ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019

2 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phan Văn Thiện HUẾ - NĂM 2019

3 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phan Văn Thiện. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó. Tác giả Trần Nam Sinh

4 ii LỜI CÁM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm của PGS.TS. Phan Văn Thiện. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đã đưa ra hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin gửi lời cám tới GS. TSKH. Ngô Việt Trung với những góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học cơ bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Trần Nam Sinh...

5 iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN 1 MỞ ĐẦU 2 1 Kiến thức cơ sở Chỉ số chính quy của một tập điểm béo Một số kết quả cần dùng Kết luận chương Chỉ số chính quy của tập s điểm béo không nằm trên một (r 1)- phẳng với s r Chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng với s r Chỉ số chính quy của s điểm béo đồng bội không nằm trên một (r 1)-phẳng với s r Kết luận chương Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập s điểm kép trong P n với 2n + 1 s 2n Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 1 điểm kép sao cho không có n+1 điểm nằm trên một (n 2)-phẳng trong P n Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của tập 2n + 2 điểm kép không suy biến và không có n + 1 điểm nằm trên một (n 2)-phẳng trong P n Kết luận chương KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CÔNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

6 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu N N Z Z + [a] k P n := P n k R := k[x 0,..., x n ] Z(T ) I(Y ) dim B Ann(M) d M d H M (t) P M (t) Z = m 1 P m s P s reg(z) reg(a) Ý nghĩa Tập số tự nhiên Tập số tự nhiên khác không Tập số nguyên Tập số nguyên dương Phần nguyên của số hữu tỷ a Trường đóng đại số k Không gian xạ ảnh n-chiều trên trường k Vành đa thức theo các biến x 0,..., x n trên trường k Tập không điểm của tập T R các phần tử thuần nhất của R Iđêan thuần nhất của tập điểm Y P n Iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi điểm P P n Chiều (Krull) của vành B Annihitor của môđun M Tổng trực tiếp của các nhóm con M d Hàm Hilbert của môđun phân bậc M Đa thức Hilbert của môđun phân bậc M Tập điểm béo Z Chỉ số chính quy của Z Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ A

7 2 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Cho X = P 1,..., P s } là tập các điểm phân biệt trong không gian xạ ảnh P n := P n k, với k là một trường đóng đại số. Gọi 1,..., s là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R := k[x 0,..., x n ] tương ứng với các điểm P 1,..., P s. Cho m 1,..., m s là các số nguyên dương. Ta ký hiệu m 1 P m s P s là lược đồ chiều không xác định bởi iđêan I := 1 m1 s ms và gọi Z := m 1 P m s P s là một tập điểm béo trong P n. Chú ý rằng iđêan I của tập điểm béo là tập gồm các hàm đại số nội suy trên tập điểm P 1,..., P s triệt tiêu với số bội m 1,..., m s. Đề tài về tập điểm béo được nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau. Ví dụ như giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc của các hàm nội suy đến nay vẫn chưa được giải quyết (xem [13]). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R/I. Với tập điểm béo Z = m 1 P m s P s xác định bởi iđêan I, vành tọa độ thuần nhất của Z là A := R/I. Vành A = t 0 A t là một vành phân bậc s ) Cohen-Macaulay 1-chiều có bội của nó là e(a) :=. i=1 ( mi+n 1 n Hàm Hilbert của Z được xác định bởi H A (t) := dim k A t, tăng chặt cho đến khi đạt được số bội e(a), tại đó nó dừng. Chỉ số chính quy của Z được định nghĩa là số nguyên bé nhất t sao cho H A (t) = e(a) và nó được ký hiệu là reg(z). Chỉ số chính quy reg(z) bằng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(a) của vành tọa độ A. Vấn đề tìm chặn trên cho chỉ số chính quy reg(z) đã được nhiều người quan tâm và có nhiều kết quả. Năm 1961, Segre (xem [19]) đã chỉ ra được chặn trên cho chỉ số chính quy của một tập điểm béo Z = m 1 P m s P s sao cho không có ba điểm nào của chúng nằm trên một đường thẳng trong P 2 : [ m1 + + m s reg(z) max m 1 + m 2 1,, 2 với m 1 m s.

8 3 Cho một tập điểm béo tùy ý Z = m 1 P m s P s trong P 2. Năm 1969, Fulton (xem [12]) đã đưa ra chặn trên cho chỉ số chính quy của Z như sau: reg(z) m m s 1. Chặn này được mở rộng cho một tập điểm béo tùy ý trong P n bởi Davis và Geramita (xem [9]). Họ đã chứng minh được rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tập điểm P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng trong P n. Một tập điểm béo Z = m 1 P m s P s trong P n được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j +2 điểm của P 1,..., P s nằm trên một j-phẳng với j < n. Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) đã mở rộng kết quả của Segre cho tập một điểm béo ở vị trí tổng quát trong P 2. Vào năm 1993, Catalisano, Trung và Valla (xem [8]) mở rộng kết quả này cho tập một điểm béo ở vị trí tổng quát trong P n, họ đã chứng minh được: reg(z) max m 1 + m 2 1, [ m m s + n 2, n với m 1 m s. Năm 1996, N.V. Trung đã đưa ra một giả thuyết như sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m 1 P m s P s là một tập điểm béo tùy ý trong P n. Khi đó trong đó } reg(z) max T j j = 1,..., n, [ q ] l=1 m i l + j 2 Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng} T j = max j. Hiện nay chặn này được gọi là chặn trên của Segre. Giả thuyết này có một số người làm toán quan tâm. Chúng tôi xin đề cập một vài kết quả gần đây liên quan đến giả thuyết này. Chặn trên Segre đã được chứng minh đúng trong không gian xạ ảnh với số chiều n = 2, n = 3 (xem [22], [23]) và cho tập điểm kép Z = 2P P s trong P 4 (xem [24]) bởi Thiện; cũng trong trường hợp n = 2, n = 3 Fatabbi và Lorenzini đưa ra một chứng minh độc lập khác (xem [10], [11]).

9 4 Năm 2012, Bennedetti, Fatabbi và Lorenzini đã chứng minh được chặn trên Segre cho một tập gồm n+2 điểm béo không suy biến Z = m 1 P 1 + +m n+2 P n+2 trong P n (xem [2]). Năm 2013, Tú và Hùng đã chứng minh được chặn trên Segre cho một tập gồm n + 3 điểm hầu đồng bội không suy biến trong P n (xem [28]). Năm 2016, Ballico, Dumitrescu và Postinghel đã chứng minh được chặn trên của Segre cho trường hợp n+3 điểm béo không suy biến Z = m 1 P 1 + +m n+3 P n+3 trong P n (xem [4]). Năm 2017, Calussi, Fatabbi và Lorenzini cũng đã chứng minh được chặn trên Segre cho trường hợp s điểm béo không suy biến Z = mp mp s trong P n với s 2n 1 (xem [5]). Cho tập điểm béo tùy ý trong P n. Năm 2018, Nagel và Trok đã chứng minh giả thuyết của N.V. Trung về chặn trên Segre là đúng (xem [18, Theorem 5.3]). Một vấn đề khác cũng được nhiều người quan tâm là tính đúng giá trị reg(z). Tuy nhiên đây là một bài toán khó hơn, cho đến nay việc tính đúng giá trị reg(z) chỉ đạt được cho một số tập điểm béo với những điều kiện nhất định. Nhắc lại rằng với các điểm béo Z = m 1 P m s P s nằm trên một đường thẳng trong P n. Davis và Geramita (xem [9]) đã chứng minh được reg(z) = m m s 1. Một đường cong hữu tỷ chuẩn trong P n là đường cong có phương trình tham số: x 0 = t n, x 1 = t n 1 u,..., x n 1 = tu n 1, x n = u n. Cho một tập điểm béo Z = m 1 P m s P s trong P n, với m 1 m 2 m s. Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla đã chỉ ra công thức tính reg(z) trong hai trường hợp sau (xem [8]): Nếu s 2 và P 1,..., P s nằm trên một đường cong hữu tỷ chuẩn trong P n (xem [8, Proposition 7]), thì [ s reg(z) = max m 1 + m 2 1, ( m i + n 2)/n. Nếu n 3, 2 s n + 2, 2 m 1 m 2 m s và P 1,..., P s nằm ở vị trí i=1

10 tổng quát trong P n (xem[8, Corollary 8]), thì 5 reg(z) = m 1 + m 2 1. Năm 2012, Thiện (xem [25, Theorem 3.4]) cũng đã tính được chỉ số chính quy reg(z) cho một tập s + 2 điểm béo sao cho chúng không nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n với s n. Khi đó, reg(z) = max T j j = 1,..., n }, trong đó [ q l=1 T j = max m ] i l + j 2 Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}, j j = 1,..., n. Tại thời điểm chúng tôi bắt đầu thực hiện đề tài này vào năm 2013, bài toán tính chỉ số chính quy và chứng minh giả thuyết của N.V. Trung đúng trong trường hợp tổng quát vẫn là các bài toán mở. 2 Mục đích nghiên cứu Năm 2013 chúng tôi bắt đầu thực hiện đề tài "chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh". Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu về chỉ số chính quy của tập điểm béo. Chúng tôi chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy và chặn trên của nó cho một số trường hợp cụ thể. Cho Z = m 1 P m s P s là một tập gồm s điểm béo ở ví trí tổng quát trên một r-phẳng α trong P n với s r + 3. Chúng tôi đã đưa ra được công thức như sau (xem Định lý 2.1.1): trong đó reg(z) = max T 1, T r }, T 1 = max m i + m j 1 } i j; i, j = 1,..., s, [ m1 ] + + m s + r 2 T r =. r Nếu m 1 = = m s = m, thì ta gọi Z = mp mp s là tập s điểm béo đồng bội. Trong trường hợp này, chúng tôi cũng tính được chỉ số chính quy cho tập s điểm béo đồng bội Z = mp mp s sao cho P 1,..., P s không nằm trên một (r 1)-phẳng trong P n với s r + 3, m khác 2 như sau (xem Định lý 2.2.6): } reg(z) = max T j j = 1,..., n,

11 6 trong đó [ ] mq + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}, j j = 1,..., n. Cùng với việc tính chỉ số chính quy của tập điểm béo, chúng tôi cũng chứng minh chặn trên của nó. Cho Z = 2P P 2n+1 là một tập gồm 2n + 1 điểm kép trong P n sao cho không có n + 1 điểm nào của X nằm trên một (n 2)-phẳng. Khi đó, chúng tôi đã chứng minh được kết quả như sau (xem Định lý 3.1.3): } reg(z) max T j j = 1,..., n = T Z, trong đó [ ] 2q + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}. j Với tập điểm Z = 2P P 2n+2 gồm 2n + 2 điểm kép không suy biến trong P n sao cho không có n + 1 điểm nào của X nằm trên một (n 2)-phẳng, chúng tôi đã chứng minh được kết quả như sau (xem Định lý 3.2.3): } reg(z) max T j j = 1,..., n = T Z, trong đó [ ] 2q + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}. j 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Tính chỉ số chính quy của tập điểm béo trong không gian xạ ảnh P n. - Tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của tập điểm kép trong không gian xạ ảnh P n. 3.2 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, phạm vi nghiên cứu của chúng tôi thuộc lĩnh vực Đại số giao hoán và Hình học đại số.

12 7 4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp của chúng tôi sử dụng để đạt được những kết quả trên là phương pháp đại số tuyến tính của Catalisano, Trung và Valla trong [8]. Chúng tôi sử dụng Bổ đề (xem [8, Lemma 1]) để tính reg(r/i) bằng cách quy nạp theo số điểm. Để chặn trên cho reg(r/(j + a )), chúng tôi dùng Bổ đề (xem [8, Lemma 3]) và tìm các siêu phẳng tránh một điểm và đi qua tất cả các điểm còn lại với những số bội thích hợp. Việc tìm được các siêu phẳng thỏa mãn các điều kiện như vậy là không dễ dàng. 5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Bài toán về chỉ số chính quy của tập điểm béo giúp chúng ta đánh giá được chiều của iđêan các đa thức thuần nhất triệt tiêu trên tập các điểm phân biệt với các số bội tương ứng, là vấn đề mà hiện nay vẫn là bài toán mở. Bài toán này còn có liên quan đến giả thuyết của Nagata về chặn dưới cho bậc các hàm nội suy mà hiện nay vẫn chưa được giải quyết. 6 Tổng quan và cấu trúc của luận án 6.1 Tổng quan của luận án Nội dung của luận án nghiên cứu về chỉ số chính quy xác định bởi tập điểm béo. Kết quả đầu tiên được chứng minh bởi Segre (xem [19]) trong đó tác giả đã chỉ ra được chặn trên cho chỉ số chính quy của tập điểm béo Z = m 1 P 1 + +m s P s ở vị trí tổng quát trong P 2 : reg(z) max m 1 + m 2 1, [ m1 + + m s với m 1 m s, và sau đó được N.V. Trung tổng quát hóa thành một giả thuyết mà chúng tôi đã nêu ra ở phần 1. Lý do chọn đề tài. Ngoài việc tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của tập điểm béo, người ta cũng quan tâm đến việc tính chỉ số chính quy của nó. Năm 1984, Davis và Geramita (xem [9]) đã tính được chỉ số chính quy của tập điểm béo Z = m 1 P 1 + +m s P s khi các điểm P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng trong P n. Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla (xem [8]) đã tính được chỉ số chính quy của tập điểm béo nằm trong một đường cong hữu tỷ chuẩn trong P n. Năm 2012, Thiện (xem [25]) cũng đã tính được được chỉ số chính quy của tập s + 2 điểm béo sao cho chúng không 2

13 8 nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n. Luận án của chúng tôi tập trung tính chỉ số chính quy và chặn trên của nó dựa trên giả thuyết của N.V. Trung và có được các kết quả sau: Trong phần thứ nhất của luận án (Chương 2), chúng tôi quan tâm đến việc tính chỉ số chính quy của tập điểm béo, đây là bài toán khó. Cho đến nay những kết quả đạt được đã được công bố trên các tạp chí quốc tế của bài toán này là ít. Trong luận án này chúng tôi đã tính được chỉ số chính quy của tập điểm béo trong hai trường hợp sau: Với tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trên một r-phẳng trong P n với s r+3. Chúng tôi chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy của nó như sau. Định lý Cho P 1,..., P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng α trong P n với s r + 3. Cho m 1,..., m s là các số nguyên dương và Z = m 1 P m s P s. Khi đó } reg(z) = max T 1, T r, trong đó T 1 = max m i + m j 1 } i j; i, j = 1,..., s, [ m1 ] + + m s + r 2 T r =. r Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo đồng bội không nằm trên một (r 1)-phẳng với s r + 3. Định lý Cho X = P 1,..., P s } là tập các điểm phân biệt không nằm trên một (r 1)-phẳng trong P n với s r + 3 và m là một số nguyên dương, m khác 2. Gọi Z = mp mp s là tập điểm béo đồng bội. Khi đó, } reg(z) = max T j j = 1,..., n, trong đó [ ] mq + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}, j j = 1,..., n. Các kết quả trên là mới và được công bố trên bài báo [26]. Bài toán tính chỉ số chính quy của tập điểm béo hiện nay vẫn là bài toán mở.

14 9 Trong phần thứ hai của luận án (Chương 3), chúng tôi nghiên cứu giả thuyết của N.V. Trung về chặn trên cho chỉ số chính quy của tập điểm béo. Chúng tôi đã chứng minh giả thuyết của N.V. Trung đúng trong các trường hợp sau: Định lý Cho X = P 1,..., P 2n+1 } là một tập gồm 2n + 1 điểm phân biệt trong P n sao cho không có n + 1 điểm nào của X nằm trên một (n 2)-phẳng. Xét tập điểm kép Z = 2P P 2n+1. Đặt trong đó Khi đó, } T Z = max T j j = 1,..., n, [ ] 2q + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}. j reg(z) T Z. Định lý Cho X = P 1,..., P 2n+2 } là một tập không suy biến gồm 2n+2 điểm phân biệt sao cho không có n + 1 điểm nào của X nằm trên một (n 2)-phẳng trong P n. Xét tập điểm kép Z = 2P P 2n+2. Đặt trong đó Khi đó, T j = max [ 2q + j 2 } T Z = max T j j = 1,..., n, j ] } Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng. reg(z) T Z. Các kết quả trên đã được công bố trên các bài báo [20] và [21].

15 Cấu trúc của luận án Trong luận án này, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia thành ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số tính chất liên quan đến chỉ số chính quy. Các khái niệm và kết quả này là cần thiết cho việc trình bày hai chương sau của luận án. Tiết 1.1 trình bày các khái niệm về vành phân bậc và môđun phân bậc, Hàm Hilbert và Đa thức Hilbert của một môđun phân bậc hữu hạn sinh. Từ đây chúng tôi trình bày khái niệm về tập điểm béo và chỉ số chính quy xác định bởi tập điểm béo. Tiết 1.2 trình bày các kết quả đã có liên quan đến nội dung của luận án, các kết quả này được sử dụng để chứng minh các kết quả ở Chương 2 và Chương 3. Nội dung của Chương 1 được viết dựa trên các tài liệu tham khảo [1]-[3], [8], [9], [12], [15]-[17] và [25]. Trong Chương 2, sử dụng các kết quả được trình bày ở Tiết 1.2 của Chương 1, chúng tôi tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo Z = m 1 P m s P s ở vị trí tổng quát trên một r-phẳng với s r + 3 và chỉ số chính quy của tập s điểm béo đồng bội Z = mp mp s không nằm trên một (r 1)-phẳng trong P n với r s + 3. Để tính giá trị của reg(z) chúng tôi chặn trên và chặn dưới cho reg(z). Từ đó chúng tôi tính được chỉ số chính quy reg(z). Kết quả chính của chương này được thể hiện qua Định lý và Định lý Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu chặn trên cho chỉ số chính quy của tập điểm béo Z bao gồm s = 2n+1 điểm kép sao cho không có n+1 điểm nào của chúng nằm trên một (n 2)-phẳng và tập điểm béo Z bao gồm s = 2n + 2 điểm kép không suy biến sao cho không có n + 1 điểm nào của chúng nằm trên một (n 2)-phẳng trong không gian xạ ảnh P n. Trong các trường hợp này, chúng tôi chứng minh được giả thuyết của N.V. Trung là đúng. Kết quả chính của chương này được thể hiện qua Định lý và Định lý

16 11 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận án luôn ký hiệu P n := P n k là không gian xạ ảnh n-chiều trên trường đóng đại số k. R = k[x 0,..., x n ] là vành đa thức theo các biến x 0, x 1,..., x n với hệ số trên k. Các vành được xem xét trong luận án là vành giao hoán có đơn vị 1 0. Các khái niệm và định lý sau đây có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách về Hình học đại số, Đại số giao hoán, chẳng hạn như trong [1], [3], [12], [15]-[17]. 1.1 Chỉ số chính quy của một tập điểm béo Tiết này dành để trình bày lại một số khái niệm và ví dụ liên quan đến vành phân bậc, iđêan thuần nhất, môđun phân bậc, hàm Hilbert và đa thức Hilbert của môđun phân bậc hữu hạn sinh, chiều (Krull) của vành và môđun. Một vành S được gọi là vành phân bậc nếu S = d Z là tổng trực tiếp của các nhóm aben S d sao cho với mọi số nguyên d, e thì S d S e S d+e. Mỗi phần tử s S d được gọi là phần tử thuần nhất bậc d. Nếu S d = 0 với mọi d < 0 thì S được gọi là vành phân bậc dương. S d Ta thấy rằng, vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] là vành phân bậc với R = d 0 R d trong đó R d = f R f = c 0+ +c n=d α c0 c n x c0 0 xcn n, α c0 c n k}. Một iđêan I của vành phân bậc S được gọi là thuần nhất nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất. Cho S là một vành phân bậc. Một S-môđun M được gọi là môđun phân bậc

17 12 nếu M = M n, n Z trong đó M n là nhóm aben sao cho với mọi số nguyên m, n thì S n M m M n+m. Các phần tử của M n được gọi là phần tử thuần nhất bậc n. Ta biết rằng R = k[x 0,..., x n ] là một vành phân bậc. Lúc đó R là một R-môđun phân bậc với R = R d. d 0 Do R là một đại số phân bậc Noether sinh bởi các phần tử bậc 1 trên trường R 0 = k và M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh nên M t là một k-không gian véc tơ hữu hạn chiều với mỗi t Z. Vì vậy ta có thể xét hàm H M (t) = dim k M t, t Z. Hàm này được gọi là hàm Hilbert của M. Với R = k[x 0,..., x n ] và t N, hàm Hilbert của R là ( ) n + t H R (t) = dim k R t =. n Một đa thức số là một đa thức P (z) Q[z] sao cho P (n) Z với mọi n đủ lớn, n Z. Với M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, khi đó có duy nhất một đa thức số P M (z) Q[z] sao cho H M (t) = P M (t) với mọi số nguyên t đủ lớn. Đa thức P M được gọi là đa thức Hilbert của M. Cho B là một vành khác 0. Ta gọi tập các iđêan nguyên tố của B là phổ của B, ký hiệu là Spec(B). Với mọi chuỗi tăng các iđêan nguyên tố 0 1 d trong B ta gọi d là độ dài của chuỗi. Chiều (Krull) của B được xác định là cận trên của các độ dài của các chuỗi tăng các iđêan nguyên tố trong B, ký hiệu là dim B. Chiều (Krull) của vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] là dim R = n + 1. Cũng giống như khái niệm về chiều của vành, người ta cũng đưa ra khái niệm chiều của môđun để đặc trưng cho độ lớn của môđun đó. Cho M là một B-môđun, ta ký hiệu Ann(M) là linh tử của M và được xác định Ann(M) = b B } bm = 0.

18 13 Ann(M) là một iđêan của B. Chiều (Krull) của môđun M được định nghĩa là dim M := dim(b/ Ann(M)). Nếu M là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác không, có chiều bằng d thì đa thức Hilbert P M (t) của M có bậc d 1 và có thể được viết dưới dạng d 1 ( ) t + d i 1 P M (t) = ( 1) i e i, d i 1 với e 0,..., e d 1 Z. i=0 Trong phần tiếp theo chúng tôi giới thiệu lại các khái niệm và một số ví dụ liên quan đến tập điểm béo và chỉ số chính quy của tập điểm béo. Cho Y là một tập con của P n. Nếu tồn tại một tập T các phần tử thuần nhất của R = k[x 0,..., x n ] sao cho Y = Z(T ) thì Y được gọi là tập đại số. Ta cũng định nghĩa iđêan của tập W P n, ký hiệu I(W ), xác định bởi I(W ) = f R f là một đa thức thuần nhất và f(p ) = 0, P W } và được gọi là iđêan thuần nhất của W. Cho X = P 1,..., P s } là tập hợp các điểm phân biệt trong P n và 1,..., s là các iđêan thuần nhất của R xác định bởi các điểm P 1,..., P s tương ứng. Cho m 1,..., m s N. Ta ký hiệu m 1 P m s P s là lược đồ chiều không xác định bởi iđêan I := m1 1 ms s là tập điểm béo trong P n. và gọi Z := m 1 P m s P s P n. Nếu m 1 = m 2 = = m s = m, thì Z được gọi là tập điểm béo đồng bội trong Nếu m 1 = m 2 = = m s = 2, thì Z được gọi là tập điểm kép trong P n. Nếu m i m 1, m} với mọi i = 1,..., s và m 2, thì Z được gọi là tập điểm béo hầu đồng bội trong P n. Một tập điểm béo Z = m 1 P m s P s trong P n được gọi là không suy biến nếu tập điểm P 1,..., P s không nằm trên một siêu phẳng của P n.

19 14 Vành A := R/I được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Z. Do R = k[x 0,..., x n ] là một vành phân bậc nên vành tọa độ A = R/I cũng là một vành phân bậc, A = s ) A t. Số e(a) = được gọi là số bội của A. t 0 Xét hàm Hilbert i=1 H A (t) = dim k A t. ( mi+n 1 n Người ta đã chứng minh được rằng hàm Hilbert H A (t) = dim k A t tăng chặt cho s ) đến khi nó đạt được số bội e(a) = và ở đó nó dừng. Số nguyên t bé i=1 ( mi+n 1 n nhất sao cho H A (t) = e(a) được gọi là chỉ số chính quy của tập điểm béo Z, ký hiệu reg(z). Ta có thể thấy ngay chỉ số chính quy của tập gồm một điểm béo mp trong không gian xạ ảnh P n, với m Z +, bằng reg(mp ) = m 1. Thật vậy, gọi là iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi P, đặt A = R/ m. Khi đó hàm Hilbert H A (t) = dim k A t tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội ( ) m + n 1 e(a) =. n Do reg(mp ) là số nguyên t bé nhất sao cho H A (t) = e(a). Ta có ( ) n + t H A (t) = dim k A t = dim k R t dim k [ m ] t = dim k [ m ] t. n Với t m 2, thì dim k [ m ] t = 0, suy ra ( ) ( ) n + t m + n 1 H A (t) = < = e(a). n n Với t = m 1, thì ( ) m + n 1 H A (m 1) = = e(a). n Vậy reg(mp ) = m 1.

20 15 Với A = R/I là vành tọa độ của tập điểm béo Z trong không gian xạ ảnh P n, ta thấy rằng R = k[x 0,..., x n ] là một đại số phân bậc chuẩn và A là một R-môđun phân bậc. Với mỗi i 0, đặt: maxn N HR i a i (A) = + (A) n 0} nếu HR i + (A) 0 nếu HR i + (A) = 0 chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành tọa độ A được định nghĩa là reg(a) := maxa i (A) + i i 0}. Ta có mối quan hệ giữa chỉ số chính quy reg(z) của tập điểm béo và reg(a) như sau: reg(a) = reg(z). 1.2 Một số kết quả cần dùng Trong quá trình chứng minh những kết quả mới, chúng tôi cần sử dụng các bổ đề sau, các bổ đề này được tìm thấy trong [2], [8], [9], [25]. Đầu tiên, chúng tôi sử dụng bổ đề sau để đánh giá chỉ số chính quy bằng quy nạp. Bổ đề ([8, Lemma 1]) Cho P 1,..., P r, P là các điểm phân biệt trong P n và cho là iđêan nguyên tố thuần nhất xác định bởi P. Nếu m 1,..., m r và a là các số nguyên dương, J := 1 m1 mr r và I = J a, thì } reg(r/i) = max a 1, reg(r/j), reg(r/(j + a )). Để đánh giá reg(r/(j + a )), chúng tôi cần sử dụng bổ đề sau. Bổ đề ([8, Lemma 3]) Cho P, P 1,..., P r là các điểm phân biệt trong P n và a, m 1,..., m r là các số nguyên dương. Đặt J := m1 1 mr r và = (x 1,..., x n ). Khi đó reg(r/(j + a )) b nếu và chỉ nếu x b i 0 M J + a với mọi đơn thức M có bậc tổng thể i theo các biến x 1,..., x n, i = 0,..., a 1.

21 16 Từ đây trở về sau, chúng tôi đồng nhất siêu phẳng với dạng tuyến tính của nó. Để đánh giá reg(r/(j + a )), chúng tôi sẽ tìm t siêu phẳng L 1,..., L t tránh P sao cho L 1 L t M J. Cho j = 1,..., t, ta có thể viết L j = x 0 + G j với G j là một dạng tuyến tính, ta có x t 0 M J + i+1. Do đó ta có nhận xét sau: Nhận xét Giả sử L 1,..., L t là các siêu phẳng tránh P sao cho L 1 L t M J với mọi đơn thức M có bậc tổng thể i theo các biến x 1,..., x n, i = 0,..., a 1. Đặt δ = max t + i } 0 i a 1. Khi đó reg(r/(j + a )) δ. Trong một số trường hợp chúng tôi sẽ sử dụng bổ đề sau để tìm các siêu phẳng L i. Bổ đề ([8, Lemma 4]) Cho P 1,..., P r, P là các điểm phân biệt nằm ở vị trí tổng quát trong P n, cho m 1 m r là các số nguyên dương và J = m1 1 mr r. Nếu t là một số nguyên sao cho nt r i=1 m i và t m 1, thì ta có thể tìm được t siêu phẳng, gọi là L 1,..., L t, tránh P sao cho với mỗi P l, l = 1,..., r, tồn tại m l siêu phẳng của L 1,..., L t } đi qua P l. Bổ đề sau đây là kết quả chính của [8]. Bổ đề ([8, Theorem 6]) Cho s 2, P 1,..., P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trong P n và m 1 m s là các số nguyên dương. Đặt I = 1 ms s. Khi đó m1 [ reg(r/i) max m 1 + m 2 1, ( s m i + n 2)/n. i=1 Kết quả sau đây của E.D. Davis và A.V. Geramita [9] giúp chúng tôi tính chỉ số chính quy của tập điểm béo Z = m 1 P m s P s với các điểm P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng. Bổ đề ([9, Corollary 2.3]) Cho Z = m 1 P m s P s là một tập điểm béo tùy ý trong P n. Khi đó reg(z) = m m s 1

22 17 khi và chỉ khi các điểm P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng. Xét một tập điểm béo Z = m 1 P m s P s trong P n. B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini [2] chỉ ra tính chất dưới đây cho reg(z) khi P 1,..., P s nằm trong một không gian tuyến tính con thực sự của P n. Bổ đề ([2, Lemma 4.4]) Cho Z = m 1 P m s P s là một tập điểm béo trong P n mà P 1,..., P s nằm trong một r-phẳng α = P r. Chúng ta có thể xét r-phẳng α như một không gian xạ ảnh r-chiều P r chứa các điểm P 1 := P 1,..., P s := P s và Z α = m 1 P m sp s như một tập điểm béo trong P r. Nếu có một số nguyên dương khác không t sao cho reg(z α ) t trong P r, thì reg(z) t trong P n. Các bổ đề sau đây là kết quả chính của [25]. Bổ đề ([25, Lemma 3.3]) Cho X = P 1,..., P s } là tập các điểm phân biệt trong P n và m 1,..., m s là các số nguyên dương, đặt I = 1 m1 ms s. Nếu Y = P i1,..., P ir } là một tập con của X và J = mi 1 i 1 reg(r/j) reg(r/i). mir i r, thì Điều này suy ra rằng nếu Z = m 1 P m s P s là tập điểm béo xác định bởi I và U = m i1 P i1 + + m ir P ir là tập điểm béo xác định bởi J, thì reg(u) reg(z). Bổ đề ([25, Theorem 3.4]) Cho P 1,..., P s+2 là các điểm phân biệt không nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n với s n và m 1,..., m s+2 là các số nguyên dương. Đặt P = m1 1 ms+2, A = R/I. Khi đó s+2 reg(a) = max } T j j = 1,..., n, trong đó [ q l=1 T j = max m ] i l + j 2 Pi1,..., P iq nằm trên một j- phẳng}, j j = 1,..., n.

23 Kết luận chương 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến vành phân bậc và môđun phân bậc; hàm Hilbert và đa thức Hilbert của một môđun phân bậc hữu hạn sinh; tập điểm béo và chỉ số chính quy của tập điểm béo. Các vấn đề được trình bày trong Chương 1 sẽ được sử dụng ở hai chương sau. Các kết quả được trích dẫn từ các bài báo [1]-[3], [8], [9], [12], [15]-[17], [25].

24 19 Chương 2 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP s ĐIỂM BÉO KHÔNG NẰM TRÊN MỘT (r 1)-PHẲNG VỚI s r + 3 Như phần mở đầu mà chúng tôi đã giới thiệu, việc tính chỉ số chính quy reg(z) là một bài toán khó. Vì thế việc tính đúng giá trị reg(z) chỉ đạt được cho một số tập điểm béo với những điều kiện nhất định. Chúng tôi xin nhắc lại ba kết quả đã được trình bày ở phần trước. Năm 1984, Davis và Geramita (xem [9]) đã tính được chỉ số chính quy của tập điểm béo Z = m 1 P 1 + m s P s khi các điểm P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng trong P n. Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla (xem [8]) đã chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy của tập điểm béo Z = m 1 P m s P s khi các điểm P 1,..., P s nằm trên một đường cong hữu tỷ chuẩn trong P n. Năm 2012, Thiện (xem [25]) đã chỉ ra công thức tính reg(z) cho tập điểm béo Z = m 1 P m s+2 P s+2 trong P n với P 1,..., P s+2 không nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n, s n. Nội dung của chương này được chia thành hai tiết, trong đó ở Tiết 1 chúng tôi đưa ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng α trong P n với s r + 3 (xem Định lý 2.1.1); ở Tiết 2 chúng tôi đưa ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo tùy ý đồng bội sao cho chúng không nằm trên một (r 1)-phẳng trong P n với s r + 3 (Định lý 2.2.6); cuối cùng là phần kết luận của Chương 2. Các kết quả chính của chương này được trích từ bài báo [26].

25 Chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng với s r + 3 Một tập s điểm P 1,..., P s trong không gian xạ ảnh P n được gọi là ở vị trí tổng quát trên một r-phẳng α nếu mọi điểm P 1,..., P s nằm trên α và không có j + 2 điểm trong chúng nằm trên một j-phẳng, với j < r. Nhắc lại rằng, một đường cong hữu tỷ chuẩn trong P n là đường cong có phương trình tham số x 0 = t n, x 1 = t n 1 u,..., x n 1 = tu n 1, x n = u n. Kết quả dưới đây của chúng tôi chỉ ra công thức tính chỉ số chính quy của tập s điểm béo ở vị trí tổng quát trên một r-phẳng trong P n với s r + 3. Định lý Cho P 1,..., P s là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát nằm trên một r-phẳng α trong P n với s r + 3. Cho m 1,..., m s là các số nguyên dương và Z = m 1 P m s P s. Khi đó } reg(z) = max T 1, T r, trong đó T 1 = max m i + m j 1 } i j; i, j = 1,..., s, [ m1 ] + + m s + r 2 T r =. r Chứng minh. Cho j = 1,..., n, đặt [ q ] l=1 T j = max m i l + j 2 j P i 1,..., P iq nằm trên một j- phẳng }. Do P 1,..., P s ở vị trí tổng quát trên r-phẳng α, ta có T 1 T r 1, T r T n. Nếu s r + 2, thì P 1,..., P s không nằm trên một (s 3)-phẳng. Theo Bổ đề ta có reg(z) = max } T j j = 1,..., n = max } T 1, T r.

26 21 Do đó ta chỉ cần chứng minh Định lý cho trường hợp s = r + 3. Từ α = P r, ta có thể xét các điểm P 1,..., P r+3 được chứa trong P r. Theo giả thiết, ta có P 1,..., P r+3 ở vị trí tổng quát trong P r. Xét Z α = m 1 P m r+3 P r+3 như một tập điểm béo trong P r, theo Bổ đề ta có reg(z α ) max } T 1, T r. Bây giờ ta xét tập điểm béo Z = m 1 P m r+3 P r+3 trong P n, theo Bổ đề ta có reg(z) max } T 1, T r. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh reg(z) max } T 1, T r. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp T 1 T r : Do P 1,..., P s ở vị trí tổng quát trên α, nên không có ba điểm nằm trên một đường thẳng. Giả sử rằng P i, P j là hai điểm phân biệt sao cho m i + m j 1 = T 1. Xét tập điểm béo Z = m 1 P m r+3 P r+3 và Y = m i P i + m j P j trong P n, theo Bổ đề và Bổ đề ta có reg(z) reg(y ) = T 1. Trường hợp T 1 < T r : Xét các điểm P 1,..., P r+3 trong P r và giả sử P r+3 = (1, 0,..., 0). Theo giả thiết ta có các điểm P 1,..., P r+3 ở vị trí tổng quát trong P r, do đó tồn tại một đường cong hữu tỷ chuẩn C đi qua các điểm P 1,..., P r+3 [14, Theorem 1.18]. Gọi 1,..., r+3 là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] tương ứng với các điểm P 1,..., P r+3 trong P n. Khi đó r+3 = (x 1,..., x n ), đặt J = m1 1 mr+2 r+2, I = J mr+3 r+3.

27 22 Ta có reg(z) = reg(r/i), vì vậy ta sẽ chứng minh reg(r/i) T r. Nếu x Tr mr+3 0 x mr J + mr+3 r+3, thì tồn tại một dạng g mr+3 r+3 bậc T r 1 sao cho x Tr mr+3 0 x mr g J. Vì x Tr mr+3 0 x mr mr+3 1 r+3 và g mr+3 r+3 nên x Tr mr+3 0 x mr g mr+3 1 r+3. Do đó x Tr mr+3 0 x mr g J mr+3 1 r+3. Dạng x Tr mr+3 1 +g xác định một siêu mặt Γ trong P n. Từ m 1 + +m r+3 [ m1 ] + + m r > r = r(t r 1), theo Định lý Bezout, ta có Γ chứa C. Suy r ra x Tr mr+3 0 x mr g triệt tiêu trên các điểm (1, u,..., u r,..., 0), u k của đường cong C. Vì vậy 0 x mr+3 1 u mr g(1, u,..., u r, 0,..., 0) = 0 với mọi u k, mâu thuẫn. Từ đây ta có x Tr mr+3 0 x mr / J + mr+3 r+3. Theo Bổ đề ta có reg(r/(j + mr+3 r+3 )) T r. Mặt khác, theo Bổ đề ta có reg(r/i) reg(r/(j + mr+3 r+3 )). Do đó, ta có reg(r/i) T r như vấn đề đặt ra. Chứng minh Định lý đã hoàn thành. Hệ quả Cho P 1,..., P s là các điểm phân biệt trong P n với s 5. Cho m là số nguyên dương và Z = mp mp s. Khi đó, } reg(z) = max T j j = 1,..., n, trong đó j = 1,..., n. [ ] qm + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}, j

28 23 Chứng minh. Nếu P 1,..., P s nằm trên một đường thẳng, thì theo Bổ đề ta có reg(z) = T 1 = maxt j j = 1,..., n}. Nếu P 1,..., P s không nằm trên một đường thẳng, thì ta xét các trường hợp sau: Trường hợp s = 3 hoặc s = 4: Do P 1,..., P s không nằm trên một đường thẳng, theo Bổ đề ta có reg(z) = maxt j j = 1,..., n}. Trường hợp s = 5: Nếu P 1,..., P 5 không nằm trên một 2-phẳng, thì theo Bổ đề ta có reg(z) = maxt j j = 1,..., n}. Nếu P 1,..., P 5 nằm trên một 2-phẳng α và chúng không nằm ở vị trí tổng quát trên α, thì có hai đường thẳng phân biệt l 1 và l 2 chứa chúng. Ta có thể giả sử rằng P 1,..., P r l 1 và P r+1,..., P 5 l 2 \l 1, r 3. Theo Bổ đề và Bổ đề ta có T 1 reg(z). Theo Bổ đề và [22, Định lý 1] ta có Hơn nữa, do T 2 rm 1 T 1, ta có reg(z) maxt 1, T 2 }. reg(z) = T 1 = maxt 1, T 2 }. Chứng minh Hệ quả đã hoàn thành. 2.2 Chỉ số chính quy của s điểm béo đồng bội không nằm trên một (r 1)-phẳng với s r + 3 Bổ đề sau đây sẽ giúp chúng tôi tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của tập s điểm béo trong P n.

29 24 Bổ đề Cho P 1,..., P s, P là các điểm phân biệt trong P n sao cho với r điểm tùy ý của P 1,..., P s }, luôn tồn tại một (r 1)-phẳng đi qua r điểm này và tránh P. Cho m 1,..., m s là các số nguyên dương. Xét tập P 1,..., P s } với dãy các số bội (m 1,..., m s ). Giả sử t là một số nguyên sao cho [ s i=1 t m j, m ] i + r 1 j = 1,..., s}. r Khi đó, tồn tại t các (r 1)-phẳng L 1,..., L t tránh P sao cho với mọi điểm P j P 1,..., P s }, có m j các (r 1)-phẳng của L 1,..., L t } đi qua P j. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo s i=1 m i. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng m 1 m s. Nếu s r, thì theo giả thiết có một (r 1)-phẳng L, đi qua các điểm P 1,..., P s và tránh P. Đặt L 1 = = L t = L, do t maxm j j = 1,..., s}, với mọi điểm P j tồn tại m j các (r 1)-phẳng của L 1,..., L t } đi qua P j. Nếu s > r, thì theo giả thiết [ tồn tại một (r 1)-phẳng L 1, đi qua các điểm s i=1 P 1,..., P r và tránh P. Do t m ] i + r 1, ta có r [ ] (m1 1) + + (m r 1) + m r m s + r 1 t 1. r [ s i=1 Mặt khác, do t m ] i + r 1 và t m 1 m 2 m s, ta có r [ ] (r + 1)mr+1 + r 1 t 1 1 m r+1. r Vì thế, t 1 maxm 1 1,..., m r 1, m r+1,..., m s }. Xét tập P 1,..., P s } với dãy các bội (m 1 1,..., m r 1, m r+1,..., m s ). Theo giả thiết quy nạp, ta có thể tìm được t 1 các (r 1)-phẳng L 2,..., L t tránh P sao cho với j = 1,..., r có m j 1 các (r 1)-phẳng của L 2,..., L t } đi qua P j ; cho j = r + 1,..., s có m j các (r 1)-phẳng của L 2,..., L t } đi qua P j. Do đó, ta có t các (r 1)-phẳng L 1,..., L t như mong muốn. Chứng minh Bổ đề đã hoàn thành.

30 25 Bổ đề Cho X = P 1,..., P s+3 } là tập các điểm phân biệt nằm trên một s-phẳng trong P n với 3 s n, sao cho không có một (s 1)-phẳng chứa s + 2 điểm của X và không có một (s 2)-phẳng chứa s điểm của X. Gọi 1,..., s+3 là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] tương ứng với các điểm P 1,..., P s+3. Giả sử rằng có một (s 1)-phẳng α chứa s + 1 điểm P 1,..., P s+1 và có một (s 1)-phẳng β chứa s + 1 điểm P 3,..., P s+3. Cho m là một số nguyên dương. Với j = 1,..., n, đặt [ ] mq + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên j-phẳng}. j Khi đó trong đó J = m 1 m s+2. } reg(r/(j + m s+3)) max T j j = 1,..., n, Chứng minh. Ta nhận xét rằng, tồn tại một (s 1)-phẳng γ chứa P 1, P 2, P s+2, s 3 điểm của P 3,..., P s+1 } và tránh P s+3. Thật vậy, giả sử rằng π là một (s 1)-phẳng chứa P 1, P 2, P s+2, s 3 điểm P 5,..., P s+1 và P s+3. Khi đó, γ là một (s 1)-phẳng chứa P 1, P 2, P s+2, P 4, P 5,..., P s. Ta có P s+3 / γ (vì nếu P s+3 γ, thì γ = π là một (s 1)-phẳng chứa s + 2 điểm P 1, P 2, P 4,..., P s+3 của X, mâu thuẫn). Ta có thể giả sử rằng P 1, P 2, P 4,..., P s, P s+2 γ. Do s điểm tùy ý của β X không nằm trên một (s 2)-phẳng nên ta có thể đặt P s+3 = (1, 0,..., 0), P 3 = (0, 0, 1, 0,..., 0), P 5 = (0, 0, 0, }} 1, 0,..., 0),..., P j = (0,..., 0, }} 1, 0,..., 0), j = 5,..., s+ 4 j 1 2, do P 2 / β, ta đặt P 2 = (0, 1, 0,..., 0). Với mọi đơn thức M = x c1 1 xcn n, c c n = i, i = 0,..., m 1, đặt m 1 = m 4 = m, m 2 = m i + c 1, m 3 = m i + c 2, m j = m i + c j 2, j = 5,..., s + 2. Gọi H là siêu phẳng chứa α và tránh P s+3, gọi L là siêu phẳng chứa γ và tránh P s+3, đặt t = max m 3, m s+1 }. Do c s + maxc 2, c s 1 } i nên m s+2 + t 2m i. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: m s+2 + t 2m i 1 hoặc s = 3 hoặc s = 4 và m = 2. Ta có P 1, P 2, P 4,..., P 5 H L; P 3, P s+1 H; P s+2 L. Do đó, H maxm ms+2,t} L ms+2 m 1 m 2 t 3 m 4 m s t s+1 ms+2 s+2.

31 Hơn nữa, do M m m3 3 m ms+1 s+1 m ms+2 s+2 và t = maxm 3, m s+1 } nên Theo Nhận xét ta có 26 H maxm ms+2,t} L ms+2 M m 1 m s+2 = J. reg(r/(j + m s+3 )) maxmaxm m s+2, t} + m s+2 + i i = 1,..., m 1} maxm + i, t + m s+2 + i i = 1,..., m 1}. Nếu m s+2 + t 2m i 1, thì maxm + i, t + m s+2 + i i = 0,..., m 1} 2m 1 = T 1. Nếu s = 3, thì maxm + i, t + m s+2 + i i = 0,..., m 1} 2m = T 2. Nếu s = 4 và m = 2, thì maxm + i, t + m s+2 + i i = 0,..., m 1} 2m = 4 = T 4. Trường hợp 2: m s+2 + t = 2m i, s 4 và m 3 hoặc m s+2 + t = 2m i, s 5 và m = 2. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng m 3 m s+1. Khi đó t = maxm 3, m s+1 } = m 3. Ta có 2m i = m s+2 +t = m s+2 +m 3 = m i+c s +m i+c 2. Suy ra c 2 + c s = i. Vì vậy, c j = 0 với mọi 2 j s. Ta xét các trường hợp sau của i : Trường hợp 2.1: i = 0. Theo giả thiết, không có một (s 2)-phẳng chứa s điểm của X, ta có P 3, P s+1, P s+2 và P s+3 không nằm trên một 2-phẳng. Do đó, có một siêu phẳng σ chứa P 3, P s+1, P s+2 và tránh P s+3. Gọi lại rằng P 1,..., P s+1 H và P 1, P 2, P 4,..., P s, P s+2 L. Do đó H m 1 L m 1 σ m 1 m s+2 = J. Suy ra H m 1 L m 1 σm J, (1) với m 1 + m i = 2m 1 = T 1.

32 Trường hợp 2.2: i 1. Ta xét các trường hợp sau của c s : 27 c s < i: Do P 3,..., P s+3 nằm trên một (s 1)-phẳng β và không có một (s 2)- phẳng chứa s điểm của X, nên một (s 1)-phẳng chứa s điểm P 1, P 3,..., P s, P s+2 tránh P s+3. Do đó, tồn tại một siêu phẳng π chứa P 1, P 3,..., P s, P s+2 và tránh P s+3. Hơn nữa, từ P 1,..., P s+1 H và P 1, P 2, P 4,..., P s, P s+2 L, ta có H m3 1 L ms+2 1 π ms+2+m3 1 1 ms+2+m3 2 2 m3 3 ms+2+m3 1 4 ms+2+m3 1 s m3 1 s+1 ms+2 s+2. Do m s+2 + m 3 = 2m i và i m 1 nên m s+2 + m 3 1 = 2m i 1 m. Do i 1, nên m 2 = m i m 1 m s+2 + m 3 2. Từ c 2 + c s = i và c s < i, ta có c 2 1. Chú ý rằng c s 1 = 0, do đó m s+1 = m i + c s 1 = (m i + c 2 ) c 2 m 3 1. Vì vậy, ta có H m3 1 L ms+2 1 π m 1 m i 2 m i+c2 3 m 4 m s m i+cs 1 s+1 m i+cs s+2. Chú ý rằng c j = 0 với mọi 2 j s, vì vậy M i 2 i c2 3 i 5 i s i cs 1 s+1 i cs s+2, suy ra H m3 1 L ms+2 1 πm m 1 m s+2 = J, (2) với m m s i = 2m i 1 = 2m 1 = T 1. c s = i và m 3: Khi đó c j = 0, j = 1,..., s 1. Do P 1, P 3, P 4,..., P s, P s+2, P s+3 không nằm trên một (s 1)-phẳng, nên tồn tại một siêu phẳng σ 1 chứa P 1, P 3, P 4,..., P s, P s+2 và tránh P s+3 (vì nếu P 1, P 3, P 4,..., P s, P s+2, P s+3 cùng nằm trên một (s 1)-phẳng, thì (s 1)-phẳng này sẽ chứa P s+1. Điều này dẫn đến có một (s 1)-phẳng chứa s + 2 điểm của X, mâu thuẫn). Tương tự, do P 1, P 4,..., P s, P s+1, P s+2, P s+3 không nằm trên một (s 1)-phẳng, nên tồn tại một siêu phẳng σ 2 chứa P 1, P 4,..., P s, P s+1, P s+2 và tránh P s+3. Hơn nữa, từ P 1,..., P s+1 H và P 1, P 2, P 4,..., P s, P s+2 L, ta có H m i 1 L m 2 σ 2 σ 1 2m i 1 1 m i 2 m i 3 2m i 1 Do 2m i 1 m, nên 4 s 2m i 1 m i s+1 m s+2. H m i 1 L m 2 σ 2 σ 1 m 1 m i 2 m i 3 m 4 m s m i s+1 m s+2.

33 28 Hơn nữa, từ M i 2 i 3 i 5 i s i s+1, ta có H m i 1 L m 2 σ 2 σ 1 M m 1 m s+2 = J, (3) với m i 1 + m i = 2m 1 = T 1. c s = i và m = 2 và s 5: Do m = 2 và 1 i m 1 nên i = 1. Gọi β 1 là một (s 1)-phẳng chứa s điểm P 1, P 3,..., P s 1, P s+1, P s+2. Nếu P s+3 β 1, thì s điểm P 3,..., P s 1, P s+1, P s+2 được chứa trong một (s 2)-phẳng β 1 β, điều này mâu thuẫn với giả thiết, vì vậy P s+3 / β 1. Do đó tồn tại một siêu phẳng ϱ chứa β 1 và tránh P s+3. Gọi lại rằng L chứa P 1, P 2, P 4,..., P s, P s+2. Từ đây ta có ϱl s+1 2 s+2. Hơn nữa, từ M s s+1, ta có với i = 3 = T 1. ϱlm s+2 = J, (4) Từ (1), (2), (3), (4) và Nhận xét ta có reg(r/(j + m s+3)) T 1. Chứng minh Bổ đề đã hoàn thành. Chúng tôi cần mệnh đề sau để tìm chặn trên cho chỉ số chính quy của tập s + 3 điểm béo đồng bội không nằm trên (s 1)-phẳng. Mệnh đề Cho X = P 1,..., P s+3 } là tập các điểm phân biệt nằm trên một s-phẳng ϱ nhưng X không nằm ở vị trí tổng quát trên ϱ và X không nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n với 3 s n. Cho m là một số nguyên dương. Giả sử rằng 1,..., s+3 là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] tương ứng với các điểm P 1,..., P s+3. Với j = 1,..., n, đặt [ ] mq + j 2 T j = max Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}. j Khi đó, tồn tại một điểm P i0 X sao cho reg(r/(j + m i 0 )) max T j j = 1,..., n }, trong đó J = i i0 m i.

34 29 [ ] (s + 3)m + s 2 Chứng minh. Ta có T 1 2m 1 và T s = T s+1 T n. s Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Tồn tại một siêu phẳng H tránh một điểm của X và đi qua s + 2 điểm của X. Ta giả sử rằng P s+3 / H và P 1,..., P s+2 H (ta có thể đánh số lại nếu cần thiết). Đặt P i0 = P s+3 = (1, 0,..., 0), với mọi đơn thức M = x c1 1 xcn n, c c n = i, i = 0,..., m 1. Ta có H m J, suy ra H m M J. Theo Nhận xét ta có reg(r/(j + m i 0 )) max m + i } i = 0,..., m 1 2m 1 T 1. Trường hợp 2: Không tồn tại một siêu phẳng tránh một điểm của X và đi qua s + 2 điểm của X. Điều này suy ra rằng, không tồn tại một (s 1)-phẳng đi qua s+2 điểm của X. Vì vậy, một (s 1)-phẳng chứa nhiều nhất s+1 điểm của X. Do X không ở vị trí tổng quát trong một s-phẳng γ, nên tồn tại một (s 1)-phẳng chứa s + 1 điểm của X. Đặt k := min h } tồn tại một h-phẳng chứa h + 2 điểm của X. Khi đó, k s 1. Từ một (s 1)-phẳng chứa nhiều nhất s + 1 điểm của X, ta có một h-phẳng chứa nhiều nhất h + 2 điểm của X với h s 1. Do đó, T k T h, h = k + 1,..., s 1. Gọi α là một k-phẳng chứa k + 2 điểm của X. Ta có thể giả sử rằng P 1,..., P k+2 α và P k+3,..., P s+3 / α (nếu cần thiết ta có thể đánh số lại). Ta xét các trường hợp con sau: Trường hợp 2.1: m = 1 hoặc s k k hoặc s k 2. Chú ý rằng s điểm tùy ý của X luôn tồn tại một (s 1)-phẳng chứa chúng. Vì vậy, có một (s 1)-phẳng β, sao cho β chứa P k+3,..., P s+3 và β chứa k 1 điểm của X α. Ta đang xét Trường hợp 2, vì thế β tránh hai điểm của X α. Ta có thể giả sử rằng P 4,..., P k+2 β, P 1 / β, P 2 / β. Bởi tính chất của k, ta có k + 1 điểm tùy ý của X α không nằm trên một (k 1)-phẳng. Ta đặt P i0 = P 1 = (1, 0,..., 0), P 2 = (0, }} 1, 0,..., 0), P 3 = (0, 0, }} 1, 0,..., 0), P 5 = (0, 0, 0, }} 1, 0,..., 0),..., P j = (0,..., 0, }} 1, 0,..., 0), j = 3 4 j 1 2

35 30 5,..., k + 2. Cũng bởi tính chất của k, ta có P 1, P 2, P 3, P 5,..., P k+2 và s k 1 điểm tùy ý của X\α không nằm trên một (s 2)-phẳng. Ta có thể đặt P j = (0,..., 0, }} 1, 0,..., 0), j = k + 3,..., s + 2. j 1 Với mọi đơn thức M = x c1 1 xcn n, c c n = i, i = 0,..., m 1. Đặt m 4 = m s+3 = m, m 2 = m i + c 1, m 3 = m i + c 2, m j = m i + c j 2, j = 5,..., s + 2 và t 1 = max m j, [ k+2 l=2 m l + k 1 k ] j = 2,..., k + 2 } Do luôn tồn tại một (k 1)-phẳng đi qua k điểm tùy ý của P 2,..., P k+2 } và tránh P i0, theo Bổ đề ta có thể tìm được t 1 các (k 1)-phẳng L 1,..., L t1 tránh P i0, sao cho với mỗi P j P 2,..., P k+2 }, có m j các (k 1)-phẳng (kể cả bội) của L 1,..., L t1 } đi qua P j. Xét tập P k+3,..., P s+3 }. Ta có nhận xét rằng, không có một (s k 1)-phẳng nào chứa P i0 và s k điểm của P k+3,..., P s+3 }. Thật vậy, giả sử rằng tồn tại một (s k 1)-phẳng L chứa P i0 và (s k) điểm của P k+3,..., P s+3 }. Khi đó có một (s 1)-phẳng H chứa (k 1)-phẳng L 1, (s k 1)-phẳng L và P i0. Vì vậy, (s 1)-phẳng H chứa α. Từ đây suy ra H chứa s + 2 điểm của X, mâu thuẫn.. Đặt t 2 = max m j, [ s+3 l=k+3 m l + s + k 1 s k ] j = k + 3,..., s + 3 }. Do luôn tồn tại một (s k 1)-phẳng đi qua s k điểm tùy ý của P k+3,..., P s+3 }, nên theo nhận xét trên, ta có thể tìm được t 2 các (s k 1)-phẳng L 1,..., L t 2 tránh P i0, sao cho với mỗi P j P k+3,..., P s+3 }, có m j các (s k 1)-phẳng (kể cả bội) của L 1,..., L t 2 đi qua P j. Đặt t = max t 1, t 2 }. Cho j = 1,..., t, luôn tồn tại một (s 1)-phẳng H j, chứa L j, L j và tránh P i 0 nếu H j chứa P i0 thì H j chứa α và L j. Do đó H j chứa s + 2 điểm của X, mâu thuẫn). Từ H j chứa L j và L j, j = 1,..., t, ta có với mỗi điểm P i P 2,..., P s+3 }, có m i siêu phẳng của H 1,..., H t } đi qua P i. Vì vậy, H 1 H t m2 2 ms+3 s+3 = m i+c1 2 m i+c2 3 m 4 m i+c3 5 m i+cs s+2 m s+3. (vì

36 31 Hơn nữa, do M i c1 2 i c2 3 i c3 5 i cs s+2, nên Theo Nhận xét ta có Ta nhắc lại rằng } t = max t 1, t 2 = max m, Nếu t = m, thì H 1 H t M m 2 m s+3 = J. reg(r/(j + m i 0 )) max t + i } i = 0,..., m 1. [ k+2 l=2 m l + k 1 k ], [ s+3 max t + i } i = 0,..., m 1 2m 1 T 1. [ k+2 ] l=2 Nếu t = m l + k 1, thì k [ k+2 ] l=2 t + i = m l + k 1 + ki = k [ ] [ (k + 1)m + i + k 1 k Vì vậy Nếu l=k+3 m l + s k 1 s k [ (k + 1)m ki + k+2 ] (k + 2)m + k 2 = T k. k max t + i } i = 0,..., m 1 T k. ] l=k+3 m l + s k 1, thì s k [ s+3 t + i = [ s+3 l=k+3 m l + s k 1 + (s k)i s k ] l=3 c l + k 1 + ki k [ (s k + 1)m (s k)i + ] s+2 l=k+3 = c l 2 + s k 1 + (s k)i s k [ (s k + 1)m + ] s+2 l=k+3 = c l 2 + s k 1. s k Chú ý rằng s+2 l=k+3 c l 2 i m 1. Nhắc lại rằng ta đang xét trong Trường hợp 2.1: m 1 hoặc s k k hoặc s k 2.. ]

37 Trường hợp m = 1 ta có max t + i [ ] } (s k + 1)1 + s k 1 i = 0,..., m 1 = = 2 s k [ ] (s + 3)1 + s 2 = T s. s Trường hợp s k k ta có max t + i [ } (s k + 1)m + ] s+2 i = 0,..., m 1 l=k+3 = c l 2 + s k 1 s k [ ] (s k + 1)m + m 1 + s k 1 s k [ ] (s k + 2)m + s k 2 s k [ ] (k + 2)m + k 2 = T k. k 32 Bước tiếp theo ta xét cho trường hợp s k 2 và m 2 và s k < k. Trường hợp s k 3 và m 2 ta có max t + i [ } (s k + 1)m + ] s+2 i = 0,..., m 1 l=k+3 = c l 2 + s k 1 s k [ ] (s k + 2)m + s k 2 2m 1 T 1. s k Trường hợp s k = 2 và s k < k và m 2. Từ c c s = i m 1, ta có s+2 l=k+3 c l 2 m 1. Ta xét hai trường hợp của s+2 l=k+3 c l 2 như sau: Trường hợp s+2 l=k+3 c l 2 m 2 : Khi đó ta có H 1 H t M m 2 m s+3 = J với max t+i } [ s+2 3m + i = 0,..., m 1 l=k+3 = c ] [ ] l m 1 = 2m 1 = T Trường hợp s+2 l=k+3 c l 2 = m 1: Khi đó, c j = 0, j = 1,..., s 2, i = m 1. Do đó, m 2 = m 3 = m 5 = = m s = 1 và M m 1 2 m 1 3 m 1 5 m 1 s m 1 cs 1 s+1 m 1 cs s+2.

38 33 Ta chú ý rằng β trong Trường hợp 2.1 là một (s 1)-phẳng chứa P 4,..., P s+3 và tránh P i0. Gọi K 1 là siêu phẳng chứa β và tránh P i0. Thì, ta có K 1 M m 1 2 m m 5 m s m cs 1 s+1 m cs s+2 s+3. Hơn nữa, có một (s 1)-phẳng γ 1 chứa P 2, P 3, P 4,..., P s 1, P s+1, P s+3 tránh P i0 ( vì nếu P i0 γ, thì γ 1 chứa α. Vì vậy, γ 1 là (s 1)-phẳng chứa s + 2 điểm của X, mâu thuẫn). Tương tự, có một (s 1)-phẳng γ 2 chứa P 2, P 3, P 4,..., P s 1, P s+2, P s+3 tránh P i0. Gọi K 2 là siêu phẳng chứa γ 1 và tránh P i0. Gọi K 3 là siêu phẳng chứa γ 2 và tránh P i0. Ta có K cs 3 Kcs 1 2 K 1 M m 2 m 3 1+cs 1+cs 4 m 5 m s m s+1 m s+2 1+cs 1+cs s+3 = m 2 m s+3 = J, với c s + c s i = 2m 1. Vì vậy, trong trường hợp s k = 2, s k < k và m 2, theo Nhận xét ta có reg(r/(j + m i 0 )) T 1. Trường hợp 2.2: m 2 và s k = 1 và s k < k. Khi đó α chứa P 1,..., P s+1 và không có một (s 2)-phẳng chứa s điểm của X. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 2.2.1: Không tồn tại một (s 1)-phẳng chứa P s+2, P s+3 và s 1 điểm của X α. Vì vậy, trong trường hợp này mọi (s 1)-phẳng chứa s điểm tùy ý của P 1,..., P s+2 } tránh P s+3. Đặt P i0 = P s+3 = (1, 0,..., 0), P 1 = (0, }} 1, 0,..., 0),..., 2 P j = (0,..., 0, }} 1, 0,..., 0), j = 1,..., s. Với mọi đơn thức M = x c1 1 xcn n, c j+1 c n = i, i = 0,..., m 1, đặt m j = m i + c j, j = 1,..., s, m s+1 = m s+2 = m và t = max m j, [ s+2 ] } l=1 m l + s 1 j = 1,..., s + 2. s Theo Bổ đề ta có thể tìm thấy t các (s 1)-phẳng L 1,..., L t tránh P i0 cho với mỗi P j P 1,..., P s+2 }, có m j các (s 1)-phẳng (kể cả bội) của L 1,..., L t } đi qua P j. sao

39 Cho j = 1,..., t, gọi H j là siêu phẳng chứa L j và tránh P i0. Ta có 34 H 1 H t m1 1 ms+2 s+2 = m i+c1 1 m i+cs s m s+1 m s+2. Hơn nữa, do M i c1 1 i cs s, ta có Theo Nhận xét ta có H 1 H t M m 1 m s+2 = J. reg(r/(j + m i 0 )) max } t + i i = 1,..., m 1. Nếu t = m, thì } max t + i i = 1,..., m 1 2m 1 T 1. Nếu t = [ s+2 l=1 m l + s 1 s ], thì max t + i [ } s+3 i = 1,..., m 1 l=1 m ] l + s 1 = T s. s Trường hợp 2.2.2: Tồn tại một (s 1)-phẳng β chứa P s+2, P s+3 và s 1 điểm của X α. Ta có thể giả sử rằng P 3,..., P s+2 β, đặt P i0 = P s+3 và J = m 1 m s+2. Theo Bổ đề ta có reg(r/(j + m i 0 )) max T j j = 1,..., n }. Chứng minh Mệnh đề đã hoàn thành. Mệnh đề sau đây sẽ chỉ ra một chặn trên cho chỉ số chính quy của tập s + 3 điểm béo đồng bội không nằm trên một (s 1)-phẳng. Mệnh đề Cho X = P 1,..., P s+3 } là tập các điểm phân biệt không nằm trên một (s 1)-phẳng trong P n với s n, và m là số nguyên dương. Gọi là tập điểm béo đồng bội. Khi đó Z = mp mp s+3 reg(z) max T j j = 1,..., n },

40 35 trong đó T j = max [ ] mq + j 2 Pi1,..., P iq nằm trên một j-phẳng}. j Chứng minh. Gọi 1,..., s+3 là các iđêan nguyên tố thuần nhất của vành đa thức R = k[x 0,..., x n ] xác định bởi các điểm P 1,..., P s+3 tương ứng. Đặt I = m 1 m s+3, ta có reg(z) = reg(r/i). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo s. Với s = 1 hoặc s = 2, theo Hệ quả mệnh đề đúng. Giả sử rằng mệnh đề đúng với s 1. Theo Mệnh đề 2.2.3, tồn tại một điểm P i0 X sao cho reg(r/(j + m i 0 )) max T j j = 1,..., n }, (5) trong đó J = i i0 m i. Đặt Y = X\P i0 }, do X không nằm trên một (s 1)-phẳng, ta có Y không nằm trên một (s 2)-phẳng. Đặt với T j = max [ mh\pi0 } + j 2 j m H\Pi0 } = Theo giả thiết quy nạp, ta có reg(r/j) max Ta có T j T j, j = 1,..., n. Do đó, reg(r/j) max P i H\P i0 } ] H là một j-phẳng } m i, m i = m. T j j = 1,..., n }. T j j = 1,..., n }. (6) Theo Bổ đề ta có } reg(r/i) = m 1, reg(r/j), reg(r/(j + m i 0 )). (7) Từ (5), (6) và (7) ta có reg(r/i) max T j j = 1,..., n }.,