hoc360.net Truy cập Website: hoc360.net Tải tài liệu học tập miễn phí Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: Vấn đề

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Chủ đề : HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC Kiến thức cần nhớ:. Định nghĩa: Vấn đề : Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y a b trong đó a và b là các số thực cho trước và a 0. + Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y a, biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và.. Tính chất: a) Hàm số bậc nhất, ác định với mọi giá trị R. b) Trên tập số thực, hàm số y a b đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0.. Đồ thị hàm số y a b với 0 a. + Đồ thị hàm số y a b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y a b 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y a b. b. a + Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua điểm. 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph + Thường vẽ đường thẳng đi qua giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ b a là A ;0, B0; b. + Chú ý: Đường thẳng đi qua M m ;0 song song với trục tung có phương, đường thẳng đi qua N 0; trình: m 0 phương trình: y n 0 5. Kiến thức bổ sung. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ;, ;. Điểm ; AB y y y y ; y. n song song với trục hoành có A y B y thì M y là trung điểm của AB thì 6. Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc. Cho hai đường thẳng d : y a b a, a' 0. ( d ) / /( d ) a a ' và b b'. ( d ) ( d ) a a' và b b'. d cắt d a a. ' ( d ) ( d ) a. a' và đường thẳng d : y a' b' với Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y a b và trục O, nếu a 0 thì tan a. Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Ví dụ ) Cho đường thẳng d : y và đường thẳng : d y m m m m. a) Tìm m để ( d) / /( d ). b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ( d ) có hoành độ. Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua A vuông góc với ( d ). c) Khi ( d) / /( d ). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( d ), d. d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng ( d ) và tính diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của ( d ) với các trục tọa độ O, Oy. a) Đường thẳng ( d) / /( d ) khi và chỉ khi m m m m m m 0 m. m m 0 Vậy với m thì ( d) / /( d ). b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng ( d ) có hoành độ suy ra tung độ điểm A l y 4 A;4. Đường thẳng d có hệ số góc là a, đường thẳng d có hệ số góc là a ' a'. a '. Đường thẳng đi qua ;4 y 6. A suy ra 4 b b 6 d có dạng y b. Vậy đường thẳng. Vì d d là c) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph d d thì khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d và Khi ( ) / /( ) chính là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt thuộc cho AB ( d ), AB d. Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d ) A d cũng d sao (d ) ( d ) và ( d ). Phương trình hoành độ giao điểm của d và d là: 5 5 6 y B ; 4 8 8 8 8. B (d ) Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: 5 9 AB 4 8 8 8. d) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục tọa độ O, Oy. Ta có: Cho y 0 A ;0, cho y 0 N ;0. Từ đó suy ra OM ON MN.Tam giác OMN vuông cân tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN ta có OH MN và SOMN OM. ON ( đvdt). Chú ý : Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo cách: Trong tam giác vuông OMN ta có: y Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ N H O M

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí (*). Từ đó để khoảng cách từ điểm O OH OA OB đến đường thẳng ( d) ta làm theo cách: + Tìm các giao điểm M, N của ( d ) với các trục tọa độ + Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH. Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau: Cho ; M y và đường thẳng a by c 0. Khoảng cách từ điểm M 0 0 đến đường thẳng là: d a by c 0 0 a b. Ví dụ :Cho đường thẳng m m y m 0 ( d ). a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( d ) luôn đi qua. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d ) là lớn nhất. c) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt các trục tọa độ O, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB cân. a) Gọi ; I y là điểm cố định mà đường thẳng ( d ) luôn đi qua với 0 0 mọi m khi đó 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph ta có: 0 m m y m m m y y 0m 0 0 0 y0 0 0. Hay I ; y0 0. y 0 0 0 0 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng ( d ). Ta có: OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H I OI ( d). Đường thẳng qua O có phương trình: y a do I ;. : OI a a OI y. Đường thẳng ( d ) được viết lại như sau: m m y m 0 m y m m. + Đế ý rằng với m thì đường thẳng Oy nên khoảng cách từ O đến ( d ) là. + Nếu kiện để ( d) cách m đường thẳng ( d ) có thể viết lại: m OI là ( d) : 0 song song với trục m m y m m. Điều. m m m. Khi đó khoảng m OI. Vậy c) Ta có thể giải bài toán theo cách sau: m là giá trị cần tìm. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí + Cách : Dễ thấy m không thỏa mãn điều kiện (Do ( d ) không cắt Oy ). Xét m, đường thẳng ( d ) cắt O, Oy tại các điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB, do góc 0 AOB 90 OAB vuông cân tại O. Suy ra hệ số góc của đường thẳng ( d ) phải bằng hoặc và đường thẳng ( d ) không đi qua gốc O. m m m. Ta thấy chỉ có giá trị m m m bài toán. m là thỏa mãn điều kiện Cách : Dễ thấy m, m 0 không thỏa mãn điều kiện m m Xét m 0;, đường thẳng ( d ) có thể viết lại: y m m. Đường thẳng ( d ) cắt trục O tại điểm A có tung độ bằng 0 nên m m 0 m m A ;0 OA m, đường m m m m m thẳng ( d ) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên m 0; m m y B OB. Điều kiện để tam giác OAB m m m m m m m cân là OA OB. Giá trị m m m m m m không thỏa mãn, do đường thẳng ( d ) đi qua gốc tọa độ. Kết luận: m. 6 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ví dụ ) Cho hai đường thẳng ( d ) : m ( m ) y m 0,( d ) : ( m) my 4m 0 a) Tìm các điểm cố định mà ( d ), ( d ) luôn đi qua. b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0;4) đến đường thẳng ( d ) là lớn nhất. c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I.Tìm quỹ tích điểm I khi m thay đổi. d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác I AB với A, B lần lượt là các điểm cố định mà, d d đi qua. ( d ) : m ( m ) y m 0 m y y 0. a) Ta viết lại Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng ) (d luôn đi qua điểm cố định: ; Tương tự viết lại suy ra ( ) A. ( d ) : ( m) my 4m 0 m y 4 0 d luôn đi qua điểm cố định: ; b) Để ý rằng đường thẳng ( ) B. d luôn đi qua điểm cố định: A ;. Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên ( d ) thì khoảng cách từ A đến ( d ) là PH PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P H PH d.gọi y a b là phương trình đường thẳng đi qua a.0 b 4 b 4 P0;4, A ; ta có hệ : suy ra phương trình đường a. b a thẳng PA : y 4. Xét đường thẳng ( d ) : : m ( m ) y m 0. Nếu m thì d : 0 không thỏa mãn điều kiện. Khi m thì: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí m m d : y m m. Điều kiện để ( d) PA là m m m. 4 c) Nếu 0 d : 0 d : 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I ;. Nếu m thì d : 0 và d : y 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I ;. Nếu m 0; thì ta viết lại m thì y và m m m 4m d : y và d : y. Ta thấy m m m m m m nên d d. m m Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại điểm I. (d ) I (d ) Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng, d d luôn vuông góc A H K B và cắt nhau tại điểm I. Mặt khác theo câu a) ta có, d d lần lượt đi qua điểm cố định A, B suy ra tam giác I AB vuông tại A. Nên I nằm trên đường tròn đường kính AB. AB. Dựng IH AB thì d) Ta có AB AB S I AB IH. AB IK. AB. AB. Vậy giá trị lớn nhất của 4 8 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph diện tích tam giác IAB là khi và chỉ khi IH vuông cân tại I. IK. Hay tam giác IAB Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN Ta có các kết quả quan trọng sau: + Xét hàm số y f ( ) a b với m n khi đó GTLN, GTNN của hàm số sẽ đạt được tại m hoặc n. Nói cách khác: f f m f n mn min ( ) min ; và ma ( ) ma ; f f m f n mn. Như vậy để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f ( ) a b với m n ta chỉ cần tính các giá trị biên là f m, GTLN, GTNN. f n và so sánh hai giá trị đó để tìm y f a b + Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất có f m, f n 0 thì f 0 với mọi giá trị của thỏa mãn điều kiện: m n. Ví dụ : Cho các số thực 0, y, z. Chứng minh rằng: y z y yz z 4. Ta coi y, z như là các tham số, là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng f ( ) y z y z yz 4 0. minh có thể viết lại như sau: Để chứng minh f 0 ta chỉ cần chứng minh: có: f f 0 0. Thật vậy ta 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 9

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí + f y z yz y z 40 0 4 0 với y, z thỏa mãn: 0 y, z. f y z y z yz 4 yz 0 với y, z thỏa mãn: + 0 y, z. Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng ảy ra khi và chỉ khi ; y; z 0;; hoặc các hoán vị của bộ số trên. Ví dụ : Cho các số thực không âm, y, z thỏa mãn điều kiện: y z. Tìm GTLN của biểu thức: P y yz z yz. Không mất tính tổng quát ta giả sử min,, có y z 0 y. 4 4 P yz y z yz z z ẩn số thì f y yz z z y z z y z z. Ta. Ta coi z là tham số y là z là hàm số bậc nhất của y với 0 y. Để ý rằng: z 0 suy ra hàm số 4 f y y z z z luôn đồng biến. Từ đó suy ra z z z z f y f z z z 4 4 4 7 7 7 z z z z. Dấu bằng ảy ra 7 4 08 7 6 7 khi và chỉ khi y z. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ví dụ : Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c. Chứng minh rằng: a b c a b c 5 6. Không mất tính tổng quát giả sử: a min a, b, c thức tương đương với suy ra a. Bất đẳng 5 a b c bc 6 a b c bc b c 5a a bc 6 a a bc a 9a 4 bc a 0. Đặt t bc thì b c a 0 t. Ta cần chứng minh: f t 9a 4t a a 0 với mọi t 0;. Do 9a 4 0 suy a ra hàm số f t nghịch biến. Suy ra f t f aa 0. 4 Đẳng thức ảy ra khi và chỉ khi a b c. Kiến thức cần nhớ. Vấn đề : HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số y a a 0 : Hàm số ác định với mọi số thực Tính chất biến thiên: +) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi 0, nghịch biến khi 0. +) Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi 0, nghịch biến khi 0. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối ứng. Khi a 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi a 0 thì Parabol có bề lõm quay uống dưới. y y O y= a Với a>0 y= a Với a<0 Ví dụ. O a) Hãy ác định hàm số y f a biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A ;4. b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho c) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 6. d) Tìm m sao cho ; B m m thuộc Parabol. e) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ. A P 4 a. a a) Ta có b) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O 0;0 quay bề lồi uống dưới, có trục đối ứng là Oy đi qua các điểm 9 y y= 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ - - O

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph ;, ;, ;9, ;9 M N E F c) Gọi C là điểm thuộc P có tung độ bằng 6. Ta có:. Vậy C 4;6 hoặc 4;6 y C 6 C 6 C 4 C. d) Thay tọa độ điểm B vào P ta được: m m m m 0 m m 0 m 0 hoặc m. e) Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có:, ;, d D O y d D Oy. Theo giả thiết ta có: D D D D D D 0 (loại) hoặc. Vậy D ; hoặc ; D D. Ví dụ : Một e tải có chiều rộng là,4 m chiều cao là,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 5 m( Bỏ qua độ dày của cổng). ) Trong mặt phẳng tọa độ Oy gọi Parabo P : y a với a 0 là hình biểu diễn cổng mà e tải muốn đi qua. Chứng minh a. ) Hỏi e tải có đi qua cổng được không? Tại sao? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 0 Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 05-06) ) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA NA m. Theo giả thiết ta có OM ON 5, áp dụng định lý Pitago ta tính được: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 4

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí OA 4 vậy M ; 4, N ; 4. Do ; 4 điểm M thỏa mãn phương trình: P : y. M thuộc parabol nên tọa độ P : y a hay 4 a. a và ) Để đáp ứng chiều cao trước hết e tải phải đi vào chính giữa cổng. Xét đường thẳng d : y (ứng với chiều cao của e). Đường thẳng này cắt Parabol tại điểm - T y O B H có tọa độ thỏa mãn hệ: y y ; y y ; y suy ra tọa độ hai giao điểm là T ; ; H ; HT,4. Vậy e tải có thể đi qua cổng. Ví dụ. Trong mặt phẳng tọa độ Oy cho đường thẳng d : y và điểm F IF. 0; -4 A. Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng N M y=- 44 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Giả sử điểm I ; y. Khi đó khoảng cách từ I đến d bằng y và. Như vậy y y IF y y 4. Từ đây suy ra. Do đó tập hợp tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng IF là đường Parabol P : y. 4 Ví dụ 4. a) Xác định điểm M thuộc đường Parabol đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I 0;. b) Giả sử điểm A chạy trên Parabol điểm J của đoạn OA. a) Giả sử điểm M thuộc đường Parabol Khi đó IM m m m 4 m. Vậy P : y sao cho độ dài P : y. Tìm tập hợp trung P : y suy ra ; M m m. IM m. Ta thấy IM nhỏ nhất bằng 4 hay M ;. khi m Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 45

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí b) Giả sử điểm ; điểm đoạn OA.Suy ra A a a thuộc P : y. Gọi ; a a y P : y. đoạn OA là đường Parabol I y là trung. Vậy tập hợp các trung điểm I của Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oy, cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y sao cho A, B O0;0 và OA OB. Giả sử I là trung điểm của đoạn AB. a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB. b) Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định. c) Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. a) Giả sử Aa; a và ; và OA OB ta cần điều kiện: ab 0 và B b b là hai điểm thuộc P. Để A, B O0;0 OA OB AB hay ab 0 và 4 4 a a b b a b a b. Rút gọn hai vế ta được: ab. Gọi I y là trung điểm đoạn AB. Khi đó: ; a b. Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn a b a b ab y phương trình y. 46 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA OB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có hệ số góc là góc là k a k a, đường thẳng OB có hệ số a b b. Suy ra điều kiện để OA OB là a. b b b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là : AB a y a b a b a AB : y a b ab a b thẳng AB : y a b luôn luôn đi qua điểm cố định. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường c) Vì OA OB nên 0;. ab. Độ dài đoạn AB a b a b hay hay AB a b ab a b a b 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có a b a b ab, AB ab a b a b 4 4 a b a b. Ta có:. Vậy AB ngắn nhất bằng khi a b, ab. Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: A ; và B ;. Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oy cho Parabol P : y, trên P lấy hai điểm A ;, B;9. a) Tính diện tích tam giác OAB. b) Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của tam giác ABC lớn nhất. a) Gọi y a b là phương trình đường thẳng AB. P sao cho diện tích Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 47 y= 9 K I y B - A A' - H O C(c;c ) C' B'

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Ta có a. b a a. b 9 b suy ra phương trình đường thẳng AB d : y. Đường thẳng AB cắt trục Oy tại điểm I 0;. Diện tích tam giác OAB là: SOAB SOAI SOBI AH. OI BK. OI. Ta có AH ; BK, OI. Suy ra SOAB 6 (đvdt). b) Giả sử ; C c c thuộc cung nhỏ giác: SABC SABB ' A' SACC ' A' SBCC ' B' P với c. Diện tích tam. Các tứ giác ABB ' A', AA' C ' C, CBB ' C ' đều là hình thang vuông nên ta có: 9 c 9 c SABC.4. c. c 8 c 8.Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C ;. Ví dụ 0) Trên mặt phẳng tọa độ Oy cho đường thẳng d : y 6 và parabol P : y. a) Tìm tọa độ các giao điểm của b) Gọi A, B là hai giao điểm của d và P. d và P. Tính diện tích tam giác OAB. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 0 THPT Hà Nội năm 04) ) Phương trình hoành độ giao điểm của 6 6 0 Vậy tọa độ giao điểm của P và P và d là:.ta có y y d là B ;4 và A ;9. 4; 9. 48 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph ) Gọi A', B ' lần lượt là hình chiếu của A, B uống trục hoành. Ta có S OAB SAA' B' B S OAA' S OBB' Ta có A' B ' B' A' B' A' 5; AA' ya 9; BB ' yb 4 AA' BB ' 9 4 65 7 S AA' BB'. A' B '.5 (đvdt), S OAA' A' A. A' O 65 7 (đvdt) S OAB SAA' B' B S OAA' S OBB' 4 5 (đvdt). Phương trình bậc hai và định lý Viet Kiến thức cần nhớ: Đối với phương trình bậc hai a b c 0a 0 b 4ac. + Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép có biệt thức b. a b + Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; a b. a Công thức nghiệm thu gọn : Khi b b', ta ét ' b' ac. Khi đó: + Nếu ' 0 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu ' 0 thì phương trình có nghiệm kép b'. a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 49

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí b' ' + Nếu ' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ; a b' '. a SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC Để chứng minh một phương trình bậc có nghiệm. Thông thường ta chứng minh: 0 dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng A B 0, kiến thức về bất đẳng thức, bất phương trình, trong một số bài toán khó ta cần nắm bắt được những tính chất đặc biệt của tam thức bậc để vận dụng. Ngoài các kiến thức cơ sở trong SGK ta cần nắm thêm một số kết quả, bổ đề quan trọng sau: + Mọi tam thức bậc : f a b c với a 0 đều có thể phân tích thành dạng b f a a 4a với b 4ac. + Để chứng minh một phương trình bậc hai f a b c 0a 0 có nghiệm ngoài cách chứng minh 0 ta còn có cách khác như sau: Chỉ a. f 0 hoặc hai số thực, sao cho: ra số thực sao cho f. f 0. Thật vậy ta có thể chứng minh điều này như sau: + Ta có a f a 4a b. a 0 b b 0 0 0 suy ra phương trình a 4a 4a a có nghiệm. 50 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph a f a f a f f + Xét... 0 trong hai số af có một số không dương, tức là af 0 hoặc 0 phương trình có nghiệm. Ví dụ ). Giải các phương trình sau: ) ) 5 6 0 0. ) 0 m m m 0. 4) af và af ) Ta có 5 4..6. Phương trình có nghiệm phân biệt 5. 5. ) Ta có 0 4. 7 7. Phương trình có nghiệm phân biệt ) Ta có: 7 7. 4 7 7. 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí 4.. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 4) m m m 4. m m Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m m Ví dụ. Cho phương trình: m m m 0 (). Giải phương trình () khi m. Tìm m để phương trình () có nghiệm kép.. Tìm m để phương trình () có hai nghiệm phân biệt.. Với m ta có phương trình: 6 0. Ta có ' 0 nên phương trình có nghiệm là: 0 và 0.. Phương trình () có nghiệm kép khi và chỉ khi: m 0 m m ' m m. m 0 6m 0.. Phương trình () có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi, 5 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph m 0 m m. ' m m. m 0 6m 0 m Ví dụ. Cho a b 0, b c 0, a c 0. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: a b c a b c a b c 0. Nếu a b c 0 thì từ giả thiết ta suy ra a b c 0. Do vậy phương trình có vô số nghiệm. Dưới đây ta ét trường hợp a b c 0. Ta có: ' a b c a b c. a b c a b c aba b bcb c aca c a b aba b b c bcb c a c aca c a b a b b c b c a c a c... 0. Do a b, b c, a c 0. Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm. Ví dụ 4: Cho phương trình: a bc b c 4abc 0 () a 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm: a b c 0 và a c b 0 (). Vì () vô nghiệm nên ta có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 5

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí b c 4a b c 4abc 0 b 4ac c 4ab 0(*) Phương trình() có: b 4 ac; Phương trình () có: c 4 ab Nên (*). 0 trong hai số, luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình () và () luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm. Ví dụ 5) 54 a) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm 4 4 a 4a 9abc 0 và 4 4 b 4b 96abc 0. b) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm : b c 0; 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ a 0; c) Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: c a b 0 (). a b c a) Hai phương trình trên lần lượt có 0 () ; b c a 0 () ' 6a 48 bc, ' 6b 4ac. Vì a, b là các số dương nên ', ' lần lượt cùng dấu với 48bc và 4ac. Mặt khác ta lại có 48bc 4ac 4c a b 4c c 6c 0. Dẫn đến ' ' 0. Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph b). Ba phương trình đã cho lần lượt có Do đó Lại có. a b c a 4; b 4; c 4. a b c a b c a b b c c a a b c.suy a b c ra a b c. Do đó a b c 0 hay 0. Vậy có ít nhất một trong ba phương trình đã cho có nghiệm. 6 c) Nếu Trong ba số a, b, c có một số bằng 0, chẳng hạn a 0 () có nghiệm 0. Ta ét a, b, c là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có : ' b ac; ' c ab; ' a bc. Xét tổng ta có: Suy ra trong ba số ' ; ' ; ' có ít nhất một số không âm hây ba phương ' ' ' a b c ab bc ca a b b c c a 0 trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. Ví dụ 6) a) Cho tam thức bậc hai f b c trong đó b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k để được 05. 06 f k f f. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 55

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Giải: b) Cho tam thức bậc hai f b c. Giả sử phương trình f có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng phương trình f f có 4 nghiệm nếu: b 4b c. a) Đây là bài toán khó: Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất: Với mọi đa thức bậc dạng f p q. Ta luôn có f f f. f với mọi. Thật vậy ta có: f f f b f c f f. b. f b c f f. b. f b c f f. bf f f f b f b c f. f Trở lại bài toán chọn 05 ta có 05 05 05. 06 f 05 05. b) Ta có: f f f f. Ta suy ra số k cần tìm chính là: k f f f bf c f f f b f b c hay Để ý rằng phương trình b b c 0 có f f f f b f b b c b 4b c 0 và f 0 suy ra f f có 4 nghiệm. Chú ý: có nghiệm phân biệt nên 56 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph + Để chứng minh trong n số a, a,... a n có ít nhất một số không âm (hoặc một số dương) ta chỉ cần chứng minh tổng ka ka... k a 0 trong đó k, k... kn 0. Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: a a c b c a c a b 0 () () a b c ab bc ca abc 0 () Cách : Vì a b c 0 nên () là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh ' 0 Ta có: ab bc ca abca b c a b b c c a abca b c ' ab bc bc ca ca ab 0. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. n n Cách : Gọi f là vế trái của phương trình (). Ta có: 0 ; ; ; f abc f a a a b a c f b b b a b c f c c c a c b f 0. f a. f b. f c abc a b b c c a 0 trong bốn số f 0, f a, f b, f c luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm. Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn:a 4b 6c 0. CHứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: Cách : f a b c 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 57

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí * Nếu a 0 4b 6c 0 c b f b f nghiệm có * Nếu a 0 ta có: a c a c 6 6 b 4ac 4ac 0 f 0 có nghiệm 6 6 Cách : Ta có: f 4 f a b c 4 a b c a 4b 6c 0 4 f f f. f f 0 f 0 có nghiệm. Cách : Ta có a b c c 9 9a b 6c 4 6 c f 0 c; f a b c 4 6 4 6 6 8 Suy ra f 0. f 0 4 suy ra phương trình luôn có nghiệm. Nhận ét: Với cách giải thứ hai thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức: f 4 f 0. Tại sao ta ét, f f và nhân thêm các hệ số và 4. Vậy ngoài hai giá trị f, f ta còn có những giá trị nào khác không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta ét f, f, f 0. Ta cần ác định hệ số m, n, p 0 saocho: mf nf pf 0 a 4b 6c. 58 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương 4 m n 9 9 trình: m n 4 m, n, p. Vậy ta m n p 6 có: f 9 f f 0 0 trong ba số f, f, f 0 tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm. Cách giải thứ : Tại sao ta chỉ ra được f. Điều này là hoàn toàn tự 4 nhiên nếu ta cần tạo ra một tỷ lệ a : 4b để tận dụng giả thiết: a 4b 6c 0 Ta ét bài toán tổng quát sau: Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m; mp n a b c và 0. m n p Chứng minh rằng phương trình: () có nghiệm 0; f a b c 0 Giải: Để chứng minh () có nghiệm 0;, ta sẽ chỉ ra các số thực, 0; sao cho f. f 0. Vì, 0; và có giả thiết n n m nên dẫn đến ta ét: m n n n m m m f a b c. Mặt khác Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 59

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí a b c m n n m từ: 0 a. b c c 0 m n p n m m p n m n n pm n pm n pm n f c. 0 f c f 0 n m pn m pm pm * Xét c 0 - Nếu a 0 b 0 f là đa thức không, do đó f trong 0; - Nếu a 0, từ giả thiết b n a m và b f a b 0 0; a * Xét 0 n pm n m pm c ta có: f. f 0 f 0 0 f n 0; 0; m sẽ có nghiệm có nghiệm VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số) Bài toán : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức m n p 0. Phương pháp: y a b c m n p với Gọi y 0 là một giá trị của biểu thức: Khi đó 60 a b c 0 0 0 0 0 y y m a y n b y p c m n p. (*) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ta ét trường hợp: + Nếu y0m a 0 y0 a m thay vào một giá trị của biểu thức. a * ta tìm được suy ra y0 là m a + Nếu y0m a 0 y0 thì (*) là phương trình bậc ẩn. Điều kiện m để phương trình có nghiệm là: 0. Từ đó ta suy ra điều kiện của y 0. Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức. + Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Ta có: Nếu 0 b b a. f a a. Từ đó suy ra a 4a a 4 thì a. f 0 a, f luôn cùng dấu. Một kết quả thường f a b c uyên sử dụng trong giải toán là: Nếu tam thức bậc : có a 0, 0 f 0,. Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức: a) b) y P 5 7. 8 7. c) y 9y A y 5y với y 0. d) y A biết y y y (Đề TS ĐH khối B- 008) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 6

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí 6 a) Do 5 5 7 0 4, suy ra biểu thức y luôn ác định với mọi. Gọi y 0 là một giá trị của biểu thức khi đó ta có: y 0 y 0 5y0 7y0 0 5 7 *. 7 + Nếu y0 5 7 0 điều đó có nghĩa là y0 là một giá 5 trị của biểu thức nhận được. + Nếu y0 thì (*) là một phương trình bậc có 5y 4. y.7 y y 8 y. Phương trình có nghiệm khi và 0 0 0 0 0 8 chỉ khi 0 0 y0. Để ý rằng với mỗi giá trị y0 0 hoặc 8 y0 thì 0 nên 5y0 + GTNN của y là 0 khi và chỉ khi 0. y + GTLN của y là 8 b) ĐKXĐ. khi và chỉ khi y 8 7 Ta có P P 8 P 7 0 trình bậc hai ẩn. Trường hợp : P 0 P thì (*) 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 0 8 5. 5y 4. 8 0 5 0 (). Coi () là phương

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Trường hợp : P 0 P phương trình () có nghiệm khi ' 0 P 8P 9 0 P P 9 0 P 9 (**). Kết hợp (*) và (**) ta có min P ;ma P 9. c) y 9y A y 5y. Biểu thức A có dạng đẳng cấp bậc. Ta chia tử số và mẫu số cho t t t y và đặt t thì A y t t t 9. Ta có t 5 5 4 0 với mọi t. Gọi A 0 là một giá trị của biểu thức. t t 9 0 0 0 0 Khi đó ta có: + Nếu A0 thì được. A A t A t 5A 9 0 (*) t t 5 t suy ra 0 6 + Nếu A0 thì (*) là một phương trình bậc có 0 0 0 0 0 A là một giá trị của biểu thức nhận ' A A 5A 9 4A A 7. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 7 ' 0 4A0 A0 7 0 A0 4A0 7 0 A0.Từ 4 A0 đó ta có GTNN của A là khi và chỉ khi t y. GTLN A của A là 7 4 khi và chỉ khi A0 7 7 t y. A 0 0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 6

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí d) Nếu y 0 thì Xét y 0 đặt ty thì P. y y t 6t y y y y t t A. Giải tương tự như câu b) Ta có 6 A. Suy ra GTNN của A là 6 đạt được khi và chỉ khi ; y hoặc ; y. GTLN của A là đạt được khi và chỉ khi ; y hoặc 0 0 ; y. 0 0 Ví dụ : Cho các số thực, y, z thỏa mãn điều kiện: GTLN, GTNN của. y yz z 8. Tìm y z 5 Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: yz 8 5 y z 5 yz 8 y z y z 5 (*) hay (*). Vì, y, z là các số thực thỏa mãn * nên suy ra y, z là hai nghiệm của phương trình: Điều kiện để phương trình (**) có nghiệm là: t 5 t 8 5 0 (**). 5 4 8 5 0 7 0 7 0 hay 7. 64 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Khi t y z nên GTNN của là. Khi 7 4 4 t y z suy ra GTLN của 7. Ví dụ ) Cho các số thực, y, z thỏa mãn điều kiện: y z. Tìm GTLN của biểu thức: P 9y 0yz z. Thay z y vào P ta có: P 9y z 0y 9y y 0y y 0y 0y hay y 0y 0y P 0. Để phương trình có nghiệm điều kiện là y y y P 0 4. 0 0 0 hay 96y 76y 44P 0 P y y y 74 74 495 495. Do đó 7 96 7 48 48 GTLN của P là 495 48 đạt được khi 5 7 ; y ; z. 74 7 74 Ví dụ 4) Cho các số thực dương a, b, c sao cho a b c. Chứng minh rằng: 9 a ab abc. Từ giả thiết ta suy ra b a c. Ta biến đổi bất đẳng thức thành: 9 9 a a a c ac a c 0 c a c 5c 4a 0 coi đây là hàm số bậc của a. Xét 5 4 f a c a c c a 9 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 65

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí ta có hệ số của a là c 0 và ta có: c 5c 4 8c c c 4c c c c c 0 do 0 c ra khi và chỉ khi a, b, c.. Suy ra f a 0, dấu bằng ảy ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC Kiến thức cần nhớ: Định lý Viet: Nếu, là hai nghiệm của phương trình a b c a 0, 0 thì b a c. a Ghi chú: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là 0. Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet + Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai: c Nếu a b c 0 thì phương trình có hai nghiệm là ;. a c Nếu a b c 0 thì phương trình có hai nghiệm là ;. a (*) + Tính giá trị của biểu thức g, trong đó, ứng giữa hai nghiệm, của phương trình (*): g là biểu thức đối Bước : Kiểm tra điều kiện 0, sau đó áp dụng định lý Viet. 66 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Bước : Biểu diễn biểu thức, được, g. g theo S, P. Một số biểu thức đối ứng giữa hai nghiệm thường gặp: S P ; S SP ; từ đó tính S P P S 4S P P ; 4 4 4 4 S 4 P,... + Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là, cho trước: Bước : Tính S ; P. Bước : Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm, là X S X P. 0. + Tìm điều kiện để phương trình bậc hai (*) ( a, b, c phụ thuộc vào tham số m ), có hai nghiệm, thỏa mãn một điều kiện cho trước h, 0 () Bước : Tìm điều kiện để phương trình (*) có nghiệm, nghĩa là 0. Sau b c đó áp dụng định lý Viet để tính S () và P. () a a theo m. Bước : Giải hệ phương trình (),(),() (thường sử dụng phương pháp thế) để tìm m, sau đó chú ý kiểm tra điều kiện của tham số m ở bước. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 67

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí + Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình (*) có hai nghiệm, thì a b c a.. + Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc ta cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc sau: Nếu: m m m. 0 Nếu Nếu m m m m 0 m m m m 0 Một số ví dụ: Ví dụ. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm a) b) 0 0 c) 5 0 5 7 0 a) Ta có: c P. 0 0 a b S 0 a Vì P 0 nên hai nghiệm, cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương. c b) Ta có: P. 0 nên hai nghiệm, trái dấu. a 68 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph c) Ta có: c P 0 a 5 b 7 S 0 a 5 Vì P 0 nên hai nghiệm, cùng dấu và S 0 nên hai nghiệm cùng dấu âm. Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4 a) f 5 b) g P ; y 6 y y d) c) Q ; y y y y. a) Phương trình 5 0 5 4 có hai nghiệm hoặc Suy ra f hoặc b) Phương trình 4 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 69. 5 4 0 5 4 0 4.Suy ra g 4 c) Ta coi phương trình. Ta có. 6 y y 0 là phương trình bậc hai ẩn y 4.8y 49y 0. Suy ra phương trình có nghiệm là y 7 y y hoặc y. Do đó y y P y y y ; 6

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí y y y 0 y y y 0 d) Ta có Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có: y 8 y y 5y 0y 5y 0 y 5y Suy ra phương trình có nghiệm là y hoặc 4 y y Q ; y y y y. Do đó Ví dụ : Phân tích đa thức 4 tam thức bậc hai ẩn. Ta có f m m m thành tích của hai 4 4 m m m m m 0 0 Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn m và có: 4 m 4 4 4 0 Suy ra 0 f m hoặc m.do đó f m m. Ví dụ 4: a) Cho phương trình m 5 0, với m la tham số. Biết phương trình có một nghiệm là, tìm m và tìm nghiệm còn lại. b) Cho phương trình m m 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. 70 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph c) Cho phương trình m 4 5, với m là tham số. Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. a) Vì là nghiệm của phương trình nên thay vào phương 5 trình ta được 8 m 5 0 m. Theo hệ thức Viet ta có: 5 mà nên.vậy m và nghiệm còn lại là 5 4. b) Phương trình có hai nghiệm dương m ' m 0 S m 0 m m P m 0 m m Vậy với m thỏa mãn bài toán. c) Ta có 4 m 5 4 4 m m () Đặt t 0. Khi đó () thành: t t m 0 () Để () có 4 nghiệm phân biệt thì () có hai nghiệm phân biệt dương, tức là 0 4m 0 phải có: P 0 m 0 m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. S 0 0 Ví dụ 5) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí a) Tìm m để phương trình nghiệm phân biệt, 4 m m 4m 0 có hai. thỏa mãn: b) Chứng minh rằng phương trình: a b c 0a 0 () có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp k k lần nghiệm kia khi và chỉ khi k ac kb. c) Tìm các giá trị của m để phương trình m m m 0 có hai nghiệm, là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC, biết độ dài cạnh huyền BC. a) Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên: ' m 4m 0 c m 4m 0 m a m m 4 0 4m 0 4 m m 4m có: S ; P (*). Khi đó theo định lý Viet ta Ta có: 0 0 m (do 0 ) m ; m ; m 5 0 m 4m 5 0 Thay vào (*) ta thấy m không thỏa mãn. Vậy m ; m 5 là giá trị cần tìm. 7 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph b) Giả sử () có hai nghiệm, và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có: k k 0 k k 0 k k 0 k k 0 k k 0 k k 0 k ac k b ac k ac kb a a a c b c Giả sử k ac kb ta chỉ cần chứng minh () có nghiệm là được. Ta có: 4k k b 4ac b b b 0. Vậy ta có điều phải chứng k k minh. c) Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên, 0. Theo định lý Viet, ta có m 0 m m. 0 trình có nghiệm là: (). Điều kiện để phương m 4 m m 0 m 4m 0 (). Từ giả thiết suy ra 4. 4. Do đó m m m m m m 4 0 Thay m vào () và () ta thấy m. Vậy giá trị cần tìm là m. Ví dụ 7: Cho phương trình 4 m m mm m 0. a) Giải phương trình khi m. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình có bốn nghiệm đôi một phân biệt. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 7

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí 4 a) Khi m, ta có phương trình: 0 Kiểm tra ta thấy 0 không là nghiệm của phương trình Chia hai vế của phương trình cho ta được: 0 Đặt t, suy ra t. Thay vào phương trình trên ta được: t t t 74 0. Với t ta được 5. Vậy với m phương tình có 0 nghiệm 5. b) Nếu 0 m 0 phương trình đã cho thành: Khi m phương trình vô nghiệm. Khi m thì 0 là một nghiệm của phương trình đã cho và khi đó 4 0 phương trình đã cho có dạng 0. Trong trường hợp này phương trình chỉ có hai nghiệm nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó 0 và m. Chia hai vế của phương trình cho t m. Ta thu được phương trình: t mt m Với t ta được m Với t m 0 () ta được m m 0 () 0 và đặt t 0 t m Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong các phương trình () và () đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng không có nghiệm chung. Để () và () có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph 4 m 0 m m 4m 0 (*) Khi đó nếu 0 là một nghiệm chung của () và () thì: m 0 0 m m 0 0 hoặc m hoặc 0 0.. Suy ra 0 m 0 điều này tương đương với Nếu 0 0 thì m (không thỏa mãn). Nếu m thì () và () cùng 5 có hai nghiệm Do đó kết hợp với (*), suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m. Ví dụ 8) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: a) m m m. 0 có hai nghiệm, thỏa mãn m m 0 có hai nghiệm, thỏa mãn b) c) 5 7 0. m 0 có hai nghiệm, thỏa mãn d) 9. 4 m m 4m 0 có hai nghiệm phân biệt, thỏa. mãn a) Nếu m 0 thì phương trình đã cho thành: 6 0 (không thỏa mãn) Nếu 0 ' m m. m m 4m m. Ta có Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 75

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí 6 6 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là ' 0 m (*). Với điều kiện (*) giả sử, là hai nghiệm của phương trình. m m Từ yêu cầu bài toán và áp dụng Viet ta có: m m m Thay vào phương trình ta được ( m 6m 4 0 m hoặc m m. Đối chiếu điều kiện ta được m hoặc m thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta có: m 4 m 4m 7 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là Theo định lý Viet ta có: m 7 0 m 4 thay vào hệ thức m 5 7 0, ta được m 0m 8 0 m hoặc m Đối chiếu điều kiện ta được m thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có: m 9 4. 9 4m Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là Ta có: 4 4 0 m 9 9.. 9.. 9. 9 76 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph 9. Theo định lý Viet ta có:. m. Thay vào hệ thức được:. 9 ta m m. 9 5m 0 m Đối chiếu điều kiện ta được m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ' 4 m m 4m m 4m d) Ta có: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: ' 0 m hoặc m. Ta có:. Theo định lý. 4 m Viet ta có:. Thay vào hệ thức, ta m 4m. được: 4m 4m m m 4m 5 m 4m 6 m 4m m m m m m m 5. 0 4 5 m 4m 0 m ta được m hoặc m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. m m m Ví dụ 9) Cho phương trình. Đối chiếu điều kiện 0, với m là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m. b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là,. Tìm m để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 77

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí a) Xét a. c m m m 0, m 4 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m. b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là,. Theo câu a) thì 0, do đó A được ác định với mọi,. Do, trái dấu nên t với t 0, suy ra 0, suy ra A 0 Đặt t, với t 0, suy ra. Khi đó A t mang giá t t trị âm và A đạt giá trị lớn nhất khi A có giá trị nhỏ nhất. Ta có A t, suy ra A. Đẳng thức ảy ra khi và chỉ khi t. Với t, ta có t t t t m m 0 0. Vậy với m thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là. Ví dụ 0) Cho phương trình m m 0, với m là tham số. Gọi, là hai nghiệm của phương trình. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa, không phụ thuộc vào m. b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A 78 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ta có m 4 m m 0, với mọi m. Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Viet, ta có: m và m a) Thay m vào m, ta được Vậy hệ thức liên hệ giữa, không phụ thuộc vào m là. Suy ra b) Ta có: m m m m. m A m. Vì m m m m A 0, m m m m Suy ra A, m. Dấu = ảy ta khi và chỉ khi m Và m m m m A 0, m m m m Suy ra A, m. Dấu = ảy ra khi và chỉ khi m. Vậy GTLN của A bằng khi m và GTNN của A bằng khi m. Ví dụ ) Cho phương trình m m m Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 79 0, với m là tham số. Gọi, là nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: 9. 8 Ta có ' m m m m m m m. Để phương trình có hai nghiệm ' 0 0 m. Theo định lý Viet ta có: m và m m. Ta có

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí m m m m 9 m m m m 4 6 Vì 0 m m suy ra 4 4 4 9 9 m m 0 4 6 4 6 Do đó 80 9 9 9 9 m m m 4 6 6 4 8 4 8 Dấu = ảy ra khi và chỉ khi m. 4 Ví dụ ) Cho phương trình m m 0, với m là tham số. tìm tất cả các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, sao cho biểu thức P Ta có phân biệt có giá trị là số nguyên. m 4 m 4m. Để phương trình có hai nghiệm m 0 m. Theo định lý Viet ta có: m và 4 m m 5. Do đó P. Suy ra m 4 4 m 5 4P m m. Do m nên m 4 Để P thì ta phải có m là ước của 5, suy ra m 5 m Thử lại với m, ta được P (thỏa mãn). Vậy m là giá trị cần tìm thỏa mãn bài toán. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Ví dụ 4) a) Tìm m để phương trình thức: Q 0 có hai nghiệm, và biểu m đạt giá trị lớn nhất. b) Cho phương trình m m 0, với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm, sao cho P 6 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Gọi, a 0. là hai nghiệm của phương trình: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a) Phương trình có nghiệm khi 0 4m 0 m (*). 4 S Khi đó theo định lý Viet:. Ta có: P m Q S S P S P m (do (*)) ma Q đạt được khi 4 4 m. Vậy m là giá trị cần tìm. 4 4 b) Ta có ' m m m Để phương trình có hai nghiệm ta có: m và ' 0 m (*). Theo định lý Viet m. Ta có P 6 m m 6 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 8

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí m 4m 8 m. Dấu = ảy ra khi và chỉ khi m thỏa mãn điều kiện (*). Vậy với m thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng. c) Ta có: a 6 0 Phương trình luôn có hai nghiệm phân a biệt. Theo định lý Viet thì: ;. Ta có 6 P a 6 4 6 4 4. Đẳng thức ảy ra khi 4 a 0 a. Vậy minp=4. Ví dụ 4: Giả sử phương trình Chứng minh rằng: a b a a b b. b a b 0 có nghiệm lớn hơn. a Theo định lý Vi et ta có:. Bất đẳng thức cần chứng minh có. b dạng : có:. Hay. Theo bất đẳng thức Cô si ta. Để chứng minh * ta quy về chứng minh: 8 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph trên tương đương với với,. Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức 0 ( Điều này là hiển nhiên đúng). Dấu bằng ảy ra khi và chỉ khi a b. 4 Ví dụ 5: Giả sử phương trình bậc hai a b c 0;. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8a 9ab b Q 9a ab ac 0 có hai nghiệm thuộc Vì phương trình bậc có nghiệm nên a 0. Biểu thức Q có dạng đẳng b b 8 9 cấp bậc ta chia cả tử và mẫu của Q cho a a a thì Q b c 9 a a b a Gọi, là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:. c a b b 8 9 a a 8 9 Vậy : Q b c 9 9 a a * Ta GTLN của Q: Ta đánh giá, 0;. qua với điều kiện. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 8

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Giảsử 84 0 9 9 8 9 9 Q 9 Ta cũng có thể đánh giá theo cách: 0. 0 ; 0 9 9 ( ) 0 9. Suy ra Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 8 9 8 9 9 Q. Đẳng thức 9 9 ảy ra b b 6 a b 6a a b a hay hoặc 0; c c 9a 9 c c 0 0 a a Ta có Q 0 Q. Đẳng thức ảy ra 9 0 b c 0. Vậy GTLN của Q là và GTNN của Q là. Ví dụ 6: Cho phương trình f a b c 0, trong đó a,b,c là các số nguyên và a 0, có hai nghiệm phân biệt trong khoảng (0;). Tìm giá trị nhỏ nhất của a. Giải: Gọi, 0; f a. Vì a, b, c là các số nguyên và a 0 f 0 c a, f a b c a là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho là các số nguyên dương.

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Áp dụng BĐT Cauchy tacó: ; () (Vì 4 4 6 a nên không có đẳng thức). Từ () và () a 6 6 a 5 (a là số nguyên dương). Xét đa thức f 5, ta thấy do f ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5. Ví dụ 7: Chứng minh: với mọi số tự nhiên lẻ. a n n 5 5 n là số chính phương Ta có a n Xét dãy 5 5 5 5 S n n n n n n 5 5 5 5 Xét, ta có của phương trình: 0. n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 85., ta chứng minh b n là một số nguyên.. suy ra, là hai nghiệm n n n n n n Ta có Sn S S S n n n hay. Ta có S, S, S S S. Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh được S n là số nguyên. Suy ra a n S là số chính phương. n CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Kiến thức cần nhớ: Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng d và Parabol ( P) : y a ta cần chú ý: a) Nếu đường thẳng d là y dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào m (song song với trục O ) ta có thể a m. b) Nếu đường thẳng d : y m n ta thường ét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: a m n a m n ét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình bằng cách ét dấu của. 0 từ đó ta a m n 0 Trong trường hợp đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm phân biệt, A B thì A ; m n, B ; m n khi đó ta có: AB m m 4. Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm, ta đều quy về định lý Viet. Chú ý: Đường thẳng y a y dạng: 0 0 d có hệ số góc a đi qua điểm ; M y thì có 0 0 Ví dụ ) Tìm phương trình đường thẳng d đi qua điểm I 0; và cắt parabol ( P ) : y MN. tại hai điểm phân biệt M và N sao cho 0 (Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 000-00). Đường thẳng d qua I với hệ số góc a có dạng: y a 86 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: a a 0 (). Vì a 4 0 với mọi a, () luôn có hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt M ; y, N ; y hay M ; a, N ; a ta có: a,.. Theo định lý Viet MN 0 a a 40 a a 4 40 a 4 a a 40 a 4 40. P : y và đường thẳng d : y m m m. a) Với m, ác định tọa độ giao điểm A, B và d và P. b) Tìm các giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có Ví dụ : Cho parabol hoành độ, sao cho. (Trích đề tuyển sinh lớp 0 thành phố Hà Nội năm 04). a) Với m ta có phương trình hoành độ giao điểm của P và là: 0 hoặc (do a b c 0 ) 9 y ; y. Vậy tọa độ các giao điểm là A ; và Ta có B 9 ;. b) Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 87 d

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí m m m m m m 0 (*) Để P cắt d tại hai điểm phân biệt, thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ' m m m 0 m Cách : m ta có: Khi 4 4 4 4m 4 m m 4 8m 4 m. Cách : b ' b ' Khi m ta có: ' m a a ' Theo yêu cầu bài toán ta có: m m m m. P : y, điểm Ví dụ ) Trong mặt phẳng tọa độ Oy cho parabol M m ;0 với m là tham số khác 0 và điểm 0; đường thẳng d đi qua hai điểm, P tại hai điểm phân biệt, I.Viết phương trình M I. Chứng minh rằng d luôn cắt A B với độ dài đoạn AB 4. Phương trình đường thẳng d : y. Phương trình hoành độ giao m điểm của đường thẳng d và Parabol là: m m 4 4m 0. Ta có ' 4 4m 0, m suy ra d luôn cắt P 88 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph tại hai điểm phân biệt A ;, B ; AB 4 4 4 Theo định lý Viet ta có:, 4. m 6 4 Vậy AB 6 6 nên AB 4. m m Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oy, cho parabol P có phương trình y. Gọi d là đường thẳng đi qua I 0; và có hệ số góc k. d. Chứng minh đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B khi k thay đổi. a) Viết phương trình đường thẳng b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. Trích đề thi THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHQGHN năm học 006-007 a) Đường thẳng d : y k Xét phương trình k k 4 0 (). Ta có: ' k 4 0 với mọi k, suy ra () có hai nghiệm phân biệt. Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử () có hai nghiệm phân biệt, Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 89

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí Suy ra A ; y, B ; y thì ;0, ;0 H K. Khi đó IH 4, IK 4, KH. Theo định lý Viet thì 4 nên IH IK KH. Vậy tam giác IHK vuông tại I. 8 Ví dụ 4: Cho Parabol ( P) : y và đường thẳng ( d) : y m 4. a) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt A, B.Gọi, là hoành độ của các điểm A, B. Tìm giá trị 7 lớn nhất của Q. b) Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 8. a). Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là: m 4 m 4 0. Ta có m 6 0, với mọi m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng d luôn cắt m P tại hai điểm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: ta có. 4 m 7 Q. (dùng phương pháp miền giá trị hàm số- Xem thêm phần ứng m 8 dụng trong bài toán GTLN, GTNN) ta dễ tìm được giá trị lớn nhất của Q là và GTNN của Q là b) Để ý rằng đường thẳng đạt được khi m và m 8. 8 d luôn đi qua điểm cố định I 0;4 nằm trên trục tung. Ngoài ra nếu gọi ;, ; A y B y thì. 4 0 nên hai giao điểm A, B nằm về hai phía trục tung. Giả sử 0 thì ta có: 90 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph SOAB SOAI SOBI AH. OI BK. OI với H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A, B trên trục Oy. Ta có OI 4, AH, BK. Suy ra S OAB SOAB 4 4 4. Theo định lý Viet ta có: m, 4. Thay vào ta có: OAB S 4 m 6 64 m 0. Nếu thay điều kiện S 8 thành diện tích tam giác OAB nhỏ nhất ta cũng có kết quả như trên. Vì m S m 0 4 6 64. Ví dụ 5) Trong mặt phẳng tọa độ Oy, cho đường thẳng d : y a 0 và parabol P : y a a) Tìm a để ( a 0). d cắt P tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng A và B nằm bên phải trục tung. b) Gọi, là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu A B 4 thức T. A B A B Hà Nội năm học 005-006). (Trích Đề thi vòng THPT chuyên TP a) Xét phương trình a a a a 0 () d cắt P.tại hai điểm phân biệt A, B khi () có hai nghiệm phân biệt ' 0 a. Kết hợp với điều kiện ta có 0 a khi đó () có hai nghiệm dương nên A, B nằm ở bên phải trục Oy. b) Theo định lý Vi et ta có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 9

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn phí A B 0 a.ta có: T a theo bất đẳng thức Cô si cho số a A. B a 0 dương ta có: a. Vậy mint khi a. a Ví dụ 6) Cho parabol P : y và đường thẳng d : y m a) Chứng minh rằng đường thẳng điểm phân biệt với mọi giá trị m.. d luôn cắt parabol P tại hai b) Gọi A ; y và B ; y là các giao điểm của giá trị lớn nhất của biểu thức M y y. d và P. Tìm (Trích đề TS lớp 0 Trường THPT chuyên ĐH sư phạm Hà Nội năm 009) a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: m m 0 () m 4 0 với mọi m nên () có hai nghiệm phân biệt, suy ra cắt P tại hai điểm phân biệt A ; y và ; B y. b) Theo định lý Viet, ta có: m; d luôn M y y m 0 Vậy ma M 0 khi m 0. BÀI TẬP RÈN LUYỆN m m m ) Cho phương trình 8 0 có nghiệm. Tìm các giá trị của m và tìm nghiệm còn lại của phương trình. ) Cho phương trình 0 () a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt 9 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Truy cập Website: Tải tài liệu học tập miễn ph b) Gọi các nghiệm của phương trình là,. Không tính giá trị của,, hãy tính các giá trị của biểu thức sau: A C B m m 0, m là tham số. ) Cho phương trình bậc hai a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi hai nghiệm phân biệt là,. Tính giá trị của biểu thức P sau theo m : P. Từ đó tìm các giá trị của m để P đạt giá trị lớn nhất và tìm các giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất. m m m 4) Cho phương trình 4 4 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. 5) Cho phương trình m 0, m là tham số. tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, thỏa mãn. 6) Cho phương trình m m 5 4 0, với m là tham số. Xác định các giá trị của m để phương trình có: a) Nghiệm bằng 0. b) Hai nghiệm phân biệt trái dấu. c) Hai nghiệm phân biệt cùng dương. Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ 9