilateral FEDG?
Trong hi nh lu c gia c đê u ABCDEF hai đươ ng che o FC va BD că t nhau taị G giư a diêṇ ti ch tam gia c BCG trên diêṇ ti ch tư gia c FEDG bă ng bao nhiêu?. Ho i ty lê Đa p sô : 1:5. 21. There are over 50 children sitting in a circle. They count clockwise around the circle starting from 1. If the same child has counted 2 and 2006, what is the least number of children in the circle? Co hơn 50 đư a tre ngô i quanh môṭ vo ng tro n. Chu ng đê m theo chiê u kim đô ng hô bă t đâ u tư 1. Nê u co môṭ câụ be vư a đê m 2, vư a đê m 2006 thi sô đư a tre i t nhâ t co trên vo ng tro n la bao nhiêu? Đa p sô : 167. Gia i. Câụ be đê m 2 va 2006, suy ra sô tre trên vo ng tro n pha i la môt ươ c sô cu a 2006 2 = 2004 = 2 2.3.167. Tư điê u kiêṇ co hơn 50 tre, suy ra gia tri ṇho nhâ t pha i ti m la 167. 22. If the number n such '2012' 2012...20122011 is divisible by 11, what is the minimum value of n? Nê u sô ơ trên chia hê t cho 11 thi gia tri nho nhâ t cu a n la bao nhiêu? Đa p sô : 9.
Gia i. Ta biê t môt sô chia hê t cho 11 khi va chi khi hiêụ cu a tô ng ca c chư sô ơ ha ng chă n va tô ng ca c chư sô ơ ha ng le chia hê t cho 11. Hiêụ na y ơ sô 2011 bă ng 2 va ơ sô 2012 bă ng 1. Do đo hiêụ na y ơ sô nêu trên bă ng n + 2. Suy ra sô n nho nhâ t câ n ti m la n = 9. 23. As shown in the figure below, the big rectangle consists of four smaller rectangles with their areas 12 cm 2, 24 cm 2, 36 cm 2 and 48 cm 2 respectively. If all the lengths, in cm, of the rectangles are integers, what is the area of the shaded region? Như trên hi nh ve, hi nh chư nhâ t lơ n đươ c ta o tha nh bơ i 4 hi nh chư nhâ t nho co diê n ti ch 12 cm 2, 24 cm 2, 36 cm 2 va 48 cm 2 tương ư ng. Nê u như tâ t ca ca c đô da i ca c caṇh, ti nh theo cm, cu a ca c hi nh chư nhâ t đê u la s ô nguyên, thi diê n ti ch phâ n tô đâ m bă ng bao nhiêu? Đa p sô : 5. Gia i. Ta nhâ m đoa n đươ c kićh thươ c cu a ca c hiǹh chư nhât (theo chiê u ngang trươ c, chiê u do c sau) la 3 x 4, 9 x 4, 4 x 6 va 8 x 6. Suy ra caṇh đa y cu a hai tam gia c nho bă ng 4 3 = 1 va đươ ng cao cu a ca c tam gia c na y bă ng 4 va 6 tương ư ng. Suy ra diêṇ tićh phâ n đươ c tô bă ng 2 + 3 = 5. 24. Balls of the same size and weight are placed in a container. There are 8 different colors and 90 balls in each color. What is the minimum number of balls that must be drawn from the container in order to get balls of 4 different colors with at least 9 balls for each color? Ca c qua bo ng cu ng ki ch cơ va tro ng lươ ng đươ c bo va o mô t ca i thu ng ki n. Co 8 ma u kha c nhau va mô i ma u co 90 qua bo ng. Ho i pha i lâ y i t nhâ t bao nhiêu qua bo ng đê chă c chă n co 4 ma u co i t nhâ t 9 qua bo ng? Đa p sô : 311.
Gia i. Ta cô gă ng lâ y nhiê u bo ng nhâ t ma vâñ không tho a ma n yêu câ u. Đâ u tiên ta lâ y 3 ma u vơ i đu 90 qua, đươ c 270 qua bo ng. Sau đo ta lâ y 5 ma u co n la i, mô i ma u 8 qua. Vâỵ đươ c 270 + 40 = 310 qua bo ng. Ta không thê lâ y thêm. Tư đây đa p sô la 311. (Chu y, đây không pha i la chư ng minh chăt che, ma chi la con đươ ng đê đi đê n đa p sô ). 25. A giraffe lives in an area shaped in the form of a right-angled triangle. The base and the height of the triangle are 12 m and 16 m respectively. The area is surrounded by a fence. The giraffe can eat the grass outside the fence at a maximum distance of 2 m. What is the maximum area outside the fence, in which the grass can be eaten by the giraffe? Hươu cao cô sô ng trong môṭ ca i chuô ng co hi nh daṇg môṭ tam gia c vuông co hai caṇh go c vuông la 12m va 16m tương ư ng. Xung quang chuô ng co ha ng ra o. Hươu co thê ăn co ngoa i ha ng ra o ơ khoa nh ca ch tô i đa la 2m. Ho i diê n ti ch co lơ n nhâ t ngoa i ha ng ra o ma hươu co thê ăn đươ c? Đa p sô : 96 + 4 (m 2 ) Gia i. Theo đinh ly Pitago, ca nh huyê n cu a tam gia c se bă ng 20m. Phâ n diêṇ tićh co ma con hươu ăn đươ c se đươ c taọ tha nh tư 3 hi nh chư nhâ t co chiê u rô ng la 2m va chiê u da i tương ư ng la 12m, 16m, 20m, côṇg vơ i 3 hi nh va nh khăn co ba n ki nh 2m (ơ 3 go c cu a tam gia c). Ba hiǹh va nh khăn na y ghe p lai tha nh môt hiǹh tro n ba n kiń 2. Vi vâ y diê n ti ch co ma hươu ăn đươ c bă ng 2(12+16+20) + 4 = 96 + 4. 26. Train A and Train B travel towards each other from Town A and Town B respectively, at a constant speed. The two towns are 1320 kilometers apart. After the two trains meet, Train A takes 5 hours to reach Town B while Train B takes 7.2 hours to reach Town A. How many kilometers does Train A run per hour? Ta u A va ta u B cha y ngươ c chiê u nhau vơ i vâṇ tô c không đô i xuâ t pha t tư tha nh phô A va tha nh phô B tương ư ng. Khoa ng ca ch giư a hai tha nh phô la 1320. Sau khi hai ta u gă p nhau, ta u A cha y thêm 5 giơ nư a thi đê n B trong khi ta u B chaỵ thêm 7.2 giơ nư a thi đê n A. Ha y ti nh vâ n tô c ta u A. Đa p sô : 120. Gia i. Go i vâ n tô c ta u A la v 1, vâṇ tô c ta u B la v 2. Go i điê m hai ta u gă p nhau la C. Khi đo qua ng đươ ng BC bă ng 5v 1, qua ng đươ ng CA bă ng 7.2v 2. Ta co 5v 1 + 7.2v 2 = 1320. Ta u A đ i qua ng đươ ng AC hê t thơ i gian t = 7.2v 2 /v 1, ta u B đi qua ng đươ ng BC hê t t = 5v 1 /v 2 vi hai ta u gă p nhau ơ C nên hai thơ i gian na y bă ng nhau, nên ta co 7.2v 2 /v 1 = 5v 1 /v 2
Tư đây suy ra (v 1 /v 2 ) 2 = (6/5) 2. Suy ra 5v 1 = 6v 2. Thay va o phương triǹh ơ trên, ta đươ c 13.2v 2 = 1320. Suy ra v 2 = 100. Tư đo v 1 = 120. 27. Using every digit from 1 to 9 only once, we can make three 3-digit numbers. What is the minimal value of their product? Sư duṇg ca c chư sô tư 1 đê n 9 môĩ chư sô đu ng 1 lâ n, ta co thê lâ p đươ c 3 sô co 3 chư sô. Ho i ti ch cu a chu ng nho nhâ t bă ng bao nhiêu. Đa p sô : 13994694 Gia i. Đo la 3 sô 147, 258, 369. 28. Find the area of the shaded region. Ti m diê n ti ch cu a hi nh đươ c tô đen. Đa p sô : 288 36. Gia i. Ta thâ y diêṇ tićh hiǹh đươ c tô đen bă ng 8 lâ n diêṇ tićh mâ u đươ c tô đen ơ môt go c. Bô n mâ u nho na y hơ p vơ i hiǹh tro n đươ ng kińh 12m tha nh hiǹh vuông caṇh 12m. Do đo diêṇ tićh 4 mâ u nho bă ng 12 2.6 2 = 144 36. Suy ra diêṇ tićh phâ n tô đen la 2(144 36 ) = 288 36. 29. My watch is 5/6 of a minute, my clock is one and a half minutes late every day. On Monday at noon I set them to show the correct time. Within a week, I asked my mother what time it was. She said: "I don't know, but the time difference between your watch and your clock is 4 minutes and 15 seconds." What day and what time did I ask my mother what time it was?
Đô ng hô đeo tay cu a tôi cha y châ m 5/6 phu t, co n đô ng hô treo tươ ng thi châṃ 1.5 phu t môĩ nga y. Va o buô i trưa thư hai, tôi chi nh hai đô ng hô đu ng giơ. Trong tuâ n đo, tôi ho i giơ me tôi. Me no i Me không biê t, nhưng sai lê ch giư a hai đô ng hô cu a con la 4 phu t 15 giây. Ho i tôi ho i me tôi va o nga y na o va va o thơ i gian na o? Đa p sô : Sunday, 9:00 PM. Gia i. Mô i nga y hai đô ng hô lê ch nhau 90 giây 50 giây = 40 giây. Thơ i điê m đươ c ho i, hai đô ng hô lê ch nhau 4 phu t 15 giây, tư c la 255 giây. Tương ư ng vơ i sô nga y la 255:40 = 6 nga y va 3/8 nga y. Tư c la lu c đo la 9h chiê u nga y chu nhât (do bă t đâ u tư 12h trưa nga y thư hai). 30. We build a big solid cube using 27 smaller cubes of identical sizes. Now we take out the center small cube from the top, bottom, left and right facing sides, and then paint the surface of the solid with the remaining 23 cubes red. Now take the big cube apart and count how many small cubes have 3 red sides! Ta xê p hi nh lâ p phương lơ p bă ng 27 hi nh lâ p phương con. Sau đo lâ y đi 4 hi nh lâ p phương ơ trung tâm ca c măṭ trên, dươ i, tra i, pha i. Ta co n 23 hi nh lâ p phương con xê p tha nh hi nh như hi nh ve. Ta tô ma u ca c măṭ cu a hi nh na y (như ng măṭ lô ra ngoa i). Sau đo ta pha hi nh lâ p phương to tha nh ca c hi nh lâ p phương con. Ho i co bao nhiêu hi nh lâ p phương con đươ c tô đu ng 3 măṭ? Đa p sô : 16 Gia i. Co 8 hi nh lâ p phương nho ơ 8 go c đươ c tô ba mă t. Ngoa i ra, co 4 hi nh lâ p phương ơ lơ p giư a (ti nh trên xuô ng ) va 4 hi nh lâ p phương ơ lơ p giư a (ti nh tư tra i qua pha i ) cu ng đươ c tô 3 măt. Đê kiê m tra, chu y không co hi nh lâ p phương không đươ c tô mă t na o, không co hiǹh lâ p phương đươ c tô 1 măt, co 2 hi nh đươ c tô 2 măt (la ca c hi nh trung tâm ơ hai măt co n lai ) va 5 hi nh đươ c tô 4 măt. (Gô m 1 hi nh ơ trung tâm hi nh lâ p phương va 4 hi nh lơ p giư a). Tô ng côṇg 2 + 16 + 5 = 23.