CAÙC BAØI TOAÙN PHÖÔNG TRÌNH HAØM TRONG TOAÙN HOÏC TUOÅI TREÛ GAÀN ÑAÂY File aøy ñaõ ñöôïc Update töø ñaàu aêm 29 ñeá heát aêm 2 I. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 29 Baøi T/375: - THTT thaùg /29 tr25 Cho haøm soá f : thoûa maõ hai ñieàu kieä: f ( t) f ( ) vaø laø haøm ñoàg bieá treâ \. CMR vôùi caùc soá döôg, y, z ta luoâ coù: t 2. f ( y z) y. f ( z y) z. f ( yz) () f ( t) Theo giaû thieát thì haøm soá laø haøm ñoàg bieá treâ \, eâ toà taïi caùc giôùi haï: t f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) lim vaø lim. Choï d R sao cho : lim d lim t t t t t t t t ta thu ñöôïc haøm f ( t) eáu t g() t d eáu t 2 Ñaët : y z a; z y b; yz c thì a yb zc. Khoâg maát tíh toåg quaùt coù theå giaû söû: a = maa, b, c Do a b c y z y yz z eâ a 2 :. Do a yb zc eâ yb a zc vaø zc a yb Ta bieá ñoåi veá traùi cuûa ( ) : T. f ( a) y. f ( b) z. f ( c) ag( a) ybg( b) zcg( c) döôùi daïg T ag(( a) g( b)) zc( g( c) g( b)) ( 2) T a( g( a) g( c)) yb( g( b) g( c)) ( 3) Neáu T thì töø ( 2), suy ra : c( g( c) g( b)) ( 4) Töø ( 3) suy ra : b( g( b) g( c)) ( 5) Töø ( 4) vaø ( 5) thu ñöôïc : ( b c)( g( b) g( c)) maâu thuaã vì g( ) ñoàg bieá treâ R Vaäy : T Ñaúg thöùc aûy ra khi y z. Baøi T/376: - THTT thaùg 2/29 tr24 Cho haøm soá f lieâ tuïc treâ R, thoûa maõ hai ñieàu kieä: f ( 2) 29 vaø f ( ). f ( ),, kí hieäu f ( ) f ( f ( f ( f ( )))). Tíh f ( 28) 4 4 Goïi D f laø taäp giaù trò cuûa haøm soá f(). Theo giaû thieát thì: 29 D f. Töø f ( ). f ( ), suy ra : f ( 2) D vaø f ( ), D 4 4 f 3 f 29 Do f lieâ tuïc treâ D : ; 29 D eâ f ( ), D f 3 29 Töø ñoù suy ra f laø ñô aùh treâ D vaø do f laø haøm lieâ tuïc treâ R eâ suy ra f laø haøm ghòch bieá treâ D. Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag:
Giaû söû D sao cho f ( ). Do f ghòch bieá eâ f ( ) f ( ) ( ) vaø f ( ) f ( ). Töø ñaây suy ra: f ( ) f ( ) ( 2) 3 2 3 2 Töø () vaø (2) suy ra: f ( ) hay f ( ) f ( ), maâu thuaã vôùi ñieàu ñaõ giaû thieát. 2 3 Vaäy khoâg toà taïi D ñeå f ( ) Laäp luaä töôg töï, ta cuõg CM ñöôïc khoâg toà taïi D ñeå f ( ) Vaäy eâ: f ( ), D. Maët khaùc, do 28D eâ suy ra : f ( 28) 28 Baøi T/377: - THTT thaùg 3/29 tr24 3 Tìm taát caû caùc hsoá f : thoûa maõ: f ( y) 2y( 3f ( ) y ) f ( y f ( )),, y () Thay y = 3 vaøo (), ta ñöôïc: Tieáp tuïc thay y = - f() vaøo (), ta thu ñöôïc: 3 3 Hay f ( f ( )) 8 f ( ) f ( ), 3 2 6 3 f ( ) 2 ( 3 f ( ) ) f ( f ( )), ( 3) Töø caùc (2) vaø (3), ta suy ra: Hay f f f (2) 3 f ( f ( )) 2 f ( )( 3 f ( ) f ( )) f ( ), 3 2 6 3 f ( ) 2 ( 3 f ( ) ) 8 f ( ) f ( ), 3 2 3 6 : ( ( ) )( 4 ( ) ( ) ), ( 4) 3 6 2 3 6 2 5 Nhaä eùt raèg : 4 f ( ) f ( ) ( 2 f ( ) ), 4 6 3 Do ñoù: ( 4) f ( ), Thöû haøm aøy vaøo ñieàu kieä baøi toaù, ta thaáy thoûa maõ. 3 Vaäy haøm soá caà tìm coù daïg: f ( ), Baøi T/378: - THTT thaùg 4/29 tr23 Tìm taát caû caùc haøm soá f, g, h aùc ñòh vaø lieâ tuïc treâ vaø thoûa maõ ñieàu kieä: f ( y) g( ) h( y),, y ( ) Trog () laà löôït cho y = vaø = ta thu ñöôïc: g( ) f ( ) a,, vôùi a h( ) ( 2) h( y) f ( y) b, y, vôùi b g( ) ( 3) Thay caùc giaù trò töø (2) vaø (3) vaøo (), ta ñöôïc: f ( y) f ( ) f ( y) ( a b),, y Hay: ( y) ( ) ( y),, y, vôùi ( t) f ( t) ( a b) ( 4) Ñaây laø PT haøm Cauchy ñoái vôùi haøm lieâ tuïc treâ R eâ (4) coù ghieäm () = c. f ( ) c a b Suy ra ghieäm cuûa () coù daïg: g( ) c b h( ) c a Thöû laïi, ta thaáy caùc haøm trog (5) thoûa maõ baøi ra. (5), trog ñoù a, b, c tuøy yù. Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 2
Baøi T2/379: - THTT thaùg 5/29 tr24 Tìm taát caû caùc hsoá f() aùc ñòh vaø lieâ tuïc treâ [;], coù ñaïo haøm trog (; ) vaø thoûa 2 ñieàu kieä: a/ 2. f '( ) f ( ) 29, ( ; ) b/ 29 f ( ) f ( ) Giaû söû toà taïi haøm soá f() thoûa maõ caùc ñieàu kieä baøi ra. Xeùt haøm soá: 29 2 g( ) e f ( ) treâ [ ; ] Vì f() lieâ tuïc treâ [; ] vaø coù ñaïo haøm trog (; ), suy ra g() laø haøm soá haøm soá lieâ tuïc treâ [;] vaø coù ñaïo haøm trog (;), suy ra g() laø haøm soá lieâ tuïc treâ [;] coù ñaïo haøm trog (;). 29 2 Ta coù: g'( ) e f ( ) e. f '( ) e 2 f '( ) f ( ) 29 2 2 Töø a/ suy ra g'( ), ( ; ). Vaäy g() laø haøm ñô ñieäu giaûm trog khoaûg (;). Maët khaùc, ta 29 coù: f() = f() = eâ g() = g() = 29 Suy ra: g() = treâ [;] vaø f() = Thöû laïi, ta thaáy haøm soá aøy thoûa maõ caùc ñieàu kieä baøi ra. Baøi T/38: - THTT thaùg 6/29 tr23 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: f ( ) f ( m ). f ( m) m, m, () Thay m = ; = vaøo (), ta ñöôïc f() = hoaëc f() = Thay = 2 vaø m = 2 vaøo (), ta ñöôïc f(4) = f(4).f() + 4 eâ f ( ). Do ñoù : f ( ) Thay m = t; = t vaøo (), ta ñöôïc: f(t 2 ) = f(2t).f() + t 2 = t 2, töùc laø f() =, (2) Xeùt = vaø m = t >. Theá vaøo ñieàu kieä (), ta ñöôïc: f() = f(t).f(-t) + t, hay t. f ( t) t, t Suy ra: f ( t) t, t (3) Töø (2) vaø (3) suy ra: f(). Thöû laïi ñieàu kieä (), ta thaáy haøm aøy thoûa maõ Keát luaä: f(). Baøi T4/THPT (Thi 45 aêm THTT): - THTT thaùg 8/29 tr26 Haõy aùc ñòh taát caû caùc haøm soá : thoûa maõ ñieàu kieä: f f ( y). f ( yz). f ( z). f ( y). f ( y z). f ( z ) 29 ( ), y, z Cho = y = z = t, töø () ta thu ñöôïc: Tieáp theo, cho = y = t, z =, ta ñöôïc: 2 3 f ( 2t). f ( t ) 29 (2) f ( t ). f ( t)( f ( t). f ( t )) 2 29 2 3 2 3 Keát hôïp vôùi (2), ta suy ra: ( f ( t). f ( t )) 29 hay f ( t). f ( t ) 29 (3) Tieáp theo thay t = t + trog (3) roài laïi keát hôïp vôùi (3) ta suy ra: f ( t 2) f ( t), t (4) Trog () choï z = vaø keát hôïp vôùi (3), ta thu ñöôïc: Laà löôït thay y = 2 vaø y = 4 trog (5), ta haä ñöôïc: f ( y). f ( y) 3 29 (5) Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 3
3 2 2 29 6 f ( ). f ( ) ( ) 3 4 4 29 f ( ). f ( ) Keát hôïp vôùi (4), suy ra f(2) = f(4) hay f ( 2t) f ( t), t (7) 2 3 6 Töø (4), (6), vaø (7) cho ta ( f ( )) 29 hay f ( ) 29, do f ( ), Thöû laïi, ta thaáy haøm f() = thoûa maõ ñieàu kieä ñeà baøi. Laäp luaä töôg töï, ta cuõg chöùg mih ñöôïc ghieäm cuûa baøi toaù toåg quaùt: "Cho a >, aùc ñòh taát caû caùc haøm soá : thoûa maõ ñieàu kieä: i j; i, j f f ( ). f ( ) a, coù ghieäm duy haát laø haøm haèg i j i j i ( ) f ( ) a " Baøi T7 THPT (Thi 45 aêm THTT): - THTT thaùg /29 tr26 Cho haøm soá f : thoûa maõ caùc tíh chaát: ( f ( 2) f ( 2 ) ).( f ( 2 ) f ( 2) ) 3( 2 f ( )) f ( 2) f ( ) vôùi moïi soá töï hieâ. Haõy tìm caùc soá töï hieâ sao cho f() 29 Do 3(+2f()) laø soá guyeâ döôg leû, suy ra f(2+) - f(2) - laø soá guyeâ döôg leû, do ñoù: f ( 2 ) f ( 2) 2 f ( 2) f ( ) ñuùg vôùi moïi soá töï hieâ Bôûi vaäy: f ( 2 ) f ( 2) 2 f ( 2) 3 2 f ( ), f ( 2 ) f ( 2) Töø ñoù ta coù:, N f ( 2 ) f ( 2) 3( 2 f ( )) Suy ra thì f(2+) = f(2) + 2; f(2) = 3f() Tieáp theo ta seõ CM baèg quy aïp theo raèg: f() < f( + ) (2) Töø () ta coù: f() = f() + 2 > f() (f() = 3f()=> f() = ) Giaû söû ñaõ coù f() < f() <... < f(k), k Neáu k chaü, k = 2m ( m ) thì: f ( k ) f ( 2m ) f ( 2m) 2 f ( 2m) f ( k) Neáu k leû, k = 2m + ( m ) thì: f ( k ) f ( 2m 2) 3 f ( m ) 3( f ( m) ) 3 f ( m) 2 f ( 2m) 2 f ( 2m ) f ( k) (Chuù yù: k = 2m + => m + k => f(m) < f(m+) =>f(m) + f(m+) do taát caû caùc soá ôû ñaây ñeàu laø caùc soá guyeâ) Nhö vaäy trog moïi Tröôøg hôïp, ta coù: f(k+) > f(k), töùc laø khaúg ñòh (2) ñuùg Töø () ta ñaõ coù: f() = ; f() = 2 Do ñoù: f ( 2) 3 f ( ) 6; f ( 3) f ( 2) 2 8; f ( 3) f ( 2) 2 f ( 2. 3) 2 3. f ( 3) 2 74 f ( 27) f ( 2. 3) 3. f ( 3) 2 224 f ( ) f (. ). f ( ) 53 2 3 3 3 2 668 f ( ) f (. ). f ( ) 8 7 3 27 26 f ( 7) f ( 2. 53) 3. f ( 53) 2 26 Bôûi vaäy: f(7) < 29 < f(8). Keát hôïp vôùi (2) ta coù keát luaä f() 29,, 2,..., 7 Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 4
II. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 2 Baøi T/387: - THTT thaùg /2 tr23 Coù toà taïi hay khoâg haøm soá f : thoûa maõ ñoàg thôøi 2 tíh chaát: a/ f lieâ tuïc treâ R b/ f ( 28).( f ( ) 29) 2,? Giaû söû toà taïi haøm soá f lieâ tuïc treâ R vaø thoûa maõ ñieàu kieä: f ( 28).( f ( ) 29) 2, () Khi ñoù: f ( ) vaø f ( ) 29 treâ. Vì f lieâ tuïc treâ R eâ chæ coù theå aûy ra moät trog 3 thôïp ñoái vôùi mieà giaù trò cuûa f (kí hieäu laø Imf) hö sau: Im f ( ; 29); Im f ( 29; ); Im f ( ; ). Neáu Im f ( ; 29) thì f ( 28).( f ( ) 29) 2, Neáu Im f ( 29; ) thì 29 f ( 28) eâ 29 f ( 28) vaø f ( ) 29, keùo theo : f ( 28).( f ( ) 29) 29 2, ( 2) Töø ( 2) suy ra : f ( 28).( f ( ) 29) 2, Neáu Im f ( ; ) thì f ( 28).( f ( ) 29) 2, Keát luaä: Khoâg toà taïi haøm soá thoûa maõ ñieàu kieä baøi ra. Baøi T/388: - THTT thaùg 2/2 tr24 Cho haøm soá f : thoûa maõ caùc tíh chaát: a/ f() = ; b/ f ( ) vôùi ; c/ f f ( ) f f. 24 8 3 Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 5 29 Ñaët F( ) f ( ). Haõy tíh F( 29) Töø tíh chaát c/ suy ra: f ( ) f f f () 3 8 24 2 9 Töø () suy ra: f ( ) f f f 3 3 24 24 2 9 f ( ) f f f 9 3 24 8 Do ñoù: f ( ) f f f 9 f ( ) f f f 9 () 8 8 8 8 2 9 T öø suy ra : f ( ) f f f 8 8 8 8 2 3 f ( ) f f f 8 8 8 8... 7 5 f ( ) f f f 8 8 2
Do ñoù: f ( ) f ( ) f ( ) f ( 2) () Trog () cho = -, vaø do f() = ta thu ñöôïc: f(-) + f() = 2, eâ töø giaû thieát b/ suy ra f(-) = f()=. Do ñoù:f() = f() = f(2) = f(3) =... = f(2.29) = vaø vì vaäy f(29) = 2. Boå ñeà: Cho caëp soá thöïc döôg a, b sao cho ab laø soá höõu tæ vaø haøm soá f() bò chaë thoûa maõ ñieàu kieä: f ( a b ) f ( ) f ( a) f ( b), thì haøm soá f() laø haøm soá tuaà hoaø. (CM theo pp quy aïp) Baøi T/39: - THTT thaùg 4/2 tr23 Vôùi soá guyeâ döôg cho tröôùc, haõy aùc ñòh taát caû caùc haøm soá f : sao cho vôùi moïi, y ta coù: / Neáu f() = f(y) thì = y; 2/ f ( f ( f (...( f ( f ( ) f ( y)))...))) y goàm m laà f () Kí hieäu: f ( f ( f (...( f ( f ( ) f ( y)))...))) f ( ) vaø f ( ) f ( ); f ( ) m goàm m laà f Töø ñieàu kieä giaû thieát / suy ra: Neáu: f ( ) f ( y) vôùi thì y Trog 2/ thay bôûi + y; y bôûi, ta thu ñöôïc: f ( f ( y) f ( )) y f ( f ( ) f ( y)),, y m m Suy ra, theo / coù: f ( y) f ( ) f ( ) f ( y),, y () Ñaët f() = a, thì () coù daïg: f ( y) a f ( ) f ( y),, y (2) Theá = ; y = vaøo 2/ ta thu ñöôïc f m (2a) = Tieáp tuïc theá = f m- (2a); y = vaøo 2/, ta thu ñöôïc: f ( f ( 2a) f ( )) f ( 2a) m m m Suy ra: f ( a ) f ( 2 a ) hay f ( a ) 2 a (3) m m Töø (2) vaø (3), baèg quy aïp, ta thu ñöôïc: f ( 2a ) ( m 2 ) a. Suy ra a m Vaäy (2) coù daïg: f ( y) f ( ) f ( y),, y (4) Töø ñaây suy ra f() = vaø f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2 f ( )... f ( ) ( ) f ( ) ( ). f ( ) m m Ñaët f() = b thì f() = b, vaø f ( f ( ) f ( y)) b ( b by) eâ b ( b by) y,, y Suy ra: b m+ = eâ b = (do m, b ) Vaäy: f() =, Thöû laïi, ta thaáy haøm soá aøy thoûa maõ. Baøi T/392: - THTT thaùg 6/2 tr23 Haõy aùc ñòh taát caû caùc haøm soá lieâ tuïc f : thoûa maõ ñieàu kieä: f ( 2 f ( y)) f ( 29) f ( y),, y () m Thay (;y) = (;) vaøo (), ta ñöôïc:f(-f()) = Tieáp tuïc thay (;y) = (t; -f()) vaøo () vaø söû duïg ñaúg thöùc f(-f()) =, ta ñöôïc: f ( 2t) f ( 29t) t, t ( ') hay : g( 2t) g( 29t) t, t ( 2), vôùi g( t) f ( t) t 29 Vieát laïi (2) döôùi daïg: g( ) g, 2 Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 6
29 Suy ra, vôùi moïi, ta coù: g( ) g, (3) 2 Theo gthieát, hsoá f() lieâ tuïc treâ R eâ g() cuõg laø haøm soá lieâ tuïc treâ R. Töø (3) ta thu ñöôïc: 29 g( ) g lim f ( ), 2 Hay g( ) c,, töùc laø f() = + c, vôùi haèg soá c tuøy yù. Thöû laïi, ta thaáy haøm soá f()= + c, vôùi haèg soá c tuøy yù, thoûa maõ ñieàu kieä baøi toaù. Baøi T2/393: - THTT thaùg 7/2 tr24 Haõy aùc ñòh taát caû caùc haøm soá lieâ tuïc f : thoûa maõ ñieàu kieä: f ( f ( y)) 2y f ( ),, y () Nhaä eùt raèg f laø moät ñô aùh. Thaät vaäy, eáu f ( y ) f ( y ) thì öùg vôùi moãi ta coù: 2 f ( f ( y )) f ( f ( y )) hay 2y f ( ) 2y f ( ), töùc y y 2 2 2 Tieáp theo, töø ñk () cuûa baøi ra, ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f (eáu toà taïi) laø R, eâ toà taïi a thuoäc R ñeå f(a) = Töø (), öùg vôùi y = a, ta thu ñöôïc: f ( f ( a)) 2a f ( ) hay f ( ) 2a f ( ), töùc a vaø f ( ) Töø (), öùg vôùi =, ta thu ñöôïc: f ( f ( y)) 2y f ( ) 2y hay f ( f ( y)) 2y, y (2) Tieáp tuïc thay = f(t) trog () vaø söû duïg (2), ta thu ñöôïc: f ( f ( t) f ( y)) 2y f ( f ( t)) 2y 2t 2( y t) f ( f ( y t)) Hay: f ( y) f ( ) f ( y),, y (3) (do tíh ñô aùh cuûa f) Töø ñoù (3) laø PT haøm Cauchy coäg tíh vaø lieâ tuïc, eâ coù ghieäm f() = b. Theá vaøo (), ta thu ñöôïc: 2 b,, eâ b 2 2. Thöû laïi, ta thaáy hai haøm soá f ( ) 2 thoûa maõ baøi ra. Baøi T/394: - THTT thaùg 8/2 tr25 Haõy aùc ñòh taát caû caùc haøm f : thoûa maõ: f ( f ( ) y) f ( y) f ( y) y () Töø () cho y = ta ñöôïc: f ( f ( )) f ( ) f ( ), (2) Trog (2) cho = ta ñöôïc: f ( f ( )) f ( ) (3) Tieáp tuïc, töø () thay y bôûi f(y) vaø söû duïg (2) ta thu ñöôïc: f ( f ( ) f ( y)) f ( f ( y)) f ( f ( y)) f ( y) ( f ( y) yf ( ) y y ) ( f ( y) yf ( ) y ) f ( y) Hay : f ( f ( ) f ( y)) f ( y) yf ( ) yf ( ) 2y y 2,, y ( 4) Hoaù vò vai troø cuûa vaø y trog (4), ta thu ñöôïc: f ( f ( ) f ( y)) f ( y) f ( y) yf ( ) 2y 2,, y ( 5) Töø (4) vaø (5) suy ra: yf ( ) y f ( y),, y ( 6) Trog (6) cho =, y = thì f() =. Thay vaøo (3) ta ñöôïc f(f()) = 2 Töø (6) thay y = vaø söû duïg heä thöùc f(f()) = 2, ta thu ñöôïc haøm soá f() = + Thöû laïi, thaáy haøm soá aøy thoûa ñk () Keát luaä: Haøm soá caà tìm laø f() = + Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 7
Baøi T/397: - THTT thaùg /2 tr24 Cho haøm soá f lieâ tuïc treâ R vaø thoûa maõ 2 ñieàu kieä: f ( 22) 2. Kí hieäu : f ( ) f ( f (... f ( ))...). Tíh f ( 2) f ( ). f ( ), R 4 laà f Goïi D f laø taäp giaù trò cuûa haøm soá f(). Theo giaû thieát thì: 2 D f. Töø f ( ). f ( ), suy ra : f ( 22) D vaø f ( ), D 4 4 f 3 f 2 Do f lieâ tuïc treâ D : ; 2 D eâ f ( ), D f 3 2 Töø ñoù suy ra f laø ñô aùh treâ D vaø do f laø haøm lieâ tuïc treâ R eâ suy ra f laø haøm ghòch bieá treâ D Giaû söû D sao cho f ( ). Do f ghòch bieá eâ f ( ) f ( ) ( ) vaø f ( ) f ( ). Töø ñaây suy ra: f ( ) f ( ) ( 2) 3 2 3 2 Töø () vaø (2) suy ra: f ( ) hay f ( ) f ( ), maâu thuaã vôùi ñieàu ñaõ giaû thieát. 2 3 Vaäy khoâg toà taïi D ñeå f ( ) Laäp luaä töôg töï, ta cuõg CM ñöôïc khoâg toà taïi D ñeå f ( ) Vaäy eâ: f ( ), D. Maët khaùc, do 2D eâ suy ra : f ( 2) 2 Baøi T/398: - THTT thaùg 2/2 tr22 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ caùc ñieàu kieä: f ( f ( m) 2. f ( )) m 2, m; (laø baøi toaù loaïi khoù, hög hay, loaïi aøy töøg coù trog ñeà caùc taïp chí, kyø thi caùc öôùc) Nhaä eùt : Neáu m ; m ; f ( m ) f ( m ), laáy tuøy yù ta coù : 2 2 m 2 f ( f ( m ) 2. f ( )) f ( f ( m ) 2. f ( )) m 2 m m. Töùc f ( ) laø haøm ñô aùh 2 Vôùi m, kí hieäu a f ( ), ta haä ñöôïc f ( a ) 2 3 3 4 Ta laïi coù : ( 5a ) 2( a ) 27a ( 3a ) 2( 3a ) f f a f a a f f a f a f 4 ( ( 5 ) 2 ( )) 27 ( ( 3 ) 2 ( 3 )) ( 27) f ( a ) f ( a ) 5 7 Vì chæ coù 2 caëp caùc soá guyeâ döôg ( ; y) thoûa maõ : 2y 27 laø: ( ; y) ( 3; 3) vaø ( ; ) ( 5; ) ( 5 ) ( ) y vaø do f a f a ta suy ra : f ( 5a ) 5; f ( a ) Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 8
Töôg töï : ( 5a ) 2( 2a ) 33a ( a ) 2( 4a ) 4 f ( 5a ) 2 f ( 2a ) f ( a ) 2 f ( 4a ) 2 2( f ( 4a ) f ( 2a )) f ( 5a ) f ( a ) 5 24 f ( a ) f ( a ) 4 Cuõg hö vaäy, vì pt y 2 ( y)( y) 2 ( y) 2 vaø ( y) 6 4; y 2. Suy ra : f ( 4a ) 4 ; f ( 2a ) 2 Vôùi soá guyeâ döôg m tuøy yù, vì : ( m 4) 2( m ) m 2( m 3) eâ f m a f m a f ma f m a : (( 4) ) 2 (( ) ) ( ) 2 (( 3) ) Do ñoù, eáu ta ñaõ keát luaä ñöôïc suy ra khaúg ñòh ñoù cuõg ñuùg vôùi k = m + 4 2 Bôûi vaäy, baèg PP quy aïp ta coù: f ( ka ) k, k. Khi ñoù: 3 2 3 f ( a ) f ( a. a ) a f ( ) a a Nhö vaäy f ( k) k, k 2 f ( ka ) k vôùi k = ;2;...;m+3 (ôû treâ ñaõ cm vôùi k = ;2;3;4;5) thì ta vaø roõ raøg haøm soá aøy thoûa maõ ñieàu kieä cuûa baøi toaù. Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 9
III. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 2 Baøi T/399: - THTT thaùg /2 tr24 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: f ( y) f ( y) y y, ; y ( ) Thay = 2; y = 2 vaøo (), ta ñöôïc f(4) = 4 Laà löôït thay ( = ; y = ); ( = 2; y = ); ( = 3; y = ) vaøo (), ta thu ñöôïc: f ( 2) f ( ) 3 f ( 3) f ( 2) 5 f ( 4) f ( 3) 7 Do f ( 4) 4, eâ f ( 3) 3; f ( 2) 2 vaø f ( ) Theá t; y / t vaøo ( ) vaø söû duïg ñaúg öùc f ( ), ta thu ñöôïc : f ( t ) f ( ) t ; t. Hay : f ( t ) t ; t ( 2) t t t t Do t vôùi t haä moïi giaù trò trog [ 2; ) eâ töø ( 2) suy ra f ( ), 2 ( 3) t Tieáp tuïc theá y 2 vaøo ( ), ta thu ñöôïc : f ( 2) f ( 2) 3 2, ( 4) Söû duïg heä thöùc ( 3) coù: f ( 2) 2, Töø ( 4) ta thu ñöôïc : f ( 2) 2, hay f ( ), Thöû laïi, ta thaáy haøm aøy thoûa maõ ñieàu kieä () Keát luaä: haøm duy haát thoûa baøi toaù laø: f() = Baøi T/4: - THTT thaùg 2/2 tr23 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: f ( ). f ( y). f ( yf ( )), ( ) ( vôùi, cho tröôùc) (Laø baøi khoù, khoâg coù duøg tíh lieâ tuïc) Neáu f ( ) c thoûa ( ) thì c Ta chöùg mi h f ( ), Thaät vaäy, giaû söû toà taïi maø f ( ) ( ; ) thì khi thay ; y vaøo ( ), ta ñöôïc : f ( ). f. f f ( ) f ( ) f ( ) Suy ra f ( ), voâ lyù Tieáp theo ta cm f ( ) vôùi moïi Thaät vaäy, giaû söû toà taïi y maø f ( y ) ( ; ) thì eùt daõy soá : ; y. f ( ), f ( y ) f ( y ) Keát hôïp ñieàu kieä ( ) ta thu ñöôïc : f ( ) f ( y. f ( )) f ( ).... f ( ) f ( y ) Do lim, suy ra : lim f ( ), ( ), maâu thuaå f Keát hôïp ( ), suy ra : f ( ) f ( yf ( )),, y ( 2) töùc f ( ) laø haøm taêg ( khoâg giaûm) treâ Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag:
Giaû söû f ( ), thì f ( ) laø haøm ñoàg bieá ( taêg gaët) treâ Trog ( ) ñoåi vai troø ; y, ta haä ñöôïc: f ( yf ( )) f ( y f ( y)),, y f ( ) f ( y) hay yf ( )) y f ( y),, y,, y y hay f ( ). Vôùi moïi haèg soá, haøm aøy khoâg oûa maõ ( ) Vaäy toà taïi : ñeå f ( ) Do f ( ) khoâg giaûm eâ f ( ) vôùi ( ; ] Trog ( ) thay ; y ta thu ñöôïc : f (( ) ) Laäp luaä töôg töï, ta thu ñöôïc : f ( ), [ ;( ) ] Tieáp tuïc quaù trìh aøy, theo guyeâ lyù quy aïp, ta thu ñöôïc f ( ) Thöû laïi ta thaáy haøm aøy thoûa () Keát luaä: haøm duy haát thoûa baøi toaù laø f ( ), Baøi T/4: - THTT thaùg 3/2 tr23 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: 4 3 3 f ( f ( y)) f ( y) 4 f ( y) 6 f ( y) 4f ( y) f ( ), ; y (Laø baøi khoù, coi chöøg thieáu f() = ) 4 4 Vieát laïi ñieàu kieä baøi toaù daïg: f ( f ( y)) f ( ) ( f ( y)), ; y ( ) Neáu f() = a thì töø () ta thu ñöôïc a = vaø f() = thoûa ñeà baøi. Xeùt f(), töùc toà taïi ñeå f ( ) Theá y vaøo ( ), ta thu ñöôïc f ( f ( )) f ( ) ( f ( )), ( ) 4 4 2 Veá phaûi laø ña thöùc baäc 3 theo eâ où laø haøm soá coù taäp giaù trò laø R. Vaäy eâ, veá traùi cuõg laø haøm soá coù taäp giaù trò laø R vaø vôùi moïi ñeàu toà taïi u; v ñeå f ( u) f ( v) 4 Thay vaøo ( ), ta ñöôïc : f ( f ( y)) ( f ( y)) a. y ( 3) Tieáp tuïc thay bôûi f ( ) vaøo ( ), ta ñöôïc : f f y f f f f y f f y 4 4 ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )), ; ( 4) 4 Töø ( 3);( 4) suy ra : f ( f ( y) f ( )) ( f ( y) f ( )) 4, ; y 4 4 Suy ra : f ( ) f ( f ( u) f ( v)) ( f ( u) f ( v)) a a, Thöû laïi, ta thaáy haøm soá aøy thoûa ñieàu kieä ñeà Keát luaä: caùc haøm soá caà tìm laø: f() = ; f() 4 a, a Baøi T2/42: - THTT thaùg 4/2 tr25 Tìm taát caû caùc soá thöïc döôg a sao cho toà taïi soá thöïc döôg k vaø haøm soá f : thoûa maõ: f ( ) f ( y) y a f ( ) k y ; ; y (Laø baøi töôg töï T/328) Giaû söû a laø soá thöïc döôg thoûa maõ ñeà ra vaø k, f thoûa maõ ñieàu kieä: f ( ) f ( y) y a f k y,, y ( ) 2 2 Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag:
Kí hieäu k Ta CM baát ñaúg thöùc ( 2a). 2,. : f ( ) f ( y) y a f y,, y, ( 2) baèg PP quy aïp 2 2 Thaät vaäy, BÑT (2) ñuùg vôùi = theo (). Giaû söû BÑT (2) ñuùg vôùi = m. Aùp duïg lieâ tieáp BÑT (2) vôùi caëp (;y) laà löôït ñöôïc thay bôûi caëp: y 3 3 ; y ; ; y ; y ; y roài coäg caùc veá töôg öùg caùc BÑT ño, thu ñöôïc: 2 2 4 4 a f ( ) f ( y) y y y a f 4 f y,, y m a m Vaäy BÑT ( 2) ñuùg Nhaä eùt raèg khi < a < 2 thì lim eâ BÑT ( 2) khoâg thoûa maõ a Xeùt a 2, choï f ( ) ; k. Khi ñoù BÑT ( ) coù daïg : a 2 a a a a y y y 2 ( 3) Ñeå cm BÑT (3), ta chæ caà CM cho TH a > 2 vaø > y > (khi a = 2 hoaëc = y thì (3) chíh laø haèg a a a a a ñaúg thöùc). Coá ñòh y >, eùt haøm soá: f ( ) 2 ( y ) (( y) ( y) ), vôùi y y trog eâ g t g t a a a a Ta coù: f '( ) a. 2 g( ), trog ñoù g( t) ( t) ( t) laø haøm ñoág bieá a [ ; ] ( ) ( ) 2, [ ; ] Do ñoù f '( ), y vaø f ( ) f ( y) ( ñfcm) Keát luaä: a 2 Baøi T/43: - THTT thaùg 5/2 tr24 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: f ( f ( y)) f ( ) f ( y) f ( ) f ( y) y, ; y ( ) (Laø baøi döïa treâ baøi 4 Quoác gia 25 Baûg A: Tìm taát caû caùc haøm soá f : f ( f ( y)) f ( ) f ( y) f ( ) f ( y) y, ; y ) Ñaët f() = a. Töø () cho = ; y = thu ñöôïc f(f()) = a 2 2 Tieáp theo, cho = t; y = t vaøo (), ta ñöôïc: ( f ( t)) t a ( 2) Töø ñaây suy ra ñaúg thöùc: f( ) = f( 2 ) keùo theo thoûa maõ: Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 2 Töø (2) ta thu ñöôïc: 2 ( f ( t)) ( f ( t)) hay ( f ( ) f ( ))( f ( ) f ( )), ( 3) Töø ( ) thay y, ta ñöôïc : f ( f ( )) af ( ) f ( ) a, ( 4) Tieáp theo thay, ta coù: f ( f ( y)) af ( y) f ( y) a hay f ( f ( )) af ( ) f ( ) a, ( 5) Töø ( 4) vaø ( 5) cho ta : a( f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) 2a, ( 6) GS toà taïi sao cho f ( ) f ( ) Theá vaøo ( 6), ta ñöôïc f ( ) a f ( ) eâ, töùc ( voâ lyù) Vaäy f ( ) f ( ), 2
Töø ( 6) suy ra : a( f ( )), eâ a vì eáu f ( ) thì maâu thuaã vôùi ñieàu kieä f ( ) f ( ),. Theá a vaøo ( 2), ta ñöôïc : ( f ( ) )( f ( ) ), Giaû söû toà taïi sao cho f ( ) thì f ( ) f ( f ( )) f ( ) Suy ra Vaäy eâ f ( ) traùi giaû thieát Thöû laïi, ta thaáy haøm f() =, thoûa ñeà baøi. Baøi T/44: - THTT thaùg 6/2 tr24 2 Tìm taát caû caùc haøm soá f : ( ; 2] thoûa maõ: f ( ) 2 2, y f ( y) (coù theå cm lim f ( ) 2 töø ñoù suy ra f() = 2) f ( ) 2 BÑT ñaõ cho töôg ñöôg vôùi: 2, y ( ) 2 f ( y) f ( ) 2 f ( ) Vì f ( ) vaø f ( y) eâ theo Cauchy : 2., y ( 2) 2 f ( y) f ( y) Töø ( ) vaø ( 2) cho ta : f ( ) f ( y), y, töùc f ( t) laø haøm ñô ñieäu giaûm treâ 2 2 Vaäy öùg vôùi moãi cho tröôùc ta ñeàu coù : f ( ) 2 2 2 2, y, f ( y) f ( ) 2 Hay ( f ( ) 2) f ( ) 2 Vaäy f() = 2. Thöû laïi, ta thaáy haøm f() = 2 thoûa maõ baøi toaù. Baøi T/45: - THTT thaùg 7/2 tr23 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: i/ f taêg thaät söï ii/ f ( f ( )) 4 9, iii/ f ( f ( ) ) 2 9, Töø ñieàu kieä iii/, ta suy ra: f ( f ( 2) 2) 4 9, ( ) Söû duïg ii/, töø () ta thu ñöôïc: f ( f ( 2) 2) f ( f ( )), ( 2) Do f taêg thöïc söï treâ N eâ töø (2) suy ra: f ( 2) 2 f ( ), hay f ( 2) f ( ) 2, ( 3) Tôùi ñaây, ta ñoaù f() laø CSC vôùi coâg sai ; hoaëc 2, hoaëc... Tröôùc heát baùc boû TH coâg sai Giaû söû sao cho f ( ) f ( ) thì suy ra : f ( ) f ( ) ( ) hay : f ( f ( ) ) f ( f ( ) ( )) maø theo iii / thì : 2 9 f ( f ( ) ) f ( f ( ) ( )) 2 ( maâu thuaå) Vaäy eâ : f ( ) f ( ), Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 3
Do f taêg thöïc söï treâ eâ f ( ) f ( ) 2, Do ñoù: f ( ) 2 f ( 2) f ( 2 ) 2 f ( 2 2) 4... f ( ) ( 2 2) f ( ) 2 suy ra : f ( ) f ( ) 2, Vaäy daõy f ( ) laø CSC vôùi coâg sai laø 2 eâ f ( ) 2( ) f ( ) () Theá vaøo ii / f ( f ( )) 4 9, ta coù: 4 9 f ( 2( ) f ( )) 2( 2( ) f ( ) ) f ( ) ( do ()) suy ra f ( ) 5. Vaäy eâ f ( ) 2 3 Thöû laïi thaáy f ( ) 2 3 thoûa ñeà baøi. Baøi T/47: - THTT thaùg 9/2 tr24 Tìm taát caû caùc haøm soá f : thoûa maõ: f ( y f ( y)) f ( f ( )) 2y, ; y () (Laø daïg que thuoäc) - Tröôùc heát, CM f laø ñô aùh Töø ñk baøi, hoaù vò vai troø ; y cho hau, ta thu ñöôïc: f ( y f ( )) f ( f ( y)) 2, ; y ( 2) Giaû söû: f ( ) f ( y), khi ñoù töø ( ) vaø ( 2) suy ra gay y Vaäy f ñô aùh. Thay y = vaøo (), ta thu ñöôïc: f( + f()) = f(f()) vôùi moïi soá thöïc Hay f() = + f() (do tíh ñô aùh cuûa f), töùc f() = + a, a Thöû laïi tröïc tieáp, ta thaáy haøm soá aøy thoûa maõ ñieàu kieä (). Baøi T/49: - THTT thaùg /2 tr24 Tìm taát caû caùc haøm soá f : lieâ tuïc treâ vaø thoûa maõ: f ( y) f ( y) f ( y ) f ( y), ; y () Vieát laïi pt () döôùi daïg: f ( y ) f ( y) f ( y) f ( y), ; y ( 2) - Trog (2) thay y bôûi y, ta thu ñöôïc: - Töø (2) vaø (3) suy ra: f y f y f y f y y ( ) ( ) ( ) ( ), ; ( 3) f y f y f y f y y ( ) ( ) ( ) ( ), ; ( 4) 3 3 - Trog (4) tieáp tuïc thay y bôûi y, ta thu ñöôïc: f ( y ) f ( y) f ( y) f ( y), ; y ( 5) - Töø (2) vaø (5) suy ra: 3 3 f ( y ) f ( y) f ( y) f ( y), ; y Baèg pp quy aïp ta chöùg mih ñöôïc vôùi moïi, coù: f ( y ) f ( y) f ( y) f ( y), ; y ( 6) Xeùt ( ; ) \. Töø giaû thieát f laø haøm lieâ tuïc treâ, eâ töø (6), ta thu ñöôïc: f ( y) f ( ) lim f ( y) f ( ) lim f ( y ) f ( y) f ( lim ( y )) f ( lim ( y)) f ( ) f ( ) Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 4 eâ : f ( y) f ( ) f ( y) f ( ), y, ( ; ) \ ( 7) Khi \ [ ; ]. Töø giaû thieát f laø haøm lieâ tuïc treâ, eâ töø (6), ta thu ñöôïc: f ( y) f ( ) lim f ( y) f ( ) lim f ( y ) f ( y) f ( ) f ( ) eâ : f ( y) f ( ) f ( y) f ( ), y, \ [ ; ] ( 8)
- Töø (7) vaø (8), ta thu ñöôïc: f y f f y f y Nhaä eùt raèg, vôùi moãi y coá ñòh ñeàu toà taïi giôùi haï f ( y) f ( ) f ( y) f ( ), y ( ) vaø f ( y) f ( ) f ( y) f ( ), y ( ) Töø ( 9);( ) vaø ( ) suy ra : f ( y) f ( ) f ( y) f ( ), ; y ( 2) ( ) ( ) ( ) ( ),, \ ; ; ( 9) lim f ( y) eâ töø (9) suy ra: Ñaët f() - f() = g() thì g cuõg laø haøm lieâ tuïc treâ vaø (2) coù daïg: g( y) g( ) g( y), ; y ( 3) (3) laø phöôg trìh haøm Cauchy trog lôùp haøm lieâ tuïc eâ coù ghieäm g() = a, suy ra f() = a + b Thöû laïi, ta thaáy haøm f() = a + b thoûa maõ ñieàu kieä () vôùi moïi a; b Chuù yù: - Traùh haàm laã vôùi baøi toaù trog lôùp haøm coù ñaïo haøm (baøi aøy chæ lieâ tuïc) - Khi ñaët y = z vaø em z laø bieá ñoäc laäp thì khoâg ñuùg vì khi eùt z = thì haát thieát phaûi coù = hoaëc y =. Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 5
MUÏC LUÏC CAÙC BAØI TOAÙN PHÖÔNG TRÌNH HAØM TRONG TOAÙN HOÏC TUOÅI TREÛ GAÀN ÑAÂY... I. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 29... Baøi T/375: - THTT thaùg /29 tr25... Baøi T/376: - THTT thaùg 2/29 tr24... Baøi T/377: - THTT thaùg 3/29 tr24... 2 Baøi T/378: - THTT thaùg 4/29 tr23... 2 Baøi T2/379: - THTT thaùg 5/29 tr24... 3 Baøi T/38: - THTT thaùg 6/29 tr23... 3 Baøi T4/THPT (Thi 45 aêm THTT): - THTT thaùg 8/29 tr26... 3 Baøi T7 THPT (Thi 45 aêm THTT): - THTT thaùg /29 tr26... 4 II. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 2... 5 Baøi T/387: - THTT thaùg /2 tr23... 5 Baøi T/388: - THTT thaùg 2/2 tr24... 5 Baøi T/39: - THTT thaùg 4/2 tr23... 6 Baøi T/392: - THTT thaùg 6/2 tr23... 6 Baøi T2/393: - THTT thaùg 7/2 tr24... 7 Baøi T/394: - THTT thaùg 8/2 tr25... 7 Baøi T/397: - THTT thaùg /2 tr24... 8 Baøi T/398: - THTT thaùg 2/2 tr22... 8 III. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 2... Baøi T/399: - THTT thaùg /2 tr24... Baøi T/4: - THTT thaùg 2/2 tr23... Baøi T/4: - THTT thaùg 3/2 tr23... Baøi T2/42: - THTT thaùg 4/2 tr25... Baøi T/43: - THTT thaùg 5/2 tr24... 2 Baøi T/44: - THTT thaùg 6/2 tr24... 3 Baøi T/45: - THTT thaùg 7/2 tr23... 3 Baøi T/47: - THTT thaùg 9/2 tr24... 4 Baøi T/49: - THTT thaùg /2 tr24... 4 Biê tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toatitragchu/ Trag: 6