PHÉP UY.TÓM TẮT GIÁO KHO.. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho = OM' OM và góc lượng giác ( OM;OM' = được gọi là phép quay tâm O, α được gọi là góc quay. Phép quay tâm O góc quay α được kí hiệu là Nhận xét ( O;α. α O α M' M Khi α = ( k + 1 π,k thì Khi α = kπ,k (. iểu thức tọa độ của phép quay: ( O;α là phép đối xứng tâm O. n! r! n r! thì ( O;α là phép đồng nhất. Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M( x; y và ( x' = xcosα ysinα y' = xsinα + ycosα M' x'; y' M thì = O,α Trong mặt phẳng Oxy, giả sử M( x; y, I( a; b và ( x' = a + x a cosα y b sinα y' = b + x a sinα + y b cosα 3. Tính chất của phép quay: M' x'; y' M thì = I,α
ảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì iến một đường thẳng thành đường thẳng iến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho iến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho iến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Lưu ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay α biến đường thẳng d thành đường thẳng d', khi đó Nếu π α thì góc giữa hai đường thẳng d và d O α d' bằng α π Nếu α π d' bằng π α. thì góc giữa hai đường thẳng d và I α d'. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG ÀI TẬP. ài toán 1: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦ MỘT HÌNH U PHÉP UY. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, biểu thức tọa độ và các tính chất của phép quay Các ví dụ Ví dụ 1. Cho M( 3;4. Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 3.
M' x'; y'.áp dụng biểu thức tọa độ x' = xcosα ysinα y' = xsinα + ycosα Gọi ( = ( O;3 3 3 x' = 3cos 3 4sin 3 = 3 y' = 3sin 3 + 4 cos 3 = + 3 3 3 3 M' ; + 3. ta có Ví dụ. Cho I( ;1 và đường thẳng d : x + 3y + 4 =. Tìm ảnh của d qua. ( I;45 Lấy hai điểm ( ( M ; ;N 1; thuộc d. Gọi M' ( x ;y 1 1,N'( x ;y là ảnh của M,N qua ( I;45 Ta có 3 = + ( ( = x cos 45 1 sin 45 x 1 1 y = 1 + ( sin 45 + ( 1 1 cos 45 5 y = 1 1 3 5 M' ;1. Tương tự x = + 1 cos45 1 sin45 x = + y = 1+ 1 sin45 + 1 cos45 y = 1 N' ( + ;1. 5 Ta có M'N' = ; = ( 5;1.
Gọi d' = ( ( d thì d' có VTCP u = M'N' = ( 5;1 VTPT n = ( 1;5 I;45 Phương trình: d' : ( x + 5( y 1 + = x + 5y 3 + 1 =. Ví dụ. Cho hình vuông CD tâm O, M là trung điểm của, N là trung điểm của O. Tìm ảnh của tam giác MN qua phép quay tâm O góc quay 9. Phép quay biến thành D, biến M ( O;9 M D thành M'là trung điểm của D, biến N thành N' là trung điểm của OD. Do đó nó biến tam giác MN thành tam giác DM'N'. M' N O N' C
ài toán : SỬ DỤNG PHÉP UY ĐỂ GIẢI CÁC ÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Các ví dụ ( I;α nào đó. Ví dụ 1. Cho điểm và hai đường thẳng d,d. Dựng tam giác C vuông 1 cân tại sao cho d,cd. 1 Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác C thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có thể giả sử (,C = 9, khi đó C =, mà Cd nên ; 9 d ' với d ' d. = ; 9 d 1 d Lại có d 1 nên = d 1 d '. Cách dựng: d' C - Dựng đường thẳng d' ảnh của d qua ( ; 9. - Dựng giao điểm = d 1 d '. - Dựng đường thẳng qua vuông góc với cắt d tại C. Tam giác C là tam giác cần dựng. Chứng minh: Từ cách dựng suy ra C nên = C và C = 9 do đó tam giác C vuông cân tại. = ;9
iện luân: - Nếu d,d không vuông góc thì có một nghiệm hình. 1 - Nếu d d và nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo 1 bởi d,d thì có vô số nghiệm hình. 1 - Nếu d d và không nằm trên đường phân giác của một trong các 1 góc tạo bởi d,d thì bài toán vô nghiệm hình. 1 Ví dụ. Cho tam giác C có ( = (,C α α 9 và một điểm M nằm trên cạnh. Dựng trên các đường thẳng C,C các điểm N,P sao cho = MN MP và đường tròn ( MP tiếp xúc với MN. Phân tích: Giả sử đã dựng được các điểm N,P sao cho NC,P C sao cho = MN MP và đường tròn ( MP tiếp xúc với MN. Khi đó do MN tiếp xúc với đường tròn ( MP nên PMN = = α. Từ đó ta có ( MP;MN = có MP = MN nên ( ( P N. Giả sử = M, α = M, α O và I = ON C. α lại M N O I P C Theo tính chất phép quay ta có NIC = ( ON,P = α NIC = C IN. Cách dựng : - Dựng điểm O= ( M, α - Dưng đường thẳng qua O song song với cắt C tại N - Dựng tia MP cắt C tại P sao cho NMP = α Như vây các điểm N,P là các điểm cần dựng.
Chứng minh: Vì ON nên MO = MON = α PMN = MP = α suy ra đường tròn ( MN tiếp xức với MN. Ta có iện luận: ài toán có một nghiệm hình duy nhất. ( : MP MN nên MP = MN. M; α ài toán 3: SỬ DỤNG PHÉP UY ĐỂ GIẢI CÁC ÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ( I;α nào đó. Để tìm tập hợp điểm M' ta đi tìm tập hợp điểm M mà ( I;α nào đó biến điểm M thành điểm M', khi đó nếu M( H thì ( = ( I;α (( Các ví dụ M' H' H. Ví dụ 1. Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d. Với mỗi điểm nằm trên d ta dựng tam giác đều C có tâm G. Tìm quỹ tích các điểm,c khi di động trên d. Do tam giác C đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 1 biến thành hoặc C và d phép quay tâm G góc quay hoặc C.Mà 4 biến thành d nên,c thuộc các đường thẳng là ảnh của d trong hai phép quay nói trên. d' G d'' C
Vậy quỹ tích các điểm,c là các đường thẳng ảnh của d trong hai phép quay tâm G góc quay 1 và 4. Ví dụ. Cho tam giác đều C. Tìm tập hợp điểm M mằn trong tam giác C sao cho M + M = MC. Xét phép quay thì biến thành C, giả sử điểm M biến thành M', ( ; 6 khi đó M = M'C,M = MM' nên M + M = MC M'C + MM' = MC do đó tam giác M'MC vuông tại M'suy ra M'C = 15. Lại có M = CM', M = M' và = C ΔM = ΔCM' ( c c c M = CM' = 15. Vậy M thuộc cung chứa góc C. 15 với dây cung nằm trong tam giác C M M' Đảo lại lấy điểm M thuộc cung = 15 trong tam giác C, gọi M' M. = ; 6 Do : M CM' nên CM' = 15. Mặt khác tam giác MM' đều ( ; 6 nên M'M = 6 CM'M = 15 6 = 9 vì vậy ΔM'MC vuông tại M' M' + M' C = MC, mà M = M'C,M = MM' M + M = MC. Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu bài toán là cung = 15 trong tam giác C nhận làm dây cung.
ài toán 4: SỬ DỤNG PHÉP UY ĐỂ GIẢI TOÁN. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác C. Vẽ các tam giác đều ' và CC' nằm phía ngoài tam giác C. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của C' và C'. Chứng minh các điểm,i,j hoặc trùng nhau hoặc tạo thành một tam giác đều. Giả sử góc lượng giác (,C ( hình vẽ. C' Khi đó, xét phép quay.ta có ( ;6 : ',C C' : 'C C' ( ;6 ( ;6 mà I,J lần lượt là trung điểm của 'C và C' nên I J. = ;6 Vậy nếu I,J không trùng thì ΔIJ đều. ' I J C Khi C = 1 thì I J. Ví dụ. Cho hai đường trong bằng nhau ( O;R và ( O';R cắt nhau tại hai điểm, sao cho OO' = 1. Đường thẳng d đi qua cắt hai đường tròn ( O và ( O' theo thứ tự tại M,M' sao cho M nằm ngoài ( O' còn M' nằm ngoài ( O. Gọi S là giao điểm của các tiếp tuyến với hai đường tròn tại M và M'. Xác định vị trí của M,M' sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn nhất. Giả sử góc lượng giác ( O',O = 1 ( như hình vẽ
Xét phép quay. Gọi ( ; 1 ' thì = ; 1 ' = 1. Dễ thấy O = 6 suy ra O + ' = 18 nên O,,' thẳng hàng. S Ta có M + M' = 18, M' + 'M' = 18 M = 'M'. Mà ( O;R và ( O';R' bằng nhau nên M = M' ( 1 ; từ đó ta có ΔOM = OM = O'M' O'M + O'M = OM + O'M = 1 ΔO' M' M O H K O' ' M' hay MM' = 1 (. Từ 1 ; suy ra M = M'. Do đó trong ; 1 phép quay này tiếp tuyến MS biến thành tiếp tuyến M'S nên góc tù giữa hai đường thẳng MS và M'S bằng 1 do đó MSM' = 6. Áp dụng định lí MM' MM' sin cho tam giác SMM' ta có R = = R lớn nhất khi MM' lớn sin 6 3 nhất.gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,O' trên MM' thì ta có MM' = HK OO'. Đẳng thức xảy ra khi MM' OO'. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn nhất khi M,M' là các giao điểm thứ hai của đường thẳng d đi qua và song song với OO' với hai đường tròn. CÁC ÀI TOÁN LUYỆN TẬP 8. Tìm ảnh của đường thẳng d : 5x 3y + 15 = qua phép quay. ( O;9 9. Tìm ảnh của đường tròn ( với I( 3;4. C : x 1 + y + = 9 qua phép quay ( I;9
3. Viết phương trình các cạnh của tam giác C biết ( 1;,( 3;4 và cos =,cos = 3 5 1. 31. Cho ba điểm,,c thẳng hàng và nằm giữa,c. Dựng về một phía của đường thẳng C các tam giác đều E và CF. a Chứng minh F = EC và góc giữa hai đường thẳng F và EC bằng b Gọi M,N lần lượt là trung điểm của F và EC, chứng minh tam giác MN đều. 3. a Cho tam giác C có tất cả các góc nhỏ hơn 1. Tìm trên mặt phẳng chứa tam giác điểm M sao cho tổng M + M + MC nhỏ nhất. b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + 1 + y 1 + x 1 + y + 1 + x + + y + 33. Cho tứ giác lồi CD. Về phía ngoài tam giác dựng 4 hình vuông MN,CP,CDPS,DTU. Gọi ( = i 6. O i 1,4 theo thứ tự là tâm của các hình vuông đó. Chứng minh O O O O và O O = O O. 1 4 1 4 34. Cho hình vuông CD tâm O. Trên các cạnh C,CD lấy các điểm M,N. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của lên các đường thẳng M,N ; các điểm I,J lần lượt là hình chiếu của D lên M,N. Chứng minh a Xác định ảnh của ΔF và ΔE qua. ( O,9 b EF IJ. 35. Cho góc xoy và điểm M thuộc miền trong góc đó. Tìm trên Ox,Oy các điểm, sao cho O = O và M + M nhỏ nhất.
36. Cho hai đường tròn đồng tâm, hãy dựng hình vuông sao cho hai đỉnh liên tiếp của nó nằm trên một đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thứ hai.