Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11) ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng www.facebook.com/lyhung95 VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. Viết dạng mệnh đề: d // ( P) a d // a ( P) Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b. Viết dạng mệnh đề: ( ); ( );( ) ( ) a P b Q P Q = a // b // a // b Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến Δ thì Δ phải song song với a. ( ) a// P Viết dạng mệnh đề: a ( Q) // a ( P) ( Q) = Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong (P). Viết dạng mệnh đề: d ( P) a d a ( P) + Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). + Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d 1 ; d 2 cùng vuông góc với (P) thì d 1 // d 2. + Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P 1 ); (P 2 ) cùng vuông góc với đường thẳng d thì (P 1 ) // (P 2 ). + Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P).
( ) ( ) d a a // P Viết dạng mệnh đề: d ( P) a P + Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc xuống (P) là d ; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d. Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh rằng BD (SAC) b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN (SAD) c) Cho SA = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN. Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA (ABC), tam giác ABC cân tại A với Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH MD, với H thuộc MD. a) Chứng minh rằng AH (BCD) b) Cho 4 AD = a. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. 5 c) Gọi G 1 ; G 2 là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng G 1 G 2 (ABC). 6 AB = AC = a; BC = a. 5 Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Gọi B 1 ; C 1 ; D 1 là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng B 1 D 1 // BD và SC (AB 1 D 1 ) b) Chứng minh rằng các điểm A, B 1, C 1, D 1 đồng phẳng và tứ giác AB 1 C 1 D 1 nội tiếp đường tròn. c) Cho SA = a 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC 1. Ví dụ 4. [ĐVH]: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ OH (ABC) a) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. b) Chứng minh OA BC; OB AC; OC AB c) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 1 1 1 1 d) Chứng minh rằng = + + 2 2 2 2 OH OA OB OC Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A. a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông. b) Tính SA, SB, SC biết ACB = α; ACS = β; BC = a.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1. [ĐVH]: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ΔABC vuông ở B. Chứng minh rằng a) BC (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ΔSAB. Chứng minh rằng AH (SBC). Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng a) SO (ABCD). b) IJ (SBD). Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng rằng CD (SAD), BD (SAC). b) Chứng minh rằng SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). c) Chứng minh rằng HK (SAC), từ đó suy ra HK AI. Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh rằng SH (ABCD). b) Chứng minh rằng AC SK và CK SD. Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM SA. Tính AM theo a. Đ/s: a) a a 3 a ;,. c) 2 2 a 5. 2 Bài 6. [ĐVH]: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC. a) Chứng minh rằng CC (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của BCD. Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD. a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C. b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD (SAN).
LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ΔABC vuông ở B. Chứng minh rằng a) BC (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ΔSAB. Chứng minh rằng AH (SBC). a) Ta có BC AB, (1) (do ΔABC vuông tại B). Lại có SA (ABC) SA BC, (2). Từ (1) và (2) ta có BC (SAB) đpcm. b) Theo câu a, BC (SAB) BC AH (do AH (SAB)). Lại có AH SB AH (SBC) đpcm. Nhận xét: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng hai tích chất cơ bản của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d a Để chứng minh d (P) ta chứng minh d b a, b ( P) d (P) thì với mọi đường a (P) d a. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng a) SO (ABCD). b) IJ (SBD).
a) Do SA = SC nên ΔSAC cân tại S, khi đó SO AC, (1). Tương tự, SO BD, (2) Từ (1) và (2) ta có SO (ABCD). b) ABCD là hình bình hành nên BD AC, (3). Từ (1) và (3) ta được AC (SBD), (4). Trong ΔABC có IJ là đường trung bình nên IJ // AC, do đó IJ (SBD). Nhận xét: Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng một tích chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là d // a để chứng minh d (P) ta chứng minh a ( P) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng rằng CD (SAD), BD (SAC). b) Chứng minh rằng SC (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK). c) Chứng minh rằng HK (SAC), từ đó suy ra HK AI.
a) Ta có CD AD và CD SA (do SA (ABCD) có chứa CD). CD (SAD). Tương tự, BD AC (do ABCD là hình vuông) và BD SA (do SA (ABCD) có chứa BD) BD (SAC). b) Theo a, CD (SAD) CD AK, (1). Lại có AK SD, (2). Từ (1) và (2) ta được AK (SCD) Mà SC (SCD) AK SC, (*) Chứng minh tương tự ta cũng được AK SC, (**). SC ( AHK ) AI ( AHK) Từ (*) và (**) ta được SC (AHK). Do SC AI AI //( AHK ). Do A (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI (AHK), hay điểm I thuộc (AHK). c) Ta nhận thấy BD (SAC), nên để chứng minh HK (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK. Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau. Khi đó, SH SK ΔSAH = ΔSAK SH = SK = HK // BD HK ( SAC) SB SD Mà AI (SAC) HK AI. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh rằng SH (ABCD). b) Chứng minh rằng AC SK và CK SD. a) ΔABC đều nên SH AB, (1). SB = BD = a 2 2 2 Ta có SB = BC = a, đồng thời SC = SB + BC SB BC SC = a 2 Mà BC AB BC (SAB) BC SH, (2). Từ (1) và (2) ta có SH (ABCD). b) Theo a, SH (ABCD) SH AC. Do HK là đường trung bình của ABD nên HK // BD, mà BD AC HK AC. Từ đó ta được, AC (SHK), hay AC SK. CK DH Lại có CK ( SHD), hay CK SD CK SH
Bài 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM SA. Tính AM theo a. a 3 1 a a) Ta có: SI = ; IJ = AD = a; SJ = CD = 2 2 2 Do vậy tam giác SIJ vuông tại đỉnh S IJ CD CD SIJ SI CD Lại có: ( ) SI CD SI SJ Khi đó: SI ( SCD) ta cũng có SJ (SAB). b) Dựng SH IJ SH AC tương tự chứng minh trên lại có SH CD SH ( ABCD) 2 BM SA 3 c) Do BM AH. Ta có : HI = SI = a ; HJ = a SH BM IJ 4 4 Đặt CM x BM. AH = 0 BC + CM. AI + IH = BC. IH + CM. AI = 0 = ta có: ( ) ( ) 2 3a ax 3a 2 2 a 5 = 0 x = AM = AD + DM = 4 2 2 2 Bài 6. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC. a) Chứng minh rằng CC (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của BCD.
BM BM MA a) Ta có: BM ( CMD) BM CC ' CD Do vậy ' ( ) CC BMD CC ' BD. b) Dễ thấy BK CD. Lại có HK HK AB HK CD BD. Mặt khác CC ' BD BD CK Do vậy K là trực tâm tam giác BCD. Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có SA (ABCD) và BC= a, đáy ABCD là hình thang vuông có đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD. a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C. b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD (SAN). a) Ta có: ABCM là hình vuông cạnh a do vậy 1 CM = a = AD ACD vuông tại C. 2 CD AC Lại có: CD SC CD SA vuông tại C. hay tam giác SCD b) Kẻ SN CD N C CD (SAN). Thầy Đặng Việt Hùng Moon.vn