ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đ

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015

2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phức và đồng điều của phức Các phức Định nghĩa 1.1. Một dãy các môđun và các đồng cấu n+1 M : M n+1 Mn được gọi là một phức nếu n n+1 = 0, n Z. Tương tự, một dãy các môđun và các đồng cấu M = M n 1 n 1 M n được gọi là một đối phức nếu n n 1 = 0, n Z. n Mn 1... (1.1) n M n+1..., (1.2) Một phức được gọi là khớp ở vị trí thứ n nếu Ker n = Im n+1. Một phức được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi vị trí. Lưu ý rằng, một phức (khớp) cũng có thể hữu hạn, đó là khi dãy (1.1) hữu hạn. Định nghĩa 1.2. Một dãy khớp với 5 môđun có dạng được gọi là một dãy khớp ngắn. 0 M M M 0 n+1 Nhận xét 1.3. Mọi dãy khớp dài M n+1 Mn n Mn 1... đều có thể phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 ker n M n im n 0 0 ker n+1 M n+1 im n+1 0 1

3 Định nghĩa 1.4. Một đồng cấu giữa hai phức M và M là một họ các đồng cấu f := {f n : M n M n} n Z sao cho biểu đồ sau giao hoán n+2 n+1 Mn+1 Mn n+2 M n+1 n Mn 1 f n+1 f n f n 1 n+1 M n n M n 1 n 1... n 1... tức là f n 1 n = n f n, n. Ta kí hiệu f : M M Đồng điều của phức Định nghĩa 1.5. Môđun thương H n (M ) := ker n /im n+1 được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức M. Một cách tương tự, môđun thương H n (M ) := ker n /im n 1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức M. Mệnh đề 1.6. Cho một đồng cấu f giữa hai phức M và M n+1... M n+1 Mn n Mn 1... f n+1 f n f n 1... M n+1 n+1 M n n M n 1... Khi đó với mỗi n sẽ có một đồng cấu (f ) n : H n (M ) H n (M ) được cảm sinh bởi f n như sau (f ) n ([m]) = [f n (m)], m ker n. Định nghĩa 1.7. Cho các phức M, M, M và các đồng cấu f : M M, g : M M. Nếu với mỗi n dãy 0 M f n g n n Mn M n 0 là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy 0 M f g M M 0 là một dãy khớp ngắn của các phức M, M, M. 2

4 Định lý 1.8. Cho một dãy khớp ngắn của các phức 0 M f g M M 0 Dãy này sẽ cảm sinh ra một dãy khớp dài trên các đồng điều H n (M ) (f ) n H n (M ) (g ) n Hn (M ) δ n H n 1 (M ) (f ) n 1 Hn 1 (M ) (g ) n 1 Hn 1 (M ) δ n 1 H n 2 (M )... (1.3) Các đồng cấu δ n : H n (M ) H n 1 (M ) được gọi là các đồng cấu nối Tích tenxơ của các phức Cho (C, ) và (K, λ ) là hai phức. Ta có thể tạo ra tích tenxơ của hai phức (C, ) và (K, λ ), kí hiệu C R K, theo cách sau: (C R K ) n := i C i K n i, và đồng cấu g n : (C R K ) n (C R K ) n 1 được xác định trên từng thành phần C i K n i là i id Kn i + ( 1) i id Ci λ n i. 1.2 Các dãy giải và các môđun mở rộng Các dãy giải Định nghĩa 1.9. Một dãy giải của một môđun M là một phức ϕ 2 ϕ 1 M :... M 2 M1 M0 0, (1.4) với H i (M ) = 0, i > 0 và H 0 (M ) = M. Hơn nữa, nếu tồn tại n 0 sao cho M n 0 và M k = 0, k > n thì dãy giải được gọi là có độ dài bằng n. Nhận xét Đôi khi, một dãy giải của M còn được viết dưới dạng Khi đó phức trên là một dãy khớp. ϕ 2 ϕ 1... M 2 M1 M0 M 0. Định nghĩa Dãy giải (1.4) được gọi là một dãy giải xạ ảnh (tự do) của M nếu M i là môđun xạ ảnh (tự do) với mọi i. Mệnh đề Mọi môđun M đều có một dãy giải tự do. Định nghĩa Một dãy giải nội xạ của môđun M là một phức các môđun nội xạ 0 Q 0 Q 1 Q 2..., 3

5 với H i (Q ) = 0, i > 0 và H 0 (Q ) = M. Đôi khi, ta còn viết dãy giải nội xạ của M dưới dạng 0 M Q 0 Q 1 Q 2..., khi đó phức trên là một dãy khớp. Mệnh đề Mỗi môđun M đều có một dãy giải nội xạ Các môđun mở rộng Cho M, N là các môđun và P là một dãy giải xạ ảnh của M P 2 P 1 P 0 0. Tác động hàm tử Hom R (, N) lên dãy giải trên, ta được phức đối đồng điều Hom R (P, N) 0 Hom R (P 0, N) Hom R (P 1, N) Hom R (P 2, N)... (1.5) Định nghĩa Ta định nghĩa Ext n R(M, N) := H n (Hom R (P, N)). Mệnh đề Ta có Ext 0 R(M, N) = Hom R (M, N), M, N. Nhận xét Môđun Ext n R(M, N) có thể được xây dựng theo cách khác như sau. Xuất phát từ một dãy giải nội xạ của N 0 Q 0 Q 1 Q Tác động hàm tử Hom R (M, Hom R (M, Q ) ) lên dãy giải đó ta được phức đối đồng điều 0 Hom R (M, Q 0 ) Hom R (M, Q 1 ) Hom R (M, Q 2 )... (1.6) Ta định nghĩa Ext n R(M, N) := H n (Hom R (M, Q )). Người ta chứng minh được rằng, hai cách xây dựng môđun Ext n R(M, N) như trên là tương đương. Định lý Cho M là một môđun tùy ý, và một dãy khớp ngắn của các môđun: 0 A B C 0. Khi đó, ta có dãy khớp dài như sau 0 Hom R (M, A) Hom R (M, B) Hom R (M, C) δ 0 Ext 1 R(M, A) Ext 1 R(M, B) Ext 1 R(M, C) δ 1 Ext 2 R(M, A)... 4

6 1.3 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài Đại số tenxơ Cho M là một môđun. Với mỗi số nguyên dương k, ta đặt T k (M) = M M M (k lần), và quy ước T 0 (M) = R. Các phần tử của T k (M) được gọi là các k-tenxơ trên M. Đặt T (M) := T k (M) là tổng trực tiếp của các R-môđun. Mỗi phần k=0 tử của T (M) là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các k-tenxơ. Ta sẽ trang bị cho T (M) một phép nhân để nó trở thành một R-đại số. Vì tích tenxơ có tính chất kết hợp, ta có các đẳng cấu tuyến tính tự nhiên sau µ ij : T i (M) T j (M) T i+j (M). Các đẳng cấu trên cảm sinh một đẳng cấu chính tắc µ : T (M) T (M) T (M). Đẳng cấu µ xác định một phép nhân trên T (M) như sau T (M) T (M) T (M) (α, β) µ(α β). Ta có thể chứng minh được R-môđun T (M) với phép nhân trên là một R-đại số. Định nghĩa R-đại số T (M) được gọi là đại số tenxơ của M. Đặc biệt, khi M là một môđun tự do thì ta có thể mô tả tường minh T (M) như sau. Mệnh đề Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở β = (e 1, e 2,..., e n ). Khi đó, T k (M) như là một R-môđun có một cơ sở gồm các k-tenxơ dạng (e i1 e i2 e ik : 1 i 1, i 2,..., i k n), 5

7 và T (M) có một cơ sở dạng (e i1 e i2 e ik : 0 k <, 1 i 1, i 2,..., i k n). Do phép nhân trong T (M) thỏa mãn T i (M)T j (M) T i+j (M), nên T (M) là một R-đại số phân bậc. Định lý Cho M là một môđun và T (M) là đại số tenxơ của nó. Nếu A là một R-đại số bất kỳ và ϕ : M A là một đồng cấu R-môđun, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : T (M) A sao cho ψ M = ϕ. Giả sử f : M N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu R-đại số T (f) : T (M) T (N). Đồng cấu này là tổng trực tiếp của các ánh xạ thành phần T 0 (f) = id R và T k (f) : T k (M) T k (N), (0 < k < ), T k (f)(m 1 m k ) = f(m 1 ) f(m k ), m 1,..., m k M. Mệnh đề Cho hai dãy khớp các môđun E u E v E 0, F s F t F 0. Khi đó đồng cấu v t : E F E F của nó bằng Im(u 1 F ) + Im(1 E s) là một toàn cấu và hạt nhân Mệnh đề Cho M và N là các môđun. Nếu f : M N là một toàn cấu thì đồng cấu T (f) : T (M) T (N) cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó là iđêan của T (M) được sinh bởi P := ker f M T (M) Đại số đối xứng Ta gọi C(M) là iđêan của T (M) sinh bởi các phần tử có dạng m 1 m 2 m 2 m 1, m 1, m 2 M. 6

8 Định nghĩa Đại số đối xứng của một môđun M, kí hiệu S(M), là thương của đại số tenxơ T (M) cho iđêan C(M). Đại số tenxơ T (M) được sinh bởi R = T 0 (M) và M = T 1 (M). Các phần tử của M giao hoán với nhau trong đại số thương S(M). Do đó, đại số đối xứng S(M) là một đại số giao hoán. Hơn nữa, do iđêan C(M) sinh bởi các phần tử thuần nhất nên C(M) là một iđêan phân bậc. Vậy S(M) là một R-đại số giao hoán phân bậc với các thành phần thuần nhất bậc k của nó là S k (M) = T k (M)/C(M) k. R-môđun S k (M) được gọi là lũy thừa đối xứng cấp k của M. Để thuận tiện, ta kí hiệu M (k) := M M (k lần). Định lý Cho M là một môđun và S(M) là đại số đối xứng của nó. (1) Lũy thừa đối xứng cấp k của M, S k (M), bằng S k (M) = T k (M) (m 1 m 2 m k m σ(1) m σ(2) m σ(k) ), với m i M và mọi phép hoán vị σ trong nhóm đối xứng S k. (2) Nếu ϕ : M (k) N là một ánh xạ đa tuyến tính đối xứng, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ψ : S k (M) N sao cho ϕ = ψ i, trong đó ánh xạ i : M (k) S k (M), (m 1,..., m k ) m 1 m k mod C(M). (3) Nếu A là một R-đại số giao hoán và ϕ : M A là một đồng cấu R-môđun, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R-đại số ψ : S(M) A sao cho ψ M = ϕ. Hệ quả Cho M là một môđun tự do có hạng n. Khi đó S(M) đẳng cấu (như một R-đại số phân bậc) với vành đa thức n biến trên R. Giả sử f : M N là một đồng cấu R-môđun. Khi đó, f cảm sinh một đồng cấu R-đại số S(f) : S(M) S(N). Đồng cấu này là tổng trực tiếp của các ánh xạ thành phần S 0 (f) = id R và S k (f) : S k (M) S k (N), (0 k < ), S k (f)(m 1... m k ) = f(m 1 )... f(m k ), m 1,..., m k M. 7

9 Mệnh đề Cho M, N là các môđun. Nếu f : M N là một toàn cấu thì S(f) : S(M) S(N) cũng là một toàn cấu và hạt nhân của nó là một iđêan của S(M) được sinh bởi P := ker f M S(M). Hệ quả Cho I = (x 1,..., x n ) là một iđêan của R và một toàn cấu f : R n I, e i x i. Khi đó, tồn tại một toàn cấu ψ : R[T 1,..., T n ] S(I) và hạt nhân của nó là iđêan thuần nhất N của R[T 1,..., T n ] được n n sinh bởi các đa thức bậc một a i T i sao cho a i x i = 0. Hệ quả Với giả thiết như trong Hệ quả Khi đó { n } n N = f i T i f 1,..., f n R[T 1,..., T n ] và f i x i = Đại số ngoài Gọi A(M) là iđêan của T (M) sinh bởi các phần tử có dạng m m, m M. Định nghĩa Đại số ngoài của một môđun M, kí hiệu (M), là thương của đại số tenxơ T (M) cho iđêan A(M). Ảnh của phần tử m 1 m k trong (M) được kí hiệu là m 1 m k. Tương tự như đại số đối xứng, do iđêan A(M) sinh bởi các phần tử thuần nhất, nên (M) là một R-đại số phân bậc với các thành phần thuần nhất bậc k của nó là k (M) = T k (M)/A(M) k. R-môđun k (M) được gọi là lũy thừa ngoài bậc k của M. Định nghĩa Phép nhân (m 1 m k ) (m 1 m h) = m 1 m k m 1 m h trong đại số ngoài được gọi là tích ngoài. Theo định nghĩa của (M), phép nhân trên có tính thay phiên, tức là tích m 1 m k = 0 trong (M) nếu tồn tại một cặp chỉ số (i, j), 1 i, j k nào đó mà m i = m j với i j nào đó. Khi đó, m, m M 8

10 ta có 0 = (m + m ) (m + m ) = (m m) + (m m ) + (m m) + (m m ) = (m m ) + (m m). Điều này chỉ ra rằng, phép nhân còn có tính phản đối xứng m m = m m, m, m M Áp dụng lặp lại đẳng thức trên nhiều lần ta có m σ(1) m σ(k) = sgn(σ)m 1 m k, với mọi m 1,..., m k M, σ S k. Định lý Cho M là một môđun và (M) là đại số ngoài của nó. (1) Lũy thừa ngoài cấp k của M, k (M), bằng k (M) = T k (M) (m 1 m 2 m k : m i = m j, với i j). (2) Nếu ϕ : M (k) N là một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ψ : k (M) N sao cho ϕ = ψ i, trong đó ánh xạ i : M (k) k (M), (m 1,..., m k ) m 1 m k. Hệ quả Cho M là một môđun tự do với cơ sở β = (e 1,..., e n ). Khi đó tập sau là cơ sở của k (M) (e i1 e ik, 1 i 1 < < i k n), và k (M) = 0 khi k > n. Nói riêng, rank R k (M) = ( n k). 9

11 Chương 2 Độ sâu Định nghĩa 2.1. Một dãy các phần tử α 1, α 2,..., α n R được gọi là một dãy chính quy trên môđun M (hoặc một M-dãy) nếu (i) (α 1, α 2,..., α n )M M. (ii)với i = 1, 2,..., n, thì α i không là ước của không trên M/(α 1,..., α i 1 )M (với i = 1, α 1 không là ước của không trên M). Khi đó n được gọi là độ dài của M-dãy α 1, α 2,..., α n. Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, dãy α 1, α 2,..., α n được gọi là chính quy yếu (trên M), hay M-dãy yếu. Mệnh đề 2.2. Những điều kiện sau là tương đương (i) x 1,..., x n là một M-dãy. (ii) x 1,..., x s là một M-dãy và x s+1,..., x n là một M/(x 1,..., x s )Mdãy, 0 < s < n, s N. Bổ đề 2.3. Nếu x 1, x 2 là một M-dãy thì x 2, x 1 là một M-dãy khi và chỉ khi x 2 không là ước của không trên M. Điều này luôn đúng với vành Noether địa phương. Mệnh đề 2.4. Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M là một môđun hữu hạn sinh. Khi đó, mọi hoán vị của một M-dãy luôn là một M-dãy. Mệnh đề 2.5. Cho R là một vành Noether và M là một môđun bất kỳ. Khi đó mọi dãy chính quy trên M đều hữu hạn. 10

12 Định nghĩa 2.6. Một dãy chính quy cực đại trên môđun M là một M-dãy x 1,..., x n sao cho với mọi y R, dãy x 1,..., x n, y không là một M-dãy. Bổ đề 2.7. Cho một iđêan I của R, một môđun M và một M-dãy x 1,..., x k có độ dài k được chứa trong I. Đặt I k = (x 1,..., x k ) và M k = M/I k M với k = 1, n (và M 0 = M). Khi đó Ext k R(R/I, M) = Hom R (R/I, M k ). Định lý 2.8. Cho R là một vành Noether, M là một môđun hữu hạn sinh, và một iđêan thực sự I R sao cho IM M, khi đó mọi dãy chính quy cực đại trên M mà được chứa trong I đều có độ dài bằng inf{i Ext i R(R/I, M) 0}. Hệ quả 2.9. Cho R là một vành Noether và M là một môđun. Khi đó mọi M-dãy trong R đều có thể được bổ sung thành một M-dãy cực đại. Định nghĩa Cho một môđun M và một iđêan thực sự I R. Độ sâu của I trên M, kí hiệu depth(i, M), được định nghĩa là độ dài cực đại của mọi M-dãy được chứa trong iđêan I. Nhận xét Như vậy, theo Định lý 2.8, độ sâu của iđêan I trên môđun M trong vành Noether được tính như sau depth(i, M) = inf{i Ext i R(R/I, M) 0}. 11

13 Chương 3 Phức Koszul 3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích ngoài Cố định một dãy x = x 1, x 2,..., x n R và một cơ sở (e 1, e 2,..., e n ) của R n. Đặt K 0 = R và K i = 0 với i < 0. Với mỗi i 1, đặt K i = i (R n ). Khi đó K i là một R-môđun tự do có hạng ( n i) với một cơ sở có dạng (e j1 e j2 e ji 1 j 1 < j 2 < < j i n). Đặc biệt, K i = 0, i > n và K n có một cơ sở là (e 1 e 2 e n ). Với mỗi i = 1, 2,..., n, đặt i K : K i K i 1 được cho bởi i e j1 e j2 e ji ( 1) k+1 x jk e j1 ê jk e ji. k=1 Với i > n hoặc i < 1, đồng cấu K i = 0. Dãy các môđun K i và các đồng cấu K i sẽ có dạng sau K : 0 R B R n R n A R 0. (3.1) Ta có thể kiểm tra rằng i K i+1 K = 0, i Z. Do đó K là một phức. Đặc biệt, H n (K ) n = {r R x i r = 0, i = 1,..., n} = {0 : R x i } và H 0 (K ) = R/(x). Định nghĩa 3.1. Phức K được xây dựng như trên được gọi là phức Koszul của x (liên kết với x), kí hiệu là K (x) hoặc K (x; R). Với mỗi R-môđun M, phức K (x; M) := K (x) R M được gọi là phức 12

14 Koszul của x với hệ số trên M. Phức này đẳng cấu với phức sau 0 M M n M 2) (n M n M 0. (3.2) Môđun đồng điều thứ i của phức (3.2) là H i (K (x; M)), được kí hiệu là H i (x; M). Trong trường hợp R là một vành Noether và M hữu hạn sinh thì các môđun H i (x; M) cũng hữu hạn sinh. Dễ thấy H 0 (x; M) = M/xM và H n (x; M) n = {0 : M x i }. 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul bằng cách lấy tenxơ các phức (1) Cho M là một môđun và x là một phần tử của R. Phức Koszul của x với hệ số trên M được định nghĩa là G (x; M) : 0 M x M 0 Khi M = R, phức G (x; R) còn được kí hiệu là G (x). (2) Nếu x 1,..., x n là một dãy các phần tử thuộc R, thì phức Koszul của x 1,..., x n với hệ số trên M, kí hiệu G (x 1,..., x n ; M), được định nghĩa theo quy nạp bằng G (x 1,..., x n 1 ; M) G (x n ; R). Mệnh đề 3.2. K (x 1,..., x n ) = G (x 1,..., x n ), x := x 1,..., x n R. Nhận xét 3.3. Do tích tenxơ của hai phức thỏa mãn C K = K C, nên phức Koszul là bất biến (sai khác đẳng cấu) với mọi hoán vị của x 1, x 2,..., x n. Do đó, theo Mệnh đề 1.6, thì đồng điều của phức Koszul cũng là bất biến với mọi hoán vị của x 1, x 2,..., x n. 3.3 Một số tính chất cơ bản của phức Koszul Mệnh đề 3.4. Cho (C, ) là một phức trên R và K = K (x) là phức Koszul của x R. Khi đó ta có dãy khớp ngắn của các phức như sau 0 C (C K ) C [ 1] 0, (3.3) 13

15 trong đó C n [ 1] = C n 1, và các đồng cấu ở cấp thứ n được định nghĩa như sau δ n : C n (C n R) (C n 1 R) = C n C n 1, a (a, 0), γ n : C n C n 1 C n [ 1], (a, b) b. Hệ quả 3.5. Với giả thiết như trên, ta có một dãy khớp dài... x H n (C ) H n (C K ) H n 1 (C ) x H n 1 (C )... (3.4) Nhận xét 3.6. Dãy khớp dài trong hệ quả trên được phân tích thành các dãy khớp ngắn 0 H n(c ) xh n (C ) H n(c K ) Ann Hn 1 (C )(x) 0, với mọi n, và Ann M (N) = {m M mn = 0, n N}. 14

16 Chương 4 Ứng dụng của phức Koszul 4.1 Phức Koszul và dãy chính quy Định lý 4.1. Nếu x 1,..., x n là một R-dãy thì phức Koszul K (x 1,..., x n ) cho ta một dãy giải tự do của R/(x 1,..., x n ). Định lý 4.2. Một dãy các phần tử x 1,..., x n trong iđêan cực đại m của vành địa phương (R, m) là một R-dãy khi và chỉ khi H 1 (x 1,..., x n ) = 0. Hệ quả 4.3. Cho M là một môđun trên vành địa phương (R, m) và một dãy các phần tử x 1,..., x n trong iđêan cực đại m. Nếu H i (x 1,..., x n ; M) = 0 thì H i (x 1,..., x n 1 ; M) = 0, với i Phức Koszul và độ sâu Bổ đề 4.4. Cho M là một môđun, và x = x 1,..., x n là một dãy các phần tử trong R. Giả sử I = (x 1,..., x n ) chứa một M-dãy y = y 1,..., y m. Khi đó H n+1 i (x; M) = 0 với i = 1, 2,..., m, và H n m (x; M) = Hom R (R/I, M/yM) = Ext m R(R/I, M). Định lý 4.5. Cho R là vành Noether địa phương, M là một môđun hữu hạn sinh, và I = (x 1,..., x n ) R sao cho IM M, thì mọi M-dãy cực đại được chứa trong I đều có độ dài là inf {k H n k (x 1,..., x n ; M) 0}. 15

17 4.3 Phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng Giả sử x = (x 1,..., x n ) là một tập sinh của iđêan I của vành R. Từ hai đồng cấu u :R[T 1,..., T n ] n (x 1,...,x n ) R[T 1,..., T n ] n (a 1,..., a n ) a i x i, v :R[T 1,..., T n ] n (T 1,...,T n ) R[T 1,..., T n ] n (a 1,..., a n ) a i T i, ta xây dựng hai phức Koszul K (x; R[T]), K (T; R[T]) với các đồng cấu tương ứng là d x, d T. Ta có thể kiểm tra rằng các đồng cấu này thỏa mãn d x d T + d T d x = 0. Từ tính chất này, ta có thể xây dựng được một phức mới, được gọi là phức xấp xỉ, với các môđun là ker d x, các đồng cấu là d T, và được kí hiệu là Z Z = (kerd x ; d T ). Phức này có phần cuối là ker u v R[T 1,..., T n ] 0. Do đó H 0 (Z ) = R[T 1,..., T n ], v(ker(u)) { n trong đó v(ker(u)) = f i T i f 1,..., f n R[T 1,..., T n ] và Hơn nữa, theo Hệ quả 1.29, ta có H 0 (Z ) = R[T 1,..., T n ] v(ker(u)) = S(I). } n f i x i = 0. 16

18 Tài liệu tham khảo [1] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Massachusetts, [2] N. Bourbaki, Algebra I Chap. 1-3: Elements of Mathematics, Hermann, Paris, [3] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies in advanced mathematics, No. 39, Cambridge University Press: Cambridge, [4] D. A. Buchsbaum and D. Eisenbud, Some structure theorems for Finite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), , [5] L. Busé and M. Chardin, Implicitizing rational hypersufaces using approximation complexes, Journal of Symbolic Computation, Elsevier, 40(4-5), pp , [6] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press: Princeton, New Jersey, [7] D. S. Dumit and R. M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc, [8] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebra Geometry, Graduate Texts in Mathematics. No.150, Spring-Verlag: New York,

19 [9] J. Herzog, A. Simis, and W. V. Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79-169, [10] N.H.V. Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, [11] N.H.V. Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, [12] S. Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, [13] S. Sather-Wagstaff, Koszul notes, ssatherw/sp14/790/koszul pdf. [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G. Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30, ,