Р٠٠٠ÞØÙ Ð Ø ÓÖ ¹ Ñ ÓÐ Ó ËÞ Ô Þ ÑÑ Ð Ö ÞØ Ñ ÓÐ Ó Ð Ù Ù Ù ÞØÙ Ð Ø ÓÖÓ Ö º ÎÓÐØ ÓÐÝ Ò Ð Ø Ñ ÐÝÖ Ø Ø Ð Ò Ð Ò Þ ÞÓÒÝ Ø Ø Ø ØÓ º ÅÓ Ø Ø Ð ÒÝ Ò Ð Ð ÑÙØ ¹ ØÙÒ Ô Ö Ø Ó Ò»Ä Ì ¹ Ò Ö Þ ØØ Þ Ðº Ð Ø ÓÖÓ Ò Ð ÔÓÒØ Ñ ØØ Ò Ý Ø ºØ Ü Ð ¹Ø Ð Ð Ø Ò Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ ÓÖÑ ØÙÑ Ñ ÓÐ Ó Ò Ö Ð Ò µ ½ Ý Ô Ð Ö Ò ÖØÝ Ð ÞÙÒ ½¾ Ð ÔÓغ Å Ð Ô Ø Ò Ö ¹ Ù Ñ Ö ÐÝ Þ Ú Ð Ñ ÒØ ¹ ØÖ Ö Þ Ú Ô Ú Ò Þ ØØ º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ØÙ ÙÒ Ú Ð ÞØ Ò Ð Ô Ò Þ Ð ¹ Ø Ñ ÐÝ Þ Ò Ò ÙÖ Ò Ô ÖÓÒ ÒØ ÐØ ÖÒ ÝÑ Ø Ðº Å ÓÐ ÀÓÖÚ Ø À Ò µ Å Ú Ð Ý Ô Ð ÖØÝ Ð ÞÙÒ Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ý ÓÖÑ Ð Ý Þ Ò Ó ÒÝÓÞÒ Þ Ò Ý Þ Ò Ð Ò Þ Ð Þº ºººµ ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Ø ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Ú Ò Ò Ý ÓÐÝ Ò ÖØÝ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ý Þ Ò Ò Ý ÓÖÑ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ðº Ý ÑÓ Ø Ý ¹ Ø Ð Þ Ø Ò Ö ÞÓÐ Ù ÖØÝ Ð Ø ÓÑ Ò Ø ÓÐ ÞÞÙ ÞØ Ò Ý Ñ Þ Ø Ñ Ò Ò Ò ½¾ ÖØÝ Ò ÓÖ Ð ÐÝ Þ Ø Þ Ó ÞÐÓÔÓ Ø ÓÖÓ Ø Ý Ó Ý Þ Ò Ý Ñ Þ Ý ØÐ Ö Ð Òº ÓÖ Þ ÐÐ Ø ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ñ Ö ½¾ Ñ Þ Þ ØØ Ú Ò Ñ Ñ Ñ Ò Ð Ò Þ ÓÖ Ò Ð Ò Þ Ó ÞÐÓÔ Ò Ú ÒÒ º Þ ÞØÓ Ñ Ú Ð Ñ ØÐ ÐÝ Òº ¾ k Ö Ò Ð Ð O Þ ÔÔÓÒØ Ø Ð Ý ÒÐ Ø ÚÓÐ Ö Ú Ý Ð A B ÔÓÒØÓ Ø Ö Ý ØÑ Ö Òº Ä Ý Ò P Ø Ø Þ Ð Ð ÔÓÒغ Þ AP ¹Ö ÐÐ ÞØ ØØ Ì Ð Þ¹ Ö k ÖØ M N ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Ý Ó Ý Þ AM BN Þ ÞÓ Ò Ò Ò Þ ÔÓÒØ Ù º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý BPN APM Þ Ñ Ý ÞÒ º Ì Ø Ñ Ø Ðµ Å ÓÐ Ã Ó ÞØ Öµ À ÞÞÙ Þ MN Þ ÞØ ÒÒ Ñ Ø Þ ÔÓÒØ PB¹Ú Ð Ð Ý Ò Qº ÓÖ Ñ Ú Ð ANPM Ý Ö Ò Ú Ò MAP = MNP º Ì Ø PQN = PMA = 90 ÓÖ Þ Ò Ú ÝÙÒ Ñ ÖØ PQN PMA ÖÓÑ Þ Ò Ø Þ Ñ Ý Þ Ø Ø ÖÑ Þ Þ AMP = NPQ = NPB º Ä Ý Ò O 2 PA Ö Ð Ì Ð Þ¹ Ö Þ ÔÔÓÒØ º ÓÖ PB Ô Ö ÙÞ ÑÓ O 2 O¹Ú Ð Þ Ò Þ O 2 O PB¹ Þ Ø ÖØÓÞ Þ ÔÚÓÒ Ð ABP ÖÓÑ Þ Òº O 2 O Ô Ñ Ö Ð MN¹Ö Þ Ò Ñ Ò O Ñ Ò O 2 Ö Ø Ú Ò Þ MN Ð Þ Ñ Ö Ð Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ñ Ö Ð Þ OO 2 º Ý Ú Ð Ò PB Ñ Ö Ð MN¹Ö Ø Ø APM = NPB º ÖØ Ö Ö ÐÝ Ñ Ú ½¼¼ ÐÓÚ Ø Þ ÒÒ Ô Ú Ö Ø Ó Ö º Ú Ö Ø Ó Ñ Ò Þ ¼ Ò Ô¹ Ò Ð Ò Ý Ö ÞØ Ð Ö Þ Ö ØÒ Ø Ð ÐØ ØÒ ÐÒ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ú Ð Ø Þ º Å ØÙ Ø ¹ Þ ÖÚ ÞÒ Å ÖÐ Ò Ú Ö Þ Ð ÐÓÚ Ó Ö ÐÝ Ð Ö Ò Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ð Ò Þ Ñ Ö ÞÓÑ Þ Ò Ð Ò Ñ Ò Ò Ò Ô Å ÓÐ Î ÞРغ ËÓ Ñ ÓÐ ÞÒ ÐØ ÞØ ÓÒ ØÖ٠غµ
 РРÖØ Ö ÐÓÚ Ø Ö Ò Ö L 1,L 2,...,L 100 º Þ i¹ Ò ÔÓÒ Ð Ý Ò ÓÖÖ Ò ÖØ Ö L i,l 2i,...,L 100i ÓÐ Þ Ò Ü ÑÓ ÙÐÓ ½¼½ ÖØ Ò º Å Ú Ð ½¼½ ÔÖ Ñ Ñ ÓÒ ÓÐ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò ÞÓÑ Þ Ð Ò Þ Ð Þº ¾º Å ÓÐ Ò Ò Ñ ÞÒ Ð Ù Ó Ý ½¼½ Þ Ñ ÔÖ Ñ Ñ Ò Ò Ô ÖÓ ÐÓÚ Þ ÑÖ ÑÙØ ØÙÒ ÓÒ ØÖ٠ص ýðø Ð ÒÓ Ò Ø Ý Ð Ó Ý ÐÓÚ Ó Þ Ñ 2nº Ê ÞÓÐ ÙÒ Ð Ý Þ ÐÝÓ 2n¹ Þ Ø ÒØÖÙÑ Ú Ð Ò ÒØÖÙÑ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ÐÓÚ Ó Ø Ö ÐÝغ Î Ý Ò Ý ÞÓÑ Þ Ó Ô ÖØ ÞÞÙ Þ Þ ÞÞ Ð Þ ÐÐ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ ØÐ Ø n Ö Óصº Ú Ð ÞØÓØØ Ô Ö Ý Ø Þ ÒØÖÙÑÑ Ð Ñ Ö ÞÓÐ Ù Þ Þ ÖÖ Þ ØÐ Ö Ñ Ö Ð ØÐ Ø n 1 Ö µ Ú Ð ÙÒ Ð Ø ÐÐ Ò ÓØ Þ ÒØÖÙÑÑ Ðº Þ Ý Ö ÞÓÐØ ÚÓÒ Ð Ð Ý Ò Ý Ö ÐØ Ø Ö Ò º ØÓÚ Ö ÐØ Ø Ö Ò Ø ÒÒ ÓÒ ØÖÙ Ò Ö ÓÖ Ø Ú Ð ÒÝ Ö º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ý Ñ Ò Ò Ô Ö ÐÓÚ Ô Ö µ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÐØ Ø Ö Ò Ò Ð Ð Þ ÞÓÑ Þ Ó º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ñ Ú Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ Ð Ý Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ Ó ÞØ Ò Þ ÒØ Ñº Þ Ó ÞØ Ð ØØ ÔÓÞ Ø Ú Ó ÞØ Ø ÖØ Ô Ð ÙÐ Þ Ó ÞØ Þ n = 6 Ø Ò σ(6) = 1+2+3+6 = 12ºµ Å ÓÐ Ã Þ ý Ò µ À Ð ÓÒ ÓÐÓÑ ÔÖ ÑÓ ÞØ Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ð Ø Ø Ó Ý n = p a 1 1 p a 2 2...p a k k ÓÖ n ÔÓÞ Ø Ú Ó ÞØ Ò Þ (1+p 1+p 2 1+...+p a 1 1 )(1+p 2 +p 2 2+...+p a 2 2 )...(1+ p k +p 2 k +...+pa k k ) Ä Ý Ò2p = (1+p 1+p 2 1 +...+pa 1 1 )(1+p 2 +p 2 2 +...+pa 2 2 )...(1+p k +p 2 k +...+pa k k ) ÓÐ p Ý ÔÖ Ñ Þ Ñº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ 1 2 Ò Ñ Ö Ø Ð (1+p i +p 2 i +...+pa i i ) Ð Ò Ø Ø 2p = (1 + p 1 + p 2 1 +... + p a 1 1 ) Å Ú Ð 2p Ô ÖÓ Ý p 1 Ò Ñ Ð Ø ØØ Þ Þ Ô ÖÓ Ó Ø Ð ÐÐ Ó Ý ÐÐ ÓÒ Þ Ò Ø Ó Ô Ö ØÐ ÒÓ µº Ì Ø a i Ô Ö ØÐ Òº (1+p 1 +p 2 1 +...+pa 1 1 ) = (p 1+1)(p 0 1 +p2 1 +...+pa i 1 1 )º À p 0 1 +p2 1 +...+pa i 1 1 > 1 ÓÖ Ú Ò 2p¹Ò 2 2p¹Ø Ð Ð Ò Þ Ô ÖÓ Ó ÞØ (p i +1) Ñ Ò Ñ Ð Øº Ì Ø 2p = p i +1 Ð ÐÐ Ó Ý Ð Ý Òº Î Ø Ð Ò Ó 3k +2 Ð ÔÖ Ñ Ú Ò Ý 2p 1 = 6k +4 1 = 3(2k +1) Ú Ø Ð Ò Ó p¹ö Ò Ñ Ð Þ ÔÖ Ñ Ø Ø Ú Ø Ð Ò Ó p¹ö 2p Ò Ñ Ö Ø Ð Ð Ø Ò ÖØ Ñ ÓÒº ¾º Å ÓÐ Ú ÞÐ Ø ÃÙÐ Þ Ó ÞØ Þ Ó Ñ Ð Ø 3¹Ò Ð Ò ÝÓ 3¹ ØÚ Òݺ Ý Ð Ñ Þ Ó ÞØ Þ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ ÓÖÑÙÐ Ø Ò ÞÞ Ñ Ó Ý Ò Ð ØÒ Ñ Ò Ò Ø ÒÝ Þ 3¹ ØÚ Òݺ Î Ý ÞÖ Ó Ý 3¹Ñ Ð ÓÖ Ð ÒÒ Ó ÞØ Ø Ý (1+p 1 +p 2 1 +...+p a 1 1 ) ÞÓÖÞ Ø ÒÝ Þ p Ò Ñ 2 Ý mod 3 mod 2 Ò ÞÚ a 1 Ô ÖÓ 2¹Ø 3¹Ñ Ð Ó ÞØÚ º ÓÖ Ú ÞÓÒØ (1+p 1 +p 2 1 ) Ñ Ð Ø Ð ÒÒ Ø ÒÝ Þ Ð Ñ Þ Þ Ñ 3¹Ò Ð Ò ÝÓ Ò Ñ Ó ÞØ Ø 9¹ Ð mod 9 ÐÐ Ò ÖÞ µº º Å ÓÐ Ú ÞÐ Ø ÃÙÐ Æ ÞÞ Ñ n¹ ÒÝ Þ Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð Ó ÞØ Þ Òغ Î Ð Ó Ó Ý Þn¹Ò Ð Ò Ñ Ò ÝÓ Þ ÑÓ Ó ÞØ Þ Ð Ø Ð Ð nº Í Ý Ò ÓÖ Ò Ý Ô ÖÓ Þ ÑÓ Ó ÞØ Þ Ñ Ø ÖØÓÑ ÒÝ 2/3n¹Ò Ð Ò ÝÓ Ô ÖÓ Ó
Ó ÞØ Þ n¹ò Ð Ò ÝÓ Ð Þº Ý Ð Ð 5/6n ÖØ ÓÖ ÙÐ Ø Ð n¹ Þ Þ Ò Ñ Ñ Ö Ø ÙÔ Ò Ú Ó ÖØ º º Å ÓÐ Ú ÞÐ Ø ÃÙÐ Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÓ Ö Ø Ò ÓÖ ÙÐÒ Ð º Þ Ð Ñ ÓÐ Ð Ô Ò ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Ô Ö ØÐ Ò ÖØ Ø Ò ÝÞ Ø Þ ÑÓ Ò ÝÞ Ø Þ ÑÓ Ø Þ Ö Ò Ð Ú Ø Ð Þ Ó ÞØ Þ Ú Òݺ Ý n¹ Ô Ö ØÐ Ò Þ ÑÒÓ Ñ Ð ÐÐÒ n Ò Ý Ö Ò Ò ÓÖ ÙÐ ØÒ Ð Ñ Þ ÑÙ n/2º Ý f : R R Ú ÒÝÖ x + f(x) = f(f(x))º Þ Ñ ÓРغ Å ÓÐ Ã Ó ÞØ Öµ Ã Ö Ñ Þ f(f(x)) = 0 Ý ÒÐ Ø Î Ý Ò Ý Ñ Ð Ð x¹ Ø Þ Þ ÓÐÝ Ò x¹ Þ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ Ñ Ö 0 = f(f(x))º ÓÖ ÖÖ 0 = x + f(x) Þ Þ f(x) = xº Å Ò Ø ÓÐ Ð f Ú ÒÝ Ø Ú Ú f(f(x)) = f( x) = 0º f(f( x)) ÝÖ ÞØ Ð Ø ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ x + f( x) Ñ Ö ÞØ Þ Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ò Ø ÓÐ Ð f¹ Ø Ú Ú f(0)º Ý Þ ÓÐÝ Ò x¹ Ö Ñ Ø ÞÒ ÐÙÒ x+f( x) = f(0) Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ö f( x) = 0 Ø Ø x = f(0)º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ Þ ÐØ Ø ÐÒ Ñ Ð Ð Ú ÒÝÒ Ð Þ Òµ Ð Ð Ý Ñ Ð Ð x ÖØ Ð Øº x = f(0) = f(x) Þ Þ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð f Ú ÒÝ Ø Ú Ú f(f(x)) = f(f(0)) = 0º Ì Ø 0 Ñ Ò Ò Ú ÒÝ Ø Ò Ñ ÓÐ º Ý 0 Ð Ø Ñ ÓÐ º Ñ ÒÒÝ Ò Þ f(x) Ú ÒÝ f(x) = Φ x = 1+ 5 x ÓÖ Þ Ú Ð Ò Ñ ÓÐ º Ì Ø Þ x = 0 Ñ ÓÐ Ð Ø 2 Ö Ö º Þ ÖØ Ú Ø Ñ Ò Þ f Ú ÒÝ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø ÓÐ Ð Ò Ñ ÖØ f ÖØ ÞÐ Ø Ö Þ ÐÑ Þ Þ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝÒ ºµ Ý p(x) Þ Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÖÓÑ Þ ÐÝ Ò +1/ 1¹ Ø Ú Þ Ðº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ Ý º Å ÓÐ Ã Þ ý Ò µ Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ò Þ Ñ ÓÐ Ð Ý Ò Þ Ñ ÓÐ aº À p(x) Ð Ø ÓÒ Ø Ò ÓÖ p(x) = 0 ÓÖ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÐÝ ÓÐ +/ 1 ¹ Ø Ú Þ Ð Ø Ø Ú Þ Ð ÙÒ Ð Ð Ð Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ö Òº ÓÖ p(x) = (x a)f(x) ÓÐ f(x) Þ Ý ØØ Ø º Þ x a Ð Ð Ø ÐÝ Ò Ú Ø Ð +/ 1¹ غ À x a Ò Ñ Ý ÒÐ +/ 1 ¹ Ð ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò b Þ Ñ ÐÝÖ b (x a) Þ ÖØ b (x a)f(x) = p(x) Ø Ø p(x) ØØ Ò Ñ Ú Ø Ð +/ 1 ¹ Ø Þ ÖØ Ð Ð 2 ÐÝ Ò Ú Ø Ð p(x) +/ 1¹ غ
Ù Ù ÞØÙ Ð Ø ÓÖ ¹ Ñ ÓÐ Ó ½ Æ ÒÝ Ð ÒÝ Þ Ø Ò ÓÐ Ð ÒØ Þ Ð ÞÒ º ÌÙ Ù Ó Ý Ñ Ò Ò Ð Ð k Ñ ÖØ Ñ Ö Ñ Ò Ñò Þ Ð Ó Ý Þ Ð Ø Ò Ð ÐÑ Ú Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ ÒÒ Ð Ø ÒÓÐÒ Þ Ú Ò Ø Ñ Öº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ñ Þ ÖÚ Þ Ø Ý Þ Ð Ø Ò Ó Ý ÔÓÒØ k Ø ÒÔ ÖØÒ ÖØ Ñ ÖÒ ÞÓ Þ Ñ Ö Ý Ú Ð Ø ÒÓÐ Ò º ¾ Þ ABCD Ò Ý Þ ØÐ Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Eº Þ AEB CED ÖÓÑ Þ ÐÝÔÓÒØ P Sº Þ AED BEC ÖÓÑ Þ Ñ ÔÓÒØ M Nº Á ÞÓÐ Ù Ó Ý PS Ñ Ö Ð MN¹Ö Þ ÙÞ Ø Ðµ Å ÓÐ Ã Þ ý Ò µ Ä Ý Ò Þ ÓÖ Ý ÔÓÒØÖ p = a+ b+ e = a+ b 3 3 s = c+ d+ e = c+ d 3 3 EX = x Ø Ø Ôк EP = p Ñ Ö Ð Ñ ØØ Ú Ø Þ Þ Ö Ø Ð Å Ñ Ö Ð ¹Ö Þ Þ m( a d) = 0 Æ Ñ Ö Ð ¹Ö Þ Þ n( b c) = 0 Ñ Ö Ð Æ¹Ö Þ Þ a( b n) = 0 Ñ Ö Ð Å ¹Ö Þ Þ b( m a) = 0 Þ Ð Ø Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ú a n+ b m = 0 Ñ Ö Ð Å ¹Ö Þ Þ c( d m) = 0 Ñ Ö Ð Æ ¹Ö Þ Þ d( n c) = 0 Þ Ð Ø Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ú c m+ d n = 0 Ð Ø ÐÐ Ø ÈË Ñ Ö Ð ÅÆ¹Ö Ñ Ú Ú Ð Ò ÞÞ Ð QP NM = 0 Þ Þ ( p q)( m n) = 0 Ø Ø ÞØ Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý ( a+ b c d )( m n) = 0 Þ Þ ( a+ b c d)( m n) = 0 3 ( a+ b c d)( m n) = m( a d) n( b c) a n + b m c m+ d n = 0 Ø Ø Ð Ø ÐÐ Ø Ú Ð Ò Þº ¾º Ñ ÓÐ Ú ÞÐ Ø Ð Ñ ØÓÒ Ñ Ýº Ð Ø Ø Þ Ð Ø ÒØ Ò Ý Þ ÓÐ Ð Ð Þ ÔÓÒØ Ø ÓÖ Þ Ý Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ø ÖÓÞ Ñ º ËÞ ÒØ Ò Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ Ø Ò Ñ Þ ABCD Ò Ý Þ ØÐ ÐØ Ð Ð Þ ÐØ 4 ÖÓÑ Þ Ñ ÔÓÒØ º Ð Ø Ø Ð Ñ Ò Ó Ý Þ Ø Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÑ ÓÒÐ Ø Ó Ý 90 ¹Ó ÓÖ Ø Ð Ý ÐÐ Ð ÞÒ Ñ Ð Ð ÓÐ Ð º Ð Ó Ý ØÐ ÝÑ Ö Ñ Ö Ð Þ Þ MN Ñ Ö Ð AD Ðк BC Ð Þ ÔÓÒØ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Þ ÞÖ º Ô Ö Þ PS Ô Ö ÙÞ ÑÓ AD Ðк BC Ð Þ ÔÓÒØ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Þ Þ Ð Ñ Ð Þ ÐÐ Ø Ú Ø Þ º
Ý Ö Ð ÐÖ Ð Ö ÒØ Ý Ò ÝÓ Ø T ÔÓÒØ Òº Ò ÝÓ Ö Ý AB Ö P ÔÓÒØ Ò Ö ÒØ Öغ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý TP Ý Ò Ð Þ Þ ATB Þ Øº Å ÓÐ Ì Ñ Ñ µ Â Ð Ð Ò ÝÓ Ö Þ ÔÔÓÒØ Ø O 1 Ø O 2 ØÓÚ Ø Ý Ð Ó Ý T ÔÓÒØ A¹ ÓÞ Ú Ò Þ Ð º ÌÙ Ù Ó Ý ÓØØ Ö Þ ÞÓØØ Ö ÒØ Ñ Ö Ð Þ Ö ÒØ ÔÓÒØ ÞÓØØ Ù ÖÖ º Å Ú Ð Ø Ö Ö ÒØ ÝÑ Ø Þ ÖØ Ì O 2 O 1 Ý Ý Ò Ò º À ÞÞÙÒ Þ Ö ÒØ Ø Ì¹Ò Ö ÞØ Ð Ø ÖÖ Ðº Ä Ý Ò Þ Ò Ö ÒØ Þ Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ä Ý Ò AO 1 T = 2α ÓÖ ÞÔÓÒØ ¹ Ö Ð Ø Þ Ø Ø Ð Ð Ô Ò ABT = ATC = α Þ Ò Ö Ò Ö Ý ÞÓÒÓ Ö ÓÞ Ìµ Ø ÖØÓÞ ÞÔÓÒØ Ö Ð Ø Ö ÒØ Þ Ö Ö Ð Ø Þ º À ÓÒÐ Ò BO 1 T = 2β ÓÖBAT = β Ì Ì Ý Ò ÐØ Ð Þ ÖØ Þ βº ÓÖ ACT = β αº ÌÈ ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ Þ Ö Þ Ò Ì È ÓØØ ÔÓÒØ Ð Ý Ö Þ ÞÓØØ Ö ÒØ Ý Ó ÞÙ Ý ÒÐ º ÓÖCTP = TPC = 90 β 2 +α 2 º ATP = CTP ATC = (90 β + α) α = 90 α β 2 2 2 2 CTO 1 = 90 PTO 1 = CTO 1 CTP = β α 2 2 º O 1 TB = 90 β BTP = O 1 TB +PTO 1 = 90 α β 2 2 Ì Ø ATP = PTO 1 Ú Ý Þ ÐÐ Ø Ø ÞÓÒÝ ØÓØØÙ º Ý ÞÙÔ Ö¹ Þ Ñ ÓÒ Ù Þ Ò Ö Ò Ñ ÐÝÒ Ø Þ Ñ k ÖÑ ÐÝ Ø Ñ ÖÖ ÑÙØ Ø ÖÑ Ø Ö Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ò ÝÚ Ð Ñ Þ Ò Ö Ð Ú Ð Ø ÞÓØØ ÓÖ Ò ØÖ Òº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ¼¼¹Ò Ð ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓ Þ Ð Ð Ð ½¼¼ Ú Ò Ñ ÐÝÖ Ð ¹ Ø Þ Ø ÐØ Ø ÐÒ Ñ Ð Ð Þ Ò Öº Ã Ö Ò Ñ Ò Ð Ø» Ú Ø Ð Ò Ó k¹ø Ñ Ö ÐØ Ø Ð ÒÒ Ðк Å ÓÐ Ã Þ ý Ò µ Ð Ö Þ Ä Ý Ò ØÖ Þ Ñ Øº ÐØ Ø Ð ÞØ ÑÓÒ Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ô Ö ÔÓÒØÓ Ò ½ ØÖ Ò Ú Ò ÒÒ º Þ ÖØ Ô ÖÓ Þ Ñ Ø ¹½µ»¾ Ý ¹Ñ Ð Ó ÞØÚ Ú Ý ¼¹Ø Ú Ý ½¹ Ø Ñ Ö Ùк Ä Ý Ò Ý Ø ÒØ Ø ØØ Ñ Ö Ò Ãº À à ØÖ Ò Ú ØØ Ö ÞØ ÓÖ Ã¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ò Þ µ Ô ÖÓ Þ Ñ ¾ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ã¹Ò Ú Ð Ô ÖÓ Ó Ñ Ö Ú Ò Ø Ø Þ Ò Ô Ö ØÐ Ò Ó Ò Ú ÒÒ º Þ ÖØ ¹Ø Ð Ó ÞØÚ ½¹ Ø Ú Ý ¹ Ø Ø Ñ Ö ÙÐ Ý Ð Ð ¼¼» µ¾ ¼ ¾ ½¼¼ ¼¼¹ Ø Ò Ñ Ñ Ð Ð Ø º Å Ó Ö Þ ÖÑ ÐÝ k = 3 n ¹Ö º µ ¹Ö Ý ØÖ º µ Ì º k = 3 n ¹Ö Ú Ò º µ Ä Ý Ò m = 3 n Ð Ý Ò Þ Ñ Ö a 1 ººº a m b 1 ººº b m c 1 ººº c m Ò ÞÞ Þ Ò Ü Ø ÑÓ Ñº A = {a 1,...,a m } B = {b 1,...,b m } C = {a 1,...,a m }µ ØÖ ÖÓÑ 3 n Ñ Ö Øò ÐÑ ÞÓÒ Ð Ð µ Ý ÙØÒ Þ Ð Ó Ý Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ ÐÐ Ø Ø Ó Ý Ô Ð Ð Ý Ò k = 3 n ¹Ö µº ÅÓ Ø ÓØØ Ø ÖØÙÒ
ÞÓÒÓ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÞ Ø Ñ Ö ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò ½ Þ ØÖ Ò Ø ÞÓØØ Ý ÒØ ¼¹ Òº ÅÓ Ø Ð Ò Þ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ ØÖ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Ä Ý Ò Ý ÓÐÝ Ò Ô ÖÓ Ö ÙÒ Ñ Ò Ø ÐÑ Þ º Ã Þ Ø Ò Ð Ý Ò Þ Ý Ø Ð Ô ÖÓ Ö º Å Ú Ð Ö ÙÐ Ö Ô ÖÓ Ö Ú Ò ÒÒ Ø Ð Ô ÖÓ Ø º ÞÓ Ð Ò Þ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ µ ØÖ Ñ ÐÝ Ò A 1 Þ Ö Ô Ð Ð Ý Ò ÞÓ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ð Ñ Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ý Ô Ö Ø Ø A 1 m Ö ØÖ Ò Þ Ö Ô Ðµº Î Ý Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ð Ø Ö ÙÒ Ðº Ö Ö ÙÐ Ö Ñ Ö Ø Ø Ú Ò ÒÒ Ø Ð Ô ÖÓ Ø º ÞÓ Ð Ò Þ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ µ ØÖ Ñ ÐÝ Ò A 2 Þ Ö Ô Ð Ð Ý Ò ÞÓ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ð Ñ Þ Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ý Ô Ö º Þ Ø Þ Ð Ø Ú Þ º ÞØ ÓÐÝØ Ø Ø Ù A m ¹ º À Ò Ñ Ö Ù Ö ÙÐ Ö Ö Ó Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ö Ð Þ Ð Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÒ Ñ Ø Ù ÞÚ ØÐ Ò Ð Ð Ò Þ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ ØÖ Ø A k B i C i+k ÓÐ k¹ø i¹ø Ú ÙØØ Ø Ù µ ÀÓÞÞ òþ ÓÒ ØÖÙ ÓÞ ¼µ Ú Ø Ð Ò Ó ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ø Þ Ö Ö ÙÖÞ Ú Ð ÒÒÝò Ð ÖÒ º ý k 3k Ö ÙÖ¹ Þ Ø ÞÒ ÐØ º ½µ k = 7¹Ö Ñ Ø ÓÒ ØÖÙ Ñ Ò Ú Þ Ø ÒÓ¹ Ò Ð Ð Ñ 7 ÔÓÒØ 3¹ÔÓÒØ Ý Ò Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø Ò Ý Þ ÔÓÒØ Ú Òº ¾µ ý ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø Ø Ø Ö ÞØÚ Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý k 1 ¹Ö k 2 ¹Ö Ð Ø Þ Þ Ò Ö ÓÖ ÞÓÖÞ Ø Ð Ø Þ ÑÖ k 1 k 2 ¹Ö Ð Ø Þ º µ Ý Ñ Ø Ö ÙÖÞ ÒÒÝ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø k 2k + 1 ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ Ô Ý Ó Ý Ý k¹ Ð Ñò Þ Ò Ö ØÖ Ö Ø Þ Ø Ò Ð Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý k Ô Ö ØÐ Òµ Ð Ò ÓÐÝ Ò ØÖ Ð Þ Ø Ò Ñ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Ø Ð Ð Ø Þ Ö Ø k Þ Ð Þ ÐØ Ð ØÖ Ð ÒÝÓÑ Ø 1 1 Ð Ð Þ k +1 ÓÒ ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ò Ò Ð ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö ÓÖ ÙÐ Ø Ð (k+1)/2 Þ ÙÒ Ø Ð Ø ÖØÓÞ Ý¹ Ý k¹ Ð ÓÞ Ô ÖÒ ØÖ Ò ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Þ ÓÒ ØÖÙ Ñ Ð Ð ÐØ Ø Ð Ò Ò º µ Ø Þ Ñ k 6¹Ø Ð Ó ÞØÚ 1 Ú Ý 3 Ñ Ö ÓØ ØÓØØ ÞØ ÔØÙ º Å ÑÙØ Ø Ø Ó Ý k ÔÓÞ Ø Úµ Ñ Ò Ò ÐÝ Ò k¹ö Ð Ø Þ Þ Ò Ö Ø Ø Ø Ð Ò Þ ÐÚ Ö¹ Ñ Ú Ð ÓÔÓÖØÓ ØÚ Ñ ÓÖ Þ ÑÓÞÚ Þ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ý Ý Þ Öò Þ Ñ ÐÑ Ð Ø Þ Ñ ØÖ Ø Ð Ö ºµ Ö Ð Ò ØÓÚ ÓÐÚ Ñ ÒÝ ËØ Ò Ö ØÖ ÔÐ Ý Ø Ñ º  РРa(n) b(n) Þ n ÔÓÞ Ø Ú Þ Þ Ñ Ð Ò Þ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ö Ú Ð Ð ÓÒØ Þ Ñ Ø ÓÐ Ð ÓÒØ Ó Ò Ö Ò Ö Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ Ô Ö ØÐ Ò Ó Þ Ò Ø Ú Òº Á ¹ ÞÓÐ Ù Ó Ý a(n) b(n) 1 Å ÐÝ Ò n Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ý ÒÐ Þx,y,z ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð Þ ÑÓ Ö x+y+z = xyzº ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý 1 1+xy + 1 1+yz + 1 1+zx 3 4 Ä Ý Ò p Ý Þ Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓѺ p(p(...p(x)...)) = x ÓÖ p(p(x)) = x ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ý x Þ Þ ÑÖ