BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 Ở VIỆT NAM LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 Ở VIỆT NAM Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS: Đoàn Hữu Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, người đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Long Khánh tỉnh Đồng Nai, Trường Trung học thực hành ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN MINH PHONG

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GDPT SGK SBT SGV TCTH THPT THCS VTPT mp : giáo dục phổ thông : Sách giáo khoa : Sách bài tập : Sách giáo viên : Tổ chức toán học : Trung học phổ thông : Trung học cơ sở : vectơ pháp tuyến : mặt phẳng

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 1... 40 Bảng 2: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 2... 41 Bảng.3: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 3... 43 Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 4... 45 Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 5... 47 Bảng 5: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 6... 49 Bảng 6: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 7... 52 Bảng 7: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 8... 54 Bảng 8: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 1... 62 Bảng 9: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 2... 63 Bảng 10: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 3... 64

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU... 1 I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát... 1 II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu... 2 III. Khung lí thuyết tham chiếu... 3 1. Thuyết nhân học sư phạm... 3 2. Hợp đồng didactic... 5 IV. Phương pháp nghiên cứu... 6 V. Tổ chức của luận văn... 7 CHƯƠNG I:... 8 MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH... 8 I. Hình học giải tích thời cổ đại... 8 1. Apollonius (262-190 TCN)... 8 2. Kết luận... 9 II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18... 10 1. Rene Descartes (1596-1650)... 10 2. Pierre de Fermat (1601-1665)... 14 3. Kết luận... 15 III. Những phát minh sau Descartes và Fermat... 15 1. Tóm tắt sự phát triển... 15 2. Kết luận... 16 CHƯƠNG 2 :... 17 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO... 17 I. Mục đích phân tích... 17 II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK ở Việt Nam... 18 1. Giai đoạn chuẩn bị... 18

1.1 Khái niệm tọa độ điểm... 18 1.2 Khái niệm đồ thị hàm số... 19 1.3 Một số quan hệ hình học... 21 Kết luận... 23 2. Giai đoạn tường minh... 23 2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm... 25 2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng... 26 2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng... 29 2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu... 30 2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau... 31 2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm... 33 2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng... 35 2.8 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng... 37 3. Các tổ chức toán học... 38 3.1) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : xác định tọa độ của điểm... 38 3.2) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 2 : viết phương trình mặt phẳng.. 41 3.3) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 3 : Viết phương trình đường thẳng... 43 3.4) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau... 45 3.5) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : xét tính đồng phẳng của bốn điểm A,B,C,D:... 46 3.6) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng... 48 3.7) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : xét vị trí tương đối của hai đường thẳng... 49 3.8) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH... 53 III. Kết luận... 54 CHƯƠNG 3... 57 THỰC NGHIỆM... 57 I. Mục đích thực nghiệm... 57

II. Các câu hỏi thực nghiệm... 57 III. Phân tích a priori... 58 Câu 1:... 58 Câu 2:... 59 Câu 3:... 60 IV. Phân tích a posteriori... 61 V. Kết luận... 65 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN... 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO... 70

PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát - Trong lịch sử phát triển của toán học, xu hướng đại số hóa hình học bắt đầu được vài thế kỉ (thế kỉ XVII-XVIII) do Rene Descartes và Pierre Fermat đặt nền móng, và đang là xu hướng chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán hình học. Tuy nhiên, hình học được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp có từ rất lâu trong lịch sử phát triển của toán học, từ thời Euclide đã có nền tảng khá vững chắc. Vậy các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng trên cơ sở hai phương pháp này có liên hệ với nhau như thế nào? Việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết bài toán HHGT và ngược lại thể hiện như thế nào? - Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian, chương trình toán phổ thông và sách giáo viên hình học 12 đã yêu cầu học sinh: Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng biết điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng ([10], tr 189) Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của HHTH như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Rõ ràng để đạt được những mục tiêu chương trình yêu cầu thì học sinh cần vận dụng được các kiến thức của HHTH để hiểu và để giải toán HHGT. Vấn đề đặt ra ở đây sẽ là: liệu trình bày của SGK hiện hành có tạo điều kiện để học sinh vận dụng các kiến thức HHTH đã học? Theo hướng ngược lại, chúng ta nhận thấy yêu cầu của SGV hình học 12 đối với học sinh như sau: Biết biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng của ba vectơ, quan hệ song song, quan hệ vuông góc

Giải được một số bài toán của hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ([9], trang 66). Muốn làm được điều này, học sinh phải nắm vững mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của hình học tổng hợp với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của hình học giải tích sau khi đã đặt hình vẽ vào một hệ trục tọa độ thích hợp. Như vậy vấn đề đặt ra ở đây sẽ là liệu cách trình bày của SGK hiện hành có làm cho học sinh nắm được mối liên hệ này hay không? Có giúp học sinh lựa chọn một hệ trục tọa độ thích hợp với bài toán đã cho không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau: Q1 ) Các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng bằng phương pháp tổng hợp và phương pháp giải tích có mối liên hệ với nhau như thế nào? Q2 ) Liệu cách trình bày của các SGK hiện hành có làm cho học sinh thấy được mối liên hệ đó? Q3 ) Liệu học sinh có vận dụng được mối liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ hình học giữa HHTH và HHGT để giải quyết một bài toán hình học không? II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu - Do thời gian giới hạn, luận văn này chỉ thực hiện nghiên cứu mối liên hệ giữa HHTH và HHGT trong phạm vi hình học lớp 12 chương trình hiện hành. Cụ thể mối liên hệ được đề cập ở đây là mối liên hệ giữa kiến thức về các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được đề cập trong chương phương pháp tọa độ trong không gian, sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12. - Chúng tôi lựa chọn bộ sách hình học 12 nâng cao để phân tích vì chúng tôi nhận thấy trong bộ sách này, một số khái niệm hình học, quan hệ hình học như sự đồng phẳng của bốn điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được đề cập tường minh hơn so với bộ sách hình học 12 chương trình cơ bản.

III. Khung lí thuyết tham chiếu - Để trả lời những câu hỏi đặt ra, tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán, cụ thể tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của thuyết nhân học sư phạm ( quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng O, tổ chức toán học (praxéologie)) và khái niệm hợp đồng didactic. Sau đây, chúng tôi sẽ cố gắng giải thích sự thỏa đáng trong việc chọn khung lí thuyết tham chiếu: 1. Thuyết nhân học sư phạm Quan hệ cá nhân với một đối tượng - Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O. - Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết. - Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. Quan hệ thể chế với một đối tượng - Một đối tượng O không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. - Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy.

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. - Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). - Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện công việc đó: Tổ chức toán học - Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. - Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ,θ, Θ ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lí thuyết giải thích cho θ, nghĩa là công nghệ của công nghệ θ. - Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên. (Bosh và Chervarlard, 1999, tr 85) Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học hình học 12 ở Việt Nam với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT, đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra.

2. Hợp đồng didactic - Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy-học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. - Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. - Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau: - Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách: Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được. Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đơi ở học sinh. - Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách: Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức. Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK. - Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các khái niệm hình học, quan hệ hình học trong hình học tổng hợp và

hình học giải tích sẽ cho phép chúng tôi giải mã các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 3 đã đặt ra ở trên. - Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khái niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng. - Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể được trình bày lại như sau: Q1) Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT thể hiện như thế nào? Q2) Mối liên hệ này được thể chế dạy học hình học lớp 12 chương trình nâng cao đề cập như thế nào? Q3) Quan hệ của thể chế với đối tượng đang xét (mối liên hệ giữa HHTH và HHGT) ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng này như thế nào? IV. Phương pháp nghiên cứu Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tôi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên cứu của mình như sau: - Phân tích lịch sử phát triển của HHGT nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT trong lịch sử. Nghiên cứu này đồng thời là một tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện phía sau. - Phân tích chương trình và SGK Hình học 12 nâng cao, phân tích này cho phép làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng cần nghiên cứu. - Tổng hợp kết quả hai phân tích trên để đề ra một số giả thuyết nghiên cứu. - Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết nghiên cứu đã rút ra. Có thể tóm tắt phương pháp nghiên cứu bằng sơ đồ sau:

Nghiên cứu lịch sử phát triển của hình học giải tích Tham chiếu Nghiên cứu chương trình, SGK hình học nâng cao lớp 12 Cơ sở đề xuất Thực nghiệm Kiểm chứng Giả thuyết nghiên cứu V. Tổ chức của luận văn Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau: - Chương 1: Một vài nét về mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong lịch sử phát triển của toán học. - Chương 2: Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK hình học 12 nâng cao. - Chương 3: Thực nghiệm.

CHƯƠNG I: MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH I. Hình học giải tích thời cổ đại 1. Apollonius (262-190 TCN) - Apollonius đã lập được phương trình (thật ra là các đẳng thức về các đoạn thẳng tỉ lệ) của parabol, elip, hyperbol, mà nếu phát biểu bằng ngôn ngữ đại số hiện đại thì các phương trình ấy có dạng như sau: p p y = 2 px; y = 2 px x ; y = 2px + x a a 2 2 2 2 2 - Ta xét cách mà Apollonius lập phương trình của parabol để thấy rõ hơn cách làm của ông: ông xét một hình nón nghiêng 1 đỉnh A, đáy là đường tròn đường kính BC. Từ một điểm P trên cạnh AB, ông dựng một mặt phẳng cắt đáy theo dây cung ED vuông góc với đường kính BC 2. Giao tuyến của hình nón với mặt phẳng này là parabol EPD (xem hình vẽ). Gọi Q là một điểm bất kì trên parabol đó. Dựng một mặt phẳng qua Q song song với đáy, cắt hình nón theo đường tròn HQK. Trong đường tròn HQK, ta có QV 2 = HV. VK Mà hai tam giác HVP và BCA đồng dạng nên HV VP VP. BC = HV = BC AC AC PA BA PA. BC Mà PV//AC nên = VK = VK BC BA Như vậy, Apollonius suy ra 2 QV 2 PV PA. BC =. AB. AC 1 Là hình nón có hình chiếu của đỉnh xuống đáy không trùng với tâm đường tròn đáy. 2 Theo định nghĩa parabol, mặt phẳng này song song với AC.

Điều này có nghĩa là QV 2 bằng tích của PV với một số không đổi, hay như chúng ta biết theo kí hiệu hiện đại là y 2 = 2 px. - Sau khi có được phương trình của các cônic, Apollonius đã phân loại các cônic theo phương trình của chúng. - Xét về bản chất, Apollonius đã lập phương trình của các cônic bằng cách đưa một hệ trục tọa độ xiên góc vào cônic. Một trục ông thường chọn là trục đối xứng của cônic ấy. Với trục này ông xác định được hoành độ của điểm trên cônic, còn tung độ của điểm đó là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu xiên góc của nó lên trục hoành. - Như vậy, trong hình học giải tích mà Apollonius xây dựng, các khái niệm hình học, cụ thể là khái niệm cônic, Apollonius định nghĩa cônic là giao tuyến của mặt nón tròn xoay với mặt phẳng, tức là các khái niệm hình học hoàn toàn đồng nhất với các khái niệm của HHTH. Về các quan hệ hình học, hầu hết chúng vẫn đồng nhất với các quan hệ hình học của HHTH, tuy nhiên một vài quan hệ đã ngầm ẩn chuyển sang quan hệ đại số dưới dạng tỉ số của các đoạn thẳng dựa trên đặc trưng của đoạn thẳng là độ dài của chúng. 2. Kết luận - Mặc dù ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cônic dựa theo phương trình của chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic) được định nghĩa là giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học đơn giản như quan hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vuông góc trong hình học giải tích mà ông xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặc chẽ, thậm chí là đồng nhất giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ hình học của HHTH. Một vài quan hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi HHGT dựa trên đặc trưng độ dài, diện tích của chúng. Do vậy, HHGT ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý tưởng, mầm móng: các bài giải của HHGT hầu như đồng nhất với lời giải của HHTH, kiến thức HHTH được vận dụng triệt để, phổ biến để giải quyết vấn đề của HHGT.

II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 1. Rene Descartes (1596-1650) - Cách giải một bài toán hình học của Descartes là dịch nó sang ngôn ngữ các phương trình đại số, biến đổi chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi dùng các phép dựng hình học để giải chúng, bằng cách sử dụng tương ứng mà ông đã thiết lập giữa các phép toán đại số và phép dựng hình học (theo [5], tr 35). - Bài toán gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ là bài toán Pappus 3, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: Cho 2n (hoặc 2n-1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho tỉ số của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới n (hoặc n-1) đường thẳng còn lại là một số không đổi - Đây là một bài toán rất khó của hình học, trong lịch sử gần hơn một ngàn năm trăm năm xuất hiện của nó, cho tới thời của Descartes, chỉ có một số bài giải của các trường hợp đặc biệt trong trường hợp ba, hoặc bốn đường thẳng. Ta xét cách làm của Descartes 4 trong trường hợp bốn đường thẳng và không có bất kì hai đường nào trong số đó song song với nhau: - Gọi điểm cần tìm là C. Gọi các đoạn thẳng dựng được từ C xuống bốn đường thẳng đã cho là CB, CD, CF, CH. Chọn một trong bốn đường thẳng làm gốc, ba đường thẳng còn lại cắt đường thẳng gốc tại A,E,G. Đặt AB=x, BC=y. Ba đường thẳng còn lại cắt BC tại R,S,T. (hình vẽ) T S R E A B G H F C D 3 Papus 290-350, một nhà toán học Hi Lạp, có công sưu tầm và phát triển các công trình toán học của các nhà toán học cổ đại. 4 Lời giải này được dịch từ cuốn the geometry of Rene Descartes

Vì các góc của tam giác ARB đã biết nên tỉ số giữa cạnh AB và BR hoàn toàn xác định. Đặt AB = z, mà AB = x nên BR b thì Vì B nằm giữa C và R nên bx CR = y hoặc C nằm giữa B,R thì z bx BR =. z bx CR = CB + BR = y + (còn nếu R nằm giữa B,C z bx CR = y ) z Lại có: ba góc của tam giác DRC đã biết, do đó tỉ số giữa cạnh CR và CD cũng xác định. Gọi CR = z 5 và vì CD c đặt AE bx cy bx CR = y + nên CD = +. 2 z z z Vì các đường thẳng AB, AD, EF cố định nên độ dài đoạn AE đã biết. Nếu = k thì EB = k + x (hoặc EB = k x khi B nằm giữa A,E và EB = x k khi E nằm giữa A,B). Vì các góc tam giác ESB đã biết nên tỉ số của BE và BS đã biết. Gọi tỉ số này là z d thì dk + dx zy + dk + dx BS = và CS = (nếu S nằm giữa B,C thì z z zy dk dx zy + dk + dx CS =, còn nếu C nằm giữa B,S thì CS = ). z z Tương tự, các góc của tam giác FSC đã biết nên tỉ số CS = z. Do đó CF e ezy + dek + dex CF =. Mà độ dài AG = l cố định và BG = l x. Trong tam giác 2 z BGT, ta đặt BG z fl fx zy + fl fx = thì BT = và CT =. Và trong tam giác BT f z z TCH, tỉ số TC HC z gzy + fgl fgx = đã biết, từ đó CH = 2 g z Khi đã có các đoạn thẳng cần tìm, dựa vào giả thiết và rút gọn, Descartes tìm thấy quĩ tích điểm C là phương trình có dạng như sau: p m n z 2 2 y = x + ox+ m x+ m 5 Mọi tỉ số khác 0 đều có thể viết chung tử số.

Dựa vào kết quả của Apollonius trong giao tuyến cônic, Descartes chứng tỏ đây là phương trình của một cônic, và trong trường hợp đặc biệt đó là phương trình của một đường thẳng. Ở đây ta cũng nhận thấy rõ ràng: vấn đề của Descartes là vận dụng phương pháp HHGT để giải quyết bài toán HHTH. Tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng cho nó nên việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết là phổ biến: trong phương pháp mới mà Descartes xây dựng, lời giải của ông hoàn toàn phụ thuộc vào hình vẽ. Như vậy đối với Descartes, các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là đường thẳng), các quan hệ hình học (như quan hệ điểm nằm giữa hai điểm khác) vẫn thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của hình học tổng hợp, tuy nhiên các quan hệ hình học này đã dần chuyển sang quan hệ đại số dựa trên đặc trưng số của các đối tượng. - Ta xét thêm một ví dụ nữa của Descartes để tìm hiểu thêm các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong hình học của Descartes (trong [6], tr 86): Một tam giác vuông KLN kích thước không đổi có cạnh góc vuông KL chuyển động dọc theo đường thẳng AB. G là một điểm cố định không nằm trên đường thẳng AB. Tìm quĩ tích giao điểm của đường thẳng GL và cạnh huyền NK kéo dài. Sau đây là bài giải của Descartes: Giả sử GA AB. Đặt GA=a, KL=b, NL=c. Chọn AB làm trục x, gốc ở A. Kí hiệu các đoạn chưa biết là AB=x, CB=y. ta có CBK CB BK = suy ra NL LK và ΔNLK đồng dạng nên: BC. LK by BK = = NL c by bc Mà L nằm giữa B và K nên: BL = BK KL = c cx + by bc Và B nằm giữa AL nên: AL = AB + BL = c Do ΔCBL và ΔGAL đồng dạng nên G C N K L B A

CB BL = suy ra GA AL c = = +. b 2 CB. AL GA. BL y cy xy ay ac Descartes nói rằng đây là đường hyperbol, nhưng ông không chứng minh. - Như vậy, Descartes đã xét những đặc trưng số của các đối tượng hình học như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác và dựa vào chúng để chuyển các quan hệ hình học thành các phép toán đại số, sự tương ứng của các phép dựng hình học với các phép toán đại số ở đây là sự tương ứng giữa độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác với các đẳng thức kiểu như: C nằm giữa A,B thì AB AC BC AC+BC=AC, ABC và A B C đồng dạng thì = = Ngoài ra, AB ' ' AC ' ' BC ' ' khi khẳng định quĩ tích cuối cùng là hyperbol, Descartes đã thừa nhận sự tương ứng của một phương trình với một đường cong tương ứng. Tuy nhiên, bản thân Descartes cũng chỉ dựa vào những kết quả sẵn có từ thời Apollonius để khẳng định quĩ tích các điểm thõa mãn một phương trình đại số mà chưa thấy có một tiến triển nào hơn thời cổ đại! Điều này làm chúng tôi băn khoăn: trong trường hợp các phương trình thu được hoàn toàn khác so với những dạng mà Apollonius đã nói, liệu Descartes có biết được hình dạng của đường cong? - Ta xét một nhận xét trong một bài toán khác của Descartes cho thấy xu hướng sử dụng đại số của ông trong việc giải các bài toán hình học: Cho đường cong ACQ đi qua gốc A và có trục AG. Đặt CM=x, AM=y. Dựng một đường thẳng qua C cắt trục AG tại P. Giả sử AP=v, CP=s. Theo định lí Pitago ta có: PC = s = x + ( v y) = x + v 2vy + y 2 2 2 2 2 2 2 Phương trình đường tròn qua C, nhận P làm tâm sẽ là: 2 2 y = v+ s x. Khử x hoặc y trong phương trình của đường cong và đường tròn ta thu được một phương trình một ẩn số x hoặc y với tham số v. Khi đó nếu đường tròn cắt đường cong tại hai điểm phân biệt C và E thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Nếu C càng gần E thì sự khác biệt giữa hai nghiệm càng nhỏ. Nếu C trùng với E thì ta nói đường tròn tiếp xúc với đường cong chứ không cắt nó.( [2], trang 95) - Ở đây, rõ ràng là Descartes đã chỉ rõ mối liên hệ giữa số nghiệm phương trình hoành độ (hoặc tung độ) giao điểm với số giao điểm của hai đường cong. Như vậy một quan hệ hình học đã hoàn toàn chuyển thành một quan hệ đại số. 2. Pierre de Fermat (1601-1665) - Trong tác phẩm mở đầu và nghiên cứu các quĩ tích phẳng và không gian, Fermat phát biểu quan điểm về hình học giải tích của mình như sau: mỗi lần khi trong phương trình cuối cùng ta có hai đại lượng chưa biết thì sẽ có quĩ tích và điểm cuối cùng của một trong chúng vạch ra một đường thẳng hoặc đường cong. Để thiết lập phương trình, ta xét hai đại lượng chưa biết tạo với nhau một góc đã cho (thường là góc vuông) và xét vị trí điểm cuối của một trong hai đại lượng chưa biết đó ( theo [6], tr 89) - Như vậy, rõ ràng là Fermat đã khẳng định biểu thức giải tích thể hiện mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ chính là quĩ tích các điểm. Ông cũng chứng minh sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và phương trình của nó. Ông còn lập phương trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, phương trình hyperbol có tiệm cận là các trục tọa độ, phương trình elip với hai đường kính liên hiệp là các trục tọa độ Tuy nhiên việc sử dụng chính các biểu thức giải tích này để nghiên cứu tính chất của đường cong vẫn chưa được đặt ra. - Ta xét cách mà Fermat viết phương trình đường thẳng qua hai điểm N và I cố định: ông chọn một trục có gốc ở N (như hình vẽ) và gọi M là điểm di động trên đường thẳng NI. Ông đặt NK=A, NZ=B, MK=E, IZ=D. Khi đó vì MK//IZ nên NK = NZ MK IZ Tức là A = B hay AD. = BE. E D I M E N A K Z Hay nếu phát biểu bằng kí hiệu thường dùng hiện nay là dx=by

3. Kết luận - Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH thành các phương trình đại số, các quan hệ đại số nhằm mục tiêu giải quyết bài toán hình học một cách gọn gàng, tổng quát hơn, giúp giải quyết một số bài toán khó của hình học. Mặc dù mục tiêu của giai đoạn này là cùng phương pháp HHGT để giải toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dụng để giải quyết bài toán HHGT. - Mặc dù Descartes đã ý thức chuyển các bài toán hình học sang các phương trình đại số và Fermat đã chứng minh sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc dùng chính phương trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đặt ra. Các khái niệm hình học của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm tương ứng của HHTH. - Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyển dài sang phạm vi đại số: Descartes đã đặt tương ứng các phép dựng hình học với các phép toán đại số và giải một bài toán hình học hoàn toàn dựa trên phép toán trên các đối tượng đại số này. Nhờ sự tiện lợi và tính tổng quát của lời giải một bài toán hình học bằng công cụ đại số mà Descartes đã vui mừng tuyên bố: ông ấy đã giải được mọi bài toán hình học! III. Những phát minh sau Descartes và Fermat 1. Tóm tắt sự phát triển - J. Wallis (1616-1703) trong tác phẩm chuyên luận về các đường cônic công bố năm 1655 đã dùng chính phương trình để định nghĩa cônic. - G. F. L Hospital (1661-1704) trong tác phẩm về các giao tuyến cônic và về những ứng dụng của chúng để giải phương trình trong các bài toán xác định và không xác định đã đưa phương trình giao tuyến của cônic về các dạng gần giống với các dạng phương trình cônic mà ta dạy cho học sinh ngày nay, đồng thời ông đã

chứng minh các tính chất của cônic bằng phương pháp đại số, suy từ phương trình của các cônic đó. - Newton (1642-1727) dùng phương trình đường cong để định nghĩa độ nghiêng của tiếp tuyến với đường cong. - Leibniz (1646-1716) đã phát triển phương pháp vi phân, ông chứng tỏ rằng bằng việc sử dụng các kí hiệu dx, dy mà ông nêu ra thì các tính chất của đường cong hoàn toàn diễn đạt được bằng những phương trình. - Leonhard Euler (1707-1783) trong tập 2 của cuốn mở đầu về giải tích vô cùng bé đã trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống môn hình học giải tích. Trong tác phẩm này, Euler đã cố gắng giải quyết tất cả các vấn đề của hình học bằng công cụ đại số: Euler định nghĩa hệ tọa độ, định nghĩa đường cong, đưa ra công thức biến đổi tọa độ, nêu lên các tính chất của cônic có thể suy từ phương trình của chúng 2. Kết luận - Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học. Các tính chất của các khái niệm hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dung tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa. Các quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số. Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH. Sự tiến triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học. Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng nghiên cứu hình học trước đây. Tuy nhiên, cũng chính vì vậy mà ý nghĩa hình học của bài toán bị che dấu đằng sau đề toán, đằng sau lời giải thuần túy đại số.

CHƯƠNG 2 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO I. Mục đích phân tích - Như kết quả đã nghiên cứu ở chương I, chúng ta nhận thấy: trong hình học giải tích, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học có thể hoàn toàn chuyển thành các khái niệm đại số, các quan hệ đại số. Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy rằng: với việc sử dụng các phương trình đại số, các quan hệ đại số thì việc giải quyết một bài toàn hình học trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn. Tuy vậy nó cũng bộc lộ một yếu điểm là: lời giải một bài toán hình học bằng phương pháp đại số hầu như tách rời khỏi bài toán hình học đó, chỉ còn lại một bài giải thuần túy đại số. Từ đây mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này. Liệu điều này được có thể chế dạy học quan tâm? Ngoài ra, như đã nói từ đầu, với yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng mối liên hệ giữa kiến thức của HHTH và HHGT, vậy thể chế đã tạo điều kiện như thế nào để học sinh nắm và vận dụng mối liên hệ này? Do đó, mục đích chính của chương này là nghiên cứu mối quan hệ của thể chế với đối tượng cần nghiên cứu, cụ thể nó nhắm tới việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau đây: - Chương trình và sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12 giới thiệu các khái niệm, các quan hệ của hình học giải tích như thế nào? Chúng có liên hệ như thế nào với các khái niệm, các quan hệ tương ứng trong hình học tổng hợp? Việc vận dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT được đề cập như thế nào? Những tổ chức toán học nào được xây dựng trong chương phương pháp tọa độ trong không gian thể hiện mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với các khái niệm hình học, các quan hệ hình học đã phân tích? - Kiểu nhiệm vụ dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH được thể chế giới thiệu như thế nào? Đâu

là những ràng buộc của thể chế với kiểu nhiệm vụ này? Những ràng buộc của chương trình và trình bày của SGK ảnh hưởng như thế nào lên học sinh trong việc nắm bắt kiểu nhiệm vụ này? Để nghiên cứu những vấn đề nêu ra, tôi chọn chương trình và sách giáo khoa hiện hành (chương trình phân ban đại trà áp dụng từ năm học 2006-2007). Cụ thể là những tài liệu sau: 1/ Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2/ Sách giáo khoa hình học 12 chương trình nâng cao. 3/ Sách giáo viên hình học 12 chương trình nâng cao. Ngoài ra, nhằm làm rõ hơn một số vấn đề nghiên cứu, tôi cũng tham khảo thêm một số tài liệu sau: + Sách giáo khoa toán 7, 8, 9, 10. + Sách giáo khoa hình học nâng cao 11 II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK ở Việt Nam - Do thời gian giới hạn, nên ở đây chúng tôi chỉ xét mối liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ hình học giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích với ý đồ sử dụng tọa độ, phương trình. Những mối liên hệ sơ khai hơn như đoạn thẳng với độ dài của chúng, đa giác và diện tích của chúng, điều kiện để tam giác cân, vuông, đều, mối liên hệ giữa tỉ số các cặp cạnh của hai tam giác để chúng đồng dạng không được xem xét ở đây. - Dựa trên quan điểm này, khi phân tích chương trình và SGK chúng tôi nhận thấy sự liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ của hình học tổng hợp và hình học giải tích xuất hiện xuyên suốt trong chương trình từ lớp 7 đến hết lớp 12 mà dưới đây, chúng tôi phân thành hai giai đoạn như sau: 1. Giai đoạn chuẩn bị 1.1 Khái niệm tọa độ điểm - SGK Toán 7 đã đưa vào khái niệm tọa độ điểm như sau:

trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm P bất kì. Từ P dựng các đường vuông góc với các trục tọa độ. Giả sử các đường vuông góc này cắt trục hoành tại điểm 1,5 và trục tung tại điểm 3. Khi đó cặp số (1,5;3) gọi là tọa độ của điểm P và kí hiệu P(1,5;3). Số 1,5 gọi là hoành độ và số 3 gọi là tung độ (SGK toán 7 tập 1, trang 66). - Ngoài ra SGK còn đưa ra lưu ý như sau: Mỗi điểm M xác định một cặp số (x 0 ;y 0 ). Ngược lại, mỗi cặp số (x 0 ;y 0 ) xác định một điểm M (SGK toán 7 tập 1, trang 67). - Như vậy bằng cách sử dụng hình vẽ, thông qua một hệ trục tọa độ, thể chế đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 của điểm và tọa độ của nó, tạo tiền đề cho việc sử dụng tọa độ để xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ, và từ đây, việc đề cập tới điểm chỉ cần đề cập tới tọa độ của nó. Ý đồ này của thể chế một lần nữa được khẳng định qua hệ thống bài tập đi kèm mà sau đây là một minh họa: hàm số y được cho trong bảng sau: x 0 1 2 3 4 y 0 2 4 6 8 a) Viết tất cả các cặp giá trị tương ứng (x;y) của hàm số trên b) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y ở câu a. (SGK Toán 7 tập 1, trang 68) 1.2 Khái niệm đồ thị hàm số - Sách giáo khoa toán 7 đã nêu khái niệm đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng tọa độ, từ đó giải thích rằng đồ thị của hàm số y = ax ( a 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Chúng tôi nhận thấy rằng, ở đây thể chế chỉ cho thấy: ứng với một hàm số y = ax ( a 0) là y 3 2 1-3 -2-1 O 1 1,5 2 3-1 -2-3 P x

một đường thẳng, không có tương ứng ở chiều ngược lại, tức là không thấy đề cập tới sự tương ứng của một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với một hàm số. Có lẽ vì lí do này mà chúng tôi không tìm thấy khái niệm phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cũng không tìm thấy bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (viết phương trình đường thẳng) có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ. - Nối tiếp chủ đề này, SGK toán 9 khi trình bày đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b ( a 0) cũng trình bày cùng quan điểm như SGK toán 7: tương ứng một hàm số bậc nhất là một đồ thị của nó, gọi là đường thẳng y = ax + b, không đề cập tới tương ứng ngược lại và cũng hoàn toàn không sử dụng thuật ngữ phương trình đường thẳng ngay cả với những bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (mà ta thường quen phát biểu là: viết phương trình đường thẳng): biết rằng đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua A(-1;3). Tìm a và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được (bài tập 18 trang 52, SGK toán 9 tập 1). - Cùng quan điểm này, khi trình bày khái niệm hàm số bậc hai và đồ thị của nó, SGK toán 9 cũng không nêu lên sự tương ứng của một parabol với hàm số tương ứng của nó, không sử dụng khái niệm phương trình của parabol để dùng thay cho parabol. - Tuy nhiên chúng tôi cũng ghi nhận: mặc dù không trình bày sự tương ứng giữa một parabol với phương trình của nó nhưng SGK, SBT toán 10 (cả chương trình cơ bản và nâng cao) đều có những dạng toán yêu cầu xác định hàm số bậc hai khi đồ thị của nó thõa mãn một số giả thiết nào đó. Sau đây là một số ví dụ: xác định hàm số 2 y ax bx = + + 2 biết rằng parabol đó: a) Đi qua M(1;5) và N(-2;8) 3 b) Đi qua A(3;-4) và có trục đối xứng x = (SGK đại số 10, trang 49) 2 Hoặc là : Khi du lịch tới thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ

Oxy sao cho chân cổng đi qua gốc O như trên hình 2.22 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162;0). biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10;43) a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên. b) (SGK toán 10 nâng cao, trang 61) y. M(10;43) O 162 x Rõ ràng qua bài toán này, thể chế mong đợi học sinh thấy được sự tương ứng của một đồ thị với một hàm số, hay nói một cách khác: thể chế mong muốn học sinh nắm được sự tương ứng 1-1 giữa hàm số và đồ thị của nó! Liệu ở đây có hay không một mâu thuẫn của thể chế? Chúng tôi cho là không! Lí do ẩn đằng sau nó, theo chúng tôi, là do việc chứng minh một đồ thị tương ứng với một hàm số là quá sức với học sinh, đồng thời thể chế cũng mong học sinh nắm được sự tương ứng này. Mong muốn này thể hiện cụ thể qua yêu cầu của chương trình: tìm được phương trình parabol 2 y = ax + bx + c khi biết một trong các hệ số và biết đồ thị đi qua hai điểm cho trước ( chương trình GDPT môn Toán, trang 136) 1.3 Một số quan hệ hình học - Quan hệ điểm thuộc đồ thị hàm số là một quan hệ hình học được chuyển thành quan hệ đại số khi học sinh bắt đầu học về hàm số và đồ thị thông qua khái niệm đồ thị hàm số: Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng tọa độ (SGK toán 7 tập 1, trang 69). - Bản thân định nghĩa này khẳng định rằng: một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số (quan hệ hình học) khi và chỉ khi tọa độ của điểm ấy thõa mãn biểu thức giải tích của hàm số đó. Và để làm rõ hơn quan hệ này, SGK có một số bài tập giúp học sinh nắm vững hơn quan hệ này: Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y=-3x:

1 1 A( ;1); B( ; 1); C(0; 0) (bài tập 41 trang 72, SGK toán 7 tập 1) 3 3 - Như vậy rõ ràng một quan hệ hình học đã chuyển hẳn sang một quan hệ đại số. Nhưng chúng tôi tự hỏi: liệu trong phạm vi các bài toán đang xét, sự chuyển đổi này nhằm mục đích gì? Nhìn chương trình ở góc độ rộng hơn, chúng tôi tìm được câu trả lời: sự chuyển đổi này không nhằm mục tiêu đại số hóa hình học mà ngược lại, nhằm mục tiêu hình học hóa đại số, ví dụ như cung cấp một hình ảnh trực quan để nghiên cứu hàm số (tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số), minh họa cho bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong - Quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng cũng được chuyển thành các quan hệ đại số trong chương hàm số bậc nhất, SGK Toán 9: - Đầu tiên, SGK có nêu một chứng minh cho thấy đồ thị hàm số y=2x+3 là một đường thẳng song song với y=2x bằng cách lấy ba cặp điểm trên hai đồ thị có cùng hoành độ là A(1;2), B(2;4), C(3;6) và A (1;2+3), B (2;4+3), C (3;6+3). Sau đó SGK giải thích các tứ giác AA B B và BB C C là hình bình hành nên A,B,C thẳng hàng và đường thẳng chứa A,B,C song song với đường thẳng chứa A,B,C. - Từ bài toán cụ thể này, SGK đưa ra kết luận đường thẳng y = ax + b ( a 0) song song với đường thẳng y b = 0. = ax nếu b 0 và trùng với đường thẳng y = ax nếu - Từ kết luận trên, SGK mới đưa ra nhận xét hai đường thẳng y = ax+ b và y = a' x+ b' song song với nhau khi và chỉ khi a= a' và b b', trùng nhau khi và chỉ khi a= a' và b= b' (và hiển nhiên cắt nhau khi và chỉ khi a a' ). - Như vậy, ở đây vị trí tương đối của hai đường thẳng là một quan hệ hình học đã được chuyển hẳn sang quan hệ đại số: xét sự bằng nhau, khác nhau của các hệ số của hàm số bậc nhất. Trong việc này, lúc đầu hình học tổng hợp được sử dụng như y 9 7 6 5 4 2 A' O 1 A B' 2 B C' 3 C x

một công cụ để chứng minh quan hệ song song của những đường thẳng là đồ thị của các hàm số cụ thể, từ đó khái quát lên thành dấu hiệu đại số để nhận biết vị trí tương đối của các đường thẳng là đồ thị của hàm số bậc nhất. Kết luận - Một số khái niệm hình học như điểm, đường thẳng, parabol bắt đầu bộc lộ mối liên hệ mật thiết với các khái niệm đại số. Tuy nhiên mối liên hệ này chỉ rõ ràng ở một chiều, tức là một hàm số tương ứng với một đồ thị; chiều ngược lại khó trình bày tường minh, tuy nhiên học sinh cũng có thể nắm được thông qua các bài tập trong SGK. - Một số quan hệ hình học như điểm thuộc đường cong, giao điểm hai đường, quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng đã bộc lộ rõ rệt mối liên hệ giữa chúng với các quan hệ đại số, bước đầu phục vụ cho bản thân môn đại số: minh họa hình học cho các tính chất của hàm số, số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hai ẩn 2. Giai đoạn tường minh - Giai đoạn này bắt đầu bằng việc đưa phương pháp tọa độ vào nghiên cứu hình học phẳng ở lớp 10 và sau đó là nghiên cứu hình học không gian ở lớp 12. Như đã nói trước đây, vì giới hạn thời gian nên chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu chương trình và SGK lớp 12. Khi nghiên cứu phần yêu cầu về kiến thức và kĩ năng trong mục mức độ cần đạt của cuốn chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ban hành ngày 05 tháng 5 năm 2006 và sách giáo viên hình học 12, chúng tôi nhận thấy yêu cầu chủ yếu của thể chế là: Biết phương trình mặt cầu Xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước (chương trình giáo dục phổ thông môn toán, 2006, trang 188) Hoặc là: Hiểu được khái niệm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính được khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng (chương trình giáo dục phổ thông môn toán, 2006, trang 189) - Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của hình học không gian như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hoặc với yêu cầu Biết điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, học sinh cần phải vận dụng được định nghĩa, các tính chất của hai mặt phẳng song song, vuông góc mới biết được lí do có công thức đại số để xét tính song song, vuông góc của hai mặt phẳng trong HHGT. - Rõ ràng để đáp ứng yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng kiến thức của hình học không gian tổng hợp, hay nói khác hơn thể chế đã ngầm ẩn yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp vào việc giải quyết các vấn đề của HHGT. - Đối với yêu cầu vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp, chúng tôi nhận thấy sách giáo viên có yêu cầu như sau: Biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc. Giải được một số bài toán của HHKG bằng phương pháp tọa độ (theo [9], tr66). Nên rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số (theo [9], tr 67). - Như vậy, chương trình và SGV hình học 12 nâng cao yêu cầu học sinh nắm được mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong HHTH và HHGT theo cả hai chiều: vận dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp để

hiểu HHGT và vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp. - Những yêu cầu của chương trình và hướng dẫn của SGV thường không tác động trực tiếp đến học sinh vì đối tượng này ít có cơ hội tiếp xúc với các yêu cầu đó. Học sinh nắm được yêu cầu của chương trình qua giáo viên và SGK là chủ yếu. Họ tiếp cận các khái niệm và nhận ra những gì thể chế mong đợi ở họ thông qua phần lí thuyết và bài tập trong SGK. Sau đây chúng tôi sẽ lần lượt phân tích các tình huống đưa vào các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong chương phương pháp tọa độ trong không gian, SGK hình học nâng cao lớp 12 chương trình hiện hành để làm rõ những ràng buộc của thể chế với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT: 2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm - Như chúng ta vẫn biết, trong toán học điểm là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Trong các SGK của chương trình phổ thông, điểm được đưa vào dưới hình ảnh trực quan: Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm. Người ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C để đặt tên cho điểm. (SGK toán 6 tập 1, trang 103). - Từ hình ảnh trực quan này, SGK hình học nâng cao 12 đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm bằng cách đưa vào khái niệm tọa độ của vectơ trước đó: Trong không gian tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị i, jk, trên các trục, cho một vectơ u. Khi đó có một bộ ba số (x;y;z) sao cho u = xi + y j + zk. Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ trục tọa độ Oxyz và kí hiệu u =(x;y;z) hoặc u (x;y;z) ([8], tr 71) - Sau khi giới thiệu khái niệm tọa độ vectơ như trên, SGK đưa vào khái niệm tọa độ của điểm như sau: x xi z zk O M yj y

Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi OM. Bởi vậy nếu (x;y;z) là tọa độ của OM thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M và kí hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z) ([8], tr 72) - Như vậy, với hình vẽ trên, SGK đã chỉ ra cách xác định tọa độ một điểm trong một hệ trục cho trước và cách xác định điểm khi cho trước tọa độ của nó. Tuy nhiên cách xác định này tỏ ra khá mờ nhạt khi chỉ được minh họa qua hình vẽ và không có bất kì lời giải thích kèm theo nào! Nổi bật lên là một định nghĩa hình thức và mục tiêu là: khẳng định sự tương ứng giữa điểm và tọa độ của nó trong một hệ trục tọa độ xác định là tương ứng 1-1. Điều này là cơ sở cho việc: khi cho một điểm chỉ cần cho tọa độ của nó, hoặc khi xác định một điểm chỉ cần xác định tọa độ của nó. Hay nói cách khác: điểm có thể hoàn toàn thay thế bằng tọa độ của nó. Như vậy mối liên hệ giữa điểm và tọa độ của nó, hay cụ thể hơn là sự xác định điểm khi biết tọa độ của nó và ngược lại liệu đã được thể chế quan tâm? Liệu cho một điểm trong một hệ trục tọa độ thì học sinh có biết cách xác định tọa độ của nó không, và ngược lại, cho tọa độ một điểm liệu học sinh có dựng được điểm đó trong một hệ trục tọa độ cho sẵn? 2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng - Như ta vẫn biết trong hình học tổng hợp, mặt phẳng là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt phẳng chính thức được giới thiệu qua hai lớp: lớp 6 và lớp 11. - SGK toán 6 nêu khái niệm mặt phẳng như sau: trang giấy, mặt bảng là hình ảnh của mặt phẳng. Mặt phẳng không bị giới hạn về mọi phía (SGK toán 6 tập 2, trang 71). - SGK hình học 11 giới thiệu mặt phẳng như sau: trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng cho ta hình ảnh của một phần mặt phẳng trong không gian (SGK hình học nâng cao 11, tr 40).

Như vậy khái niệm mặt phẳng cũng được giới thiệu một cách trực quan. Ngoài ra để giới thiệu khái niệm phương trình mặt phẳng ở lớp 12 thì có một số khái niệm và tính chất đáng quan tâm được giới thiệu trong chương trình lớp 11 như sau: một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó (định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97). có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước (tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97). - Trên cơ sở này, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng như sau: Trước tiên, SGK định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: vec tơ n 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng ( α ) ([8], trang 82) Sau đó, dựa vào sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng đi qua điểm M0( x0; y0; z 0) và nhận n= ( ABC ; ; ) làm vectơ pháp tuyến, SGK đưa vào phương trình mặt phẳng ( α ) như sau: Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc ( α ) là nm. 0M = 0 (hình vẽ), hay: Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) = 0 (1) 0 0 0 z n Nhận xét: nếu ta đặt D = ( Ax0 + By0 + Cz0) thì phương trình (1) trở thành: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó 2 2 2 A + B + C > 0 (2) Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) hay nói gọn là phương trình mặt phẳng ( α ) ([8], trang 83) - Cuối cùng, để chỉ rõ tương ứng 1-1 giữa một mặt phẳng và phương trình của nó, SGK đưa vào định lí: x o M 0 M y