ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA P. HOÀ CHÍ MINH RÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC ÖÏ NHIEÂN CHAÂU ANH DUÕNG NGHIEÂN CÖÙU MOÄ SOÁ PHÖÔNG RÌNH NHIEÄ PHI UYEÁN RONG KHOÂNG GIAN SOBOLE COÙ ROÏNG Luaän vaên haïc syõ kha hïc Chuyeân ngaønh aùn giaûi ích Maõ sá.. haønh phá HOÀ CHÍ MINH 3
ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA P. HOÀ CHÍ MINH RÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC ÖÏ NHIEÂN CHAÂU ANH DUÕNG NGHIEÂN CÖÙU MOÄ SOÁ PHÖÔNG RÌNH NHIEÄ PHI UYEÁN RONG KHOÂNG GIAN SOBOLE COÙ ROÏNG Luaän vaên haïc syõ kha hïc Chuyeân ngaønh aùn giaûi ích Maõ sá.. Ngöôøi höôùng daãn ieán syõ NGUYEÃN HAØNH LONG ieán syõ NGUYEÃN COÂNG AÂM ( Kha aùn öôøng Ñaïi hïc Kha hïc öï nhieân p HOÀ CHÍ MINH ) Ngöôøi nhaän xeù haønh phá HOÀ CHÍ MINH 3
Luaän vaên ñöôïc haøn haønh aïi: öôøng Ñaïi hïc Kha hïc öï Nhieân Ngöôøi höôùng daãn: S. Nguyeãn haønh Lng vaø S. Nguyeãn Câng aâ Kha aùn in hïc, Ñaïi hïc Kha hïc öï Nhieân p. Hà Chí Minh. Ngöôøi nhaän xeù : Ngöôøi nhaän xeù : Hïc vieân ca hïc: Chaâu Anh Duõng Luaän vaên seõ ñöôïc baû veä aïi Häi Ñàng chaá luaän vaên caáp öôøng aïi Ñaïi hïc Kha hïc öï Nhieân p. Hà Chí Minh vaø luùc giôø ngaøy haùng naê 3 Cù heå ì hieåu luaän vaên aïi Phøng Sau Ñaïi hïc, hö vieän öôøng Ñaïi hïc Kha hïc öï Nhieân p. Hà Chí Minh. haønh phá HOÀ CHÍ MINH - 3-
LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu ieân, xin aân ïng caû ôn hai haày höôùng daãn âi laø ieán só Nguyeãn haønh Lng vaø ieán só Nguyeãn Câng aâ, caùc haày ñaõ aän ình giuùp ñôõ âi ng quaù ình hïc aäp cuõng nhö ng vieäc haøn haønh luaän vaên. Xin aân ïng caû ôn caùc haày, Câ huäc huäc Kha aùn-in Hïc öôøng Ñaïi hïc Kha hïc öï nhieân ñaõ aän ình giaûng daïy ch âi ng hôøi gian hïc aäp. Xin aân ïng caû ôn caùc ieán só Nguyeãn Ñình Phö, ieán só Nguyeãn Häi Nghóa, ieán só Ñaëng Ñöùc ïng vaø ieán só Nguyeãn aên Nhaân ñaõ ñïc luaän vaên vaø ch âi nhöõng nhaän xeù quyù baùu. Xin aân ïng caû ôn haïc syõ Buøi ieán Duõng ñaõ ñïc vaø söûa chöõa giuùp nhöõng sai sù ng baûn haû luaän vaên. Xin aân ïng caû ôn Phøng Quaûn lyù Kha hïc- Hôïp aùc Quác eá- Sau Ñaïi hïc öôøng Ñaïi Hïc Kha Hïc öï Nhieân P. Hà Chí Minh, Ban Giaù Hieäu öôøng HP õ hò Saùu ñaõ ñäng vieân vaø aï ïi ñieàu kieän huaän lôïi ch âi haøn aá chöông ình hïc. Xin chaân haønh caû baïn beø ñàng nghieäp, caùc baïn hïc lôùp Ca hïc khùa ñaõ luân ñäng vieân vaø nhieä ình giuùp ñôõ âi ng quaù ình hïc. Chaâu Anh Duõng
MUÏC LUÏC ang Chöông : Phaàn ång quan.. Chöông : Caùc keá quaû chuaån bò Caùc khâng gian haø..4 Chöông 3: Nghieä baøi aùn ñieàu kieän ñaàu phi uyeán..6 Chöông 4: Nghieä uaàn haøn cuûa baøi aùn phi uyeán..8 Chöông keá luaän...39 aøi lieäu ha khaû 4
CHÖÔNG PHAÀN OÅNG QUAN ng luaän vaên naøy, chuùng âi nghieân cöùu ä sá phöông ình nhieä phi uyeán ng ä hình uï huäc daïng: (.) (.) u ( u + u) + Fε ( u) = f(, ), < <, < <, ( % ) li u (, ) < +, u (, ) + h( ) u(, ) u =, + (.3) u (,) = u(), haëc (.3 ) u (, ) = u (, ), (.4) F ( u) = ε u u, ε ng ñù u%, ε > laø caùc haèng sá ch öôùc, h ( ), f (, ) laø caùc haø sá ch öôùc hûa ä sá ñieàu kieän a seõ chæ a sau. Phöông ình (.) â aû quaù ình uyeàn nhieä ng ä dóa øn ñôn vò <, ng ñù u (,) laø nhieä ñä aïi ïi ñieå eân ñöôøng øn {(, ) } C = x y x + y = aïi hôøi ñieå, vôùi <, < <. f (,) F() u laø nguàn nhieä. ε Ñieàu kieän bieân (.) eân ñöôøng øn = â aû söï a ñåi nhieä vôùi âi öôøng beân ngaøi, aø âi öôøng beân ngaøi cù nhieä ñä khâng ñåi laø u%, ôû ñaây haø h() laø heä sá a ñåi nhieä vôùi âi öôøng beân ngaøi.
ng (.), ñieàu kieän li u (, ) < + seõ öï ñäng + hûa neáu u (,) laø nghieä cå ñieån cuûa baøi aùn, chaúng haïn ([ ] [ ]) ( ) u C,, C (,) (, ). ieäc ñöa ñieàu kieän naøy vaø cù lieân quan ñeán vieäc söû duïng khâng gian Sblev cù ïng vaø chuyeån ñåi veà baøi aùn bieán phaân. ( xe [5,7]). ình ôùi Fε ( u) =, u% =, Minasjan [6] ñaõ nghieân cöùu phöông (.5) u a( )( u + u ) = f (, ), < <, < <, vôùi ñieàu kieän bieân (.6) u (, ) = u (, ) + h( ) u(, ) =, vaø vôùi ñieàu kieän uaàn haøn (.7) u (,) = u(, ), ôû ñaây caùc haø a(), h(), f(, ) laø uaàn haøn he hôøi gian. YÙ nghóa vaä lyù cuûa baøi aùn (.5) (.7) laø ä døng nhieä uaàn haøn ng ä hình uï vâ haïn vôùi giaû hieá aèng hình uï phuï huäc vaø söï a ñåi nhieä ä caùch uaàn haøn ôû beà aë ( = ) vôùi âi öôøng beân ngaøi cù nhieä ñä zeù, phía ng hình uï, nguàn nhieä ñái xöùng uïc vaø hay ñåi ä caùch uaàn haøn, Minasjan [6] ñaõ ì ä nghieä cå ñieån cuûa baøi aùn naøy baèng caùch duøng bieán ñåi Fuie. Phöông phaùp naøy daãn ñeán ä heä giaû chính quy vâ haïn caùc phöông ình ñaïi sá uyeán ính. uy nhieân ính giaûi ñöôïc cuûa heä naøy khâng ñöôïc chöùng inh chi ieá ng [6].
ng [3] Laueva ñaõ chöùng inh aèng vôùi döõ kieän uaàn haøn, baøi aùn (.5) (.7) cù ä nghieä yeáu - uaàn haøn he. ng öôøng hôïp u ~ =, f =, F C ε ( IR), F ε ( u) β, β > ñuû nhû, caùc aùc giaû ng [4] ñaõ chöùng inh aèng baøi aùn (.), (.6), (.7) cù duy nhaá ä nghieä yeáu uaàn haøn ng caùc khâng gian Sblev hích hôïp. Hôn nöõa, nghieä naøy cuõng phuï huäc lieân uïc he haø h(). ng luaän vaên naøy, chuùng âi nghieân cöùu baøi aùn phi uyeán vôùi ñieàu kieän ñaàu (.) (.4) vaø baøi aùn ñieàu kieän uaàn haøn (.), (.), (.4), (.7). Näi dung luaän vaên ñöôïc ình baøy he höù öï nhö sau: Chöông laø phaàn giôùi hieäu baøi aùn vaø nùi qua ä sá keá quaû öôùc ñù vaø ình baøy bá cuïc cuûa luaän vaên. Chöông laø phaàn ình baøy ä sá kyù hieäu, câng cuï, caùc khâng gian haø Sblev cù ïng, ính chaá caùc pheùp nhuùng cù lieân quan. Chöông 3, chuùng âi ình baøy chöùng inh söï àn aïi vaø duy nhaá nghieä yeáu cuûa baøi aùn (.)-(.4) ng caùc khâng gian Sblev cù ïng hích hôïp baèng phöông phaùp Galekin. Chöông 4, chuùng âi ình baøy chöùng inh söï àn aïi vaø duy nhaá nghieä yeáu uaàn haøn cuûa baøi aùn (.), (.), (.4), (.7) ng ñù baøi aùn xaáp xæ höõu haïn chieàu ch baøi aùn ì nghieä uaàn haøn cù heå ì ñöôïc nhôø vaø baøi aùn ñieàu kieän ñaàu hâng qua ä ñònh lyù aùnh xaï c. Phaàn cuái cuøng laø ù löôïc caùc phaàn ñaõ ình baøy ng luaän vaên, sau ñù laø phaàn aøi lieäu ha khaû. 3
CHÖÔNG CAÙC KEÁ QUAÛ CHUAÅN BÒ CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM II.. CAÙC KHOÂNG GIAN HAØM Ñaë Ω= (,), a bû qua ñònh nghóa caùc khâng gian haø hâng duïng: p, p C ( Ω), L ( Ω), H ( Ω), W ( Ω ). ôùi ãi haø v C ( Ω ) a ñònh nghóa v nhö sau (.) v v = v () d. H a ñònh nghóa H laø ñaày ñuû hùa cuûa khâng gian C ( Ω ) ñái vôùi chuaån.. öông öï, vôùi ãi haø v C ( Ω ) a ñònh nghóa. nhö sau (.) v = v + v vaø ñònh nghóa laø ñaày ñuû hùa cuûa khâng gian C ( Ω ) ñái vôùi chuaån.. Chuù yù aèng caùc chuaån. vaø. ích vâ höôùng laàn löôï ñöôïc sinh a öø caùc (.3) (.4) uv, = uv ( ) ( ) d, uv, + u, v = uv [ ( ) ( ) + u( v ) ( )] d. Khi ñù, a deã daøng chöùng inh aèng H, laø caùc khâng gian Hilbe. 4
Bå ñeà.. uø aä ng H vôùi pheùp nhuùng lieân uïc. Chöùng inh. Hieån nhieân aèng v v, v d ñù pheùp nhuùng öø vaø H laø lieân uïc. Maë khaùc C ( Ω) vaø uø aä ng H, d ñù uø aä ng H. Bå ñeà sau ch ä sá ñaùnh giaù höôøng söû duïng. Bå ñeà.. ôùi ïi v C ( Ω ), ε > vaø [,], a cù: (.5) v v + v (), (.6) v() 3 v, (.7) v() v, (.8) v () ε v + ( + ) v. ε Chöùng inh. Nghieä laïi (.5). Duøng ích phaân öøng phaàn vaø chuù yù aèng <, a cù v = v () d = v () v() v () d Suy a () ( ) ( ) v + v v d () v + v v v () + v v +. Nghieä laïi (.6). v v () + v vaø d ñù (.5) ñöôïc chöùng inh. a cù v () = ( v ( )) d 5
= v ( ) d+ v( ) v ( ) d v + v v v + v + v 3( v + v ) = 3 v. aäy v() 3 v vaø (.6) ñöôïc chöùng inh. Nghieä laïi (.7). a cù sv( sv ) ( sds ) = sdv ( ( s)) Suy a v () v () sv() s v () s ds = v () v ( ) v ( s) ds v () v ( ). v () + v() v () d v () + v v v () + v + v 3 v + v = 4 v. aäy v() v. D ñù (.7) ñöôïc chöùng inh. Nghieä laïi (.8). he chöùng inh (.6) a cù v () v + v v = v + v. ε. v ε 6
( + ) v + ε v. ε D ñù (.8) ñöôïc chöùng inh. Bå ñeà.3. a ñàng nhaá H vôùi H (ñái ngaãu cuûa H ). Khi ñù a cù H H, vôùi caùc pheùp nhuùng lieân uïc vaø naè uø aä. Chöùng inh. öôùc heá a chöùng inh aèng H nhuùng ng ì H, vôùi ïi w H, aùnh xaï : R xaùc ñònh bôûi va () v w, v w() v() d w = = laø uyeán ính lieân uïc eân, öùc laø a xeù aùnh xaï : H wa ( w) = w. Khi ñù a cù w, w w., v = w, v, v, w H. a seõ chöùng inh aèng aùn öû hûa caùc ính chaá sau. (i) : H laø ñôn aùnh, (ii) w, w H, w (iii) ( H) { : w H} = laø uø aä ng. w Chöùng inh (i). Deã haáy aèng uyeán ính. Neáu w = hì wv, =, v =, v. w, ì uø aä ng H, neân a cù wv, =, v H. D ñù w =. aäy laø ñôn aùnh, nghóa laø, ä pheùp nhuùng öø H vaø. 7
Chöùng inh (ii). a cù vôùi ïi v H, = sup, v = sup w, v w w v, v = v, v = sup w v sup w v = w. v, v = v, v = Chöùng inh (iii). a chöùng inh aèng ïi phieá haø uyeán ính lieân uïc eân vaø ieä ieâu eân (H) hì cuõng ieä ieâu eân. Ci L ( ) vôùi L, =, ( H ). a chöùng inh w, w aèng L =, haä vaäy, d phaûn xaï, öùc laø ( ),, (*) L ( ), l : L, z = z, l, z. = he nghóa Laáy w z = a cù = L, = w, l, w. w, D uø aä ng H neân a cù wl, =, w H. aäy l =. he (*) a cù L, z = z, l =, z.,, aäy L ieä ieâu eân. Chuù hích.. öø bå ñeà., a cuõng duøng kyù hieäu ích vâ höôùng.,. ñeå chæ caëp ích ñái ngaãu giöõa,. Bå ñeà.4. Pheùp nhuùng H laø cpac. Chöùng inh xe [5]. Chuù hích.. öø bå ñeà. suy a aèng v () + v vaø v laø hai chuaån öông ñöông eân vaø a cù (.9) v v + v () 4 v, v. 8
haäy vaäy, baá ñaúng höùc höù nhaá cuûa (.9) cù ñöôïc laø d = + + + () v v v v v v v + v (). Baá ñaúng höùc cøn laïi cuûa (.9) ñöôïc suy a öø a chuù yù aèng + + v v () v 3 v 4 v. (.) li v( ) =, v. + (xe [] ang 8 ) Maë khaùc, d H ( ε,) C ([ ε,] ), < ε < vaø (.) ε v (,) v, v. a suy a aèng H ε (.) v [,],,. [,] C ε ε < ε < ε ( ) öø (.), (.) suy a v C [,], v. (.3) ( ) p II.. KHOÂNG GIAN HAØM L (, ; X), p Ch X laø khâng gian Banach höïc ñái vôùi chuaån.. X p a kyù hieäu L (, ; X), p, laø khâng gian caùc lôùp öông ñöông chöùa haø u:(, ) X ñ ñöôïc, sa ch hay p u () < vôùi p < X M > : u ( ) M, ae.. (, ) vôùi p =. X 9
p a ñònh nghóa chuaån ng L (, ; X), p nhö sau: p p u p = u() L (, ; X) vôùi p <, X vaø u = ess sup u( ) L (, ; X) X << = inf { M > : u ( ) M, ae. (, )} vôùi p =. X Khi ñù a cù caùc bå ñeà sau ñaây aø chöùng inh cuûa chuùng cù heå ì haáy ng Lins []. p Bå ñeà.5. L (, ; X ) laø khâng gian Banach. Bå ñeà.6. Gïi X laø ñái ngaãu cuûa X. Khi ñù vôùi + =, p p <, p p < p ( L (, ; X )) L (, ; X ) = laø ñái ngaãu cuûa L p (, ; X ). Hôn nöõa, neáu X phaûn xaï hì L (, ; X ) cuõng phaûn xaï. Bå ñeà.7. ( ) L (, ; X) = L (, ; X ). p Hôn nöõa caùc khâng gian L (, ; X), L (, ; X ) khâng phaûn xaï. p Chuù hích.3. Neáu X = L ( Ω ) hì L (, ; X) = L ( Ω (, )). Phaân bá cù giaù ò veùcô. Ñònh nghóa.. Ch X laø ä khâng gian Banach höïc. Mä aùnh xaï uyeán ính lieân uïc öø D((,)) vaø X ñöôïc gïi laø ä phaân bá cù giaù ò ng X. aäp caùc phaân bá cù giaù ò ng X kyù hieäu laø p p D (, ; X ) = L( D(, ); X ) = { f : D(, ) X f uyeán ính vaø lieân uïc }. Chuù hích.4. a kyù hieäu D(,) hay ch D((,)) haëc C c ((, )) ñeå chæ khâng gian caùc haø sá höïc khaû vi vâ haïn cù giaù cpac ng (,).
Ñònh nghóa.. Ch f D (, ; X). a ñònh nghóa ñaï haø df he nghóa phaân bá cuûa f bôûi câng höùc df dϕ (.4), ϕ = f,, ϕ D(, ). Caùc ính chaá. p Ch v L (, ; X). a laø öông öùng vôùi nù bôûi aùnh xaï : D(, ) X nhö sau: v (.5), ϕ = v( ) ϕ( ), ϕ D(, ). v a cù heå nghieä laïi aèng D (, ; X). haä vaäy v i) Aùnh xaï v : D(, ) X hieån nhieân laø uyeán ính. ii) a nghieä laïi aùnh xaï v : D(, ) X lieân uïc. ϕ sa ch li ϕ = ng D(,) a cù Giaû söû { j} D(, ) j +, ϕ = v( ) ϕ ( ) v( ) ϕ ( ) v j j j X X p p p p v ϕ X j () () j + D ñù li, ϕ =. aäy D (, ; X). j +. v j X Aùnh xaï va v laø ä ñôn aùnh, uyeán ính öø L (, ; X ) vaø D (, ; X ), d ñù a cù heå ñàng nhaá = v. Khi ñù a cù keá quaû sau. Bå ñeà.8. (Lins []). v j v X p
p L (, ; X) D (, ; X) vôùi pheùp nhuùng lieân uïc. p Ñaï haø ng L (, ; X ). p D bå ñeà.8, vôùi f L (, ; X) a cù heå ci f vaø d ñù df caùc phaàn öû cuûa D (, ; X ). a cù caùc keá quaû sau. Bå ñeà.9. (Lins []). laø Neáu f, f L (, ; X) hì f baèng haàu heá vôùi ä haø lieân uïc öø [,] vaø X. Chöùng inh bå ñeà.9 gà nhieàu böôùc. Böôùc. Ñaë H () = f () sds. Khi ñù H :[, ] X lieân uïc vì f L (, ; X). dh df öôùc heá a chöùng inh aèng = = f he nghóa phaân bá. haä vaäy, a cù dh d d (.7), H, ϕ ϕ ϕ = H() () = dϕ dϕ = f () sds () = f () sds () s aäy dh f () s ϕ () s ds f, ϕ. = = df = = f ng D (, ; X ). Böôùc. a chöùng inh f = H + C he nghóa phaân bá (C laø haèng). haä vaäy, giaû söû v= H f a cù v = he nghóa phaân bá (d böôùc ). a seõ chöùng inh aèng v = C he nghóa phaân bá. a cù v = öông ñöông vôùi
(.8) vs () ϕ () sds=, ϕ D(, ) Ch ϕ D(, ), a cù heå vieá ϕ döôùi daïng ϕ = λϕ + ψ, ng ñù ψ D(, ) ϕ hûa ϕ () s ds =, λ = ϕ ()., haä vaäy, a cù ( ϕ λϕ ) () () =, neân nguyeân haø cuûa ϕ() λϕ () ieä ieâu aïi = seõ huäc D(,). Chïn ψ = ( ϕ λϕ ) hu ñöôïc hay () () s () s ds. ng (.8) hay (.9) Ñaë ϕ bôûi vs () ψ () sds= vs ()[ ϕ() s λϕ ()] s ds=, ϕ D(, ) vs () ϕ() sds= λ vs () ϕ () sds ϕ() s ds v() ϕ () =, D(, ). C = v() ϕ () a suy a öø (.9) aèng ( ) vs () C ϕ() sds=, ϕ D(, ). aäy v () = C= cnsng D (, ; X ). Böôùc 3. a söû duïng ính chaá sau: Neáu w L (, ; X) vaø w () vôùi haàu heá [, ]. ϕ w () ϕ() =, ϕ D(, ) hì ψ a 3
Ñieàu naøy cù ñöôïc laø d aùnh xaï wa öø L (, ; X ) vaø w D (, ; X ) laø ñôn aùnh (ính chaá ôû eân ). a suy a aèng f = H + C he nghóa phaân bá. öø caùc böôùc,, 3 ôû eân bå ñeà.9 ñaõ ñöôïc chöùng inh. öông öï a cù bå ñeà sau: p Bå ñeà.. Neáu f, f L (, ; X) hì f baèng haàu heá vôùi ä haø lieân uïc öø [,] vaø X. II.3. BOÅ ÑEÀ EÀ ÍNH COMPAC CUÛA LIONS Ch 3 khâng gian Banach X, X, X vôùi X X X sa ch (.) X, X laø phaûn xaï, (.) Pheùp nhuùng X X laø cpac. ôùi < <+, pi +, i =,. a ñaë p (.) (, ) p W = { v L (, ; X ) : v L (, ; X) } a ang bò ch W(,) bôûi chuaån (.3) = p (, ) + W L (, ; X ) p L (, ; X) v v v Khi ñù W(,) laø ä khâng gian Banach. p Hieån nhieân W (, ) L (, ; X ). a cuõng cù keá quaû sau ñaây lieân quan ñeán pheùp nhuùng cpac. Bå ñeà.. (Bå ñeà veà ính cpac cuûa Lins). ôùi giaû hieá (.), (.) vaø neáu < <, i =, hì pheùp nhuùng W (, ) L p (, ; X ) laø cpac. Chöùng inh. Cù heå ì haáy ng Lins [], ang 57. pi 4
II.4. BOÅ ÑEÀ EÀ SÖÏ HOÄI UÏ YEÁU RONG L q ( Q ) Bå ñeà.. Ch Q laø aäp ôû, bò chaën cuûa R N vaø G, G L ( Q),< q<+, sa ch q G q L ( Q) C, ng ñù C laø haèng sá ñäc laäp vôùi vaø G G ae..(,) ng Q. Khi ñù G G ng L ( Q ) yeáu. q II.5. BOÅ ÑEÀ GRONWALL Bå ñeà cuái cuøng naøy lieân quan ñeán ä baá phöông ình ích phaân, nù aá caàn hieá ch vieäc ñaùnh giaù ieân nghieä ng caùc chöông sau. Bå ñeà 3.3. (Bå ñeà Gnwall ). Giaû söû f :[, ] R laø haø khaû ích, khâng aâ eân [,] vaø hûa baá ñaúng höùc f () C + C f() s ds vôùi haàu heá [, ] ng ñù C, C laø caùc haèng sá khâng aâ. Khi ñù f () C e vôùi haàu heá [, ]. C a cuõng duøng caùc kyù hieäu u (), u() = u(), u() = u (), u (), laàn löôï ñeå chæ u (,), u u u (,), (,), (,). 5
CHÖÔNG 3 NGHIEÄM BAØI OAÙN ÑIEÀU KIEÄN ÑAÀU PHI UYEÁN ng chöông naøy, chuùng âi nghieân cöùu baøi aùn giaù ò bieân vaø ban ñaàu (.) (.4) nhö sau: (3.) (3.) u ( u + u) + Fε ( u) = f(, ),< <,< <, li u (, ) + < +, u (, ) + h( )( u(, ) u% ) =, (3.3) u (,) = u(), (3.4) F ( u) = ε u u, ε ng ñùε >, u% laø haèng sá ch öôùc, h (), f(,), u ( ) laø caùc haø ch öôùc hûa caùc ñieàu kieän sau: ( H ) u% R, ( H ) u H, 3, ( H ) h W (, ), ( H ) f L (,, H). 4 Khâng laø aá ính ång quaù a laáy ε =. Nghieä yeáu cuûa baøi aùn giaù ò bieân vaø ban ñaàu (3.) (3.4) ñöôïc haønh laäp nhö sau: ì u L (, ; ) L (, ; H) sa ch u () hûa baøi aùn bieán phaân sau (3.5) d u ( ), v + u ( ), v + hu ( ) (, v ) () + F ( u ( )), v = f (), v + u% h() v(), v, ae.., (, ), 6
vaø ñieàu kieän ñaàu (3.6) u() = u. Khi ñù a cù ñònh lyù sau Ñònh lyù 3.. Ch > vaø ( H) ( H4) ñuùng. Khi ñù, baøi aùn (3.)-(3.4) cù duy nhaá ä nghieä yeáu u L (, ; ) L (, ; H ) sa ch (3.7) 5 5 u L (, ; ), u L (, ; H), u L ( Q ). Chöùng inh. Gà nhieàu böôùc. Böôùc. Phöông phaùp Galekin. Laáy { wj}, j =,,... laø ä cô sôû öïc chuaån ng khâng gian Hilbe aùch ñöôïc. a ì u () he daïng (3.8) u () = c () w, j j j= ng ñù cj(), j hûa heä phöông ình vi phaân phi uyeán (3.9) j + j + j u ( ), w u ( ), w h( ) u (, ) w () + F ( u ( )), w = f( ), w + u% h( ) w (), j, j j j (3.) u () = u, ng ñù (3.) u u aïnh ng H. Deã haáy aèng vôùi ãi, àn aïi ä nghieä u () cù daïng (3.8) hûa (3.9) vaø (3.) haàu khaép nôi eân ñù, <., vôùi ä naø 7
Caùc ñaùnh giaù ieân nghieä sau ñaây ch pheùp a laáy ïi. Böôùc. Ñaùnh giaù ieân nghieä. = vôùi a seõ laàn löôï hieá laäp hai ñaùnh giaù ieân nghieä döôùi ñaây. Khù khaên chính ôû phaàn naøy laø sá haïng phi uyeán ( u ( )) F = u ( ) u ( ) ha gia vaø phöông ình d ñù vieäc ñaùnh giaù ính bò chaën vaø qua giôùi haïn cuûa sá haïng naøy cuõng laø ä khù khaên. uy nhieân, vôùi sá haïng phi uyeán cuï heå ng öôøng hôïp naøy khâng gaây a nhieàu ôû ngaïi s vôùi sá haïng phi uyeán ång quaù. a) Ñaùnh giaù. Nhaân phöông ình höù j cuûa heä (3.9) vôùi c () vaø ång he j, a cù (3.) d u u u () + () + (,) u 5 d + (, ) = ( h ( )) u (, ) + f( ), u ( ) + u% h ( ) u (, ) öø baá ñaúng höùc (.9), a suy a aèng j (3.3) + u ( ) u (, ) u ( ). a suy öø (3.), (3.3) aèng (3.4) 5 () + () + (,) h β u β u d u u u d () () + (+ ) () + f ( ) u ( ) + u% h( ) 3 u ( ) ( (, ) ) + h β u() + (+ β) u() L 8
3 + f () + u () + () β u h + u 3 = () (, ) ( (, ) ) () u % h f β h β u + + + L % β L (, ) L + + (+ β)( + h ) u ( ), L (, ) β >. Chïn β > sa ch (3.5) β ( + h ). L (, ) öø (3.4), (3.5) a ñöôïc (3.6) 5 () + () + (,) d u u u d 3 u % β h + f () L (, ) + + (+ β )( + h ) u ( ). L (, ) Laáy ích phaân (3.6) he, vaø söû duïng (3.), (3.) a cù () 5 + () (, ) + u 3 u% h f() s ds β L (, ) ( β )( h ) u ( ) L (, ) () () M M u () s ds, () (), (3.7) u u s ds ds u s d + + + + + + + ng ñù M M laø caùc haèng sá chæ phuï huäc vaø vaø ñöôïc chïn nhö sau: M () = + + β + h L (, ) () ( )( ), 3 % β L (, ) M u + u h + f () s ds,. Nhôø bå ñeà Gnwall.3, öø (3.7) a ñöôïc 9
(3.8) nghóa laø =. 5 () + ( ) (, ) + () () M exp( M ) M,,,, u u s ds ds u s d b) Ñaùnh giaù. Nhaân (3.9) vôùi j c () vaø ång he j, a cù (3.9) u( ) + d 4 5 u() + h() u(,) + u(,) d 5 d = u( ) + u(, ) [ h( )] 8 5 + u(,) d + f(), u() 5 d d + u% [ h( ) u(, )] u% u(, ) [ h( )]. ích phaân (3.9) he bieán hôøi gian öø ñeán sau ñù saép xeáp laïi caùc sá haïng a ñöôïc (3.) + + su ( s) ds u ( ) u (, ) 4 5 + u (,) d 5 5 s ds u(,) s d s f (), s su() s ds % %. = [ h ( )] u (, ) + s u ( s) ds+ [ shs ( )] u (, sds ) 8 + + 5 + uhu ( ) (, ) u[ shs ( )] u (, sds ) Duøng baá ñaúng höùc (.9), a cù (3.) u () + u (,) u (), [, ],.
Duøng caùc baá ñaúng höùc (.6), (.8), (.9) vaø vôùi β > nhö ng (3.5), a ñaùnh giaù khâng khù khaên caùc sá haïng ôû veá phaûi cuûa (3.) nhö sau (3.) [ h ( )] u (, ) ( + h ) β u ( ) ( ) ( ) L (, ) + + u ( + h ) β u ( ) ( ) L (, ) + + β M, (3.3) (3.4) + 3 ( ) ( ) L (, ) M 3 ( h) L (, ) u% s h s u s ds 3 % ( ) L (, ) ( ) u ( h) L (, ) 6M β s u ( s) ds [ s h( s)] u (, s) ds + h u s ds + [ ( )] (, ) u h u s ds %, 3 uhu % ( ) ( ) β u( ) + u % h, L (, ) β (3.5) ( ) (3.6) +. s f (), s su () s ds sf () s ds su () s ds D ñù, öø (3.) (3.6) suy a (3.7) su () s ds + u () 4 L (, ) ( + h )( + β ) M + M ( + 3 ( h) ) 6 + su () s ds+ s f() s ds 5 L (, )
( ) % % 3 + u h + u ( ) 6 L (, ) h M β L (, ) (3) 6 (4) M + () () 3 su s ds M + 4 su s ds, (3) (4) (3) 56, ng ñù M M = M + laø caùc haèng sá chæ phuï huäc. 9 D bå ñeà Gnwall, öø (3.7) suy a (4) (4) (5) (3.8) su () s ds + () 4 u M e M e = M. Maë khaùc, öø (3.8) a cù ñaùnh giaù (3.9) 35 53 ds F ( u (, s)) d 5 = ds u (,) s d M M. Böôùc 3. Qua giôùi haïn D (3.8), (3.8), (3.9) a suy a, àn aïi ä daõy cn cuûa daõy { u } vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (3.3) u u ng L (, H ; ) yeáu, (3.3) u u ng L (, ; ) yeáu, (3.3) u u ng L (, ; ) yeáu, (3.33) (3.34) ( u ) ( u) ng 5 5 u u ng L (, H ; ) yeáu, L 5 ( Q ) yeáu. Duøng bå ñeà. veà ính cpac cuûa Lins, aùp duïng vaø (3.3), (3.33) a cù heå ích a öø daõy { u } ä daõy cn vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (3.35) u u aïnh ng L (, H. ; )
he ñònh lyù Riesz Fische, öø (3.35) a cù heå laáy a öø { u } ä daõy cn vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (3.36) u (,) u(,) a.e. (,) ng Q = (,) (, ). D F( u) = u u lieân uïc, neân (3.37) F( u (, )) F( u(, )) a.e. (,) ng Q. Aùp duïng bå ñeà., vôùi N =, q = 53, 35 35 35 35 = = = = G F ( u ) u u, G F ( u) u u. öø (3.9), (3.37) suy a (3.38) Giaû söû 35 35 u u u u ng L 53 ( Q ) yeáu ϕ C ([, ]), ϕ( ) =. Nhaân phöông ình (3.9) vôùi ϕ, sau ñù ích phaân öøng phaàn he bieán, a ñöôïc j j j u, w ϕ() u ( ), w ϕ ( ) + u ( ), w ϕ( ) (3.39) + h ( ) u (, ) w() ϕ( ) + F ( u ( )), w ϕ( ) j j = f (), w ϕ() + u% h() w () ϕ(), j. j j Ñeå qua giôùi haïn cuûa sá haïng phi uyeán ( ( )) söû duïng bå ñeà sau Bå ñeà 3.. a cù j ϕ = j + F u ng (3.39) a. li F ( u ( )), w ( ) F ( u( )), w ϕ( ) Chöùng inh. Chuù yù aèng (3.38) öông ñöông vôùi (3.4) 35 35 u u Φ d u u Φd 3
Maë khaùc, a cù (3.4) ( ) 53 5 Φ L ( Q ) = L ( Q ). j ϕ = j = ( 35 u u)( 5 wj() ϕ() ) d. 5 5 Φ= j ϕ 4 F ( u ( )), w ( ) u u w ( ) ϕ( ) d D (3.4), a chöùng inh haä vaäy, d baá ñaúng höùc (.7), a cù (3.4) w () () L ( Q ). 5 5 Φ = j () ϕ() 4 5 5 = j () ϕ() 5 4 5 ( j ) ϕ( ) 5 5 5 = wj ϕ ( ). 3 <+ d w d w d w d D ñù, bå ñeà 3.. ñöôïc chöùng inh. Ch + ng (3.39), öø (3.), (3.3), (3.3) vaø bå ñeà 3. a suy a u hûa phöông ình bieán phaân j j j u, w ϕ() u( ), w ϕ ( ) + u ( ), w ϕ( ) (3.43) + h () u(,) w() ϕ() + F ( u ()), w ϕ(), D ñù a cù j = f (), w ϕ() + u% h() w () ϕ(), j j ϕ C ([, ]), ϕ( ) =, j =,,...,. u, v ϕ() u(), v ϕ () + u (), v ϕ() j
(3.44) + h ( ) u(, ) v() ϕ( ) + F ( u ( )), vϕ( ) = f (), v ϕ() + u% h() v() ϕ(), ϕ C ([, ]), ϕ( ) =, v. Laáy ϕ D(, ), öø (3.44) suy a (3.45) [ d u ( ), v ] ϕ( ) + u ( ), v ϕ( ) + h ( ) u(, ) v() ϕ( ) + F( u ( )), vϕ( ) = f (), v ϕ() + u% h() v() ϕ(), ϕ D(, ), v. D ñù a cù (3.46 d u ( ), v + u ( ), v + hu ( ) (, v ) () + F ( u ( )), v = f (), v + u% h() v(), v ñuùng ng D(,) vaø d ñù haàu heá ng (,). Ch ϕ C ([, ]), ϕ( ) =. Nhaân phöông ình (3.46) vôùi ϕ, sau ñù ích phaân öøng phaàn he bieán hôøi gian a ñöôïc u(), v ϕ() u( ), v ϕ ( ) + u ( ), v ϕ( ) (3.47) + h () u(,) v() ϕ() + F ( u ()), vϕ() = f (), v ϕ() + u% h() v() ϕ(), ϕ C ([, ]), ϕ( ) =, v. S saùnh (3.44), (3.47) a ñöôïc (3.48) u(), v ϕ() = u, v ϕ() ϕ C ([, ]), ϕ( ) =, v, 5
aø (3.48) öông ñöông vôùi ñieàu kieän ñaàu (3.49) u() = u. a chuù yù aèng, öø (3.3) (3.34), a cù u L (, ; ) L (, ; H), u L (, ; ) vaø 5 5 u L (, ; H), u L ( Q ). aäy söï àn aïi nghieä ñöôïc chöùng inh. Böôùc 4. ính duy nhaá nghieä öôùc heá, a caàn bå ñeà sau ñaây. Bå ñeà 3.. Giaû söû w laø nghieä yeáu cuûa baøi aùn sau (3.5) (3.5) w ( w + w) = f% (, ), < <, < <, li w (, ) < +, w (, ) + h ( ) w(, ) =, + (3.5) w (,) =, (3.53) w L (, ; ) L (, ; H), w L (, ; ), w L (, ; H). Khi ñù (3.54) w () + w() s + hs () w(,) s ds f % (), s w() s ds=, a.. e (, ). Chuù hích. Bå ñeà 3. laø ång quaù hùa cuûa bå ñeà ng cuán saùch cuûa Lins [] ch öôøng hôïp khâng gian Sblev cù ïng. Chöùng inh cuûa bå ñeà 3. cù heå ì haáy ng [8]. Giaû söû u vaø v laø hai nghieä yeáu cuûa baøi aùn (3.) (3.4). Khi ñù w = u v laø nghieä yeáu cuûa baøi aùn (3.5) (3.5) vôùi veá phaûi 6
%. Duøng bå ñeà 3., a cù f (,) = u () u () + v () v () ñaúng höùc sau (3.55) + + us () us () vs () vs (), ws () ds, w () [ w() s hs () w (, s)] ds = d ính chaá ñôn ñieäu aêng cuûa w =. ính duy nhaá ñöôïc chöùng inh. aäy ñònh lyù (3.) ñöôïc chöùng inh xng. u u. öø (3.55) a suy a aèng 7
CHÖÔNG 4 NGHIEÄM UAÀN HOAØN CUÛA BAØI OAÙN PHI UYEÁN ng chöông naøy, chuùng âi nghieân cöùu nghieä uaàn haøn cuûa baøi aùn giaù ò bieân phi uyeán nhö sau: (4.) u ( u + u) + Fε ( u) = f(, ),< <, < <, (4.) li u (, ) < +, u (, ) + h( )( u(, ) u% ) =, + (4.3 ) u (,) = u (, ), (4.4) Fε ( u) = ε u u, ng ñù u% laø haèng sá ch öôùc, h (), f(,) laø haø sá ch öôùc uaàn haøn he, hûa caùc giaû hieá sau: ( H ) u% R,, 3 ( H ) h W (, ), h() = h( ), h( ) h >, 4 ( H ) f C (, ; H), f(,) = f(, ). Khâng laø aá ính ång quaù cuûa baøi aùn a laáy ε = Nghieä yeáu cuûa baøi aùn (4.) (4.4) ñöôïc hieá laäp öø baøi aùn bieán phaân sau: ì u L (, ; ) L (, ; H) sa ch u L (, ; H) vaø u () hûa phöông ình bieán phaân sau: (4.5) + + u (), v() [ u (), v () h() u(,) v(,)] + F ( u ()), v () = f(), v () + u% h () v(,), v L (, ; ), 8
vaø ñieàu kieän uaàn haøn (4.6) u() = u( ). Khi ñù, a cù ñònh lyù sau Ñònh lyù 4.. Ch > vaø 3 4 ( H ),( H ),( H ) ñuùng. Khi ñù, baøi aùn (4.) (4.4) cù duy nhaá ä nghieä yeáu uaàn haøn u L (, ; ) L (, ; H ) sa ch 5 u L (, ; H ), u L 5 ( ). Chöùng inh. Gà nhieàu böôùc. Böôùc. Phöông phaùp Galekin. Laáy ä cô sôû öïc chuaån { wj}, j =,,... ng khâng gian Hilbe aùch ñöôïc. a ì u () he daïng (4.7) u () = c () w, j j j= ng ñù cj() hûa heä phöông ình vi phaân phi uyeán (4.8) u (), w + u (), w + h() u (,) w () j j j + F ( u ( )), wj = f (), w + u% h() w (), j, j j vaø ñieàu kieän uaàn haøn (4.9) u () = u ( ). Ñaàu ieân, a xeù heä phöông ình (4.8) vaø ñieàu kieän ñaàu (4.9 ) u () = u, ng ñù u huäc khâng gian sinh bôûi caùc haø { w j }, j =,,...,. Khi ñù, a ñöôïc ä heä phöông ình vi phaân höôøng phi uyeán vôùi caùc aån haø c ( ), j =,,...,, vaø caùc ñieàu kieän ñaàu (4.9 ). j Deã haáy aèng àn aïi u () cù daïng (4.7) hûa (4.8) vaø (4.9 ) vôùi Q 9
haàu khaép nôi eân, vôùi ä (, ]. Caùc ñaùnh giaù ieân nghieä sau ñaây ch pheùp a laáy Böôùc. Ñaùnh giaù ieân nghieä. = vôùi ïi. Nhaân phöông ình höù j cuûa heä (4.8) vôùi cj(), sau ñù laáy ång he j, a ñöôïc (4.) d u () + u () + h () u (,) 5 + u(, ) d = f ( ), u( ) + u% h( ) u( ). öø giaû hieá ( H ) vaø baá ñaúng höùc (.9), suy a 3 (4.) + u () h() u (,) C u () ng ñù C = in{, h }. D ñù, öø (4.), (4.) suy a 5 () + () + (,) d (4.) u C u u d f ( ), u( ) + u% h( ) u(, ) 3 f () + δ u () + u % h δ u () δ δ + L (, ) 3 f () + u % h δ u () L (, ) + δ δ vôùi ïi δ >. Chïn δ > sa ch (4.3) C δ = C >. D ñù, öø (4.), (4.3) a hu ñöôïc (4.4) d u () C u () + 3
5 () () (,) % L (, ) δ C d u + C u + u d 3 f () + u h = h% (). δ Nhaân baá ñaúng höùc (4.4) vôùi e vaø sau ñù ích phaân a cù C (4.5) () C C ( ) s u u e + e h % s e ds. Ch >, a xeù haø sá sau C C ( ) s e h( s) e ds, <, (4.6) R % % () = h% () C, =. Khi ñù R% C [, ] vaø a ñaë R = ax R %( ). Neáu u R öø (4.5), (4.6) ch a (4.7) u () R nghóa laø = vôùi ïi. Gïi B (, R ) laø quaû caàu ñùng aâ O, baùn kính R ng khâng gian chieàu sinh bôûi caùc haø w, j =,,...,, ñái vôùi chuaån. Xeù aùnh xaï : F : B (, R) B (, R) ch bôûi câng höùc (4.8) F ( u ) = u ( ). a chöùng inh aèng F laø aùnh xaï c. Giaû söû u, v B (, R) vaø ñaë Φ () = u () v (), ng ñù j u (), v () laø caùc nghieä cuûa heä (4.8) eân [,] hûa caùc ñieàu kieän ñaàu u () = u vaø v () = v laàn löôï. Khi ñù, Φ () hûa heä phöông ình vi phaân sau ñaây (4.9) wj wj h wj () () () (), j, Φ ( ), + Φ ( ), + ( ) Φ (, ) () = u u v v w j 3
vaø ñieàu kieän ñaàu (4.) Φ () = u v. ính aùn öông öï nhö chöông 3, a ñöôïc d (4.) () () h() (,) Φ + Φ + Φ = u () u () v () v (), u () v (). D (4.), öø (4.) suy a d (4.) Φ () + C Φ (). ích phaân baá ñaúng höùc (4.), a ñöôïc (4.3) C ( ) ( ) u v e u v nghóa laø F : B (, R) B (, R) laø aùnh xaï c D ñù àn aïi duy nhaá u B (, R) sa ch u = F ( u ) = u ( ). D ñù, vôùi ãi àn aïi ä haø u B (, R) sa ch nghieä cuûa baøi aùn giaù ò ban ñaàu (4.8), (4.9 ) laø ä nghieä uaàn haøn cuûa heä (4.8). Nghieä naøy cuõng hûa baá ñaúng höùc (4.7) vôùi haàu heá [, ] vaø nhôø (4.4) a suy a (4.4) 5 () + ( ) + (, ) 3 u C u s ds ds u s d C ng ñù C 3 laø haèng sá ñäc laäp vôùi., Nhaân phöông ình höù j cuûa heä (4.8) vôùi c (), laáy ång he j vaø sau ñù ích phaân öøng phaàn he bieán öø ñeán, a cù j (4.5) d () + () u u 3
d f (), u() u% h() u(,). + h() [ u (,)] + u () u (), u () = + öø (4.9) a haáy aèng hai baá ñaúng höùc sau ñaây ñuùng: i ii d u () =, d 5 () (), () (,) 5 5 5 ( ) 5 u u d u u u = d u = (, ) (,) =. D ñù, ñaúng höùc (4.5), nhôø ích phaân öøng phaàn a hu ñöôïc (4.6) = + u () f (), u () h () u (,) u% h () u (,). Sau cuøng, nhôø (4.4), (4.6), suy a baá ñaúng höùc sau (4.7) + u ( ) f ( ) u ( ) + (, ) (, ) L (, ) + % L (, ) () + () + 3 () L (, ) + 3 u% h u( ) L (, ) () () 3 () L (, ) h u u h u u f h u u + f + h u 33
+ 3 u% h u( ) L (, ) u () + C, ng ñù C 4 laø haèng sá ñäc laäp vôùi. 4 (4.8) u () C 4 vôùi ïi. Maë khaùc, öø (4.4), a cù ñaùnh giaù (4.9) 53 35 (,) (,) ds u s u s d 5 ds u (,) s d 3 C. = Böôùc 3. Qua giôùi haïn. D (4.4), (4.8), (4.9) a suy a, àn aïi ä daõy cn cuûa daõy { u }, vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (4.3) u u ng L (, H ; ) yeáu, (4.3) u u ng L (, ; ) yeáu, (4.3) (4.33) u u ng L (, H ; ) yeáu, 5 5 u u ng L 5 ( Q ). öôcù heá a nghieä aèng (4.34) u() = u( ). ôùi ïi v H, öø (4.9) a cù (4.35) u (), v = u () u (), v = öø (4.3), (4.35) suy a 34
(4.36) u (), v u (), v = khi + ính aùn öông öï nhö (4.35) a cù (4.37) d ñù (4.34) ñuùng. vôùi ïi v H u ( ) u(), v = u( ), v =, vaø Duøng bå ñeà.. veà ính cpac cuûa Lins, aùp duïng vaø (4.3), (4.3) a cù heå laáy a öø daõy { u } ä daõy cn vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (4.38) u u aïnh ng L (, H ; ) D ñònh lyù Riesz Fische, öø (4.38) a cù heå laáy a öø { u } ä daõy cn vaãn kyù hieäu laø { u } sa ch (4.39) u (,) u(,) a.e (,) ng Q = (,) (, ). D u a u u lieân uïc neân (4.4) 35 35 u (,) u (,) u (,) u (,) vôùi ae..(,) ng Q. Aùp duïng bå ñeà., vôùi 35 35 N =, q= 53, G = u u, G= u u. öø (4.9), (4.4) suy a (4.4) 35 35 u u u u ng L 53 ( Q ) yeáu 35
Kyù hieäu iπ gi ( ) = sin, i=,,... laø ä cô sôû öïc chuaån ng khâng gian Hilbe höïc L (, ). Khi ñù aäp { g w ; i, j =,,...} laäp haønh ä cô sôû öïc chuaån ng khâng gian i j L (, ; ). Nhaân phöông ình höù i cuûa (4.8) vôùi gi () sau ñù laáy ích phaân he, (4.4), a cù u(), wj gi() + u (), wj gi() j i j i + h ( ) u (, ) w() g( ) + u ( ) u ( ), w g( ) % = f (), w g () + u h() w () g () j i j i j =,,...,, i N. Ñeå qua giôùi haïn cuûa sá haïng phi uyeán (4.4) a duøng bå ñeà sau Bå ñeà 4.. i, j =,,... a cù li u ( ) ( ), ( ) ( ) u w j gi = u u( ), w j g + Chöùng inh. Chuù yù aèng (4.4) öông ñöông vôùi (4.43) 35 35 u () u () ng i ( ). u u Φ d u u Φd ( ) 53 5 Φ L ( Q ) = L ( Q ). Maë khaùc, a cù j i = j i u () u (), w g () u u w ( ) g () d 36
(4.44) ( 35 )( 5 j() i() ) = u u w g d. D (4.44), bå ñeà 4.. seõ ñöôïc chöùng inh neáu a khaúng ñònh ñöôïc aèng 5 5 j i Φ= w () g () L ( Q ). haä vaäy, d baá ñaúng höùc (.7), a cù 5 5 Φ d = w () g () d 4 5 5 j() i() = (4.45) ( j ) w d g 5 4 i 5 5 5 j ( ) 3 i j i 5 w d g ( ) = w g <+. aäy bå ñeà 4. ñöôïc chöùng inh. Ch + ng (4.4), öø (4.3) (4.3) vaø bå ñeà 4., a suy a u hûa phöông ình bieán phaân (4.46) u (), wj gi() + u(), wj gi() j i j i + h ( ) u(, ) w() g( ) + u ( ) u ( ), w g( ) = f (), w g () + u% h() w () g (), i, j N. j i j i öø (4.46) suy a phöông ình sau ñaây ñuùng. (4.47) + + u (), v() u (), v () h() u(,) v(,) % + u () u (), v () = f(), v () + u hv () (,) 37
v L (, ; ). aäy söï àn aïi nghieä ñöôïc chöùng inh. Böôùc 4. ính duy nhaá nghieä. Giaû söû uv, laø hai nghieä yeáu cuûa (4.) (4.4). Khi ñù w= u v hûa baøi aùn bieán phaân sau ñaây (4.48) + + w (), ϕ() w (), ϕ () h() w(,) ϕ(,) + u () u () v () v (), ϕ() =, ϕ L(, ; ), (4.49) w() = w( ), vôùi u, v L (, ; ) L (, ; H), u, v L (, ; H), 5 5 5 u, v L ( Q ). Laáy ϕ = w ng (4.48) vaø chuù yù aèng w (), w() =. Khi ñù söû duïng (4.) va ø(4.49) a ñöôïc (4.5) () () (,) C w w L (, ; ) + h w u () u () v () v (), u () v (). = Ñieàu naøy daãn ñeán w = nghóa laø u = v. Ñònh lyù 4. ñöôïc chöùng inh haøn aøn. 38
PHAÀN KEÁ LUAÄN Qua luaän vaên naøy, aùc giaû ñaõ hïc aäp ñöôïc caùc câng cuï vaø caùc phöông phaùp khaùc nhau ñeå chöùng inh söï àn aïi vaø duy nhaá nghieä cuûa ä sá phöông ình nhieä phi uyeán ng ä hình uï vôùi ñieàu kieän bieân hãn hôïp khâng huaàn nhaá. () u ( u + u) + ε u u= f(, ), < <, < <, () li u (, ) + < +, u (, ) + h( ) ( u(, ) u% ) =, (3) u (,) = u(), haëc (4) u (,) = u (, ), ng ñù u%, ε > laø caùc haèng sá ch öôùc, h (), f(,) laø caùc haø sá ch öôùc hûa ä sá ñieàu kieän naø ñù a seõ chæ õ sau ñù. Sau phaàn ình baøy caùc khâng gian Sblev cù ïng vaø ä sá câng cuï lieân quan hì phaàn chính cuûa luaän vaên naè ôû caùc chöông 3 vaø 4. ng chöông 3, chuùng âi ình baøy chöùng inh baøi aùn phi uyeán vôùi ñieàu kieän ñaàu (), (), (3) cù nghieä yeáu duy nhaá ng caùc khâng gian Sblev cù ïng hích hôïp baèng phöông phaùp Galekin. ng chöông 4, chuùng âi ình baøy chöùng inh söï àn aïi nghieä yeáu uaàn haøn cuûa baøi aùn phi uyeán (), (), (4), ng ñù baøi aùn xaáp xæ höõu haïn chieàu ì nghieä uaàn haøn ñöôïc höïc hieän nhôø baøi aùn ñieàu kieän ñaàu hâng qua ñònh lyù aùnh xaï c. 39
AØI LIEÄU HAM KHAÛO [] R.A. Adas, Sblev Spaces, Acadeic Pess, New Yk, 975. [] J.L.Lins, Quelques eùhdes de eùsluin des pbles aux liies nnlineùaies, Dund- Gauhie -illas, Pais 969. [3] D. Laueva, he exisence f a peidic sluin f a paablic equain wih he Bessel pea, Aplikace Maeaiky, 9 (), (984), 4-44. [4] Nguyeãn haønh Lng, Alain Phaï Ngïc Ñònh, Peidic sluins f a nnlinea paablic equain invlving Bessel s pea, Cpues Mah. Applic. 5 (993), - 8. [5] Nguyeãn haønh Lng, Buøi ieán Duõng, aàn Minh huyeá, On a linea bunday value pble f a nnlinea dinay diffeenial pea in weighed Sblev spaces, Z. Anal. Anw, 9 (), N. 4, 35-46. [6] R.S. Minasjan, On ne pble f he peidic hea flw in he infinie cylinde, Dkl. Akad. Nauk. A. SSR. 48, (969). [7]Nguyeãn Häi Nghóa, Nguyeãn haønh Lng, On a nnlinea bunday value pble wih a ixed nnhgeneus cndiin, iena J. Mah., 6 (998), 3 39. [8] Nguyeãn hò Xuaân Anh, Khaû saù ä sá phöông ình paablic phi uyeán, Luaän vaên haïc syõ aùn hïc, Ñaïi hïc Sö Phaï p. HCM, haùng 997, 45 ang. 4