Examen Astrofísica Relativista 1 ØÖÓ Ê Ð Ø Ú Ø Ü Ñ Ò Ë Ö Ó Å Ò ÓÞ < Ö ÓÑ Ò ÓÞÞ ºÓÖ > http://www.mendozza.org/sergio ÁÒ Ø ØÙØÓ ØÖÓÒÓÑ È ¼¹¾ ÍÆ Å Ù Å Ü Ó Å Ü Óº ÂÙÐ Ó ½ ¾¼½ Contesta TANTAS preguntas como te sea posible. Para el examen utiliza la siguiente notación: índices latinos toman valores 1,2,3 y los griegos 0,1,2,3, G la constante de gravitación de Newton y c la velocidad de la luz en el vacío. En todos tus cálculos enfatiza la física y explica, di no a las matemáticas sin sentido!. Si por ejemplo el inciso (a) de alguna pregunta no puedes demostrarlo, pero necesitas el resultado del mismo para el (b), supón cierto (a) y continúa. Puedes utilizar las ecuaciones de la hoja de información SIN demostrarlas, pero cuando las utilices, haz referencia a las mismas. No utilices un resultado que hayamos visto en clase SIN AN- TES demostrarlo. Todas las preguntas tienen el mismo peso. Argumentos inteligentes, eficacia y orden en tus respuestas son la clave para obtener una buena calificación. El examen tiene una duración de cuatro horas. Buena Suerte! Ð Ü Ñ Ò Ò Ú Ù Ðº ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ ÓÔ Ò Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ð ÓÒ Ù Ð ÖÓ Ò Ð ÙÖ Ó Ý Ð Ð Ö ÓÒ Æ Ò Ð Ñ ÑÓº ÒØ ÓÑ ÒÞ Ö Ö Ö ØÙ Ö ÔÙ Ø Ð ÓÒ ÐÑ Ð Ü Ñ Ò ÔÓÖ ÓÑÔÐ ØÓº ØÓ ÝÙ Ö ÕÙ ØÙ Ñ ÒØ Ô ÐÓ ÕÙ Ø Ò ÕÙ Ö ÓÐÚ Ö ÒØ Ñ ÒÓ Ý ÓÑ Ò ÔÖÓ ÙÒ Þ Ö Ò ØÓ Ð ÔÖ ÙÒØ º
Examen Astrofísica Relativista 2 ½µ Ö ÙÒ Ò ÝÓ ÔÓÖ ÐÓ Ñ ÒÓ Ó Ù ÖØ ÐÐ Ó Ö Ñ Ø Ö Ý Ò Ö Ó ÙÖ Ý Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ Ó Ö ÑÓ ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ö Ú Ø ÓÒ Ðº ÍØ Ð Þ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ô ÖÓ ÒÓ ÑÙ µ Ý ÑÙ º Ð Ö ØÓ ÔÓÖ ÐÓ Ñ ÒÓ ÓÒØ Ò Ö ÐÓ Ù ÒØ µ ÜÔÐ Ð Ù Ø ÒØÓ ÒÓÑ ÒÓÐ Ó Ó ÕÙ Ø Ò Ð ÙÔÓ ÓÒ Ñ Ø Ö Ó ÙÖ Ò ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ ØÖÓ Ó Ý Ó ÑÓÐ Ó Óº ÒÙÑ Ö Ø ÒØÓ ÑÔÐÓ ÓÑÓ ÔÙ Ò ÓÒ Ò Ö Ð Ü Ø Ò Ø ÒØ º ÕÙ Ø ÓÒ Ø ØÙ Ø Ñ Ø Ö Ó ÙÖ Ý ÔÓÖ ÕÙ Ö Þ ÓÒ ÐÙ Ó ÙÒ Ñ ÓÒ Ö Ø µ ÜÔÐ ÔÓÖ ÕÙ Ö Þ ÓÒ Ò Ö Ð Ü Ø Ò Ò Ö Ó ÙÖ Ý ÓÑÓ Ø ÔÙ Ø Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó º ÈÓÖ ÕÙ Ö Þ ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ó ÙÒ ÓÒ ¹ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó Ò Ð Ù ÓÒ ÑÔÓ Ò Ø Ò Ý ÕÙ Ò Ó Ó Ø Ò ÓÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ø Ó Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ó ÙÖ Ý ÓÑÓ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑÓ ÔÙ Ö Ð Ú Ó Ò Ö Ó ÙÖ µ Ö ÙÑ ÒØ Ð ÔÓÖ ÕÙ Ú Ð Ó Ò Ö Ð Ü Ø Ò ÒØ Ó ÙÖÓ Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ý ÔÓÖ Ò Ô Ö Ø Ñ ÒØ ÔØ Ð Ö ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ò¹ ØÓ Ò Ú Ð Æ ÛØÓÒ ÒÓ ÓÑÓ Ö Ð Ø Ú Ø º Ò ÕÙ ÓÒ Ø Ø ÜØ Ò ÓÒ Ò Ú Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ý ÒÓ¹Ö Ð Ø Ú Ø µ ÜÔÐ Ò ÕÙ Ø Ð ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÑÔÓ Ò Ø Ò Ý ÔÓÖ ÕÙ ÔÓ Ð ÜØ Ò ÖÐ º ¾µ ÓÒ Ö ÙÒ Ñ M ÔÙÒØÙ Ð Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓ¹Ö Ð Ø Ú Ø º µ Ù Ò Ó M Ð Ñ Ð ÓÐ ÒØÓÒ Ð Ú ÐÓ Ú ÐÓ ÔÐ Ò Ø ÐÖ ÓÖ Ð Ñ ÑÓ Ø Ð ÕÙ Ö Ð Ý Ã ÔÐ Öµ Ú M 1/2 /r 1/2 º ÅÙ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ð Ð Ö ÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÔÓÖ ØÓ ÔÐ Ò Ø a = G Æ M/r 2 Ò ÓÒ G Æ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Æ ÛØÓÒº µ Ù Ò Ó M Ð Ñ ÙÒ Ð Ü Ô Ö Ð ÒØÓÒ Ð Ú ÐÓ Ð ØÖ ÐÐ Ò Ù Ô ÖØ Ñ Ð Ø ÔÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ÌÙÐÐݹ Ö Ú M 1/4 º ÅÙ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ð Ð Ö ÓÒ Ò Ö ÒØÓÒ a = G Æ M 1/2 /r Ý G Å ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÓ Ö Ú Ø ÓÒº Ê Ö Ø ÙÐØ Ñ Ö Ð ÓÒ ÓÑÓ (GM) 1/2 a = a 0, ½µ r
Examen Astrofísica Relativista 3 Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ Å Ð ÖÓÑ a 0 10 10 Ñ/ 2 º Ö ÙÑ ÒØ Ð ÔÓÖ ÕÙ ÐÓ Ñ ÑÓ ØÖ Ö ÓÒ a 0 Ò Ú Þ G Å º ÓÒ Ö ÓÖ ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÔÖÙ Ö Ð Ø Ú Ø Ô Ö Ð Ù Ð Ù ÓÒ S Ø Ø = mc b a sº µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓ¹Ö Ð Ø Ú Ø Ù Ò Ó c Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ä Ö Ò¹ ÒÓ L = mú 2 /2+mφ Ó Ø Ò ÕÙ g 00 = 1+2φ/c 2, Ý ÕÙ g ab = δ ab. ¾µ ÁÑ Ò ÓÖ ÕÙ Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ø ÓÖ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ø Ú Ø Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ò Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó c Ö ÙÔ Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ò Ò ÐÓ Ò Ó ¾ µ Ý ¾ µº Ë Ð ÓÒ Ñ Ø Ö Ø ÔÓÖ S Ñ = 1 Λ g 4 x µ c Ý Ð Ð Ö Ê Ø Ð ÕÙ ÒØÓÒ R 2 c 2 2 φ = 2 c2 a, Ù Ò Ó c, µ µ Ö ÙÑ ÒØ Ð ÔÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ Ð ÑÔÓ Ö Ú Ø ÓÒ Ð S = α 4 x gf(r) Ò ÓÒ f ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ö ØÖ Ö Ð Ð Ö Ê Ý α ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ Ñ ÒØÓº µ È Ö Ð Ó Ö Ð Ø Ú Ò Ö Ð Ò Ø Ò f(r) = R Ý Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ ¹ Ñ ÒØÓ α = c 3 /16πGº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ú Ö ÓÒ ÒÙÐ Ð ÓÒ ØÓØ Ð S = S +S Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ñ ØÖ g µν ÑÔÐ Ð Ù ÓÒ Ò Ø Ò R µν Rg µν /2 = 8πGT µν /c 4 º ÌÓÑ Ð ØÖ Þ Ð Ù ÓÒ Ò Ø Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓ¹Ö Ð Ø Ú Ø Ù Ò Ó c Ý ÓÖ Ò Ñ Ò ØÙ º º Ù Ò Ó 2 1/r 2 ρ M/r 3 µ ÑÙ ØÖ ÕÙ Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ð Ö ÓÒ ÔÖÓ Ù Ò ÙÒ Ô ÖØ ÙÐ ÔÖÙ Ù ØÓ Ð Ð Ö ÓÒ Æ ÛØÓÒ Ò ÜÔÖ Ò Ð Ò Ó ¾ µº
Examen Astrofísica Relativista 4 Ä Ñ Ò Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ù ÓÒ ÑÔÓ Ô Ö ÐÓ ÐÙ Ö Ð ÒÓ ÓÑÓ Ð Ô ÖØ ÜØ ÖÒ Ð Ð Ü Ô Ö Ð µ Ñ ÒØ ÐÓ Ó Ø Ò Ó Ò Ð Ò Ó ¾ µ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ø ÔÓ f(r) Ô ÖÓ Ñ Ò ÓÒ ÐÑ ÒØ Ù S À = Ò ÓÒ Ð Ð Ö Ê Ñ Ò ÓÒ Ð c 3 f(χ) g 4 x, 16A Å πg χ := RA Å, µ µ ÝA Å ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ö º Ä ÙÒ ÓÒ f(χ) ÙÒ ÙÒ ÓÒ Ö ØÖ Ö Ý Ø Ð ÕÙ Ù Ò Ó f(χ) = χ Ð Ö Ú Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ø Ò Ö ÙÔ Ö º Ä ÐÓÒ ØÙ L Å Ø Ò ÕÙ Ø Ö ÔÓÖ ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ä Ù ÓÒ ÑÔÓ ÜØ Ò Ô Ö ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ØÖ Ö Ú Ø ÓÒ f(χ) Ó Ø Ò Ò Ð Ú Ö ÓÒ ÒÙÐ Ð ÓÒ ÑÔÓ Ñ Ð Ñ Ø Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ñ ØÖ g µν Ý Ø Ò ÔÓÖ f (χ)χ µν 1 2 g µνf(χ) A Å { µ ν g µν }f (χ) = 8πGA2 Å c 4 T µν, µ Ò ÓÒ := λ λ Ð ÓÔ Ö ÓÖ Ä ÔÐ ß ÐØÖ Ñ º µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ù Ò Ó f(χ) = χ Ð Ù ÓÒ ÑÔÓ µ ÓÒÚ Ö Ð Ù ÓÒ Ò Ø Òº µ ÐÙÐ Ð ØÖ Þ Ð Ù ÓÒ µ Ý ÓÒ Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ f(χ) = χ b º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÓÒ Ö Ø ÒØ ÓÖ Ò Ñ Ò ØÙ Ò Ñ ØÖ Ö º º 1/r 2 Ý f (χ) f(χ)/χµ Ý ÑÙ ØÖ ÕÙ Ð Ð Ö Ê R κ R 2 r 2 Ò ÓÒ κ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ù Ò Ð Ô ÓßØ ÑÔÓ Ý R Ð Ö Ó ÙÖÚ ØÙÖ Ð Ñ ÑÓ ÒØÓÒ 3 ( AM r 2 ) χ b 1 8πGL2 M ρ c 2. µ ÆÓØ ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ R >> r Ò ÕÙ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ð Ô Ó Ô ÕÙ Ò
Examen Astrofísica Relativista 5 º º κ << 1 ÐÓ Ù Ð ÓÙÖÖ Ð Ó Ð Ù ÒØ ÕÙ ÔÖÓ Ù Ò ÐÓ ÑÔÓ Ö Ú Ø ¹ ÓÒ Ð ÓÑÓ Ò Ð Ö ÓÒ Ñ ÜØ ÖÒ Ð Ð Ü Ô Ö Ð º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ð ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ Ò ØÙ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ó ÒØ Ö ÓÖ ÑÙ ØÖ ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ µ ÓÒÚ Ö Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓ¹Ö Ð Ø Ú Ø º º Ù Ò Ó c Ð Ö Ð ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ö ÓÒ Ð Ò Ó Ó Ò Ó Ñ Ò Ö Ù Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÔÐ Ñ ÒØÓ A Å Ý Ð ÒØ b º ÓÖ Ò Ñ Ò ØÙ ÕÙ Ú ÐÓÖ Ò Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ A Å Ý b µ ÓÒ Ö ÙÒ ÙÒ Ú Ö Ó ÓØÖ ÓÔ Ó ÓÑÓ Ð ÒÙ ØÖÓ Ò ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ó ÑÓÐ Ó Ó Ú Ð Óº µ ÙÑ ÕÙ Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ø Ð ÕÙ Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó Ö ÓÒ Ý Ñ Ø Ö º Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Ω i = ρ i /ρ Ò ÓÒ Ð Ù Ò i Ö Ö Ñ Ø Ö Åµ Ö ÓÒ Êµ ÙÖÚ ØÙÖ κµ Ý ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó Λµº È Ö Ó Ø Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Ø Ò Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ω Å0 := 8πGρ Å 0 3H 2 0 Ω κ0 := c2 a 2 0 H2 0, Ω Ê0 := 8πGρ Ê 0 3H 2, µ 0 = c2 κ H 2, Ω Λ0 := Λ 0 3H 2. ½¼µ 0 ÅÙ ØÖ ÓÒ ØÓ ÕÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÀÙ Ð H(t) Ò Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ø ÑÔÓ Ó Ñ Ó t º º Ð Ú ÐÓ ÜÔ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ø Ð Ö Ð ÓÒ Ò ÐÑ ÒØ ÑÙ ØÖ ÓÒ ØÓ ÕÙ H 2 (a) = H0{ 2 ΩÊ0 a 4 + Ω Å 0 a 3 + Ω } κ 0 a 2 +Ω Λ 0. ½½µ Ω Å0 +Ω κ0 +Ω Λ0 = 1. ½¾µ µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ÔÓ Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ω Å := 8πGρ 3H 2, Ω κ := κc2 a 2 H 2, Ω R := 8πGρ 3H 2 0, Ω Λ := Λ 3H 2, ½ µ
Examen Astrofísica Relativista 6 ÒØÓÒ ÙÑÔÐ Ð Ö Ð ÓÒ Ω Å +Ω R +Ω κ +Ω Λ = 1, ½ µ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ø ÑÔÓ Ó Ñ Ó tº ÅÙ ØÖ Ñ ÕÙ ÓÒÓ H 0 Ñ Ò Ö Ó ÖÚ ÓÒ Ð ÒØÓÒ ÓÒÓ Ö Ø Ñ ÒØ Λ Ý ρ M 0 Ð Ó ÖÚ ÓÒ Ω Λ0 Ý Ω κ0 º Ë Ñ κ = 0 ÑÙ ØÖ ÒØÓÒ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ H 0 ÒØÓÒ ÓÒÓ Óº ÉÙ Ò Ó Ó Ø Ò Ø ÙÐØ Ñ ÓÒ ÓÒ µ ÓÒ Ö Ð ÔÓ Ø ÑÔÖ Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ý ÑÙ ØÖ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó ÑÔÐ ÜÔ Ò ÓÒ ÜÔÓÒ Ò Ð Ò Ð ÙÒ Ú Ö Óº Ñ Ò Ö ÐØ ÖÒ Ø Ú Ø Ñ Ò Ô Ö Ð Ñ Ñ ÔÓ Ð ÙÒ Ú Ö Ó ÓÒ Ö Ð Ú Ó Ý ÙÔ ÓÒ ÕÙ ÒÓ Ý ÓÒ Ø ÒØ Ó ÑÓÐ Ó Ô ÖÓ ÙÒ Ö ÒØ Ö Ú f(r) ÔÓ º Í Ð Ó ÕÙ Ð Ð Ö Ê Ô Ö Ð Ñ ØÖ ÄÊÏ Ø Ó ÔÓÖ R(t) = 6 { Đa a + ( ) } a 2 + κ a a 2, ½ µ Ý Ð ØÖ Þ Ð Ù ÓÒ ÑÔÓ µ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ f(r) = R n ÒØÓÒ Ó Ø Ò ÙÒ Ö Ñ ÒØÓ ÜÔÓÒ Ò Ð º º a e t n = 2º ÉÙ ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ø Ó Ú ÓÒ µ Ò Ý ÜÔÐ Ð ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ð ÖÓ Ó z ÔÐ Ó Ð Ö ÓÒ Ð Ü Ò Ð ÙÒ Ú Ö Óº ÕÙ ÑÙ ØÖ Ð Ð Ý ÀÙ Ð Ú = H 0 r ÓÒ Ú Ð Ú ÐÓ Ö ÓÒ ÙÒ Ð Ü r Ù Ø Ò Ý H 0 Ð ÓÒ Ø ÒØ ÀÙ Ð º ÈÓÖ ÕÙ Ö Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÀÙ Ð ÒÓ ÙÒ Ú Ö Ö ÓÒ Ø ÒØ µ Ä Ù ÓÒ Ø Ó ÔÖ ÓÒ p ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ò Ö e Ó Ò Ñ ρµ Ô Ö Ð Ò Ö Ó ÙÖ Ò Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ø ÔÓÖ p = ωc 2 ρ, ½ µ ÓÒ ω ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ú Ñ ÒÓÖ 1/2 Ý ÑÙÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ 1 Ù Ö Ó Ó ÖÚ ÓÒ Ð ÙØÙ ÓÒ Ð Ö ÓÒ Ó Ñ ÓÒ Ó Ò
Examen Astrofísica Relativista 7 Ñ ÖÓÓÒ µº ÅÙ ØÖ ÕÙ ρ a 3(1+ω), ρ /ρ Å (1+z) 3ω, ½ µ ½ µ ÓÒ ρ Å Ð Ò Ñ Ý z Ð ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ð ÖÓ Óº ÅÙ ØÖ ÕÙ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ö ÓÒ Ø Ó ÔÓÖ q 0 = 1 2 + 3 2 ωω 1 2 +ω ½ µ ÜÔÐ ÓÒ ØÓ Ð ÔÓÖ ÕÙ ω < 1/2 ÑÔÐ ÙÒ ÜÔ Ò ÓÒ Ð Ö º ÅÙ ØÖ ÕÙ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÀÙ Ð H(z) Ø ÔÓÖ H 2 (z) H 2 0 { = Ω Å (1+z) 3 +Ω ÜÔ 3 z 0 } [1+ω(x)] ÐÒ(1+x) ÅÙ ØÖ ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ð ÙÒ Ú Ö Ó Ö ÓÐ Ô Ò Ö Ó ÕÙ ω > 1/3º ÉÙ ¹ Ù ØÓ µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ð ÓÖÖ Ñ ÒØÓ Ð ÖÓ Ó z Ý Ð ØÓÖ Ð a(t) Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ 1+z = 1 a(t). µ ÓÒ Ö ÙÒ ÔÐ Ñ ØÖÓ Ó Ò ÖÓØ ÓÒ ÕÙ Ö Ø Ó ÙÒ Ù ÖÓ Ò ÖÓ Ë Û ÖÞ Ð º Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó Ó ÙÒ ÓÑ ØÖÓ Ò Ñ Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ú ÐÓ Ð ÐÙÞ c Ý Ð ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð Ö Ú Ø ÓÒ Æ ÛØÓÒ G ÓÒ Ø Ð ÕÙ G = c = 1º Ù Ò Ó Ð Ù ÓÒ Ð ÖÓ Ò Ñ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ö Ò Ð ÔÖ Ò ÙÒ ÑÔÓ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ò ÒØ Ý ÕÙ Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð ÙÒ Ö Ú ÓÖ Ò Ö Ò Ð Ù ÓÒ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ Ö Ú ÓÚ Ö ÒØ º Ä Ù ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ¹ Ð Ù ÓÒ ÙÐ Ö Ý Ð Ù ÓÒ ÓÒ ÖÚ ÓÒ Ð ÒØÖÓÔ Ö Ò ¾¼µ ¾½µ
Examen Astrofísica Relativista 8 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÒÓ ÐÓ ÑÙ ØÖ µ n µ ;µ = 0 ωu µ u ν;µ = p x ν u νu µ p x µ (σu α ) ;α = 0. ¾¾µ ¾ µ ¾ µ Ä Ó ÙÐØ Ñ Ö Ð ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ô Ö ÕÙ Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ð Þ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ö ßÑÓÑ ÒØÓ T µν ÒÙÐ Ö T µ ν;µ = 0. ¾ µ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ö Ð ÕÙ ÙÒ ÑÔÓ Ø Ø Ó Ð Ù ÖÔÓ ÕÙ ÔÖÓ Ù Ð ÑÔÓ ÒÙ ÒØÖ Ó Ò Ð Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ð Ù Ð Ð Ø Ò ÓÖ Ñ ØÖ Ó g µν ÒÓ Ô Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÑÔÓÖ Ð x 0 º Ø Ñ Ò Ö ÓÑÓ Ñ Ö ÓÒ Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÒØÓÒ ÔÙ Ó Ö ÙÒ Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ð Ù Ð Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ s ÒÓ Ú Ö Ù Ò Ó Ñ Ð ÒÓ x 0 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ g 0α = 0 Ô Ö Ó ÑÔÓº µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ù Ò Ó Ð ØÖ Ú ÐÓ Ð Ù Ó Ú = x k / τ = x k / g 00 x 0 ÒØÓÒ Ð Ù ØÖÓßÚ ÐÓ u α := x α / s Ø u α = 0, u 0 = γ/ g 00, u 0 = g 00 γ. ¾ µ µ ÓÒ Ö ÓÖ ÙÒ Ù Ó Ø Ó Ý ÑÙ ØÖ ÓÒ ÝÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ý Ð Ø ÖÑÓ Ò Ñ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ Ñ Ò Ö µ ÕÙ Ð Ù ÓÒ ¾ µ ÑÔÐ ÕÙ u α ( w ) Ü α n u η = ( w ) Ü η + w n n uα u δ Γηα, δ ¾ µ µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÑÔÓÖ Ð Ð Ù ÓÒ ¾ µ γ v ( w n γ g 00 ) = 0. ¾ µ
Examen Astrofísica Relativista 9 ÓÒÐÙÝ ÕÙ ÕÙ ÐÓ Ð Ö Ó ÙÒ Ð Ò ÓÖÖ ÒØ Ù ÕÙ Ð ÒØ w n γ g 00 = ÓÒ Øº, Ó Ò w n u 0 = ÓÒ Ø. ¾ µ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ º Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ö Ð Þ Ð Ù ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÑÔÓ Ö Ú Ø ÓÒ Ð Ù ÖØ º µ ÅÙ ØÖ ÕÙ Ò Ð Ô Ó¹Ø ÑÔÓ Ë Û ÖÞ Ð Ð Ú ÐÓ u 0 = ( 1 2m r +u2 ) 1/2. ¼µ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù ÓÒ ÖÒÓÙÐÐ p+e n ( 1 2m r +u2 ) 1/2 = ÓÒ Ø., ½µ Ô Ö Ð Ò ÓÖÖ ÒØ º µ ÅÙ ØÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ù ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ¾¾µ ÕÙ Ô Ö Ø Ù Ó Ö ÓÒ Ö Ð Ó Ö Ð Ù ÖÓ nur 2 = ÓÒ Ø., ¾µ
Examen Astrofísica Relativista 10 Å ØÖ ÊÓ ÖØ ÓÒßÏ Ð Ö ÀÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ù ÓÒ Ö Ñ ÒÒ s 2 = c 2 t 2 a 2 (t) { r 2 +R 2 Ò 2 (r/r) Ω 2} { } x s 2 = c 2 t 2 a 2 2 (t) 1 x 2 +x2 Ω 2, µ ρ+3 a (ρ+ Pc ) a 2 = 0. µ Đa = 4 ( 3 πga ρ+ 3p ) c 2 + 1 Λa, µ 3 a 2 = 8 3 πgρa2 c2 R 2 + 1 3 Λa2. µ Å ØÖ Ë Û ÖÞ Ð s 2 = ( 1 2GM ) rc 2 c 2 t 2 r 2 ( ) r 2 ( θ 2 + Ò 2 θ ϕ 2 ). 1 2GM rc 2 Å ØÖ Ã ÖÖ Ò ÓÓÖ Ò ÓÝ ÖßÄ Ò ÕÙ Ø µ s 2 = ( a2 Ò 2 θ) t 2 Σ (r2 +a 2 ) a 2 Ò 2 θ Σ c 2 t 2 2a Ò 2 θ r2 +a 2 t ϕ Σ Ò 2 θ ϕ 2 Σ r2 Σ θ 2, µ Ò ÓÒ Σ = r 2 +a 2 Ó 2 θ, = r 2 +a 2 2GMr/c 2. µ ¼µ ÈÙ ÙØ Ð Þ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ù ÓÒ Ò Ø Ô Ò Ò ÑÓ ØÖ ÖÐ º