Nguyễn Hồng Điệp Bài tập Hình học không gian

Bản ghi

1 Nguyễn Hồng Điệp Bài tập Hình học không gian

2 abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc Nguyễn Hồng Điệp Vĩnh Bình - Gò Công Tây - Tiền Giang e d fgggggggggggggggggggggggggggggh

3 Lời mở đầu Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hình không gian. Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp để giải chúng 1. Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạn cảm thấy cần thiết. Tài liệu được soạn bằng L A TEX phiên bản L A TEX 2ε. Muốn biết cụ thể L A TEX là gì các bạn lên google là có ngay kết quả, sau đây là một số điều mà tác giả tâm đắc 2 : Người soạn thảo văn bản không có kiếu thường mắc phải sai lầm nghiêm trọng vì quan điểm: Nếu một tài liệu trông sắc sảo thì nó đã được thiết kế tốt. Tuy nhiên các tài liệu được in ấn để đọc chứ không phải để trưng bày trong phòng triển lãm nghệ thuật. Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu của tài liệu phải được đặt lện hàng đầu. L A TEX làm rất tốt điều này, L A TEX yêu cầu người soạn định nghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cách trình bày tốt nhất. Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyên nghiệp. Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiều phần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do L A TEX. Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thời gian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung mà tác giả bắt đầu học cách sử dụng L A TEX và cảm thấy ngày càng hứng thú. Ngày 21 tháng 10 năm Một số phương pháp được người biên soạn tài liệu này đưa ra, tự tác giả cũng thấy còn nhiều hạn chế, mong được sự đóng góp thêm của các bạn. 2 Đáng lẽ phần Lời mở đầu không có chú thích cuối trang nhưng trong TEX footnote thật hấp dẫn (ˆ.ˆ). Nguyễn Hồng Điệp 3

4 MỤC LỤC Mục lục MỤC LỤC I Mở đầu 7 1 Mở đầu về hình không gian Mở rộng mặt phẳng Bài tập Giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải Bài tập Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải Bài tập Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng Phương pháp giải Bài tập Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Phương pháp giải Bài tập II Quan hệ song song 26 7 Giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp giải Bài tập Nguyễn Hồng Điệp

5 MỤC LỤC MỤC LỤC 8 Đường thẳng song song mặt phẳng Phương pháp giải Bài tập Hai đường thẳng song song Phương pháp giải Bài tập Bài toán thiết diện Phương pháp giải Bài toán Phương pháp giải Bài tập Hai mặt phẳng song song Phương pháp giải Bài tập Bài toán thiết diện Phương pháp giải Bài toán Phương pháp giải Bài tập Hình lăng trụ - Hình hộp Chứng minh 4 điểm đồng phẳng Phương pháp giải Bài tập Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm Phương pháp giải Bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng qui Phương pháp giải Bài tập Nguyễn Hồng Điệp 5

6 MỤC LỤC MỤC LỤC 17 Bài tập tổng hợp 48 6 Nguyễn Hồng Điệp

7 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN Phần I Mở đầu 1 Mở đầu về hình không gian 1.1 Mở rộng mặt phẳng Trong phần bài tập mặt phẳng thường bị thu gọn thành tam giác, tứ giác... khi mở rộng mặt phẳng thì ta sẽ có cách nhìn rõ ràng hơn đối với một số dạng toán (không có quan hệ song song, vuông góc trong không gian) như : giao tuyến hai mặt phẳng, giao điểm đường và mặt, bài toán thiết diện.... Lưu ý: 1. Mở rộng bằng cách kéo dài các đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng. 2. Khi mở rộng ta nên tìm tất cả các giao điểm có thể có. 3. Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng phải đồng phẳng, tức chúng cắt nhau trong mp (α) nào đó. a b α Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD (AB CD, AB > CD). Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC). Phân tích Dựa vào tên gọi ta có ngay giao điểm thứ nhất là S. Nguyễn Hồng Điệp 7

8 1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN Ta chọn (SAD) để mở rộng : nhận xét : nếu kéo dài SA, SD cũng chưa thấy giao điểm mới. Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD không song song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cần tìm. Khi ta nối SI, BI thì DC bị khuất. S A D I C B Giải Ta có: S (SAD) S (SBC) } S (SAD) (SBC) (1) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm AD và BC { I AD { I BC I (SAD) I (SBC) I (SAD) (SBC) (2) Từ (1), (2) SI = (SAD) (SBC) Khi đó (SAD) mở rộng ra thành (SAI). Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K là các điểm trên cạnh AB, BC, CD sao cho AI = 1AB, BJ = 2BC, CK = 4 CD. Tìm giao điểm của (IJK) với AD. 8 Nguyễn Hồng Điệp

9 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳng Phân tích Tỉ số CK CD CJ CB (trong CBD) nên JK không song song BD. Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm mới. Tránh nhầm lẫn AD cắt IK, các điểm A, D, I cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nhưng K không thuộc (ABD) nên AD và IK không đồng phẳng. "Mở rộng" mặt phẳng (IJK) : Kéo dài IJ cắt BD ở E (trong mp (BCD)), khi đó (IJK) mở rộng thành (IJE). E BD E (ABD) Gọi F là giao điểm IE và AD thì F là điểm cần tìm. I A F B K D E J C Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD. Tìm thiết diện 3 tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp. Phân tích AB kéo dài cắt CD ở E (trong mp(abcd)). Lúc này (ABM) trở thành (AEM). ME cắt SC và SD lần lượt tại K, H (trong mp(scd)). Lúc này (ABM) trở thành (HAE). 3 Thiết diện sẽ nói rõ hơn ở những phần sau Nguyễn Hồng Điệp 9

10 1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB. S H A K M D B C E 1.2 Bài tập 1. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N, P là điểm thuộc SA, SB, SC. (a) Kéo dài NM cắt AB ở H, H thuộc các mp nào? (b) MP cắt AC không? Vì sao? (c) MP có thể cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) là J, J thuộc mp nào? (d) HJ có thuộc mp(abc), mp(mnp) không? 2. Cho hình chóp SABC, gọi M, N là các điểm thuộc SA, SB, P là điểm nào trong mp(sbc) (a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP có thể cắt các đường thẳng nào? (b) MP cắt AB, BC không? Vì sao? 10 Nguyễn Hồng Điệp

11 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2 Giao tuyến của hai mặt phẳng 2.1 Phương pháp giải Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. M (α) (β) N (α) (β) } MN = (α) (β) β N α M 2.2 Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang (AB song song DC và AB > CD). Tìm giao tuyến các mp: (a) (SAB) và (ABCD). (b) (SAD) và (SBC). (c) (SAC) và (SBD). 2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi (AD > CD) (a) Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau: i. (SAC) và (SBD). Nguyễn Hồng Điệp 11

12 2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG ii. (SBC) và (SCD). iii. (SAD) và (SBC). (b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (SAN) và: i. (ACD). ii. (SCD). (c) Gọi H là điểm thuộc SD (H nằm gần S), K là điểm thuộc SC (K nằm gần C). Tìm giao tuyến của (AHK) và i. (SCD). ii. (ABCD). iii. (SAB). 3. Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. (a) Tìm giao tuyến mp(sac) và mp(sbd). (b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến mp(san) và mp(acd). 4. Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành (a) Tìm giao tuyến (MAC) và (MBD) (b) Gọi N là trung điểm BC. Tìm giao tuyến của (AMN) và i. (ACD) ii. (MCD) 5. Cho hình chóp SABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến các mp sau: (a) (SBM) và (SCD) (b) (AMB) và (SCD) (c) (ABM) và (SAC) (d) (ABM) và (SAD) 12 Nguyễn Hồng Điệp

13 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2.2 Bài tập 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang nhận cạnh AB làm đáy lớn. Gọi E, F là trung điểm SA, SC. M là một điểm tùy ý trên SD. Tìm giao tuyến các mp sau: (a) (SAC) và (SBD) (b) (SAD) và (SBC) (c) (SAB) và (SDC) (d) (MEF) và (MAB) 7. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm BD. Gọi E, F là trọng tâm các tam giác ABD và CBD. Tìm giao tuyến của: (a) (IEF) và (ABC) (b) (IAF) và (IEC) 8. Cho tứ diện ABCD với I là trung điểm cạnh AD. Cho M, N là hai điểm tùy ý trên AB, AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN). 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. (a) Xác định giao tuyến (MBC) và (DNA) (b) Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên AB và AC. Xác định giao tuyến (MBC) và (IJD). 10. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD. Gọi I, J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song CD (a) Tìm giao tuyến (IJM) và (ACD); (IJM) và (ACD) (b) Lấy N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt AB tại L. Tìm giao tuyến của (MNJ) và (ABC). 11. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F Nguyễn Hồng Điệp 13

14 2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD). (b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC). 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với AI = 1IB, AJ = 3 JD.Tìm giao tuyến của (CIJ) và (BCD) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC và CD sao cho AI = 1 3 AB, BJ = 2 3 BC, CK = 4 5 CD. Tìm giao tuyến của (IJK) với (ABD). 14. Cho hình bình hành ABCD và S không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB, BC, SD. Tìm giao tuyến của (MNE) với các mp (SAD), (SCD), (SAB), (SBC). 15. Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mp chứa hình bình hành. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB, SD. N là điểm đối xứng với B qua C. Tìm giao tuyến (MNE) với các mp (SCD), (SBD), (SAD) và (SAB). 16. Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mp(p) có các cạnh đối không song song. M là một điểm không nằm trong (P). Tìm giao tuyến các cặp mp sau : (a) (MAB) và (MCD) (b) (MAD) và (MBC) 17. Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC). 18. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD, BC (a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). (b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN). 14 Nguyễn Hồng Điệp

15 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 19. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm nằm trên cạnh SB. (a) M là điểm nằm trên SA, P là điểm nằm trong (SBC). Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC). (b) M là điểm nằm trong mp(sab), P là điểm nằm trong mp(sbc). Tìm giao tuyến của mp(mnp) với mp(sac). 20. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB BP. Tìm giao tuyến của mp(mnp) với: (a) mp(abcd) (b) mp(sbc) (c) mp(scd) (d) mp(sad) 21. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(mnp) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD). 3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 3.1 Phương pháp giải Trong (α) có sẵn đường thẳng b cắt a tại I thì giao điểm là I } I a b I a (α) b (α) a b α I Nguyễn Hồng Điệp 15

16 3.1 Phương pháp 3 GIAO giải ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trong (α) không có sẵn đường thẳng cắt a ta thực hiện : Chọn mặt phẳng (β) 4 chứa a Tìm giao tuyến c của (α) và (β) Tìm giao điểm I của a và c. Khi đó I là điểm cần tìm. β I a c α Định lí Thalet: Trong tam giác ABC nếu M, N chia AB, AC theo cùng tỉ lệ thì MN song song BC. AM MB = AN NB MN BC A M N B C 4 a nằm trong nhiều mặt phẳng, chọn (β) sao cho tìm giao điểm được dễ dàng. 16 Nguyễn Hồng Điệp

17 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.2 Bài tập 3.2 Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với AI = 1IB, AJ = 3 JD. Tìm giao tuyến của IJ và (BCD) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC và CD sao cho AI = 1 3 AB, BJ = 2 3 BC, CK = 4 5 CD. Tìm giao tuyến của (IJK) với AD. 3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N lần lượt là trung điểm AC và BC. Lấy K thuộc BD (K không là trung điểm BD). Tìm giao tuyến của AD và (MNK). 4. Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mp(mnp) với các cạnh của hình chóp, với AC, BD. 5. Cho hình chóp S.ABCD, M, N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD với (AMN). 6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, CB, BD lần lượt lấy M, N, P tùy ý. Tìm giao điểm của CD, AB, AD với (MNP). 7. Cho tứ diện SABC. Trên cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N tùy ý. Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giao điểm của (OMN) với các cạnh của tứ diện. 8. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. (a) Tìm giao điểm của CD với (MNP) (b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABD). 9. Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi I, K theo thứ tự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD. Giả sử IK cắt (ACD) tại J. Xác định J. Nguyễn Hồng Điệp 17

18 3.2 Bài tập 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 10. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy M, N, P. Gọi O là điểm tùy ý trong tam giác BCD. (a) Tìm giao điểm BC và (ADO), giao tuyến (ABC) và (ADO) (b) Tìm giao điểm OA và (MNP), giao tuyến (MNP) và (ADO) 11. Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(abc) (a) Trên SC lấy M. Tìm giao điểm của AM và (SBD) (b) Giả sử M là trung điểm SC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao tuyến cảu MG và (ABCD), (SAB). 12. Cho hình chóp SABCD (a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm của BM và (SCD) (b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của NG với các mp (SCD), (SBD), (SAB). 13. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy I và lấy J, K lần lượt là các điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và BCD. Gọi L là giao điểm của JK và (ABC) (a) Xác định điểm L (b) Tìm giao tuyến (IJK) và các mặt của tứ diện ABCD. 14. Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, Glà trọng tâm tam giác SBC (a) Tìm giao điểm NG và (ABC) (b) Tìm giao điểm NG với (SBM) 15. Trong mp(p) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song và ngoài (P) cho điểm S. (a) Trên SA lấy M. Tìm giao điểm BM và (SCD) 18 Nguyễn Hồng Điệp

19 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG (b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với các mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB). 4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 4.1 Phương pháp giải Thiết diện (hay mặt cắt) là phần chung của hình chóp với mặt phẳng đang xét (cắt hình chóp bởi mặt phẳng). Lưu ý : tất cả các cạnh của thiết diện phải nằm trên các mặt của hình chóp. E F A G I B H C D 4.2 Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNI) trong các trường hợp sau : Nguyễn Hồng Điệp 19

20 4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG A A 1 A 2 N N 1 N 2 B I M D M 1 D 1 B 1 I 1 M 2 D 2 B 2 I 2 C C 1 C 2 a) b) c) M 2 (A 2 B 2 D 2. Cho tứ diện ABCD gọi E là điểm đối xứng của A qua C. Xác định thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng (BEF) troong các trường hợp sau : (a) F nằm trên CD và không trùng với C và D. (b) F nằm trong tam giác ACD (c) F nằm trong DD (D là trọng tâm tam giác ABC). 3. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên các cạnh SA, BC, SC thỏa mãn SM = MA, BN = NA, SE = 2. Tìm thiết SC 3 diện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp. 4. Cho hình chóp SABC. Các điểm M, N, E lần lượt trên cạnh SA, BC, SC thỏa SM = MA, BN = NA và SE = 1. Tìm thiết diện tạo SC 3 bởi (MNE) và hình chóp. 5. Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SC, H là điểm trên đường chéo AC (không trùng với giao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểm SH. Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp. 6. Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểm trong mp(sbc). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp. 20 Nguyễn Hồng Điệp

21 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập 7. Cho hình chóp SABC. Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là các điểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp. 8. Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, BD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp. 9. Cho hình chóp SABCD. Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD. Tìm thiết diện tạo bởi (ABM) và hình chóp. 10. Cho hình chóp SABCD. Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy các điểm O, G, P tùy ý. Tìm thiết diện tạo bởi (GOP) và hình chóp. 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) và hình chóp. 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện tạo bởi (MGC) và hình chóp. 13. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các đường chéo đáy và M, N là trung điểm AH, BH. Gọi M, N là trung điểm SM, SN. Tìm thiết diện tạo bởi (AM N ) cắt hình chóp. 14. Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy, M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG. Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp. 15. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC, lấy một điểm M. Trong tam giác SCD, lấy một điểm N. (a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). (b) Tìm giao điểm của SC với (AMN). (c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN). Nguyễn Hồng Điệp 21

22 4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 16. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC. (a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA. (b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. (a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD. (b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với (CGM). (c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM). 18. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD. (a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC). (b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. (c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). 19. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). 20. Cho hình chóp SABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC). Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp. 21. Cho hình chóp SABC, các điểm A, B, C nằm trên SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C. XÁc định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt (A B C ). 22 Nguyễn Hồng Điệp

23 5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 22. Cho hình chóp SABC D. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD (a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC) (b) Tìm giao điểm của BM và (SAC) (c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB). 23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, E là trung điểm của AB, Bc, SD. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp. 24. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm thiết diện tạo bởi (MGC) cắt hình chóp. 25. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. H là giao điểm các đường chéo đáy, M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG. Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp. 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 5.1 Phương pháp giải Ta chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt. (Tại sao? 5 )(ˆ.ˆ) 5 Phần chung (nếu có) của hai mặt phẳng là đường thẳng, điểm chung thứ 3 phải nằm trên đường thẳng này, do đó ta có ba điểm thẳng hàng. Nguyễn Hồng Điệp 23

24 5.2 Bài tập 5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 5.2 Bài tập 1. Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh M, N, P thẳng hàng. 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lấy D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại j, cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 3. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P) cho điểm S. Giả sử A, B, C là các điểm nằm trên SA, SB, SC sao cho A B cắt AB tại M, A C cắt AC tại N và B C cắt BC tại E. Chứng minh M, N, E thẳng hàng. 4. Cho (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. Điểm O nằm ngoài (α) và (β) sao cho OA và OB cắt (β) tại A và B (a) Chứng minh I, A, B thẳng hàng. (b) Trong (α) lấy C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (β) tại C, BC cắt B C tại J, CA cắt C A tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 5. Cho tứ diện SABC có D, E lần lượtlà trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB ở M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA tại P và Q (a) Gọi I là giao điểm của AM và DN, J là giao điểm BP và EQ. Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng. (b) Giả sử K là giao điểm An và DM, L là giao điểm BQ và EP. Chứng minh S, K, L thẳng hàng. 6. Cho tứ diện OABC. Trên OA, OB, OC lấy A, B, C khác O sau cho các đường thẳng sau đây cắt nhau: BC cắt B C tại I, CA cắt C A tại J, AB cắt A B tại H. Chứng minh I, J, H thẳng hàng. 24 Nguyễn Hồng Điệp

25 6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI 7. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo ABCD. Trên đoạn SO lấy điểm I. Một đường thẳng đi qua I cắt SA, SC của tam giác SAC tại A và C. Một đường thẳng khác đi qua I cắt SB, SD của tam giác SBD B, D. Giả sử A B cắt AB tại M, C D cắt CD tại N, A C cắt AC tại K và B D cắt BD tại H. Chứng minh M, N, H, K thẳng hàng. 8. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm S. Giả sử C, D là các điểm trên SD, SC sao cho hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M. Giả sử A, B là hai điểm trên SA, SB sao cho hai đường thẳng DA và CB cắt nhau tại N. Chứng minh M, N, S thẳng hàng. 9. Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên MA, MB, MC, MD lấy A, B, C, D. Gọi I là giao điểm AC và A C, K là giao điểm của BD và B D. Chứng minh I, K, M thẳng hàng. 6 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 6.1 Phương pháp giải Cách 1: Chứng tỏ ba đừng thẳng đó cắt nhau từng đôi một và chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Cách 2: Chỉ ra rằng hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau tại M. Chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là đường thẳng còn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi qua M. Ví dụ: Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, E là trung điểm của CA, CB. Trên cạnh DB, DA của tam giác ABD lấy N, F sao cho Mn và EF cắt nhau. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh MN, EF, DG đồng qui. Giải Nguyễn Hồng Điệp 25

26 6.2 Bài tập 6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Cách 1: Rõ ràng G là giao điểm của BM và AE. Mà M không thuộc (ADE) do đó MN không nằm trong (ADE). Do đó MN, EF, DG không nằm trong cùng một mặt phẳng. Hơn nữa MN và DG cắt nhau vì chúng thuộc tam giác MBD. tương tự EF và GD cắt nhau và MN cắt EF (giả thuyết). Từ đó suy ra các đường thẳng đó đồng qui. Cách 2: Rõ ràng hai mặt phẳng (MBD) và (AED) cắt nhau theo giao tuyến DG. Các mặt phẳng đó cùng đi qua giao điểm của MN và EF. Do đó giao điểm của MN và EF nằm trên DG. D F N A H B M G E C 6.2 Bài tập 1. Cho tứ giác lồi ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên cạnh MA, MB của tam giác MAB lấy A, B sao cho CA và B D cắt nhau. Gọi H là giao điểm hai đường chéo của ABCD. Chứng minh MH, CA và DB đồng qui. 2. Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên đoạn EC lấy M, trên DF lấy N sao cho AM và BN cắt nhau. Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng minh IK, AM, BN đồng qui. 26 Nguyễn Hồng Điệp

27 7 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phần II Quan hệ song song 7 Giao tuyến của hai mặt phẳng 7.1 Phương pháp giải "Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) sẽ song song với hai đường thẳng ấy." Tìm giao tuyến của (α) và (β): Tìm điểm chung S. Tìm trong (α) và (β) hai đường thẳng a, b song song nhau. Giao tuyến là đường thẳng Sx qua S và song song cả a và b. β b α S a x 7.2 Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD và S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành. Tìm giao tuyến của : (a) (SAD) và (SBC) (b) (SAB) và (SDC) 2. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN. Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN). AB AC Nguyễn Hồng Điệp 27

28 7.2 Bài tập 7 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm BC và AC, M là điểm tùy ý trên AD. (a) Tìm giao tuyến d của (MIJ) và (ABD) (b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên AD (M không là trung điểm AD). 4. Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là trung điểm của AD, BD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giao tuyến (ABC) và (MNG). 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành (a) Trên cạnh SC lấy M. Tìm giao tuyến (ABM) và (SAD) (b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, N là trung điểm SG. TÌm giao tuyến của (ABN) và (SBC); (ABN) và (SDC) 6. Cho hai hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I, K là tâm của ABCD và CDEF. Tìm giao tuyến : (a) (ABK) và (CDEF) (b) (BCF) và (ACE) 7. Cho hình bình hành ABCD và tam giác MCD nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I là trung điểm MD, và K thuộc cạnh MC sao cho MK = 1. Mặt phẳng (P) đi qua IK và song song AC cắt MC 3 mặt (ABCD) theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó. 8. Cho hình bình hành ABCD và tam giác CDM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên cạnh AB và BC lấy I, K tùy ý. Mặt phẳng (P) đi qua IK và song song trung tuyến CE của tam giác MCD cắt (MCD) theo giao tuyến d. Tìm d. 9. Cho hai hình vuông ABCD, ABEF nằm trên mặt phẳng khác nhau. Trên AC, BF lấy M, N sao AM = BN. Mặt phẳng (P) qua 28 Nguyễn Hồng Điệp

29 8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG MN và song song AB cắt AD và AF tại P, Q. Tìm giao tuyến của (P) và : (a) (BCE) (b) (ADF) 10. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên AB, CD, BC. Xác định giao điểm S của (PQR) với AD nếu (a) P R AC (b) PR cắt AC. 11. Cho hình bình hành ABCD và tam giác CDM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh AB và BC lấy các điểm I và K. Mặt phẳng (P) qua IK và song song đường trung tuyến CE của tam giác MCD cắt (MCD) theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó. 12. Cho hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên AE lấy M. Tìm giao tuyến của (P) qua M và song song với AC và DE cắt đồng thời hai mặt phẳng chứa hình bình hành đó. 8 Đường thẳng song song mặt phẳng 8.1 Phương pháp giải Ta chứng minh đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song với đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng. a α b Nguyễn Hồng Điệp 29

30 8.2 Bài tập 8 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG a (α) a b b (α) a (α) 8.2 Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Gọi M là điểm trên BC sao cho CM:CB = 2:3, I là trung điểm AD. Chứng minh MG song song BI, MG song song (ABD). 2. Cho tứ diện ABCD gọi E, F là trọng tâm tam giác ACD và BCD. Chứng minh EF song song (ABC) và (ABD). 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm AC và BD, O là giao điểm AE và BF (a) Chứng minh OO song song (ADF) và (BCE) (b) Gọi M, N là trọng tâm tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN song song (CEF) 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm AB. Lấy M trong AD sao cho AD = 3AM (a) Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tai N. Chứng minh rằng : NG song song (SCD). (b) Chứng minh MG song song (SCD). 5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (AD là đáy lớn) AD = 2BC. Gọi O là giao điểm AC và BD, G là trọng tâm tam giác SCD (a) Chứng minh OG song song (SBC) (b) Cho M là trung điểm SD. Chứng minh CM song song (SAB) 30 Nguyễn Hồng Điệp

31 9 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (c) Giả sử I thuộc SC sao cho SC:SI = 3:2. Chứng minh SA song song (BID). 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm AB, CD, SA (a) Chứng minh MN song song (SBC), (SAD) (b) SB song song (MNP), SC song song (MNP) 7. Cho hình chóp SABC và điểm K là trung điểm SC. M, N là các điểm trên SA, BK sao cho : AM:AS = BM:2BK. Chứng minh MN song song (ABC). 8. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên BD, CE lấy M, N sao cho : MD:MB = NE:NC. Chứng minh MN song song (ADE). 9 Hai đường thẳng song song 9.1 Phương pháp giải Đưa về cùng mặt phẳng và áp dụng các tính chất đã học trong hình học phẳng để chứng minh. Áp dụng tính chất 6 a b a (α), b (β) (α) (β) = c a b c α β b a c 6 Thường áp dụng khi chứng minh ba đường thẳng song song nhau Nguyễn Hồng Điệp 31

32 9.2 Bài tập 9 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Tìm (chứng minh) a b. Chọn (α) chứa a và c, chọn (β) chứa b và c. Kết luận. 9.2 Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, BC, Q là một điểm trên cạnh AD và P là giao điểm CD với (MNP). Chứng minh P Q MN AC. 2. Cho tứ diện ABCD có M, N, P là trung điểm BC, BD, AB. Gọi I là giao điểm AN và DP, J là giao điểm Am và CP. Chứng minh IJ song song DC. 3. Cho tứ diện SABC. Trên SA, BC lấy M, N sao cho SM SA = BN BC = 3 4. Qua N kẻ NP song song CA (P nằm trên AB). Chứng minh MP song song SB. 4. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ song song CD. 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M là trung điểm SA. Mặt (MBC) cắt SD tại N. Chứng minh MN song song AD. 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA, O là trung điểm SC. Mặt phẳng (ICD) cắt SB tại J. (a) Xác định J (b) Tìm giao tuyến (OIJ) và (OCD). 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A, B, C, D nằm trên SA, SB, SC, SD sao cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh các cạnh của A B C D song song với các cạnh đáy hình chóp. 32 Nguyễn Hồng Điệp

33 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 1 8. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD ta lấy M, N, P, Q sao cho MNPQ là hình bình hành. Chứng minh MN song song BD và MQ song song AC. 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm tam giác SAB và SAD, E là trung điểm CB (a) Chứng minh MN song song BD (b) Gọi H, L là giao điểm của (MNE) và SB, SD. Chứng minh LH song song BD. 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm AC và BC. Trên BD lấy K sao cho BK = 2KD (a) Tìm E là giao điểm của CD và (IJK). Chứng minh : DE = DC (b) Tìm F là giao điểm của AD và (IJK). Chứng minh : FA = 2FD (c) Chứng minh: FK song song IJ 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang. Biết AD = a, BC = b. Gọi I, J là trọng tâm tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD tại P, Q. (a) Chứng minh MN song song PQ. (b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh EF song song MN và PQ. Tính EF theo a và b. 10 Bài toán thiết diện Phương pháp giải Bài toán Xác định thiết diện của (α) với hình chóp biết (α) qua một số điểm (M, N,...) và song song một số cạnh (SA, SB, SC,...) Nguyễn Hồng Điệp 33

34 10.2 Bài tập 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Phương pháp giải Ta có thể làm như sau: { 1 điểm (α). Ví dụ: M 1. Chọn 1 đường thẳng (α).ví dụ: d 2. Tìm mặt phẳng (β) chứa M và d ở bước Xác định giao tuyến d của (α) và (β) β α d M d 4. Tìm giao điểm (nếu có) của d với các cạnh hình chóp. 5. Lập lại cho đến khi xác định được thiết diện. Lưu ý tính chất song song (có thể có) của các cạnh thiết diện để định tính thiết diện Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành (a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD) (b) Xác định thiết diện của hình chóp SABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MCB) trong đó M là một điểm nằm giữa S và A. 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, G là trong tâm tam giác SBC và SCD. Trên cạnh AB lấy M. Tìm thiết diện tạo bởi (MGK) và hình chóp. 34 Nguyễn Hồng Điệp

35 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Bài tập 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là từ giác lồi. Gọi M, N là trung điểm SB, SD. Trên đường chéo AC lấy K. Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) và hình chóp. 4. Cho tứ diện ABCD, lấy M thuộc BC, N thuộc AC. Qua M, N vẽ (P). Tìm thiết diện của (P) với hình chóp biết : (a) (P) song song CD (b) (P) song song CD và AB 5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, O là giao điểm AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp biết (P) qua M và song song SC, AD. 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. (a) Mp(P) qua AD cắt SC, SB tại M, N. ADMN là hình gì? (b) Gọi I là giao điểm của AN và DM. Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định. (c) Gọi J là giao điểm AM và DN. Tìm quĩ tích J khi M thay đổi trên AC. 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AB). M là trung điểm CD. Xét (P) qua M và (P) song song SA, BC (a) Tìm thiết diện của (P) và hình chóp (b) Tìm giao tuyến (P) và (SAD) 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Lấy M thuộc AC. Mp(P) qua M và song song SA, BD. Xác định giao tuyến (P) và hình chóp. 9. Hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD, AB song song CD (a) Tìm giao tuyến d của (SAB) và (SCD). (b) Trên đường chéo BD ta lấy M. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua d và M. Nguyễn Hồng Điệp 35

36 10.2 Bài tập 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K, G là trọng tâm tam giác SBC và SCD. Trên AB ta lấy M. Tìm thiết diện tạo bởi (MGK) cắt hình chóp. 11. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N là trung điểm SB, SD. Trên đường chéo AC ta lấy điểm K. Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) cắt hình chóp. 12. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD (AD song song BC). Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang, M là trung điểm SA, N là điểm tùy ý trên SD. (a) Tìm giao điểm SC và (OMN) (b) Tìm thiết diện (OMN) và hình chóp 13. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm BC, CD, lấy I tùy ý trên SA (a) Tìm giao điểm (IMN) và SD, SB (b) Tìm thiết diện của (IMN) và hình chóp. 14. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm SAB, SAD, E là trung điểm CB (a) Chứng minh MN song song BD (b) Xác định thiết diện (MNE) và hình chóp (c) Gọi H, L là giao điểm (MNE) với SB, SD. Chứng minh HL song song BD. 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm thuộc CD (không trùng với C,D). Mp(P) qua MN và song song BC (a) Xác định thiết diện của (P) và hình chóp (b) Định vị trí N để thiết diện là hình bình hành. 36 Nguyễn Hồng Điệp

37 10 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Bài tập 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm BC, AD; G là trung điểm IJ. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi (P) trong các trường hợp : (a) (P) qua G và điểm E thuộc BC; song song với AD (b) (P) qua G và song song với BC, AD. 17. Cho hình chóp SABCD (a) Gọi M, N là trung điểm SB, SC; E là điểm tùy ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi mp(p) cắt hình chóp biết (P) qua E, song song AM, BN. (b) Tìm thiết diện tạo bởi (Q) và hình chóp biết (Q) qua BN, song song với AM. 18. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD (a) Gọi H là giao điểm hai đường chéo đáy, M là điểm tùy ý trên AC. Mp(P) qua M và song song SA, DB. Xác định thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. (b) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Mp(Q) qua BQ và song song SA. Tìm thiết diện tạo bởi (Q) và hình chóp. 19. Cho hình chóp SABC (a) Gọi M, N là trung điểm SB, SC; và E là điểm tùy ý trên AB. Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua E và song song với AM, BN cắt hình chóp. (b) Tìm thiết diện tạo bởi (Q) đi qua BN, song song AM cắt hình chóp. 20. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành (a) Gọi H là giao điểm cảu hai đường chéo ở đáy và M là điểm tùy ý trên AC (khác H). Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua M và song song với các đường thẳng SA, BD cắt hình chóp đó. 21. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tìm thiết diện tạo bởi (Q) qua BG song song SA, cắt hình chóp. Nguyễn Hồng Điệp 37

38 11 Hai mặt phẳng song song 11.1 Phương pháp giải 11 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia. a, b (α) a b = {0} (α) (β) a (β), b (β) α a O b β 11.2 Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD và ABEF thuộc hai mặt phẳng khác nhau (a) Chứng minh (ADF) song song (BCE) (b) Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh BC, BA, BE. Chứng minh (MNP) song song (CAE). 2. Cho hình chóp SABC. Gọi I, J, K là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh (IJK) song song (ABC). 3. Hai hình bình hành ABCD và CDEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đoạn BD, CE, BE lấy M, N, K sao cho BM = MD CN. Chứng minh (MNK) song song (ADE). = BK NE KE 38 Nguyễn Hồng Điệp

39 12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN 2 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, SC (a) Chứng minh (HIK) song song (ABCD) (b) Gọi J là giao điểm của SD và (HIK). Chứng minh HIJK là hình bình hành. (c) Gọi M là giao điểm của AI và DK; N là giao điểm của DH và CI. Chứng minh (SMN) song song (ABCD). 5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Trên SA, BD lấy M, N sao cho SM:SA = DN:DB = 2:3. Kẻ NI song song AB (I thuộc AD) (a) Chứng minh MI song song (SBD); (MIN) song song (SCD), Mn song song (SCD) (b) Tìm giao điểm P của (MNI) và SB. Chứng minh : PJ song song SC. 6. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N. (a) Chứng minh: (CBE) // (ADF). (b) Chứng minh: (DEF) // (MNN M ). (c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động. 12 Bài toán thiết diện Phương pháp giải Bài toán Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp khi (P) song song với mặt (Q) nào đó trong hình chóp. Nguyễn Hồng Điệp 39

40 12.2 Bài tập 12 BÀI TOÁN THIẾT DIỆN Phương pháp giải Để xác định giao tuyến ta làm như sau : 1. Trong (Q) tìm đường thẳng d 2. Vì (P) song song d nên (P) cắt các mặt phẳng chứa d theo các giao tuyến song song với d 7 Ví dụ: Cho hình chóp SABC, I nằm trên SB. Mặt phẳng (P) qua I và song song (SAC). Khi đó ta có giao tuyến (P) và: (SAC) là IM và IM song SA. (SBC) là IN và IN song song SC. (ABC) là MN và MN song song AC. Vậy thiết diện là tam giác IMN. S I A C M N B 12.2 Bài tập 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm SC, trên AB lấy K. Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp biết (P) qua K và song song (MBD). 7 Bài toán thiết diện 1 40 Nguyễn Hồng Điệp

41 13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP 2. Cho hai hình bình hành ABCD nằm trong các mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P là các điểm nằm trên AB, BC, AD của hình bình hành. Gọi (P) là mp qua K song song với (MNE). Tìm giao tuyến (P) và (CDEF). 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Trên BC ta lấy E sao cho BE = 2EC. Trên AM lấy H. Tìm thiết diện tạo bởi (P) qua H và song song (MNE). Thiết diện là hình gì? 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, E là trung điểm AB, AD, SC. Với K trên AM ta dựng (P) qua K và song song (MNE). Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. Thiết diện là hình gì? 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(sbd) và đi qua điểm I trên đoạn AC. Xác định thiết diện của hình chóp với (P). 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy M thuộc AC. Mặt phẳng (P) qua và song song SA, DB. Xác định giao tuyến (P) và hình chóp. 13 Hình lăng trụ - Hình hộp 1. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D. Gọi M là trung điểm BB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm BC. Tìm thiết diện tạo bởi (A MG) và hình chóp. 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D. Gọi O là trung điểm AB; I, J là tâm các hình vuông ABCD và ABB A. Chứng minh IJ song song (ADD A ) và (OIJ) song song (BCC ). 3. Cho hình hộp ABCD.A B C D. Điểm M thuộc AD, N thuộc D C sao cho AM:MD = D N:NC (a) Chứng minh : MN song song (C BD) Nguyễn Hồng Điệp 41

42 13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP (b) Chứng minh : MN song song (C BD) 4. Cho lăng trụ ABC.A B C. Gọi H là trung điểm của A B. (a) Chứng minh CB // (AHC ). (b) Tìm giao điểm của AC với (BCH). (c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện (P) và thiết diện. 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D. (a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA ) và (B D C) song song. (b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(a B G 2 ). Thiết diện là hình gì? 6. Cho lăng trụ ABC.A B C. (a) Tìm giao tuyến của (AB C ) và (BA C ). (b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của B C với mặt phẳng (AA N) và giao điểm của MN với mp(ab C ). 7. Cho lăng trụ ABC.A B C. Gọi H là trung điểm của A B (a) Chứng minh CB // mp(ahc ) (b) Tìm giao điểm của AC và mp(bch) (c) Mp(P) qua trung điểm I của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện. 8. Cho lăng trụ ABCA B C (a) Tìm giao tuyến của (AB C ) và (BA C ) (b) Gọi M và N là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của B C với mp(aa N), của MN với (AB C ) 42 Nguyễn Hồng Điệp

43 13 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP 9. Cho hình hộp ABCD.A B C D. Trên phần kéo dài của AA về phía A ta lấy điểm M sao cho AA = 2 AM. Xét N và E nằm trên các cạnh A B và C D thỏa mãn A N = 2NB và C E = 3ED. Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắt hình hộp. 10. Cho hình lăng trụ ABC.A B C. Gọi M là trung điểm BB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm thiết diện tạo bởi (A MG) cắt hình lăng trụ đó. 11. Cho hình hộp ABCD.A B C D. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song (AB D ) và đi qua M cắt hình hộp. 12. Cho hình hộp ABCD.A B C D. Gọi M, N là giao điểm của hai mặt (BCC B ), (CDC D ) (a) Tìm thiết diện tạo bởi (AMD) cắt hình hộp. (b) Gọi (P) là mặt phẳng qua giao điểm các đường chéo của mặt (ABA B ) song song (AMN). Tìm thiết diện tạo bởi (P) cắt hình hộp. 13. Cho hình lăng trụ ABC.A B C. Gọi M là trung điểm BC, N là trung điểm AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) song song (AMC ) và đi qua N cắt hình trụ. 14. Cho hình lăng trụ ABC.A B C. Gọi M là trung điểm AB, N là trun điểm B C, K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ACC A. Tìm thiết diện tạo bởi (KMN) cắt hình lăng trụ. 15. Cho hình lăng trụ ABC.A B C. Gọi M là trọng tâm tam giác ABC và N là trung điểm BB. Mặt phẳng (P) qua M và song song AN và A C cắt lăng trụ theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó. Nguyễn Hồng Điệp 43

44 14 CHỨNG MINH 4 ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG 14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 14.1 Phương pháp giải Xét 4 điểm A, B, C, D Nếu chỉ ra AB cắt CD thì 4 điểm đó đồng phẳng. Nếu chỉ ra được AB CD thì 4 điểm đó đồng phẳng. Ví dụ: Cho hình thang ABCD, có AB song song CD và tam giác ABE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là trung điểm của AE, BE của tam giác ABE. Chứng minh C, D, M, N thẳng hàng. Giải Rõ ràng MN song song AB và AB song song CD do đó MN song song CD hoặc MN CD. Vì M không thuộc (ABCD) và M cũng không thuộc (ECD) nên MN không thể trùng với CD. Từ đó suy ra các đường thẳng MN song song CD và chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. E M N A B D C 14.2 Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Ta kí hiệu Ax, By, Cz là các tia nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãm điều kiện Ax By Cz. Trên các tia Ax, By, Cz ta lấy các điểm tương ứng 44 Nguyễn Hồng Điệp

45 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA 3 ĐIỂM M, K, N sao cho AM + CN = BK. Chứng minh 4 điểm M, N, K, D thẳng hàng. 2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh 4 trung điểm của 4 cạnh tứ diện AB, AC, DB, DC cùng nằm trong một mặt phẳng. 3. Cho hình bình hành ABCD và 4 điểm A, B, C, D nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) và thỏa mãn đồng thời các điều kiện AA //BB //CC //DD và AA + CC = BB + DD. Chứng minh A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng. 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi ABCD. Chúng minh rằng trọng tâm của 4 mặt bên hình chóp nằm trong cùng một mặt phẳng. 5. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC. Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc ÂSB, BSC và tia phân giác ngoài của góc ĈSA cùng nằm trong một họ mặt phẳng. 15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 15.1 Phương pháp giải Xem phương pháp giải mục 5.1 ở trang 23. Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CED nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm CE, DE của tam giác CDE. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM, BN cắt nhau tại I và ba điểm E, I, O thẳng hàng. Giải Rõ ràng MN song song CD và CD song AB, M không nằm trên AB, do đó MN song song AB. Tứ giác ABMN có hai đường chéo là Nguyễn Hồng Điệp 45

46 15.2 Bài tập 15 CHỨNG MINH SỰ THẲNG HÀNG CỦA 3 ĐIỂM AM và BN nên chúng cắt nhau. Mặt khác OE là giao tuyến (AEC) và (BED) và I cũng đồng thời thuộc hai mặt phẳng đó nên I nằm trên OE. E M N D I C O A B 15.2 Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, E, F là trung điểm AB, CD, AC, BD. Chứng minh MN và EF cắt nhau tại K và ba điểm D, G, E thẳng hàng. 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi A, B, C, D là trung điểm SA, SB, SC, SD. (a) Chứng minh BA và CD cắt nhau tại M; AB và DC cắt nhau tại N. (b) Chứng minh M, N, S thẳng hàng. 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I, J là trung điểm CE và DF. (a) Chứng minh AI và BJ cắt nhau tại P. (b) Gọi Q, R là trung điểm của DE, AB. Chứng minh rằng B, Q, R thẳng hàng. 46 Nguyễn Hồng Điệp

47 16 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI 16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 16.1 Phương pháp giải Xem phương pháp giải mục 6.1 ở trang 25. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I, K, H là trung điểm của AB, CD, AC, BD, AD, BC. Chứng minh MN, IK, HL đồng qui. Giải Cách 1 Rõ ràng tứ giác MINK, MHNL là các hình bình hành và MN là đường chéo chung của hai hình bình hành. Vì vậy IK, HL cùng cắt MN tại trung điểm của MN. Cách 2 Rõ ràng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MINK) và (MHNL). Gọi O là giao điểm của HL và IK, khi đó O thuộc đồng thời hai mặt phẳng (MINK) và (MHNL). Do đó O thuộc MN. A M H I B K D L N C 16.2 Bài tập 1. Cho hình chóp SABC. Gọi A, B, C là trung điểm của BC, CA, AB. Trên SA, SB, SC lấy A 1, B 1, C 1 sao cho SA 1 SA = SB 1 SB = SC 1 SC. Chứng minh rằng các đường thẳng AA 1, BB 1, CC 1 đồng quy. Nguyễn Hồng Điệp 47

48 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi I, J là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành đó. Các điểm M, N tương ứng là trung điểm các đoạn CE và DF. Chứng minh IJ, AM, BN đồng qui. 3. Cho hình thang ABCD (AB song song CD) và tam giác CDE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang. Các điểm M, N là trung điểm của CE, DE của tam giác CDE. Chứng minh AM, BN, OE đồng quy. 17 Bài tập tổng hợp 1. (Thi học kì I - Tiền Giang ) Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M, N là điểm trên cạnh SA sao cho SM = MN = NA. (a) Chứng minh GM song song (SBC) (b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh BG song song CD và GN song song MD. 2. (Thi học kì I - Vĩnh Bình ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm AB. (a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng i. (SAC) và (SBD) ii. (SAD) và (SBC) (b) Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song BD, SA. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α). 3. (Thi học kì I - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K là trung điểm AB, CD, SA. (a) Chứng minh: MN song song (SBC), SC song song (MNK) (b) Tìm thiết diện của (MNK) và hình chóp. Thiết diện là hình gì. 48 Nguyễn Hồng Điệp

49 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP 4. (Thi học kì I - Vĩnh Kim ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh SB, G 1 là trọng tâm tam giác SAD và G 2 là trọng tâm tam giác SBC (a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) và (SBC). (b) Tìm giao điểm của DM và (SAC). (c) Chứng minh G 1 G 2 song song (SCD) 5. (Thi học kì I - Nguyễn Văn Côn ) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, K là trung điểm của AC, BC và BD. (a) Xác định giao tuyến của: i. (MNK) và (BCD) ii. (MNK) và (ABD) iii. (MNK) và (ACD) (b) (MNK) cắt AD tại L. Chứng minh ML song song (BCD) 6. (Kiểm tra lần I - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M, N là trung điểm SC, SD (a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm K của SB và (AMN) (b) Tìm thiết diện của (AMN) và hình chóp SABCD. 7. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA, SB (a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). Chứng minh MN song song (ABCD) (b) Tìm giao điểm K của SC và (ADN). Kéo dài AN và DK cắt nhau tại I. Chứng minh SI AB CD. Nguyễn Hồng Điệp 49

50 17 BÀI TẬP TỔNG HỢP 8. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm AC, BC. K là điểm bất kì trên BD. Tìm thiết diện của (MNK) và tứ diện. Xác định K trên BD để thiết diện là hình bình hành. 9. (Kiểm tra lần II - HKI - Chợ Gạo ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M,N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song SA. Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với CD là đáy lớn. Điểm M là trung điểm AD, K là điểm thuộc SM sao cho SK = 2KM (a) Tìm giao tuyến (SBC) và (SAD) (b) Tìm giao điểm của CK và (SBD) (c) Mặt phẳng (α) qua K và song song SD, AB. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α). 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hnh, O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. (a) Tìm giao điểm của SO với mp (MNB). Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (MNB). (b) Tìm giao điểm E, F của AD, CD với mp(mnb). (c) Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng. 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD l hình bình hành. M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. (a) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD) (b) Tìm giao điểm I của MN và (SBD) (c) Tính tỷ số MI MN 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình thang AD//BC và đáy lớn AD = 2BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. 50 Nguyễn Hồng Điệp