Giáo trình Giải tích điều hòa Đặng Anh Tuấn Ngày 15 tháng 9 năm 2017

Giáo trình Giải tích điều hòa Đặng Anh Tuấn Ngày 15 tháng 9 năm 2017

Mục lục 0.1 Không gian tô-pô và phân hoạch đơn vị......... 5 0.2 Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz...... 7 0.3 Không gian L p...................... 15

4 Giáo trình Giải tích điều hòa

Phụ lục 0.1 Không gian tô-pô và phân hoạch đơn vị Trước hết ta nhắc lại vài khái niệm về không gian tô-pô. Tập khác rỗng được gọi là không gian tô-pô nếu nó có họ các tập con J thỏa mãn, J, nếu U α J, α I, thì α I U α J, nếu U j J, j = 1, 2,..., N, thì N j=1u j J. Họ các tập con J được gọi là họ các tập mở. Mỗi tập con A J được gọi là tập mở, còn mỗi tập con B thỏa mãn \ B J được gọi là tập đóng. Ví dụ 0.1. = R n là không gian Euclid n chiều với họ các tập mở định nghĩa qua chuẩn là không gian tô-pô. Ví dụ 0.2. = T n là xuyến n chiều với tô-pô tích T n = S 1 S 1 }{{} n là không gian tô-pô. Định nghĩa 0.1. Cho là một không gian tô-pô. Lân cận của một điểm x là một tập con của chứa một tập mở, mà tập mở này lại chứa x. Tập con A được gọi là tập compact nếu bất kỳ một phủ mở nào của A đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn của A.

6 Giáo trình Giải tích điều hòa Không gian được gọi là Hausdorff (tách) nếu với hai điểm phân biệt x, y bất kỳ đều có hai lân cận của hai điểm này rời nhau. Không gian được gọi là compact địa phương nếu với mỗi điểm x bất kỳ đều có một lân cận compact của x. Không gian vừa Hausdorff vừa compact địa phương được gọi là không gian LCH. Ví dụ 0.3. Không gian Euclid R n, xuyến T n là các không gian LCH. Định nghĩa 0.2. Cho, Y là các không gian tô-pô. Ánh xạ f : Y được gọi là liên tục nếu f 1 (V ) là tập mở trong với bất kỳ tập mở V Y. Trong trường hợp Y = C ta nói f như vậy là hàm liên tục. Khi đó ta định nghĩa giá của f bởi supp f = cl{x : f(x) 0}, trong đó cl(a) là bao đóng của A (tập đóng nhỏ nhất chứa A). Hàm liên tục được gọi là có giá compact nếu giá của nó là tập compact. Không gian các hàm liên tục trên được ký hiệu C(). Ngoài ra ta còn có các ký hiệu C c () = {f C() : supp f compact}, C 0 () = {f C() : f triệt tiêu ở vô cùng}, trong đó triệt tiêu ở vô cùng nghĩa là {x : f(x) ɛ} là compact với bất kỳ ɛ > 0. Có thể thấy ngay C c () C 0 () C(). Ví dụ 0.4. Với không gian Euclid R n ta có 1 C(R n ) \ C 0 (R n ), 1 1 + x C 0(R n ) \ C 2 c (R n ), (1 x )χ B1 C 0 (R n ),

0.2. Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz 7 trong đó B 1 = {x R n : x < 1} là hình cầu mở, đơn vị, và { 1 khi x B 1, χ B1 (x) = 0 còn lại. Ví dụ 0.5. Với xuyến T n là không gian Hausdorff compact nên C c (T n ) = C 0 (T n ) = C(T n ). Mệnh đề 0.1. C 0 () là không gian Banach với chuẩn f = sup f(x). x C c () là không gian con, trù mật trong C 0 (). Bổ đề 0.2 (Bổ đề Urysohn). Giả sử là không gian LCH. Cho K là tập compact, U là tập mở trong thỏa mãn K U. Khi đó tồn tại hàm liên tục f : [0, 1] có giá compact thỏa mãn f = 1, K supp f U. Định lý 0.3 (Phân hoạch đơn vị). Giả sử là không gian LCH, K là tập con compact và họ {U j } N j=1 là một phủ mở của K. Khi đó tồn tại họ các hàm {ϕ j } N j=1 C c () thỏa mãn 0 ϕ j (x) 1, x, j = 1,..., N, supp ϕ j U j, j = 1,..., N, N j=1 ϕ j(x) = 1, x K. 0.2 Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz Trong phần này, nếu không nói gì thêm ta hiểu là không gian LCH. Ký hiệu P() là họ tất cả các tập con của, B() là σ đại số Borel nghĩa là: Họ tất cả các tập mở J của nằm trong B().

8 Giáo trình Giải tích điều hòa B() đóng với hai phép toán hợp đếm được và lấy phần bù. B() là họ các tập con nhỏ nhất thỏa mãn cả hai tính chất trên. Mỗi tập A B() được gọi là tập Borel. Định nghĩa 0.3. Hàm f : C được gọi là hàm đo được Borel nếu f 1 (V ) là tập Borel trong với mọi tập mở V trong C. Hàm µ : P() [0, ] được gọi là độ đo ngoài nếu nó thỏa mãn (i) µ ( ) = 0. (ii) µ (A) µ (B), A B. (iii) µ ( j=1a j ) j=1 µ (A j ), A j, j = 1, 2,.... Tập con A được gọi là tập µ đo được nếu µ (E) = µ (E \ A) + µ (E A), A. Hàm µ : B() [0, ] được gọi là độ đo Borel (không âm) nếu (i) µ( ) = 0. (ii) Nếu U j B(), j = 1, 2,..., thỏa mãn U j U k =, j k, thì µ ( j=1u j ) j=1 µ(u j). Chú ý do µ là độ đo ngoài nên µ (E) µ (E \ A) + µ (E A). Do đó tập A là µ đo được khi và chỉ khi µ (E) µ (E \ A) + µ (E A), E, µ (E) <. Ví dụ 0.6. (a) Hàm liên tục f : C là hàm đo được Borel. Hàm đặc trưng χ E của tập Borel E xác định bởi { 1, nếu x E, χ E (x) = 0, nếu x E, là hàm đo được Borel.

0.2. Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz 9 (b) Trên đường thẳng thực R với tô-pô thông thường, hàm tập µ : P(R) [0, ] xác định bởi { } µ (E) = inf (b j a j ) : E j=1(a j, b j ) j=1 cho ta độ đo ngoài trên R. (c) Độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực R là độ đo Borel. Ngoài ra độ đo Dirac δ : B(R) [0, 1] xác định bởi { 1, nếu 0 E, δ(e) = 0, nếu 0 E, cũng là độ đo Borel. Mệnh đề 0.4. Cho E( P()) là một họ các tập con thỏa mãn, E. Giả sử hàm ρ : E [0, ] thỏa mãn ρ( ) = 0. Khi đó hàm µ : P() [0, ] xác định bởi { } µ (A) = inf ρ(e j ) : E j E, A j=1e j là một độ đo ngoài. j=1 Định lý 0.5 (Tiêu chuẩn Caratheodory). Cho µ là một độ đo ngoài trên. Khi đó họ các tập con µ đo được lập thành một σ đại số và µ trên σ đại số này là một độ đo đủ. Nếu thêm điều kiện các tập mở đều µ đo được thì µ là độ đo Borel. Quan sát lại ví dụ (b) ở trên, lấy E là họ các khoảng mở và hàm ρ đo độ dài của mỗi khoảng mở. Khi đó sử dụng Mệnh đề 0.4 ta có hàm µ xác định ở ví dụ (b) là độ đo ngoài. Tiếp tục sử dụng tiêu chuẩn Caratheodory ta thu được độ đo ngoài µ là độ đo Lebesgue trên σ đại số Lebesgue gồm các tập µ đo được. Ta đã có đủ công cụ để đến với định lý biểu diễn Riesz thứ nhất: Trước hết ta quan sát: với mỗi độ đo Borel µ trên thỏa mãn tính chất hữu hạn trên mỗi tập compact thì phiếm hàm xác định bởi f C c () fdµ

10 Giáo trình Giải tích điều hòa là ánh xạ tuyến tính từ C c () vào C thỏa mãn tính dương fdµ 0, f 0. Phiếm hàm tuyến tính như vậy ta gọi là phiếm hàm dương. Định lý biểu diễn Riesz khẳng định rằng: tất cả các phiếm hàm dương trên C c () đều có dạng như trên với một độ đo Borel µ kèm thêm tính chất nhất định. Các tính chất nhất định này được gọi là tính chính quy, cụ thể như sau: Định nghĩa 0.4. Cho µ là độ đo Borel trên, E là tập Borel. Độ đo µ được gọi là chính quy ngoài trên E nếu µ(e) = inf { µ(u) : E U, U mở }. Độ đo µ được gọi là chính quy trong trên E nếu µ(e) = sup {µ(k) : K E, U compact}. Độ đo µ được gọi là chính quy nếu nó chính quy trong và ngoài trên mọi tập Borel. Độ đo µ được gọi là độ đo Radon nếu nó hữu hạn trên mọi tập compact, chính quy trong trên mọi tập mở, chính quy ngoài trên mọi tập Borel. Định lý 0.6 (Định lý biểu diễn Riesz). Cho I là phiếm hàm dương trên C c (). Khi đó có duy nhất một độ đo Radon µ trên thỏa mãn µ(u) = sup {I(f) : f C c (), f U}, U mở, (0.1) µ(k) = inf {I(f) : f C c (), f χ K }, K compact, (0.2) I(f) = fdµ, f C c (), (0.3) trong đó f U được hiểu như sau 0 f 1, supp f U. Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta chia thành ba bước chính:

0.2. Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz 11 B1. Chứng minh tính duy nhất của độ đo. B2. ây dựng độ đo. B3. Chứng minh các tính chất của độ đo xây dựng ở B2. Ta đi vào chi tiết từng bước chứng minh. B1: Giả sử ta đã có độ đo Radon µ để I(f) = fdµ, f C c (). Để chứng minh tính duy nhất của µ, từ tính chính quy ngoài, ta chỉ cần chứng minh µ hoàn toàn xác định trên các tập mở. Cụ thể hơn ta sẽ chứng minh µ thỏa mãn tính chất (0.1). Không khó để thấy khi f C c (), f U, U mở, thì I(f) = fdµ µ(u). Như vậy để chỉ ra (0.1) ta chỉ còn phải chứng minh: ɛ > 0, f C c (), f U : µ(u) I(f) + ɛ. Từ tính chính quy trong có một tập compact K U sao cho µ(u) µ(k) + ɛ. Sử dụng Bổ đề Urysohn cho K U, tồn tại một hàm f C c (), f U và f = 1. Khi đó K µ(k) fdµ = I(f) hay µ(u) I(f) + ɛ. Ta hoàn thành B1. B2: Từ việc chứng minh tính duy nhất ở trên ta có thể thấy quá trình xây dựng như sau: (i) ây dựng độ đo µ trên các tập mở nhờ (0.1).

12 Giáo trình Giải tích điều hòa (ii) Dùng Mệnh đề 0.4 xây dựng độ đo ngoài: { } µ (E) = inf µ(u j ) : E j=1u j, U j mở, E. j=1 B3: Nếu ta chứng minh được mọi tập mở U đều là µ đo được thì theo tiêu chuẩn Caratheodory µ = µ B() là độ đo Borel. Trong bước này ta sẽ chứng minh điều này cũng như độ đo Borel µ là độ đo Radon cần tìm. Để làm điều này ta làm theo các bước (i) Chứng minh tính dưới σ cộng tính trên các tập mở của µ. Từ đó dẫn đến cách xác định khác của µ như sau µ (E) = inf { µ(u) : E U, U mở }, E. Chú ý tính đơn điệu tăng của độ đo µ trên các tập mở ta có µ (U) = µ(u), U mở. (ii) Chứng minh mọi tập mở U đều µ đo được. Từ đây và phần (i) ta được µ = µ B() (thác triển của µ) là độ đo Borel chính quy ngoài trên mọi tập Borel. Ngoài ra từ cách xác định µ ta có µ thỏa mãn (0.1). (iii) Chứng minh µ thỏa mãn (0.2). Dùng (0.2) ta thu được µ hữu hạn trên mọi tập compact và chính quy trong trên mọi tập mở. Như vậy kết hợp với phần (ii) ta có µ là độ đo Radon. (iv) Chứng minh µ thỏa mãn (0.3). Tóm lại µ là độ đo cần tìm. Từ định lý biểu diễn Riesz ta dẫn đến: Nếu là không gian LCH và σ compact, nghĩa là nó là hợp đếm được các tập compact, thì độ đo Borel hữu hạn trên từng compact trên là chính quy. Khi đó độ đo Borel hữu hạn trên từng compact là độ đo Radon.

0.2. Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz 13 Mỗi phiếm hàm tuyến tính dương, bị chặn I trên C 0 () là phiếm hàm dương trên C c (). Khi đó ta xây dựng được độ đo Radon trên thỏa mãn (0.1)-(0.3). Từ tính bị chặn của phiếm hàm ta có { } µ() = sup I(f) = fdµ : f C c (), 0 f 1 I. Nói cách khác độ đo Radon tương ứng với phiếm hàm dương, bị chặn trên C 0 () là độ đo hữu hạn. Không khó khăn để thấy điều ngược lại cũng đúng. Mỗi phiếm hàm tuyến tính bị chặn I trên C 0 () đều có thể phân tích thành I = I + I với I +, I là các phiếm hàm tuyến tính dương, bị chặn trên C 0 () bằng cách (i) Với mỗi f C 0 () ta phân tích f = g + ih, g, h C 0 (; R). Ta tiếp tục phân tích g = g + g, g + = max{g, 0}, g = max{ g, 0}, h = h + h, h + = max{h, 0}, h = max{ h, 0}, g +, g, h +, h C 0 (; [0, )). Khi đó I + (f) = I + (g + ) I + (g ) + i(i + (h) I (h)). (ii) Với f C 0 (, [0, )) (iii) I = I + I. I + (f) = sup{i(g) : 0 g f, g C 0 ()}. Như vậy, sử dụng định lý biểu diễn Riesz ta có phiếm hàm tuyến tính bị chặn I trên C 0 () ứng với độ đo dạng µ 1 µ 2 +i(µ 3 µ 4 ), trong đó µ j, j = 1, 2, 3, 4, là các độ đo Radon hữu hạn. Định nghĩa 0.5. Hàm µ : B() C được gọi là độ đo Borel phức nếu

14 Giáo trình Giải tích điều hòa (i) µ( ) = 0, (ii) với bất kỳ dãy các tập Borel rời nhau {E j } j=1 ta đều có µ( j=1e j ) = µ(e j ), j=1 trong đó chuỗi hội tụ tuyệt đối. Mệnh đề 0.7. Cho µ là độ đo Borel phức trên. Khi đó biến phân toàn phần µ : B() [0, ] của µ xác định bởi { } µ (E) = sup µ(e j ), E j=1e j, E j là các tập Borel đôi một rời nhau j=1 là độ đo Borel hữu hạn. Ngoài ra ta còn có: (i) µ(e) µ (E), E B(). (ii) Có một hàm Borel h thỏa mãn h = 1 và dµ = hd µ. (iii) Có các độ đo Borel hữu hạn µ 1, µ 2, µ 3, µ 4 để µ = µ 1 µ 2 + i(µ 3 µ 4 ). Từ Mệnh đề trên ta nói µ là độ đo Radon phức nếu mỗi µ j, j = 1, 2, 3, 4, đều là độ đo Radon. Trong trường hợp là LCH và σ compact (chẳng hạn = R n, T n ) thì độ đo Borel phức là độ đo Radon phức. Không gian các độ đo Radon phức được ký hiệu M(). Mệnh đề 0.8. Cho µ là độ đo Borel phức. Khi đó µ là Radon khi và chỉ khi µ là Radon. Ngoài ra M() lập thành không gian Banach với chuẩn µ = µ (). Từ các lập luận ở trên ta có: Với mỗi độ đo Radon phức µ ánh xạ tuyến tính I µ (f) = fdµ, f C 0 () xác định một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên C 0 ().

0.3. Không gian L p 15 Mỗi phiếm hàm tuyến tính bị chặn I trên C 0 () sẽ có một độ đo Radon phức µ để Ánh xạ µ I µ (C 0 ()). là một toàn ánh tuyến tính từ M() lên Định lý 0.9 (Định lý biểu diễn Riesz). Ánh xạ µ I µ là một đẳng cự tuyến tính từ M() lên (C 0 ()). 0.3 Không gian L p Trong phần này, nếu không có gì đặc biệt, là không gian LCH và µ là độ đo Radon trên. Khi đó không gian L p (, µ) là không gian các hàm µ đo được thỏa mãn f(x) p dx <, 0 < p <. Khi đó ta ký hiệu ( 1/p f p = f(x) dx) p. Khi p =, không gian L (, µ) là không gian các hàm µ đo được thỏa mãn Khi đó ta ký hiệu inf{a 0 : µ{x : f(x) > a} = 0} <. f = inf{a 0 : µ{x : f(x) > a} = 0}. Do µ hữu hạn trên từng compact ta có C c () L p (, µ), p > 0. Một số tính chất quan trọng của không gian L p (, µ): (i) Khi 1 p, L p (, µ) là không gian Banach với chuẩn p, nghĩa là nó thỏa mãn các tính chất: xác định dương, thuần nhất dương, bất đẳng thức tam giác (Minkowski) và tính đầy đủ.

16 Giáo trình Giải tích điều hòa (ii) Khi 0 < p < 1, L p (, µ) với p lập thành không gian tựa chuẩn đầy đủ (vì không có bất thức tam giác). (iii) Khi 1 < p <, đối ngẫu của L p (, µ), hay không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p (, µ), đẳng cự với L q (, µ), 1/p + 1/q = 1. Như vậy L p (, µ) là không gian phản xạ. (iv) Đối ngẫu của L 1 (, µ) đẳng cự với L (, µ). Đối ngẫu của L (, µ) là không gian nào? (v) Khi 0 < p < 1, đối ngẫu của L p (, µ) là không gian có đúng một phần tử {0}. (vi) (Bất đẳng thức Holder) Cho 1 < p, q < thỏa mãn 1/p+1/q = 1. Lấy f L p (, µ), g L q (, µ) ta có fg L 1 (, µ) và fg 1 f p g q. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi có các hằng số α, β khác 0 sao cho α f p = β g q a.e.. (vii) Với 0 < p < q < r ta có L p (, µ) L r (, µ) L q (, µ) L p (, µ) + L r (, µ). Cụ thể với f L p (, µ) L r (, µ) thì f q f t p f r 1 t, 1/q = t/p + (1 t)/r. Và với f L q (, µ) ta có phân tích f = g + h, g L p (, µ), h L r (, µ). Chú ý, nếu µ() < thì L r (, µ) L q (, µ) L p (, µ). (viii) Khi 1 p <, tập S(, µ) các hàm đơn giản f = n j=1 χ E j, với µ(e j ) <, trù mật trong L p (, µ). Ngoài ra C c () trù mật trong L p (, µ).

0.3. Không gian L p 17 Với mỗi f là hàm µ đo được, hàm phân phối λ f : (0, ) [0, ] được xác định bởi λ f (α) = µ{x : f(x) > α}. Một số tính chất của hàm phân bố: λ f là hàm đơn điệu tăng và liên tục phải. Nếu f g thì λ f λ g. Nếu f n tăng đến f thì λ fn tăng đến λ f. Nếu f = g + h thì λ f (α) λ g (α/2) + λ h (α/2). Nếu λ f (α) <, α > 0, và φ là hàm Borel không âm trên (0, ) thì φ( f(x) )dµ = φ(α)dλ f (α). Lấy φ(α) = α p, 0 < p <, ta có f(x) p dµ = p 0 0 α p 1 λ f (α)dα. Từ đây f L p (, µ), 0 < p <, khi và chỉ khi 2 kp λ f (2 k ) <. k Z Với 0 < p <, không gian w L p (, µ) gồm các hàm µ đo được thỏa mãn ( 1/p [f] p = sup α p λ f (α)). α>0 Bất đẳng thức Chebyshev λ f (α) f p p α p, α > 0, f Lp (, µ), dẫn đến L p (, µ) w L p (, µ). Một số kết quả về nội suy toán tử:

18 Giáo trình Giải tích điều hòa Định lý 0.10 (Định lý nội suy Marcinkiewicz). Cho, Y là các không gian LCH với các độ đo Radon tương ứng µ, ν. Lấy p 0, p 1, q 0, q 1 [1, ] thỏa mãn p 0 < p 1, q 0 < q 1 và 1 p = 1 t + t, 1 p 0 p 1 q = 1 t + t, 0 < t < 1 và p q. q 0 q 1 Giả sử T là ánh xạ dưới tuyến tính từ L p 0 (, µ)+l p 1 (, µ) vào không gian các hàm ν đo được trên Y, nghĩa là Giả sử thêm T (f + g) T f + T g, T (cf) = c T f, f, g L p 0 (, µ) + L p 1 (, µ), c > 0. [T f] qj C j f pj, f L p j (, µ), j = 0, 1. Khi đó T f q B t f p, f L p (, µ), 0 < t < 1. Định lý 0.11 (Định lý nội suy Riesz-Thorin). Cho, Y là các không gian LCH với các độ đo Radon tương ứng µ, ν. Lấy p 0, p 1, q 0, q 1 [1, ] và 1 p = 1 t + t, 1 p 0 p 1 q = 1 t + t, 0 < t < 1. q 0 q 1 Giả sử T là ánh xạ tuyến tính từ L p 0 (, µ)+l p 1 (, µ) vào không gian các hàm ν đo được trên Y. Giả sử thêm T f qj C j f pj, f L p j (, µ), j = 0, 1. Khi đó T f q C 1 t 0 C t 1 f p, f L p (, µ), 0 < t < 1. Định lý 0.12 (Định lý nội suy phức Stein). Cho, Y là các không gian LCH với các độ đo Radon tương ứng µ, ν. Lấy p 0, p 1, q 0, q 1 [1, ] và 1 p = 1 t + t, 1 p 0 p 1 q = 1 t + t, 0 < t < 1. q 0 q 1 Họ các toán tử tuyến tính T z, z S = {z C : 0 R(z) 1}, xác định trên tập S(, µ) các hàm đơn giản vào không gian các hàm ν đo

0.3. Không gian L p 19 được trên Y thỏa mãn: với mỗi f S(, µ), g S(Y, ν) cố định, ánh xạ z T z f(y)g(y)dν(y) là hàm giải tích trên S. Giả sử thêm Y T k+iy f qk C k f qk, f S(, µ), y R, k = 0, 1. Khi đó T t f q C 1 t 0 C t 1 f p, f S(, µ), 0 < t < 1. Hơn nữa ta có thể thác triển T t thành toán tử bị chặn từ L p (, µ) vào L q (Y, ν). Tiếp theo ta quan tâm đến toán tử tích phân T f(x) = K(x, y)f(y)dµ(y) trong đó, Y là LCH, σ compact, µ, ν tương ứng là các độ đo Radon, K là hàm đo được trên không gian tích Y. Khi đó ta có các kết quả sau: Nếu K(x, ) 1 C, a.e. x, K(, y) 1 C, a.e. y Y, thì với f L p (, µ), 1 p thì tích phân K(x, y)f(y)dµ(y) hội tụ tuyệt đối với hầu hết x. Hơn nữa Nếu có 1 < q < để T f p C f p. [K(x, )] q C, a.e. x, [K(, y)] q C, a.e. y Y. thì với f L p (, µ), 1 p < thì tích phân K(x, y)f(y)dµ(y) hội tụ tuyệt đối với hầu hết x. Hơn nữa [T f] q B 1 C f 1, T f r B p C f p (p > 1, 1/r = 1/p+1/q 1).