Câu I: Học sinh ự giải GỢI Ý GIẢI ĐỀ Câu I: Tìm m để đồ hị (C) hàm số + m+ cắ rục O ại mộ điểm du nhấ Cách : P/rình hoành độ gio điểm củ (C) và rục O: + m+ (*) Dễ hấ không hỏ mãn (*) với mọi m Với ¹, có Û m - (**) Xé hàm số f - rên ậ (- ;) È ( ; + ) T có ( ) - + f - - f Û + Û - Bảng biến hiên - - + f + - - f ( ) - - - - Dự vào bảng biến hiên su r đường hẳng m cắ đồ hị hàm số f - ại mộ điểm du nhấ khi và chỉ khi m>- Vậ (*) có nghiệm du nhấ với h đồ hị hàm số + m+ cắ rục O ại mộ điểm du nhấ với mọi m>- Cách : Dùng dạng đồ hị củ hàm số bậc b + b + c+ d ¹, có đồ hị (C) Phương há: Xé hàm số f + b+ c Tr/hợ : f có D khi đó hàm số không có cực rị và hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) rên nên đồ hị (C) cắ rục O ại mộ điểm du nhấ Tr/hợ : f có D>, ức là hàm số có hi cực rị Gọi, là nghiệm hân biệ củ /rình f Tr/hợ nà đồ hị (C) cắ rục O ại mộ điểm du nhấ khi và chỉ khi hi điểm cực rị củ Û f f < + (C) luôn cùng nằm về mộ hí củ rục O Kế hợ hi r/hợ rên để su r giá rị củ m Nhận é: Theo cách làm nà học sinh hường bỏ só rường hợ nên cần chú ý Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /
Câu II: Giải hệ hương rình ì + í î + + Cách : Xem () là /r bậc hi heo viế lại 4 Có D - - Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) / (*) Nhận é: T có + + - Û + + Û + Đánh giá hi vế su r > Su r D > P/r () có nghiệm T có + ± Tr/hợ : - + - ± - ± Viế () dưới dạng é Th và Û + () + + - ù (4) ë û æ æ - - + ç ç è è ø ø + ở () vào (4) được /r æ Û ç + - è ø Đặ, > Su r (5) P/r (5) rở hành 7 Û + - Û - 7 + () Đặ u có /r u - 7u+ P/r nà có hi nghiệm u 4; u æ + ç - 7 è ø Với u 4 có 4 Û 4 Su r Th vào () su r - + 4 Với u có Û Su r 9 Th vào () su r - + 9 9 ì ì 9 Tr/hợ nà hệ có hi nghiệm í ; í î î 9
Tr/hợ : -- Viế () dưới dạng é Th và Û + - (7) + + - ù (4) ë û æ æ - - -- ç ç è è ø ø + ở (7) vào (4) được /rình æ Û-ç - - è ø Đặ, > Su r P/r (8) rở hành 7 Û + + Û + 7 + (9) Đặ u, u> có /r u + 7u+ P/r nà có hi nghiệm u- 4 và u- (loại) Vậ rường hợ nà hệ đã cho vô nghiệm ì ì 9 Tóm lại, hệ đã cho có hi nghiệm í ; í î î 9 Cách : Dễ hấ không hỏ mãn hệ nên có ì ì æ æ + ç ç + ( ) (*) Û è ø è ø í Ûí ( + ) æ ( ) î ç + îè ø æ éæ ù Từ () và () có ç + êç + ú è ø ê ëè ø ú û æ æ éæ ù Û ç + - ç + êç - + ú è ø è øê ëè ø ú û Đặ có hương rình ( + ) - ( + )( - + ) ( ) é ( ) ù ( ë û )( ) Û + + - - + P/rình nà có nghiệm ± ; (8) æ - - ç - 7 è ø Û + - + - Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /
Với có Û, h vào /r hứ nhấ củ hệ được Û Su r Với - có -Û -, h vào /rình hứ nhấ củ hệ được - +, vô nghiệm Với có Û, h vào /rình hứ nhấ củ hệ được + Û 9 Û Su r 9 9 ì ì 9 Tóm lại hệ đã cho có hi nghiệm í ; í î î 9 Nhận é: Các cách hế khác học sinh ự ìm òi hêm Câu II: æ Giải /rình sin ç - sin - n (*) è 4ø Đ/kiện: cos ¹ Û ¹ + k, kî æ Hạ bậc sin ç - è 4ø để làm uấ hiện góc liên kế - æ é æ ù T có sin ç - - cos - ( - sin ) 4 ê ç ú è ø ë è øû Do đó (*) ( ) Û - sin sin - n Û + n - sin + sin sin + cos Û - sin ( cos + sin ) cos æ ì cos ¹ Û ( sin + cos ) ç - sin Ûí è cos ø î ( sin + cos )( - sin cos ) sin + cos - sin cos Û sin + cos - sin T có é - + l ésin + cos én - ê 4 Ûê Û sin ê Ûê ë - ësin ê + m êë 4 Hợ các nghiệm rên được + n, nî 4 Các nghiệm nà hỏ mãn điều kiện ¹ + k Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) 4/
Vậ /rình đã cho có các nghiệm cho bởi công hức + n, nî 4 Câu III: Tính I 4- ò d Hướng dẫn: é ù Đặ sin với Î ê ; ë ú T có û d cos d Với có ; với có 4-4sin sin Khi đó I ( cos ) ò d cos cos ò d sin cos - sin æ I ò d d sin d sin ò ç - sin ò è sin ø sin d - T có Đặ u sin sin d d d ò ò ò sin sin - cos cos, du- ( sin ) d Với Þ u ; Þ u Khi đó -du du d sin - u - u ò ò ò ( + ) ( - ) d u d u ò - u+ ò - u u u ò ò æ du ò ç + è- u + uø + + é ln( ) ln( ) ln ln ë u+ - - u ù û ò æ sin d cos è Vậ ln( ) - -ç - ø I + - sin d ln( ) - - + Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) 5/
Câu IV: Cho hình chó SABCD có đá ABCD là hình vuông cạnh, SA h vuông góc mặ hẳng (ABCD), M là điểm h đổi rên CD Kẻ SH vuông góc BM Xác định vị rí M để hể ích ứ diện SABH đạ giá rị lớn nhấ Tính giá rị lớn nhá đó Cách : Phương há ọ độ Đặ hình chó SABCD vào hệ rục ọ độ Oz so cho Aº O, BÎO, DÎO, SÎ Oz và ọ độ các điểm như su: ;; B ;; A, D( ; ;), C( ; ;) S( ;; h ) Gọi ọ độ củ M( m; ; ), mî, m Mặ hẳng (SAH) chứ rục Oz, đi qu A ( ;;) uuuur T có SH ^ BM và BM ^ SA Su r BM ^ ( SAH) Do đó BM ( m- ; ;) mộ veco há uến củ m(sah) P/rình m(sah): ( m- )( - ) + ( - ) Û( m- ) + uuuur BM m- ; ; làm veco chỉ Đường hẳng BM đi qu ( ;;) hương nên có /rình ì + m- í + î z + B và nhận veco ( Î ) Tọ độ củ H BM Ç ( SAH) là nghiệm củ hệ /rình Th,, Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) / B S O z A H C M ( m ) ( ) ( m ) ( ) z ( 4) ì - + + - í + î + m- é ë+ m- ù+ û - m- z ở (), (), (4) vào () được: ( m ) ù ( m ) Û û + ( m- ) Ûé - + - - ë Th vào (), (), (4) được ( - ) + ( - ) + ( - ) m - m- - ; m m + m- Vậ ọ độ củ H là: æ ; - m- H ; ç + m - + m - è ø ; z D là
Thể ích khối chó SABH bằng V SA SABH SA BA BH Vì SA h không đổi nên V đạ giá rị lớn nhấ khi và chỉ khi HB HA đạ giá rị lớn nhấ T có æ æ - m- HB HA - + + ç + ( m- ) ç + m- è ø è ø æ æ - m- + + ç + ( m- ) ç + m- è ø è ø æ æ ç ( m- ) ç - ( m- ) ç + ç ç { + ( m- ) } ç { + ( m- ) } è ø è ø ( - ) + ( - ) { + ( m- ) } 4 4 m m ( - ) + ( - ) { } { + ( m- ) } m m 4 + ( m- ) { + ( m- ) } 4 ( + ( - ) ) { + ( m- ) } m 4 + m- ( - ) m- + ( - ) + ( - ) + ( m- ) 4 m m m Đặ m- có - (vì m ) Khi đó HA HB f ( ) - + + - f ( ) - ; f ( ) Û - Û - (vì ) + (-) T có f (- ) - ; f Su r giá rị lớn nhấ củ f ( ) bằng m f ( ) f ( ) - - Vậ HA HB đạ giá rị lớn nhấ bằng khi m- -Û m, h M º D h Giá rị lớn nhấ củ hể ích khối chó SABH : Vm h Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) 7/
Cách : Phương há hình học S A D M - m B O A A C M D B H C m Đặ CM m, m Lậ luận như cách có BM ^( SAH) Þ BM ^ HA nên m giác HAB vuông ại H Hi m giác vuông HAB, CBM đồng dạng (vì µ A B µ, góc có cạnh /ứng vuông góc) Su r HA AB HB AB và CB BM CM BM AB AB Þ HA BM BC ; HB CM m m + BM + m Thể ích khối chó SABH bằng m hm V SA SABH h HA HB h m m + m Xé hàm số f ( m) h - f m m ( + m ) hm ( + m ) ; với m có + + f m Û - m Û m (vì m ) 4 h h Mặ khác f ( ) ; f ( ) và hàm số f liên ục rên đoạn [ ; ] Su r h giá rị lớn nhấ củ hàm số bằng m f ( m) f ( ) m h Vậ hể ích khối chó đạ giá rị lớn nhấ bằng V m khi m h M º D Nhận é: PP hình học ngắn và gọn hơn Vì hế đừng ngại dùng nó khi chư hử Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) 8/
Câu V: Tìm m để hương rình su có nghiệm hực 4 + - m 4 Xé hàm số f + - rên khoảng [ ;+ ) T có f ( ) 4 - + - 4 + + T có 4 4 + ³ Þ + ³ + > Su r 4 4 ( ) 4( ) + > Þ - + < Þ f < với mọi > nên hàm số f nghịch biến rên khoảng [ ) Do đó f f ( ) với mọi Î [ ; + ) ;+ Từ đó su r, hương rình 4 + - m có nghiệm khi và chỉ khi m Câu VI Trong mặ hẳng O, cho hi đường hẳng d : +, d : 4 + 5 Lậ hương rình đường ròn (C) có âm I rên d, iế úc d và có bán kính R r ; u ; nên có hương Đ/hẳng rình hm số ( d ) d đi qu điểm A( - ) và có veco chỉ hương ì- + : í î Vì âm I củ đ/ròn (C) huộc Mặ khác (C) iế úc với d nên có ọ độ dạng : I( - + ; ) d nên khoảng cách ừ I đến Kế hợ với giả hiế có: 4( - + ) + - 5 d,( ) R éë I d ùû 4 + 7-7 7 é é - Û Û - 7 Û 5 ê Ûê ë - 7- ê 7 ë 7 7 Với có I æ ç ; è ø 7 P/rình đường ròn (C): æ ç - + æ ç - 4 è ø è ø 7 9 7 Với có I æ ç - ; è ø 9 7 P/rình đường ròn (C): æ ç + + æ ç - 4 è ø è ø Tóm lại có hi đường ròn hỏ êu cầu bài oán có /rình: d bằng bán kính củ (C) Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) 9/
æ 7 ç - + æ ç - 4 è ø è ø và æ 9 7 ç + + æ ç - 4 è ø è ø Câu VI Trong không gin với hệ ọ độ Oz cho hi đường hẳng: ì - z d :, d : í và mặ hẳng (P): z îz + Tìm ọ độ hi điểm MÎ d, NÎd so cho MN song song (P) và MN ì Phương rình hm số củ ( d ) : í îz Gọi ọ độ củ M, N như su: M( m; m;m ), N( - n; n;+ n), ( m, nî ) uuuur MN - n- m; n- m;+ n- m T có MN ( - n- m) + ( n- m) + ( + n- m) r Veco há uến củ m(p): n ( ; -;-) uuuur r uuuur r Vì MN ( P ) nên MN ^ nû MN n Û - n- m+ n- m - + + n- m - Û- 4n+ m Û m n () Mặ khác MN Þ MN 4 Nên có ( n m) ( n m) ( n m) Th m n - - + - + + - 4 () vào () được ( n) ( n) ( n) - 4 + - + - 4 7± Û n -4n- Û n - 7n- Û n 7+ 7+ Với n có m n 7-7- Với n có m n Vậ có hi cặ điểm hỏ êu cầu bài oán: 7 7 4 M æ + + + ; ; 7 ç ; N æ - + + ç ; ; è ø è ø 7 7 4 hoặc M æ - - - ; ; 7 ç ; N æ + - - ç ; ; è ø è ø Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /
Câu VII z+ i æ Tìm số hức z hỏ mãn : ç z i è - ø 4 4 4 Từ giả hiế có ( z i) ( z i) + - với đ/kiện z¹ i 4 4 4 4 Û z + 4z i+ z i + 4 z i + i z + 4z - i + z - i + 4 z - i + - i éz Û 8z i- 8 z i Û z z - i Û ê (hỏ đ/kiện z¹ i ) ëz ± Vậ có b số hức z hỏ êu cầu bài oán: z ; z± Câu VIb Trong mặ hẳng với hệ ọ độ O, cho hình chữ nhậ ABCD có cạnh AB : - -, đường chéo BD : 7 4 M ; Tìm ọ độ các đỉnh củ hình chữ nhậ - + và đường chéo AC qu điểm 4 C B D M A -5 5 - -4 ì- - Tọ độ điểm B là nghiệm củ hệ í î - 7 + 4 ì 7 Giải hệ được í Vậ B ( 7;) î Đường hẳng BC qu B ( 7;) và vuông góc với AB : - - nên nhận veco há r n ; - củ AB làm veco chỉ hương uến ì 7+ P/rình đường hẳng BC: í î - ì 7+ P/rình hm số củ đường hẳng AB: í î + ì 7+ 7 P/rình hm số củ đường hẳng BD: í î + Gọi ọ độ các điểm A, C, D là: A 7 ; C 7 c; c D 7+ 7 d;+ d ( + + ), ( + - ), Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /
Theo ính chấ củ hình chữ nhậ và kế hợ giả iế có ìab CD uuur r r íad^ u AB (rong đó u AB ( ;) là veco chỉ hương củ đ/hẳng AB) uuuur uuur îam, AC cng h ng AB CDÛ AB CD Û ( ) + ( 7d- c) + ( d+ c) Û 5 5d + 5c - cd () uuur r uuur r r AD^ u Û AD u Û 7d- + d- AB AB Û 5d- 5 Û d () uuur uuur MA 5+ ;+ CA - c; + c, uuur uuur MA, CA cùng hương ( )( c) ( )( c) Û 5+ + - + - Û 5c+ c+ () Th () vào () được 45 5d + 5c -cd Û c + d - cd Û( c- d) Û c d (4) Th () và (4) vào () được d d d d d( d ) 5 + + Û 5 + éd Û ê ëd - Với d có c, su r các điểm A,C,D rùng với B Bài oán vô nghiệm Với d - có c- ; - Trường hợ nà có ọ độ các đỉnh hình chữ nhậ là A ( ;), B ( 7;), C ( ;5), D ( ;) Cách khác: Gọi ọ độ củ A( 7 ; ) + + - Viế /r đường hẳng (d )_mộ cạnh củ hình chữ nhậ_qu A và vuông góc với AB d BD sẽ ìm được ọ độ củ đỉnh D (heo ẩn số ) Giải hệ /rình { } ; - Viế /r đường hẳng (d ) qu D và song song với AB, Giải hệ /rình { d ; BC } sẽ ìm được ọ độ củ đỉnh C (heo ẩn số ) uuur uuuur - Biế đ/chéo AC qu M nên MA, MC cùng hương Giải đ/kiện cùng hương củ hi veco nà để ìm Su r ọ độ các đỉnh A,C,D Nhận é: Ở cách làm rên (cách ) việc chọn điểm đi qu là B ( 7;) để viế /rình hm số củ các đường hẳng AB, BD, BC là rấ huận lợi khi ính oán (để khi rừ ọ độ cho nhu sẽ được kế quả rấ gọn kinh nghiệm) Câu VIb Trong không gin với hệ ọ độ Oz cho b điểm O( ; ; ), A( ; ; 4), B( ; ; ) và mặ hẳng (P): + z + 5 Lậ hương rình mặ cầu (S) đi qu b điểm O, A, B và có khỏng cách ừ âm I đến mặ hẳng (P) bằng 5 Khoảng cách ừ âm I đến m(p) bằng bán kính R củ mặ cầu Theo giả hiế có 5 R Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /
Mặ khác mặ cầu (S) đi qu điểm O, A, B nên có Từ đó có ì IO íia IB î 9 ì 9IO 5 5 5 Û í9ia 5 9 5 î 9IB 5 9 I ; b; c, có hệ Gọi ọ độ củ âm là ( b c ) 5 IO IA IB R ì 9 + + 5 ì 9( + b + c ) 5 ì í9( + b + ( c- 4) ) 5Ûí9( - 8c+ ) Û íc 9( ( - ) + b + c ) 9( - 4 + 4) 9 5 î ( b + 5) 5 î î Vậ bài oán vô nghiệm Nhận é: - Bài oán dư giả hiế khi cho /rình m(p) - Th giả hiế R 5 (hoặc số khác) khi đó có Bài oán có hi nghiệm (hi mặ cầu hỏ mãn): Þ bîæ b + 5 5Û b Û b± 5 Câu VIIb ì>, ¹ Điều kiện í Û >, ¹, ¹ >, ¹ î log - log Khi đó log < log Û - log log < Û < log log log - Û < Û < Û > log log log log log log é ìlog > ê é ì > ê í log > êí ê > î ê î é> Ûê Ûê Ûê êìlog < êì< ë< êí êí log < ê < ê ëî ëî é> Kế hợ với điều kiện có ê ë < < S ; È ; + Vậ ậ nghiệm củ bấ hương rình là Soạn: Đỗ Co Long Tel: Nick: longdoco (@hoocomvn) /