Đáp án chuyên đề: Khoảng cách - ình học 11 64 O O a o O ( O O O O O Lại có O = O và là trung điểm của nên O Vậy O là đoạn vuông góc chung của O và a O = = b Gọi J là trung điểm của O thì mặt phẳng ( J chứa và song song với O ạ O J, J J O Ta có J ( O J O vì vậy O ( O O J Từ kẻ đường thẳng song song với ( J cắt tại E, từ E kẻ đường thẳng song song với O cắt O tại F thì EF là đoạn vuông góc chunh của và O 1 1 1 5 a 5 Trong tam giác OJ có = + = O = O O OJ a 5 a 5 Vậy EF = O = 5 65 Gọi là trung điểm của o tam giác đều nên, mặt khác ( ( ( do đó hạ tại thì ( Vậy d(, ( = a 3 a 6 Ta có =, = suy ra 1 1 1 1 1 = + = + a 3 a 6 = a a = J O E F Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
ay d(, ( a = 66 hứng minh được,, đôi một vuông góc, từ đó tính được ( ( 6 34 d, = 17 67 Gọi O là trung điểm của P Q Δ = P Q, mà Ta có ( ( và ( ( Δ ( Q Δ vuông tại O = O = O Tương tự Δ vuông tại O = O = O Vậy O = O = O = O ạ thì ( 68 Gọi là hình chiếu của trên ( ạ, do đó d(, ( Xét hai tam giác vuông và có chung, nên Δ = Δ = = do đó là đường phân giác góc của tam giác Ta có = cos6 = c c 3 = = = cos 3 3 3 c c a 6 = = c = 3 3 Vậy d(, ( c 6 = 3 Q P O a = = = = 6 Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
69 Kẻ,, ta có ( Kẻ thì ( Vậy d(, ( = Ta có = 6, = sin 6 = a = a 3 1 1 1 1 1 = + = + 3a a 3 ( ( 3 4 3a = = 9a 3a Vậy d(, ( = 7 Gọi là trung điểm của ' ; ta có ' ' ( ( ( d( ', ( d,' do đó = ặt khác là trung điểm của ' nên d( ', ( = d(, ( Kẻ thì ( ( nên d(, ( = Ta có 1 = 1 + 1 1 1 1 7 = + + = a a 7 7 ách Kẻ,kẻ = Vậy d(, ' thì ( ' a 7 = 7 ' 1, kẻ K thì K ( ' ' ' Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
Xét phép chiếu vuông góc lên ( ' thì ta có 'K là hình chiếu của ' trên ( ' nên d(,' = d(,'k ạ 'K, 'K, ta có 1 1 1 5 a 5 = + = a = 5 ễ thấy a 5 K = và 5 a 14 'K = K + ' = + a = a 5 5 Ta có ΔK K ΔK' = ' 'K K' a 5 5 a 7 = a 'K = 5 a 14 = 7 a 7 Vậy d(, ' = 7 71 Gọi là trung điểm của, thế thì = = = nên Δ vuông tại ( 1 Lại có ( ( Từ ( ( 1, suy ra (, hay tam giác vuông tại Gọi d,d lần lượt là khoảng 1 cách từ, đến ( Ta có d d = = = = 3 1 d = d 1 3 Kẻ F thì dễ thấy F ( Gọi E = E ', kẻ K F,K EF thì d1 K ' F = K K ' Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
K E 1 1 Ta có = = K = F F E ặt khác,trong tam giác vuông ta có 1 1 1 1 1 1 = + = + = F = a F a a a a a a a K = d = d = = 1 3 3 a Vậy d(, ( = d = 3 Lưu ý: ó thể tính khoảng cách từ đến ( theo cách khác như sau: Gọi E =,K = E ễ thấy là trung điểm của E và = nên là trọng 3 tâm của tam giác E Ta có ( ( ( ( d, K 1 d, = K = 3 Tứ diện E có,e, đôi một vuông góc nên K 1 1 1 1 E ( ( 1 1 1 1 = + + = 4a 4a a a d, = + + a d(, ( = a d(, ( = 3 E Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
7 Gọi E là trung điểm của, ta có E ( E o đó K E thì ( E ( K ( K = b K K Ta có ΔK ΔE = E EK = (*, mà K a E =,K = b,k = K = b 4 nên K E ( a ab * = b = b 4 a 16b Vậy = ab a 16b 73 a Gọi = O ( ( ( ( d O, O 1 = = d, Tam giác đều nên mà ặt khác, kẻ do đó ( J,J J ( d(, ( = J a 3 Ta có =, trong tam giác có 1 1 1 = + J 1 1 4 1 7 = + = + = a 3 a 3a a 3a K F E J O ( ( ( ( J = a 3 = a 1 d O, = 1 d, = a 1 7 7 14 Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
b Ta có = ( nên ( ( ( ( d, d, = = Gọi E,F lần lượt là trung điểm của,e thì F Vậy ( F ( ( F K ( nên d(, ( = K E a 3 1 1 1 16 1 19 Ta có F = = = + = + = 4 K F 3a a 3a ( ( ( ( K = a 3 d, d, a 57 19 = = 19 Vậy d(, ( a 57 = 19 74 Gọi O,O' lần lượt là trung điểm của,'', = OO' o ' ' ( ( ( d( ', ( ( ( ( d ', = = d ', 1 ặt khác là trung điểm của ' nên ( ( ( ( ( d ', = d, Ta có ( ( ( ( d, ( = = = 3 d O, O ( E F F E, do đó kẻ K F thì ễ thấy tứ diện O có O,O,O đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 ( 4 d O, = O + O + O ( ( ' O O' ' ' Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
a a a 3 ễ thấy O =,O = =,O = nên 4 1 1 1 1 4 4 16 64 = + + = + + = d ( O, ( a 3 a a 3a a a 3a 4 a 3 ( ( ( d O, = 5 8 Từ ( 1,(,( 3,( 4,( 5 ta có d( ', 75 a Ta có O ( = nên ( ( ( ( a 3 = 4 d, 1 d O, = O = ặt khác dễ thấy tứ diện O có các cạnh O,O,O đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 d O, = O + O + O ( ( = + + = d( O, ( 1 1 19 1 4 3 1 ( ( 4 3 d, = 19 3 = 19 b Ta có ( là mặt phẳng chứa và song song với vì vậy ( = ( ( = ( ( d, d, d, Tương tự như câu a ta có ( ( d( O, ( d, = mà 3 4 3 ( ( = d(, ( =, hay d(, d O, 19 19 76 Gọi, lần lượt là trung điểm của và ( 4 3 = 19 Xét hai tam giác và có chung =, = nên Δ = Δ, mà là trung điểm của nên Lí lưaanj tương tự ta cũng có O Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
Vậy là đường vuông góc chung của và =, do đó d(, Ta có ( + b + c a = = 4 4 ( b + c a a = = 4 4 a b = b + c a b + c a =, hay b + c a d(, = Tính tương tự ta có : a + c b d, 77 Gọi P là trung điểm của ( =, d(, Ta có P là đường trung bình của ΔE P P o đó P = nên P là hình bình hành P ặt khác là hình chóp đều nên dễ dàng chứng minh được ( P Vậy P P Ta có ( là mặt phẳng chứa và song song với nên ( = d(, ( d, = a + b c E P b c c a ( ( = 1 d, = a 4 Vậy d(, a = 4 Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
78 Kẻ Ta có ( Lại có ( Vậy d(, ( = Ta có ( (, ( = = 6 = tan6 = a 3 a 3 a = + = a + = 3 3 ễ thấy Δ Δ nên a 3 a 3 3 3 a 3 = = = = a 3 a a = + = + = a 3 = = 4a 3a = a Vậy d(, ( 3 3 = a 79 Ta có ( Gọi là hình chiếu của trên thì là đoạn vuông góc chung = của và nên d(, Tứ giác nội tiếp nên = = a a a = = = + a 5 + a 4 3 Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
a 4a a Ta có = = a = = 5 5 5 Tam giác vuông tại và có đường cao nên 1 = 1 + 1 1 1 1 5 19 3a = + = + = = ( a 3 a 3a 4a 1a 19 5 Vậy d(, a 57 = 19 8 Áp dụng định lí cô sin ta có 1 = + cos = a + 4a aa = 7a = a 7 Ta có = + = a 3,' = + ' = a 1 ' = ' + ' = 3a, từ đó ta có + ' = 1a = ' nên tam giác ' vuông tại hay ' Kẻ tại Gọi ' =, ta có ( Ta có = = 4a, do đó ( ( ( ( d, ' ' = nên d, ' = a a 9a = cos6 = nên = + = + 4a =, Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ( ( ( d, ' 4a 8 = = d, ' 9a 9 '' ' ễ thấy ( ', vậy ' ( ' ( ( ' = nên kẻ K thì K ( ' Vậy d(, ( ' Ta có = K ' ' K ' 5a a 5 3a 5 = + = + = 1 1 1 4 4 64 3a 5 = + = + = K = K 3a 45a 45a 8 o đó ( ( 8 3a 5 a 5 d, ' = = 9 8 3 Lưu ý: ó thể sử dụng được khoảng cách từ đến ( ' ( ( ( ( d, ' d, ' = dựng như hình vẽ cũng tính ' ' 81 ' Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
a Ta có Tương tự ( ' ' ( '' ( ( ( ( = ' ' = ' ' ' '' ', do đó ' là hình bình hành ' ' '' nên ễ thấy ' ( mà ( ' b Gọi O là tâm của hình hộp và là tâm của mặt bên '' thì O Trong Ta có ( ( '' đường thẳng đi qua điểm O cố định và điểm nhìn đoạn O dưới một góc vuông nên thuộc đường tròn đường kính O ' ζ, ' ζ ζ là đường Gọi = 1 ( = ( với ( tròn đường kính O trong ( '' Từ đó ta lập luận được tập hợp các điểm là cung tròn 1 8 a Đặt O = b,o = c thì b + c = 1 + + O O O 1 1 1 = OO + OO + OO 1 1 1 1 = ( b + c + bc = + bc Gọi là hình chiếu của O trên và là hình chiếu của O trên ( Ta có 1 = 1 + 1 = 1 + 1 O O O b c b + c b c = = b c b + c o đó O ( ( b + c bc + b c b c b + c + b c b + c b + c b + c = O + O = + 1 = = 1 bc 1 bc = = b + c b + c ( do bc 1 ' α β ' O O γ ' ' Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
1 1 1 bc 1 = = b + c = ( 1 bc b + c 1 1 1 Vậy + + + = + bc + O O O ( 1 bc = 1 không đổi b Đặt α = O,β =, γ = O + Áp dụng định lí ôsin cho tam giác ta có cosβ = ( O + O + O + O O + O O = = O( O O OO OO = = = cosαcosγ sinαsin γ = cos α + γ α + β + γ = 18 Vậy 83 Tam giác vuông tại và O + + O = 18 = = a = a Gọi là trung điểm của thì ' ( ' ' ( 1 ễ thấy '' là hình vuông nên α ' ' ( Từ ( 1,( suy ra ( chính là mặt phẳng đi qua song song với và ' ( α ( Ta có ( α ( ( α ( =, Tương tự ( α ( ' ' = P ',P ' Gọi K =,Q = PK ' Thiết diện là tứ giác PQ ( KP K KP = = 1 1 td KP KQ KQ = KQ K KQ KQ K K 3 o là trung điểm của và K nên = = = K KP K Tương tự Q ' = = = 3 KQ K ' K Q ' ' P Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
1 1 3a a Q = = =, 3 3 4 4 nên ( OOK ( OKOQ ( OQO KQ Từ đó ta có 1 a K = = Tứ diện KQ vuông tại 1 a = + + = 8 td 7a = 16 hú ý: ó thể dùng phép chiếu vuông góc lên mp ( tích thiết diện PQ 84 Gọi K = ( α ( ( ( α ( α ( = Q,Q Tương tự ( α ( = P,P ( α ( = K, Thiết diện là ngũ giác PQ ễ thấy KQ và KP là hai hình thang vuông có diện tích bằng nhau, do đó 1 b = td ( Q + K K Ta có Q = =, để tính diện Q K P trong Δ có 1 1 a K = = = 4 4 5ab Từ đó ta có = td 16 3 K K 4 3 3 3b = = = K = =, 4 4 4 85 a o ' ' nên (,' ' = (, = = 45 Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
b Ta có ' ' nên (,' = (, ' = ' ễ thấy tam giác ' đều nên ' 6 c Ta có nên = (,P = (,P = P ễ thấy a 5 3a = a,p =,p = + P P cosp = P o đó 9a 5a a + 4 4 1 = = 3a a P = 45 Vậy (,p = 45 86 Gọi F là trung điểm của 1 thì EF =, do đó (,E = ( EF,E = EF Ta có 1 1 3a 6a EF = = = Trong tam giác E ta có ( E = + E = a + a = 3a 15a Trong tam giác F ta có E = + F = + + F = E + EF F 1 o đó cosef = = EF = 135 EEF E F Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
(,E = 45 87 a Đặt x =,y = và = a Áp dụng định lí cô sin ta có x O + O coso = OO a b x + + y + ( x + y a 4xy = = OO OO O o và nên, do đó = + = + + ( x + y = x + y + a xy = a a coso = Vậy tam giác O tù OO b Kẻ O, Ta chứng minh O = Thật vậy, giả sử y O O Khi đó xét các tam giác O,O ta có và xét các tam giác O và O ta có, suy ra + (mâu thuẫn giả thiết Tương tự O O cũng mâu thuẫn giả thiết Vậy O = O, hay O = không đổi Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
88 a Tam giác cân tại có là trung điểm của nên Tương tự ( J o vai trò bình đẳng giữa và nên J Vậy J là đường vuông góc chung của và b ựng hình thang '' sao cho,j lần lượt là trung điểm của hai đáy '', và ' =,' = Ta thấy với điểm tùy ý trên J thì = ', = ' nên + + + = ' + + + ' = ( ' + + ( ' + ' + ' Đẳng thức xảy ra khi = ' ' c b Ta có J = J = J = a 4 4 ' ' K J a b c J = + '' bc bc ' = + J = a + ' = a + Vậy min( + + + = ' = 4a + bc 89 là trọng tâm của tam giác Gọi T là giao điểm của ' với '', E,F lần lượt là các giao điểm của và ; và ễ thấy,t,e thẳng hàng ( thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng ( và ( o là trực tâm của tam giác ''' nên 'T '', mặt khác theo giả thiết và nên '' 'T '' T ( '' ; do đó ( Ta có 'T + 'T = 9 và 'T + ' T = 9 ' T = 'T ( 1 ặt khác tứ giác '' là tứ giác nội tiếp nên 'T = ' ( Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
Từ ( 1 và ( suy ra tam giác E cân tại E E = E, mà tam giác vuông tại suy ra E = E = E, thế thì E là trung tuyến của tam giác Tương tự ta cũng chứng minh được F là trung tuyến của tam giác, vì vậy là trọng tâm của tam giác hứng minh + P + Q = 3 Rõ ràng cắt các mặt (,(,( tại nên đường thẳng qua cùng phương với chắc chắn căt các mặt (,(,( Gọi X,Y,Z lần lượt là các giao điểm của với các cạnh,, ( Lưu ý là nếu song song với một cạnh nào đó của tam giác thì ta vẫn dễ dàng dựng được các giao điểm của đường thẳng Δ với các mặt các mặt phẳng (,(,( Ta có,p,q theo thứ tự là các giao điểm của X,Z,Y với Δ X R 3 Δ Δ Kẻ R, thì = = = = ( do là trọng tâm của X 1 tam giác nên = Δ Δ 3 oàn toàn tương tự ta có P 3 3 Δ Q Δ =, = Δ Δ o đó P Q + + 3 3 3 Δ Δ Δ = + + = 3 Δ Δ Δ + P + Q = 3 Theo ĐT au chy ta có 1 1 1 T = + + P Q 1 1 1 1 3 + + P Q X Δ P Δ ' Q Y F R ' T ' E Z Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/
1 81 7 3 = = 3 ( + P + Q ( 3 Đẳng thức xảy ra khi ( khi đó,p,q 3 Vậy mint = khi trùng với trọng tâm của tam giác Group: https://wwwfacebookcom/groups/tailieutieuhocvathcs/