( ) ( )

(183-184) øºà (øª ƒπ) 3-11-06 11:25 ÂÏ 183

(183-184) øºà (øª ƒπ) 3-11-06 11:25 ÂÏ 184

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 185 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων. 1.2 Λόγος ευθυγράων τηάτων. 1.3 Θεώρηα του Θαλή. 1.4 Οοιοθεσία. 1.5 Οοιότητα. 1.6 Λόγος εβαδών οοίων σχηάτων Γενικές ασκήσεις 1ου Κεφαλαίου Επανάληψη Ανακεφαλαίωση 185

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 186 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ Θυάαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου (κύρια δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων. Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ AÓ ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ Ì Π٠ÏÏËÏ ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ, ˆÚ Ùfi Ó ÌÂÙ ÏËıÂ, ÙfiÙ ı Ù - ÙÈÛÙ ÌÂ Ó applefi Ù ÙÚ ÁˆÓ 1, 2, 3, 4. N H I K 3 ª 4 ƒ 1. appleôù appleòûâùâ ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ ÛÂ È Ê Ó ÚÙ Î È Ó Ú Ù Ì appleôèô applefi Ù ÙÚ ÁˆÓ 1, 2, 3, 4 Ù Ù ÂÙ È. 2. Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÈ ÈÛfiÙËÙ : =..., =..., =..., =..., =... Î È =... ÚÈ Î È Â ÙÂÚ ÔÓÙ ÛÙÔÈ Â ÙÚÈÁÒÓÔ Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â Î ıâ ÙÚ ÁˆÓÔ ÔÈ appleïâ Ú Î È ÔÈ ÁˆÓ  ÙÔ ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Î ÚÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ. È appleïâ Ú ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ appleô Ú ÛÎÔÓÙ È apple Ó ÓÙÈ applefi ÙÈ ÁˆÓ  ÙÔ,, Û Ì ÔÏ ÔÓÙ È ÓÙÈÛÙÔ ˆ,, Á. È ÙÈ ÁˆÓ  Πıâ ÙÚÈÁÒÓÔ ÈÛ ÂÈ + + = 180Æ ÁˆÓ ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ appleô appleâúè ÂÙ È ÌÂÙ Í Ô appleïâ ÚÒÓ Ï ÁÂÙ È appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ ÙÒÓ, apple.. appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ, Â Ó È Ë ÁˆÓ. È ÁˆÓ  ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ appleô Ô Ó ÎÔÚ Ê Ù ÎÚ ÌÈ appleïâ Ú Ï ÁÔÓÙ È appleúôûîâ ÌÂÓ ÁˆÓ  ÙË appleïâ Ú Ù apple.. appleúôûîâ ÌÂÓ ÁˆÓ  ÙË appleïâ Ú Â Ó È ÔÈ Î È. ŒÓ ÙÚ ÁˆÓÔ Ó ÏÔÁ Ì ÙÔ Â Ô ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ ÔÓÔÌ ÂÙ È: 1 2 Á Οξυγώνιο, fiù Ó ÂÈ fiïâ ÙÈ ÁˆÓ  ÙÔ ÔÍ Â. Aβλυγώνιο, fiù Ó ÂÈ Ορθογώνιο, fiù Ó ÂÈ ÌÈ ÁˆÓ Ì ÏÂ. ÌÈ ÁˆÓ ÔÚı. 186

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 187 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â Î ıâ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ ÁˆÓÔ Ë appleïâ Ú appleô Ú ÛÎÂÙ È apple Ó ÓÙÈ applefi ÙËÓ ÔÚı ÁˆÓ ÔÓÔÌ ÂÙ È appleôùâ ÓÔ Û, ÂÓÒ ÔÈ ÏÏÂ Ô ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Î ıâùâ appleïâ Ú. ŒÓ ÙÚ ÁˆÓÔ Ó ÏÔÁ Ì ÙÈ Û ÛÂÈ appleô Û Ó ÔÓÙ È ÔÈ appleïâ Ú ÙÔ ÔÓÔÌ ÂÙ È: Σκαληνό, fiù Ó ÂÈ Î È ÙÈ ÙÚÂÈ appleïâ Ú ÙÔ ÓÈÛÂ. Ισοσκελές, fiù Ó ÂÈ Ô appleïâ Ú ÛÂ. Ισόπλευρο, fiù Ó ÂÈ Î È ÙÈ ÙÚÂÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ.  ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓÔ Ì = Ë appleïâ Ú ÔÓÔÌ ÂÙ È ÛË ÙÔ Î È ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÎÔÚ Ê ÙÔ. Ó ÙÚ ÁˆÓÔ, ÂÎÙfi applefi Ù Î ÚÈ ÛÙÔÈ Â, apple Ú Ô Ó Î È Ù Â ÙÂÚ ÔÓÙ ÛÙÔÈ Â, appleô Â Ó È ÔÈ È ÌÂÛÔÈ, ÔÈ È ÔÙfiÌÔÈ Î È Ù Ë. M ιάεσος ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ ÔÓÔÌ ÂÙ È ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì appleô ÂÓÒÓÂÈ ÌÈ ÎÔ- Ú Ê ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ì ÙÔ Ì ÛÔ ÙË apple Ó ÓÙÈ appleïâ Ú. ÿû ÙÚ ÁˆÓ ιχοτόος ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ ÔÓÔÌ ÂÙ È ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì appleô Ê ÚÔ Ì applefi ÌÈ ÎÔÚ Ê, ˆÚ ÂÈ ÙË ÁˆÓ ÛÂ Ô Û ÁˆÓ Â Î È Î Ù - Ï ÁÂÈ ÛÙËÓ apple Ó ÓÙÈ appleïâ Ú. Ó ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ ÌÂ Ó ÙÚ ÁˆÓÔ Û ÌÈ ÏÏË ı ÛË Î È ıâˆú ÛÔ Ì fiùè Î Ù ÙË ÌÂÙ ÙfiappleÈÛ ÙÔ Ùfi  ÌÂÙ ÏÏÂÙ È, ÙfiÙ ÔÈ ÎÔÚ Ê ÙÔ,, ı apple ÚÔ Ó ÙÈ ı ÛÂÈ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ,, ÓÙÈÛÙÔ ˆ Î È ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ ı apple ÚÂÈ ÙË ı ÛË ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ. ÊÔ Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Ù Ù ÔÓÙ È, ÙfiÙ ÔÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Â appleïâ Ú Î È ÁˆÓ  ÙÔ ı Â Ó È ÛÂ, ÊÔ Î È Ù Ù Ù ÔÓÙ È. ŒÙÛÈ Ô ÌÂ: =, =, = Î È =, =, =. Ύψος ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ ÔÓÔ- Ì ÂÙ È ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì appleô Ê ÚÔ Ì applefi ÌÈ ÎÔÚ Ê Î È Â Ó È Î ıâùô ÛÙËÓ Â ıâ ÙË apple Ó ÓÙÈ appleïâ Ú. Ô ÙÚ ÁˆÓ Î È, ÁÈ Ù ÔappleÔ ÈÛ Ô Ó ÔÈ appleúôëáô ÌÂÓ ÈÛfiÙËÙÂ, Ï Ì fiùè Â Ó È Û. ËÏ ñ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó ÙÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì Î È ÙÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Â ÁˆÓ  ÙÔ ÛÂ, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. 187

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 188 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô IÛ ÂÈ ÎfiÌË Î È ÙÔ ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ. ËÏ ñ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ÙfiÙ ı Ô Ó ÙÈ appleïâ Ú ÙÔ Î È ÙÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Â ÁˆÓ  ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì. ÙÔ ÂÍ Û Πıâ ÌÂÙ ÙfiappleÈÛË ÙÚÈÁÒÓÔ ı ıâˆúô Ì fiùè Ùfi  ÌÂÙ ÏÏÂÙ È. Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè, Ó Ô ÌÂ Ô Û ÙÚ ÁˆÓ Î È ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ Ì Π٠ÏÏËÏ ÙÔ Ó applefi Ù, ÙfiÙ ٠ÙÚ ÁˆÓ Ù Ù ÔÓÙ È. È Ó appleô  ÍÔ Ì fiùè Ô ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û ÂÓ Â Ó È apple Ú ÙËÙÔ Ó appleô  ÍÔ Ì fiùè Ô Ó fiïâ ÙÈ appleïâ Ú ÙÔ Î È ÙÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Â ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì. ÙË Û Ó ÂÈ, ı Ì ıô Ì appleúôù ÛÂÈ Ì ÙÈ ÔappleÔ Â È appleèûùòóô Ì fiùè Î È Ì ÏÈÁfiÙÂÚ ÛÙÔÈ Â Â Ó È Ó ÙfiÓ Ó È ÎÚ ÓÔ ÌÂ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û. È appleúôù ÛÂÈ Ù Â Ó È ÁÓˆÛÙ ˆ ÎÚÈÙ ÚÈ ÈÛfiÙËÙ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ÚÈÙ ÚÈ ÈÛfiÙËÙ ÙÚÈÁÒÓˆÓ 1 Ô ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ ( ) È Ô ÙÚ ÁˆÓ ÈÛ ÂÈ Ë apple Ú Î Ùˆ ÛÈÎ È ÈfiÙËÙ ÈÛfiÙËÙ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ô appleïâ Ú ÛÂ Ì appleúô Ì Î È ÙËÓ appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙÔ ÛË, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. Ú ÁÌ ÙÈ, Û Â È Ô ÌÂ Ô ÙÚ ÁˆÓ Î È appleô Ó Ô Ó Ô appleïâ Ú Û =, = Î È ÙËÓ appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙÔ ÛË =. Ó ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ Ì ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ, ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÁˆÓ Ó Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÛË ÙË ÁˆÓ Î È Ë appleïâ Ú Ó Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÛË ÙË appleïâ Ú, ÙfiÙÂ Ë appleïâ Ú ı Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÛË ÙË appleïâ Ú Î È ÔÈ ÎÔÚ Ê, ı Û Ìapple ÛÔ Ó Ì ÙÈ ÎÔÚ Ê, ÓÙÈÛÙÔ ˆ. ÕÚ Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Ù Ù ÔÓÙ È, ÔapplefiÙÂ Â Ó È Û. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Â Ó È Û, ÊÔ Ô Ó Ô appleïâ Ú Û ( = = 4 cm, = = 5 cm) Î È ÙËÓ appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙÔ ÛË ( = = 70Æ). appleôì Óˆ, Ù ÙÚ ÁˆÓ ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ËÏ =, = Î È =. Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÔÈ Û ÁˆÓ Â, Ú ÛÎÔÓÙ È apple Ó ÓÙÈ applefi ÙÈ Û appleïâ Ú,. ÂÓÈÎ : Â Û ÙÚ ÁˆÓ apple Ó ÓÙÈ applefi Û appleïâ Ú Ú ÛÎÔÓÙ È Û ÁˆÓ Â. 4 cm E 70Æ 5 cm 4 cm 70Æ 5 cm 188

(185-197) 7-11-06 16:42 ÂÏ 189 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ 2 Ô ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ ( ). Â È Ô ÌÂ Ô ÙÚ ÁˆÓ Î È appleô Ó Ô Ó Ì appleïâ Ú ÛË = Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂ- Ó ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  Û = Î È =. Ó ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ Ì ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ, ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë appleïâ Ú ÙÔ Ó Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÛË ÙË appleïâ Ú Î È Ë ÁˆÓ Ó Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙË ÛË ÙË ÁˆÓ, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ ı Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÛË ÙË ÁˆÓ Î È Ë ÎÔÚ Ê ı Û Ìapple ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÎÔÚ Ê. ÕÚ Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Ù Ù ÔÓÙ È, ÔapplefiÙÂ Â Ó È Û. appleôì Óˆ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ì appleïâ Ú ÛË Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Â Ó È Û, ÊÔ Ô Ó Ì appleïâ Ú ÛË ( = = 8 cm) Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  Û ( = = 60Æ, = = 40Æ). appleôì Óˆ Ù ÙÚ ÁˆÓ ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ËÏ =, =, =. 60Æ 8 cm 40Æ 60Æ 8 cm 40Æ Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÔÈ Û appleïâ Ú, Ú ÛÎÔÓÙ È apple Ó ÓÙÈ applefi ÙÈ Û ÁˆÓ Â,. ÂÓÈÎ : Â Û ÙÚ ÁˆÓ apple Ó ÓÙÈ applefi Û ÁˆÓ Â Ú ÛÎÔÓÙ È Û appleïâ Ú. 3 Ô ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ ( ). Â È Ô ÌÂ Ô ÙÚ ÁˆÓ Î È appleô Ó Ô Ó Î È ÙÈ ÙÚÂÈ appleïâ Ú ÙÔ Û ( =, =, = ). Ó ÌÂÙ ÙÔapple ÛÔ Ì Π٠ÏÏËÏ ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ, ÙfiÙ Ùfi Ù Ù ÂÙ È Ì ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ, ÔapplefiÙ ٠ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û. EappleÔÌ Óˆ Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó ÙÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Â Ó È Û, ÊÔ Ô Ó Î È ÙÈ ÙÚÂÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ, = = 3 cm, A = = 6 cm Î È = = 5 cm. ÕÚ ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ËÏ =, = Î È =. 3 cm 5 cm 6 cm 3 cm 6 cm 5 cm 189

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 190 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô ÚÈÙ ÚÈ ÈÛfiÙËÙ ÔÚıÔÁˆÓ ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ appleúôëáô ÌÂÓ ÎÚÈÙ ÚÈ ÈÛfiÙËÙ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó Ù ÂÊ ÚÌfiÛÔ ÌÂ Î È ÛÙ ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ. Ì 1 Ì 2 ÙÔ Û Ì 1 Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó ÙÈ Î ıâùâ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì Î È ÙËÓ appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙÔ ÛË, ÊÔ Ù Â Ó È ÔÚı. ÙÔ Û Ì 2 Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Î È Ô Ó ÙËÓ appleôùâ ÓÔ Û Î È ÌÈ Î ıâùë appleïâ Ú ÛË Î È fiappleˆ appleúôî appleùâè applefi ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì ı Ô Ó Î È ÙËÓ ÙÚ ÙË appleïâ Ú ÙÔ ÛË. ÕÚ Ù ÙÚ ÁˆÓ ı Â Ó È Û, ÊÔ Ô Ó Î È ÙÈ ÙÚÂÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì. È Ô Ù appleâúèappleùòûâè Û ÓÔ ÔÓÙ È ÛÙÔ ÂÍ ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ ÔÚıÔÁˆÓ ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. Ó Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ô ÓÙ ÛÙÔÈ Â appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. Ì 3 Ì 4 Ì 5 ÙÔ Û Ì 3 Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó Ì appleïâ Ú ÛË Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì. Ù Û Ì Ù 4 Î È 5 Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ô ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì, ÔapplefiÙ ı Ô Ó Î È ÙËÓ ÙÚ ÙË ÁˆÓ ÙÔ ÛË, ÊÔ ÙÔ ıúôèûì ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ Â Ó È 180Æ. ÕÚ Â Ó È Û ÁÈ Ù Ô Ó Ì appleïâ Ú ÛË Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì. ÙÚÂÈ Ù appleâúèappleùòûâè Û ÓÔ ÔÓÙ È ÛÙÔ ÂÍ ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. Ó Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ì ÓÙ ÛÙÔÈ Ë appleïâ Ú ÛË Î È Ì ÓÙ ÛÙÔÈ Ë ÔÍ ÁˆÓ ÛË, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. applefi Ù appleúôëáô ÌÂÓ ÎÚÈÙ ÚÈ ÈÛfiÙËÙ ÔÚıÔÁˆÓ ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ È appleèûùòóô Ì fiùè: Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, fiù Ó Ô Ó ñ Ô ÓÙ ÛÙÔÈ Â appleïâ Ú ÛÂ Ì appleúô Ì ñ Ì ÓÙ ÛÙÔÈ Ë appleïâ Ú ÛË Î È Ì ÓÙ ÛÙÔÈ Ë ÔÍ ÁˆÓ ÛË. 190

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 191 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1  ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓÔ ( = ) Ê ÚÔ Ì ÙË È ÔÙfiÌÔ. ) Û ÁÎÚÈıÔ Ó Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È. ) appleô ÂÈ ıâ fiùè = Î È fiùè Ë È ÔÙfiÌÔ Â Ó È È ÌÂÛÔ Î È Ô. Λύση ) ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÙÚ ÁˆÓ, Î È apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ô Ó: ñ =, ÎÔÈÓ appleïâ Ú ñ = applefi ÙËÓ applefiıâûë ñ 1 = 2, ÊÔ È ÔÙfiÌÔ ÙË ÁˆÓ. ÕÚ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó Ô appleïâ Ú ÛÂ Ì appleúô Ì Î È ÙËÓ appleâúèâ fiìâóë ÁˆÓ ÙÔ ÛË. 2 Λύση ) appleâè Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û, ı Ô Ó fiï Ù ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ÔapplefiÙ =, = Î È 1 = 2. ÊÔ Â Ó È 1 = 2 Î È 1 + 2 = 180Æ, ı Ô Ì 1 = 2 = 90Æ, ÔapplefiÙÂ Ë È ÔÙfiÌÔ Â Ó È Î È Ô. È ÔÙfiÌÔ Â Ó È Î È È ÌÂÛÔ, ÊÔ =. appleô Â Í Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè:  Πıâ ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓÔ: ) È ÁˆÓ  ÙË ÛË ÙÔ Â Ó È ÛÂ. ) È ÔÙfiÌÔ, ÙÔ Ô Î È Ë È ÌÂÛÔ appleô Ê ÚÔ Ì applefi ÙËÓ ÎÔÚ Ê appleúô ÙË ÛË ÙÔ Û Ìapple appleùô Ó. ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Â Ó È = = ˆ Î È =. appleô ÂÈ ıâ fiùè =. ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÙÚ ÁˆÓ, Î È apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ô Ó: ñ = applefi ÙËÓ applefiıâûë ñ = applefi ÙËÓ applefiıâûë ñ 1 = 2 ÁÈ Ù Â Ó È Î Ù ÎÔÚ Ê Ó ÁˆÓ  ÕÚ Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó ÌÈ appleïâ Ú ÛË Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ Û ٠ÙËÓ appleïâ Ú ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì. ÊÔ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ı Ô Ó Î È fiï Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ÔapplefiÙ =. 3 appleô ÂÈ ıâ fiùè Î ıâ ÛËÌÂ Ô ÙË ÌÂÛÔÎ ı ÙÔ ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ ÈÛ apple ÂÈ applefi Ù ÎÚ ÙÔ. Λύση º ÚÔ Ì ÙË ÌÂÛÔÎ ıâùô  ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ appleô ÙÔ Ù ÌÓÂÈ ÛÙÔ ˆ 1 2 1 2 1 2 ˆ 191

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 192 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô (Â) ª ÛËÌÂ Ô ª. Ó Â Ó È Ù Ô ÛËÌÂ Ô ÙË ÌÂÛÔÎ ı ÙÔ, ı appleô  ÍÔ Ì fiùè =. ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ ª, ª Î È apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ô Ó: ñ ª = ª, ÎÔÈÓ appleïâ Ú Î È ñ ª = ª, ÊÔ ÙÔ ª Â Ó È Ì ÛÔÓ ÙÔ. ÕÚ Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó Ô ÓÙ ÛÙÔÈ Â appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì. ÊÔ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ÔapplefiÙ =. Ã Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ ÙË ÌÂÛÔÎ ı ÙÔ ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ applefi ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ apple Ú ÂÈÁÌ Û ÌappleÂÚ ÓÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè: ıâ ÛËÌÂ Ô ÙË ÌÂÛÔÎ ı ÙÔ ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ ÈÛ apple ÂÈ applefi Ù ÎÚ ÙÔ. appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È ÎfiÌË fiùè ÈÛ ÂÈ Î È ÙÔ ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ, ËÏ ıâ ÛËÌÂ Ô appleô ÈÛ apple ÂÈ applefi Ù ÎÚ ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ Â Ó È ÛËÌÂ Ô ÙË ÌÂÛÔÎ ı ÙÔ ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ. 4 Λύση appleô ÂÈ ıâ fiùè Î ıâ ÛËÌÂ Ô ÙË È ÔÙfiÌÔ ÁˆÓ ÈÛ apple ÂÈ applefi ÙÈ appleïâ Ú ÙË. º ÚÓÔ Ì ÙË È ÔÙfiÌÔ z ÙË ÁˆÓ xoy Î È apple Óˆ Û y Ù Ó apple ÚÓÔ ÌÂ Ó Ù Ô ÛËÌ Ô. Ó, Â Ó È ÔÈ appleôûù ÛÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô applefi ÙÈ appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ, ı appleô  ÍÔ Ì fiùè =. z ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ, Î È A apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ô Ó: 2 1 ñ = ÎÔÈÓ appleïâ Ú Î È x ñ 1 = 2, ÊÔ Ë z Â Ó È È ÔÙfiÌÔ ÙË ÁˆÓ xoy. ÕÚ Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó ÓÙ ÛÙÔÈ ÌÈ appleïâ Ú Î È ÌÈ ÔÍ ÁˆÓ ÛË. ÊÔ Ù ÙÚ ÁˆÓ Â Ó È Û, ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ÔapplefiÙ =. Ã Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ È ÈfiÙËÙ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ ÙË È ÔÙfiÌÔ ÌÈ ÁˆÓ applefi ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ apple Ú ÂÈÁÌ Û ÌappleÂÚ ÓÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè: ıâ ÛËÌÂ Ô ÙË È ÔÙfiÌÔ ÌÈ ÁˆÓ ÈÛ apple ÂÈ applefi ÙÈ appleïâ Ú ÙË ÁˆÓ. appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È ÎfiÌË fiùè ÈÛ ÂÈ Î È ÙÔ ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ, ËÏ ıâ ÛËÌÂ Ô appleô ÈÛ apple ÂÈ applefi ÙÈ appleïâ Ú ÌÈ ÁˆÓ Â Ó È ÛËÌÂ Ô ÙË È ÔÙfiÌÔ ÙË. 192

(185-197) 7-11-06 16:44 ÂÏ 193 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 ÂÍËÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù Â Ó È Û Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Î È Ó Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÈ ÈÛfiÙËÙ =..., =... Î È =.... 2 ÂÍËÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù ÂÓ Â Ó È Û Ù ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ, Ó Î È Ô Ó Ô appleïâ Ú ÛÂ Î È ÌÈ ÁˆÓ ÛË. 6 cm 45Æ 7 cm 7 cm 45Æ 6 cm 3 ÂÍËÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù Â Ó È Û Ù ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ 70Æ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Î È Ó Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÈ ÈÛfiÙËÙ =... Î È =... 80Æ 8 cm 70Æ 80Æ 8 cm 4 5 Ú Ù ÙÔ Â ÁÔ ÙˆÓ ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ. 60Æ 45Æ ÈÙÈÔÏÔÁ ÛÂÙ ÙËÓ apple ÓÙËÛ Û. 7 cm Ó È Û Ù ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ ; ÈÙÈÔÏÔÁ ÛÂÙ ÙËÓ apple ÓÙËÛ Û. 60Æ 60Æ 45Æ 7 cm 75Æ 70Æ 50Æ 60Æ 5 cm 5 cm 60Æ 7 cm ª 70Æ 50Æ 6 ÂÍËÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù Â Ó È Û Ù ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Î È Ó Û ÌappleÏËÚÒÛÂÙ ÙÈ ÈÛfiÙËÙ =..., =... Î È =... 5 cm 7 cm 8 cm 8 cm 7 cm 5 cm 7 Ú ÎÙËÚ ÛÂÙ ÙÈ apple Ú Î Ùˆ appleúôù ÛÂÈ Ì ( ), Ó Â Ó È ÛˆÛÙ Ì ( ), Ó Â Ó È Ï Óı ÛÌ Ó : ) Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó ÙÈ ÁˆÓ  ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. ) Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó ÙÈ appleïâ Ú ÙÔ ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙÂ Â Ó È Û. Á) Â Ô ÙÚ ÁˆÓ apple Ó ÓÙÈ applefi Û appleïâ Ú Ú ÛÎÔÓÙ È Û ÁˆÓ Â. ) Â Ô Û ÙÚ ÁˆÓ apple Ó ÓÙÈ applefi Û ÁˆÓ Â Ú ÛÎÔÓÙ È Û appleïâ Ú. Â) Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ô ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙ ı Ô Ó Î È ÙËÓ ÙÚ ÙË ÙÔ ÁˆÓ ÛË. ÛÙ)Ó Ô ÙÚ ÁˆÓ Ô Ó Ô appleïâ Ú ÛÂ Ì appleúô Ì, ÙfiÙ ı Ô Ó Î È ÙËÓ ÙÚ ÙË ÙÔ appleïâ Ú ÛË. 193

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 194 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô 8 Ó È Û Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ ; ÈÙÈÔÏÔÁ ÛÂÙ ÙËÓ apple ÓÙËÛ Û. 55Æ 8 cm 8 cm 35Æ 9 Ú Ù ÙÔ Â ÁÔ ÙˆÓ ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ÈÙÈÔÏÔÁ ÛÂÙ ÙËÓ apple ÓÙËÛ Û. 50Æ 5 cm 5 cm 40Æ ª 40Æ 5 cm 10 11 ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Ô Ó Ô appleïâ Ú ÛÂ. ÂÍËÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù ÂÓ Â Ó È Û. ÈÙÈÔÏÔÁ ÛÂÙ ÁÈ Ù Â Ó È Û Ù ÔÚıÔÁÒÓÈ ÙÚ ÁˆÓ Î È. 6 cm 8 cm 4 cm 4 cm 6 cm E 8 cm Z 1 2 3 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Â Ó È = Î È =. appleô  ÍÂÙ fiùè =. y ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Ë Â Ó È È ÔÙfiÌÔ ÙË ÁˆÓ xoy. Ó = Î È Ù Ô ÛËÌÂ Ô O ÙË È ÔÙfiÌÔ, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè =. A x ÙË ÛË ÂÓfi ÈÛÔÛÎÂÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ó apple ÚÂÙ ÛËÌÂ,, ÒÛÙ =. appleô  ÍÂÙ fiùè =. y 4 ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Â Ó È = Î È =. appleô  ÍÂÙ fiùè =. x 194

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 195 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ 5 K ıâ appleïâ Ú ÙÔ ÈÛÔappleÏ ÚÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Â Ó È 8 cm. Ó Â Ó È = = = 3 cm, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ Â Ó È ÈÛfiappleÏ ÚÔ. 3 cm 3 cm 6 ÙÈ appleúôâîù ÛÂÈ ÙˆÓ ÛˆÓ appleïâ ÚÒÓ, ÂÓfi ÈÛÔÛÎÂÏÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ó apple ÚÂÙ ÓÙÈÛÙÔ ˆ ÙÌ Ì Ù =. appleô  ÍÂÙ fiùè =. 3 cm 7 8 Ó ÙÂÙÚ appleïâ ÚÔ Ë È ÁÒÓÈÔ È ÔÙÔÌ ÙÈ ÁˆÓ  ΠÈ. appleô  ÍÂÙ fiùè = Î È =. appleô  ÍÂÙ fiùè ÔÈ apple Ó ÓÙÈ appleïâ Ú ÂÓfi apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ Â Ó È ÛÂ. 9 ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Ô Ó ÙÈ È ÔÙfiÌÔ Î È ÛÂ. appleô  ÍÂÙ fiùè: ) = ) Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û. 30Æ 70Æ 70Æ 30Æ 10 ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÈÛ apple ÂÈ applefi Ù ÛËÌÂ Î È ÂÓfi Î ÎÏÔ appleô ÂÈ Î ÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌ Ô. appleô  ÍÂÙ fiùè Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û. 11 Ó, Â Ó È Ù Î ÓÙÚ ÙˆÓ Î ÎÏˆÓ ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè Ë È ÔÙÔÌ ÙË ÁˆÓ. O A 12 ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ Ô Ó ÎÔÈÓ ÛË. appleô  ÍÂÙ fiùè Ë È ÔÙÔÌ ÙÈ ÁˆÓ  ΠÈ. 195

(185-197) 3-11-06 11:29 ÂÏ 196 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô 13 14 Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È ÙÔ ÈappleÏ ÓÔ Û Ì ÙÔ ÔÈ È ÌÂÛÔÈ ª Î È ª Â Ó È ÛÂ. Ó = Î È ª = ª, ÙfiÙÂ Ó appleô-  ÍÂÙ fiùè: ) =. ) Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û. ÙÔ ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ Ô ª Â Ó È Ì ÛÔ ÙË ÛË. Ó Â Ó È =, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè: ) ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ ª Â Ó È ÈÛÔÛÎÂÏ ) Ù ÙÚ ÁˆÓ ª Î È ª Â Ó È Û. ª M E E ª 15  ÈÛÔÛÎÂÏ ÙÚ ÁˆÓÔ ( = ) Ó Ê ÚÂÙ ΠÈ. Ó Â Ó È =, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè =. M 16 17 18 19  ÙÂÙÚ appleïâ ÚÔ Â Ó È = = 90Æ Î È =. appleô  ÍÂÙ fiùè = Î È fiùè Ë Â Ó È ÌÂÛÔÎ ıâùô ÙÔ.  ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ ÁˆÓÔ ( = 90Æ) Ó Ê ÚÂÙ ÙË È ÔÙfiÌÔ. Ó, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè =. ªÈ  ıâ (Â) È Ú ÂÙ È applefi ÙÔ Ì ÛÔÓ ª ÂÓfi ÙÌ Ì ÙÔ. appleô  ÍÂÙ fiùè Ù ÛËÌÂ, ÈÛ apple Ô Ó applefi ÙËÓ Â ıâ (Â). ÙÚ ÁˆÓ Î È Ô Ó = Î È =. Ó Ù Ë ÙÔ Î È Â Ó È Û, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè: ) = ) Ù ÙÚ ÁˆÓ Î È Â Ó È Û. 20 21 Ó ÔÈ ÔÚ, ÂÓfi Î ÎÏÔ Â Ó È ÛÂ, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè Î È Ù appleôûù Ì Ù ÙÔ ª, Â Ó È Û Î È ÓÙÈÛÙÚfiʈ. ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Ë Â Ó È È ÌÂÙÚÔ ÙÔ Î ÎÏÔ. Ó ÔÈ ÔÚ Î È Â Ó È ÛÂ, Ó appleô  ÍÂÙ fiùè Î È ÔÈ ÔÚ Î È Â Ó È ÛÂ. ª 196

(185-197) 3-11-06 11:30 ÂÏ 197 1.1 πûfiùëù ÙÚÈÁÒÓˆÓ ª π ƒπ ø ª ª π ø ÀappleÔÏÔÁÈÛÌfi ÙË applefiûù ÛË ÂÓfi appleïô Ô applefi ÙË ÛÙÂÚÈ AÓ Ó appleïô Ô Ú ÛÎÂÙ È ÛÙË ı ÛË ÛÙË ı Ï ÛÛ, ÂÌ ÛÙÂÎfiÌ ÛÙ ÛÙË ı ÛË ÛÙË ÛÙÂÚÈ Î È ı ÏÔ ÌÂ Ó appleôïôá ÛÔ Ì ÙËÓ applefiûù ÛË, ÙfiÙÂ: ñ ÂÎÈÓ Ì applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô Î È appleâúapple ÙÒÓÙ apple Óˆ ÛÙËÓ apple Ú Ï Î ıâù ÛÙËÓ È Ó Ô Ì ÌÈ Ó applefiûù ÛË. ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ô ÌÂ Ó ÛËÌ È, apple.. ÛÙÂÚÂÒÓÔ ÌÂ Ó Ú Î È Û Ó ÔÓÙ apple Óˆ ÛÙËÓ È Â ıâ È Ó Ô Ì ÙËÓ applefiûù ÛË =. ñ ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÊÔ ÏÔ ÌÂ Ó ÛËÌ È, apple.. ÌÈ apple ÙÚ, Î ÓÔ Ì ÛÙÚÔÊ Î È appleâúapple ÙÒÓÙ Î ıâù ÛÙË ÛÙ Ì Ù Ì fiù Ó ÚÂıÔ ÌÂ Û Ó ÛËÌ Ô, applefi ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù ÛËÌÂ Î È Ê ÓÔÓÙ È Ó Â Ó È apple Óˆ ÛÙËÓ È Â ıâ. ËÙÔ ÌÂÓË applefiûù ÛË Â Ó È ÛË Ì ÙËÓ applefiûù ÛË ÙËÓ ÔappleÔ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÌÂÙÚ - ÛÔ ÌÂ, ÊÔ Â Ó È apple Óˆ ÛÙË ÛÙÂÚÈ. E Ë Ì ıô Ô Ù, Ï ÁÂÙ È, fiùè ÂÊ ÚÌÔÛ appleúèó applefi 2.500 ÚfiÓÈ appleâú appleô Ô Ï Ô ªÈÏ ÛÈÔ. Ò Ù Ó Û ÁÔ ÚÔ Ô Ï fiùè = ; ªappleÔÚ ÙÂ Ó ÙÔ appleô  ÍÂÙÂ; Ú Ù ÙÈ apple ÓÙ appleúôù ÛÂÈ appleô apple ÂÈÍÂ Ô Ï Î È ÛËÌÂÈÒÛÙ appleôè apple Ù ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛ ÁÈ Ó appleôïôá ÛÂÈ ÙËÓ applefiûù ÛË ÙÔ appleïô Ô applefi ÙË ÛÙÂÚÈ. 197

(198-205) 3-11-06 11:32 ÂÏ 198 1.2 fiáô  ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ Μαθαίνω πότε παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τήατα σε ια ευθεία που τις τένει. Μαθαίνω να διαιρώ ένα ευθύγραο τήα σε ν ίσα τήατα. Μαθαίνω τι ονοάζεται λόγος δύο ευθυγράων τηάτων και πώς υπολογίζεται. Mαθαίνω πότε δύο ευθύγραα τήατα είναι ανάλογα προς δύο άλλα τήατα. ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. Ú ÍÂÙ ÌÈ Â ıâ  Πıâùë ÛÙÈ ÁÚ ÌÌ ÙÔ ÙÂÙÚ Ô Û Î È Ó È appleèûùò- ÛÂÙ fiùè ÙÚÂÈ È Ô ÈÎ ÁÚ ÌÌ ÙÔ ÙÂÙÚ Ô ÔÚ Ô Ó ÛÙËÓ Â ıâ Â Û Â ı - ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù. 2. Ó Ú ÍÂÙ ÌÈ ÏÏË Â ıâ  appleô ÂÓ Â Ó È Î ıâùë ÛÙÈ ÁÚ ÌÌ ÙÔ ÙÂÙÚ Ô, ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂÈ appleúôëáô ÌÂÓÂ È Ô ÈÎ ÁÚ ÌÌ ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Î È ÛÙËÓ Â ; ÿû ÙÌ Ì Ù ÌÂÙ Í apple Ú ÏÏ ÏˆÓ Â ıâèòó ÚÓÔ Ì ÙÚÂÈ apple Ú ÏÏËÏ  ıâ   1,  2,  3 appleô   ٠ÌÓÔ Ó ÙËÓ Â ıâ  ÛÙ ÛËÌÂ,, ÓÙÈÛÙÔ ˆ,  1 1 ÙÛÈ ÒÛÙ ٠ ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù, Ó Â Ó È Û ÌÂÙ Í ÙÔ.  2 2 1 Ó ÌÈ ÏÏË Â ıâ  ٠ÌÓÂÈ ÙÈ Â 1,  2,  3 ÛÙ ÛËÌÂ,  2, ÓÙÈÛÙÔ ˆ, ÙfiÙ ı appleô  ÍÔ Ì fiùè Î È Ù 3  ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù, Â Ó È Û ÌÂÙ Í ÙÔ. Ú ÁÌ ÙÈ, Ó Ê ÚÔ Ì // Â, // Â Î È Û ÁÎÚ ÓÔ Ì ٠ÙÚ ÁˆÓ Î È apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Ô Ó: ñ = ÁÈ Ù =, = ˆ apple Ó ÓÙÈ appleïâ Ú ÙˆÓ apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ Ì̈Ó, ÓÙÈÛÙÔ ˆ Î È applefi ÙËÓ applefiıâûë Ô Ì =. ñ 2 = 2 ÁÈ Ù Â Ó È ÂÓÙfi ÂÎÙfi Î È Âapple Ù Ù Ì ÚË ÙˆÓ apple Ú ÏÏ ÏˆÓ Â 2,  3 appleô Ù ÌÓÔÓÙ È applefi ÙËÓ Â. ñ 1 = 1 ÁÈ Ù Â Ó È ÂÓÙfi ÂÎÙfi Î È Âapple Ù Ù Ì ÚË ÙˆÓ apple Ú ÏÏ ÏˆÓ, appleô Ù ÌÓÔÓÙ È applefi ÙËÓ Â. ÙÚ ÁˆÓ Ù Â Ó È Û, ÁÈ Ù Ô Ó ÌÈ appleïâ Ú ÛË Î È ÙÈ appleúôûîâ ÌÂÓ ÛÙËÓ appleïâ Ú Ù ÁˆÓ  ÛÂ Ì appleúô Ì. ÕÚ, ı Ô Ó Î È Ù applefiïôèapple ÓÙ ÛÙÔÈ ÛÙÔÈ Â ÙÔ Û, ÔapplefiÙ =. appleô Â Í ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, fiùè: Ó apple Ú ÏÏËÏ  ıâ  ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Û ÌÈ Â ıâ, ÙfiÙ ı ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Î È Û ÔappleÔÈ appleôùâ ÏÏË Â ıâ appleô ÙÈ Ù ÌÓÂÈ. 198

(198-205) 3-11-06 11:32 ÂÏ 199 1.2 fiáô  ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ È apple Ú ÂÈÁÌ, Û Ó ÙÚ apple ÈÔ ( // ) Ó applefi ÙÔ Ì ÛÔ ª ÙË Ê ÚÔ Ì  ıâ ª apple Ú ÏÏËÏË appleúô ÙÈ ÛÂÈ ÙÔ, ÙfiÙ ÔÈ apple Ú ÏÏËÏÂ, ª,, ÊÔ ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù ÛÙËÓ, ı ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Î È ÛÙËÓ. ÕÚ =. ª ÌÔ ˆ, Û Ó ÙÚ ÁˆÓÔ, Ó applefi ÙËÓ ÎÔÚ Ê Ê ÚÔ Ì  ıâ  // Î È applefi ÙÔ Ì ÛÔ ª ÙË Ê ÚÔ Ì ª //, ÙfiÙ ÔÈ apple Ú ÏÏËÏ Â, ª, ÊÔ ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù ÛÙËÓ, ı ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Î È ÛÙËÓ. ÕÚ =. appleô Â Í ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, fiùè: (Â) ª Ó applefi ÙÔ Ì ÛÔ ÌÈ appleïâ Ú ÂÓfi ÙÚÈÁÒÓÔ Ê ÚÔ Ì  ıâ apple Ú ÏÏËÏË appleúô Ì ÏÏË appleïâ Ú ÙÔ, ÙfiÙÂ Ù È Ú ÂÙ È applefi ÙÔ Ì ÛÔ ÙË ÙÚ ÙË appleïâ Ú ÙÔ. È ÚÂÛË Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ ÛÂ Ó Û ÙÌ Ì Ù Ó apple ÚÔ ÌÂ Ó Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì = 5 cm Î È ı ÏÔ ÌÂ Ó ÙÔ È ÈÚ ÛÔ Ì Û ÙÚ Û ÙÌ Ì Ù, ÙfiÙ ÙÔ Ì ÎÔ Î ıâ ÙÌ Ì ÙÔ ı Â Ó È 1,66... cm, ÔapplefiÙ Πı Ó applefi Ù ÂÓ appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È Ì ÎÚ ÂÈ. ªappleÔÚÔ Ì fiìˆ Ó È ÈÚ ÛÔ Ì ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Û ÙÚ Û ÙÌ Ì Ù Ì ÎÚ ÂÈ, Ó y ÂÚÁ ÛÙÔ Ì Ì ÙË Ô ıâè Î ÓfiÓ Î È È ÙË ˆ ÂÍ : applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô Ê ÚÔ Ì ÌÈ Ù ËÌÈ ıâ x Î È apple Óˆ Û Ù Ó apple ÚÓÔ Ì Ì ÙÔ È ÙË ÙÚ È Ô ÈÎ Û Â ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù,,. ÓÒÓÔ Ì ٠ÛËÌÂ, Î È applefi Ù ÛËÌÂ,, x Ê ÚÓÔ ÌÂ,, y apple Ú ÏÏËÏ appleúô ÙË. È apple Ú ÏÏËÏ ٠ÔÚ Ô Ó ÛÙËÓ x Û ÙÌ Ì Ù, ÔapplefiÙ ı ÔÚ Ô Ó Û ÙÌ Ì Ù Î È ÛÙËÓ. ÕÚ Ô Ì = =. ªÂ ÙÔÓ ÈÔ ÙÚfiappleÔ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó È ÈÚ ÛÔ Ì ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ Û 4, 5, 6,..., Ó Û ÙÌ Ì Ù. H ÓÓÔÈ ÙÔ ÏfiÁÔ Ô Â ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ ñ Ó Ô ÌÂ Ó Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Î È Û ÌÈ Â ıâ  apple ÚÔ Ì ٠ÛÛÂÚ È Ô- ÈÎ Â ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù appleô ÙÔ Î ı Ó Â Ó È ÛÔ ÌÂ, ÙfiÙ Π٠ÛÎÂ Ô Ì ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì, ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô Ï Ì fiùè Â Ó È ÛÔ Ì 4 Î È ÁÚ ÊÔ Ì = 4. ÈÛfiÙËÙ Ù ÁÚ ÊÂÙ È Î È ˆ ÂÍ : = 4. 199

(198-205) 3-11-06 11:33 ÂÏ 200 M ÚÔ - ÂÊ Ï ÈÔ 1Ô ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ï Ì fiùè Ô ÏfiÁÔ ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ appleúô ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Â Ó È Ô ÚÈıÌfi 4. 4 A (Â) ñ Ó È ÈÚ ÛÔ ÌÂ Ó Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Û ÙÚ Û Â ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù,, 1, ÙfiÙÂ Ï Ì fiùè ÙÔ ÙÌ Ì Â Ó È ÛÔ Ì 3 Î È ÁÚ ÊÔ ÌÂ: 1 1 = =. 3 3 Ì ÎfiÌË fiùè: 2 2 = =. 3 3 ËÏ Ô ÏfiÁÔ ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ appleúô ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Â Ó È 1, 3 ÂÓÒ Ô ÏfiÁÔ ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ appleúô ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Â Ó È 2. 3 ÌappleÂÚ ÓÔ ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, fiùè: ÏfiÁÔ ÂÓfi  ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ appleúô ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Û Ì ÔÏ ÂÙ È Î È Â Ó È Ô ÚÈıÌfi Ï, ÁÈ ÙÔÓ ÔappleÔ Ô ÈÛ ÂÈ = Ï. ñ Ó apple ÚÔ Ì ٠ ı ÁÚ ÌÌ ÙÌ Ì Ù = 3 cm 3 cm Î È = 6 cm, ÙfiÙ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó È appleèûùò- ÛÔ Ì fiùè Ô ÏfiÁÔ ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ 1 appleúô ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì Â Ó È, 2 6 cm 3 cm 1 ËÏ Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ = 6 cm 2 Γενικά ÏfiÁÔ Ô Â ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ, ÂÊfiÛÔÓ Ô Ó ÌÂÙÚËı Ì ÙËÓ È ÌÔÓ Ì ÙÚËÛË. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ó Ô Ì = 120 cm Î È ZH = 1,5 m, ÙfiÙ 120 cm 120 cm 4 = = = 1,5 m 150 cm 5 Ú ÙËÚÔ ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, fiùè Ô ÏfiÁÔ Ô Â ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ Â Ó È Ó ÚÈıÌfi appleô ÂÎÊÚ ÂÈ ÙË Û ÛË appleô Û Ó ÂÈ Ù Ì ÎË ÙÔ. Ó ÁÓˆÚ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ ÙÔ ÏfiÁÔ Ô Â ı ÁÚ ÌÌˆÓ ÙÌËÌ ÙˆÓ apple.. = 2, Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ Ì ÎÔ ÙÔ Â Ó È ÈappleÏ ÛÈÔ applefi ÙÔ Ì ÎÔ ÙÔ, ÏÏ Â ÁÓˆÚ Ô Ì ÙÔ Ì ÎÔ Î ıâ ÙÌ Ì ÙÔ, ÊÔ Â Ó È Ó Ùfi Ó Â Ó È = 80 cm Î È = 40 cm = 18 cm Î È = 9 cm Î.Ù.Ï. 200