h11.dvi

1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Bài 1. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB,AC,AD lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song song BC,NP không song song CD,PM không song song DB. Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng(mnp) với các mặt phẳng(abc),(acd),(abd),(bcd). Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song BC,trong tam giác BCD lấy điểm P. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (ABC),(BCD),(ACD),(ABD). Bài 3. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song BC,trong tam giác ACD lấy điểm P sao cho NP không song song DC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(mnp) với các mặt phẳng(acd),(abc),(bcd),(abd). Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Tìm các giao tuyến sau: a) (SAC) và (SCD). b) (SAD) và (SBC). c) (SAC) và (SBD). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi M,N là hai điểm lần lượt trên SA,SD sao cho SM SA SN.Tìm giao tuyến của SD a) (MBD) và (NAB). b) (MNB) và (ABCD). c) (MNB) và (SCD). d) (MNB) và (SBC). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Gọi M,N là hai điểm lần lượt trên SA,SC sao cho SM SA SN.Tìm giao tuyến của : SC a) (NAD) và (MBC). b) (MBD) và (NAC). c) (MAC) và (NBD). - d) (MNB) và (ABCD). e) (MND) và (SAD). f) Gọi P là điểm trên SB sao cho. SP SB SN. Xác định giao tuyến của (MNP) với SC (ABCD) và (SCD). Võ Tiến Trình 1

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang. Trên SA,SB,AD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song song AB,MP không song song SD,BP không song song CD. a) Tìm giao tuyến của(mnp) với(abcd),(scd),(sbc),(sbd),(sac). b) Tìm giao tuyến của(npb) và (SCD). c) Tìm giao tuyến của(cmn) và (BMD). Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MB> MA,NA<NC,trong tam giác BCD lấy điểm P. GọiQ là trung điểm AP. Tìm giao tuyến của: a) (MNQ) và (ACD). b) (MNQ) và (ABD). c) (MNP) và (BCD). d) (MNP) và (ACD). Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Trong hai tam giác ABC,BCD lần lượt lấy các điểm M,N. Tìm giao tuyến của: a) (BMN) và (ACD). b) (CMN) và (ABD). c) (DMN) và (ABC). Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lần lượt lấy điểm M. Trong hai tam giác BCD,ACD lần lượt lấy các điểm P,Q.Tìm giao tuyến của : a) (ABP) và (ACD). b) (MPQ) với các mặt phẳng (ACD),(ABD),(ABC). - Bài 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng(and) và (MBC). b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm AB và AC. Tìm giao tuyến giữa(mbc) và(dpq)). 2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Bài 1. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB,BC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,K. a) Tìm giao điểm I của CD với(mnk). b) Tìm giao điểm J của AC với(mnk). Võ Tiến Trình 2

c) Tìm giao điểm P của AD với(mnk). d) Chứng minh I,J,P thẳng hàng. Bài 2. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB,BC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,K. a) Tìm giao điểm I của NK với (MDC). b) Tìm giao điểm J của AN với(mdc). c) Tìm giao điểm P của AK với(mdc). d) Chứng minh I,J,P thẳng hàng. Bài 3. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. a) Tìm giao điểm P của BC với(dmn). b) Tìm giao điểm I của AC với(dmn). c) Tìm giao điểm K của MN với(acd). d) Chứng minh D, I, K thẳng hàng. Bài 4. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh I,J lần lượt là trung điểm của BC,CD. a) Tìm giao điểm P của DI với(abj) b) Gọi K là trung điểm AD.Tìm giao điểm Q của KI với (ABJ). Chứng minh Q là trung điểm KI. c) Xác định giao tuyến d của QIJ với(abd). Chứng minh d IJ. Bài 5. Cho tứ diện ABCD,gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC,DC.K là trung điểm AI. a) Tìm giao điểm P của KD với(abj). b) Tìm giao điểm Q của AB với(kcd). - c) Chứng minh P, Q, J thẳng hàng. Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang.gọi M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA,SB (MN không song song AB). a) Tìm giao điểm I của MN với(scd). b) Tìm giao điểm J của CM với(sbd). c) Tìm giao điểm K của IJ với(sad). d) Gọi F là giao điểm của MK với SD.. Chứng minh I,C,F thẳng hàng. Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC,BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Võ Tiến Trình 3

a) Tìm giao điểm E của CD với(ijk). Chứng minh rằng DE = DC. b) Tìm giao điểm F của AD với(ijk). Chứng minh rằng FA=2FD. c) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với(ijk). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD,M là điểm trên cạnh SC,(M S,C). a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). b) Tìm giao điểm N của SD với(abm). c) Giả sử MN cắt CD tại K. Chứng minh A,B,K thẳng hàng. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD,gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC,DC.K là trung điểm AI. a) Tìm giao điểm P của KD với(abj). b) Tìm giao điểm Q của AB với(kcd). c) Chứng minh P, Q, J thẳng hàng. Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi A,B,C,D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,CDA,DAB,ABC. a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA và BB cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Gọi I là giao điểm của AA và BB, chứng minh: IA IA = IB IB = 1 3. c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA,BB,CC đồng qui. Bài 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M,N,P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB,AC,AD sao cho MA MB = NC NA = PD PA = 1. Gọi I là giao điểm 2 của MN và BC,J là giao điểm của MP và BD. a) Chứng minh các đường thẳng MG,PI,NJ đồng qui. - b) Gọi E,F lần lượt là trung điểm của CD và NI,H là giao điểm của MG và BE,K là giao điểm của GF và (BCD). Chứng minh H,K,I,J thẳng hàng. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang. Trên cạnh SC lấy một điểm E. a) Tìm giao điểm F của SD và (ABE). b) Chứng minh 3 đường thẳng AB,CD,EF đồng qui. Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Gọi(P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N,B. a) Tìm giao điểm I của SO với(mnb) và giao điểm J của SD với(mnb). Võ Tiến Trình 4

b) Tìm giao điểm P,Q của DA,DC với mặt phẳng (MNB). c) Chứng minh P,B,Q thẳng hàng. Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,SO. a) Tìm giao điểm I,J của AB,AD với(mnp). b) Tìm giao điểm K của SA với(mnp) c) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAB),(SAD)(SAC). Chứng tỏ ba giao tuyến đó đồng qui. Bài 15. Cho tứ diện SABC. Lấy các điểm A,B,C lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC sao cho SA = 1 3 SA;SB = 1 2 SB;SC = 1 2 SC. a) Tìm giao điểm E,F của các đường thẳng A B,A C lần lượt với mặt phẳng(abc). b) Gọi I,J lần lượt là các điểm đối xứng của A qua B và C. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ. c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA,SB,SC tại A,B,C. a) Tìm giao điểm D của mặt phẳng (P) với cạnh SD. b) Gọi I là giao điểm của A C với SO. Chứng minh SA SA + SC SC = 2SO SI. c) Chứng minh : SA SA + SC SC = SB SB + SD SD. Bài 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi I là điểm đối xứng của B qua D. - a) Tìm giao điểm P của CD với mặt phẳng(imn). Tính tỉ số PC PD. b) Tìm giao điểm Q của AD với mặt phẳng(imn). Tính tỉ số QA QD. Bài 18. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B,C khôngthẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC,CA,AB lần lượt cắt (P) tại D,E,F. Chứng minh rằng D,E,F thẳng hàng. Bài 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F,G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB,AC,BD sao cho EF cắt BC tại I,EG cắt AD tại H. Chứng minh CD,IG,HF đồng qui. Võ Tiến Trình 5

Bài 20. Cho hai điểm A và B nằm ngoài mặt phẳng (P) và đường thẳng AB cắt (P) tại I. Gọi d và d là hai đường thẳng nằm trên (P) và cắt nhau. Giả sử (Q) là mặt phẳng qua AB cắt d và d theo thứ tự tại M và N. a) Chứng minh rằng ba điểm M,N,I thẳng hàng. b) Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (A,d) và (B,d ). Chứng minh rằng các đường thẳng AM,BN và đồng qui. Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I,J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng(p) quay quanh IJ cắt SB tại M,SD tại N. a) Chứng minh IJ,MN,SO đồng qui, với O là giao điểm của AC và BD. Suy ra cách dựng điểm M khi biết N. b) AD cắt BC tại E,IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S,E,F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P,MJ cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ đi qua điểm cố định khi (P) di động. 3 Xác định thiết diện Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC,CD,AD lấy các điểm M,N,P. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng(mnp). Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(adm). Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểm M,N, trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(mni). Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA,AB,BC lấy các điểm M,N,P. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(mnp). - Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm M,N,P. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(mnp). Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,SO. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(mnp). Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trong 3 tam giác ABC,ACD,BCD lần lượt lấy 3 điểm M,N,P. Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(mnp). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Gọi M,N là trung điểm của SB và SC. Võ Tiến Trình 6

a) Tìm giao tuyến của(sad) và (SBC). b) Tìm giao điểm của SD với(amn). c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(amn). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy điểm M. a) Tìm giao tuyến của(sbm) và (SAC). b) Tìm giao điểm của BM với(sac). c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(abm). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh CB và CD,M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(mhk). Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD=2BC. Gọi N là trung điểm của SB,M nằm trên cạnh SA sao cho AM= 2MS. Gọi α là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q. a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN,AB,CD,PQ đồng qui tại một điểm I. b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với α, chứng minh rằng ba điểm I,J,K thẳng hàng. c) Tìm giao tuyến của α với(sac);(sbd). d) Gọi R là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi α thay đổi. Bài 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD,J là điểm đối xứng với D qua C,K là điểm đối xứng với D qua B. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). - b) Tính diện tích của thiết diện ấy. Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm tùy ý nằm bên trong tam giác BCD,I là trung điểm OA. a) Tìm giao điểm J của BI với(acd). b) Gọi H là giao điểm của ID với(abc). Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,BC,OD đồng qui. Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.H là trung điểm của trung tuyến BI của tam giác BCD,K là trung điểm của trung tuyến AJ của tam giác ABC. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với(ghk). Võ Tiến Trình 7

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,SD,OC. a) Tìm giao tuyến của(mnp) với(sac) và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với các mặt phẳng(mnp). Bài 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BC.P là điểm trên cạnh BD sao cho BP=2PD. a) Tìm giao điểm Q của(mnp) với đường thẳng AD. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tìm giao điểm của BG với (MNP). Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M,N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh BC và SD. a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC). b) Gọi K là giao điểm của DM và AC.Chứng minh rằng S,K,J thẳng hàng. c) Xác định thiết diện của hình chóp với(bcn). Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD với tâm O. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng(p) trong mỗi trường hợp sau đây: a) (P) qua trung điểm M của cạnh AD, trung điểm N của cạnh CD và điểm P trên cạnh SC ( P không trùng với S,C). b) (P) qua trung điểm M của AD, trung điểm N của SD và điểm P trên cạnh SC với CP=2PS. c) (P) qua A, trung điểm M của SB và trọng tâm G của tam giác SAC. Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB CD và AB> CD. Gọi I là trung điểm SC. (P) là mặt phẳng thay đổi qua AI, cắt BC và CD lần lượt tại E,F. Giả sử IE cắt SB tại M,IF cắt SD tại N. - a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh giao điểm của IM và AN nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 20. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CE = a, kéo dài BD một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm của AB. (a) Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng(mef). (b) Tính diện tích thiết diện. Võ Tiến Trình 8