ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -ooo- LÊ HOÀNG MAI VỀ CĂN JACOBSON, J S -CĂN VÀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -ooo- LÊ HOÀNG MAI VỀ CĂN JACOBSON, J S -CĂN VÀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2016

Công trình được hoàn thành tại: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Huế. Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Xuân Tuyến. Phản biện 1:... Phản biện 2:... Phản biện 3:... Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại:...... Vào hồi... giờ... ngày... tháng... năm... Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:...

1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Khái niệm căn được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Cartan cho các đại số Lie hữu hạn chiều trên các trường đóng đại số. Căn của một đại số Lie hữu hạn chiều A là iđêan giải được lớn nhất của A và nó đạt được bằng cách lấy tổng tất cả các iđêan giải được của A. Đại số Lie A được gọi là nửa đơn nếu căn của nó bằng 0. Cartan đã chỉ ra rằng đại số Lie nửa đơn là tổng trực tiếp của hữu hạn đại số Lie đơn. Hơn nữa, ông còn mô tả được các đại số Lie đơn hữu hạn chiều trên các trường đóng đại số. Do đó, cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn hữu hạn chiều là hoàn toàn được xác định. Wedderburn đã mở rộng kết quả nói trên cho các đại số kết hợp hữu hạn chiều trên các trường. Ông định nghĩa căn của một đại số A như vậy, kí hiệu rad(a), là iđêan lũy linh lớn nhất của A và nó cũng bằng tổng tất cả các iđêan lũy linh của A. Tương tự như Cartan, Wedderburn gọi một đại số hữu hạn chiều A là nửa đơn nếu rad(a) = 0. Ông đã chứng minh được rằng đại số hữu hạn chiều A là nửa đơn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các đại số đơn hữu hạn chiều A i, trong đó mỗi A i là một đại số ma trận trên một đại số chia được hữu hạn chiều. Artin đã mở rộng định lý của Wedderburn cho các vành thỏa mãn điều kiện cực tiểu (gọi là vành Artin). Với các vành R như vậy, tổng của các iđêan lũy linh trong R là lũy linh, do đó R có một iđêan lũy linh lớn nhất rad(r), được gọi là căn Wedderburn của R. Như vậy, định lý của Wedderburn cho các đại số đơn và nửa đơn đã được mở rộng thành công cho các vành Artin một phía. Tuy nhiên, đối với vành không Artin một phía R, tổng của các iđêan lũy linh trong R không còn là lũy linh và như vậy, R không có iđêan lũy linh lớn nhất, do đó chúng ta không có khái niệm căn cho các vành bất kỳ. Năm 1945, Jacobson [25] đề xuất khái niệm căn (được gọi là căn Jacobson) cho vành kết hợp bất kỳ là tổng của tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải. Đặc biệt, khi R là vành Artin một phía thì khái niệm căn Jacobson và căn Wedderburn của R là trùng nhau. Kể từ đây, khái niệm căn Jacobson trở thành một trong những công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc vành. Căn Jacobson của lý thuyết vành và các vấn đề liên quan đã được trình bày tương đối đầy đủ và có hệ thống trong các tài liệu như: Gardner-Wiegandt [11], Lam [36] và Anderson-Fuller [6].

2 Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [56] vào năm 1934, là tổng quát hóa khái niệm vành kết hợp theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của phép cộng. Trong thập niên 30 của thế kỷ 20, khái niệm nửa vành chưa được cộng đồng toán học quan tâm nhiều. Tầm quan trọng của nửa vành trong lý thuyết khoa học máy tính, đầu tiên được công nhận bởi Schützenberger [52]. Ngày nay, nửa vành được phát triển cả về phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng. Các tính chất, ứng dụng của nửa vành và các vấn đề liên quan đã được trình bày trong các tài liệu như: Golan [13], Berstel-Reutenauer [8] và Polák [18]. Gần đây, nửa vành cộng lũy đẳng (còn được gọi là nửa vành lũy đẳng bởi một số tác giả) được các nhà toán học quan tâm như: Gathmann [12] và Izhakian- Rowen [23] vì nửa vành cộng lũy đẳng là tâm điểm của các đối tượng tương đối mới như hình học tropical và đại số tropical. Cùng với đó, khái niệm nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng cũng được quan tâm nghiên cứu như: Izhakian-Rhodes-Steinberg [24] đã mô tả tất cả các lớp nửa môđun trái đơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữu hạn), Kendziorra-Zumbrägel [32] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng và Katsov-Nam-Zumbrägel [29] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ có tương đẳng tầm thường với RR 0. Tuy nhiên, sự tồn tại nửa môđun trái đơn trong trường hợp nửa vành nói chung là một vấn đề chưa có lời giải. Từ những vấn đề này gợi ý chúng tôi nghiên cứu cấu trúc các nửa vành. Tương tự như vành, trong luận án này chúng tôi sử dụng một trong những công cụ hữu dụng để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành đó là công cụ căn. Nói chung, căn của nửa vành là một iđêan cô lập gồm tất cả các phần tử xấu của nửa vành sao cho nửa vành thương theo căn của nó không có phần tử xấu. Căn của nửa vành bắt đầu được quan tâm bởi một số nhà toán học từ thập niên 50 của thế kỷ 20. Đặc biệt, năm 1951 Bourne [9] đã giới thiệu khái niệm căn Jacobson (hay J-căn) của nửa vành theo iđêan nửa chính quy một phía. Ngoài ra, Bourne cũng đã chứng minh được mọi iđêan trái (phải) lũy linh của nửa vành bị chứa trong J-căn [9, Theorem 7] và tính được J-căn của nửa vành ma trận trên nửa vành có đơn vị [9, Theorem 9]. Năm 1958, Bounne và Zassenhaus [10] giới thiệu một lớp các iđêan đặc biêt của nửa vành mà nó được gọi là iđêan cô lập (hay k-iđêan) và chứng minh được J-căn của nửa vành là một iđêan cô lập. Căn Jacobson của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu bởi Iizuka theo quan điểm lý thuyết biểu diễn. Trong [21], Iizuka đã sử dụng lớp các nửa môđun

3 trái bất khả quy để đặc trưng J-căn của nửa vành [21, Theorem 8]. Ông cũng giới thiệu khái niệm iđêan nguyên thủy cô lập mạnh của nửa vành và đặc trưng J-căn là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy cô lập mạnh [21, Theorem 6], và chỉ ra mối liên hệ giữa J-căn của nửa vành và căn Jacobson vành sai phân của nó [21, p. 420]. Ngoài ra, ông giới thiệu một lớp iđêan đặc biệt của nửa vành mà được gọi là h-iđêan và chứng minh J-căn của các nửa vành là một h-iđêan. Trong [38], LaTorre đã chứng minh J-căn của nửa vành là k-iđêan (h-iđêan) phải sinh bởi tập tất cả các k-iđêan (h-iđêan) phải nửa chính quy phải [38, Theorem 3.1] và nếu R là một vành thì hai khái niệm căn Jacobson của vành và nửa vành là trùng nhau [38, Theorem 3.2]. Ngoài ra, ông thiết lập được một số tính chất quen thuộc liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành. Đặc biệt, LaTorre đã mô tả cấu trúc của nửa vành cộng chính quy J-nửa đơn [38, Theorem 3.4]. Tuy nhiên, các kết quả liên quan đến J-căn của nửa vành đến thời điểm này còn rất khiêm tốn so với các kết quả liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành. Gần đây, Katsov-Nam đã nhận được một số kết quả liên quan đến J-căn đối với các nửa vành [26, Section 3 và 4], đặc biệt là các kết quả liên quan đến cấu trúc của các nửa vành thông qua J-căn như định lý của Hopkins đối với nửa vành Artin [26, Corollary 4.4] và định lý cấu trúc đối với nửa vành nguyên thủy [26, Theorem 4.5]. Tuy nhiên, một hạn chế của J-căn là các nửa vành cộng lũy đẳng thuộc về lớp căn cảm sinh của nó, tức là, nếu R là nửa vành cộng lũy đẳng thì J(R) = R ([26, Example 3.7] hoặc [53, Mệnh đề 2.5 ]). Để khắc phục vấn đề này, Katsov-Nam giới thiệu khái niệm J s -căn (một dạng tổng quát hóa căn Jacobson trong lý thuyết vành) của các nửa vành bằng cách sử dụng lớp các nửa môđun trái đơn [26, p. 5076] và nhận được định lý mô tả cấu trúc của nửa vành cộng lũy đẳng hữu hạn J s -nửa đơn thông qua căn này [26, Theorem 3.11]. Đồng thời, họ cũng chỉ ra rằng J-căn và J s -căn là trùng nhau đối với lớp tất cả các vành nhưng trong trường hợp chung của nửa vành thì khác nhau, chẳng hạn lớp các nửa vành cộng lũy đẳng [26, Example 3.7], và chỉ ra mối quan hệ giữa chúng cho các nửa vành cộng chính quy và nửa vành giao hoán [26, Proposition 4.8]. Tuy nhiên, mối quan hệ giữa J-căn và J s -căn của các nửa vành trong trường hợp tổng quát thì chưa biết. Để làm sáng tỏ điều này, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là xét mối quan hệ giữa các căn này. Bài toán [26, Problem 1] Mô tả lớp các nửa vành R sao cho J s (R) J(R), trong trường hợp đặc biệt J s (R) = J(R). Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục sử dụng công cụ J-căn và J s -căn để

4 nghiên cứu cấu trúc một số lớp các nửa vành, thiết lập một số kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành, mô tả mối quan hệ giữa J-căn và J s -căn đối với một số lớp các nửa vành, qua đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]. Ngoài ra, luận án này cũng quan tâm căn của nửa vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur. Đầu thập niên 50 thế kỷ 20, Amitsur [2, 3, 4] và Kurosh [34] là những nhà toán học đầu tiên độc lập khám phá ra rằng tất cả các căn cổ điển có các tính chất chung nào đó và họ đã sử dụng các tính chất đại số này để tiên đề hóa định nghĩa lớp căn trừu tượng. Năm 1988, căn Kurosh-Amitsur cho một phạm trù đại số chung được đề xuất bởi Márki-Mlitz-Wiegandt [46]. Năm 2004, căn của vành theo quan điểm Kurosh-Amitsur và các kết quả liên quan đã được trình bày một cách có hệ thống bởi Gardner-Wiegandt [11]. Trong đó, ứng với mỗi lớp căn γ cho trước ta luôn xác định được một toán tử căn hay phép lấy căn (gọi là γ-căn hay căn Kurosh-Amitsur) và ngược lại với mỗi toán tử căn ρ cho trước ta luôn xác định được một lớp căn. Năm 1983, Olson-Jenkins [48] đã tổng quát hóa khái niệm lớp căn trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành và sau đó một số vấn đề liên quan đến lớp căn của các nửa vành được Olson và các cộng sự của ông trình bày trong một loạt các công trình [49, 50, 51]. Ngoài ra, căn Kurosh-Amitsur cho các phạm trù nửa trường được nghiên cứu bởi Weinert-Wiegandt [59, 60, 61], phạm trù nhóm được nghiên cứu bởi Krempa-Malinawska [33] và Li-Zhang [42]. Gần đây, căn Kurosh-Amitsur của các nửa vành tiếp tục được nghiên cứu. Trong [15, p. 652], Hebisch-Weinert đã xây dựng được các lớp căn từ các lớp đặc biệt và đặc biệt yếu. Morak [47] đã xây dựng ba trụ cột của căn Kurosh-Amitsur của nửa vành một cách độc lập đó là: Lớp căn, lớp nửa đơn và toán tử căn và Hebisch-Weinert [17, Theorem 3.6] đã chỉ ra được sự tương ứng 1-1 giữa ba trụ cột đó. Trong [16, Theorem 3.4], Hebisch-Weinert đã chứng minh được từ một lớp căn theo quan điểm lý thuyết vành luôn xây dựng được một lớp căn theo quan điểm lý thuyết nửa vành. Ngoài ra, Morak [47, Theorem 5.3] cũng xây dựng được một lớp căn từ một lớp chính quy các nửa vành cho trước được gọi là lớp căn trên. Trong [11, p. 28], lớp căn dưới của một lớp δ các vành là giao tất cả các lớp căn chứa δ và nó là lớp căn nhỏ nhất chứa δ, kí hiệu Lδ. Có một vài phương pháp xây dựng lớp căn dưới của một lớp δ của các vành đó là phương pháp của Watters [58], phương pháp của Kurosh [34] và phương pháp của Lee [40]. Lớp căn dưới của một lớp các nửa vành thì được định nghĩa tương tự như trong lý

5 thuyết vành và lớp căn dưới của một lớp A các nửa vành cũng được kí hiệu là LA. Trong [63, Theorem 2.6], Zulfiqar đã xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Watters. Ngoài ra, Zulfiqar [62, 64] cũng đã tổng quát hóa khái niệm tổng của hai lớp căn và giao của một lớp căn với tổng của hai lớp căn trong lý thuyết vành được xây dựng bởi Lee-Propes [11] cho trường hợp nửa vành. Tính chất di truyền của lớp căn các vành thì được nghiên cứu bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5] và Morak [47, Section 6] đã tổng quát hóa các tính chất này cho trường hợp lớp căn của các nửa vành. Tuy nhiên, những kết quả liên quan căn Kurosh-Amitsur của nửa vành cho đến thời điểm hiện tại còn khá khiêm tốn so với các kết quả tương ứng căn Kurosh-Amitsur trong lý thuyết vành. Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài Về căn Jacobson, J s -căn và các lớp căn của nửa vành làm đề tài luận án. Những vấn đề sau của đề tài được tập trung nghiên cứu. (1) Sử dụng công cụ J-căn và J s -căn để nghiên cứu cấu trúc của một số lớp các nửa vành và thiết lập một vài kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành. (2) Thiết lập mối quan hệ giữa J-căn và J s -căn trên một số lớp các nửa vành (qua đó trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]). Mô tả một số lớp nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn (qua đó trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1]). (3) Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến lớp căn các nửa vành như: đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn theo khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu, xây dựng lớp căn từ một lớp cho trước các nửa vành và nghiên cứu tính di truyền của lớp căn các nửa vành. 2 Mục đích nghiên cứu Mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành J-nửa đơn hoặc J s -nửa đơn và thiết lập một vài kết quả quan trọng liên quan đến căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành. So sánh J s -căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn và J s -căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành. Mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Đặc trưng lớp căn của nửa vành theo khái niệm nửa vành con chấp nhận được, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành và thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền.

6 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: - J-căn, J s -căn của nửa vành. - Lớp căn của nửa vành. 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun. 4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu toán lý thuyết và phương pháp đặc thù của lý thuyết nửa vành và nửa môđun. - Sử dụng công cụ căn như: J-căn, J s -căn và lớp căn để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành và các vấn đề liên quan. 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Mô tả đầy đủ cấu trúc nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. Chứng tỏ sự tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành cộng lũy đẳng, chứng minh J s -căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối, thiết lập một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối và cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối J s -nửa đơn. Trả lời một phần các Bài toán [26, Problem 1] và [1, Problem 1]. Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, một lớp các nửa vành đóng đồng cấu. Thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền. Chứng tỏ lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. 6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ NỬA VÀNH VÀ NỬA MÔĐUN Trong chương này, sử dụng các tài liệu tham khảo [9], [13], [21] và [26] để trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến nửa vành và nửa môđun. Điều này là cần thiết để trình bày các chương chính của luận án (Chương 2 và Chương 3). Nội dung chương này được chia làm bốn tiết gồm: Nửa vành và nửa môđun; Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương; Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun; Kết luận Chương 1. 1.1 Nửa vành và nửa môđun Tiết này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và cho các ví dụ liên quan nửa vành và nửa môđun như: khái niệm nửa vành, nửa vành con, iđêan, nửa môđun, nửa môđun con,... 1.2 Quan hệ tương đẳng, nửa vành thương và nửa môđun thương Ở tiết này, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm tương đẳng trên nửa vành và nửa môđun, cách xây dựng nửa vành thương và nửa môđun thương. Ngoài ra, chúng tôi cho một vài ví dụ và nhận xét cho các khái niệm này. 1.3 Đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến đồng cấu nửa vành và nửa môđun. Chúng tôi cho các ví dụ và nhận xét để nhận thấy sự khác biệt của đồng cấu nửa vành và nửa môđun với đồng cấu vành và môđun. 1.4 Kết luận Chương 1

8 Chương 2 VỀ CĂN JACOBSON, J S -CĂN CỦA NỬA VÀNH Trong chương này, sử dụng căn Jacobson (J-căn) và J s -căn để mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy, nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Đặc biệt, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa căn Jacobson và J s -căn trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái và lớp các V-nửa vành trái Artin trái; nghiên cứu mối quan hệ giữa J s -căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Thiết lập các kết quả tương tự định lý của Hopkins về căn Jacobson lũy linh và định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành. Nội dung chương này được chia làm năm tiết gồm: Về căn Jacobson của nửa vành, Về J s -căn của nửa vành, Về mối quan hệ giữa căn Jacobson và J s -căn của nửa vành, Về V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn và Kết luận Chương 2. Các kết quả chính trong chương này được trích từ các kết quả trong các bài báo [53], [43], [44] và [45]. 2.1 Về căn Jacobson của nửa vành Năm 1951, Bourne [9] sử dụng lớp các iđêan nửa chính quy một phía để định nghĩa căn Jacobson của các nửa vành. Định nghĩa 2.1.1. ([9, Definition 3]) Cho R là một nửa vành và I là một iđêan phải của R. Iđêan I được gọi là iđêan nửa chính quy phải của R nếu với mỗi cặp i 1, i 2 I thì tồn tại j 1, j 2 I sao cho: i 1 + j 1 + i 1 j 1 + i 2 j 2 = i 2 + j 2 + i 1 j 2 + i 2 j 1. Iđêan nửa chính quy trái của nửa vành được định nghĩa tương tự. Một iđêan của nửa vành được gọi là iđêan nửa chính quy nếu nó vừa là iđêan nửa chính quy trái vừa là nửa chính quy phải. Định nghĩa 2.1.4. ([9, Definition 4 và Theorem 4]) Cho R là một nửa vành.

9 (1) Tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải của R, kí hiệu J(R), được gọi là căn Jacobson hay J-căn của nửa vành R. (2) Một nửa vành R được gọi là J-nửa đơn nếu J(R) = 0. Ví dụ 2.1.5. (1) Nếu R là một vành thì J-căn J(R) trùng với căn Jacobson trong lý thuyết vành. Thật vậy, theo [25, Definition 2], căn Jacobson của một vành R là tổng tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải của R. Do đó, theo Nhận xét 2.1.2(2), J-căn J(R) trùng với căn Jacobson của vành R. (2) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì J(R) = R. Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(3), R là iđêan nửa chính quy phải của nó. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta có J(R) = R. (3) Ta luôn có J(N) = 0. Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(4), N có duy nhất iđêan không là nửa chính quy phải. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta có J(N) = 0. (4) Cho R là một nửa vành và M n (R) (n 1) là nửa vành ma trận trên R. Khi đó, J(M n (R)) = M n (J(R)) [26, Theorem 5.8(iii)]. Iizuka [21] sử dụng lớp các nửa môđun bất khả quy để đặc trưng J-căn của các nửa vành. Định nghĩa 2.1.6. ([21, Definition 5]) Cho R là một nửa vành. Một R-nửa môđun trái giản ước M 0 gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu với mọi cặp phần tử cố định bất kỳ u 1, u 2 M với u 1 u 2 và bất kỳ x M luôn tồn tại a 1, a 2 R sao cho x + a 1 u 1 + a 2 u 2 = a 1 u 2 + a 2 u 1. Định lý 2.1.8. ([21, Theorem 8]) Giả sử R là một nửa vành. Khi đó, J(R) = {(0 : M) R M J }, trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành R. Chú ý rằng: Nếu J = thì ta quy ước {(0 : M) R M J } bằng R. Sử dụng Định lý 2.1.10 và Định lý 2.1.11, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. Kết quả này là một mở rộng kết quả của Latorre [38, Theorem 3.4]. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm nửa vành cộng π-chính quy. Định nghĩa 2.1.12. ([14] hoặc [19, p. 1496]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là cộng π-chính quy nếu với bất kì phần tử x R, luôn tồn tại một số tự nhiên n và phần tử y R sao cho nx + y + nx = nx. Định lý 2.1.14. Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, các

10 phát biểu sau là tương đương: (1) R là một nửa vành J-nửa đơn; (2) R là một vành J-nửa đơn; (3) R đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy. Theo Nhận xét 2.1.13(3), nếu R là nửa vành có đơn vị hữu hạn thì nó là cộng π-chính quy. Do đó, từ Định lý 2.1.14 và Định lý Wedderburn-Artin trong lý thuyết vành [36], chúng tôi tức thì nhận được hệ quả sau. Hệ quả 2.1.15. Một nửa vành có đơn vị hữu hạn R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếu R đẳng cấu với M n1 (F 1 ) M n2 (F 2 )... M nk (F k ), trong đó F 1,..., F k là các trường hữu hạn và n 1,..., n k là các số nguyên dương. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một bổ đề liên quan đến J-căn mà nó cần thiết trong việc chứng minh các kết quả tiếp theo của luận án. Bổ đề 2.1.16. Cho R và S là các nửa vành. Khi đó, (1) J(R S) = J(R) J(S); (2) Nếu R là một nửa vành chia thì J(R) = Z(R). Định lý của Hopkins [36, Theorem 4.12] về căn Jacobson lũy linh trong lý thuyết vành được phát biểu như sau: Giả sử R là một vành có đơn vị Artin trái. Khi đó, căn Jacobson J(R) là iđêan trái lũy linh lớn nhất và nó cũng là iđêan phải lũy linh lớn nhất. Tuy nhiên, đối với nửa vành thì phát biểu trên nói chung là không đúng. Chẳng hạn, nửa trường Boolean B là nửa vành có đơn vị Artin trái và có căn Jacobson J(B) = B không lũy linh. Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc thiết lập một kết quả tương tự định lý của Hopkins về căn Jacobson lũy linh cho các nửa vành cộng giản ước. Bổ đề 2.1.17. Cho R là một nửa vành cộng giản ước. Nếu R-nửa môđun phải R 2 là Artin thì R-nửa môđun phải D(R) cũng Artin. Định lý 2.1.18. Cho R là một nửa vành cộng giản ước sao cho R 2 là R-nửa môđun phải Artin. Khi đó, căn Jacobson J(R) là lũy linh và R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan phải cô lập.

11 2.2 Về J s -căn của nửa vành Trước tiên, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm nửa môđun trái đơn trên một nửa vành. Khái niệm này đã được một số nhóm tác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây như: Zumbrägel [65], Izhakian-Rhodes-Steinberg [24], Kendziorra- Zumbrägel [32], Katsov-Nam [26], Katsov-Nam-Zumbrägel [29], Kepka-Němec [30] và Kepka-Kortelainen-Němec [31]. Định nghĩa 2.2.1. ([65, Definition 3.7] hoặc [26, p. 5074]) Cho R là một nửa vành. Một R-nửa môđun trái M được gọi là đơn nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) RM 0; (2) M là cực tiểu; (3) M chỉ có tương đẳng tầm thường. Ví dụ 2.2.3. (1) Từ Nhận xét 2.2.2(2), nếu R là một vành thì khái niệm R-nửa môđun trái đơn trùng với khái niệm R-môđun trái đơn trong lý thuyết vành. (2) Cho R là một nửa vành nguyên phi khả đối. Khi đó, B là một R-nửa môđun trái đơn. Thật vậy, ánh xạ f : R B xác định bởi f(0) = 0 và f(x) = 1 với mọi 0 x R, là một nửa đẳng cấu các nửa vành. Vì B là B-nửa môđun trái đơn nên B cũng là R-nửa môđun trái đơn với phép nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi r R, mọi b B rb := f(r)b. (3) Cho (M, +, 0) là một vị nhóm giao hoán và End(M) là nửa vành tự đồng cấu (xem Ví dụ 1.1.2(6)). Khi đó, M là một End(M)-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi m M, mọi f End(M) fm := f(m). Theo [29, Proposition 4.2], nếu (M, +, 0) là một vị nhóm khác không giao hoán lũy đẳng thì M là một End(M)-nửa môđun trái đơn. Từ Nhận xét 2.2.2(2), tồn tại nửa môđun trái cực tiểu nhưng không đơn. Tuy nhiên, mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng chúng ta có thể tạo ra nửa môđun trái đơn từ nửa môđun trái cực tiểu. Mệnh đề 2.2.4. Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái cực

12 tiểu. Khi đó, tồn tại một tương đẳng cực đại ρ trên M sao cho M := M/ρ là R-nửa môđun trái đơn. Khái niệm nửa môđun trái đơn trên một nửa vành được một số nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Năm 2011, Izhakian-Rhodes-Steinberg đã mô tả tất cả các lớp nửa môđun trái đơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữu hạn) [24, Theorem 4.4]. Năm 2013, Kendziorra-Zumbrägel chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng [32, Proposition 2.17]. Năm 2014, Katsov-Nam-Zumbrägel chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ có tương đẳng tầm thường với RR 0 [29, Proposition 4.5]. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng. Định lý 2.2.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng. Khi đó, tồn tại một R-nửa môđun trái đơn. Năm 2014, Katsov-Nam [26] sử dụng lớp các nửa môđun trái đơn trên nửa vành R để định nghĩa J s -căn của nửa vành R. Định nghĩa 2.2.7. ([26, p. 5076]) Cho R là một nửa vành. (1) Iđêan cô lập J s (R) := {(0 : M) R M J } của nửa vành R, trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái đơn trên nửa vành R, được gọi là J s -căn của nửa vành R. Nếu J = thì quy ước J s (R) = R. (2) Nửa vành R được gọi là J s -nửa đơn nếu J s (R) = 0. Theo [21, Theorem 2], J(I) = I J(R) với mọi iđêan I của nửa vành R. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một kết quả tương tự như vậy đối với J s -căn. Mệnh đề 2.2.10. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó, J s (I) = I J s (R). Phần tiếp theo, chúng tôi mô tả J s -căn của nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối theo phần tử lũy linh của nó. Nhắc lại rằng, căn Nil của nửa vành có đơn vị R là giao tất cả các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu Nil(R) [13, p. 91]. Kí hiệu P r(r) và P r m (R) lần lượt là tập tất cả các iđêan nguyên tố và iđêan nguyên tố cực tiểu của nửa vành có đơn vị R. Theo Mệnh đề 1.1.11 và [13, Proposition 7.28], nếu R là nửa vành có đơn vị giao hoán thì Nil(R) = P P r(r) P = P P rm(r)p = {r R n 1 : r n = 0}.

13 Mệnh đề 2.2.11. Nếu R là một nửa vành có đơn vị giao hoán thì Nil(R) J s (R). Định lý 2.2.12. Cho R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Khi đó, J s (R) = Nil(R). Trong lý thuyết vành, Snapper tính được căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán như sau [36, Theorem 5.1]: Giả sử R là một vành có đơn vị giao hoán và R[x] là một vành đa thức trên R. Khi đó, J(R[x]) = Nil(R[x]) = Nil(R)[x]. Áp dụng Định lý 2.2.12, chúng tôi thiết lập một kết quả tương tự định lý của Snapper cho trường hợp nửa vành đa thức trên nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Hệ quả 2.2.15. Giả sử R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối và R[x] là nửa vành đa thức trên R. Khi đó, J s (R[x]) = Nil(R[x]) = Nil(R)[x]. Katsov-Nam cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành cộng lũy đẳng hữu hạn J s -nửa đơn [26, Theorem 3.11]. Áp dụng Định lý 2.2.12, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối J s -nửa đơn. Hệ quả 2.2.18. Cho R là một nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương: (1) R là J s -nửa đơn; (2) R là tựa dương; (3) R nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các thương nguyên cực đại của nó. 2.3 Về mối quan hệ giữa căn Jacobson và J s -căn của nửa vành Tiết này chúng tôi thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn trùng với J s -căn trên một số lớp các nửa vành. Các kết quả này trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]. Trước tiên, trên lớp các nửa vành nửa đơn.

14 Định nghĩa 2.3.1. ([27, p. 417]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là nửa đơn trái nếu nửa môđun trái R R là tổng trực tiếp của các iđêan trái cực tiểu của R. Định lý 2.3.4. Cho R là một nửa vành nửa đơn trái. Khi đó, J s (R) = J(R) nếu và chỉ nếu Z(R) = 0. Trên lớp các nửa vành cộng π-chính quy. Nửa vành cộng π-chính quy đã được đề cập trong Định nghĩa 2.1.12. Mệnh đề sau đây là một mở rộng [26, Proposition 4.8] của Katsov-Nam. Mệnh đề 2.3.5. Nếu R là nửa vành cộng π-chính quy thì J s (R) J(R). Định lý 2.3.6. Cho R là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, J s (R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành. Trên lớp các nửa vành phản bị chặn. Cho R là một nửa vành có đơn vị. Đặt P (R) := V (R) {1 + r r R}. Dễ dàng thấy rằng P (R) là một nửa vành con của R. Định nghĩa 2.3.7. ([1, p. 4637]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là phản bị chặn nếu P (R) = R. Định lý 2.3.10. Nếu R là một nửa vành phản bị chặn thì J s (R) J(R). Định lý 2.3.11. Cho R là một nửa vành phản bị chặn Artin trái. Khi đó, J s (R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành Artin trái. Và trên lớp các V-nửa vành trái. Định nghĩa 2.3.12. ([20, p. 222]) (1) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là V-nửa vành trái (phải) nếu mọi R-nửa môđun trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường là nội xạ. (2) Một R-nửa môđun trái M được gọi là mở rộng cốt yếu của một nửa môđun con L nếu với mọi đồng cấu γ : M N của các R-nửa môđun trái thì các đồng cấu γi và γ đồng thời nội xạ, trong đó i : L M là một phép nhúng. Mệnh đề 2.3.14. Nếu R là một V-nửa vành trái thì J s (R) J(R). Định lý 2.3.16. Cho R là một V-nửa vành trái Artin trái. Khi đó, J s (R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái.

15 2.4 Về V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn Tiết này chúng tôi mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Các kết quả này trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1]. Trong [35, Theorem 3.75] đã khẳng định rằng: Tất cả V-vành trái (phải) R đều là J-nửa đơn, tức là có căn Jacobson bằng không. Tuy nhiên, điều này không đúng đối với các V-nửa vành trái (phải) trong trường hợp chung. Chẳng hạn, nửa trường Boolean B là một V-nửa vành trái (phải) và J(B) = B. Hơn nữa, [1, Theorem 3.14] chỉ ra rằng: Một V-nửa vành trái (phải) R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái (phải). Tuy nhiên, kết quả này không đúng đối với J s -căn. Chẳng hạn, nửa vành chia thật sự D là một V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Để làm sáng tỏ điều này một vấn đề đặt ra như sau [1, Problem 1]: Mô tả tất cả các V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Trước tiên, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành nửa đơn mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Định lý 2.4.1. Cho R là một nửa vành nửa đơn. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: (1) R là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn; (2) R = M n1 (D 1 )... M nr (D r ), trong đó D 1,..., D r là các vành chia hoặc các nửa vành chia cộng hút thật sự. Tiếp theo, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường, nửa vành đơn. Định lý 2.4.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị. Nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn thì R là một V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. (1) R là một nửa vành đơn với một phần tử vô hạn; (2) R là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường. Cuối cùng, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn. Định lý 2.4.7. Nếu R là một nửa vành cộng hút phản bị chặn thì R là một V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn.

16 2.5 Kết luận Chương 2 (1) Mô tả đầy đủ lớp các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn (Định lý 2.1.14). Ngoài ra, chứng minh được một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước (Định lý 2.1.18). (2) Chứng tỏ sự tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng (Định lý 2.2.5), và chứng minh J s -căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Hệ quả 2.2.15), và cho một mô tả đầy đủ lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối J s -nửa đơn (Hệ quả 2.2.18). (3) Thiết lập được một điều kiện cần và đủ để J-căn và J s -căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn (Định lý 2.3.4), lớp các nửa vành cộng π-chính quy (Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6), lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái (Định lý 2.3.10, Định lý 2.3.11) và lớp các V-nửa vành trái Artin trái (Mệnh đề 2.3.14, Định lý 2.3.16). Các kết quả này trả lời một phần cho bài toán [26, Problem 1]. (4) Mô tả đầy đủ lớp các nửa vành nửa đơn mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn (Định lý 2.4.1). Ngoài ra, mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn gồm: lớp các nửa vành đơn với phần tử vô hạn hoặc lớp các nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường (Định lý 2.4.5), lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn (Định lý 2.4.7). Các kết quả này trả lời một phần cho bài toán [1, Problem 1]. (5) Nội dung của chương này được chúng tôi viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [53], [43], [44] và [45].

17 Chương 3 VỀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH Trong Chương 3, chúng tôi tiếp tục thể hiện ý tưởng dùng công cụ căn (ở đây là lớp căn theo quan điểm Kurosh-Amitsur mà không phải là các căn cụ thể như trong Chương 2) để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành. Chúng tôi nhận lại được các khái niệm J-căn và J s -căn của nửa vành thông qua khái niệm lớp căn của nửa vành. Đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được (tương tự khái niệm vành con chấp nhận được) để đặc trưng lớp căn của các nửa vành, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành (nói riêng, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu), thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền, chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Các kết quả chính trong chương này được trích từ các kết quả trong các bài báo [54] và [22]. 3.1 Đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại khái niệm lớp căn, toán tử căn, lớp nửa đơn của nửa vành và một vài kết quả liên quan đến các khái niệm này. Ngoài ra, chúng tôi cho ví dụ về các lớp căn J và J s mà chúng có phép lấy căn tương ứng là J-căn và J s -căn trong Chương 2. Cuối cùng, đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Định nghĩa 3.1.1. ([48] hoặc [15, p. 650]) Một lớp con khác rỗng R của một lớp phổ dụng U các nửa vành được gọi là lớp căn của U nếu R thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) R đóng đồng cấu; (2) Với mỗi S U \ R luôn tồn tại iđêan cô lập thật sự K của S sao cho nửa vành thương S/K không có iđêan khác không thuộc R, tức là I(S/K) R = {0}. Ví dụ 3.1.2. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. (1) Đặt R := {R U R là một vành}. Khi đó, R là một lớp căn của U.

18 (2) Một nửa vành S được gọi là nửa chính quy phải nếu với mọi s, t S luôn tồn tại x, y S thỏa mãn s + x + sx + ty = t + y + sy + tx. Khi đó, lớp con J := {S U S là nửa vành nửa chính quy phải}, là một lớp căn của U. Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại một đặc trưng của lớp căn mà nó cần thiết cho phần sau. Định lý 3.1.3. ([47, Theorem 3.2]) Một lớp con R của lớp phổ dụng U là một lớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 2 điều kiện sau: (1) Nếu S R thì mọi A 0 là ảnh đồng cấu của S luôn tồn tại B 0 là iđêan của A sao cho B R; (2) Nếu S U và mọi A 0 là ảnh đồng cấu của S luôn tồn tại B 0 là iđêan của A sao cho B R thì S R. Ví dụ 3.1.8. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. (1) Với mọi R U, kí hiệu Σ R := { R M R M M là R-nửa môđun trái đơn}, Σ := R U Σ R và F(Σ) := {R U Σ R có chứa một R-nửa môđun trái đơn trung thành}. Khi đó, theo [26, Proposition 3.1], ta có F(Σ) là lớp chính quy. Từ [26, Proposition 3.5 và Theorem 3.2], lớp J s := {R U J s (R) = R} là một lớp căn của U và J s = UF(Σ). Ví dụ 3.1.12. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. (1) Theo Ví dụ 3.1.2(2), lớp con J = {S U S là nửa vành nửa chính quy phải} là một lớp căn của U. Khi đó, theo Định lý 3.1.11, J-căn của nửa vành S U là hợp tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải của S và nó cũng là iđêan nửa chính quy phải của S. Do đó, từ Định nghĩa 2.1.4, ϱ J (S) = J(S). (2) Theo Ví dụ 3.1.8, lớp con J s = {R U J s (R) = R} là một lớp căn của U. Khi đó, theo [26, Theorem 3.3], J s -căn của S là giao của tất cả linh hóa tử của các S-nửa môđun trái đơn. Do đó, ϱ Js (S) = J s (S) với mọi S U. Khái niệm nửa vành con chấp nhận được là một khái niệm tương tự khái niệm vành con chấp nhận được trong lý thuyết vành [11, p. 43]. Định nghĩa 3.1.15. Một nửa vành con S của nửa vành R được gọi là chấp nhận được, nếu tồn tại một dãy hữu hạn S 1, S 2,..., S n các nửa vành con của R sao cho S = S 1 S 2... S n = R,

19 trong đó S i S i+1 (S i iđêan thật sự trong S i+1 ) nhưng S i không nhất thiết là iđêan của S i+2 hoặc của R. Nhận xét 3.1.16. Từ Định nghĩa 3.1.15, nếu S là một iđêan của nửa vành R thì S là nửa vành con chấp nhận được của R. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung là không đúng. Thật vậy, xét R := B[x] là nửa vành đa thức trên nửa trường Boolean B. Đặt S 2 := {a 2 x 2 +... + a n x n a i B, n 2} gồm đa thức không và tất cả các đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 2 trong R. Khi đó, S 2 là một iđêan thật sự của R. Đặt S 1 := {a 2 x 2 + a 4 x 4 + a 5 x 5 +... + a n x n a i B, n 2} gồm đa thức không và tất cả các đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 2 nhưng không chứa hạng tử bậc 3 trong R. Khi đó, S 1 là một iđêan thật sự của S 2 và S 1 là nửa vành con của R nhưng S 1 không là iđêan của R bởi vì x 2 S 1 và x R nhưng x 3 = x.x 2 / S 1. Tuy nhiên, theo Định nghĩa 3.1.15 thì S 1 là nửa vành con chấp nhận được của R. Theo Định lý 3.1.3, lớp căn các nửa vành được đặc trưng theo iđêan và đồng cấu nửa vành. Chúng tôi đặc trưng lớp căn các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Đây là một kết quả tương tự của [11, Theorem 3.1.9] trong lý thuyết vành. Định lý 3.1.17. Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là một lớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 2 điều kiện sau: (1 ) Nếu R R thì với mọi toàn cấu khác không f : R S luôn tồn tại một nửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I R; (2 ) Nếu R U và với mọi toàn cấu khác không f : R S luôn tồn tại một nửa vành con chấp nhận được khác không I của S sao cho I R thì R R. 3.2 Về lớp căn dưới của một lớp các nửa vành Trong tiết này, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Kurosh [34], và xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự của Lee [40] trong lý thuyết vành. Lớp căn dưới của một lớp các nửa vành được định nghĩa hoàn toàn tương tự như lớp căn dưới của một lớp các vành [11, p. 28]. Cho A là một lớp con của

20 lớp phổ dụng U các nửa vành. Giao tất cả các lớp căn của U chứa A là một lớp căn nhỏ nhất của U chứa A, kí hiệu là LA. Lớp căn LA được gọi là lớp căn dưới của U xác định bởi lớp A. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng lớp căn của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Kurosh [34] trong lý thuyết vành. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh lớp căn xây dựng theo cách này là lớp căn dưới của lớp các nửa vành. Giả sử A là một lớp con bất kì của lớp phổ dụng U các nửa vành. Chúng tôi xác định các lớp δ λ (A) với mỗi chỉ số λ bằng quy nạp như dưới đây. Trước tiên, chúng tôi xác định bao đóng đồng cấu δ 1 (A) của A, tức là δ 1 (A) := {S U S là ảnh đồng cấu của một nửa vành A A}. Bắt đầu quy nạp, giả sử các lớp δ µ (A) đã được xác định với mọi chỉ số µ < λ. Khi đó, chúng tôi xác định δ λ (A) như sau: δ λ (A) := {S U mọi ảnh đồng cấu khác không của S luôn có iđêan khác không thuộc δ µ (A) với µ < λ}. Cuối cùng, chúng tôi xác định lớp δ(a) := δ λ (A), trong đó hợp được lấy trên tất cả các chỉ số λ. Định lý 3.2.2. Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp δ(a) là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U. Định lý 3.2.3. Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, δ(a) = LA. Lee [40, Theorem 1] xây dựng lớp căn từ một lớp các vành đóng đồng cấu. Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc xây dựng lớp căn từ một lớp các nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự của Lee. Ngoài ra, chúng tôi chứng tỏ lớp căn xây dựng theo cách này cũng là lớp căn dưới của lớp các nửa vành đóng đồng cấu. Định lý 3.2.4. Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp Y A := {S U mọi ảnh đồng cấu khác không của S có nửa vành con chấp nhận được khác không thuộc A} là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U.

21 Hệ quả 3.2.5. Nếu R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành thì Y R = R. Hệ quả 3.2.6. Nếu A là một lớp đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành thì Y A là lớp căn dưới xác định bởi A, tức là Y A = LA. Ví dụ 3.2.7. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. Gọi A là lớp con của U chứa tất cả các nửa vành lũy linh. Khi đó dễ dàng kiểm tra được A là một lớp đóng đồng cấu, nhưng A không là lớp căn của U vì lớp A không thỏa mãn tính chất quy nạp trong Định lý 3.1.4. Thật vậy, đặt T n là nửa vành gồm tất cả các ma trận tam giác trên cấp n 2 với các thành phần thuộc Q +, tức là T n := {(a ij ) n a ij Q +, a ij = 0 với i j}. Khi đó, T n là nửa vành lũy linh bậc n vì Tn n = 0 nhưng Tn n 1 tổng trực tiếp của T 2, T 3,..., T n,... R := n=2t n. Trong nửa vành R có một dây chuyền tăng T 2 T 2 T 3... k n=2t n... các iđêan T 2, T 2 T 3,..., k n=2 T n,... của R và thỏa mãn R là hợp R = k=2 ( k n=2t n ) 0. Xét nửa vành các thành phần của dây chuyền và mỗi thành phần của dây chuyền là lũy linh, vì ta luôn có ( k n=2t n ) k = 0. Tuy nhiên, nửa vành R không lũy linh. Do đó, lớp con A chứa tất cả các nửa vành lũy linh không thỏa mãn tính chất quy nạp trong Định lý 3.1.4. Theo Hệ quả 3.2.6, lớp Y A là lớp căn nhỏ nhất của U chứa tất cả các nửa vành lũy linh. Nhận xét 3.2.8. Cho R là một vành. Khi đó, giao tất cả các iđêan nguyên tố của R được gọi là căn Baer [36]. Theo [11, Example 2.2.2], lớp căn dưới của một lớp tất cả các vành lũy linh có phép lấy căn chính là căn Baer. Do đó, lớp căn Y A của lớp A chứa tất cả các nửa vành lũy linh có phép lấy căn tương ứng với căn Baer trong lý thuyết vành.

22 3.3 Về lớp căn di truyền của các nửa vành Tiết này chúng tôi trình bày lại điều kiện cần và đủ để một lớp căn các nửa vành là di truyền, từ đó suy ra các lớp căn J và J s là di truyền. Sau đó, chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền, từ đó suy ra lớp căn Brown-McCoy là di truyền. Định lý 3.3.1. ([47, Theorem 6.2 và 6.4]) Giả sử R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành và ϱ R là toán tử căn tương ứng. Khi đó, R là di truyền nếu và chỉ nếu ϱ R (I) = I ϱ R (S) với mỗi iđêan I của nửa vành bất kì S U. Theo Ví dụ 3.1.10 và Ví dụ 3.1.12(2), J và J s là các toán tử căn tương ứng với các lớp căn J và J s của lớp phổ dụng U các nửa vành. Từ Định lý 3.3.1, [21, Theorem 2] và Mệnh đề 2.2.10 ta có hệ quả sau đây: Hệ quả 3.3.2. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. Khi đó, các lớp căn J và J s của U là di truyền. Sau đây, chúng tôi xét một lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành mà nó không di truyền. Ví dụ 3.3.3. ([47, Example 6.5]) Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. Cho S U, kí hiệu n S 2 := { s i t i s i, t i S}. i=1 Đặt M := {S U S 2 = 0}. Theo Định nghĩa 3.1.6, M là một lớp chính quy trong U. Theo Định nghĩa 3.1.7, lớp UM = {S U A 0 là ảnh đồng cấu của S suy ra A / M} là lớp căn trên của lớp chính quy M. Lớp căn trên UM này là không di truyền. Thật vậy, xét nửa vành S := {0, a, e} U với hai phép toán cộng và nhân được cho bởi bảng sau: + 0 a e 0 0 a e a a a e e e e e 0 a e 0 0 0 0 a 0 0 a e 0 a e

23 Vì S có đơn vị e nên S UM. Tuy nhiên, iđêan I = {0, a} của S thỏa I 2 = 0 nên I M. Điều này dẫn đến I / UM. Do đó, lớp căn trên UM không di truyền. Tiếp theo, chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị thì luôn di truyền. Định lý 3.3.4. Giả sử M là một lớp chính quy của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp căn trên UM là di truyền nếu và chỉ nếu M thỏa mãn điều kiện sau: Nếu I là một iđêan khác không của S U và A M là một ảnh đồng cấu khác không của I thì tồn tại một ảnh đồng cấu khác không B của S sao cho B M. Định lý 3.3.5. Nếu M là một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị của lớp phổ dụng U thì lớp căn trên UM là di truyền. Theo Ví dụ 3.1.8 và Định lý 3.3.5, ta có hệ quả sau đây: Hệ quả 3.3.6. Cho lớp phổ dụng U tất cả các nửa vành. Khi đó, Lớp căn Brown-McCoy của U là di truyền. 3.4 Kết luận Chương 3 (1) Giới thiệu khái niệm nửa vành con chấp nhận được (Định nghĩa 3.1.15). Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành (Định lý 3.1.17). (2) Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành (Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3). Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu (Định lý 3.2.4 và Hệ quả 3.2.6). (3) Chứng tỏ các lớp căn J và J s là di truyền (Hệ quả 3.3.2). Thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền (Định lý 3.3.4). Chứng minh được lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền (Định lý 3.3.5), từ đó suy ra lớp căn Brown-McCoy là di truyền (Hệ quả 3.3.6). (4) Nội dung của chương này được viết dựa trên cỏc kết quả trong các bài báo [54] và [22].

24 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này, chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau đây: (1) Sử dụng khái niệm J-căn của nửa vành, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn. (2) Chứng tỏ luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng và chứng minh J s -căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự định lý của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Ngoài ra, chúng tôi cho một mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối J s -nửa đơn. (3) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để J-căn và J s -căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn Artin trái và lớp các V-nửa vành trái Artin trái. Từ các kết quả này, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [26, Problem 1]. Ngoài ra, chúng tôi cũng mô tả được một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) J s -nửa đơn. Qua đó, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1]. (4) Đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành. Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu. (5) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền và chúng tôi chứng minh được lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Từ kết quả này suy ra lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là di truyền.

25 DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN (1) Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems, Vietnam J. Math. (Online first). (2) Inassaridze H., Mai L. H. and Tuyen N. X. (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math. J., 7(1), pp. 69-74. (3) Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), On J s -semisimple left (right) V-semirings, J. Adv. Math. Stud., 9(3), pp. 437-443. (4) Mai L. H. (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ. J. Sci., 107(8), pp. 87-94. (5) Tuyen N. X. and Mai L. H. (2013), On a lower radical class and the corresponding semisimple class for semirings, Hue Univ. J. Sci., 82(4); pp. 207-217. CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN (1) Đại hội Toán học Toàn Quốc Lần thứ 8, Trường Sĩ quan Thông tin, TP Nha Trang, 08-2013. (2) Hội nghị về nhóm, biểu diễn nhóm và các vấn đề liên quan, Trường ĐH KHTN- ĐHQG TP HCM, 11-2013. (3) Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên Lần thứ 1, Trường ĐH Quy Nhơn, 08-2015. (4) Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Buôn Ma Thuột - Đắk Lắk, 10-2016. (5) Seminar của Bộ môn Đại số - Hình học thuộc Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế.