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Transparents du huitième cours Modèle Standard γ 5 et Dim-Reg Espaces de dimension z Anomalies et formule de l indice locale 1

Modèle Standard L SM = 1 2 νg a µ ν g a µ g s f abc µ g a νg b µg c ν 1 4 g2 s f abc f ade g b µg c νg d µg e ν+ 1 2 ig2 s( q σ i γµ q σ j )ga µ +Ḡ a 2 G a + g s f abc µ Ḡ a G b g c µ ν W + µ ν W µ M 2 W + µ W µ 1 2 νz 0 µ ν Z 0 µ 1 M 2 Z 2c 2 µ 0 Z0 µ 1 w 2 µa ν µ A ν 1 2 µh µ H 1 2 m2 h H2 µ φ + µ φ M 2 φ + φ ( 1 2 µφ 0 µ φ 0 1 Mφ 0 φ 0 2M 2 β 2c 2 h + 2M w g 2 g H + 1 2 (H2 + φ 0 φ 0 + 2φ + φ ) + 2M4 g 2 α h igc w ( ν Z 0 µ (W+ µ W ν W+ ν W µ ) Z0 ν (W+ µ νw µ W µ νw + µ ) +Z 0 µ (W+ ν νw µ W ν νw + µ )) igs w( ν A µ (W + µ W ν W+ ν W µ ) A ν (W + µ νw µ W µ νw + µ ) + A µ(w + ν νw µ W ν νw + µ )) 1 2 g2 W + µ W µ W + ν W ν + 1 2 g2 W + µ W ν W + µ W ν +g 2 c 2 w(z 0 µw + µ Z 0 ν W ν Z 0 µz 0 µw + ν W ν ) +g 2 s 2 w (A µw + µ A νw ν A µa µ W + ν W ν )+g2 s w c w (A µ Z 0 ν (W+ µ W ν W+ ν W µ ) 2A µ Z 0 µw + ν W ν ) gα h M ( H 3 + Hφ 0 φ 0 + 2Hφ + φ ) 1 8 g2 α h ( H 4 + (φ 0 ) 4 + 4(φ + φ ) 2 + 4(φ 0 ) 2 φ + φ + 4H 2 φ + φ + 2(φ 0 ) 2 H 2) ) gmw + µ W µ H 1 2 gm c 2 w Z 0 µz 0 µh 1 2 ig ( W + µ (φ0 µ φ φ µ φ 0 ) W µ (φ0 µ φ + φ + µ φ 0 ) ) 2

+ 1 2 g ( W + µ (H µ φ φ µ H) W µ (H µ φ + φ + µ H) ) + 1 2 g 1 c w (Z 0 µ (H µφ 0 φ 0 µ H) ig s2 w c w MZ 0 µ (W+ µ φ W µ φ+ ) +igs w MA µ (W µ + φ Wµ φ+ ) ig 1 2c2 w Zµ 0 2c (φ+ µ φ φ µ φ + ) w +igs w A µ (φ + µ φ φ µ φ + ) 1 4 g2 W + µ W µ 1 4 g2 1 c 2 wz 0 µz 0 µ ( H 2 + (φ 0 ) 2 + 2φ + φ ) ( H 2 + (φ 0 ) 2 + 2(2s 2 w 1) 2 φ + φ ) 1 2 g2s2 w c w Z 0 µ φ0 (W + µ φ + W µ φ+ ) 1 2 ig2s2 w c w Z 0 µ H(W+ µ φ W µ φ+ ) + 1 2 g2 s w A µ φ 0 (W + µ φ + W µ φ+ ) + 1 2 ig2 s w A µ H(W + µ φ W µ φ+ ) g 2s w c w (2c 2 w 1)Z0 µ A µφ + φ g 2 s 2 w A µa µ φ + φ ē λ (γ + m λ e )eλ ν λ γ ν λ ū λ j (γ + mλ u )uλ j d λ j (γ + mλ d )dλ j ( +igs w A µ (ē λ γ µ e λ ) + 2 3 (ūλ j γµ u λ j ) 1 ) 3 ( d λ j γµ d λ j ) + ig 4c w Z 0 µ {( νλ γ µ (1 + γ 5 )ν λ ) + (ē λ γ µ (4s 2 w 1 γ5 )e λ ) +(ū λ j γµ ( 4 3 s2 w 1 γ 5 )u λ j ) + ( d λ j γµ (1 8 3 s2 w γ 5 )d λ j )} + ig 2 2 W+ µ + ig 2 2 W µ ( ( ν λ γ µ (1 + γ 5 )e λ ) + (ū λ j γµ (1 + γ 5 )C λκ d κ j )) ( (ē λ γ µ (1 + γ 5 )ν λ ) + ( d κ j C λκ γµ (1 + γ 5 )u λ j )) 3

g 2 + ig 2 m λ e 2 M ( φ + ( ν λ (1 γ 5 )e λ ) + φ (ē λ (1 + γ 5 )ν λ ) ) g 2 m λ e M ( H(ē λ e λ ) + iφ 0 (ē λ γ 5 e λ ) ) + ig 2M 2 φ+ ( m κ d (ūλ j C λκ(1 γ 5 )d κ j ) + mλ u (ūλ j C λκ(1 + γ 5 )d κ j + ig 2M 2 φ ( m λ d ( d λ j C λκ (1 + γ5 )u κ j ) mκ u ( d λ j C λκ (1 γ5 )u κ j m λ u M H(ūλ j uλ j ) g m λ d 2 M H( d λ j dλ j ) + ig m λ u 2 M φ0 (ū λ j γ5 u λ j ) ig m λ d 2 M φ0 ( d λ j γ5 d λ j ) + X + ( 2 M 2 )X + + X ( 2 M 2 )X + X 0 ( 2 M2 )X 0 +Ȳ 2 Y + igc w W + µ ( µ X 0 X µ X + X 0 )+igs w W + µ ( µ Ȳ X µ X + Y ) +igc w W µ ( µ X X 0 µ X 0 X + ) + igs w W µ ( µ X Y µ Ȳ X + ) +igc w Zµ 0 ( µ X + X + µ X X ) + igs w A µ ( µ X + X + µ X X ) 1 ( 2 gm X + X + H + X X H + 1 ) X 0 X 0 H c 2 w + 1 2c2 w 2c w igm ( X + X 0 φ + X X 0 φ ) + 1 2c w igm ( X 0 X φ + X 0 X + φ ) +igms w ( X 0 X φ + X 0 X + φ ) + 1 2 igm ( X + X + φ 0 X X φ 0). c 2 w ) ) 4

Notations Bosons de jauge : A µ, W ± µ, Z0 µ, ga µ Quarks : u κ j, dκ j et qσ j = collectif pour quarks Leptons : e λ, ν λ Higgs : H, φ 0, φ +, φ Fantômes : G a, X 0, X +, X, Y, jauge Feynman Masses : m λ d, mλ u, m λ e, m h, M Masse du W Constantes de couplage : g = 4πα (structure fine), g s = forte, α h = m2 h 4M 2 Constante de tadpole β h Sinus et cosinus de l angle faible : s w, c w Cabibbo-Kobayashi-Maskawa : C λκ Constantes de structure de SU 3 : f abc 5

Indice Local NCG (ac+hm) P := Res z=0 Tr(P D z ) Trace sur l algèbre engendrée par A, [D, A] et D z, z C. k ϕ 0 (a) = lim z 0 Tr(γ a D z ), a A, ϕ n (a 0,..., a n ) := c n,k γ a 0 [D, a 1 ] (k 1)...[D, a n ] (k n ) D n 2 k T (k i) = k i(t) avec (T) = D 2 T TD 2, k = k 1 +... + k n, c n,k = ( 1) k 2 (k 1!... k n!) 1 ((k 1 +1)...(k 1 +k 2 +...+k n +n)) 1 Γ( k + n/2). (ϕ n ) n=0,2,... cocycle du (b, B)-bicomplexe de A. Accouplement (ϕ n ) HC (A) avec K 0 (A) = indice D, K 0 (A) Z. 6

m B C n m C 0 C 1 b B C 2 C 4 b C 3 b C 6 C 5 B C 8 C 7 C 10 C 9 n 7

Dim-Reg Espaces X z de dimension z (ac + mm) t Hooft-Veltman et Breitenlohner-Maison faire le produit de l espace-temps euclidien par un triplet spectral X z de dimension z C, Re(z) > 0 H = H H, D = D 1 + γ 5 D z Spectre de dimensions de X z est réduit à z. Trace(e λd2 z) = π z/2 λ z/2, λ R + 8

Espaces X z Tr N (1 E (Z)) = 1 2 E dy D z = ρ(z) F Z 1/z ρ(z) = π 1 2 (Γ( z 2 + 1))1 z L opérateur D z vérifie pour z > 0 Tr N (e λd2 z) = π z/2 λ z/2, λ R + et pour z 0, Tr N ((D 2 z) s/2 ) a un pole simple en s = z et est absolument convergente dans Re(s/z) > 1. 9

Cutoff infrarouge Tr N ((D2 z ) s/2 ) = 1 2 y >1 (ρ2 y 2/z ) s/2 dy = ρ s 1 u s/z du = ρ s z s z R(λ, z) = 1 2 0 (e λ ρ2 y 2/z e λ ρ 2 f( y ) 2/z ) dy R(λ, z) < C λ 2 Re( 2/z) 10

Potentiel de jauge (A, H, D) et E projectif de type fini sur A, B = End A (E), H = E A H, D =? D (ξ η) = ξ Dη + (ξ)η (ξa) = ( ξ)a + ξ da, da = [D, a] A = Σa i [D, b i ], a i, b i A Ω 1 D L(H) D D + A, A = A u(d + A) u = D + α u (A), α u (A) = u[d, u ] + u A u 11

Potentiel évanescent A algèbre Z/2-graduée, [D, a] := D a ( 1) deg(a) a D Ã = {a + b γ} A A, a + b γ (a + b, a b) Z/2-graduée par θ Aut(Ã), θ(γ) = γ, θ(a) = a, a A D = D 1, ˆD = γ D z, D = D + ˆD Potentiel évanescent B = [D, γ] = 2 γ ˆD E = 1 2 a[d, γ] = γ a ˆD 12

Intégrale fonctionnelle fermionique Euclidien L fermions = η, D ξ avec deux variables indépendantes ξ et η. Transformations de jauge graduées α u (ξ) = u ξ, α u (η) = θ(u) η Symétrie chirale u = e iaγ δ L fermions = η, (i[d, a] γ + 2 i a γ ˆD) ξ 13

Tadpole E E = γaˆd Soit ϕ 0 la composante de dimension 0 du cocycle local, alors (quand z 0) Tr(E D 1 ) = ϕ0 (a) 14

D 1 = D D 2 = ( D + ˆD) D 2 D 2 = D 2 + ˆD 2 D 2 = 0 e t D 2 e tˆd 2 dt Tr(E D 1 ) = Tr(γ aˆd( D + ˆD) D 2 ) = Tr(γ aˆd 2 D 2 ) = 0 0 Tr(γ aˆd 2 e t D 2 e tˆd 2 ) dt = Tr(γ a e td2 )Tr(D 2 z e td2 z)dt Tr N (D 2 z e td2 z) = z 2 πz/2 t z/2 1 t R + 0 e td2 t z/2 1 dt = Γ( z/2) D z 15

Opérateurs différentiels : OP(A, H, D) D 2 T 0 ( 1) k k (T) D 2k 2 Lemme Soit P OP(A, H, D). Pour n > k > 0 et z 0, Tr(γ ˆD 2k (P 1) D 2n ) = 1 2 B(k, n k) γ P D 2(n k) 16

Tr(γ ˆD 2k (P 1) D 2n ) = 1 Γ(n) 0 Tr(γ ˆD 2k (P 1) e t D 2 e tˆd 2 ) t n 1 dt Tr N (D 2k z e td2 z) = k 1 0 (z + 2j) 2 k π z/2 t z/2 k 0 e td2 t n 1 z/2 k dt = Γ(n z/2 k) D z 2(n k) Q := Res z=0 Tr(Q D z ) Q = γ P D 2(n k) B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) 17

Self-énergie A E 0 Tr(E D 1 A D 1 ) = ( 1) n+1 1 2n + 2 γ a n (B) D 2n 2 où B = D A + A D = da + A avec da = [D, a i ][D, b i ], A = a i (b i ) 18

Tr(E D 1 A D 1 ) = Tr(γ aˆd ( D + ˆD) D 2 A( D + ˆD) D 2 ) = Tr(γ aˆd 2 D 2 A D D 2 )+ Tr(γ aˆd D D 2 A ˆD D 2 ) = Trace(γ aˆd 2 D 2 (A D + D A) D 2 ) (A D + D A) = B 1, B = da + A D 2 T 0 ( 1) k k (T) D 2k 2 0 Trace(E D 1 A D 1 ) = ( 1) n Tr(γ aˆd 2 ( n (B) 1) D 2n 4 ). 19

D 2 T D 2 = T + (T) D 2 = (1 + ǫ)(t) Θ(T) = π(z) = 1 z e z 1, ( 1) n+1 Tr(E D 1 A D 1 1 ) = 2 1 2 n n (T) D 2n π( z) = ez π(z) γ a π(θ)(b) D 2 = γ A π(θ)([d, a]) D 2 X π(θ)(y ) D 2 = Y π(θ)(x) D 2 20

Self-énergie en D = 2 Cocycle de Hochschild ϕ ϕ ϕ a 0 da 1 da n = ϕ(a 0, a 1,, a n ) ϕ a ω = ϕ 2 (a 0, a 1, a 2 ) = 1 4 ϕ ω a, a A γ a 0 [D, a 1 ][D, a 2 ] D 2 Tr(E D 1 A D 1 ) = 2 ϕ 2 A da Tadpole = 0 ϕ 2 cyclique Tr(E D 1 A D 1 ) = 2 ϕ 2 a da 21

ABJ triangle A A E Tr(E D 1 A D 1 A D 1 ) 22

ABJ en D = 2 Tr(E D 1 A D 1 A D 1 ) = 2 ϕ 2 a A 2 1. ϕ 2 est un deux cocycle cyclique dans la classe locale. 2. Pour tout a A et A Tr(E D 1 A D 1 A D 1 ) Tr(E D 1 A D 1 ) = 2 ϕ 2 a(da + A 2 ) on suppose tadpole= 0 23

Tr(E D 1 A D 1 A D 1 ) = Tr(γ aˆd( D + ˆD) D 2 A( D + ˆD) D 2 A( D + ˆD) D 2 ) Nombre impair de ˆD donne 0 Termes avec 4 fois ˆD, T 4 = Tr(γ aˆd 2 D 2 A ˆD D 2 A ˆD D 2 ) = Tr(γ aˆd 4 D 2 A D 2 A D 2 ) car ˆD = γ D z anticommute avec A (à cause de γ) 24

Termes en ˆD 2 T 1 = Tr(γ aˆd 2 D 2 A D D 2 A D D 2 ) T 2 = Tr(γ aˆd D D 2 A ˆD D 2 A D D 2 ) = Tr(γ aˆd 2 D D 2 A D 2 A D D 2 ) T 3 = Tr(γ aˆd D D 2 A D D 2 A ˆD D 2 ) = Tr(γ aˆd 2 D D 2 A D D 2 A D 2 ) 25

Lemme Tr(ˆD 2k P 0 D 2 P1 D 2 P2 D 2 ) = c(a, b, k) P 0 a (P 1 ) b (P 2 ) D 2(a+b+3 k) c(a, b, k) = ( 1) a+b+1 1 2 ((k 1)!(a + b + 2 k)! b!(a + 1)!(a + b + 2) 26

D 2 P 1 D 2 P 2 d(a, b) a (P1 ) b (P 2 ) D 2(a+b+2) avec d(a, b) = ( 1) a+b 0 c b (a + c)! a! c! = ( 1) a+b (a + b + 1)! b!(a + 1)! 1 2 (a + b + 1)! b!(a + 1)! (k 1)!(a + b + 2 k)! (a + b + 2)! = 1 2 ((k 1)!(a + b + 2 k)! b!(a + 1)!(a + b + 2) 27

T 4 = Tr(γ aˆd 4 D 2 A D 2 A D 2 ) = 1 4 γ a A 2 D 2 T 2 = Tr(γ aˆd 2 D D 2 A D 2 A D D 2 = 1 4 γ a D A 2 D 3 = 1 4 γ a A 2 D 2 T 2 + T 4 = 2 ϕ 2 a A 2 28

T 1 = Tr(γ aˆd 2 D 2 A D D 2 A D D 2 ) = 1 4 γ a A D A D 3 T 3 = Tr(γ aˆd 2 D D 2 A D D 2 A D 2 ) 1 4 γ a D A D A D 4 = 1 4 γ D a A D A D 4 = 1 4 γ a A D A D 3 = T 1 T 1 + T 3 = 0 29

D = 4 A A E A A A E A A 30

Fermions Géométrie Fermions ψ H Symétries internes Int(A) f u f u Bosons de Jauge Fluctuations internes 31

Action Bosonique = Action Spectrale (ac+ac) N(Λ) = # valeurs propres de D dans [ Λ,Λ]. N(Λ) = N(Λ) + N osc (Λ) N(Λ) = S Λ (D) = k S Λ k k ds k + ζ D (0), ζ D (s) = Trace( D s ) 32

Modèle Standard en couplage minimal L E + L G + L GH + L H + L Gf + L Hf Action Spectrale (ac+ac) S = d 4 x g (1/2κ 2 0 R µ2 0 (H H) + a 0 C µνρσ C µνρσ + b 0 R 2 + c 0 R R + d0 R; µ µ + e 0 + 1/4 G i µν Gµνi + 1/4 F α µν F µνα + 1/4 B µν B µν + D µ H 2 ξ 0 R H 2 +λ 0 (H H) 2 ) 33

Modèle Standard X = M F A = A M A F, H = H M H F, D = D M 1 + γ 5 D F A F = C H M 3 (C) H F = Q L Q L ( ) ul u Q = R d L d R, L = ( ) νl? e L e R 34

Action de A sur H F a = (λ, q, m) A, q = ( ) α β β ᾱ a u R = λ u R a u L = α u L β d L a d R = λ d R a d L = β u L + α d L. a f = λ f a f = m f si f est un lepton si f est un quark γ(f R ) = f R, γ(f L ) = f L 35

Espace Fini D F = ( ) Y 0 0 Ȳ Y = Y q 1 3 Y l Y q = 0 0 M u 0 0 0 0 M d Mu 0 0 0 0 Md 0 0 Y l = 0 0 M e 0 0 0 Me 0 0 36

Fluctuations internes Bosons A = a i [D, a i ] a i, a i A ai [γ 5 D F, a i ] Higgs ( 0 ) X X 0 ( ) Mu ϕ X = 1 M u ϕ 2 M d ϕ 2 M d ϕ 1 X = ( M u ϕ 1 M d ϕ 2 M u ϕ 2 M d ϕ 1 ) 37

ai [D M 1, a i ] potentiels de jauge a i = (λ i, q i, m i ), a i = (λ i, q i, m i ) U(1) potentiel de jauge Λ = Σ λ i d λ i SU(2) potentiel de jauge Q = Σ q i d q i U(3) potentiel de jauge V = Σ m i d m i. 38

Hypercharges D D = D + A + JAJ 1 A = A trace V = Λ V = V + 1 3 Λ V est un potentiel de jauge SU(3) 4 3 Λ + V 0 0 0 0 2 3 Λ + V 0 0 0 0 Q 11 + 1 3 Λ + V Q 12 0 0 Q 21 Q 22 + 1 3 Λ + V 2Λ 0 0 0 Q 11 Λ Q 12 0 Q 21 Q 22 Λ 39

S. Coleman, Renormalization and symmetry : a review for non-specialists, in Aspects of Symmetry pp.99 112, Cambridge University Press, 1985. A. Chamseddine and A. Connes, The spectral action principle, Commun. Math. Phys. 186 (1997) 731 750. A. Chamseddine and A. Connes, Scale Invariance in the spectral action, Arxiv hep-th/0512169. J. Collins, Renormalization, Cambridge Monographs in Math. Physics, Cambridge University Press, 1984. A. Connes, M. Marcolli, Renormalization and motivic Galois theory, International Math. Research Notices, (2004), no. 76, 4073 4091. A. Connes, M. Marcolli, Anomalies, Dimensional Regularization and Noncommutative Geometry, in preparation. M. Veltman, Diagrammatica : the path to Feynman diagrams, Cambridge Univ. Press, 1994. 40