II

CHÖÔNG X: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC I. ÑÒNH LYÙ HAØM SIN VAØ COSIN Cho Δ ABC coù, b, c làn löôït lø b cïnh ñoái dieän cuû A,B,C, R lø bùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp Δ ABC, S lø dieän tích Δ ABC thì b c R sin A sin B sin C b + c bccosa b + c.cotga b + c ccosb + c.cotgb c + b bcosc + b.cotgc Bøi 84 Cho Δ ABC. Chöùng minh: A B b + bc T coù: b + bc 4R sin A 4R sin B + 4R sinb.sinc sin A sin B sin B sin C ( cos A) ( cos B) sin B sin C cos B cos A sin B sin C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) sin B + A sin B A sin B sin C sin B + A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A + B sin C > 0 A B B A B π B loïi A B Cùch khùc: sin A sin B sin B sin C (s in A sin B) (s in A + sin B) sin B sin C A + B A B A + B A B cos sin. sin co s sin B sin C sin B + A sin A B sin B sin C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin A B sin B do sin A + B sin C > 0 A B B A B π B loïi A B

Bøi 85: Cho Δ ABC. Chöùng minh: ( ) sin A B b sin C c b 4R sin A 4R sin B T coù c 4R sin C cos A cos B sin A sin B sin C sin C cos B cos A sin( A + B) sin( B A) sin C sin C sin ( A + B ). sin ( A B) sin ( A B) sin C sin C ( do sin ( A + B) sin C > 0) A B Bøi 86: Cho Δ ABC bieát rèng tg tg 3 Chöùng minh + b c ( ) ( ) A B A B A B T coù : tg tg 3sin sin cos cos 3 A B do cos > 0, cos > 0 A B A B A B sin sin cos cos sin sin A + B A B A + B cos cos cos A B A + B cos cos (*) Mët khùc: + b R( sina + sinb) A + B A B 4R sin cos A + B A + B 8R sin cos ( do (*)) 4R sin ( A + B) 4R sin C c Cùch khùc: + b c R sin A + sin B 4R sin C ( )

A + B A B C C sin cos 4sin cos A B C A + B A + B C cos sin cos do sin cos A B A B A B A cos cos + sin sin cos cos sin sin A B A B 3sin sin cos cos tg A tg B 3 Bøi 87: Cho Δ ABC, chöùng minh neáu cotga, cotgb, cotgc tïo moät cáp soá coäng thì,b,ccuõng lø cáp soá coäng. T coù: cot ga, cot gb, cot gc lø cáp soá coäng cot ga + cot gc cot gb * Cùch : sin ( A + C) cosb T coù: (*) sin B sin A sin C cos B sin A sin C sin B sin B cos( A + C) cos( A C) cos( A + C) sin B cos ( A + C) cos( A C) cos( A + C) sin B cos B [ cos A + cos C] sin B ( sin B) ( sin A) ( sin C) + sin B sin A + sin C b c + 4R 4R 4R b + c, b,c lø câùp soá coäng Cùch : T coù: b + c b cos A b + c 4 bcsina.cotga b + c cotga b + c Do ñoù cotga + c b + b c Töông töï cotgb, cotgc b + c + b c + c b Do ñoù: (*) + b + c B ( )

Bøi 88: Cho Δ ABC coù sin B + sin C sin A 0 Chöùng minh BAC 60. T coù: sin B + sin C sin A b c + 4R 4R 4R b + c (*) Do ñònh lyù høm cosin neân t coù b + c bccosa b + c ( b + c ) b c cos A ( do (*)) bc 4bc b + c bc 4bc 4bc ( do Cuchy) 0 Vïây : BAC 60. Cùch khùc: ñònh lyù høm cosin cho b + c bc cos A b + c + bc cos A Do ñoù (*) + bc cos A b + c cos A ( do Cuchy) bc 4bc Bøi 89: Cho Δ ABC. Chöùng minh : R( + b + c ) cotga+cotgb+cotgc bc b + c T coù: cotga + c b + b c Töông töï: cotgb,cotgc + b + c + b + c Do ñoù cot ga + cot gb + cot gc bc 4 4R + b + c R bc Bøi 90: Cho Δ ABC coù 3 goùc A, B, C tïo thønh moät cáp soá nhân coù coâng boäi q. Giû söû A < B < C. Chöùng minh: + b c

Do A, B, C lø cáp soá nhân coù q neân B A, C B 4A π π 4π Mø A + B + C π neân A,B,C 7 7 7 Cùch : T coù: + + b c R sin B R sin C + R π 4π sin sin 7 7 4π π sin + sin 7 7 R π 4π sin sin 7 7 3π π sin.cos π π 7 7 4 3 do sin sin π π R 3 7 7 sin.sin 7 7 π cos 7 R π π RsinA sin.cos 7 7 Cùch : + + b c sin A sin B sin C sin4a + sina + sin A sin A sin 4A sin A sin 4A sin3a.cosa cosa cosa sin A sin A sin 4A sin A sin A cos A 3π 4π do : sin 3A sin sin sin 4A 7 7 Bøi 9: Tính cùc goùc cuû ΔABC neáu sin A sin B sin C 3 Do ñònh lyù høm sin: b c R sin A sin B sin C sin A sin B sin C * 3 neân : ( )

b c R R 3 4R b c b 3 3 c ( ) T coù: c 4 3 + c b + Vïây ΔABC vuoâng tïi C ( ) Thy sin C vøo * t ñöôïc sin A sin B 3 sin A 3 sin B 0 A 30 0 B 60 Ghi chuù: Trong tm giùc ABC t coù b A B sin A sin B cos A cos B II. ÑÒNH LYÙ VEÀ ÑÖÔØNG TRUNG TUYEÁN Cho ABC coù trung tuyeán AM thì: BC AB + AC AM + hy : c + b m + Bøi 9: Cho ABC coù AM trung tuyeán, AMB α, AC b, AB c, S lø dieän tích 0 ABC. Vôùi 0 < α < 90 b c / Chöùng minh: cotgα 0 b/ Giû söû α 45, chöùng minh: cotgc cotgb HM MB BH / AHM vuoâng cotgα AH AH BH cotgα ( ) AH AH

( ) b c + c ccosb c Mët khùc: AH. Ñët BC b c ccosb BH () AH AH AH AH b c Töø () vø () t ñöôïc : cotg α Cùch khùc: Goïi S, S làn löôït lø dieän tích tm giùc ABH vø ACH Aùp duïng ñònh lyù høm cos trong tm giùc ABH vø ACH t coù: AM + BM c cotg α (3) AM + CM b cotg α (4) Láy (3) (4) t coù : b c cotg α ( vì S S S ) HC HB HC HB b/t coù: cotgc cotgb AH AH AH ( + MC) ( MH) AH MH cotg 0 α cotg45 AH Cùch khùc: Aùp duïng ñònh lyù høm cos trong tm giùc ABM vø ACM t coù: BM + c AM cotg B (5) CM + b AM cotg C (6) Láy (6) (5) t coù : b c cotg C cot gb S cot gα ( vì S S S vø câu )

Bøi 93 Cho ABC coù trung tuyeán phùt xuát töø B vø C lø m,m b c thoû c mb b m. Chöùng minh: cotga cotgb + cotgc c c mb T coù: b mc b + c c b c b + 4 4 c b bc + c b + bc 4 4 c b ( c b) ( c b ) ( c b )( c + b ) c c + b ( ) do b Thy b + c + bccosa vøo (), t coù () thønh bccosa 4R sin A cos A bc R sin B R sin C ( )( ) sin ( B + C) cos A sin A sin A sin B sin C sin B sin C sinbcosc+ sinccosb cotga cotgc+ cotgb sin B sin C Bøi 94: Chöùng minh neáu ABC coù trung tuyeán AA vuoâng goùc vôùi trung tuyeán BB thì cotgc (cotga + cotgb) GAB vuoâng tïi G coù GC trung tuyeán neân AB GC Väy AB CC 3 9c 4m c c 9c b + 5c + b 5c c + b cosc (do ñònh lyù høm cos) c b cos C ( ) ( )( ) RsinC RsinA RsinB cosc

sin C sin A sin B cos C sinc cosc sin A sin B sin C sin( A + B) cotgc sin A sin B ( sin A cos B + sin B cos A) cotgc sin A sin B ( cotg B + cotga) cotgc III. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC Goïi S: dieän tích ABC R: bùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp ABC r: bùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp ABC p: nöû chu vi cuû ABC thì S.h b.hb c.hc S bsinc csinb bcsina bc S 4R S pr ( )( )( ) S p p p b p c S Bøi 95: Cho ABC chöùng minh: sin A + sin B + sin C R T coù: sina+ ( sinb + sinc) sina + sin(b + C).cos(B - C) sinacosa + sinacos(b - C) sina[cosa + cos(b - C)] sina[- cos(b + C) + cos(b - C)] sina.[sinb.sinc] b c bc 4... 3 R R R R 4RS S 3 R R Bøi 96 Cho ABC. Chöùng minh : sinb b sina 4 S Dieän tích ( ABC) ( + )

S dt Δ ABC bsin C bsin( A + B) b[ sin A cos B + sinb cos A] b b sin B cos B + sin A cos A (do ñl høm sin) b sin B cos B+ b sin A cos A ( sin B + b sin A) 4 T coù : ( ) Bøi 97: Cho Δ ABC coù troïng tâm G vø GAB α,gbc β,gca γ. Chöùng minh: ( + + ) 3 b c cotg α + cotg β +cotg γ Goïi M lø trung ñieåm BC, veõ MH AH ΔAMH cos α AM BH BH ΔBHM cos B MB AB T coù: AB HA + HB c AMcosα + cosb cos α c cos B ( ) AM Mët khùc do ùp duïng ñònh lyù høm sin vøo Δ AMB t coù : MB AM sin α MB sin B sin B () sin α sin B AM AM Láy () chi cho () t ñöôïc : c cosb c cos B cotg α b sin B. R R 4c cosb R 4c ccosb b bc 3c + b 3c + b bc R ( ) ( )

Chöùng minh töông töï : 3 c b + cotgβ 3b + c cotgγ Do ñoù: cotgα+ cotgβ+ cotgγ 3c + b 3 + c b 3b + c + + ( + + ) 3 b c 3 m m m b c (*) 4 Cùch khùc : T coù + b + c ( + + ) c + m cotg α 4 ΔABM 4c + 4m 8S () Töông töï 4 + 4mb b 4b + 4mc c cotg β (b),cotg γ (c) 8S 8S Coäng (), (b), (c) vø keát hôïp (*) t coù: cotg α+ cotg β+ cotg γ ( + + ) 3 b c IV. BAÙN KÍNH ÑÖÔØNG TROØN Goïi R bùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp Δ ABC vø r bùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp Δ ABC thì bc R sina S r p A B C r ( p ) tg ( p b) tg ( p c) tg Bøi 98: Goïi I lø tâm ñöôøng troøn noäi tieáp Chöùng minh: Δ ABC.

A B C / r 4R sin sin sin b/ IA.IB.IC 4Rr / T coù : B BH ΔIBH cotg IH C Töông töï HC r cotg B BH rcotg Mø : BH + CH BC neân B C r cotg + cotg B+ C rsin B C sin sin A B C r cos ( R sin A) sin sin A A A B C r cos 4R sin cos sin sin A B C A r 4R sin sin sin. (do cos >0) b/ T coù : Α Δ ΑΚΙ sin IK IA r IA A sin Töông töï IB r ; IC B sin r C sin Do ñoù : IA.IB.IC 3 r A B C sin sin sin 3 r r 4R 4Rr (do keát quû câu ) Bøi 99: Cho Δ ABC coù ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc cùc cïnh Δ ABC tïi A, B, C. ΔA 'B'C' coù cùc cïnh lø, b, c vø dieän tích S. Chöùng minh:

' b ' C A B / + sin sin + sin b S' A B C b/ sin sin sin S AÙp duïng ñònh lyù hình sin vøo Δ A 'B'C' / T coù : C'A'B' C'IB' ( π A) ( B+ C) ' sin A ' r (r: bùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp Δ ABC ) B+ C ' r sin A ' r sin () Δ ABC coù : BC BA' + A'C B C rcotg + rcotg B+ C sin r () B C sin sin Láy () t ñöôïc B sin sin C () Töông töï b' sin A.sin C b Väy ' b' C A B sin + sin + sin. b b/ T coù: A 'C'B'.B'IA' ( π C) ( A + B)

Väy T coù: A + B C sin C' sin cos ( ) 'b'sinc' S' dt ΔA'B'C' S dt( ΔABC) bsin C S' ' b' sinc' S b sinc C cos B C A 4 sin sin sin C C sin cos B C A sin sin sin Bøi 00: Cho Δ ABC coù troïng tâm G vø tâm ñöôøng troøn noäi tieáp I. Bieát GI vuoâng goùc vôùi ñöôøng phân giùc trong cuû BCA. Chöùng minh: + b+ c b 3 + b Veõ GH AC,GK BC,ID AC IG cét AC tïi L vø cét BC tïi N T coù: Dt( Δ CLN) Dt( ΔLIC) ID.LC r.lc () Mët khùc: Dt( Δ CLN) Dt( Δ GLC) + Dt( ΔGCN) ( GH.LC + GK.CN ) () Do ΔCLN cân neân LC CN Töø () vø () t ñöôïc: rlc LC( GH + GK ) r GH + GK Goïi h,h b lø hi ñöôøng co Δ ABC phùt xuát töø A, B T coù: GK MG vø h MA 3 GH h 3 b Do ñoù: ( + ) r h h b (3) 3

S Dt Δ ABC pr.h b.h Mø: ( ) b Do ñoù: h pr vø hb pr b Töø (3) t coù: r pr + 3 b + b p 3 b + b+ c + b 3 b b + b + c + b 3 Th.S Phạm Hồng Dnh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)

BAØI TAÄP. Cho Δ ABC coù b cïnh lø, b, c. R vø r làn löôït lø bùn kính ñöøông troøn ngoïi tieáp vø noäi tieáp Δ ABC. Chöùng minh: C A B / ( b) cotg + ( b c) cotg + ( c ) cotg 0 r b/ + cos A + cosb + cosc R A B C c/ Neáu cotg,cotg,cotg lø cáp soá coäng thì, b, c cuõng lø cáp soá coäng. Δ ABC R r sin A + sin B + sin C d/ Dieän tích ( ) 4 4 e/ Neáu : b + c 4 thì Δ ABC coù 3 goùc nhoïn vø. Neáu dieän tích ( Δ ABC ) (c + -b)(c + b -) thì sin A 8 tgc 5 tgb.tgc 3. Cho Δ ABC coù b goùc nhoïn. Goïi A, B, C lø chân cùc ñöôøng co veõ töø A, B, C. Goïi S, R, r làn löôït lø dieän tích, bùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp, noäi tieáp Δ ABC. Goïi S, R, r làn löôït lø dieän tích, bùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp, noäi tieáp cuû Δ A 'B'C'. Chöùng minh: / S ScosA.cosB.cosC R b/ R' c/ r RcosA.cosB.cosC 4. Δ ABC coù b cïnh, b, c tïo moät cáp soá coäng. Vôùi < b < c Chöùng minh : / c 6Rr A C B b/ cos sin 3r C A c/ Coâng si d tg tg 5. Cho Δ ABC coù b goùc A, B, C theo thöù töï tïo cáp soá nhân coù coâng boäi q. Chöùng minh: / + b c b/ 5 cos A + cos B + cos C 4