PHAÏM TROÏNG THÖ

Bản ghi

1 OÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC TROÏNG TAÂ TOAÙN THPT CAÀN NHÔÙ tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

2 LÔØI KHUYEÂN CHO THÍ SINH Nhö chuùng t ñõ ieát moân Toùn lø moân hoïc chieám moät vò trí rát qun troïng vø then choát, rát càn thieát ñeå hoïc cùc moân khùc töø tieåu hoïc cho ñeán cùc lôùp treân. oân Toùn giuùp cùc em nhän ieát cùc moái qun heä veà soá löôïng vø hình khoâng gin cuû theá giôùi hieän thöïc. Nhôø ñoù mø cùc em coù phöông phùp nhän thöùc moät soá mët cuû theá giôùi ung qunh vø ieát cùch hoït ñoäng coù hieäu quû trong ñôøi soáng. oân Toùn goùp phàn rát qun troïng trong vieäc reøn lueän phöông phùp su nghó, phöông phùp su luän, phöông phùp giûi queát ván ñeà. Noù goùp phàn phùt trieån trí thoâng minh, cùch su nghó ñoäc läp, linh hoït, sùng tïo vø vieäc hình thønh cùc phåm chát càn thieát cho ngöôøi lo ñoäng nhö càn cuø, cån thän, coù ù chí vöôït khoù khên, løm vieäc coù keá hoïch, coù neà neáp vø tùc phong kho hoïc. Xuát phùt töø vò trí qun troïng cuû moân Toùn, qu thöïc teá giûng dï nhieàu nêm ôû cáp THPT. Toâi nhän thá rèng ñeå hoïc sinh hoïc toát moân Toùn thì ngoøi vieäc cùc em ném vöõng kieán thöùc trong sùch giùo kho, kõ nêng tính toùn thät toát mø coøn phûi ieát phöông phùp giûi moät øi thi nhö theá nøo trong luùc ñng thi ñeå coù ñieåm co. uoán løm ñöôïc ñieàu nø thí sinh càn phûi tuân thuû theo cùc öôùc su ñâ: HÌNH THÖÙC TÖÏ LUAÄN ) Thät ình tónh trong luùc løm øi thi. ) Càn ñoïc thät chäm rõi toøn oä ñeà, ñùnh giù sô oä ñoä deã, khoù cuû cuû cùc câu, em nhöõng câu nøo quen thuoäc, lï vôùi mình. 3) Giûi ng läp töùc cùc câu mø ïn thá deã. 4) oät vøi câu càn thieát ñeán söï su nghó sâu hôn, thí sinh càn phûi ñoïc kõ câu hoûi, gïch döôùi cùc giû thieát vø eâu càu cuû øi toùn. Ñònh höôùng cùch giûi, hình dung ñoä phöùc tïp cuû cùch giûi ñeå coù söï löï choïn ñuùng ñén. 5) Trình ø øi giûi thí sinh khoâng neân løm tét, moãi öôùc neân vieát moät doøng ñeå deã kieåm tr, vì giùm khûo chám øi thi theo rem neân coù moät öôùc nøo ñoù si thì vãn coøn ñieåm ôû nhöõng öôùc ieán ñoåi ñuùng tröôùc ñoù. Cùch h nhát lø løm ong öôùc nøo kieåm tr öôùc á ñeå phùt hieän ng choã si. 6) Trong quù trình giûi moät øi toùn neáu thí sinh gëp khoù khên giöõ chöøng, coù theå chöø khoûng troáng treân giá thi ñeå oå sung su vø nhnh choùng chueån sng løm câu khùc. 7) Khi ñõ hoøn tát øi thi, neáu coøn thôøi gin thí sinh neân ñoïc lïi øi giûi vø rø soùt lïi cùc chi tieát ñõ trình ø (thoâng thöôøng cùc loãi thí sinh h oû soùt öôùc løm lø täp ùc ñònh, ñieàu kieän coù nghó cuû cên äc chün, høm soá loâgrit, ñoåi cän khi duøng phöông phùp ñoåi ieán ñeå tính tích phân, loïi oû nghieäm ngoïi li trong phöông trình ) nhèm hoøn thieän øi thi toát hôn cho ñeán heát giôø. HÌNH THÖÙC TRAÉC NGHIEÄ ) Thät ình tónh trong luùc løm øi thi. ) Giûi theo thöù töï töø câu ñeán câu cuoái : Câu nøo khoù cùc em ñùnh dáu thúng trong ñeà thi moät hôi mình qu lïi, câu nøo coù tính chát ñôn giûn veà lí thueát hoëc câu coù tính toùn ñôn giûn thì cùc em løm lieàn trong mãu øi løm tréc nghieäm nhèm trnh thuû khoâng kòp giôø. 3) oät ñieàu löu ù vôùi hình thöùc thi tréc nghieäm, cùc em càn reøn lueän khû nêng tö du, su nghó nhnh cuõng nhö tho tùc toát treân mù tính oû tuùi ôûi soá löôïng câu hoûi lø rát nhieàu thôøi gin løm øi thu heïp lïi. Nhieàu hoïc troø toâi dï ùp duïng cùc lôøi khueân treân ñõø trôû thønh thuû kho ñïi hoïc cuû nhieàu tröôøng, nhöng thønh coâng nhát lø toâi coù hoïc troø thuû kho keùp khoái A vø B cuû tröôøng Ñïi hoïc Kho hoïc Töï nhieân TP. HC vø Ñïi hoïc Y Döôïc TP. HC nêm 0 (9,5ñ). Chuùc cùc thí sinh ñït keát quû co trong cùc kì thi PHAÏ TROÏNG THÖ tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

3 PHUÏ LUÏC OÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC TROÏNG TAÂ TOAÙN THPT CAÀN NHÔÙ NHÔÙ. PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ) Phöông trình äc nhát moät ån ñeàu ñö veà dïng A B () B Neáu A 0 thì () coù nghieäm du nhát A Neáu A 0 vø B 0 thì () voâ nghieäm. Neáu A 0 vø B 0 thì () voâ soá nghieäm. ) Bát phöông trình äc nhát moät ån ñö veà dïng A B () B Neáu A 0 thì () coù nghieäm A B Neáu A 0 thì () coù nghieäm A Neáu A 0 vø B0 thì () voâ nghieäm. Neáu A 0 vø B0 thì () voâ soá nghieäm. NHÔÙ. HEÄ HAI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN ) Dïng. ) Cùch giûi T läp: c (*) c c c D, D c c, D c c. c c D = D - Neáu D 0: Heä coù nghieäm du nhát D = D D 0 D 0 - Neáu : Heä voâ nghieäm. D 0 D 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 3

4 - Neáu D D D 0: c,,, c. Heä voâ soá nghieäm hoëc voâ nghieäm tuø thuoäc vøo,, Sô ñoà nhôù: D c c D NHÔÙ 3. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI OÄT AÅN ) Dïng. c 0 ( 0) () ) Cùch giûi. Bieät soá Δ 0 Δ 4c D () coù hi nghieäm phân ieät, Δ 0 () coù nghieäm keùp Δ 0 () voâ nghieäm.. Bieät soá Δ c, Δ 0 () coù hi nghieäm phân ieät, Δ 0 () coù nghieäm keùp Δ 0 () voâ nghieäm. 3) Löu ù c - Neáu c 0 thì () coù nghieäm, c - Neáu c 0 thì () coù nghieäm, tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 4

5 NHÔÙ 4. DAÁU NHÒ THÖÙC VAØ DAÁU TA THÖÙC ) Dïng dáu nhò thöùc. f() ( 0) f() Trùi dáu 0 Cuøng dáu ) Dïng dáu tm thöùc. Dáu hieäu Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 0 Δ 0 f() f() c ( 0). Keát luän f() 0,. f() 0,. f() 0,. f() 0,. f() 0, f() 0, Cuøng 0 Trùi 0 Cuøng dáu tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 5

6 NHÔÙ 5. SO SAÙNH NGHIEÄ CUÛA TA THÖÙC BAÄC HAI VÔÙI CAÙC SOÁ (Kieán thöùc oå sung) Cho f() c ( 0);, vø ( lø hi nghieäm cuû phöông trình f() 0., ) Dáu hieäu f( ) 0 0 f( ) 0 S 0 Keát luän 0 f( ) 0 S 0 f( ) 0 f( ) 0 f( ) 0 f( ) 0 f( )f( ) 0 0 f( ) 0 f( ) 0 S Löu ù. 0 P 0. 0P 0. S 0 0 0P 0. S 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 6

7 NHÔÙ 6. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN ) ) B 0 k B 0 * A B ; A B, k. k A B A B A A 0 (h B0) B ; A B A A 0 (h B0) B, k A B. k k * NHÔÙ 7. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN ) A 0 A 0 k * A B B 0 ; A B B 0, k. k A B A B ) B0 B0 A0 A 0 k * A B ; A B, k. B 0 B0 k A B A B 3) 3 3 k k * A B A B ; A B A B, k. NHÔÙ 8. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI ) B0 A 0 A B A B A B hoëc B 0 A 0 A B A B ) A B A B AB f() g() f( ) g() Löu ù. f g() hoëc 0 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 7

8 NHÔÙ 9. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI B 0 A B ) A B B 0 B 0 AB 3) A B A B. NHÔÙ 0. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC ) Dïng. A B, A B, A B, A B. ) Tính chát A B Tính chát. A C. B C Tính chát. A B A C B C. Tính chát 3. + Vôùi C 0: A B AC BC. + Vôùi C 0: A B AC BC. A B Tính chát 4. A C B D. C D A B 0 Tính chát 5. A. C B. D. C D 0 Tính chát 6. * n n A B 0, n A B. A B 0, n, n A B. Tính chát 7. A B, n * n n A B. A B, n * n+ n+ A B. 3) Bát ñúng thöùc Coâ-si + Bát ñúng thöùc Coâ - si cho hi soá khoâng âm B 0 ) A B (coù theå oû B 0). B A B Neáu 0, 0 thì h, Ñúng thöùc û r khi vø chæ khi. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 8 n n

9 + Bát ñúng thöùc Coâ - si cho n soá khoâng âm (ñoïc theâm) Neáu n n 0, 0,..., n 0 thì n. n Ñúng thöùc û r khi vø chæ khi. n Löu ù: Khi söû duïng át ñúng thöùc Coâ-si töø 4 soá khoâng âm trôû leân, ïn ñoïc neân chöùng minh lïi. 4) Bát ñúng thöùc Bu-nhi--coáp-ki + Cho oä soá (, ), (, ). T luoân coù: ( ) ( )( ). Ñúng thöùc chæ û r khi toàn tïi t: i t i hoëc i t i (i, ). + Cho oä soá (,,..., n), (,,..., n). T luoân coù: ( n n) ( n)( n). Ñúng thöùc chæ û r khi toàn tïi t: i t i hoëc i t i (i,,...,n). Löu.ù Vôùi qui öôùc neáu mãu soá èng khoâng thì töû soá cuõng èng khoâng. Neân n i, i t i lø t coù theå vieát n i, n i t i lø n 5) Bát ñúng thöùc Beùc-nu-li (ñoïc theâm) n 0 Cho, n. T coù ( ) n. Ñúng thöùc û r n. 6) Bát ñúng thöùc tm giùc Ñoái vôùi hi soá, tuø ù, t coù:. Ñúng thöùc û r khi vø chæ khi 0. NHÔÙ. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC A. HEÄ THÖC Ù CÔ BAÛN (6 conâ g thöcù ) sin α cos α. sin tn k, k. cos cosα cot ( k, k ). sinα tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 9

10 k tncot, k. tn k, k. cos cot k, k. sin Löu ù: ( ) ( ) 3( ). B. CONÂ G THÖC Ù CON Ä G (8 conâ g thöcù ) cos( ) cos cos sin sin. sin( ) sincos cos sin. tn tn tn( ) tntn cotcot cot( ) cot cot cotcot cot( ) cot cot C. COÂNG THÖC Ù NHAN Â ) Coâng thöùc nhân ñoâi (3 coâng thöùc) sin sin cos cos cos sin sin cos. tn tn tn ) Coâng thöùc nhân (3 coâng thöùc) cos3 cos 3cos sin3 sin sin 3tn tn tn3 3tn 3 3) Coâng thöùc hï äc (4 coâng thöùc) cos sin ; cos sin cos cos ; cos cos 3 3 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 0

11 3 3sin sin3 sin 4 3 3cos cos3 cos 4 4) Coâng thöùc goùc chi ñoâi (3 coâng thöùc) t sin t t cos t t tn vôùi t tn t D. TONÅ G THAN Ø H TÍCH (8 conâ g thöcù ) cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin sin( tn tn coscos sin( cot cot sinsin sin( cot cot sin sin E. TÍCH THAN Ø H TOÅNG (3 coâng thöcù ) cos cos cos( ) cos( ). sinsin cos( ) cos( ). sincos sin( ) sin( ). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

12 F. CUNG (GOÙC) LIEÂN KETÁ Cung ñoái Cung uø cos( cos sin( sin sin( sin cos( cos tn( tn tn( tn cot( cot cot( cot Cung phuï Cung hôn keùm sin cos sin cos cos sin cos sin tn cot tn cot cot tn cot tn Cung hôn keùm tn( tn sin( sin cot( cot cos( cos Löu ù. sin( k sin k vø k chün; sin( k sin k vø k leû sin( k ) sin k. k cos( k cos k vø k chün; cos( k cos k vø k leû cos( k ) cos k. tn( k tn k. Töông töï cot( k cot k tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

13 NHÔÙ. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC A. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Dïng sinx m cosx m Cùch giûi Neáu m thì phöông trình voâ nghieäm. X k Neáu m : T coù sinx m, k X π k vôùi sin m coù theå lá rcsinm, ; Neáu m thì phöông trình voâ nghieäm. X k Neáu m : T coù cosx m, k X k vôùi cos m coù theå lá rccosm, 0; T coù tnx m X k, k. tnx m vôùi tn m coù theå lá rctnm, ; T coù cotx m X k, k. cotx m vôùi cot m coù theå lá rccotm, 0... Cùc tröôøng hôïp ñëc ieät cosu 0 u k, k. sinu 0 u k, k. cosu u k, k. cosu u k, k. sinu u k, k. sinu u k, k. cotu 0 u k, k. tnu 0 u k, k. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 3

14 B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOIÁ VÔIÙ SINX VAØ COSX ) Dïng. ) Cùch giûi Cùch Kieåm tr: sinx cosx c (*) ( 0). Neáu c thì (*) voâ nghieäm. Neáu c thì (*) coù nghieäm. Su khi (*) coù nghieäm, t chi hi veá cuû (*) cho Ñët cos, sin c (*) trôû thønh: sin(x ) () Giûi () tìm X. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 4 Cùch X Kieåm tr: k, k h X k, k coù phûi lø nghieäm cuû (*) khoâng, neáu phûi thì ghi nhän. X Khi X k, k ñët t tn t Theá sinx, cosx t vøo (*) t ñöôïc phöông trình äc hi mø ån t t lø t :(c )t t c 0 (). Giûi () tìm t tìm X. C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI ) Phöông trình äc hi ñoái vôùi moät høm soá löôïng giùc sin X sinx c 0 (ñët sinx t, t ) cos X cosx c 0 (ñët cosx t, t ) tn X tnx c 0 ñët tnx t, X k cot X cotx c 0 (ñët cotx t, X k (giû söû 0).

15 ) Phöông trình thuàn nhát ñoái vôùi sinx vø cosx ) Dïng. sin XsinXcosX c.cos X d () ) Cùch giûi 3 3 sin Xsin XcosX csinxcos Xdcos X 0 () Cùch Kieåm tr X k k coù phûi lø nghieäm cuû phöông trình? Chi hi veá cuû phöông trình cho tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 5 cos X(gëp dïng ()), chi cho 3 cos X (gëp dïng ()) ñeå ñö phöông trình ñõ cho veà dïng phöông trình äc hi, äc ñoái vôùi tnx. Cùch sinx Dïng () coù theå söû duïngsinxcosx vø coâng thöùc hï äc theá vøo PT ñõ cho, t ñöôïc PT theo ieán X. 3) Phöông trình ñoái öùng ñoái vôùi sinx vø cosx ) Dïng. (sinx cosx) sinxcosx c 0 vôùi,, c (3) ) Cùch giûi Ñët t sinx cosx sin X cos X, t. 4 4 (sinx cosx) (sin X cos X) t Khi ñoùsinxcosx Phöông trình (3) trôû thønh t t c 0 (*). Giûi (*) tìm nghieäm theo t thoû mõn ñieàu kieän t. Su r nghieäm X cuû (3). Dïng töông töï. (sinx cosx) sinxcosx c 0 vôùi,, c (3) Ñët t sinx cosx sin X, t. 4 4) Phöông trình ñëc ieät Phöông phùp toång ình phöông A B C 0 A B C 0. n n n * ô û roäng : A B C 0, n A B C 0. Cho A, B,...,C 0 (hoëc A, B,...,C 0), t coù: A B C 0 A B C 0.

16 Phöông phùp ñoái läp Xeùt phöông trình f() g() (*) coù täp ùc ñònh D. Neáu vôùi moïi thuoäc D mø f() k g() thì täp nghieäm cuû (*) chính lø täp nghieäm cuû heä phöông trình f() k g() k. Töông töï f() k g(). Khi ñoù Phöông phùp söû duïng át ñúng thöùc f() k f() g() g() k. A k A k Cho Khi ñoù A B k h Bh B h. A A A Chu ù ù. Khi ñoù AB hoëc B B B. NHÔÙ 3. HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TA GIAÙC ) Heä thöùc löôïng trong tm giùc vuoâng AH BH. CH AH. BC AB. AC AH AB AC AB BH. BC, AC CH. BC BC AB AC ) Heä thöùc löôïng trong tm giùc thöôøng h, h, h làn löôït lø ñoä døi ñöôøng co phùt uát töø ñænh A, B, C. c m, m, m c làn löôït lø ñoä døi trung tueán phùt uát töø ñænh A, B, C. p lø nöû chu vi ABC. R, r làn löôït lø ùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp, noäi tieáp ABC. S lø dieän tích ABC. Høm soá coâsin c c.cosa c cosa c C A H B tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 6

17 Høm soá sin Høm soá tn c R. sina sinb sinc RsinA, sina R A B tn A B tn Cùc chieáu cosc c.cosb Trung tueán Dieän tích ) ( c m 4 S h h ch c. S csina csinb sinc. C h A H m S A B C S pr, r p )tn p )tn p c)tn p (r lø ùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp ABC). c S (R lø ùn kính ñöôøng troøn ngoïi tieáp ABC). 4R c S p(p ) p ) p c) vôùi p c B NHÔÙ 4. OÄT SOÁ BAØI TAÄP CAÀN NHÔÙ Trong tm giùc ABC, t coù: A B C ) sina sinb sinc 4cos cos cos A B C ) cosa cosb cosc 4sin sin sin 3) tna tnb tnc tna.tnb.tnc ( ABC khoâng vuoâng). A B C A B C 4) cot cot cot cot cot cot A B B C C A 5) tn tn tn tn tn tn. 6) sin A sin Bsin C cosacosbcosc. 7) cos A cos Bcos C cosacosbcosc. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 7

18 A B C 8) sin cos cos A B C sin A B C tn cot cot A B C tn sin(a B) cosc. cos(a B) sinc ) sinasinbsinc. 8 A B C 3 3 ) cos cos cos 8 3 3) cos A cos B cos C 4 0) cosacosbcosc 8 A B C ) sin sin sin 8 9 4) sin A sin B sin C 4 5) tn A tn B tn C 9. A B C 9 7) cos cos cos 4 A B C 9) cot cot cot 9. 3 ) cosa cosb cosc 3 A B C 6) sin sin sin. 4 A B C 8) tn tn tn ) sina sinb sinc NHÔÙ 5. HAØ SOÁ LIEÂN TUÏC ) Ñònh nghó - Høm soá f ùc ñònh treân khoûng (; ) ñöôïc goïi lø lieân tuïc tïi ñieåm o (; ) neáu lim f() f( ). o o - Høm soá f ùc ñònh treân khoûng (; ) ñöôïc goïi lø lieân tuïc khoûng (; ) neáu noù lieân tuïc tïi moïi ñieåm cuû khoûng ñoù. - Høm soá f ùc ñònh treân ñoïn [; ] ñöôïc goïi lø lieân tuïc ñoïn [; ] neáu noù lieân tuïc treân khoûng (; ), lim f() f() vø lim f() f(). ) Ñònh lí - Neáu høm soá f lieân tuïc treân ñoïn [; ] vø f().f() 0 thì toàn tïi ít nhát moät ñieåm o (; ) so cho f(c) 0. - Giû söû høm soá f lieân tuïc treân ñoïn [; ]. Neáu f() f() vø lø moät soá nèm giöõ f() vø f() thì toàn tïi ít nhát moät soá c (; ) so cho f(c). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 8

19 NHÔÙ 6. HAØ SOÁ UÕ ) Ñònh nghó Cho 0, (coá ñònh). Høm soá muõ lø høm soá ùc ñònh ôûi coâng thöùc ( ). ) Bûng toùm tét Trường hợp ln 0,. Høm soá ñoàng ieán treân. lim, lim 0. Bûng ieán thieân 0 Ñoà thò coù dïng 0.. Trường hợp ln 0,. Høm soá nghòch ieán treân. lim, lim 0. Bûng ieán thieân Ñoà thò coù dïng 0 O O NHÔÙ 7. HAØ SOÁ LOÂGARIT ) Ñònh nghó Vôùi 0 vø 0. T ñònh nghó: log. lg 0 ; ln e. ) Tính chát cuû loâgrit Giû söû ñieàu kieän ñeå toàn tïi cùc coâng thöùc döôùi ñâ ñõ ñöôïc ùc ñònh log log 0 ; log ;. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 9

20 log (. N) log logn ; log log logn. N log log ; log. log + Coâng thöùc ñoåi cô soá: c log h logc. log logc. logc Ñëc ieät: log ; log log ; log log. log Khi thì log logc c 0. Khi 0 thì log logc 0 c. 3) Høm soá loâgrit. log (0, 0) Bûng toùm tét: Trường hợp. Trường hợp 0. 0, ( 0; ). 0, ( 0; ). ln ln Høm soá ñoàng ieán treân ( 0; ). Høm soá nghòch ieán treân ( 0; ). lim, lim 0 Bûng ieán thieân Bûng ieán thieân 0 lim, lim 0 0 Ñoà thò coù dïng Ñoà thò coù dïng O O tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 0

21 NHÔÙ 8. PHÖÔNG TRÌNH, BAÁT PHÖÔNG TRÌNH UÕ VAØ LOÂGARIT Tröôøng hôïp 0 0 f() g() f() g(). T coù f() 0 (hoëc g() 0) logf() logg(). f() g() f() g() f() g(). f() g() logf() logg(). g() 0 f() g() f() g(). f() g() logf() logg(). f() 0 NHÔÙ 9. ÑAÏO HAØ ) Ñònh nghó ñïo høm tïi moät ñieåm: f() f( o) f ( o) lim o o ) YÙ nghó hình hoïc cuû ñïo høm - Ñïo høm cuû høm soá f() tïi ñieåm o lø heä soá goùc cuû tieáp tueán cuû ñoà thò høm soá tïi ñieåm ( o; f( o)). - Cho høm soá f() coù ñoà thò (C). Phöông trình tieáp tueán cuû ñoà thò (C) tïi tieáp ñieåm ( o; f( o)) lø f ( o)( o) f( o). 3) Qui téc tính ñïo høm ( c) c. () ; (c) c c c ; (cu) cu (u ). u ( 0); (u 0) u u tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

22 4) Bûng ñïo høm cuû cùc høm soá sô cáp cô ûn Giû söû ñieàu kieän ñeå toàn tïi cùc coâng thöùc döôùi ñâ ñõ ñöôïc ùc ñònh TT Høm soá Ñïo høm C (C ) u (vôùi u u()) 0....u u u u (vôùi u u()) u sin cos sinu (vôùi u u()) ucosu. cos sin. cosu (vôùi u u()) usinu. tn tnu (vôùi u u()) cot cotu (vôùi u u()) 9 rcsin (oå sung) 0 rccos (oå sung) rctn (oå sung). cos u. cos u. sin u. sin u.. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn)

23 rcot (oå sung) u (vôùi u u()) e u e (vôùi u u()) ln lnu (vôùi u u()) ln ln u (vôùi u u()) log log u (vôùi u u()) ln. u u ln. e. u ue. u u u u ln u uln NHÔÙ 0. CAÙC DAÏNG ÑOÀ THÒ CUÛA OÄT SOÁ HAØ SOÁ THÖÔØNG GAËP ) Cùc öôùc khûo sùt vø ve õ ñoà thò høm soá f() Böôùc. Tìm täp ùc ñònh cuû høm soá. Böôùc. Söï ieán thieân + Tính ñïo høm. ñònh. + Tìm cùc nghieäm cuû phöông trình 0vø cùc ñieåm tïi ñoù khoâng ùc + Xeùt dáu vø su r chieàu ieán thieân cuû høm soá. + Tìm ñieåm cöïc trò. + Tìm cùc giôùi hïn voâ cöïc vø tìm cùc tieäm cän (neáu coù). + Läp ûng ieán thieân. Böôùc 3. Ñoà thò Döï vøo ûng ieán thieân vø cùc eáu toá ùc ñònh ôû treân (chuù ù cùc gio ñieåm cuû ñoà thò vôùi cùc truïc toï ñoä, tính ñoái öùng qu truïc, qu tâm) ñeå veõ ñoà thò. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 3

24 ) Cùc dïng cuû ñoà thò høm soá thoâng duïng + Ñoà thò høm soá äc : Dáu hieäu 3 c d ( 0). Dïng ñoà thò 0 Neáu 0 coù nghieäm phân ieät thì høm soá ñõ cho coù moät cöïc ñïi vø moät cöïc tieåu. 0 0 Neáu 0 coù nghieäm phân ieät thì høm soá ñõ cho coù moät cöïc tieåu vø moät cöïc ñïi. 0 0 Neáu 0, D hoëc 0, D thì høm soá ñõ cho ñoàng ieán. Tröôøng hôïp su ñoäc gi û töï veõ 0 Neáu 0 0, D hoëc, D thì høm soá ñõ cho nghòch ieán. 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 4

25 + Ñoà thò høm soá truøng phöông: 4 c ( 0). Nhän eùt : 0vø 0thì Høm soá coù hi cöïc tieåu vø moät cöïc ñïi. Ñoà thò høm soá coù hi ñieåm uoán. 0 Nhän eùt : 0vø 0thì Høm soá coù hi cöïc ñïi vø moät cöïc tieåu. Ñoà thò høm soá coù hi ñieåm uoán. 0 Nhän eùt : 0vø 0thì Høm soá coù moät cöïc tieåu. Ñoà thò høm soá khoâng ñieåm uoán. 0 Nhän eùt : 0vø 0thì Høm soá coù moät cöïc ñïi. Ñoà thò høm soá khoâng ñieåm uoán. 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 5

26 + Ñoà thò høm soá nhát ieán: (c 0, d c 0). c d 0, D. Coù theå nhìn d c 0. O 0, D. Coù theå nhìn d c 0. O + Ñoà thò høm soá höõu tû c r p q (e 0, r 0). e f e f.e 0 0 coù nghieäm phân ieät. Tröôøng hôïp su ñoäc gi û töï veõ.e 0 0 coù nghieäm phân ieät. O tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 6

27 0, D O 0, D O NHÔÙ. OÄT SOÁ BAØI TOAÙN THÖÔØNG GAËP VEÀ ÑOÀ THÒ VAÁN ÑEÀ. TÌ ÑIEÅ COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑOÀ THÒ Cho hoï ñöôøng cong (C m): f(, m), m lø thm soá + Tìm ñieåm coá ñònh mø moïi ñoà thò (C m) ñeàu ñi qu. Phöông phùp giûi - Bieán ñoåi phöông trình f(, m) r dïng Am B 0 () hoëc Am Bm C 0 () A 0 A 0 - Giûi heä neáu gëp dïng () hoëc B 0 neáu gëp dïng () B 0 C 0 tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 7

28 - Su r ñieåm coá ñònh càn tìm. + Tìm ñieåm coá ñònh mø moïi ñoà thò (C m) Phöông phùp giûi ñeàu khoâng ñi qu. A B 0 A 0 C 0 - Giûi neáu gëp dïng () hoëc neáu gëp dïng () B 0 A 0 B 4AC 0 - Su r cùc ñieåm mø ñoà thò khoâng ñi qu. VAÁN ÑEÀ. BIEÄN LUAÄN SOÁ GIAO ÑIEÅ CUÛA HAI ÑÖÔØNG CONG Cho hi hoï ñöôøng cong (C m): f(, m) vø (L m): g(, m). Goïi (; ) + (C m) (L m) toï ñoä (; ) cuû lø nghieäm cuû heä f(, m). g(, m) + Phöông trình hoønh ñoä gio ñieåm cuû(c m) vø (L m) : f(, m) g(, m) (*) Soá nghieäm cuû (*) chính lø soá gio ñieåm cuû (C m) vø (L m). f(, m) g(, m) (C ) tieáp uùc vôùi (L ) coù nghieäm. f (, m) g (, m) (ñïo høm) m m VAÁN ÑEÀ 3. TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑOÀ THÒ HAØ SOÁ Dïng. Cho høm soá f() coù ñoà thò (C) vø ñieåm ( o; o) cho tröôùc. Vieá t phöông trình tieáp tueán vôùi (C) tïi. Phöông phùp giûi Phöông trình tieáp tueán vôùi (C) tïi lø f ( )( ). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 8 o o o Dïng. Vieát phöông trình tieáp tueán cuû (C), ieát tieáp tueán coù heä soá goùc k cho tröôùc. Phöông phùp giûi Cùch Goïi tieáp ñieåm lø ( o; o), vì tieáp tueán coù heä soá goùc k neân Giûi phöông trình f ( o) k t ñeå tìm nghieäm o. Phöông trình tieáp tueán càn tìm lø k( o) f( o). f ( o) k.

29 Cùch Phöông trình tieáp tueán coù dïng d: k. f() k d tieáp uùc (C) (I) coù nghieäm. f () k Giûi heä (I) phöông trình tieáp tueán d càn tìm. Dïng 3. Vieát phöông trình tieáp tueán cuû (C), ieát tieáp tueán song song vôùi ñöôøng thúng ( 0) cho tröôùc. Phöông phùp giûi Cùch Goïi tieáp ñieåm lø ( o; o), vì tieáp tueán songsong vôùi ñöôøng thúng neân f ( o). Giûi phöông trình f ( o) ñeå tìm nghieäm Phöông trình tieáp tueán càn tìm lø ( o) f( o). o. Cùch Phöông trình tieáp tueán coù dïng d: ( ). f() d tieáp uùc (C) (I) coù nghieäm. f () Giûi heä (I) phöông trình tieáp tueán d càn tìm. Dïng 4. Vieát phöông trình tieáp tueán cuû (C), ieát tieáp tueán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thúng ( 0) cho tröôùc. Phöông phùp giûi Cùch Goïi tieáp ñieåm lø ( o; o), vì tieáp tueán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thúng neân f ( o). Giûi phöông trình f ( o) ñeå tìm nghieäm. o Phöông trình tieáp tueán càn tìm lø ( o) f( o). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 9

30 Cùch Phöông trình tieáp tueán coù dïng d:. f() d tieáp uùc (C) (I) coù nghieäm. f () Giûi heä (I) phöông trình tieáp tueán d càn tìm. Dïng 5. Vieát phöông trình tieáp tueán cuû (C), ieát tieáp tueán ñi qu ñieåm ( ; )cho tröôùc. Phöông phùp giûi Cùch Goïi tieáp ñieåm lø K( o; o), phöông trình tieáp tueán d cuû (C) tïi ñieåm K f ( )( ) f( ). lø o o o Vì tieáp tueán d ñi qu ( ; ) neân f ( o )( o ) f( o ) (*). T giûi phöông trình (*) ñeå tìm nghieäm o. Töø ñoù su r phöông trình tieáp tueán d càn tìm. Cùch Phöông trình ñöôøng thúng d ñi qu ( ; ) coù heä soá goùc k lø k( ). f() k( d tieáp uùc (C) (I) ) coù nghieäm. f () k Giûi heä (I) k phöông trình tieáp tueán d càn tìm. VAÁN ÑEÀ 4. BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ Bøi toùn ) Khûo sùt vø veõ ñoà thò cuû (C): f(). ) Duøng (C) ieän luän theo thm soá m soá nghieäm cuû g(, m) 0 (*) + Chueån g(, m) 0 veà Dïng. f() m h f() h(m). Phöông phùp giûi Dïng. f() k m (m lø thm soá, k lø hèng soá). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 30

31 Dïng3. f() m( ), ñöôøng thúng f() m( ) qu qunh ñieåm coá ñònh (; ). + Döï vøo ñoà thò t ieän luän theo thm soá m soá nghieäm cuû (*). VAÁN ÑEÀ 5. TAÄP HÔÏP CUÛA OÄT ÑIEÅ uoán tìm täp hôïp cuû ñieåm di ñoäng t thöïc hieän nhö su: T tính toï ñoä cuû ñieåm (; ) vôùi g(m) (). h(m) () Khöû m giöõ () vø () t ñöôïc (C): F(; ) 0, su r (C). Giôùi hïn täp hôïp (neáu coù) töø cùc ñieàu kieän cuû thm soá m ñeå coù. Keát luän: Täp hôïp cuû lø tát cû hoëc moät phàn cuû (C): F(; ) 0thoû mõn ñieàu kieän giôùi hïn. Tröôøng hôïp ñëc ieät : (hèng soá) Neáu thì d: (giôùi hïn h(m)). h(m) g(m) Neáu thì d: (giôùi hïn g(m)). (hèng soá) NHÔÙ. BAÛNG TÍCH PHAÂN ) Ñònh nghó ngueân høm Cho høm soá f ùc ñònh treân K (vôùi K lø moät khoûng, moät ñoïn hoëc moät nöû khoûng nøo ñoù). Høm soá F ñöôïc goïi lø ngueân høm cuû f treân K neáu F () f() vôùi moïi thuoäc K. ) oät soá phöông phùp tìm ngueân høm Phöông phùp ñoåi ieán soá Cho høm soá u u() coù ñïo høm lieân tuïc treân K vøhøm soá f(u) lieân tuïc so cho f[u()] ùc ñònh treân K. Khi ñoù neáu F lø moät ngueân høm cuû f, töùc lø f[u()]u ()d F[u()] C. Phöông phùp lá ngueân høm töøng phàn Neáu u, v lø hi høm coù ñïo høm lieân tuïc treân K thì u()v ()d u()v() v()u ()d. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 3

32 Vieát goïn udv uv vdu. 3) Coâng thöùc NewTon-Leinitz. f()d F() F() F(). vôùi F() lø ngueân høm cuû f() treân [; ]. 4) oät soá phöông phùp tính tích phân Phöông phùp ñoåi ieán soá Cùch Giû söû tính g()d Neáu phân tích g()d thønh dïng f[u()]u ()d f[u()]d[u()] thì t coù + Bøi toùn qu veà tính f(u)du Cùch Giû söû tính f()d g()d f(u)du vôùi u(), u(). (tính ñôn giûn hôn). + Neáu (t) vø, thoû mõn, () thì t coù f()d f[(t)] (t)dt g(t)dt (tính ñôn giûn hôn). Phöông phùp tích phân töøng phàn udv uv vdu (vôùi u, v coù ñïo høm lieân tuïc treân [; ]). 5) Tính chát Cho høm soá f(), g() lieân tuïc treân K vø,, c lø soá át kì thuoäc K. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 3

33 ) f()d 0. ) f()d f()d. c c) f()d f()d f()d. c d) f() g() d f()d g()d. e) kf()d k f()d (k ). f) Neáu m f() thì m( ) f()d ( ) (oå sung). 6) Bûng tích phân TT 3 d C ( ). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 33 Coâng thöùc ( ) ( ) d C ( 0, ). d C ( ). d 4 ln C ( ). 5 d ln C ( 0 ). 6 kd k C (k ) e d e C. e d e C ( 0). d C (0 ). ln

34 0 sind cos C. sin( )d cos( ) C ( 0). cosd sin C cos( )d sin( ) C ( 0). d tn C. cos d cot C. sin d rctn C ( coâng thöùc oå sung). d rctn C ( 0) ( coâng thöùc oå sung). d ln C ( 0) ( coâng thöùc oå sung). d ln C ( 0) ( coâng thöùc oå sung). d rcsin C ( 0) ( coâng thöùc oå sung). d ln h C ( coâng thöùc oå sung). h d rcsin C ( 0) ( oå sung). h hd h ln h C ( oå sung). NHÔÙ 3. ÑÒNH LÍ LAGRANGE Cho høm soá f() lieân tuïc treân [; ] vø coù ñïo høm treân khoûng (; ) thì toàn tïi ít nhát moät ñieåm c (; ) so cho f() f() f (c)( ). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 34

35 NHÔÙ 4. OÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG HÌNH HOÏC CUÛA TÍCH PHAÂN ) Dieän tích hình phúng giôùi hïn ôûi cùc ñöôøng cong Neáu høm soá f() lieân tuïc treân ñoïn [; ] thì dieän tích S cuû hình phúng giôùi hïn ôûi ñoà thò høm soá, truïc hoønh vø hi ñöôøng f() thúng, ( ) lø O f() c S f() d. Dieän tích cuû hình phúng giôùi hïn ôûi cùc ñoà thò høm soá f(), g() f() vø hi ñöôøng thúng, ( ) lø S f() g() d. O g() ) Theå tích khoái troøn o Cho høm soá f() lieân tuïc, khoâng âm treân ñoïn [; ]. Hình phúng giôùi hïn ôûi ñoà thò høm soá f(), truïc hoønh vø hi ñöôøng thúng, ( ) qu qunh truïc hoønh tïo neân moät khoái troøn o (hình veõ). Theå tích v f() d. O f() tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 35

36 Hình phúng giôùi hïn ôûi ñoà thò høm soá truïc tung vø hi ñöôøng thúng g(), c, d (c d) qu qunh truïc O tïo neân moät khoái troøn o (hình veõ). d Theå tích v g() d. c d c O g() NHÔÙ 5. HOAÙN VÒ- CHÆNH HÔÏP- TOÅ HÔÏP ) Hoùn vò Cho täp hôïp A coù n phàn töû. Khi sép eáp n phàn töû nø theo moät thöù töï t ñöôïc moät hoùn vò cuû täp A. Soá cùc hoùn vò cuû moät täp hôïp coù n phàn töû ñöôïc kí hieäu lø Pn vø Pn n!. ) Chænh hôïp Cho täp hôïp A coù n phàn töû vø k lø moät soá ngueân döông vôùi k n. Khi lá r moät täp con goàm k phàn töû cuû A vø sép chuùng theo moät thöù töï, t ñöôïc moät chænh hôïp chäp k cuû n phàn töû cuû A. Soá chænh hôïp chäp k cuû n phàn töû k n! ñöôïc kí hieäu lø vø An n(n )(n ) (n k ) (0 k n). (n k)! k A n 3) Toå hôïp Cho täp hôïp A goàm n phàn töû vø soá töï nhieân k vôùi 0 k n. oät täp hôïp con cuû A coù k phàn töû ñöôïc goïi lø moät toå hôïp chäp k cuû n phàn töû A. k Soá cùc toå hôïp chäp k cuû moät täp hôïp coù n phàn töû ñöôïc kí hieäu lø Cn vø k k An n! Cn k! k!(n k)! Coâng thöùc khi trieån nhò thöùc Niu-tôn n. n 0 n n n n n n k nk k ( ) Cn Cn Cn Cn Cn k0 Tính chát k nk Cn C n n 0 Cn Cn k k k Cn Cn C n 0 n n Cn Cn Cn. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 36

37 NHÔÙ 6. SOÁ PHÖÙC I. DAÏNG ÑAÏI SOÁ CUÛA SOÁ PHÖÙC ) Ñònh nghó soá phöùc Xeùt täp hôïp C i, ; i. oãi phàn töû z i ñöôïc goïi lø moät soá phöùc. ñöôïc goïi lø phàn thöïc cuû z.. ñöôïc goïi lø phàn ûo cuû z.. i ñöôïc goïi lø ñôn vò ûo. Chuù ù - oãi soá thöïc ñöôïc coi lø moät soá phöùc coù phàn ûo èng 0 (z 0i ). - Soá phöùc coù phàn thöïc èng 0 goïi lø soá thuàn ûo (z 0 i, ). ) Hi soá phöùc èng nhu Cho hi soá phöùc z i, z i (,,, ) T coù z z. 3) Soá phöùc ñoái nhu Cho soá phöùc z i (, ). T goïi i lø soá phöùc ñoái cuû z vø kí hieäu z i. 4) Soá phöùc lieân hôïp Cho soá phöùc z i (, ). T goïi i lø soá phöùc lieân hôïp cuû z vø kí hieäu z i. 5) Pheùp tính Cho hi soá phöùc z i, z i (,,, ). T coù: z z ( ) ( )i. z. z ( ) ( )i. z i (z 0). z 6) Nhöõng kieán thöùc càn hoïc nhôù khi thöïc hønh toùn soá phöùc 3 4 i ; i i. i i ; i i. i ( )( ). z lø soá thöïc z z. z lø soá thuàn ûo z z. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 37

38 z z z z z z ; z z ; z. z z. z ; (z 0). z z z 0, z. z z zz z. z, (z 0). z z z z z z, z, z. II. CAÊN BAÄC HAI CUÛA SOÁ PHÖÙC, GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI ) Ñònh nghó Cho soá phöùc w. Neáu coù soá phöùc z thoû mõn äc hi cuû w. z wthì z ñöôïc goïi lø moät cên ) Cùch tìm cên äc hi cuû moät soá phöùc Cho soá phöùc w i (,, 0). Tìm cên äc hi cuû w. Phöông phùp giûi Goïi i lø moät cên äc hi cuû z. T coù: ( i) i i i i i i (*) Giûi (*) tìm ñöôïc,. Keát luän. Löu ù. w 0 coù ñuùng moät cên äc hi lø z 0. w 0 coù ñuùng hi cên äc hi lø hi soá ñoái nhu (khùc 0). - Hi cên äc hi cuû 0 lø - Hi cên äc hi cuû 0 lø i. 3) Phöông trình äc hi Xeùt phöông trình äc hi cho tröôùc vø A 0. Az Bz C 0 (*) trong ñoù A, B, C lø cùc soá phöùc tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 38

39 Neáu B 4AC 0 thì (*) coù hi nghieäm phân ieät lø: B δ B δ z ; z A A (trong ñoù δ lø moät cên äc hi cuû ieät soá ) B Neáu 0 thì (*) coù nghieäm keùp lø z z A III. DAÏNG LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA SOÁ PHÖÙC ) Ñònh nghó + Cho soá phöùc z 0. Goïi lø ñieåm trong mët phúng phöùc ieåu dieãn z. Soá ño (rñin) cuû moãi goùc löôïng giùc ti ñàu O, ti cuoái O ñöôïc goïi lø moät cgumen cuû z (em hình veõ). + r(cos isin ), r 0 lø dïng löôïng giùc cuû soá phöùc z i 0 (, ). Trong ñoù r, phöùc z (em hình veõ). (O, O) làn löôït ñöôïc goïi lø moâñun vø moät cgumen cuû soá ) Cùch tìm dïng löôïng giùc cuû soá phöùc döôùi dïng ñïi soá Ñeå tìm dïng löôïng giùc r(cos isin ), r 0 cuû soá phöùc z i 0 (, ) thì t phûi: Tìm r: r. Tìm : cos vø sin r r 3) Nhân, chi soá phöùc döôùi dïng löôïng giùc Neáu z r (cos isin ), z r (cos isin ) (vôùi r 0, r 0) thì z. zr. r cos( ) isin( ). z r cos( ) isin( ) (vôùi r 0) z r 4) Coâng thöùc o- Vrô (oivre) n n Neáu n lø soá ngueân, n thì r(cos isin ) r (cosn isinn ). O tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 39

40 5) Cên äc hi cuû soá phöùc döôùi dïng löôïng giùc Cùc cên äc hi cuû soá phöùc r(cos isin ) lø r cos isin vø r cos isin vôùi r 0. NHÔÙ 7. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG AËT PHAÚNG I.VECTÔ VAØ TOAÏ ÑOÄ Toï ñoä cuû moät vectô: (; ) i j. Toï ñoä cuû moät ñieåm: (; ) O i j. Cho A( ; ), B( ; ) A A B B AB ( ; ). B A B A B A B A + AB ( ) ). I Toï ñoä trung ñieåm I cuû ñoïn AB: I tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 40 A A A kb Toï ñoä ñieåm chi ñoïn AB theo tæ soá k : k A k B k Trong mpo cho tm giùc ABC coù A( ; ), B( ; ), C( ; ). B B A A B B C C G Neáu G lø troïng tâm cuû tm giùc ABC thì 3 G 3 PHEÙP TOAÙN Cho (; ) vø ( ; ).. ( ; ). A B C A B C

41 k (k; k) vôùi k. k cuøng phöông ( 0) k : 0. k.... cos(, ).. Chuù ù II. ÑÖÔØNG THAÚNG ) Cùc dïng phöông trình ñöôøng thúng Cho ñöôøng thúng qu ( o; o)vø coù VTCP u (u ; u ). T coù: + Phöông trình thm soá cuû ñöôøng thúng o ut (u u 0, t ). o ut + Phöông trình chính téc cuû ñöôøng thúng o o u 0 vôùi. u u u 0 Phöông trình ñöôøng thúng k( ). o o lø lø qu ( o; o)vø coù heä soá goùc k lø Chuù ù. k Δ. k Δ, // k Δ k Δ. Phöôngtrình toång quùt ñöôøng thúng coù dïng c 0 ( 0). Trong ñoù: n (; ) lø moät vectô phùp tueán cuû. u ( ; ) ( h u (; )) lø moät vectô chæ phöông cuû. k lø heä soá goùc ( 0). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 4

42 Chuù ù. n.u 0 Neáu // thì coù dïng c 0 (vôùi c c). Neáu thì coù dïng c 0 (hoëc c 0). Neáu ñöôøng thúng ñi qu ( ; )vø nhän n (; ) thúng treân coù phöông trình ( ) ( ) 0. o o o o løm VTPT thì ñöôøng Cùc tröôøng hôïp ñëc ieät: Neáu ñöôøng thúng song song hoëc truøng vôùi O thì coù dïng c 0. Neáu ñöôøng thúng song song hoëc truøng vôùi O thì coù dïng c 0. Neáu ñöôøng thúng ñi qu goác toï ñoä thì coù dïng 0. Ñöôøng thúng ñi qu hi ñieåm A(; 0), B(0; ) (vôùi. 0) coù phöông trình:. () Löu ù. () coøn goïi lø phöông trình theo ñoïn chén. Ñöôøng thúng ñi qu hi ñieåm A( ; ), B( ; ) coù phöông trình lø A A B B ( )( ) ( )( ) () A B A A B A A A Khi B A 0 vø B A 0 thì () vieát lïi ) Khoûng cùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thúng Cho ñöôøng thúng : c 0 vø ( ; ). T coù: d(; ) o o c 3) Vò trí töông ñoái cuû hi ñöôøng thúng Cho hi ñöôøng thúng coù phöông trình : c 0 : c 0 Soá gio ñieåm cuû vø chính lø soá nghieäm cuû heä phöông trình: c c o o B A B A tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 4

43 T tính: D c D c c c c D c c c. Bieän luän: vø cét nhu D 0. D 0 D 0 // hoëc. D 0 D 0 D D D 0. Ñëc ieät. Khi,, c 0 vø cét nhu c // c c c 4) Goùc cuû hi ñöôøng thúng Cho hi ñöôøng thúng coù phöông trình : c 0, : c 0 làn löôït coù vectô phùp tueán lø n ( ; ), n ( ; ). Goùc giöõ hi ñöôøng thúng vø cho ôûi coâng thöùc: n.n cos( ; ) n. n. 5) Phöông trình ñöôøng phân giùc Cho hi ñöôøng thúng coù phöông trình : c 0, : c 0 Phöông trình phân giùc cuû goùc hôïp ôûi vø lø: tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 43

44 c c 6) Vò trí cuû hi ñieåm ñoái vôùi ñöôøng thúng Cho ñöôøng thúng : c 0; hi ñieåm A( A; A), B( B; ) phân ieät B T coù: A vø B nèm hi phí ñoái vôùi ( c)( c) 0. A A B B A vø B nèm cuøng phí ñoái vôùi ( c)( c) 0. A A B B III. ÑÖÔØNG TROØN ) Phöông trình ñöôøng troøn Phöông trình ñöôøng troøn tâm I(; ), ùn kính R coù dïng: Dïng : (C ): ( ) ( ) R. Dïng : (C ): c 0 vôùi R c 0. ) Phöông trình thm soá cuû ñöôøng troøn Phöông trình thm soá cuû ñöôøng troøn tâm I(; ), ùn kính R lø Rcost (t ). Rsint 3) Ñieàu kieän tieáp uùc Cho ñöôøng thúng : α β γ 0 vø ñöôøng troøn (C) coù tâm I( ; ), ùn kính R. αβγ tieáp uùc (C) d(i; ) R R. α β 4) Vò trí cuû moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn Cho ñöôøng troøn (C ) coù tâm I, ùn kính R vø moät ñieåm I R ôû ngoøi (C). I R nèm treân (C). I R ôû trong (C). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 44

45 5) Vò trí cuû ñöôøng thúng ñoái vôùi ñöôøng troøn Cho ñöôøng troøn (C ) coù tâm I, ùn kính R vø ñöôøng thúng d(i; ) R khoâng cét (C). d(i; ) R tieáp uùc (C). d(i; ) R cét (C) tïi hi ñieåm phân ieät. 6) Phương trình tiếp tuến với đường tròn (C) tại ( 0; 0) (o )( o) ( o )( o) 0 I Hình moâ tû IV. ELIP ) Ñònh nghó (E) / F F O F F Hi ñieåm F, F goïi lø hi tieâu ñieåm cuû elip. Khoûng cùch F F c goïi lø tieâu cöï. F vø F goïi lø ùn kính qu tieâu ñieåm cuû. ) Phöông trình chính téc cuû elip vø cùc eáu toá cuû elip Lí thueát PT chính téc ( 0) Truïc lôùn, ñoä døi O, AA Truïc nhoû, ñoä døi O, BB O, BB O, AA ( 0) (oå sung) tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 45

46 Lieân heä,, c c Tieâu ñieåm F ( c; 0), F (c; 0) Ñænh treân truïc lôùn A ( ; 0), A (; 0) Ñænh treân truïc nhoû B (0; ), B (0; ) Tâm si Ñöôøng chuån Bùn kính qu tieâu Phöông trình hình chöõ nhät cô sôû PT tieáp tueán vôùi (E) tïi ( ; ) o (oå sung) o c F (0; c), F (0; c) B (0; ), B (0; ) A ( ; 0), A (; 0) c e, : e c F e F e Vôùi ( ; ) (E) c e, : e c F e F e Vôùi ( ; ) (E),,. o o. o o Ñieàu kieän (E) tieáp uùc A B C 0 (oå sung) A B C A B C V. HYPEBOL ) Ñònh nghó Y B (H) / F F A A F O F X B tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 46

47 Hi ñieåm F, F goïi lø hi tieâu ñieåm cuû hpeol (H). Khoûng cùch F F c goïi lø tieâu cöï. F vø F goïi lø ùn kính qu tieâu ñieåm cuû. ) Phöông trình chính téc cuû hpeol vø cùc eáu toá cuû hpeol Lí thueát PT chính téc Truïc thöïc, ñoä døi O, AA Truïc ûo, ñoä døi O, BB Lieân heä,, c c (, 0) Tieâu ñieåm F ( c; 0), F (c; 0) Ñænh A ( ; 0), A (; 0) O, BB O, AA (oå sung) c F (0; c), F (0; c) B (0; ), B (0; ) c c Tâm si e e Ñöôøng chuån Tieäm cän Bùn kính qu tieâu (Vôùi ( ; ) (H)), : e c F e F e, : e c F e F e Phöông trình hình chöõ nhät cô sôû PT tieáp tueán vôùi (H) tïi ( ; ) o (oå sung) o,,. o o. o o Ñieàu kieän (H) tieáp uùc A B C 0 (oå sung) A B C B A C tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 47

48 VI. PARABOL ) Ñònh nghó (; ) (P) / F d(; ) P O P F ; 0 F goïi lø tieâu ñieåm cuû ppol (P). Ñöôøng thúng goïi lø ñöôøng chuån. F goïi lø ùn kính qu tieâu ñieåm cuû. Khoûng cùch töø F ñeán goïi lø thm soá tieâu. Kí hieäu p. ) Phöông trình chính téc cuû prol vø cùc eáu toá cuû prol Lí thueát PT chính téc p p p p P Tieâu ñieåm F ; 0 P F ; 0 F 0; P F 0; P Ñöôøng chuån P P P P Ñieàu kieän (P) tieáp uùc A + B + C = 0 B p AC B p AC A p BC A p BC (oå sung) tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 48

49 NHÔÙ 8. PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN I.VECTÔ VAØ TOAÏ ÑOÄ Toï ñoä cuû moät vectô: (; ; z) i j zk. Toï ñoä cuû moät ñieåm: (; ; z) O i j zk. Cho A( ; ; z ), B( ; ; z ) A A A B B B AB ( ; ; z z ). B A B A B A B A B A B A AB ( ) ) z z ). Toï ñoä trung ñieåm I cuû ñoïn AB: z I I I z A A A z B B B A kb I k A kb + Toï ñoä ñieåm chi ñoïn AB theo tæ soá k : I k za kzb zi k Trong kg Oz cho tm giùc ABC coù A( ; z ), B( ; z ), A A ; A B B ; B G 3 C( C; C ; z C). Neáu G lø troïng tâm cuû ABC thì G 3 z z z zg 3 A B C A B C A B C PHEÙP TOAÙN Cho (; ; z) vø ( ; ; z ).. z z tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 49

50 ( ; ; z z ). k (k; k; kz) vôùi k.. zz. z.. zz cos(, ). z. z Chuù ù.. 0 zz 0. z z Tích co ù höôùng cuû hi vectô [, ] ; ; z z Ñieàu kieän ñoàng phúng :,, c ñoàng phúng [, ]c 0. Dieän tích tm giùc ABC : SABC AB, AC BA, BC CA, CB. Dieän tích hình ình hønh ABCD : S ABCD AB, AD. Theå tích hình hoäp ABCD. ABC D : V AB, AD.AA. Theå tích hình choùp A.BCD : V AB, AC.AD. 6 II. PHÖÔNG TRÌNH CUÛA AËT PHAÚNG ) Phöông trình toàng quùt cuû mët phúng Phöông trình A B Cz D 0 vôùi toång quùt cuû mët phúng coù VTPT n (A; B; C). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 50 A B C 0 lø phöông trình Neáu mët phúng ( ) qu ñieåm ( o; o; z o) vø coù VTPT n (A; B; C) thì phöông trình toång quùt cuû ( ) lø A( o) B( o) C(z z o) 0 Cùc tröôøng hôïp ñëc ieät : Xeùt mët phúng ( ): A B Cz D 0. A B Cz 0 ( ) ñi qu goác toï ñoä. B Cz D 0 (D 0) ( ) song song vôùi truïc O. A Cz D 0 (D 0) ( ) song song vôùi truïc O. A B D 0 (D 0) ( ) song song vôùi truïc Oz.

51 B Cz 0 ( ) chöù truïc O. A Cz 0 ( ) chöù truïc O. A B 0 ( ) chöù truïc Oz. Cz D 0 (D 0) ( ) song song vôùi (O). A D 0 (D 0) ( ) song song vôùi (Oz). B D 0 (D 0) ( ) song song vôùi (Oz). 0 ( ) chính lø mët phúng (Oz). 0 ( ) chính lø mët phúng (Oz). z 0 ( ) chính lø mët phúng (O). ) Phöông trình theo cùc ñoïn chén treân cùc mët phúng toï ñoä ët phúng cét cùc truïc O, O, Oz làn löôït tïi cùc ñieåm A(; 0; 0), B(0; ; 0), C(0; 0; c) coù phöông trình z, c 0. c 3) Vò trí töông ñoái cuû hi mët phúng Cho mët phúng ( ): A B Cz D 0, ( ): A B Cz D 0 làn löôït coù moät VTPT lø n (A; B; C) vø n (A ; B; C ). A B C D ( )//( ) A B C D A B C D ( ) ( ) A B C D A B B C C A ( ) cét ( ) hoëc hoëc A B B C C A (cuõng coù theå ghi A: B: C A : B : C ) ( ) ( ) n.n 0 AA BB CC 0. 4) Goùc cuû hi mët phúng Cho mët phúng ( ): A B Cz D 0, ( ): A B Cz D 0 làn löôït coù moät VTPT lø n (A; B; C) vø n (A ; B; C ). Goïi lø goùc giöõ hi mët phúng ( ) vø ( ), t coù : n. n AA BB CC cos n. n A B C. A B C tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 5

52 5) Khoûng cùch töø moät ñieåm ñeán mët phúng Cho mët phúng ( ): A B Cz D 0, ( o; o; z o) ( ) Khoûng cùch töø ñeán ( ) lø: Ao Bo Czo D d(, ( )) A B C 6) Khoûng cùch hi mët phúngsong song Cho hi mët phúng ( ): A B Cz D 0, ( ): A B Cz D 0 vôùi D D, khoûng cùch giöõ hi mët phúng ( ) vø( ) lø: d(( ), ( )) d(, ( )) vôùi ( o; o; z o) ( ). III. PHÖÔNG TRÌNH CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG ) Phöông trình thm soá cuû ñöôøng thúng o t Phöông trình o t (t ) lø phöông trình thm soá cuû ñöôøng thúng ñi z zo ct ( ; ; z ) vø coù VTCP u (; ; c). qu o o o ) Phöông trình chính téc cuû ñöôøng thúng Phöông trình o o z z o (c 0) lø phöông trình chính téc c cuû ñöôøng thúng ñi qu ( o; o; z o) vø coù VTCP u (; ; c). 3) Phöông trình toång quùt cuû ñöôøng thúng (oå sung) Phöông trình toång quùt A B Cz D 0 (*) A B C z D 0 A B A B B C vôùi B C C A C A z d tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 5

53 oãi phöông trình cuû heä (*) ieåu thò moät mët phúng, ñieàu kieän treân chöùng toû hi mët phúng cét nhu. Heä phöông trình (*) cho t ñöôøng thúng gio tueán d cuû hi mët phúng ( ) vø( ), VTCP cuû ñöôøng thúng d lø u [n, n ] 4) Vò trí töông ñoái cuû hi ñöôøng thúng vôùi n (A; B; C), n (A ; B ; C ). Cho ñöôøng thúng d ñi qu ( ; ; z )vø coù VTCP u (; ; c) vø ñöôøng thúng d ñi qu N( N; N; z N)vø coù VTCP v ( ; ; c ). ) d vø d cuøng nèm trong mët phúng (ñoàng phúng) [u, v].n 0. [u, v].n 0 ) d vø d cét nhu. [u, v] 0 [u, v] 0 [u, v] 0 c) d // d. d [u, N] 0 [u, v] 0 [u, v] 0 d) d d. d [u, N] 0 e) f) d vø d cheùo nhu [u, v].n 0. d d u.v 0. 5) Vò trí töông ñoái cuû ñöôøng thúng vø mët phúng Cho mët phúng ( ): A B Cz D 0 coù VTPT n (A; B; C), ñöôøng thúng d ñi qu ( o; o; z o) vø coù VTCP u (; ; c). ) d cét ( ) u.n 0 A B Cc 0. u.n 0 A B Cc 0 ) d//( ). ( ) Ao Bo Czo D 0 u.n 0 A B Cc 0 c) d ( ). ( ) Ao Bo Czo D 0 d) d ( ) n vø u cuøng phöông. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 53

54 u d n d u n d cét ( d // ( u n u d n d d ( d ( Cùch khùc Xeùt heä goàm phöông trình ñöôøng thúng d vø phöông trình mët phúng ( ). ) Heä treân coù nghieäm du nhát d cét ( ) Heä treân voâ nghieäm d // ( c) Heä treân voâ soá nghieäm d ( 6) Goùc cuû hi ñöôøng thúng Cho hi ñöôøng thúng d vø d làn löôït coù VTCP u (; ; c), v ( ; ; c ). Goùc giöõ hi ñöôøng thúng d vø d ñöôïc ùc ñònh ôûi: u.v cc cos (0 90 o ). uv c c 7) Goùc cuû ñöôøng thúng vø mët phúng Cho ñöôøng thúng d coù VTCP u (; ; c) vø mët phúng ( ) coù moät VTPT n (A; B; C). Goùc giöõ ñöôøng thúng d vø mët phúng ( ) ñöôïc ùc ñònh ôûi: sin A BcC c A B C tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 54

55 8) Khoûng cùch ) Khoûng cùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thúng Cho ñöôøng thúng ñi qu N( o; o; z o) coù VTCP u (; ; c) vø ñieåm ( ; ; z ). Khoûng cùch töø ñieåm ñeán lø: d(, ) Cùch khùc N, u u - Vieát phöông trình mët phúng ( ) qu vø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thúng. - Tìm toï ñoä gio ñieåm H cuû vø( ). - d(, ) H. ) Khoûng cùch hi ñöôøng thúng cheùo nhu Cho hi ñöôøng thúng vø cheùo nhu làn löôït coù VTCP u, v.khi ñoù khoûng cùch giöõ vø u, v.n ñöôïc cho ôûi: d(, ), trong ñoù u, v, N lø cùc ñieåm át kì theo thöù töï thuoäc vø. Cùch khùc - Vieát phöông trình mët phúng ( ) chöù vø song song vôùi - Tính khoûng cùch töø N ñeán mët phúng ( ), N ( ). - Khi ñùoù: d(, ) d(n, ( )). c) Khoûng cùch hi ñöôøng thúng song song Cho hi ñöôøng thúng song song vø. Lá moät ñieåm át kì thuoäc Khi ñoù: d(, ) d(, ). d) Khoûng cùch giöõ ñöôøng thúng vø mët phúng song song Cho ñöôøng thúng song song vôùi mët phúng ( ). Lá moät ñieåm át kì thuoäc, t coù: d(, ( )) d(, ( )). u N H. u N v. tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 55

56 NHÔÙ 9. AËT CAÀU ) Phöông trình mët càu ) Phöông trình mët càu (S) coù tâm I(; ; c) vø ùn kính R lø: ( ) ( ) (z c) R. ) Phöông trình mët càu (S) coù tâm O(0; 0; 0) vø ùn kính R lø: z R. c) z cz d 0 ( c d 0) lø phöông trình mët càu coù tâm I(; ; c) vø ùn kính R c d. ) Vò trí töông ñoái giöõ mët phúng vø mët càu Cho mët càu (S): ( ) ( ) (z c) R coù tâm I(; ; c), ùn kính Rvø mët phúng ( ): A B Cz D 0. Dáu hieäu Keát luän Hình moâ tû d(i,( α)) R ( ) khoâng cét (S) I (S) α H (S) d(i,( α)) R ( ) tieáp uùc (S) I d(i,( α)) R ( ) cét (S) theo ñöôøng troøn (C): ( ) ( ) (z c) R. A B Cz D 0 α α R r H I H (S) tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 56

57 3) Vò trí töông ñoái giöõ ñöôøng thúng vø mët càu Cho mët càu (S) coù tâm I, ùn kính R vø ñöôøng thúng. Goïi H lø hình chieáu cuû I treân vø d IH lø khoûng cùch töø Itôùi. H I H I Hình Hình A I H B Hình 3 Neáu d R thì (S) (hình ). Neáu d R thì (S) H (hình ). Neáu d R thì (S) A, B 4) Chuù ù (hình 3). Cho mët càu (S) coù tâm I, ùn kính R vø ñieåm tuø ù Neáu I R ôû eân ngoøi mët càu (S). Neáu I R (S). Neáu I R ôû eân trong mët càu (S). tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 57

58 NHÔÙ 30. DIEÄN TÍCH VAØ THEÅ TÍCH Hình Dieän tích Theå tích Trong ñoù Hình hoäp chöõ nhät Hình läp phöông Khoái choùp S ( c c) tp tp S. V c 3 V,, c lø ñoä døi kích thöôùc : Cïnh hình läp phöông V S.h 3 ñù h: Chieàu co Khoái lêng truï V S ñù.h h: Chieàu co ët càu (khoái càu) Hình noùn (khoái noùn) Hình truï (khoái truï) S R S q Rl S S S tp q ñù Rl R S q Rh S S S tp q ñù Rh R V R R: Bùn kính V R h 3 V R h R: Bùn kính ñù h: Chieàu co l: Ñöôøng sinh R: Bùn kính ñù h: Chieàu co tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 58

59 OÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC TROÏNG TAÂ TOAÙN THPT CAÀN NHÔÙ 7 Lôøi khueân cho thí sinh veà phöông phùp giûi moät øi thi. Phöông trình vø át phöông trình äc nhát Heä hi phöông trình äc nhát hi ån Phöông trình äc hi moät ån Dáu nhò thöùc vø dáu tm thöùc So sùnh nghieäm cuû tm thöùc äc hi vôùi cùc soá (oå sung) Phöông trình chöù cên Bát phöông trình chöù cên Phöông trình chöù giù trò tueät ñoái Bát phöông trình chöù giù trò tueät ñoái Bát ñúng thöùc Coâng thöùc löôïng giùc Phöông trình löôïng giùc Heä thöùc löôïng trong tm giùc oät soá øi täp càn nhôù Høm soá lieân tuïc Høm soá muõ Høm soá loâgrit Phöông trình, át phöông trình muõ vø loâgrit Ñïo høm Cùc dïng ñoà thò cuû moät soá høm soá thöôøng gëp oät soá øi toùn thöôøng gëp veà ñoà thò Bûng tích phân Ñònh lí Lgrnge oät soá öùng duïng hình hoïc cuû tích phân Hoùn vò, chænh hôïp, toå hôïp Soá phöùc Phöông phùp toï ñoä trong mët phúng Phöông phùp toï ñoä trong khoâng gin ët càu Dieän tích vø theå tích tontuhoc.vn (tieàn thân lø phmtrongthu.com.vn) 59