TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi n) Ngæ Thà Nh

TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi n) Ngæ Thà Nh

LOISCENTER ST: 096 568 5459

LOISCENTER æi líi chia s Ch 0 0 n«m núa khi l n sâng cæng ngh» 4.0 s³ ành h¼nh l i c u tróc cuëc sèng v x hëi. C i âi ngh±o ñc tr v cho qu khù, lóc â lao ëng khæng cán l º tçn t i m chõ y u nh m möc ½ch s ng t o v ti n bë. C c cæng vi»c s³ tªp trung v o 4 nhâm: Ngh» thuªt Khoa håc kÿ thuªt Dàch vö Sùc khäe v Thº thao Tòy thuëc kh n«ng, con ng íi câ thº lüa chån c c thº lo i cæng vi»c phò hñp. Nh ng b t k¼ cæng vi»c g¼ y u tè s ng t o v thi ua s³ ñc a l n h ng u. Chóng tæi chån cæng vi»c chu n bà h nh trang tri thùc khoa håc kÿ thuªt cho lîp cæng d n thíi i 4.0 l m nhi»m vö ch½nh cõa m¼nh. ST: 096 568 5459

MÖC LÖC LOISCENTER Möc löc L m quen vîi b t ng thùc 4. B t ph ìng tr¼nh................................... 4. Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè............. 5.3 B t ng thùc trong b t ng thùc......................... 6.4 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè................. 7 C c b t ng thùc quan trång 8. ành lþ v c c s p x p ho n và.......................... 8. B t ng thùc CBS.................................. 8.3 B t ng thùc Jensen................................. 0.4 Mët sè b t ng thùc t n tuêi............................ 0 3 B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và 4 B i tªp 6 4. Luy»n tªp....................................... 6 4. C c b i tªp n ng cao................................. 4.3 C c b i to n kh c................................... 3 4.4 B t ng thùc h¼nh håc............................... 4 H Nëi, ng y th ng n«m 09 3 ST: 096 568 5459

L m quen vîi b t ng thùc LOISCENTER. B t ph ìng tr¼nh. Gi i c c b t ph ìng tr¼nh sau: a) 3x + 5 7 3x < 4; b) x x + < x3 x 3 + ; c) x + x < 00.. C c ph n sè a, a,..., a n câ m u sè b i > 0(i=,,...,n). CMR gi trà cõa ph n sè b b b n a + a +... + a n n m giúa gi trà nhä nh t v lîn nh t cõa c c ph n sè a i cho. b + b +... + b n b i 3. D y sè sau d y n o bà ch n tr n, (tùc l tçn t i mët sè K sao cho b t k¼ ph n tû n o cõa d y u câ gi trà khæng v ñt qu K). H y x c ành câ tçn t i sè K nh vªy khæng v h y t¼m sè K nhä nh t n u câ thº trong méi tr íng hñp: a) a n = + + 4 +... + n ; b) b n = + 3 + 9 +... + 3 n ; c) c n = + + 3 +... + n ; d) d n = +. +.3 +... + n(n + ). 4. D y f n = + + 3 +... + câ bà ch n hay khæng? n 5. y cõa mët h¼nh thang l a v c. H y biºu thà qua a v c c c i l ñng sau: a) íng trung b¼nh cõa h¼nh thang. b) o n th ng i qua giao iºm cõa hai íng ch²o, song song vîi hai y v giîi h n bði hai c nh b n cõa h¼nh thang. c) o n th ng n o lîn hìn trong c c o n th ng x c ành trong a v b? H y cho chùng minh b ng i sè v h¼nh håc. 6 (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v qu ng íng). a) Mët æ tæ i vîi vªn tèc v trong mët thíi gian nh t ành, v sau â i vîi vªn tèc v công trong thíi gian nh vªy. Häi tr n c qu ng íng xe æ tæ i vîi vªn tèc trung b¼nh l bao nhi u? 4 ST: 096 568 5459

. Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè LOISCENTER b) Mët æ tæ i tø A n B vîi vªn tèc v, sau â khi quay l i tø B v A vîi vªn tèc v. H y x c ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c h nh tr¼nh. 7. Tam gi c vuæng ABC. íng cao CT chia c nh huy n AB th nh c c o n AT = p, BT = q. H y biºu thà qua p v q c c i l ñng sau: a) ë d i íng cao CT ; ( p q) b) ë d i íng trung tuy n CF ; ( p + q ) c) ë d i h¼nh chi u vuæng gâc cõa CT l n CF. ( p + q. Trung b¼nh cëng, nh n, b¼nh ph ìng, i u háa cõa hai sè 8. a) Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l P. Di»n t½ch S cõa h¼nh chú nhªt â n m trong kho ng n o? b) Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l S. Chu vi P cõa h¼nh chú nhªt â n m trong kho ng n o? 9. Cho a v b R +. H y ch ra r ng: a + b a) a + b ; b) a + b a.b; c) a.b ab a + b ; d u b ng x y ra khi v ch khi n u a = b. 0. ) a) N u x R +. H y ch ra r ng: b) N u x R. H y ch ra r ng: x + x x + x. a, b l c c sè d ìng. CMR a b + b a.. iºm n o câ tåa ë (x, y) l nghi»m cõa ph ìng tr¼nh hiperbol x y = câ và tr½ ð g n t m cõa h» tåa ë nh t? 5 ST: 096 568 5459

.3 B t ng thùc trong b t ng thùc LOISCENTER 3. H m sè g(x) tr n mi n sè thüc. Gi trà cüc tiºu (minimum) cõa h m sè l bao nhi u? g(x) = x + x + 4. Chia o n th ng AB th nh hai ph n sao cho c c h¼nh vuæng ñc düng tr n c c o n th ng â (xem h¼nh v³) câ têng c c di»n t½ch: a) Nhä nh t; b) Lîn nh t. 5. N u têng cõa hai sè d ìng khæng êi, th¼ t½ch cõa chóng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng nhä. Têng b¼nh ph ìng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng lîn. 6. C c íng th ng a, b, c v d t o th nh mët h¼nh tù gi c. Tø giao iºm cõa a v b ng íi ta muèn i n giao iºm cõa hai íng kia vîi còng mët ùa tr. V¼ vªy ng íi ta ph i chån íng i ng n nh t. ùng tø iºm xu t ph t nh¼n v hai ph½a ng íi ta u th y ngay r ng tr îc khi i ñc nûa cõa méi íng u ph i r³ vuæng gâc t i gâc phè g n nh t. Th m núa o n íng a (câ v ) d i hìn o n íng b. Ng íi ta ph i chån i íng n o? 7. N u 0 < b a, h y ch ra r ng: b).(a 8 a a + b a.b 8.3 B t ng thùc trong b t ng thùc 8. Cho a, b, c l c c sè d ìng, CMR: 9. Cho a, b, c l c c sè d ìng, CMR: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. b).(a. b ab a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c. 0. Cho a, a,..., a n l c c sè d ìng sao cho a.a.....a n =. CMR: ( + a )( + a )...( + a n ) n 6 ST: 096 568 5459

.4 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè LOISCENTER. N u x, y, z R. CMR: D u b ng x y ra khi n o? x + y + z x y + z + y x + z.. Cho a, a, a 3 l c c sè d ìng sao cho a + a + a 3 =. CMR: 4a + + 4a + + 4a 3 + < 5 3. H m sè hai n x, y R: f(x, y) = x + y xy x y + H y x c ành gi trà cüc trà (cüc i, cüc tiºu) cõa h m sè. x 4. + xy + y Ch ra r ng n m giúa trung b¼nh cëng A(x, y) v trung b¼nh b¼nh ph ìng 3 N(x, y). C c gi trà trung b¼nh n y so vîi gi trà A(x, y).n(x, y) câ luæn nhä hìn hay lîn hìn khæng? (câ).4 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n cõa nhi u sè 5. Cho x, y, z R +. CMR: Khi n o x y ra d u b ng? x + y + z 3 3 xyz 6. Chùng minh b t ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh n. Ngh¾a l n u a, a,..., a n l c c sè d ìng, th¼ a + a +... + a n n n a.a...a n khi n o x y ra d u b ng? 7. Cho x, y l c c sè d ìng. CMR x 3 + y 3 + 3xy. 8. Sè thüc λ nhä nh t n o sao cho b t ng thùc x 4 + y 4 + λ 8xy luæn luæn óng vîi måi sè thüc x, y. 9. H y ch ra r ng vîi c c sè d ìng a, b b t k¼ b t ng thùc sau luæn óng: n+ a.b n a + nb n + 30. Tø c c gâc cõa h¼nh vuæng c nh 30cm, ng íi ta c t c c h¼nh vuæng nhä rçi g p vuæng gâc c c ph n cán l i th nh mët c i hëp mð n p. Häi ph i c t nhúng h¼nh vuæng con câ c nh bao nhi u cm º h¼nh hëp ñc t o th nh câ thº t½ch lîn nh t? 7 ST: 096 568 5459

C c b t ng thùc quan trång LOISCENTER. ành lþ v c c s p x p ho n và 3. N u a < a v b < b th¼ a.b + a.b v a b + a b i l ñng n o lîn hìn v lîn hìn bao nhi u? 3. N u a < a < a 3 v b < b < b 3. C c i l ñng i l ñng n o (a b + a b + a 3 b 3 ), (a b + a b 3 + a 3 b ), (a b + a b + a 3 b 3 ) (a b + a b 3 + a 3 b ), (a b 3 + a b + a 3 b ), (a b 3 + a b + a 3 b ) a) Nhä nh t? b) Lîn nh t? 33 (ành lþ c c s p x p hay cán gåi l b t ng thùc Szucs Adolf). N u a a... a n v b b... b n. (a i, b i R) v π l mët giao ho n cõa (,, 3,..., n), khi â: a b + a b +.... + a n b n a b π() + a b π() +.... + a n b π(n) a b n + a b n +.... + a n b. Khi n o x y ra d u b ng? 34. Trong hai biºu thùc d îi y a, a, a 3, a 4 l c c sè thüc b t ký. Câ thº kh ng ành biºu thùc b n n y luæn lîn hìn b n kia hay khæng? N u óng h y chùng minh, n u sai a ra ph n v½ dö. a) a + a + a 3 + a 4 v (a a 4 + a a 3 ) b) a a 4 + a a 3 + a 3 a + a 4 a v a a + a a 3 + a 3 a 4 + a 4 a. 35. N u a, a, a 3, a 4, a 5 l c c sè d ìng b t ký. CMR: a a + a a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 5 + a 5 a 5 36. Cho tr îc c nh v íng cao t ìng ùng thuëc c nh â cõa tam gi c. Khi n o chu vi cõa nâ l nhä nh t?. B t ng thùc CBS 37. Gi trà cõa a b + a b thay êi trong kho ng n o n u a + a = v b + b =? 38 (B t ng thùc Cauchy Bunhyakovski Schwarz). Cho a, a, a 3,..., a n v b, b, b 3,..., b n l c c sè thüc b t ký. CMR: a b + a b +... + a n b n (a + a +... + a n ).(b + b +... + b n ) Trong tr íng hñp 8 ST: 096 568 5459

. B t ng thùc CBS LOISCENTER a) n = 3; b) n > 3 N Khi n o x y ra d u b ng? 39. N u x, x, x 3 l c c sè thüc, CMR: ( x + 3 x + ) 6 x 3 x + 3 x + 6 x 3 () 40. N u a, a, a 3, a 4 l c c sè thüc d ìng câ têng b ng. CMR: 4a + + 4a + + 4a 3 +. 4. CMR vîi x, y > 0 th¼ (a + b) x + y a x + b y. Khi n o d u b ng x y ra? 4. CMR n u x, x,..., x n > 0 th¼ (a + a + a 3 +... + a n ) a x + x +... + x n x +... + a n x n Khi n o x y ra d u b ng? 43. CMR BT trong b i tr îc t ìng ìng vîi b t ng thùc Cauchy Bunhyakovski Schwarz. 44. Cho a, b, x, y > 0. H y l t m t ph ng b ng nhúng mi ng v n s n k½ch th îc (a b) v (x y) (h¼nh v³) sao cho c c nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t m tåa ë, gi sû y b {(0; 0), (a; b)}, {( x; b y), (0; b)}, {(0; y), (x; 0)} (b > y l m t ìng tü). H y t¼m tr n b n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, º câ thº chùng minh b ng ph ìng ph p h¼nh håc BT CBS trong tr ìng hñp c c c p sè d ìng. 9 ST: 096 568 5459

.3 B t ng thùc Jensen LOISCENTER 45. Bi t r ng a b, a b,....., a n b n trong â a i, b i l c c sè d ìng v c c h» sè p, p,...., p n 0 sao cho p + p +.... + p n =. CMR: (a p + a p +... + a n p n )(b p + b p +... + b n p n ) 46. H y chùng minh b t ng thùc CBS cho nhi u sè: ( ) ( )( )( ai b i c i ai bi ci ).3 B t ng thùc Jensen 47. a) CMR h m sè f(x) = x l h m lçi. b) Chùng minh BT li n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh b¼nh ph ìng cõa nhi u sè h ng. Tùc l n u a, a, a 3,..., a n l c c sè khæng m, th¼: 48. a + a +... + a n n a + a +... + a n n a) CMR h m sè f(x) = x l h m lçi khi x R+. b) Chùng minh BT li n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh i u háa cõa nhi u sè h ng. Tùc l n u a, a, a 3,..., a n l c c sè d ìng, th¼: a + a +... + a n n n + +... + a a a n 49. H m lçi n o chùng minh cho mèi li n h» BT giúa AM v GM?.4 Mët sè b t ng thùc t n tuêi 50 (B t ng thùc Nesbitt). N u a, b, c l c c sè d ìng CMR: a b + c + b c + a + c a + b 3. 5 (B t ng thùc Schur). Cho x, y, z khæng m v r > 0, th¼: x r (x y)(x z) + y r (y z)(y x) + z r (x z)(y z) 0 5 (B t ng thùc AM GM suy rëng). Vîi c c sè thüc d ìng a, a,, a n v x, x,, x n l c c sè thüc khæng m câ têng b ng ta câ a x + a x + + a n x n a x a x a n x n 0 ST: 096 568 5459

.4 Mët sè b t ng thùc t n tuêi LOISCENTER 53 (B t ng thùc Holder). Vîi a, b, c, x, y, z, m, n, p l c c sè thüc d ìng ta câ (câ thº ph t biºu vîi sè ph n tû húu h n) (a 3 + b 3 + c 3 )(x 3 + y 3 + z 3 )(m 3 + n 3 + p 3 ) (axm + byn + czp) 3. 54 (B t ng thùc Chebyshev). Vîi d y sè thüc ìn i»u t«ng a, a, a 3 v b, b, b 3 ta câ (câ thº ph t biºu vîi sè ph n tû húu h n) a b + a b + a 3 b 3 3 (a + a + a 3 )(b + b + b 3 ). ST: 096 568 5459

LOISCENTER 3 B t ng thùc s p x p hay cán gåi l BT ho n và Rearrangement Inequality The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to understand and yet a powerful tool to handle inequality problems. Definition: Let a a... a n and b b... b n be any real numbers. a) S = a b + a b +... + a n b n is called the Sorted sum of the numbers. b) R = a b n + a b n +... + a n b is called the Reversed sum of the numbers. c) Let c, c,..., c n be any permutation of the numbers b, b,..., b n. P = a c + a c +... + a n c n 55. Rearrangement inequality S P R is called the Permutated sum of the numbers. Proof: a) Let P(n) be the proposition: S P. P() is obviously true. Assume P(k) is true for some k N. For P(k+), Since the c's are the permutations of the b's, suppose b k+ = c i and c k+ = b j (a k+ a i )(b k+ b j ) 0 a i b j + a k+i b k+ a i b k+ + a k+ b j a i b j + a k+ b k+ a i c i + a k+ c k+ So in P, we may switch c i and c k+ to get a possibly larger sum. After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k). P(k + ) is also true. By the principle of mathematical induction, P(n) is true n N. b) The inequality P R follows easily from S P by replacing b b... b n by b n b n... b. Note: (a) If a is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if the b is are all equal. (b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive. 56. Corollary : Let a, a,..., a n be real numbers and c, c,..., c n be its permuation. Then a + a +... + a n a c + a c +... + a n c n 57. Corollary : Let a, a,..., a n be positive real numbers and c, c,..., c n be its permuation. Then c + c +... + c n n a a a n The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here are some of the highlights. ST: 096 568 5459

LOISCENTER 58. Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M G.M) Let x, x,..., x n be positive numbers. Then x + x +... + x n n Equality holds if and only if x = x =... = x n. n x x...x n. Proof: Let G = n x x...x n, a = x G, a = x x G,..., a n = x x...x n =. G n By corollary, n a + a +... + a n = x a n a a n G + x G +... + x n G <=> x + x +... + x n n Equality holds a = a =... = a n x = x =... = x n. 59. Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M H.M.) Let x, x,..., x n be positive numbers. Then n n x x...x n + +... + x x x n Proof: Define G anf a, a,..., a n similarly as in the proof of A.M - G.M. n x x...x n By Corollary, n a a + a a 3 +... + a n a = G x + G x +... + G x n which then gives the result. 60. Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S A.M) Let x, x,..., x n be numbers. Then x + x +... + x n n x + x +... + x n n Proof: By Corollary, we cyclically rotate x i, x + x +... + x n = x x + x x +... + x n x n x + x +... + x n x x + x x 3 +... + x n x x + x +... + x n x x 3 + x x 4 +... + x n x...... x + x +... + x n x x n + x x +... + x n x n Adding all inequalities together, we have n(x + x +... + x n ) (x + x +... + x n ) Result follows. Equality holds x = x =... = x n. 6. Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality (CBS inequality) Let a, a,..., a n ; b, b,..., b n be real numbers. Then (a b + a b +... + a n b n ) (a + a +... + a n ).(b + b +... + b n ) Proof: The result is trivial if a = a =... = a n = 0 or b = b =... = b n = 0. Otherwise, define A = a + a +... + a n, B = b + b +... + b n 3 ST: 096 568 5459

LOISCENTER Since both A and B are non-zero, we may let x i = a i A, x n+i = b i i n. B By Corollary, = a + a +... + a n + b + b +... + b n = x A B + x +... + x n x x n+ + x x n+ +... + x n + x n + x n+ x + x n+ x +... + x n x n = (a b + a b +... + a n b n ) AB (a b + a b +... + a n b n ) (a + a +... + a n ).(b + b +... + b n ) Equality holds x i = x n+i a i B = b i A i n. 6. Chebyshev's inequality Let x x... x n and y y... y n be any real numbers.then x y + x y +... + x n y n (x + x +... + x n )(y + y +... + y n ) n x y n + x y n +... + x n y Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate x i and y i, x y + x y +... + x n y n = x y + x y +... + x n y n x y n + x y n +... + x n y x y + x y +... + x n y n x y + x y 3 +... + x n y x y n + x y n +... + x n y......... x y + x y +... + x n y n x y n + x y n +... + x n y = x y n + x y n +... + x n y Adding up the inequalities and divide by n, we get our result. 4 ST: 096 568 5459

LOISCENTER Exercise Hint ) Find the minimum of sin3 x cosx + cos3 x sinx, 0 < x < π ( Consider (sin3 x, cos 3 x), sinx, ) cosx ) Proof: For (ii) and questions below, (i) a + b + c ab + bc + ca Witout lost of generality, let a b c (ii) a n + b n + c n ab n + bc n + ca n Consider (a, b, c), (a n, b n, c n ) 3) Proof: a + b + c a + b + c abc Consider ( a, b, ) (, c a, b, ) c 4) Proof: a b + b c + c a b a + c b + a c Consider ( a b, b c a), c ( a, b, b c a), c 5) Proof: a ( b + b c + c a a + b + c Consider (a, b, c ), a, b, ) c ( 6) Proof: If a, b, c > 0 and n N then : Consider (a n, b n, c n ), a n b + c + bn c + a + cn a + b an + b n + c n b + c, c + a, a + b ) 7) Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c) a a b b c c (abc) a+b+c 3 and use Chebyshev's inequality 5 ST: 096 568 5459

4 B i tªp LOISCENTER 4. Luy»n tªp 63. Cho a, b > 0, CMR: a + b + a + b a + a + b + b. 64. Cho a > b > c, CMR a b + b c + c a > 0. 65. Cho a > b > c, CMR a (b c) + b (c a) + c (a b) > 0. 66. Cho a, b > 0, CMR: 67. Cho a, b b t k¼. CMR: 68. Cho a, b > 0, CMR: 69. Cho a, b b t k¼, CMR: 70. Cho a, b b t k¼, CMR: 7. Cho a, b b t k¼, CMR: a 3 + b 3 a b + ab a 4 + b 4 ab(a + b ) a + b a + b a + b a3 b + b3 a a + b a3 + b 3 a3 + b 3 a4 + b 4 a + b a + b a3 + b 3 a6 + b 6 Chùng minh c c b t ng thùc sau (8-93). 7. a + b + c ab + bc + ca. 73. a + b + c + 3 4 a + b + c. 74. a 4 + b 4 + 4ab. 75. a 4 + > a. 76. a + b + ab + a + b. 77. a 4 + b + c ab ac + bc. 78. a + b + c + 4 ab + 3b + c. 79. a + b + c + d ab + ac + ad. 6 ST: 096 568 5459

4. Luy»n tªp LOISCENTER 80. a + b + c + d ab bc cd d + 5 0. 8. a + b + c + d + e a(b + c + d + e). 8. a b + b c + c a c b + b a + a, vîi abc 0. c 83. a4 b + b4 4 a + a 4 b + b a a b + b +, vîi a > 0, b > 0. a Cho c c sè thüc d ìng a, b, c, d. Chùng minh c c b t ng thùc sau (94-5). 84. a) a + a. b) c) a + a +. a + 3 a + >. 85. a + b + 4 c + 6 d 64 a + b + c + d. 86. (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. 87. (a + )(b + )(a + c)(b + c) 6abc. ab 88. a + b + bc b + c + ca c + a a + b + c. 89. (a + b )c + (b + c )a + (c + a )b 6abc. 90. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 6abc. 9. a ( + b ) + b ( + c ) + c ( + a ) 6abc. 9. (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc. 93. ab c + bc a + ca b a + b + c. 94. abc (a + b c)(b + c a)(c + a b). 95. a a + c + b b + c a + b + c. 96. ab + bc + ca a bc + b ca + c ab. 97. a + b + c ab + bc + ca. a b c 98. b + c + c + a + a + b >. 99. a b + c + b c + a + c a + b 3. d) a + a +. e) a + b c + b + c a f) a b + b c + c a 3. + c + a b 6. 7 ST: 096 568 5459

4. Luy»n tªp LOISCENTER 00. a b + c + b c + a + 0. a + b + c a + b c c a + b a + b + c + b + c a 0. (a + b + c) 3(ab + bc + ca).. + c + a b a3 bc + b3 ca + c3 ab. 03. (ab) + (bc) + (ca) abc(a + b + c). 04. (ab + bc + ca) 3abc(a + b + c). 05. 3(a + b + c ) (a + b + c). 06. ab 5 + bc 5 + ca 5 abc(a b + b c + c a). 07. a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c). 08. a 4 + b 4 + 8 8ab. 09. a 6 + b 6 + c 6 a 5 b + b 5 c + c 5 a. 0. a 7 + b 7 + c 7 a b c (a + b + c).. a 8 + b 8 + c 8 a b c (ab + bc + ca).. a 3 b + b 3 c + c 3 a abc(a + b + c). 3. (a + b) c + (b + c) a + (c + a) b 6 abc. 4. (a + b )(a 4 + b 4 ) (a 3 + b 3 ). ( 5. a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8. ac ba cb 6. (a + b + c)(a + b + c ) 9abc. 7. 8. b + c + c + a + a + b 9 a + b + c. a + b + b + c + c + a a + b + c. 9. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (a 3 + b 3 + c 3 ). 0. c (a + b) + a (b + c) + b (c + a) (a 3 + b 3 + c 3 ).. (a + b + c)(ab + bc + ca) 3(a 3 + b 3 + c 3 ).. (a + b + c)(a + b + c ) 3(a 3 + b 3 + c 3 ). 3. a 3 + b 3 + c 3 a b + b c + c a. 4. a b + b c + c a a + b + c. 5. 8(a 3 + b 3 + c 3 ) 3(a + b)(b + c)(c + a). 6. a + + b + + c + < 4, vîi a + b + c =. 8 ST: 096 568 5459

4. Luy»n tªp LOISCENTER 7. 4a + + 4b + + 4c + < 5, vîi a + b + c =. 8. 6a + + 6b + + 6c + < 9, vîi a + b + c =. ( 9. + ) ( + ) ( + ) 64, vîi a + b + c =. a b c 30. a + b + c <, vîi a + b + c =. 3. a + + a 3 + 50 3a <, vîi 3 a 50 3. 3. a + b + c 4, vîi a + a + 3c 4. 33. (a + c)(b + d) ab + cd. 34. a + b + c 3, vîi abc =. 35. a + b + c a + b +, vîi abc =. c 36. a 4 + b 4 + c 4 a + b + c, vîi abc =. 37. ab + bc + ca a + b + c, vîi abc =. 38. a + b +, vîi abc =. c 39. (a + b)(b + c)(c + a) 7, vîi abc =. 40. (a + )(b + )(c + ) 8, vîi abc =. 4. a + b + c + d + ab + bc + cd + ac + bd + ad 0, vîi abcd =. 4. ( + a ) ( + a )... ( + a n ) n, vîi a a... a n =. 43. Cho p v q d ìng, p + q =. CMR 3 p(p + ) + q(q + ) < v p(p ) + q(q ). 44. Trong mët h¼nh vuæng c nh câ n h¼nh vuæng nhä s p x p sao cho khæng câ hai h¼nh vuæng n o câ iºm chung. CMR têng ë d i c c c nh cõa h¼nh vuæng con khæng qu n. 45. Trong mët khèi lªp ph ìng câ chùa n khèi lªp ph ìng nhä khæng câ hai khèi n o câ iºm chung trong. CMR têng ë d i c c c nh cõa khèi lªp ph ìng con khæng qu n 3. 46. Bi t a > b v ab =, ch ra r ng a + b a b. 47. Bi t a > 0, b > 0, CMR a b a b a + b a + b 48. Cho a, b > 0, ch ra r ng: a + 3 3 b 5 5 ab 9 ST: 096 568 5459

4. Luy»n tªp LOISCENTER 49. Cho a, b, c l c c sè thüc d ìng. CMR: a b + b c c + 3 a > 50. CMR vîi måi sè thüc d ìng a, b, c khæng thäa m n çng thíi c c b t ng thùc sau: a( b) > 4 ; b( c) > 4 ; c( a) > 4. 5. CMR vîi måi sè thüc d ìng a, b, c khæng thäa m n çng thíi c c b t ng thùc sau: a + b < ; b + c < ; c + a <. 5. Cho x > 0, t¼m gi trà nhä nh t cõa h m sè: a) f(x) = x + a x, a > 0, b) f(x) = x3 + x +. x 53. T¼m gi trà lîn nh t cõa h m sè f(x) = ( x) 3 ( + 3x) n u 3 < x <. 54. T¼m gi trà nhä nh t cõa h m sè f(x) = ( + x) 3 ( x) n u 0 x. 55. Ph ìng tr¼nh x 4 4x 3 + ax bx + = 0 câ 4 nghi»m d ìng. H y x c ành c c gi trà a v b. 56. T¼m sè tü nhi n n nhä nh t sao cho (a + b + c ) n(a 4 + b 4 + c 4 ) óng vîi måi sè thüc a, b, c. 57. T¼m gi trà k lîn nh t sao cho a 4 + b 4 + c 4 + abc(a + b + c) k(ab + bc + ca) óng vîi måi sè thüc a, b, c. 58. Chùng minh r ng: ( + ) ( + ) ( + ) ( )... + < 3 4 3 5 n (n + ) 59. Chùng minh r ng: ( + ) ( + ) ( + ) ( )... + < 3 4 5 3 6 n (n + 3) 60. Chùng minh r ng: ( ) ( ) (... ) > p p p n 6. CMR: +! +! + 3! +... + n! < 3. 0 ST: 096 568 5459

4. Luy»n tªp LOISCENTER 6. CMR: + + 3 + 4 +... + n <. 63. CMR: 64. CMR: 65. CMR: 00 + + + n + 99 + 98 +... + + <. n + n 3 +... + n n < n (n > ). + 3 +... + n < 9 5. 66. CMR: 3 4... n < 3, vîi n =, 3, 4,... 67. Chùng minh r ng khæng tçn t i c c sè thüc x, y, z çng thíi thäa m n c c b t ng thùc: x < y z ; y < z x ; z < x y. 68. H y ch ra r ng khæng tçn t i c c sè thüc x, y, z, t sao cho: x > y z + t, z > x y + t, y > x z + t, t > x y + z. 69. Chùng minh r ng: n n! < n+ (n + )!, n =,, 3,... 70. Chùng minh r ng: 7. Ph n sè 994n n! 7. Ph n sè 9+ 94 n 73. Ph n sè n! n n! < n+ n +, n = 3, 4, 5,... câ gi trà lîn nh t vîi n nguy n d ìng n o? câ gi trà lîn nh t vîi n nguy n d ìng n o? n câ gi trà lîn nh t vîi n nguy n d ìng n o?, 00n 74. CMR n u a, a,..., a n d ìng th¼: n k= 75. Vîi n nguy n d ìng, CMR: ( + a k ) ( + a k k ) (n + ). n( n n + ) + + 3 +... + n + n ( n n ). ST: 096 568 5459

4. C c b i tªp n ng cao LOISCENTER 4. C c b i tªp n ng cao 76. CMR b t ng thùc sau luæn thäa m n vîi måi x, x, x 3 : x + x + x 3 x x x x 3 x 3 x 0 77. N u a, a, a 3,..., a n l c c sè d ìng, CMR: ( (a + a +... + a n ) + +... + ) n. a a a n 78. Kþ hi»u p(a, b, c) = a 3 + b 3 + c 3 v q(a, b, c) = a b + b c + c a. Trong c c m nh sau, m»nh n o óng? I. N u a, b, c d ìng th¼ p(a, b, c) q(a, b, c) II. N u a, b, c d ìng th¼ p(a, b, c) q(a, b, c). H y chùng minh ho c phõ ành. 79. N u a, b, c l c c sè d ìng. CMR: a) ab c + bc a + ca b a + b + c b) a b + b c + c a b a + c b + a c 80. N u a, b, c l c c sè d ìng câ têng b ng. T¼m gi trà nhä nh t cõa biºu thùc: + a + + b + + c 8. N u a, b, c l c c sè d ìng. a) H y ch ra r ng ( a ) ( b ) ( c ) 8; b) T¼m gi trà nhä nh t cõa ( a + ) ( b + ) ( c + ). 8. N u n N +. CMR: ( n + ) n ( n + n! 83. N u a, b, c, d l c c sè d ìng. CMR: a b + c d a + c b + d Thäa m n khi v ch khi n u m u sè cõa c c ph n sè ho c tròng nhau, ho c gi trà cõa ph n sè câ m u sè lîn hìn công khæng lîn hìn. D u b ng x y ra khi v ch khi ho c m u sè cõa hai ph n sè b ng nhau, ho c gi trà cõa ph n sè b ng nhau. 84. X c ành gi trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n u c c tham sè a i (i =,..., 008) l c c sè d ìng. a S = + a + a 3 +... + a 008 a 008 + a a + a 3 a + a 4 a 007 + a 85. CMR vîi n l sè nguy n õ lîn th¼ n < n. 86. CMR vîi måi k nguy n d ìng b t ký n u n l sè nguy n õ lîn th¼ n k < n. 87. CMR vîi måi a thùc p(n) b t k¼ l sè nguy n õ lîn thi p(n) < n ) n ST: 096 568 5459

4.3 C c b i to n kh c LOISCENTER 4.3 C c b i to n kh c 88. CMR vîi a, b, c d ìng: a + b + c ab + bc + ca 89. Cho a, b, c d ìng. CMR: a + 3 b + 3 c b 3 a. 3 a + c b. 3 b + a c. 3 b 90. Gi i ph ìng tr¼nh tr n mi n sè thüc: x 3 = x 4 + 7 6 9. Di»n t½ch cõa mët tù gi c lçi l 3cm, têng cõa mët íng ch²o v hai c nh èi di»n l 6cm. T½nh ë d i cõa íng ch²o kia? 9. Cho m, n nguy n d ìng, x d ìng. CMR: (k t qu v n óng khi n l sè thüc d ìng). m.x n + nx m m + n 93. Cho a, b, c l c c sè nguy n d ìng (thüc d ìng công óng). CMR: 94. a, b, c l nhúng sè thüc kh c 0. CMR: ( a + b + c a a.b b.c c 3 ) a+b+c a b + b c + c a a b + b c + c a 95. Cho a i vîi i=,,...,n l c c sè d ìng. CMR: ( a + a +... + a ) a +a n +...+a n ( a a a.a a a...a n + a +... + a n n n a + a +... + a n ) a+a+...+an 96. BT Bernulli Cho a > v a 0, q > 0, q 0. CMR: { ( + a) q > + qa n u q > ( + a) q < + qa n u q < () 97. CMR: N u n > v n tü nhi n: n n > (n + ) n. 98. N u x, y l c c sè d ìng, n l sè tü nhi n lîn hìn. CMR: x n y n (nx (n ).y) 99. T¼m gi trà cüc tiºu cõa h m sè f(x) = 4 x 5 3x. 3 ST: 096 568 5459

4.4 B t ng thùc h¼nh håc LOISCENTER 00. N u a i > 0(i =,,..., n) CMR: (a a.a a.....a n a n ) n (a.a... a n ) a +a +...+a n 0. N u p, q l c c sè nguy n d ìng lîn hìn, CMR: (n ).pq + (n ).(p + q) + n (n ).pq + 0. CMR vîi n tü nhi n lîn hìn : n + n 4 +... + n (n ) n < 03. Cho a i v b i vîi i =,,..., n l c c sè thüc d ìng. CMR: n a i b i 04. Vîi a, b, c, d l c c sè d ìng. CMR: a b + c + 4.4 B t ng thùc h¼nh håc n b i b c + d + th¼ n a i c d + a + n b i d a + b 05. Tam gi c ABC chùa tam gi c MNL. Chùng minh r ng: a) Chu vi cõa tam gi c ABC lîn hìn ho c b ng chu vi tam gi c MNL. b) Di»n t½ch tam gi c ABC lìn hìn di»n t½ch tam gi c MNL. Trong c hai tr íng hñp khi n o d u b ng x y ra? 06. (iºm Fermat Toricelli ) X c ành iºm P trong tam gi c ABC sao cho têng kho ng c ch tø P n c c nh cõa tam gi c l nhä nh t. 07. (B i to n Fagnano ch n ba íng cao). Mët tam gi c ñc gåi l nëi ti p trong mët tam gi c kh c n u méi nh cõa tam gi c n y n m tr n mët c nh kh c nhau t ìng ùng cõa tam gi c kia. Cho tr îc tam gi c nhån ABC. Trong t t c c c tam gi c nëi ti p trong tam gi c ABC, tam gi c nëi ti p câ c c nh l ch n cõa ba íng cao cõa tam gi c ABC l tam gi c câ chu vi nhä nh t. 08. ÀNH LÞ ( Cæng thùc EULER BT v b n k½nh). Cho tam gi c nhån ABC. B n k½nh váng trán t m O ngo i ti p ABC v b n k½nh váng trán t m I nëi ti p tam gi c ABC l n l ñt l R, r. Kho ng c ch OI = d. CMR: a) d = R Rr (cæng thùc EULER). b) R r (BT b n k½nh ). 3 4 ST: 096 568 5459

4.4 B t ng thùc h¼nh håc LOISCENTER 09. (B t ng thùc POTOLEME). C c c nh cõa mët tù gi c lçi theo thù tü l n l ñt l a, b, c, d. Hai íng ch²o l e v f. CMR ac + bd ef, d u b ng x y ra khi v ch khi tø gi c l h¼nh nëi ti p trong váng trán. 0. (B t ng thùc ERDOS MORDELL). Cho P l mët iºm thuëc tam gi c ABC (P câ thº n m trong hay n m tr n chu vi cõa tam gi c). Kho ng c ch tø P n A, B, C l n l ñt l u, v, w: kho ng c ch tø P n c c íng th ng BC, CA, AB l n l ñt l x, y, z. Khi â: u + v + w (x + y + z) d u b ng x y ra khi v ch khi P l trång t m cõa tam gi c u ABC.. a) Trong c c tam gi c câ còng chu vi tam gi c u câ di»n t½ch lîn nh t. b) Trong c c tam gi c còng di»n t½ch tam gi c u câ chu vi nhä nh t.. Chùng minh r ng b t ký mët tam gi c nhån n o câ di»n t½ch b ng công câ thº t ñc trong mæt tam gi c vuæng câ di»n t½ch khæng qu 3. 5 ST: 096 568 5459