100balnik.ru

Bản ghi

1

2 850 ЗАДАНИЙ С ОТВЕТАМИ ОГЭ 019 В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина МАТЕМАТИКА СБОРНИК ЗАДАНИЙ МОСКВА 018 ГАРАНТИЯ КАЧЕСТВА А ОГЭ! ** ОЛУЧИ ** ВЫСШИЙ БАЛЛ НА ОГЭ! ОГЭ! НА БАЛЛ ВЫСШИЙ ППОЛУЧИ

3 УДК 373:51 ББК.1я71 К75 К75 Об авторах: В. В. Кочагин кандидат педагогических наук, учитель математики ГБОУ «Школа 1534» г. Москвы М. Н. Кочагина кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и методики преподавания математики ИМИЕН ГАОУ ВО МГПУ Кочагин, Вадим Витальевич. ОГЭ 019. Математика : сборник заданий : 850 заданий с ответами / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. Москва : Эксмо, с. (ОГЭ. Сборник заданий). ISBN Издание адресовано учащимся 9-х классов для подготовки к ОГЭ по математике. В пособие включены: 850 заданий разных типов, сгруппированные по темам; справочный теоретический материал; ответы ко всем заданиям; подробные решения задач. Представлены все учебные темы, знание которых проверяется экзаменом. Издание окажет помощь учителям при подготовке учащихся к ОГЭ по математике. УДК 373:51 ББК.1я71 ISBN Кочагин В.В., Кочагина М.Н., 018 Оформление. ООО «Издательство «Эксмо, 018

4 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ââåäåíèå...7 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ìîäóëü «Àëãåáðà» Òåìà 1. èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ èñåë Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...11 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...13 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Ïðèáëèæåííûå çíà åíèÿ Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ... Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...3 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Ñòåïåíü ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...30 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...31 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Êâàäðàòíûé êîðåíü. Êîðåíü òðåòüåé ñòåïåíè. 38 Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...38 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...39 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ....45

5 4 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1.5. Âûðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...49 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...49 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà. Óðàâíåíèÿ Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...6 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...63 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ...71 Òåìà 3. Ñèñòåìû óðàâíåíèé Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...74 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...74 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 4. Íåðàâåíñòâà Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...87 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...88 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 5. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...98 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 6. Ôóíêöèè Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ...18

6 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 5 Òåìà 7. Àðèôìåòè åñêàÿ è ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèè Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû Òåìà 8. Òåêñòîâûå çàäà è àñòè Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 9. Òåêñòîâûå çàäà è àñòè Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè)...15 Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 10. Ýëåìåíòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Òåìà 11. Ýëåìåíòû ñòàòèñòèêè Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ...16 Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Ìîäóëü «Ãåîìåòðèÿ» Òåìà 1. Ïëàíèìåòðèÿ Òåîðåòè åñêèå ñâåäåíèÿ Çàäàíèÿ äëÿ àêòèâíîãî îáó åíèÿ (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ Óêàçàíèÿ èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé Ñèñòåìû óðàâíåíèé

7 6 ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Íåðàâåíñòâà Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè.. 04 Ôóíêöèè Àðèôìåòè åñêàÿ è ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèè Îòâåòû...07

8 Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ îá îñíîâíîì ãîñóäàðñòâåííîì ýêçàìåíå ïî ìàòåìàòèêå Íà âûïîëíåíèå ãîñóäàðñòâåííîé ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû ïî ìàòåìàòèêå îòâîäèòñÿ 35 ìèíóò (3 àñà 55 ìèíóò). Ýêçàìåíàöèîííàÿ ðàáîòà âêëþ àåò 6 çàäàíèé è ñîñòîèò èç äâóõ àñòåé. Ïåðâàÿ àñòü âêëþ àåò 0 çàäàíèé áàçîâîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè, âî âòîðîé àñòè øåñòü áîëåå ñëîæíûõ çàäàíèé. Çà êàæäîå âåðíîå ðåøåíèå çàäàíèÿ ïåðâîé àñòè ìîæíî ïîëó èòü îäèí áàëë, âñåãî çà ïåðâóþ àñòü ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû ìàêñèìàëüíî 0 áàëëîâ. Îòâåòû ê çàäàíèÿì íóæíî âíîñèòü â áëàíê ñ òåêñòîì çàäàíèé. Â ýòîé àñòè ðàáîòû ïðåäëàãàþòñÿ çàäàíèÿ íåñêîëüêèõ òèïîâ: çàäàíèÿ, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ âûáðàòü èç íåñêîëüêèõ ïðåäëîæåííûõ îòâåòîâ îäèí âåðíûé; çàäàíèÿ ñ êðàòêèì îòâåòîì; çàäàíèÿ íà ñîïîñòàâëåíèå, â êîòîðûõ òðåáóåòñÿ ñîîòíåñòè ïàðû îáúåêòîâ; çàäàíèÿ íà âûáîð âåðíîãî (íåâåðíîãî) óòâåðæäåíèÿ èç íåñêîëüêèõ ïðåäëîæåííûõ. Ïðèâåäåì ïðèìåðû îôîðìëåíèÿ îòâåòîâ çàäàíèé ðàçíûõ òèïîâ èç ïåðâîé àñòè ðàáîòû. 1. Çàïèøèòå 0,00019 â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) 0, ) 19, 10 4 ) 019, ) Îòâåò: 3. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ m 3 7 ïðè ü 7 7 Îòâåò: 7

9 8 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß ÎÁ ÎÃÝ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ 3. Ñîîòíåñèòå äðîáè, êîòîðûå âûðàæàþò äîëè íåêîòîðîé âåëè èíû, è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïðîöåíòû. À. 1 5 Á. 1 4 Â. 1 Ã ) 4% ) 50% 3) 0% 4) 5% Îòâåò: À Á Â Ã Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé. 1. Ïàðàëëåëîãðàìì ìîæíî âïèñàòü â îêðóæíîñòü.. Äèàìåòð áîëüøàÿ èç õîðä îêðóæíîñòè. 3. Ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ óãëàìè 40, 5 è 115. Îòâåò: 3 Çà êàæäîå çàäàíèå âòîðîé àñòè ìîæíî ïîëó èòü îò íóëÿ äî äâóõ áàëëîâ, âñåãî çà âòîðóþ àñòü ðàáîòû ìàêñèìàëüíî 1 áàëëîâ. Çäåñü òðåáóåòñÿ ïðåäñòàâèòü ïîëíîå ðåøåíèå çàäàíèé íà îòäåëüíûõ ëèñòàõ, êîòîðûå âûäàþòñÿ âìåñòå ñ òåêñòîì ðàáîòû. Äëÿ ïîäñ åòà áàëëîâ ó àùåãîñÿ ñêëàäûâàþò êîëè åñòâî áàëëîâ, ïîëó åííûõ çà ïåðâóþ è âòîðóþ àñòü ðàáîòû. Â êàæäîé àñòè ðàáîòû ñîäåðæàòñÿ çàäàíèÿ èç ìîäóëÿ «Àëãåáðà» è ìîäóëÿ «Ãåîìåòðèÿ». Ðàñïðåäåëåíèå çàäàíèé ïî ìîäóëÿì è àñòÿì ðàáîòû ïðèâåäåíî â òàáëèöå. Ìîäóëü «Àëãåáðà» Ìîäóëü «Ãåîìåòðèÿ» àñòü àñòü 3 3 Â ñïðàâî íûõ ìàòåðèàëàõ, êîòîðûå ðàçäàþòñÿ âìåñòå ñ ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòîé, ñîäåðæàòñÿ ìàòåìàòè åñêèå ôîðìóëû è òàáëèöû êâàäðàòîâ äâóçíà íûõ èñåë. Äðóãèìè ñïðàâî íûìè ìàòåðèàëàìè, à òàêæå êàëüêóëÿòîðàìè ïîëüçîâàòüñÿ çàïðåùàåòñÿ.

10 Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ îá ÎÃÝ ïî ìàòåìàòèêå 9 Ðåêîìåíäàöèè ïî ïîäãîòîâêå ê ýêçàìåíó ñ ïîìîùüþ ïîñîáèÿ Íàèáîëåå ýôôåêòèâíî ðàáîòó ïî ïîäãîòîâêå ê ýêçàìåíó ïî àëãåáðå ìîæíî ïîñòðîèòü ïî ñëåäóþùåìó ïëàíó: 1. Îçíàêîìèòüñÿ ñî ñòðóêòóðîé ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû.. Èçó èâ (èëè ïîâòîðèâ) òåîðåòè åñêèé ìàòåðèàë ïåðâîé òåìû îñíîâíûõ âîïðîñîâ ñîäåðæàíèÿ «èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé», ðàçîáðàòü êîììåíòàðèè ïî ðåøåíèþ òèïîâûõ çàäàíèé ýòîé òåìû è ðåøèòü ïîñëåäîâàòåëüíî âñå ïðåäëîæåííûå çàäàíèÿ. 3. Ñðàâíèòü ïîëó åííûå îòâåòû ñ îòâåòàìè, ïðèâåäåííûìè â êîíöå ïîñîáèÿ. Îáÿçàòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ ñ ïðè èíàìè ïîÿâëåíèÿ îøèáîê (åñëè òàêèå áóäóò), ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîâòîðèâ òåîðåòè åñêèé ìàòåðèàë èëè âîñïîëüçîâàâøèñü óêàçàíèÿìè ê ðåøåíèþ çàäà, êîòîðûå ïðåäëîæåíû â ðàçäåëå «Óêàçàíèÿ». 4. Ðàáîòàÿ òàê è äàëüøå, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåõîäèòü îò îäíîé òåìû ê äðóãîé, îò îäíîãî ðàçäåëà ê äðóãîìó. Ñòàðàòüñÿ çàïîìèíàòü îñíîâíûå ïðèåìû ðåøåíèÿ çàäàíèé. 5. Ðåøàòü ïîäãîòîâèòåëüíûå âàðèàíòû ê ýêçàìåíó èëè âàðèàíòû ýêçàìåíà ïî ìàòåìàòèêå ïðîøëûõ ëåò, êîòîðûå ìîæíî íàéòè â ëèòåðàòóðå. Â ñëó àå îøèáîê â îòâåòàõ èëè íåçíàíèÿ ñïîñîáà âûïîëíåíèÿ êàêîãî-òî çàäàíèÿ ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé òåîðåòè åñêèé âîïðîñ ïî äàííîìó ïîñîáèþ è âåðíóòüñÿ ê ðåøàåìîìó âàðèàíòó. Ðåêîìåíäàöèè ïî ïîâåäåíèþ íà ýêçàìåíå Âî âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ ýêçàìåíà ñòàðàéòåñü íå âîëíîâàòüñÿ. åì áûñòðåå ó âàñ ïîëó èòñÿ ñîñðåäîòî èòüñÿ íà ðåøåíèè çàäàíèé, òåì ñêîðåå âû âñïîìíèòå íåîáõîäèìûå ìàòåìàòè åñêèå ôàêòû è ïðèåìû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäàíèé, à òàêæå ïîéìåòå, òî ïîäãîòîâêà ê ýêçàìåíó íà óðîêàõ â øêîëå è ñ ïîìîùüþ äàííîãî ïîñîáèÿ íå ïðîøëà äàðîì è âû ìîæåòå ìíîãîå ðåøèòü. Îäíàêî âñå æå íå ñòîèò çàáûâàòü î ñàìîïðîâåðêå.

11 10 ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß ÎÁ ÎÃÝ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ È åùå, âíèìàòåëüíî èòàéòå óñëîâèå è òðåáîâàíèå âûïîëíÿåìîãî çàäàíèÿ. Â çàäàíèÿõ ïåðâîé àñòè ðàáîòû îöåíèâàåòñÿ òîëüêî îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ! Ïåðåä òåì êàê ïðèñòóïèòü ê âûïîëíåíèþ çàäàíèé, ïðîñìîòðèòå âñþ ïåðâóþ àñòü ïðåäëîæåííîé âàì ðàáîòû. Äàëåå, íå òåðÿÿ âðåìåíè, íà èíàéòå âûïîëíÿòü îäíî çà äðóãèì çàäàíèÿ ïåðâîé àñòè. Åñëè êàêîå-òî çàäàíèå âûçâàëî çàòðóäíåíèÿ, îñòàâüòå åãî è ïåðåõîäèòå ê ðåøåíèþ ñëåäóþùåãî. Ê ïðîïóùåííûì çàäàíèÿì ìîæíî áóäåò âåðíóòüñÿ ïîçæå. Ðåêîìåíäóåì ïðîâåðÿòü ñåáÿ ïîñëå âûïîëíåíèÿ êàæäîãî çàäàíèÿ, à òàêæå ïîñëå âûïîëíåíèÿ çàäàíèé êàæäîé àñòè. Ðåêîìåíäàöèè ïî âûïîëíåíèþ âòîðîé àñòè ðàáîòû òàêèå æå, êàê è äëÿ ïåðâîé àñòè, îäíàêî çäåñü åùå ñëåäóåò ñëåäèòü çà ïðàâèëüíîñòüþ îôîðìëåíèÿ ðåøåííûõ çàäàíèé. Î åâèäíî, òî íàäî ñòàðàòüñÿ ðåøèòü áîëüøåå êîëè åñòâî çàäàíèé, ïðè åì ïðàâèëüíî. Ïåðåä òåì êàê ñäàòü ðàáîòó, åùå ðàç ïðîâåðüòå ïðàâèëüíîñòü çàïîëíåíèÿ áëàíêà îòâåòîâ, íå îñòàëîñü ëè íåðåøåííûì êàêîå-òî çàäàíèå. Æåëàåì óñïåøíîé ñäà è ýêçàìåíà!

12 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ìîäóëü «Àëãåáðà» Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé ïî ïðåîáðàçîâàíèþ âûðàæåíèé èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè íûå ñâîéñòâà ñòåïåíè è àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Âû èñëåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåáóþò ïîâûøåííîé êîíöåíòðàöèè âíèìàíèÿ. Â ïåðâîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû îáû íî òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü îäíî èëè äâà äåéñòâèÿ äëÿ ïîëó åíèÿ ðåçóëüòàòà ïî ïðåîáðàçîâàíèþ öåëûõ è äðîáíûõ âûðàæåíèé. Âî âòîðîé àñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîøàãîâûå, ïðè åì àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðàçëè íûå ìåòîäû ðàçëîæåíèÿ âûðàæåíèé íà ìíîæèòåëè Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ èñåë Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé íà äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ èñåë èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè íûå ñâîéñòâà äåëèìîñòè, îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèìîãî è íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî äâóõ èñåë, à òàêæå ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà, 3, 5, 9, 10. ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå. Íàòóðàëüíîå èñëî a äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå èñëî b, åñëè ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå èñëî n, òàêîå, òî a bn (íàïðèìåð, 3 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê 3 4 8). Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòûì èñëîì íàçûâàåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå èñëî, êîòîðîå èìååò òîëüêî äâà íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ: 1 è ñàìî ýòî èñëî (íàïðèìåð, èñëî 7 äåëèòñÿ òîëüêî íà 1èíà7,ïîýòîìó 7 ïðîñòîå èñëî).

13 1 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Îïðåäåëåíèå. Ñîñòàâíûì èñëîì íàçûâàåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå èñëî, êîòîðîå èìååò áîëåå äâóõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé (íàïðèìåð, èñëî 8 äåëèòñÿ íà 1, íà, íà 4 è íà 8, ïîýòîìó 8 ñîñòàâíîå èñëî). Ëþáîå ñîñòàâíîå íàòóðàëüíîå èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, è ïðè åì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì. Ñïîñîáû, ïðè êîòîðûõ ïðîèçâåäåíèÿ îòëè àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ìíîæèòåëåé, ñ èòàþòñÿ çà îäèí ñïîñîá. Ñâîéñòâà äåëèìîñòè Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ èñåë êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå èñëî, òî è ñóììà äåëèòñÿ íà ýòî èñëî (íàïðèìåð, ñóììà èñåë äåëèòñÿ íà 1, òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû äåëèòñÿ íà 1). Åñëè â ïðîèçâåäåíèè íàòóðàëüíûõ èñåë îäèí èç ìíîæèòåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå èñëî, òî è ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ýòî èñëî (íàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèå èñåë äåëèòñÿ íà 6, òàê êàê îäèí èç ìíîæèòåëåé 1 äåëèòñÿ íà 6). Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà, 3, 5, 9, 10 èñëî äåëèòñÿ íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îêàí èâàåòñÿ åòíîé öèôðîé (öèôðû 0,, 4, 6, 8 åòíûå; öèôðû 1, 3, 5, 7, 9 íå åòíûå; èñëî 14 äåëèòñÿ íà, òàê êàê îêàí èâàåòñÿ öèôðîé 4). èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3 (íàïðèìåð, èñëî 84 äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð 84 1 äåëèòñÿ íà 3). èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îêàí èâàåòñÿ öèôðîé 0 èëè 5 (íàïðèìåð, èñëî 45 äåëèòñÿ íà 5, òàê êàê îêàí èâàåòñÿ öèôðîé 5). èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9 (íàïðèìåð, èñëî 198 äåëèòñÿ íà 9, òàê êàê ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9). èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îêàí èâàåòñÿ öèôðîé 0 (íàïðèìåð, èñëî 60 äåëèòñÿ íà 10, òàê êàê îêàí èâàåòñÿ öèôðîé 0).

14 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 13 Îïðåäåëåíèå. Îñòàòêîì îò äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî èñëà à íà íàòóðàëüíîå èñëî b íàçûâàåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå èñëî r, òî ðàçíîñòü a r äåëèòñÿ íà b, è0 r b. Ò.å. èñëî à ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a bn r, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî, à r îñòàòîê ( èñëî n íàçûâàþò àñòíûì; íàïðèìåð, èñëî 17 ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: , ò.å. ïðè äåëåíèè íà 5 èñëî 17 äàåò îñòàòîê, à èñëî 3 áóäåò ïðè ýòîì àñòíûì). Îïðåäåëåíèå. Åñëè íàòóðàëüíîå èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå èñëî b, òî èñëî b íàçûâàþò äåëèòåëåì èñëà à, à èñëî à êðàòíûì èñëà b (íàïðèìåð, èñëî 5 äåëèòåëü èñëà 45, à èñëî 45 êðàòíîå èñëà 5). Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü à è b íàòóðàëüíûå èñëà. èñëî d íàçûâàþò îáùèì äåëèòåëåì äëÿ à è b, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì è äëÿ à, è äëÿ b (íàïðèìåð, èñëî äåëèòåëü èñëà 1 è äåëèòåëü èñëà 6, ïîýòîìó èñëî ÿâëÿåòñÿ îáùèì äåëèòåëåì èñåë 1 è 6). Ñðåäè äåëèòåëåé èñåë åñòü íàèáîëüøèé, êîòîðûé íàçûâàþò íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì èñåë à è b, è îáîçíà àþò ÍÎÄ (a; b) (íàïðèìåð, ÍÎÄ 1; 6 6). Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü à è b íàòóðàëüíûå èñëà. èñëî k íàçûâàþò îáùèì êðàòíûì äëÿ à è b, åñëè îíî êðàòíî è à, è b (íàïðèìåð, èñëî 45 äåëèòñÿ íà 5èíà3, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ îáùèì êðàòíûì èñåë 5è3). Ñðåäè îáùèõ êðàòíûõ åñòü íàèìåíüøèé, êîòîðûé íàçûâàþò íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì èñåë à è b, è îáîçíà àþò ÍÎÊ (a; b) (íàïðèìåð, ÍÎÊ 3; 5 15). ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Äåëèòåëè è êðàòíûå èñëà Çàäàíèå 1. Âûáåðèòå èç èñåë 4, 6, 8, 10, 1 äåëèòåëè 0. èñëî 0 äåëèòñÿ íà 4 è íà 10 è íå äåëèòñÿ íà 6, 8, 1, ïîýòîìó òîëüêî èñëà 4 è 10 ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè èñëà 0. Îòâåò: 4, 10.

15 14 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå. Âûáåðèòå èç èñåë 4, 6, 8, 10, 1 êðàòíûå 4. Èç óêàçàííûõ èñåë íà 4 äåëÿòñÿ 4, 8, 1 è íå äåëÿòñÿ 6 è 10, ïîýòîìó òîëüêî èñëà 4, 8è1ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè 4. Îòâåò: 4, 8, 1. 6 Çàäàíèå 3.Äîêàæèòå, òî ñóììà äåëèòñÿ íà 13. Ïðåäñòàâèì êàæäîå ñëàãàåìîå èñõîäíîé ñóììû â âèäå ñòåïåíè : 4, Âûíåñåì îáùèé ìíîæèòåëü 6 çà ñêîáêè Ïî ñâîéñòâàì äåëèìîñòè ìû ïîëó èëè, òî äåëèòåëåì ÿâëÿåòñÿ èñëî 13, çíà èò, ñóììà äåëèòñÿ íà 13. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà, 3, 5, 9, 10 Çàäàíèå 4. Óêàæèòå èñëî, êîòîðîå äåëèòñÿ íà 3. 1) 314 ) 315 3) 316 4) 317 Ïðèìåíèì ê ýòèì èñëàì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3. Äëÿ ýòîãî âû èñëèì ñóììó öèôð â çàïèñè êàæäîãî èç ýòèõ èñåë. 314 ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà ñóììà öèôð äåëèòñÿ íà ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà 3. Èòàê, òîëüêî ó îäíîãî èñëà 315 ñóììà öèôð äåëèòñÿ íà 3, çíà èò, ïî ïðèçíàêó äåëèìîñòè íà 3 è ñàìî èñëî 315 äåëèòñÿ íà 3. Îòâåò:.

16 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 15 Çàäàíèå 5. Êàêóþ öèôðó íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 13* äåëèëîñü íà? èñëî 13* äåëèòñÿ íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îêàí èâàåòñÿ åòíîé öèôðîé, çíà èò, âìåñòî * ìîæíî ïîñòàâèòü åòíûå öèôðû: 0,, 4, 6, 8. Îòâåò: 0,, 4, 6, 8. Çàäàíèå 6. Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó èñëà a èñëî a äåëèòñÿ íà èíà5,çíà- èò, îíî äåëèòñÿ è íà 10. Ïîýòîìó åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ðàâíà 0. Îòâåò: 0. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì Çàäàíèå 7. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ èñëà 13 íà 8 ðàâåí: 1) 1 ) 3) 3 4) 7 Âûïîëíèì äåëåíèå óãîëêîì Îñòàòîê îò äåëåíèÿ èñëà 13 íà 8 ðàâåí 3. Îòâåò: 3. Çàäàíèå 8. Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó èñëà 010. Âîçâîäèòü â ñòåïåíü èñëî äîëãî, ïîýòîìó èññëåäóåì âîïðîñ î òîì, êàêèìè öèôðàìè ìîãóò îêàí èâàòüñÿ ñòåïåíè èñëà. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíûå íàòóðàëüíûå ñòåïåíè èñëà.

17 16 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàìåòèì, òî åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1 (1, 5, 9, ), òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà â çàïèñè èñëà ðàâíà. Åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê (, 6,10, ), òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà â çàïèñè èñëà ðàâíà 4. Åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 3 (3, 7, ), òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 8. Åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè äåëèòñÿ íà 4 (1, 5, ), òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 6. Ðàññìîòðèì èñëî =008+=450. Çíà èò, ïîñëåäíÿÿ öèôðà â çàïèñè èñëà 010 ðàâíà 4. Îòâåò: 4. Çàäàíèå 9. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà íà 5 ðàâåí 7. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ýòîãî èñëà íà 5. Åñëè îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà õ íà 5 ðàâåí 7, òî ñàìî èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 5n 7, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. Òàê êàê íàäî íàéòè îñòàòîê îò äåëåíèÿ èñõîäíîãî èñëà íà 5, ïðåîáðàçóåì ýòî èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì: 5n 7 5n 5 55 ( n 1), ãäå 5n 1 íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî, çíà èò îñòàòîê îò äåëåíèÿ èñõîäíîãî èñëà íà 5 ðàâåí. Îòâåò:. Çàìå àíèå: èñëî x 5n 7 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x 55n 7, ãäå 5n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî, íî èñëî 7 íå áóäåò îñòàòêîì îò äåëåíèÿ èñëà õ íà 5, òàê êàê 7 5 (ñì. îïðåäåëåíèå îñòàòêà îò äåëåíèÿ).

18 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 17 Çàäàíèå 10. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà íà 5 ðàâåí. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ýòîãî èñëà íà 5. Åñëè îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà õ íà 5 ðàâåí, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 5n, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. èñëî n íåèçâåñòíî, ïîýòîìó ñëåäóåò ðàññìîòðåòü âñå ñëó àè ïðè äåëåíèè èñëà n íà 5: èñëî n äåëèòñÿ íà 5; èñëî n äàåò â îñòàòêå îò äåëåíèÿ íà 5 èñëà 1,, 3, 4. Åñëè èñëî n äåëèòñÿ íà 5, òî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå n 5 m, ãäå m íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. È èñõîäíîå èñëî èìååò âèä x 55m 5m, òîãäà îñòàòîê îò äåëåíèÿ åãî íà 5 ðàâåí. Åñëè èñëî n ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê 1, òî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå n 5m 1. È èñõîäíîå èñëî èìååò âèä x 55m 1 5m 7, òîãäà îñòàòîê îò äåëåíèÿ åãî íà 5 ðàâåí 7. Åñëè èñëî n ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê, òî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå n 5m. È èñõîäíîå èñëî èìååò âèä x 5 5m 5m 1, òîãäà îñòàòîê îò äåëåíèÿ åãî íà 5 ðàâåí 1. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè íî, ïîíèìàåì, òî èñõîäíîå èñëî ïðè äåëåíèè íà 5 ìîæåò äàâàòü îñòàòêè 17 è. Îòâåò:, 7, 1, 17,. Ïðîñòûå èñëà. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Ïðè ðàçëîæåíèè íàòóðàëüíûõ èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñïîëüçóþò ïðèçíàêè äåëèìîñòè. Çàäàíèå 11. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî 70. Ñíà àëà îïðåäåëèì, íà êàêèå ïðîñòûå èñëà äåëèòñÿ 70. 1) òàê êàê èñëî 70 îêàí èâàåòñÿ åòíûì èñëîì 0, òî 70 äåëèòñÿ íà ;

19 18 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ) òàê êàê 70 îêàí èâàåòñÿ èñëîì 0, òî äåëèòñÿ íà 5; 3) òàê êàê ñóììà öèôð èñëà 70 ðàâíà 7 0 9, òî äåëèòñÿ íà 3. Óäîáíî ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè çàïèñûâàòü ñòîëáèêîì: äåëèòåëü ðàñïîëàãàåòñÿ ñïðàâà îò âåðòèêàëüíîé åðòû, à àñòíîå çàïèñûâàåòñÿ ïîä äåëèìûì Èòàê, ìû ïîëó èëè, òî Îòâåò: Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå, íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü Çàäàíèå 1. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë a 355 è b ðàâåí 1) 5 ) 35 3) ) 355 Â ðàçëîæåíèè èñëà à íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî âõîäèò â òðåòüåé ñòåïåíè, à â ðàçëîæåíèè èñëà b íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî âõîäèò â ïåðâîé ñòåïåíè, çíà èò, â ðàçëîæåíèè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ èñåë à è b èñëî äîëæíî ïðèñóòñòâîâàòü â ìåíüøåé ñòåïåíè, ò.å. â ïåðâîé ñòåïåíè. Àíàëîãè íî ìîæíî ïîëó èòü, òî â ðàçëîæåíèè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ äëÿ à è b èñëî 3 äîëæíî ïðèñóòñòâîâàòü â ïåðâîé ñòåïåíè, à èñëî 5 âî âòîðîé. Ïîýòîìó ÍÎÄ ab ; 355. Îòâåò: 4.

20 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 19 Çàäàíèå 13. Íàéäèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå èñåë 40 è 70. Ðàçëîæèì êàæäîå èç äàííûõ èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Â ðàçëîæåíèè èñëà 40 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî âõîäèò âî âòîðîé ñòåïåíè, à â ðàçëîæåíèè èñëà 70 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî âõîäèò â ïåðâîé ñòåïåíè, çíà- èò, â ðàçëîæåíèè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî èñëî äîëæíî ïðèñóòñòâîâàòü â áîëüøåé ñòåïåíè, ò.å. âî âòîðîé ñòåïåíè. Àíàëîãè íî ðàññìàòðèâàÿ ñòåïåíè èñåë 3, 5è7,ìîæ- íî ïîëó èòü, òî â ðàçëîæåíèè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ èñåë 40 è 70 èñëî 3 äîëæíî ïðèñóòñòâîâàòü â òðåòüåé ñòåïåíè, à èñëà 5è7 â ïåðâîé. 3 Ïîýòîìó ÍÎÊ 40; Îòâåò: ÍÎÊ40; ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Êàêîå èç èñåë ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì 36? 1) 8 ) 1 3) 4 4) 7. Êàêîå èç èñåë íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì 50? 1) 5 ) 10 3) 0 4) Êàêîå èç èñåë ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì 36? 1) 9 ) 18 3) 48 4) 7 4. Êàêîå èç èñåë ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì 36 è êðàòíûì 6? 1) 4 ) 1 3) 9 4) 7

21 0 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 5. Êàêîå èç èñåë íå ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì 3? 1) 15 ) 7 3) 35 4) Ñêîëüêî íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé èìååò èñëî 1? Îòâåò:. 7. Ñêîëüêî åòíûõ èñåë óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó 11 x 0? Îòâåò:. 8. Êàêèå öèôðû íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 543* äåëèëîñü íà? Îòâåò:. 9. Êàêèå öèôðû íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 54* äåëèëîñü íà 3? Îòâåò:. 10. Êàêèå öèôðû íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 543* äåëèëîñü íà 5? Îòâåò:. 11. Êàêóþ öèôðó íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 54* äåëèëîñü íà 6? Îòâåò:. 1. Êàêóþ öèôðó íàäî ïîñòàâèòü âìåñòî *, òîáû èñëî 541* äåëèëîñü íà 15? Îòâåò:. 13. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ èñëà 94 íà 7 ðàâåí 1) 3 ) 4 3) 5 4) àñòíîå îò äåëåíèÿ èñëà 94 íà 7 ðàâíî 1) 11 ) 1 3) 13 4) Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë a è b ðàâåí 1) 5 3) 3355 ) 35 4) Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå èñåë a 355 è b 35 ðàâíî 1) ) 3355 ) 35 4) 355

22 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 1 àñòü Äîêàæèòå, òî ñóììà 4 8 äåëèòñÿ íà Äîêàæèòå, òî äåëèòñÿ íà Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó èñëà Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èñëî 79.. Íàéäèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå èñåë 180 è Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë 180 è Íàéäèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå èñåë 168 è Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë 168 è Ñîêðàòèòå äðîáü Ñîêðàòèòå äðîáü Êàêèå ïðîñòûå èñëà ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè íåðàâåíñòâà 18 x 7? 9. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâà íàòóðàëüíûõ ìíîæèòåëÿ èñëî 1? Ñïîñîáû, ïðè êîòîðûõ ïðîèçâåäåíèÿ îòëè àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ìíîæèòåëåé, ñ èòàþòñÿ çà îäèí ñïîñîá. 30. Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó èñëà Îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà íà 16 ðàâåí 9. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ýòîãî èñëà íà Îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà íà 4 ðàâåí 1. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ýòîãî èñëà íà Ïðè äåëåíèè íà 1 èñëî à äàåò îñòàòîê 7. Êàêîé îñòàòîê ïîëó èòñÿ ïðè äåëåíèè íà 1 èñëà a a 5? 34. Ïðè äåëåíèè íà 5 îäíî öåëîå èñëî äàåò îñòàòîê, à äðóãîå îñòàòîê 4. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà 5 ñóììû ýòèõ èñåë.

23 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 35. Ïðè äåëåíèè íà 5 îäíî öåëîå èñëî äàåò îñòàòîê, à äðóãîå îñòàòîê 4. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà 5 ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ èñåë. 36. Ñêîëüêî íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé èìååò èñëî ? 37. Íàéäèòå âñå åòûðåõçíà íûå èñëà, â çàïèñè êîòîðûõ âõîäÿò òîëüêî öèôðû 1, è êîòîðûå äåëÿòñÿ è íà, è íà Êàêóþ öèôðó íàäî ïðèïèñàòü ê èñëó 14 ñëåâà è ñïðàâà, òîáû ïîëó èëîñü èñëî, äåëÿùååñÿ íà 3? 39. Âäîëü äîðîãè îò äåðåâíè Âèäíîå ïîñòàâèëè ñòîëáû åðåç êàæäûå 48 ìåòðîâ. Ýòè ñòîëáû ðåøèëè çàìåíèòü äðóãèìè, ïîñòàâèâ èõ íà ðàññòîÿíèè 60 ìåòðîâ äðóã îò äðóãà. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò äåðåâíè Âèäíîå äî áëèæàéøåãî ñòîëáà, êîòîðûé áóäåò ñòîÿòü íà ìåñòå ñòàðîãî. Îòâåò äàéòå â ìåòðàõ. 40. Ïàêåò ñîêà ñòîèò 19 ð. 50 ê. Êàêîå íàèáîëüøåå èñëî òàêèõ ïàêåòîâ ìîæíî êóïèòü íà 0 ð.? 41. Äëÿ ó àùèõñÿ òðåòüåãî êëàññà ïðèãîòîâèëè îäèíàêîâûå ïîäàðêè. Âî âñåõ ïîäàðêàõ áûëî 10 áëîêíîòîâ, 80 ðó åê è 30 êàðàíäàøåé. Ñêîëüêî ó àùèõñÿ â êëàññå, åñëè èçâåñòíî, òî èõ áîëüøå 30 åëîâåê? 1.. Ïðèáëèæåííûå çíà åíèÿ ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ïðè èçìåðåíèè ðàçëè íûõ âåëè èí (ìàññà, òåìïåðàòóðà, ñêîðîñòü è ò. ä.) è ïðè îêðóãëåíèè èñåë èñïîëüçóþò ïðèáëèæåííûå çíà åíèÿ. Íàïðèìåð, äëèíó ðåéêè,01 ì ìîæíî çàìåíèòü ïðèáëèæåííûì çíà åíèåì äëèíû, ì (êîíå íî, åñëè òàêàÿ òî íîñòü äîïóñêàåòñÿ). Ïðàâèëî îêðóãëåíèÿ äåñÿòè íûõ äðîáåé Äëÿ îêðóãëåíèÿ äåñÿòè íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü çàäàííîãî ðàçðÿäà íóæíî çíàòü, êàêàÿ öèôðà ñëåäóåò çà ýòèì ðàçðÿäîì: åñëè çà ðàçðÿäîì ñëåäóåò ëþáàÿ èç öèôð 0, 1,, 3 èëè 4, òî âñå öèôðû, ñëåäóþùèå çà ðàçðÿäîì, îòáðàñû-

24 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 3 âàþò (íàïðèìåð, îêðóãëÿÿ äî ñîòûõ èñëî 5,743, ïîëó- èì 5,74); åñëè çà ðàçðÿäîì ñëåäóåò ëþáàÿ èç öèôð: 5, 6, 7, 8 èëè 9, òî öèôðà ðàçðÿäà óâåëè èâàåòñÿ íà åäèíèöó, à âñå ñëåäóþùèå çà íåé öèôðû îòáðàñûâàþòñÿ (íàïðèìåð, îêðóãëÿÿ äî ñîòûõ èñëî 5,7463, ïîëó èì 5,75). Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî çíà åíèÿ Ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäó òî íûì (x) è ïðèáëèæåííûì çíà åíèåì (a) íåêîòîðîãî èñëà íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ (h) ïðèáëèæåííîãî çíà åíèÿ èñëà, ò.å. x a h. Íàïðèìåð, åñëè äëèíà ðåéêè,01 ì, à åå ïðèáëèæåííîå çíà åíèå, ì, òî, 01, 0, 001 àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü. Çàäàâàÿ àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ h (òî íîñòü èçìåðåíèÿ) íåêîòîðîãî ïðèáëèæåííîãî çíà åíèÿ a, òî íîå çíà åíèå èçìåðÿåìîé âåëè èíû (x) áóäåò íàõîäèòüñÿ ìåæäó a h è a h, ò.å. a h x a h. Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x a h. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ èñåë è äåñÿòè íûõ äðîáåé Çàäàíèå 1. Â îäíîé ñòîëîâîé ëîæêå 5 ã ðèñà, à â îäèí ñòàêàí âõîäèò 35 ã ðèñà. Ñêîëüêî öåëûõ ëîæåê ðèñà ïîìåùàåòñÿ â îäíîì ñòàêàíå? 1-é ñïîñîá. Â 10 ëîæêàõ ðèñà ñîäåðæèòñÿ ã ðèñà. Ýòîãî ìíîãî äëÿ îäíîãî ñòàêàíà. Åñëè âîçüìåì 9 ëîæåê ðèñà, òî ïîëó èì ã ðèñà, çíà èò, â îäíîì ñòàêàíå ïîìåùàåòñÿ 9 öåëûõ ëîæåê ðèñà. -é ñïîñîá. Â îäèí ñòàêàí âõîäèò 35 : 5 9, 4 ëîæåê ðèñà. Ïîëó àåì, òî â îäèí ñòàêàí âõîäèò 9 öåëûõ ëîæåê ðèñà. Îòâåò: 9 ëîæåê.

25 4 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå. Îêðóãëèòå èñëî 7,8157. à) äî äåñÿòûõ á) äî ñîòûõ â) äî òûñÿ íûõ ä) äî öåëûõ à) Ó äåñÿòè íîé äðîáè 7,8157 â ñëåäóþùåì ðàçðÿäå ïîñëå äåñÿòûõ ñòîèò öèôðà 1, çíà èò, îñòàâèì öèôðó äåñÿòûõ áåç èçìåíåíèÿ: 7,8157 7,8. á) Ó äåñÿòè íîé äðîáè 7,8157 â ñëåäóþùåì ðàçðÿäå ïîñëå ñîòûõ ñòîèò öèôðà 5, çíà èò, óâåëè èì öèôðó ñîòûõ íà åäèíèöó: 7,8157 7,8. â) Ó äåñÿòè íîé äðîáè 7,8157 â ñëåäóþùåì ðàçðÿäå ïîñëå òûñÿ íûõ ñòîèò öèôðà 7, çíà èò, óâåëè èì öèôðó òûñÿ íûõ íà åäèíèöó: 7,8157 7,816. ã) Ó äåñÿòè íîé äðîáè 7,8157 öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 8, çíà èò, 7, Îòâåò: à) 7,8; á) 7,8; â) 7,816; ã) 8. Çàäàíèå 3. Íàéäèòå ïëîùàäü ëèñòà áóìàãè, ðàçìåðû êîòîðîãî 1 ñì 9,7 ñì. Ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî öåëûõ. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî ëèñòà íàéäåì, ïåðåìíîæèâ åãî äëèíó è øèðèíó: 1 9,7 = 63,7 (ñì ). Îêðóãëèì äî öåëûõ èñëî 63,7. Ïîñëå çàïÿòîé ñòîèò öèôðà 7, çíà èò, ïî ïðàâèëó îêðóãëåíèÿ äåñÿòè íûõ äðîáåé ïîëó èì 64 ñì. Îòâåò: 64 ñì. Ïðèêèäêà è îöåíêà ðåçóëüòàòîâ âû èñëåíèé Çàäàíèå4.Îöåíèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3x y, åñëè 1 x ; 3 y 4. 1) (; 3 4) ) (; 9 14) 3) (; 6 10) 4) (; 4 8) Åñëè 1 x, òîãäà ïî ñâîéñòâàì èñëîâûõ íåðàâåíñòâ 3 3x 6. Àíàëîãè íî îöåíèì y: 3 y 4; 6 y 8. Îöåíèì ñóììó 3x y, äëÿ ýòîãî ñëîæèì ñòîëáèêîì äâà íåðàâåíñòâà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ëåíàìè:

26 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 5 3 3x 6 6 y 8 9<3x y <14 Îòâåò:. Çàïèñü ïðèáëèæåííûõ çíà åíèé â âèäå x a h, ïåðåõîä ê çàïèñè â âèäå äâîéíîãî íåðàâåíñòâà Çàäàíèå 5. Â êàêèõ ãðàíèöàõ çàêëþ åíî èñëî p 35, 00,? 1) 34, p 38, 3) 35, p 39, ) 33, p 37, 4) 36, p 40, Îò çàïèñè ïðèáëèæåííîãî çíà åíèÿ èñëà p â âèäå p 35, 00, ïåðåéäåì ê çàïèñè â âèäå äâîéíîãî íåðàâåíñòâà: 35, 00, M 35, 00, ; 33, p 37,. Îòâåò:. Çàäàíèå 6. Íà óïàêîâêå ïà êè ñëèâî íîãî ìàñëà åñòü èíôîðìàöèÿ: «Ìàññà 500±7 ã». Óêàæèòå, ñêîëüêî ìàñëà íå ìîæåò áûòü â ýòîé ïà êå? 1) 50 ã ) 507 ã 3) 49 ã 4) 497 ã Îò çàïèñè ïðèáëèæåííîãî çíà åíèÿ ìàññû (M) â âèäå M ïåðåéäåì ê çàïèñè â âèäå äâîéíîãî íåðàâåíñòâà: M 500 7; 493 M 507. Ìàññà ïà êè ìàñëà äîëæíà áûòü îò 493 äî 507 ã (âêëþ àÿ çíà åíèÿ 493 ã è 507 ã). Èç ïðåäëîæåííûõ îòâåòîâ â ýòîò ïðîìåæóòîê íå âõîäèò òîëüêî îäíî çíà åíèå: 49 ã. Îòâåò: 3. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ïèðàìèäà Õåîïñà ñëîæåíà èç ìèëëèîíîâ êàìåííûõ ãëûá, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âåñèò íå ìåíüøå ò. Êàêîâ âåñ ïèðàìèäû â êèëîãðàììàõ? Îòâåò:.

27 6 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß. Ñêîëüêî ìåòðîâ ñîñòàâëÿåò 1 àíãëèéñêèé ÿðä (ìåðà äëèíû), åñëè 150 ì 164 ÿðäà. Îòâåò îêðóãëèòå äî âòîðîãî çíàêà. Îòâåò:. 3. Çà 700 ëåò Ïèçàíñêàÿ áàøíÿ îòêëîíèëàñü îò ñâîåãî öåíòðà íà 5 ì. Íà ñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ â ãîä îíà «ïàäàåò»? Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. Îòâåò:. 4. Âûñîòà ñàìîãî âûñîêîãî çäàíèÿ ìèðà òåëåáàøíè Ñè-Ýí Òàóýð â Êàíàäå 553 ì 33 ñì. Îïðåäåëèòå âûñîòó îäíîãî ýòàæà ýòîé áàøíè, åñëè âñåãî îíà èìååò 147 ýòàæåé îäèíàêîâîé âûñîòû. Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. Îòâåò:. 5. Ëó Ñîëíöà äîëåòàåò äî Çåìëè çà 8 ìèíóò. Çà òàêîå âðåìÿ îí ïðîëåòàåò 150 ìëðä êì. Îïðåäåëèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí ëåòèò (îòâåò âûðàçèòå â êì/ñ è îêðóãëèòå äî öåëîãî èñëà). Îòâåò:. 6. Çâóê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â âîçäóõå ñî ñêîðîñòüþ 330 ì/ñ, à â âîäå ñî ñêîðîñòüþ 1450 ì/ñ. Âî ñêîëüêî ðàç áûñòðåå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ çâóê â âîäå? Îòâåò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. Îòâåò:. 7. Èððàöèîíàëüíîå èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áåñêîíå íîé äåñÿòè íîé äðîáè. Îêðóãëèòå ýòó äðîáü äî ñîòûõ. Îòâåò:. 8. Áèëåò ñòîèò 35 ð. Äëÿ ïîêóïêè êàêîãî èñëà áèëåòîâ íåäîñòàòî íî 110 ð.? 1) îäíîãî ) äâóõ 3) òðåõ 4) åòûðåõ 9. Áèëåò íà àòòðàêöèîí ñòîèò 50 ð. Äëÿ äåòåé ñêèäêà 50%. 0 ð. äîñòàòî íî, òîáû ïîêàòàòü íà àòòðàêöèîíå

28 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 7 1) 5 âçðîñëûõ è 5 äåòåé ) âçðîñëûõ è 5 äåòåé 3) 1 âçðîñëîãî è 6 äåòåé 4) 3 âçðîñëûõ è 3 äåòåé 10. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî ëèñòà, ðàçìåðû êîòîðîãî 1 ñì 9,7 ñì, íóæíî âûðåçàòü äëÿ îðèãàìè êâàäðàò íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Íàéäèòå ïëîùàäü îñòàòêà ëèñòà (â ñì ). Ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî öåëîãî èñëà. Îòâåò:. 11. Îêðóãëèòå áåñêîíå íóþ äåñÿòè íóþ äðîáü 0,( 61) äî ñîòûõ. Îòâåò:. 1. Ïåðåâåäèòå îáûêíîâåííóþ äðîáü 1 â äåñÿòè íóþ. Ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî òûñÿ íûõ. 7 Îòâåò:. 13. Ïåðåâåäèòå îáûêíîâåííóþ äðîáü 5 â äåñÿòè íóþ. Ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî äåñÿòûõ. 7 Îòâåò:. 14. Ïåðåâåäèòå îáûêíîâåííóþ äðîáü 3 â äåñÿòè íóþ. Ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî ñîòûõ. 11 Îòâåò:. 15. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ëóíû ðàâíî êì. Îêðóãëèòå ýòî èñëî äî òûñÿ êèëîìåòðîâ. Îòâåò:. 16. Îöåíèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ x y, åñëè x 3; 5 y 6. 1) (; 4 6) ) (; 9 1) 3) (; 9 10) 4) ( 10; 11) 17. Îöåíèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3x y, åñëè 1 x ; 4 y 5. 1) (; 5 7) ) (; 3 6) 3) (; 8 10) 4) ( 7; 11)

29 8 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 18. Îöåíèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3xy, åñëè 1 x ; 5 y 6. 1) (; 5 1) ) (; 8 11) 3) ( 15; 36) 4) ( 18; 30) 19. Âåñ ñðåäíåãî êóðèíîãî ÿéöà 43 ã, â òîì èñëå 3 ã áåëêà è 0 ã æåëòêà. Íàéäèòå îòíîøåíèå âåñà æåëòêà ê âåñó ÿéöà è óêàæèòå, â êàêîé ïðîìåæóòîê îíî âõîäèò. 1) (0,3; 0,4) 3) (0,5; 0,6) ) (0,4; 0,5) 4) (,1;,) 0. Âåñ ñðåäíåãî êóðèíîãî ÿéöà 43 ã, â òîì èñëå 3 ã áåëêà è 0 ã æåëòêà. Íàéäèòå îòíîøåíèå âåñà áåëêà ê âåñó ÿéöà è óêàæèòå, â êàêîé ïðîìåæóòîê îíî âõîäèò. 1) (0,3; 0,4) 3) (0,5; 0,6) ) (0,4; 0,5) 4) (,1;,) 1. Âåñ ñðåäíåãî êóðèíîãî ÿéöà 43 ã, â òîì èñëå 3 ã áåëêà è 0 ã æåëòêà. Íàéäèòå îòíîøåíèå âåñà æåëòêà ê âåñó áåëêà è óêàæèòå, â êàêîé ïðîìåæóòîê îíî âõîäèò. 1) (0,9; 1) 3) (0,5; 0,6) ) (0,4; 0,5) 4) (0,8; 0,9). Áèëåò íà àòòðàêöèîí äëÿ âçðîñëîãî ñòîèò 50 ð., à äëÿ äåòåé äåøåâëå. Äîñòàòî íî ëè 50 ð. äëÿ ïîñåùåíèÿ àòòðàêöèîíà äâóì âçðîñëûì ñ òðåìÿ äåòüìè? 1) äîñòàòî íî 3) íåäîñòàòî íî äàííûõ ) íåäîñòàòî íî 4) ëèøíèå äàííûå 3. Áèëåò íà àòòðàêöèîí äëÿ âçðîñëîãî ñòîèò 50 ð., à äëÿ äåòåé äåøåâëå. Äîñòàòî íî ëè 0 ð. äëÿ ïîñåùåíèÿ àòòðàêöèîíà äâóì âçðîñëûì ñ òðåìÿ äåòüìè? 1) äîñòàòî íî 3) íåäîñòàòî íî äàííûõ ) íåäîñòàòî íî 4) ëèøíèå äàííûå 4. èñëî x âçÿòî èç ïðîìåæóòêà (1; ). Êàêîå èç çíà åíèé âûðàæåíèé áîëüøå? 1) x 015, 3) x 0, 115 ) x 01, 4) x 0, 015

30 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 9 5. èñëî x âçÿòî èç ïðîìåæóòêà (0; 1). Êàêîå èç çíà åíèé âûðàæåíèé áîëüøå? 1) x 01, ) x 1 3) x 001, 4) x 0, 6. Èç êàêîãî ïðîìåæóòêà ñëåäóåò âçÿòü èñëî x, òîáû çíà åíèå âûðàæåíèÿ x 0, áûëî áîëüøå 1? 1) (0,; 0,5) 3) (0,1; 0,) ) (0; 0,1) 4) (0,; 0,1) 7. Â êàêèõ ãðàíèöàõ çàêëþ åíî èñëî p = 6,14 0,0? 1) 614, p 616, 3) 613, p 617, ) 61, p 616, 4) 614, p 618, 8. èñëî ó 5,7 0,01 çàêëþ åíî â ãðàíèöàõ: 1) 5,71 ó 5,7 3) 5,7 ó 5,73 ) 5,71 ó 5,73 4) 5,71 ó 5,73 9. èñëî ó 3,14 0,01 çàêëþ åíî â ãðàíèöàõ: 1) 3,13 ó 3,15 3) 3,14 ó 3,15 ) 3,13 ó 3,14 4) 3,13 ó 3, èñëî y 75, 001, çàêëþ åíî â ãðàíèöàõ: 1),74 ó,75 3),74 ó,76 ),74 < ó <,76 4),75 ó, Â êàêèõ ãðàíèöàõ çàêëþ åíî èñëî p 345, 00,? 1) 346, p 348, 3) 343, p 347, ) 345, p 347, 4) 344, p 346, 3. Äëèíà îäíîãî ìîòêà ïðÿæè äëÿ âÿçàíèÿ 150 0, ì. Êàêîé äëèíû íå ìîæåò áûòü ïðÿæà èç ýòîãî ìîòêà? 1) 149,8 ì ) 150 ì 3) 15 ì 4) 150, ì 33. Ñðåäè óñëîâèé ïðàâèëüíîãî õðàíåíèÿ êàêàî-ïîðîøêà åñòü âàæíîå òåìïåðàòóðíîå óñëîâèå: òåìïåðàòóðà âîçäóõà äîëæíà ñîñòàâëÿòü 18 3 Ñ. Ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå íåëüçÿ õðàíèòü êàêàî? 1) 18 Ñ ) 0 Ñ 3) 15 Ñ 4) 1,5 Ñ 34. Â çàâèñèìîñòè îò âëàæíîñòè ìàññà ïà êè ñîëè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ, íî îíà âñåãäà îñòàåòñÿ â ïðåäåëàõ ã. Çàïèøèòå âîçìîæíûå çíà åíèÿ ìàññû ïà êè ñîëè (ñ ïîìîùüþ äâîéíîãî íåðàâåíñòâà). Îòâåò:.

31 30 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 1.3. Ñòåïåíü ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ïîíÿòèå ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì Îïðåäåëåíèå. Ñòåïåíüþ èñëà à ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì n íàçûâàåòñÿ èñëî, çàïèñûâàåìîå êàê à n è îïðåäåëÿåìîå ïî ïðàâèëó èñëî ñòåïåíü a n a a a, åñëè n ; n ðàç a, åñëè n 1. Íåêîòîðûå ñòåïåíè èñåë, 3, 4, Îïðåäåëåíèå. Ñòåïåíüþ èñëà à (a 0) ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì m íàçûâàåòñÿ èñëî, çàïèñûâàåìîå êàê a m è îïðåäåëÿåìîå ïî ïðàâèëó a m a a a, åñëè m íàòóðàëüíîå èñëî, m ; m ðàç a, åñëè m 1; 1, åñëè m 0; 1, åñëè m n, n öåëîå îòðèöàòåëüíîå èñëî. n a Âûðàæåíèÿ «íóëü â íóëåâîé ñòåïåíè» è «íóëü â îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè» íå îïðåäåëåíû.

32 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 31 Åñëè îñíîâàíèåì ñòåïåíè ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííàÿ äðîáü, òî óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî, êîòîðîå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ: n n p q q, åñëè n öåëîå èñëî, p 0, p q Íàïðèìåð, Ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì, ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì Ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì (m, n öåëûå èñëà, a 0) m n m n a a a, (5) m n m n a : a a, (6) m a n mn a, (7) m m m ab a b (b 0), (8) m m a a (b 0). (9) m b b Çàïèñü èñåë ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåïåíåé èñëà 10 (ñòàíäàðòíûé âèä èñëà) Åñëè ïîëîæèòåëüíîå èñëî a ïðåäñòàâëåíî â âèäå n a1 10, ãäå 1 a 1 10, n öåëîå èñëî, òî ãîâîðÿò, òî èñëî à çàïèñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèå 1. Ñîîòíåñèòå âûðàæåíèÿ ñ èõ çíà åíèÿìè À. Á. 1 4 Â. 1) ) ) 9 4 3

33 Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì: Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì: : 4 9. Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì: : : Îòâåò: À. 1; Á. 3; Â.. Çàäàíèå. Ðàñïîëîæèòå âûðàæåíèÿ ; ; ; 1 5 â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ çíà åíèé. Íàéäåì çíà åíèå êàæäîãî èñëîâîãî âûðàæåíèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì: Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì: :. Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì: 5 0 =1. Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì: Ñðàâíèì çíà åíèÿ ,,, çàäàííûõ èñëîâûõ âûðàæåíèé: ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 3

34 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 33 1 Îòâåò: ; ; ;. 5 Çàäàíèå 3. Âû èñëèòå: : Ïðåîáðàçóåì êàæäîå ñëàãàåìîå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñòåïåíåé. Â âûðàæåíèè 1 ïåðåéäåì ê ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì: Â âûðàæåíèè 4 : 4 ïðèìåíèì ñâîéñòâî (6): 3 5 3( 5) 4 : Ïî îïðåäåëåíèþ ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì Â èòîãå ïîëó èì : Îòâåò: 1. Çàäàíèå 4. Çàïèøèòå 0,003 â ñòàíäàðòíîì âèäå. òîáû ïðåäñòàâèòü èñëî 0,003 â ñòàíäàðòíîì âèäå, n íóæíî çàïèñàòü åãî â âèäå, a1 10, ãäå 1 a Ïåðåíåñåì çàïÿòóþ â èñëå 0,003 íà òðè çíàêà âïðàâî (òîëüêî â ýòîì ñëó àå ïîëó èì 1 3, < 10). Íî ïîñëå ïåðåíîñà çàïÿòîé ïîëó àåì èñëî 3,, êîòîðîå áîëüøå èñëà 0,003 â 10 3 ðàç, ïîýòîìó, òîáû èñëî íå èçìåíèëîñü, ðåçóëüòàò íóæíî óìíîæèòü íà Â èòîãå ïîëó èì, òî 0, 003 3, Îòâåò: 3, 10 3.

35 34 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 5. Ïåðåâåäèòå 155,4 ì â: à) êèëîìåòðû; á) ñàíòèìåòðû; â) ìèëëèìåòðû. À) Òàê êàê 1 êì 1000 ì, ðåøèì ïðîïîðöèþ 1êì1000 ì õ 155,4 ì, 1 õ 155, 4 0, Ïðîïîðöèþ ìîæíî çàìåíèòü ðàññóæäåíèÿìè î òîì, òî â 155,4 ì â òûñÿ ó ðàç ìåíüøå êèëîìåòðîâ, ïîýòîìó 155,4 : ,1554 êì. Îòâåò: 0,1554 êì, èëè 1, êì. Á)Òàêêàê1ì=100ñì, òî 155,4 ì = 155,4 100 ñì = ñì. Îòâåò: ñì, èëè 1, ñì. Â) Çíàÿ, òî â1ì 1000 ìì, íàéäåì, òî â 155,4 ì ìì. Îòâåò: ìì, èëè 1, ìì. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü Ñðåäè çíà åíèé âûðàæåíèé ; 3 ; 4 ; 5 óêàæèòå íàèáîëüøåå. 1) 1 ) 3 1 3) 4 1 4) Ñðåäè çíà åíèé âûðàæåíèé ; 3 ; 4 ; 5 óêàæèòå íàèìåíüøåå. 1) 1 ) 3 1 3) 4 1 4) Ñðåäè çíà åíèé âûðàæåíèé ; ; ; óêàæèòå íàèìåíüøåå. 1) 0 ) 1 3) 4) Ñðåäè çíà åíèé âûðàæåíèé ; ; ; óêàæèòå íàèáîëüøåå. 1) 0 ) 1 3) 4) 3

36 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ èñëî 1 ðàâíî 64 1) 3 ) 4 4 3) 4 3 4) Çíà åíèå âûðàæåíèÿ 5 1) 4 5 ) 4 5 ðàâíî 3) Ñîîòíåñèòå âûðàæåíèÿ ñ èõ çíà åíèÿìè 1 1 1) 4 1 ; ) ( 4) 1 ; 3). À. 4 Á. 1 4 Îòâåò:. 4 Â ) Ñðåäè çíà åíèé âûðàæåíèé (,); 01 0 (,) 01 1 ; (,); 01 01, 3 óêàæèòå íàèáîëüøåå. 1) (0,1) 0 ) (0,1) 1 3) (0,1) 4) (0,1) 3 9. Ðàñïîëîæèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èñëà: 0,0804; 0,08; 0,408. 1) 0,0804; 0,08; 0,408 3) 0,408; 0,08; 0,0804 ) 0,0804; 0,408; 0,08 4) 0,08; 0,0804; 0, Âû èñëèòå: ( 163 ) 4. Îòâåò:. 11. Âû èñëèòå: ( 5 51 ). Îòâåò:. 1. Âû èñëèòå: :. 3 Îòâåò:. 13. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ

37 36 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 14. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3 7 3, Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 18. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3 4 7, , Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ Ñðàâíèòå: 1 0 :, è Ñðàâíèòå: 15, 4 : 10 1 è 01,.. Ïðåäñòàâüòå èñëî â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) ) 069, 10 7 ) ) 69, Çàïèøèòå âûðàæåíèå â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) 017, ) 17, 10 ) 017, ) 17, Óêàæèòå èñëî, ðàâíîå 0, ) 4, ) 4,910 4 ) 4, ) 0, Çàïèøèòå âûðàæåíèå â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) 09, ) 09, 10 1 ) 9, 10 4) 9, Çàïèøèòå âûðàæåíèå â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) 019, ) 19, 10 4 ) 019, ) 19, 10..

38 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Óêàæèòå èñëî, ðàâíîå 0, ) 9, ) 9, ) 9, ) 0, Ïðåäñòàâüòå èñëî â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) ) 5, 10 6 ) 05, ) Óêàæèòå èñëî, ðàâíîå 0, ) 6, ) 6,310 3 ) 0, ) 6, Ïðåäñòàâüòå èñëî â ñòàíäàðòíîì âèäå. 1) ) ) 018, ) 18, Óêàæèòå èñëî, ðàâíîå 0, ) 8, ) 8,610 3 ) 0, ) 8, Âî ñêîëüêî ðàç èñëî 1 1 ìåíüøå èñëà ? 1) 10 ) 0,1 3) 100 4) 0, Âî ñêîëüêî ðàç èñëî 1 ìåíüøå èñëà 1? ) 10 ) 0,1 3) 100 4) 0, Âî ñêîëüêî ðàç èñëî 1 1 ìåíüøå èñëà? ) 10 ) 0,1 3) 100 4) 0, Âî ñêîëüêî ðàç îäèí ìèëëèîí ìåíüøå îäíîãî ìèëëèàðäà? 1) 10 ) ) 0,1 4) 36. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíî 15, ì. Âûðàçèòå ýòî ðàññòîÿíèå â êèëîìåòðàõ. 1) 15, ) 15, 10 8 ) 15, ) 15,

39 38 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 37. Ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíî 15, ì. Âûðàçèòå ýòî ðàññòîÿíèå â ìèëëèìåòðàõ. 1) 15, ) 15, ) 15, ) 15, 10 1 àñòü 38. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå ( a x ):( x 1 a 1 ) è íàéäèòå 1 1 åãî çíà åíèå ïðè x 3, a Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 4 x 5 è íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè x, y è íàéäèòå åãî çíà å- 40. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 4 9 íèå ïðè x 1, y. 3 3 y 4 xy 1.4. Êâàäðàòíûé êîðåíü. Êîðåíü òðåòüåé ñòåïåíè Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé ïî ïðåîáðàçîâàíèþ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ êîðíè âòîðîé è òðåòüåé ñòåïåíè, èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè íûå ñâîéñòâà êîðíåé. Âû èñëåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåáóþò ïîâûøåííîé êîíöåíòðàöèè âíèìàíèÿ. ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå. Àðèôìåòè åñêèì êâàäðàòíûì êîðíåì èç íåîòðèöàòåëüíîãî èñëà à íàçûâàþò íåîòðèöàòåëüíîå èñëî a, êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí à, ò.å. ( a) a, a 0. Ñâîéñòâà àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ (a 0) ab a b, a 0, b 0, (1) a a, a 0, b 0, () b b k k a ( a), a 0, k N. (3)

40 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 39 Äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî èñëà õ: x x (4) Îïðåäåëåíèå. Êîðíåì òðåòüåé ñòåïåíè èç èñëà à íàçûâàþò èñëî, òðåòüÿ ñòåïåíü êîòîðîãî ðàâíà à. Ñâîéñòâà êîðíÿ òðåòüåé ñòåïåíè ab a b, (5) 3 a a, b 0, (6) 3 b b n n a a, n N. (7) Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ a b a b a b, (8) a b a abb, (9) a b a abb, (10) 3 3 a b ( a b)( a abb ), (11) 3 3 a b ( a b)( a abb ). (1) Òàáëèöà êâàäðàòîâ èñåë îò 11 äî 5 11 = 11 1 = = = = 5 16 = = = = = = 441 = = 59 4 = = 65 Òàáëèöà êóáîâ èñåë îò äî 6 3 = = = = = 16 ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ñâîéñòâ àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ è êîðíÿ òðåòüåé ñòåïåíè Çàäàíèå 1. Âû èñëèòå: 81 0, ) 009, ) 0,09 3) 003, 4) äðóãîé îòâåò

41 40 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 1-é ñïîñîá Ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ðàâíî 0,0081. Òàê êàê 0,09 0,0081, òî ïî îïðåäåëåíèþ àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ 0, , 09. -é ñïîñîá Ïî ñâîéñòâó (1) ïîëó èì 81 0, , , 01 0, 09. Îòâåò:. Çàäàíèå. Âû èñëèòå: ) 5 ) 5 3) 5 4) äðóãîé îòâåò 1-é ñïîñîá Ïðèìåíèì ñâîéñòâî (6). Âíåñåì è èñëî 65, è èñëî 5 ïîä îáùèé êîðåíü é ñïîñîá Â èñëèòåëå ðàçëîæèì 65 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è âûíåñåì ìíîæèòåëü èç-ïîä çíàêà êîðíÿ. Îòâåò: Çàäàíèå 3. Âû èñëèòå: ( 3 ). Âîçâåäåì âî âòîðóþ ñòåïåíü êàæäûé èç ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèÿ ( 3 ) ( 3) ( ) Îòâåò: 18.

42 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 41 3 Çàäàíèå 4. Âû èñëèòå: ( 3 ) 3. Âîçâåäåì â òðåòüþ ñòåïåíü êàæäûé èç ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèÿ ( 3 ) ( 3) ( ) Îòâåò: 54. Çàäàíèå 5. Âû èñëèòå: ), ), 3) 0,44 4) äðóãîé îòâåò òîáû âû èñëèòü çíà åíèå àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç ñìåøàííîãî èñëà, ïåðåâåäåì ñìåøàííîå èñëî â íåïðàâèëüíóþ äðîáü è ïðèìåíèì ñâîéñòâî (): , Îòâåò: 1. Åñëè ñðàçó íå óäàåòñÿ âû èñëèòü çíà åíèå êîðíÿ, òî àñòî ïîìîãàåò ðàçëîæåíèå ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Çàäàíèå 6.Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ é ñïîñîá (íåïîñðåäñòâåííî) = é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè) Îòâåò: 60. Îöåíêà êâàäðàòíûõ êîðíåé ðàöèîíàëüíûìè èñëàìè Çàäàíèå 7. Êàæäîå èç èñåë 15, 17, 38 ñîîòíåñèòå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé åìó òî êîé íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé.

43 4 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Îïðåäåëèì, ìåæäó êàêèìè äâóìÿ ñîñåäíèìè öåëûìè èñëàìè íàõîäèòñÿ êàæäîå èç èñåë 15, 17, , çíà èò, èñëó 15 ñîîòâåòñòâóåò òî êà À , ïîýòîìó èñëó 17 ñîîòâåòñòâóåò òî êà Â , ñëåäîâàòåëüíî, èñëó 38 ñîîòâåòñòâóåò òî êà D. Îòâåò: 15 À, 17 B, 38 D. Ïðåîáðàçîâàíèå èñëîâûõ âûðàæåíèé Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè äðîáíûõ èñëîâûõ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ êîðíè, èíîãäà óìíîæåíèå èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íà âûðàæåíèå, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ, ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âèä âñåãî âûðàæåíèÿ. Çàäàíèå 8. Âû èñëèòå Îòâåò: 6. Ïðèâåäåì ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâà (4) ïðè ïðåîáðàçîâàíèè âûðàæåíèé (äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî èñëà x: x x). Çàäàíèå 9. Âû èñëèòå: ( 5 11) ( 3 11). Ðàññìîòðèì îòäåëüíî êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû. ( 5 11) 5 11.,òî ( 3 11) 3 11.,òî Òàê êàê Òàê êàê

44 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 43 Îêîí àòåëüíî èìååì: ( 5 11) ( 3 11) Îòâåò:. Ïðèåìû ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè èñëîâûõ âûðàæåíèé àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðàçëè íûå ïðèåìû ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Íàïîìíèì îñíîâíûå èç íèõ: 1) âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ; ) ãðóïïèðîâêà; 3) ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ Çàäàíèå 10. Ñîêðàòèòå äðîáü. 5 1) 5 ) 3 3) 1 4) 3 Ðàçëîæèì èñëèòåëü äàííîãî âûðàæåíèÿ íà ìíîæèòåëè Âûíåñåì îáùèé ìíîæèòåëü 5. Èìååì: Îòâåò: Çàäàíèå 11. Óïðîñòèòå äî öåëîãî èñëà âûðàæåíèå é ñïîñîá Ðàçëîæèì èñëèòåëü äàííîãî âûðàæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Â èñëèòåëå åòûðå ñëàãàåìûõ, ñãðóïïèðóåì èõ ïî äâà Ñëàãàåìûå â ïåðâûõ ñêîáêàõ èìåþò îáùèé ìíîæèòåëü 7.

45 44 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Èìååì: -é ñïîñîá Îòâåò: Çàäàíèå 1.Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Ïðèâåäåì äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ Â èñëèòåëå ïðèìåíèì ôîðìóëû êâàäðàòà ðàçíîñòè è êâàäðàòà ñóììû äâóõ âûðàæåíèé, à â çíàìåíàòåëå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. Ïîëó èì: Îêîí àòåëüíî èìååì: 3 6 Îòâåò: Âûðàæåíèÿ âèäà a b a b, a 0, b 0 Äëÿ âû èñëåíèÿ çíà åíèÿ âûðàæåíèé âèäà a b a b, a 0, b 0 ñíà àëà îáîçíà àþò ýòî âûðàæåíèå, íàïðèìåð À, ïîòîì âîçâîäÿò îáå àñòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò è, ó èòûâàÿ çíàê âûðàæåíèÿ À, çàïèñûâàþò îòâåò..

46 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 45 Çàäàíèå 13. Âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ öåëûì èñëîì. Íàéäèòå åãî. Ïóñòü A Ðàññìîòðèì À. A Òàê êàê À <0,òîA Îòâåò:. 4. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß 1. Âû èñëèòå: 009, 49. Îòâåò:. àñòü 1. Âû èñëèòå: 01, , 81. Îòâåò:. 3. Âû èñëèòå: Îòâåò: Âû èñëèòå: 15 0, 008. Îòâåò: Âû èñëèòå: 0, , 001. Îòâåò:. 6. Êàêîå èç äàííûõ âûðàæåíèé íå ðàâíî 1) 7 6 ) ) 7 3 7? 1 7. Âû èñëèòå: 3 8 0, ) 00, ) 0,0 3) 0, 4) 0, 8. Âû èñëèòå: Îòâåò:. 4) 14 4

47 46 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Âû èñëèòå: 9 3. Îòâåò:. 10. Âû èñëèòå: 18. Îòâåò:. 11. Êàêîå èç èñåë 0,, 9 900, 9000 ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì? 1) 09, 3) 9000 ) 900 4) íè îäíî èç ýòèõ èñåë Îòâåò: Âû èñëèòå: Îòâåò:. 13. Âû èñëèòå: Îòâåò:. 14. Âû èñëèòå: Îòâåò: Ñîêðàòèòå äðîáü. 7 1) 1 ) 7 3) 7 4) äðóãîé îòâåò 16. Ñîêðàòèòå äðîáü ) 3 ) 3) Ñîêðàòèòå äðîáü. 7 Îòâåò:. 4) äðóãîé îòâåò 18. Ñðàâíèòå âûðàæåíèÿ: a 6 8 è b 68. Îòâåò:.

48 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Ñðàâíèòå âûðàæåíèÿ: a 13 5 è b Îòâåò:. 0. Âû èñëèòå: ) 0 ) 5 3) 5 4) 5 1. Êàêîå öåëîå èñëî çàêëþ åíî ìåæäó èñëàìè 4 è 6? 1) 4 ) 5 3) 6 4) òàêèõ èñåë íåò. Êàêèå öåëûå èñëà çàêëþ åíû ìåæäó èñëàìè 11 è 9? 1) 1, 13, 8 3) 4, 5 ) 3, 4, 5 4) 4, 5, 6 3. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 7 è 7. 1) 3 ) 4 3) 5 4) Âû èñëèòå: Îòâåò:. 5. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 7 è 7. 1) 3 ) 4 3) 5 4) 4 7? 6. Âû èñëèòå: 64, 5,. Îòâåò: Âû èñëèòå:. 3 3 Îòâåò:. 8. Ñðàâíèòå 159 è 13. Îòâåò:. 9. Âû èñëèòå: Îòâåò:. 30. Âû èñëèòå: Îòâåò:. 3.

49 48 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Âû èñëèòå: Îòâåò:. 3. Îäíà èç òî åê, îòìå åííûõ íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, ñîîòâåòñòâóåò èñëó 34. Êàêàÿ ýòî òî êà? 1) A ) B 3) C 4) D àñòü 33. Äîêàæèòå, òî Âû èñëèòå: Âû èñëèòå: Âû èñëèòå: Âû èñëèòå: 6, 5 58, Âû èñëèòå: , 5, Ðàñïîëîæèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ; 3;8; Ðàñïîëîæèòå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ 3; 4; 3; Âûðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé ïî ïðåîáðàçîâàíèþ âûðàæåíèé èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè íûå ñâîéñòâà ñòåïåíè, àðèôìåòè- åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ, êîðíÿ òðåòüåé ñòåïåíè. Â ïåðâîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû îáû íî òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü îäíî èëè äâà äåéñòâèÿ äëÿ ïîëó åíèÿ ðåçóëüòàòà ïî ïðåîáðàçîâàíèþ öåëûõ è äðîáíûõ âûðàæåíèé. Âî âòîðîé àñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ìíîãîøàãîâûå, ïðè åì àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðàçëè íûå ìåòîäû ðàçëîæåíèÿ âûðàæåíèé íà ìíîæèòåëè.

50 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 49 ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ a b a b a b, (1) a b a abb, () a b a abb, (3) 3 3 a b ( a b)( a abb ), (4) a b a 3a b3 ab b, (5) 3 3 a b ( a b)( a abb ), (6) a b a 3a b3 ab b. (7) Ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè ax bx c a( x x )( x x ), a, (8) 1 0 ãäå õ 1 è õ êîðíè òðåõ ëåíà ax bx c. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Íàõîæäåíèå çíà åíèÿ âûðàæåíèÿ Çàäàíèå 1. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ x3 5 ïðè 5 x 5. Ïîäñòàâèì çíà åíèå ïåðåìåííîé õ â èñõîäíîå âûðàæåíèå. x Ïðè x 5 çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3 5 ðàâíî Îòâåò: Çàäàíèå. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ a b ïðè a 8; b 6.

51 50 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ïîäñòàâèì çíà åíèÿ a è b â èñõîäíîå âûðàæåíèå. a b 8 ( 6) Îòâåò: 7. Âûðàæåíèå ïåðåìåííîé èç ôîðìóëû Çàäàíèå 3. Âûðàçèòå èç ôîðìóëû ñêîðîñòè ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ v v0 at âðåìÿ t. Áóäåì äåéñòâîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíî: 1) âûðàçèì at; ) âûðàçèì âðåìÿ t. v v 1) at v v 0 ; ) t 0. a v v Îòâåò: t 0. a Ïðèåìû ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè âûðàæåíèé àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ðàçëè íûå ïðèåìû ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Íàïîìíèì îñíîâíûå èç íèõ: 1) âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ; ) ãðóïïèðîâêà; 3) ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ; 4) ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ 3 3 a 3 ab Çàäàíèå 4. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 3 3 b 1. Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè èñëèòåëü äðîáè, à çàòåì ñîêðàòèì íà îáùèé ìíîæèòåëü a 3 ab a1 3 b 3 a, ïðè åì 3 3 b 1 0, b 1 3 b ò.å. b ; b Îòâåò: a; b 1. 7

52 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ 51 Ãðóïïèðîâêà Çàäàíèå 5. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè õ y xy x y x  èñëèòåëå åòûðå ñëàãàåìûõ. Î åíü àñòî ïðè ðàçëîæåíèè íà ìíîæèòåëè âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùåãî åòûðå ñëàãàåìûõ, èñïîëüçóþò ãðóïïèðîâêó. xy x y x x( y1) y x( y1) ( y1) x x ( y1)( x) y 1, x 0, x 4. x Ïðè ó = 1100 èìååì: y Îòâåò: y 1, x 0, x 4; 109. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ Äëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèé ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ èñïîëüçóþò ôîðìóëû (1) (7). òîáû âûáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó, ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ïîêàçàòåëè ñòåïåíè îäíî ëåíîâ, âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå. Çàäàíèå 6. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè õ = 101. è x 4 x : è xx1 x31 Ê âûðàæåíèþ (õ 4) ïðèìåíèì ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, à ê âûðàæåíèþ (õ 3 1) ðàçíîñòè êóáîâ. x 4 x x x x : : 3 x x x x x x x x1 x x 1, x 1, x. Ïðè õ = 101 èìååì: x x Îòâåò: x x 1, x 1, x ; 9900.

53 5 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè Çàäàíèå 7. Êàêîå âûðàæåíèå íàäî ïîäñòàâèòü âìåñòî ìíîãîòî èÿ, òîáû áûëî âåðíûì ðàâåíñòâî 3õ õ 1 3( õ 1)(...)? òîáû ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíûé òðåõ ëåí 3õ x 1, ðåøèì óðàâíåíèå 3õ õ 1 0 (ñì. ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè (8)). Óðàâíåíèå èìååò êîðíè 1 è 1, ïîýòîìó 3 Îòâåò: õ õ õ 1 3( õ 1)( õ ). 3 1 Çàäàíèå 8.Óïðîñòèòå âûðàæåíèå a 7 a 6 è íàéäèòå a1 åãî çíà åíèå ïðè x , òîáû ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè èñëèòåëü, ðåøèì óðàâíåíèå a 7a 6 0 è ïðèìåíèì ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè (8). a 7a 6 a 1 a1 a6 a 6, a 1. a 1 Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííîé õ. Îñòàëîñü íàéòè çíà åíèå âûðàæåíèÿ x 6, x 1. Íàéäåì çíà åíèå õ èç âûðàæåíèÿ õ , Îáðàòèòå âíèìàíèå, òî ìîæíî ðàöèîíàëüíî âû èñëèòü çíà åíèå èñëîâîãî âûðàæåíèÿ â ñêîáêå, åñëè çàìåòèòü, 4 òî 1 1, 8. 5

54 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ ,,, Èòàê, ïðè õ = 11 x 6 =5. Îòâåò: x 6, x 1;5. Ïîêàæåì ïðèìåíåíèå âñåõ îñíîâíûõ ïðèåìîâ ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåãî çàäàíèÿ. Çàäàíèå 9. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 5x310xx x 3x : 5x 16x3 x33x9x 7 è íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ ïðè õ = 3,1. 5x310x x Ðàññìîòðèì ïåðâóþ äðîáü. 5x 16x 3 Â èñëèòåëå âñå òðè ñëàãàåìûõ èìåþò îáùèé ìíîæèòåëü (õ). Ïîñëå âûíåñåíèÿ îáùåãî ìíîæèòåëÿ ïîëó èì âûðàæåíèå 5x 10x 1, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàä- ðàò ðàçíîñòè, ò.å. 5x 10x 1 5x 1. Â çíàìåíàòåëå èñïîëüçóåì ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà, ò.å. 5x 16x 3 5( x x1)( x x), ãäå õ 1 è õ êîðíè óðàâíåíèÿ 5x 16x x 10x x x5x 1 Îêîí àòåëüíî èìååì:. 5x 16x 3 5x 3 x 0, Îáðàòèì âíèìàíèå íà âûðàæåíèÿ 5x 1 è x 0,. Åñëè ïåðâîå âûðàæåíèå ïðîäîëæèì ðàñêëàäûâàòü íà ìíîæèòåëè, òî ïîëó èì 5x 1 5 x 0,. Ó èòûâàÿ ýòî, ïðåîáðàçóåì çíàìåíàòåëü: 5( x 3)( x 0, ) x 3 5x 1. Èòàê, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà îáùèé ìíîæèòåëü äðîáü áóäåò x5x 1 x( 5x 1) èìåòü âèä:. 5x 3 x 0, x 3

55 54 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ðàññìîòðèì âòîðóþ äðîáü x 3x 3 x 3x 9x 7 Â èñëèòåëå âûíåñåì îáùèé ìíîæèòåëü (õ). Â çíàìåíàòåëå îáðàòèì âíèìàíèå íà èñëî ñëàãàåìûõ: èõ åòûðå. Èñïîëüçóåì ãðóïïèðîâêó, ò.å. 3 3 õ 3x 9x 7 x 3x 9x 3 x ( x 3) 9( x 3) x 9 x 3. Â ïåðâîì ìíîæèòåëå ïðèìåíèì ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ: x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3. Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà îáùèé ìíîæèòåëü äðîáü áóäåò èìåòü âèä: x 3x x x 3x 9x 7 x 3 3 Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîìó âûðàæåíèþ: x( 5x 1) 3 5 x 10x x 5x 16x 3 x x 3 x : x 3x., x 3. 3 x 3x 9x 7 : 5õ 1 x 3, x 3; x 0., 3 Ïðè x 31, çíà åíèå èñõîäíîãî âûðàæåíèÿ ðàâíî 53, 11 3, 13 1, 45. Îòâåò: 5õ 1 x 3, x 3, x 0, ; 1,45. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ïîêàçàòåëÿìè. Çàäàíèå 10. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå ab 3 3 a b 1 1 a b è íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè a 0, b 5. Ñíà àëà çàìåíèì ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ïîêàçàòåëÿìè íà ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè, ò.å. 1

56 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ a b 1 1 a b a b 1 ab. 1 1 ab a b Òåïåðü èçáàâèìñÿ îò äâóõýòàæíîñòè â èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå ïåðâîé äðîáè. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì äåéñòâèÿ â èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå a b 1 1 a b b a ab 1. ab 3 3 a b b a ab Îáðàòèì âíèìàíèå íà ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé. Ïðèìåíèì â èñëèòåëå ïåðâîé äðîáè ôîðìóëó ñóììû êóáîâ è ñîêðàòèì èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà îáùèé ìíîæèòåëü ab ( a b). Òîãäà âûðàæåíèå áóäåò èìåòü âèä: 3 3 b a ab 1 a ab b 1, a b. 3 3 a b b a ab a b ab Ïðèâåäåì äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ: 0, b 5 çíà åíèå èñõîäíîãî âûðàæå- Èòàê, ïðè a íèÿ ðàâíî Îòâåò: a ab b a b a b a b a b a b ,. 100, a b; 0,05. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ a 4b a 10; b 4. Îòâåò:.. ïðè

57 56 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ m 3 7 ïðè m 7. 7 Îòâåò:. 3. Èç ôîðìóëû êèíåòè åñêîé ýíåðãèè Å ñêîðîñòü. E 1) v m Ek ) v m k mv âûðàçèòå ê E 3) v m Ek 4) v m D n 4. Èç ôîðìóëû ìîùíîñòè àâòîìîáèëÿ P, ãäå 16 Ð ìîùíîñòü â ëîøàäèíûõ ñèëàõ, D äèàìåòð öèëèíäðà, n èñëî öèëèíäðîâ, âûðàçèòå n. P 1) n 16 D 3) n 16 D P P ) n 16PD 4) n 16 D 5. Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì 3 x : x. Îòâåò:. 6. Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì Îòâåò:. k x Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñòåïåíè ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì 5 x x. 3 x 1) x ) x 3) x 1 4) x 8. Óêàæèòå âûðàæåíèå, ðàâíîå ñòåïåíè 4 1) 4 n 16 ) 4 n n 4 3) 16 4 n. 4) 4 n

58 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñòåïåíè ïðîèçâåäåíèå 9 3 n. 1) 3 n ) 9 n 1 3) 3 n 10. Âûïîëíèòå âû èòàíèå x 7 x144x. Îòâåò:. 11. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 4m 1 8m. 1) 4m 8m 4 3) 4m 4 ) 4m 8m 4 4) 4m 1 4) 7 n 1. Óêàæèòå âûðàæåíèå, òîæäåñòâåííî ðàâíîå ìíîãî ëåíó 8a 1ab. 1) 4aa 3b 3) 4aa 3b ) 4a a 3b 4) 4aa 3b 13. Â âûðàæåíèè 3a 9ab âûíåñëè çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü 3a. Êàêîé äâó ëåí îñòàëñÿ â ñêîáêàõ? 1) a 3b ) a 3b 3) a 3b 4) a 3b 14. Ïðåîáðàçóéòå â ìíîãî ëåí âûðàæåíèå Îòâåò:. 6pp p Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíûé òðåõ ëåí 3x 9x 1. 1) 3x 1 x 4 3) 3x 1 x 4 ) 3x 1 x 4 4) 3x 1 x 4 b 16. Ñîêðàòèòå äðîáü 4 1 b 9 Îòâåò:. 17. Ñîêðàòèòå äðîáü a 7 b b 3 3 a 3b 1) a 3ab9b 3) a 3abb.. ) a 3ab9b 4) a 6abb

59 58 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 18. Êàêîå èç âûðàæåíèé òîæäåñòâåííî äðîáè a b? 3b a 1) ) a b a 3b b a 3b a 19. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 9 3 ïðè x 100 è y 99. Îòâåò:. 3) b a a 3b a 4) x y x xy 0. Íàéäèòå ðàçíîñòü âûðàæåíèé 6 Îòâåò:. 1. Íàéäèòå ðàçíîñòü âûðàæåíèé 1) ) 1 a 1 a. Âûïîëíèòå óìíîæåíèå 1) ) 1 b c 3b 3c 3) 4) b 3b a è íàéäèòå åãî çíà åíèå x x 1 a 3x.. a a a a 1 a c 3b 9c. b9c 6c 3) 4) 1 bc c 1 bc 6c 3. Âûïîëíèòå óìíîæåíèå ab b Îòâåò:. 4. Âûïîëíèòå äåëåíèå ab b a. a b Îòâåò:. a b :. b

60 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Îòâåò:. 1 4x 1 x. 6x 5 6. Â êàêîì ñëó àå âûðàæåíèå ïðåîáðàçîâàíî â òîæäåñòâåííî ðàâíîå 1) (4 à)(à 4) 16 à ) (à 4) 16 8à + à 3) 4(à b) 4a b 4) (4 a) 16 + a 7. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Îòâåò:. 8. Â âûðàæåíèå x y óïðîñòèòå åãî. Îòâåò:. 9. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè y xy x 4y y x a b ïîäñòàâüòå x, y ab è a b a b y y 1) 7 ) 7 3) 30. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå a b a b ) ) a b 3) a+b 4) 31. Ñîêðàòèòå äðîáü a 81 b. a 9 b 1) a 9 b 3) a 3 b ) a 9 b 4) a 3 b 3. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 1a 48a 147a. 4) 1 7 Îòâåò:. 1 ab

61 60 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß àñòü Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè x y xy x y. 34. Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè 9x 1xy4y 3x y. 35. Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè p 3m 4p 9m. 36. Ñîêðàòèòå äðîáü 3x x 1. 6x 37. Ñîêðàòèòå äðîáü 9a 6a 1 6ax x 3a Óïðîñòèòå âûðàæåíèå xy x y åíèå ïðè õ y Ñîêðàòèòå äðîáü 3 64x 7 x 1 16x 1x Óïðîñòèòå âûðàæåíèå x x x 5 x Óïðîñòèòå âûðàæåíèå x x x 4. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå çíà åíèå ïðè m 075,. 43. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå m x 1 3 m 1 1 m n 8 7 n n è íàéäèòå åãî çíà- x 5 :. 1 m 3 x x 3. 3 x 5x 6 è íàéäèòå åãî Äîêàæèòå, òî çíà åíèå âûðàæåíèÿ íå çàâèñèò îò äîïóñòèìûõ çíà åíèé ïåðåìåííîé x 36 x 6 3 x x 4 x Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 3 3 x x : 8x õ x x è íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè x = Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè x x. n.

62 Òåìà 1. ÈÑËÀ È ÂÛÐÀÆÅÍÈß. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè p x p y nx ny p n. 48. Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè m x 3m x 4m x 3x Óïðîñòèòå âûðàæåíèå x 3 7 9x 6 : 1 x 9 x 3 x Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 5 4 x x 1 x 4x 16 x 51. Äîêàæèòå, òî çíà åíèå âûðàæåíèÿ x m a x ma x b ( ) 4 4 ( x a) x ( ab) x4ab x4a xm íå çàâèñèò îò äîïóñòèìûõ çíà åíèé ïåðåìåííîé a. n Óïðîñòèòå âûðàæåíèå. n n Óïðîñòèòå âûðàæåíèå n n1. n Ñîêðàòèòå äðîáü n n 3 n 55. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå çíà åíèå ïðè õ 081,. 56. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 1 x. x 9 x 1 x x 3 x 1 è íàéäèòå åãî çíà åíèå ïðè y 001,. 57. Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ x x. : è íàéäèòå åãî 7 7 7y 1 y 7y 7yy : 4914yy 4 4 ïðè õ Íàéäèòå çíà åíèå âûðàæåíèÿ 3x 1 3x 1 ïðè x Çíà åíèå âûðàæåíèÿ 50 x6 x9 x6 x9 ïðè õ 9,0169 ÿâëÿåòñÿ öåëûì èñëîì. Íàéäèòå åãî.

63 6 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå. Êîðíåì óðàâíåíèÿ ñ îäíèì íåèçâåñòíûì íàçûâàþò çíà åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî. Îïðåäåëåíèå. Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì çíà èò íàéòè âñå åãî êîðíè èëè äîêàçàòü, òî êîðíåé íåò. Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ íàçûâàþò óðàâíåíèÿ âèäà ax b, ãäå õ íåèçâåñòíîå, à è b íåêîòîðûå èñëà; à íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b ñâîáîäíûì ëåíîì. Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ íàçûâàþò óðàâíåíèÿ âèäà ax bx c 0, ãäå õ íåèçâåñòíîå, à, b è ñ íåêîòîðûå èñëà (êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ), ïðè åì a 0. à íàçûâàþò ïåðâûì (ñòàðøèì) êîýôôèöèåíòîì, b âòîðûì êîýôôèöèåíòîì, ñ ñâîáîäíûì ëåíîì. Åñëè â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 0 (êðîìå, êîíå íî, êîýôôèöèåíòà ïðè õ ), òî óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì. Âûðàæåíèå D b 4 ac (1) íàçûâàþò äèñêðèìèíàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax bx c 0. Ïî äèñêðèìèíàíòó êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò, ñêîëüêî îíî èìååò êîðíåé: åñëè D > 0, òî óðàâíåíèå èìååò äâà ðàçëè íûõ êîðíÿ; åñëè D 0, òî óðàâíåíèå èìååò îäèí êîðåíü (èëè äâà ñîâïàâøèõ êîðíÿ); åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ôîðìóëû êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ Êîðíè óðàâíåíèÿ ax bx c 0 íàõîäÿò ïî ôîðìóëå b D x. () a

64 Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß 63 Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, â êîòîðîì âòîðîé êîýôôèöèåíò åòíîå èñëî, ìîæíî âû èñëÿòü ïî ôîðìóëå x b D 4, ãäå D b ac a 4. (3) Òåîðåìà Âèåòà Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x pxq 0 èìååò êîðíè, òî ñóììà êîðíåé ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå êîðíåé ðàâíî ñâîáîäíîìó ëåíó, ò.å. åñëè õ 1 è õ êîðíè óðàâíåíèÿ x px q 0,òî x1 x p; (4) x1 x q. Îáðàòíàÿ òåîðåìà Âèåòà Åñëè ñóììà äâóõ èñåë ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñâîáîäíîìó ëåíó, òî ýòè èñëà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ò.å. åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ x1 x p; x1 x q, òî õ 1 è õ êîðíè óðàâíåíèÿ x px q 0. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ Ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñëàãàåìûå ñ íåèçâåñòíûì îáû íî ïåðåíîñÿò â ëåâóþ àñòü óðàâíåíèÿ, à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå â ïðàâóþ àñòü. Ïðè ýòîì ïåðåíîñå íàäî èçìåíèòü çíàê âñåõ ñëàãàåìûõ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.

65 64 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 1.Ðåøèòå óðàâíåíèå 3(õ ) 5 õ. Ñíà àëà ðàñêðîåì ñêîáêè. 3x 6 5x 3x x 56 x 9. Óðàâíåíèå åùå íå ðåøåíî. Íàäî íàéòè çíà åíèå ïåðåìåííîé õ, àíå(õ). õ 9. Îòâåò: 9. Çàäàíèå. Íàéäèòå êîðíè óðàâíåíèÿ m m 375,. 3 1 Â ëåâîé àñòè óðàâíåíèÿ äðîáè ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè. Ïðèâåäåì èõ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. 4m m 375, m 375, 1 Îñòàåòñÿ ðàçäåëèòü è ëåâóþ, è ïðàâóþ àñòü óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè íåèçâåñòíîì, ò.å. íà m 375, : 1 m 375, 1. 5 Ïðè óìíîæåíèè ìîæíî ëèáî èñëî 3,75 ïåðåâåñòè â îáûêíîâåííóþ äðîáü (ïîëåçíî çíàòü, òî 3 075, ), ëèáî 4 èñëî 1 ïåðåâåñòè â äåñÿòè íóþ (ðàçäåëèâ 1 íà 5). 5 Îòâåò: m 4 5 m 9.

66 Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß 65 Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøèòü áåç ïðèìåíåíèÿ îñíîâíîé ôîðìóëû () êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. Çàäàíèå 3. Êàæäîå óðàâíåíèå ñîîòíåñèòå ñ ìíîæåñòâîì åãî êîðíåé. À. 05, x x 0 Á. 05, x 0 Â. 05, x 0 1) 0 ) è 3) 0 è 4 Ðåøèì ñíà àëà ïåðâîå óðàâíåíèå. Âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü. x(, 05x ) 0 õ 0 èëè 05, õ 0 õ 0 èëè õ : 05, õ 0 èëè õ 4. Èòàê, êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ èñëà 0è4. Ðåøèì âòîðîå óðàâíåíèå. Âûðàçèì õ, ò.å. x : 05, x 4. Êîðíÿìè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ èñëà è. Îñòàëîñü ðåøèòü òðåòüå óðàâíåíèå. Ïðè ðåøåíèè åãî òîæå âûðàçèì õ. x 0. Òîëüêî èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ åãî êîðíåì. Îñòàåòñÿ çàïèñàòü îòâåò. Îòâåò: À. 3; Á. ; Â. 1. Çàìå àíèå: ñîîòíåñòè äàííûå óðàâíåíèÿ ñ ìíîæåñòâîì èõ êîðíåé ìîæíî è ïðîùå, ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé: ïåðâîå óðàâíåíèå èìååò äâà ðàçëè íûõ êîðíÿ íóëü è äðóãîå èñëî, êîðíÿìè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ äâà ïðîòèâîïîëîæíûõ èñëà, êîðíåì òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òîëüêî èñëî íóëü. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ íå ðàâåí 0.

67 66 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x x 1 0. Ïî îñíîâíîé ôîðìóëå êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ b D () x. Â äàííîì óðàâíåíèè a 3, b, a c 1, ïîýòîìó D 43( 1) 16. Èìååì: x ( ) 16, x Îòâåò: 1;. 3 Çàìå àíèå: ïîäñ èòàåì ñóììó êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ: 3()(1) 0. èñëî 1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ýòî âåðíî è â îáùåì ñëó àå, ò.å. åñëè ìû ðåøàåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ax bx c 0 è ñóììà åãî êîýôôèöè- åíòîâ ðàâíà íóëþ a bc 0, òî îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâåí 1. Çàäàíèå 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 01, 09, x.âîò- âåòå óêàæèòå ïðîèçâåäåíèå åãî êîðíåé. Ïåðåíåñåì ñëàãàåìûå â ëåâóþ àñòü óðàâíåíèÿ. x 01, 09, x 0 x 09, x 01, 0. òîáû èçáàâèòüñÿ îò äåñÿòè íûõ äðîáåé, óìíîæèì îáå àñòè óðàâíåíèÿ íà x 9x 1 0 D x x 1 èëè õ 01,. Íå çàáóäåì, òî â çàäàíèè åñòü äîïîëíèòåëüíûé âîïðîñ. Ïðîèçâåäåíèå êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâíî 0,1. Îòâåò: 0,1.

68 Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß 67 Çàìå àíèå: íà äîïîëíèòåëüíûé âîïðîñ â çàäàíèè ìîæíî áûëî îòâåòèòü, äàæå íå íàõîäÿ êîðíåé óðàâíåíèÿ. Âñïîìíèòå ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Âèåòà (4). Ïîñëå òîãî êàê âû óáåäèëèñü â ñóùåñòâîâàíèè êîðíåé (D > 0), ìîæíî ïðîñòî íàéòè èõ ïðîèçâåäåíèå. Èç äâóõ óðàâíåíèé x 09, x 01, 0 è 10x 9x 1 0 òîëüêî ïåðâîå ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåííûì, ïîýòîìó òåîðåìó Âèåòà ïðèìåíÿåì ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ: x1 x 01,. Åñëè â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè êîýôôèöèåíò ïðè õ åòíûé, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3) äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ åòíûì âòîðûì êîýôôèöèåíòîì. Çàäàíèå 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 3x  óðàâíåíèè a 1, b 3, c é ñïîñîá Ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ óðàâíåíèé ñ åòíûì âòîðûì êîýôôèöèåíòîì (3). -é ñïîñîá D x 1 x 31 èëè õ 1. Ïðèìåíèì îñíîâíóþ ôîðìóëó (). D x. 1 Îòâåò: 1; 31. Çàìå àíèå: â óðàâíåíèè x 3x 31 0 ñóììà êîýôôèöèåíòîâ 1 (3) 310, ïîýòîìó 1 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. À âòîðîé êîðåíü ìîæíî íàéòè ïî òåîðåìå Âèåòà, òàê êàê x x 1x 31,òîx 31. 1

69 68 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x 4x 3 0. Â îòâåòå óêàæèòå áîëüøèé êîðåíü. Â ëåâîé àñòè óðàâíåíèÿ çàïèñàíî ïðîèçâåäåíèå, ïðè åì ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 0. 3x 4x 3 0 3x 0 èëè 4x 3 0 x 3 èëè õ 3 4. òîáû âûáðàòü áîëüøèé êîðåíü, ìîæíî ëèáî ïðèâåñòè äðîáè ê îäíîìó çíàìåíàòåëþ è ñðàâíèòü èñëèòåëè äðîáåé 8 ; 3 9, ëèáî ïåðåâåñòè îáå äðîáè â äåñÿòè íûå äðîáè 0, ,( 6), 3 075,. 3 4 Îòâåò: 0,75. Â êóðñå àëãåáðû ðàññìàòðèâàþò òàêæå ðàçëè íûå óðàâíåíèÿ, ñâîäèìûå ê ðåøåíèþ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé Óðàâíåíèÿ, ñòåïåíü êîòîðûõ âûøå âòîðîé, îáû íî ðåøàþòñÿ äâóìÿ îñíîâíûìè ìåòîäàìè: ââåäåíèåì íîâîé ïåðåìåííîé è ðàçëîæåíèåì íà ìíîæèòåëè. Ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé Çàäàíèå 8. Íàéäèòå êîðíè óðàâíåíèÿ x 11x Çàìå àíèå: óðàâíåíèÿ âèäà ax bx c 0, ãäå a 0, ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðàòíûìè îòíîñèòåëüíî õ, íàçûâàþò áèêâàäðàòíûìè óðàâíåíèÿìè. Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ñâåñòè ê êâàäðàòíîìó ñ ïîìîùüþ çàìåíû a x.

70 Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß 69 x a 11x Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííîé õ. a x 11a 1 0 a 1 èëè a 1. õ 1 èëè õ 1. Ïåðâîå óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò, à âòîðîå óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ 1 3 è 1 3. Îòâåò: 3. Çàìå àíèå: óðàâíåíèå x 11 x 1 0 òîæå ìîæíî ñâåñòè ê êâàäðàòíîìó a 11a 1 0 çàìåíîé a x. Ïðàâ- äà, òîãäà, ïîñëå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé à, ïðèäåòñÿ ðåøàòü ïðîñòåéøèå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ: x 1, x 1. È êîðíåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò òîëüêî Íå âñåãäà çàìåíà ïåðåìåííîé òàê î åâèäíà, êàê ïðè ðåøåíèè áèêâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Çàäàíèå 9.Íàéäèòå íàèìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ 4. x 3 3x 18õ 1 0 Ðàññìîòðèì ïåðâîå ñëàãàåìîå x 3 4. Âñïîìíèì, òî. x 3 x 6x 9 Ñãðóïïèðóåì âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå 3x 18õ. Åñëè âûíåñòè îáùèé ìíîæèòåëü 3 çà ñêîáêè, òîãäà èìååì 3( x 6x). Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ a x 3, a 0, òîãäà 3x 18õ 3x 18õ õ 6õ 9 7 3a 7. Èñõîäíîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä a 3a Ïîëó èëè êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé à. Ðåøèì åãî.

71 70 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß a 3a 8 0 a 7 èëè à 4 a 7 ïîñòîðîííèé êîðåíü. Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííîé õ. x 3 4. Êàê ïðîùå ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå? 1-é ñïîñîá. Ðàñêðûòü êâàäðàò ñóììû è ïðèìåíèòü îñíîâíóþ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. -é ñïîñîá. Ïåðåíåñòè 4 â ëåâóþ àñòü è ïðèìåíèòü ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. 3-é ñïîñîá. Èçâëå ü êâàäðàòíûé êîðåíü èç îáåèõ àñòåé óðàâíåíèÿ. x 3 èëè x 3. x 1 èëè x 5. Ïðåæäå åì çàïèñàòü îòâåò, âñïîìíèòå, íà êàêîé âîïðîñ òðåáóåòñÿ îòâåòèòü â çàäàíèè. Îòâåò:5. Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè Ïðåæäå åì ïðèñòóïàòü ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ äàííîãî ìåòîäà, ñîâåòóåì ïîâòîðèòü òåìó «èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé». Çàäàíèå 10. Ñêîëüêî êîðíåé èìååò óðàâíåíèå 3 x 3x 3x 96 0? 1) 1 ) 3) 3 4) 0 Â ëåâîé àñòè óðàâíåíèÿ åòûðå ñëàãàåìûõ, ïîýòîìó ïðèìåíÿåì ìåòîä ãðóïïèðîâêè. 3 x 3x 3x 96 0 x ( x 3) 3( x 3) 0 x x

72 Òåìà. ÓÐÀÂÍÅÍÈß 71 Ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 0, çíà èò, x 3 0 èëè x 3 0. Óðàâíåíèå èìååò òðè êîðíÿ: 3; 4. Îòâåò: 3. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 5( x 4) 6x 5. Îòâåò:. õ. Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ 4 3. Îòâåò:. 3. Êàêîå èç óðàâíåíèé èìååò áåñêîíå íîå èñëî êîðíåé? 1) 0õ 0 ) 0õ 1 3) 0õ 0 4) 0õ 0 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå m 4 m Îòâåò:. 5. Íàéäèòå êîðíè óðàâíåíèÿ 1 x 3 0x 1 0,. Îòâåò:. 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4n 105, 5n 3 n 15,. Îòâåò:. 7. Êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 5x 5 èñëî 1) 5 3) 1 5 ) 1 5 4) 5 8. Íàéäèòå êîðíè óðàâíåíèÿ k 3 0. Îòâåò:. ÿâëÿåòñÿ

73 7 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 9. Íàéäèòå êîðíè óðàâíåíèÿ k 3k 0. Îòâåò:. 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå 9x x 0. Â îòâåòå óêàæèòå 5 íàèìåíüøèé èç åãî êîðíåé. 1) 5 ) 0 3) 9 1 4) Óêàæèòå âåðíóþ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ kx mx n 0. m m kn 1) x 4 n n k 3) x 4 k m m kn ) x 4 4) x 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 6x 7 0. m m 4kn k 1) 3 ; 3 3) 6 ; 6 ) 3 3; 3 3 4) 3 ; Êàæäîå óðàâíåíèå ñîîòíåñèòå ñ ìíîæåñòâîì åãî êîðíåé. 1) 0, x 5x 0; ) 0, x 5 0; 3) 0, x 0. a) 0; á) 5 è 5; â) 0 è Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ x 3x ) 1 ) 3) 5 4),5 15. Óêàæèòå íàèìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ Îòâåò:. x x 4. y Ðåøèòå óðàâíåíèå 0. y7 y9 Îòâåò:. y7 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå 0. y7 y9 Îòâåò:.

74 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ðåøèòå óðàâíåíèå Îòâåò:. 19. Ðåøèòå óðàâíåíèå Îòâåò:. 0. Ðåøèòå óðàâíåíèå y 7 y 9 y 7 y 7 y 9 6 x4 Îòâåò:. y x 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 3 x 14 x Îòâåò:.. Ðåøèòå óðàâíåíèå x 5 x 7 x 1 Îòâåò: Óêàæèòå êîëè åñòâî êîðíåé óðàâíåíèÿ x 8 x Îòâåò:. x. x 4. Íàéäèòå ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ Îòâåò:. x 8x 7 0. Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæíî ðåøèòü ðàçëè íûìè ìåòîäàìè. Â ïåðâîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû òðåáóåòñÿ ðåøèòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ëèáî ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè, ëèáî ìåòîäîì ñëîæåíèÿ, ëèáî ãðàôè åñêèì ìåòîäîì. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì óðàâíåíèé èç âòîðîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ñïåöèàëüíûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, â àñòíîñòè ìåòîä ââåäåíèÿ íîâûõ íåèçâåñòíûõ, à òàêæå ðåøàòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ïàðàìåòðîì.

75 74 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà åíèé íåèçâåñòíûõ, îáðàùàþùàÿ êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû â âåðíîå ðàâåíñòâî. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Ìåòîä ïîäñòàíîâêè Çàäàíèå 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé xy 10, x y 1. Ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âûðàçèì íåèçâåñòíîå õ åðåç y è ïîäñòàâèì â ïåðâîå óðàâíåíèå. y1 y 10, x y1. Ðåøèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. y1 y 10 y y10 0 D y 19 4 y èëè y 5,. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà åíèÿ õ ìîæíî íàéòè, ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà åíèÿ ó â îäíî èç óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû, íàïðèìåð âî âòîðîå óðàâíåíèå. y, x 1; y, x 5. èëè y 5, x ( 5, ) 1; Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê: 5 ;, 4; 5, x 5, y ; x 4, y 5,. 1 1 Îòâåò:5;, 4; 5,. y 5,, x 4. èëè òàê:

76 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 75 Ìåòîä ñëîæåíèÿ Çàäàíèå. Íàéäèòå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé 3x 5y 13, 3x 5y 7. 1-é ñïîñîá. Ìåòîä ñëîæåíèÿ Ñëîæèì îáà óðàâíåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû 3x 5y( 3x 5y) 137 6x 6 x 1 Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà åíèå ó, ïîäñòàâèâ íàéäåííîå çíà åíèå õ â ëþáîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû, íàïðèìåð â ïåðâîå. 315y 13, x 1; y, x 1. -é ñïîñîá. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè Âûðàçèì õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ x 135 y è ïîäñòà- 3 âèì âî âòîðîå óðàâíåíèå: 135y x, 3 135y 3 5y 7. 3 Ðåøèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. 13 5y5y 7 10y 0 y Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà åíèå õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ Îòâåò: (1; ). x 135, x 1. 3

77 76 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 3. Âû èñëèòå êîîðäèíàòû òî êè ïåðåñå åíèÿ ïðÿìûõ 6x 5y 1, 7x 3y 10. Òî êà ïåðåñå åíèÿ ïðÿìûõ ïðèíàäëåæàò êàê ïåðâîé ïðÿìîé, òàê è âòîðîé ïðÿìîé, ïîýòîìó, òîáû íàéòè åå êîîðäèíàòû, íàäî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: 6x 5y 1, 7x 3y 10. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè â äàííîì ñëó àå íåóäîáåí, òàê êàê íàäî âûðàæàòü ïåðåìåííûå è ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ äåëèòü ëèáî íà 6, ëèáî íà 5, ëèáî íà 7, ëèáî íà 3. Ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ìåòîä ñëîæåíèÿ. Êàê ïîëó èòü ñëàãàåìûå, îòëè àþùèåñÿ òîëüêî çíàêîì? Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà (7), à âòîðîå íà 6. 6x 5y 1, ( 7) 7x 3y 10; 6 Ïî ëåííî ñëîæèì óðàâíåíèÿ. 4x 35y 7, 4x 18y 60. 4x 35y4x 18y 7 ( 60) 53y 53 y 1. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà åíèå ó â ëþáîå èç óðàâíåíèé èñõîäíîé ñèñòåìû, íàïðèìåð âî âòîðîå. Îòâåò: ( 1; 1). y 1, 7x 31 10; y 1, x 1. Ìåòîä ââåäåíèÿ íîâûõ íåèçâåñòíûõ Çàäàíèå 4. Íàéäèòå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé 10 xy xy 4 15 xy xy 1, 1.

78 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 77 1) ( 35, ; 15, ) 3) (,; 35 15,) ) (,; 35 15,) 4) ( 35, ; 15, ) Ââåäåíèå íîâûõ íåèçâåñòíûõ ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âèä âûðàæåíèé, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó óðàâíåíèé. Â äàííîì ñëó àå ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùèå íåèçâåñòíûå 1 1 a, b, òîãäà ïîëó èì ñèñòåìó xy xy 10ba 1, 4a 15b 1. Äàëåå ïðèìåíÿåì óæå èçâåñòíûå ìåòîäû: ìåòîä ïîäñòàíîâêè èëè ìåòîä ñëîæåíèÿ. Ó èòûâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ, âûáåðåì äëÿ ðåøåíèÿ ìåòîä ñëîæåíèÿ. òîáû ïîëó èòü ñëàãàåìûå, îòëè àþùèåñÿ òîëüêî çíàêîì, óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà. 10ba 1, 4a 15b 1. 0b4a, 4a 15b 1. Ñëîæèì óðàâíåíèÿ. Ïîëó èì 5b 1, b 0,. Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà åíèå ïåðåìåííîé à, ïîäñòàâèâ â ëþáîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû çíà åíèå b (*). a 05,, b 0,. Âåðíåìñÿ ê ïåðåìåííûì õ è ó. 1 x y 1 xy 05,, 0,. x y, x y 5. Äàëåå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ðåøèòü ëèáî ìåòîäîì ñëîæåíèÿ, ëèáî ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Îêîí àòåëüíî ïîëó- àåì: x 35,, y 15,. Îòâåò:3. (*)

79 78 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàìå àíèå: ïîëó èòü ïðàâèëüíûé îòâåò â çàäàíèè 4 ìîæíî è èíà å, íàïðèìåð, ïîî åðåäíî ïîäñòàâèâ âîçìîæíûå ðåøåíèÿ èç âàðèàíòîâ 1), ), 3), 4) â ñèñòåìó è ïðîâåðÿÿ, íå ïîëó èëè ëè ìû âåðíîå ðàâåíñòâî. Çäåñü ãëàâíîå íå îøèáèòüñÿ â âû èñëåíèÿõ. Çàäàíèå 5. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò ñèñòåìà óðàâíåíèé? x y 8, x y 4 5. y x Ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Åñëè îáîçíà èì x a, òî y 1 4. Èìååì óðàâíåíèå a 5. Ýòî äðîáíî-ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (ñì. ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé y x a a â òåìå «Óðàâíåíèÿ»). Ðåøèì åãî. a 5a4 0. a Åãî êîðíè 1è4. Âåðíåìñÿ ê íåèçâåñòíûì õ è ó. Èñõîäíàÿ ñèñòåìà ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ñèñòåìû: x y 8, x y 8, x (I) èëè x 1; (II) 4; y y x y 8, x y 8, (I) èëè (II) x y; x 4y. Ðåøåíèåì ñèñòåìû ( I ) ÿâëÿåòñÿ ïàðà èñåë (4; 4). Ðåøåíèåì ñèñòåìû ( II ) ÿâëÿåòñÿ ïàðà èñåë (6,4; 1,6). Èñõîäíàÿ ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ. Îòâåò: äâà ðåøåíèÿ. Ãðàôè åñêèé ìåòîä Çàäàíèå 6. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ïàðàáîëà è òðè ïðÿìûå. Óêàæèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ èìååò ðåøåíèÿ.

80 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 79 y x 1) 7, y x 3) 7, y x 10. y 8 0. y x ) 7, 4) âñå òðè óêàçàííûå ñèñòåìû x 6 0. Êàæäàÿ ñèñòåìà ñîäåðæèò óðàâíåíèå ïàðàáîëû y x 7 è óðàâíåíèå ïðÿìîé. Åñëè ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ, òî ïàðàáîëà è ïðÿìàÿ äîëæíû èìåòü äâå îáùèå òî êè. Ïðîàíàëèçèðóåì ðèñóíîê. Ïðÿìàÿ y x 10 è ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ñèñòåìà èç âàðèàíòà 1) ðåøåíèé íå èìååò. Ïðÿìàÿ õ 6 0 è ïàðàáîëà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî êå (ýòî ìîæíî çàìåòèòü, åñëè ìûñëåííî ïðîäëèòü ïàðàáîëó è ïðÿìóþ). Ñèñòåìà èç âàðèàíòà ) èìååò îäíî ðåøåíèå. Ïðÿìàÿ ó 8 0 è ïàðàáîëà ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî êàõ (ýòî ìîæíî çàìåòèòü, åñëè ìûñëåííî ïðîäëèòü ïàðàáîëó è ïðÿìóþ). Çíà èò, îòâåò íà âîïðîñ çàäà è ñèñòåìà èç âàðèàíòà 3. Îòâåò:3.

81 80 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 7. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y x 4x 3 è y x 3. Èñïîëüçóÿ ãðàôèêè, ðå- øèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé y x x 4 3, y x 3. Êîîðäèíàòû êàæäîé èç òî åê ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû y x 4x 3 è ïðÿìîé y x 3 óäîâëåòâîðÿþò êàê ïåðâîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû, òàê è âòîðîìó, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû. Îñòàåòñÿ íàéòè êîîðäèíàòû ýòèõ òî åê. 3; 0, 0; 3. Îòâåò: ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x y 7, 3x 4y 19. Îòâåò:.. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé xy 6, x y 1. Îòâåò:.

82 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Âû èñëèòå êîîðäèíàòû òî êè ïåðåñå åíèÿ ïðÿìûõ x 3y 8, 4x y 0. Îòâåò:. 4. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé Îòâåò:. 5x 7y 31, 5x 7y Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé Îòâåò:. 3x 11y 36, 3x 11y Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ïàðàáîëà è òðè ïðÿìûå. Óêàæèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ èìååò ðåøåíèÿ. y x 1), y x 10. y x ), x 5 0. y x 3), y ) âñå òðè óêàçàííûå ñèñòåìû

83 8 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 7. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ïàðàáîëà è òðè ïðÿìûå. Óêàæèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèÿ. y x 1), y x 10. y x ), x 5 0. y x 3), y ) âñå òðè óêàçàííûå ñèñòåìû 8. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ïàðàáîëà è òðè ïðÿìûå. Óêàæèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ èìååò îäíî ðåøåíèå.

84 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 83 y x 1), y x 10. y x ), x 5 0. y x 3), y ) âñå òðè óêàçàííûå ñèñòåìû 9. Èç äàííûõ óðàâíåíèé ïîäáåðèòå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû 4 y, x... òàê òîáû ñèñòåìà èìåëà ðåøåíèÿ (èñïîëüçóéòå ãðàôè åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ). 1) y x 3) ó x ) y x 4) y x 10. Èç äàííûõ óðàâíåíèé ïîäáåðèòå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû 4 y, x... òàê òîáû ñèñòåìà íå èìåëà ãðàôè åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ). 1) y x 3) ó = x ) y x 4) y x ðåøåíèÿ (èñïîëüçóéòå

85 84 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 11. Óêàæèòå ðèñóíîê, íà êîòîðîì ïðèâåäåíà ãðàôè åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé y x, y x. 1) 3) ) 4) 1. Óêàæèòå ðèñóíîê, íà êîòîðîì ïðèâåäåíà ãðàôè åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé y x, y x. 1) )

86 Òåìà 3. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 85 3) 4) 13. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y x 4x 3 è y x 1. Èñïîëüçóÿ ãðàôèêè, ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé y x x 4 3, y x 1. Îòâåò:. àñòü 14. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x1 y, 4 6 x y 5, Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x y 7, x y 5 xy.

87 86 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 16. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x y 6, x y 16 xy. 17. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò ñèñòåìà óðàâíåíèé x x y y 18. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x x y y 9, 1? 61, Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé è óêàæèòå íàèìåíüøóþ ñóììó õ ê ó ê, ãäå (õ ê ; ó ê ) ðåøåíèå ñèñòåìû x y 9, x y Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé è óêàæèòå íàèáîëüøóþ ñóììó õ ê ó ê, ãäå (õ ê ; ó ê ) ðåøåíèå ñèñòåìû x y x 10, x y x. 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé x y 1, x y 8 6. y x. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé 9 4 xy xy 6 1 xy xy 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé 1, 8. x 5 y 0, x xy 5.

88 Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò ñèñòåìà óðàâíåíèé x x y y , 65? Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ Ðåøåíèå áîëüøèíñòâà íåðàâåíñòâ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ëèíåéíûõ è êâàäðàòíûõ íåðàâåíñòâ, à òàêæå ñïåöèàëüíûé ìåòîä ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ ìåòîä èíòåðâàëîâ. Â ïåðâîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû îáû íî òðåáóåòñÿ ðåøèòü íåðàâåíñòâà áåç äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé. Âî âòîðîé àñòè àñòî ïðèõîäèòñÿ ñîâåðøàòü àëãåáðàè åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, âûáèðàòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì, à òàêæå ðåøàòü íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ ïàðàìåòðîì. ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå. Âñÿêîå çíà åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì äàííîå íåðàâåíñòâî ñ íåèçâåñòíûì îáðàùàåòñÿ â âåðíîå èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî çíà èò íàéòè âñå åãî ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, òî èõ íåò. Îïðåäåëåíèå. Íåðàâåíñòâà âèäà ax b 0( 0, 0, 0), ãäå õ íåèçâåñòíîå, à è b íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå èñëà (a 0), íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ïåðâîé ñòåïåíè, èëè ëèíåéíûìè íåðàâåíñòâàìè. Îïðåäåëåíèå. Íåðàâåíñòâà âèäà ax bx c 0( 0, 0, 0), ãäå à 0, íàçûâàþò íåðàâåíñòâàìè âòîðîé ñòåïåíè ñ îäíèì íåèçâåñòíûì, èëè êâàäðàòíûìè íåðàâåíñòâàìè. Ñâîéñòâà èñëîâûõ íåðàâåíñòâ (a, bc, äåéñòâèòåëüíûå èñëà) 1) Åñëè a b è b c, òî a c. ) Åñëè a b, òî a c b c.

89 88 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 3) Åñëè a b è ñ ïîëîæèòåëüíîå èñëî (c 0), òî ac bc. 4) Åñëè a b è ñ îòðèöàòåëüíîå èñëî (c 0), òî ac bc. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ èñëîâûõ íåðàâåíñòâ Çàäàíèå 1. Åñëè à < b, òî âåðíî íåðàâåíñòâî: 1) b > a ) à <b 3) 5 à <5b 4) a b 5 5 Ïîïûòàåìñÿ ïîëó èòü èç íåðàâåíñòâà à < b êàæäîå èç íåðàâåíñòâ èç âàðèàíòîâ 1), ), 3), 4). Òàê êàê < 0, òî èç íåðàâåíñòâà à < b ñëåäóåò a b (ñâîéñòâî (4)). È íåðàâåíñòâî èç âàðèàíòà 1) íåâåðíî. Òàê êàê à<b, òî ïî ñâîéñòâó () âåðíî à <b. È íåðàâåíñòâî èç âàðèàíòà ) âåðíî. Òàê êàê à<b,òîà 5>b 5 (ñâîéñòâà (4) è ()). È íåðàâåíñòâî èç âàðèàíòà 3) íåâåðíî. Òàê êàê 1 0, òî èç íåðàâåíñòâà à < b ñëåäóåò íåðàâåíñòâî a b. È íåðàâåíñòâî èç âàðèàíòà 4) íåâåðíî Îòâåò:. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà Çàäàíèå. Óêàæèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà x 05,( x 4) 4. Ñíà àëà ðàñêðîåì ñêîáêè.

90 Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ 89 x 05, x 4. Ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ îáû íî ïåðåíîñÿò íåèçâåñòíûå ñëàãàåìûå â ëåâóþ àñòü íåðàâåíñòâà, à èçâåñòíûå â ïðàâóþ àñòü è ïðèâîäÿò ïîäîáíûå ñëàãàåìûå. 05, x. òîáû âûðàçèòü õ, íàäî ðàçäåëèòü îáå àñòè íåðàâåíñòâà íà (0,5). Çíàê íåðàâåíñòâà ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. 05, x x 4. Îòìåòèì ðåøåíèå íåðàâåíñòâà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Íàèìåíüøèì öåëûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ èñëî (3),àíå (4). Îòâåò:3. Çàäàíèå 3. Íàéäèòå èñëî öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x ) 14 ) 15 3) 16 4) 17 Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ äâîéíûì íåðàâåíñòâîì. Åãî ìîæíî ðåøàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. 1-é ñïîñîá (íåïîñðåäñòâåííî) 3 x x 4 11 x 4 8 x 8.

91 90 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß -é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû) Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ x 1 3, 4 x Ðåøèì ïåðâîå íåðàâåíñòâî. x 31 4 x 4 x 8. Ðåøèì âòîðîå íåðàâåíñòâî. x 11 4 x 4 x 8. Îòìåòèì ðåøåíèÿ è ïåðâîãî, è âòîðîãî íåðàâåíñòâà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ áóäåò ïðîìåæóòîê 8; 8. Êîëè åñòâî öåëûõ èñåë, âõîäÿùèõ â ïðîìåæóòîê, ðàâíî 16. Îòâåò:3. Êâàäðàòíûå íåðàâåíñòâà Ðåøåíèå êâàäðàòíûõ íåðàâåíñòâ ax bx c 0 ( 0, 0, 0) ñîñòîèò èç 5 ýòàïîâ: 1. Ââîäèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ y ax bx c.

92 Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ 91. Îïðåäåëÿåì íàïðàâëåíèå âåòâåé ïàðàáîëû y ax bx c (ïðè à > 0 âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû ââåðõ; ïðè à < 0 âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû âíèç). 3. Íàõîäèì íóëè ôóíêöèè, ò.å. ðåøàåì óðàâíåíèå ax bx c Åñëè óðàâíåíèå èìååò êîðíè, òî îòìå àåì êîðíè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé è ñõåìàòè åñêè ðèñóåì ïàðàáîëó â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâëåíèåì âåòâåé. Åñëè óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òî ñõåìàòè åñêè ðèñóåì ïàðàáîëó â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâëåíèåì âåòâåé. 5. Íàõîäèì ðåøåíèå íåðàâåíñòâà ñ ó åòîì ñìûñëà çíàêà íåðàâåíñòâà. Ðåøåíèå êâàäðàòíûõ íåðàâåíñòâ, â çàâèñèìîñòè îò äèñêðèìèíàíòà ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ðàçáèâàåòñÿ íà 3 ñëó àÿ: 1) D > 0; ) D 0; 3) D < 0. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó àé: D > 0. Çàäàíèå 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x x Ïóñòü y x x 3.. Òàê êàê a 1, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû âíèç. 3. Ðåøèì óðàâíåíèå x x 3 0. Åãî êîðíè: õ 1èõ3. 4. Îòìåòèì èñëà 1 è (3) íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé è ïîñòðîèì ýñêèç ãðàôèêà ôóíêöèè 5. Òàê êàê çíàê íåðàâåíñòâà (), òî ðåøåíèåì åãî áóäåò îòðåçîê [3; 1]. Îòâåò:[3; 1]. Ðàññìîòðèì ñëó àé, êîãäà D 0.

93 9 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî: 4x 4x 1 0. Â ñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé ðåøåíèÿ êâàäðàòíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó àåì: 1. Ïóñòü fx ( ) 4x 4x1.. à 4 > 0, çíà èò, âåòâè ïàðàáîëû fx ( ) 4x 4x1 íàïðàâëåíû ââåðõ. 3. Óðàâíåíèå 4x 4x 1 0 èìååò ñîâïàâøèå êîðíè x1 x 05,. Ïàðàáîëà êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ Òàê êàê çíàê íåðàâåícòâà (>), òî ðåøåíèåì åãî ÿâëÿþòñÿ âñå èñëà, êðîìå x 05,. Îòâåò:; 05, 05, ;. Çàìå àíèå: Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 4x 4x 1 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ;. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 4x 4x 1 0 ÿâëÿåòñÿ òîëüêî èñëî 0,5. Íåðàâåíñòâî 4x 4x 1 0ðåøåíèé íå èìååò. Ðàññìîòðèì ñëó àé, êîãäà D <0. Çàäàíèå 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x 6x Èìååì: 1) fx ( ) x 6x10; ) âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû âíèç (ïî åìó?); 3) óðàâíåíèå x 6x 10 0 ðåøåíèé íå èìååò. Ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ è íå êàñàåòñÿ åå. 4)

94 Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ 93 Òàê êàê çíàê íåðàâåícòâà (<), òî ðåøåíèåì åãî ÿâëÿþòñÿ âñå èñëà. Îòâåò:;. Çàìå àíèå: íåðàâåíñòâî x 6x 10 0 ðåøåíèé íå èìååò. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ Çíà åíèÿ ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà åíèÿìè ïåðåìåííîé. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà åíèé ïåðåìåííîé íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ. Çàäàíèå 7. Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ õ èìååò ñìûñë ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: 1) x 6; ) 1 ; x 6 x 6 3) x1 1) Òàê êàê âûðàæåíèå a èìååò ñìûñë ïðè a 0 (àðèôìåòè åñêèé êâàäðàòíûé êîðåíü îïðåäåëåí òîëüêî äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ èñåë), òî ðåøèì íåðàâåíñòâî x 6 0. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî âûðàæåíèÿ áóäåò ïðîìåæóòîê ;6. ) Òàê êàê âûðàæåíèå 1 a èìååò ñìûñë ïðè a 0, òî x 6 0 è x 6. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî âûðàæåíèÿ áóäåò îáúåäèíåíèå ïðîìåæóòêîâ ;6 è 6;. 3) Ðåøèì ñèñòåìó x 6 0, x 6, x 1 0, x 1. Îòìåòèì ðåøåíèÿ ñèñòåìû íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé.

95 94 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî âûðàæåíèÿ áóäåò îáúåäèíåíèå ïðîìåæóòêîâ ; 1 è 1; 6. Îòâåò: 1) ; 6; ); 6 è 6;; 3); 1 è 1; 6. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ñêîëüêî öåëûõ èñåë âõîäèò â ïðîìåæóòîê (1; 5]? 1) 6 ) 7 3) 5 4) 4. èñëî 5 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 1) x 10 x 6 ) x 10 x 5 3) x x 10 4) x 50 x 5 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 7x 5 < 4x 7. Îòâåò:. 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x x Îòâåò:. 5. Äëÿ ëþáûõ çíà åíèé x âåðíî íåðàâåíñòâî: 1) x 0 ) x 3 0 3) x 4) x 10x 5 0

96 Òåìà 4. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ ïåðåìåííîé x èìååò ñìûñë âûðàæåíèå? x 3 1) x 0 3) x >0 ) x <0 4)x ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå èñëî 7. Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ ïåðåìåííîé x èìååò ñìûñë âûðàæåíèå 5x? 1) x 0 3) x 0 ) x 0 4) x ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå èñëî 8. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ïðîìåæóòîê 1) [5; 3] ) (5; 3] 3) (5; 3) 4) [5; 3) 9. Åñëè à < b, òî äëÿ ëþáûõ a è b âåðíî íåðàâåíñòâî: 1) 5b > 5a 3) à < b ) a b 4) à 4 < b Åñëè a m, òî äëÿ ëþáûõ a è m âåðíî íåðàâåíñòâî: 1) 3a 3m 3) 3a 3m ) a m 1 4) a 3 m Åñëè < x <5,4,5<y < 6, òî çíà åíèå âûðàæåíèÿ x y ïðèíàäëåæèò ïðîìåæóòêó: 1) (7; 10,5) ) (6,5; 11) 3) (9; 30) 4) [7; 10,5] 1. Ðåøèòå äâîéíîå íåðàâåíñòâî y 8. Îòâåò:. 13. Ðåøèòå ñèñòåìó íåðàâåíñòâ 5x 1, 05, x 4. Îòâåò:.

97 96 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß x 14. Ðåøèòå ñèñòåìó íåðàâåíñòâ 0, 4 x 1 x. Îòâåò: Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x 5 5x Îòâåò:. 16. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 8x 3x 3 0. Îòâåò:. 17. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x 10x 5 0. Îòâåò:. 18. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x 10x 5 0. Îòâåò:. 19. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x 10x 6 0. Îòâåò:. àñòü 0. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå çíà åíèå n, ïðè êîòîðîì ðàçíîñòü (3 n) (8 1,5n) ïîëîæèòåëüíà. 1. Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ t âûðàæåíèå 3 t ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ, ìåíüøèå.. Óêàæèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x x3 3, 6 4 x Óêàæèòå íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ 5x 4 ( x 1) 3( x ), 9x Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ x 4x 3 0, óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó ( x 1) ( 5x 3. )

98 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Ðåøèòå íåðàâåíñòâî: m 1 m 1 ( m 1)( m 1). 6. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ 1 x. 7. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ 1 x. x 5 8. Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ x 3 x 0, óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó ( 5 x) ( 65, 3x ). x 9 9. Ïðè êàêîì çíà åíèè à ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà ax 5 ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ( ; )? 30. Óêàæèòå èñëî öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x 1 3( x 1) 0. Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 5.1. Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû  ïåðâîé àñòè ðàáîòû àùå âñåãî ïðåäñòàâëåíû çàäàíèÿ, òðåáóþùèå óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ãðàôèêîì ôóíêöèè è åå àíàëèòè åñêèì çàäàíèåì, ò.å. ôîðìóëîé, çàäàþùåé ôóíêöèþ. Ñðåäè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âñòðå àþòñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû. Äëÿ âûïîëíåíèÿ çàäàíèé ïî ýòîé òåìå èç ëþáîé àñòè ðàáîòû ïîëåçíî: çíàòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïàðàáîë è ãèïåðáîë; çíàòü ãåîìåòðè åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòîâ k è b äëÿ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé y kx b è êîýôôèöèåíòîâ a è c óðàâíåíèÿ ïàðàáîëû y ax bx c; óìåòü íàõîäèòü êîîðäèíàòû âåðøèíû ïàðàáîëû, òî êè ïåðåñå åíèÿ ïðÿìûõ èëè ïðÿìîé è ïàðàáîëû, òî êè ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñÿìè; óìåòü ïðîâåðÿòü ïðèíàäëåæíîñòü íåêîòîðîé òî êè ïðÿìîé èëè ïàðàáîëå.

99 98 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Óðàâíåíèå y kx b ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé îñü Oy â òî êå, îðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà b. Êîýôôèöèåíò k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé. Äâå ïðÿìûå y 1 k 1 x b 1 è y k x b ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè èõ óãëîâûå êîýôôèöèåíòû k 1 è k ðàâíû è b 1 b. Íàïðèìåð, ïðÿìûå y 5x 3 è y 5x 4 ïàðàëëåëüíû. Äâå ïðÿìûå y 1 k 1 x b 1 è y k x b ÿâëÿþòñÿ ïåðåñåêàþùèìèñÿ, åñëè k 1 k. Íàïðèìåð, ïðÿìûå y x 3èy 5x 4ïåðåñåêàþòñÿ. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî êó, êîîðäèíàòû êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò êàæäîìó èç óðàâíåíèé ïðÿìûõ. Òî êà ëåæèò íà ïðÿìîé, åñëè åå êîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ýòîé ïðÿìîé. Íàïðèìåð, òî êà M (; 7) ëåæèò íà ïðÿìîé y 5x 3, òàê êàê êîîðäèíàòû òî êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ïðÿìîé: Åñëè òî êà ëåæèò íà îñè àáñöèññ (Ox), òî åå îðäèíàòà ðàâíà íóëþ (y 0). Åñëè òî êà ëåæèò íà îñè îðäèíàò (Oy), òî åå àáñöèññà ðàâíà íóëþ (x 0). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî íî çíàòü êîîðäèíàòû äâóõ òî åê. Ãðàôèê êâàäðàòè íîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Óðàâíåíèå y ax bx c, ãäå a, b, c äåéñòâèòåëüíûå èñëà è a 0, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïàðàáîëû, ïåðåñåêàþùåé îñü Oy â òî êå, îðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà c. Êîýôôèöèåíò a íàçûâàåòñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì. Åñëè a 0, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû ââåðõ, åñëè a <0,òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû âíèç.

100 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 99 Êîîðäèíàòû âåðøèíû ïàðàáîëû (x â ; y â ) íàõîäÿò ñ ïîìîùüþ ôîðìóë: b xâ, yâ axâ bxâ c. a Êîîðäèíàòû òî åê ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñÿìè íàõîäÿò ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé. Àáñöèññà òî êè ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñüþ Oy ðàâíà íóëþ, à îðäèíàòà òî êè ïåðåñå åíèÿ ðàâíà c (ò.ê. y a 0 b0c, y c). Îðäèíàòà òî êè ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñüþ Ox ðàâíà íóëþ, à àáñöèññó òî êè ïåðåñå åíèÿ ìîæíî íàéòè, ðåøèâ óðàâíåíèå 0 ax bx c. Íà ðèñóíêå ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü ÎY â òî êå C (; 0 1), à îñü ÎÕ â òî êàõ A( 1; 0) è B (; 3 0. ) Ïàðàáîëà ìîæåò èìåòü îäíó òî êó ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ Ox, ìîæåò èìåòü äâå òî êè, à ìîæåò íå èìåòü òàêèõ òî åê. Îïðåäåëèòü êîëè åñòâî òî åê ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû y ax bx c ñ îñüþ Ox ìîæíî ñ ïîìîùüþ èññëåäîâàíèÿ äèñêðèìèíàíòà êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax bx c 0: åñëè äèñêðèìèíàíò D b 4ac ðàâåí íóëþ, òî òî êà ïåðåñå åíèÿ îäíà; åñëè äèñêðèìèíàíò D b 4ac áîëüøå íóëÿ, òî òî- åê ïåðåñå åíèÿ äâå;

101 100 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß åñëè äèñêðèìèíàíò D b 4ac ìåíüøå íóëÿ, òî òî åê ïåðåñå åíèÿ íåò. Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò òî åê ïåðåñå åíèÿ (èëè êàñàíèÿ) ïðÿìîé è ïàðàáîëû íóæíî ðåøèòü â ñèñòåìå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé è ïàðàáîëû (ñì., íàïðèìåð, ðåøåíèå çàäàíèÿ ¹ 10). k Ãðàôèê îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y íàçûâàåòñÿ x ãèïåðáîëîé. èñëî k êîýôôèöèåíò, k 0. Â çàâèñèìîñòè îò çíàêà êîýôôèöèåíòà k ãèïåðáîëà áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ ëèáîâièiiiêâàäðàíòå, ëèáî âî II è IV êâàäðàíòå. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèå 1. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y 4x 19x 1. Óêàæèòå êîîðäèíàòó òî êè M. 1) (0,75; 0) ) (4; 0) 3) (0; 4) 4) (0; 0,75)

102 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 101 Òî êà M, êîîðäèíàòû êîòîðîé íóæíî íàéòè, ÿâëÿåòñÿ òî êîé ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñüþ àáñöèññ. Îðäèíàòà òî êè M ðàâíà 0, òàê êàê òî êà ëåæèò íà îñè àáñöèññ. Àáñöèññó òî êè M ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ: 4x 19x 1 0, x 0,75 èëè x 4. Òàê êàê òî êà M ðàñïîëîæåíà íà îñè Ox ëåâåå äðóãîé òî êè ïåðåñå åíèÿ ïàðàáîëû ñ îñüþ, òî àáñöèññà òî êè M ìåíüøå àáñöèññû äðóãîé òî êè ïåðåñå åíèÿ: x 0,75. Òî êà M èìååò êîîðäèíàòû (0,75; 0). Îòâåò:1. Çàäàíèå. Ãðàôèê êàêîé ôóíêöèè èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? 1) y x ) y x 3) y x 4) y x 1-é ñïîñîá. Ïðÿìàÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè, ïðîõîäèò åðåç òî êè ñ êîîðäèíàòàìè (; 0) è (0; ). Ïîäñòàâèì ýòè êîîðäèíàòû â îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé y kx b: 0 kb, 1 k, b; b. Ïîëó èì óðàâíåíèå ïðÿìîé y x. -é ñïîñîá. Òî êè ëåæàò íà ïðÿìîé, çíà èò, èõ êîîðäèíàòû (; 0) è (0; ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ýòîé ïðÿìîé. Ìîæíî ïðîâåðèòü ïðèíàäëåæíîñòü ýòèõ òî åê êàæäîé èç åòûðåõ ïðÿìûõ.

103 10 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 3-é ñïîñîá. Ïðÿìàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ãðàôèêå, ïîëó åíà ñäâèãîì ïðÿìîé y x íà äâå åäèíèöû ââåðõ. Ïîýòîìó íà ãðàôèêå ïðÿìàÿ y x. Îòâåò:. Çàäàíèå 3. Ïðÿìàÿ ó kõ b ïåðåñåêàåò îñü Ox â òî êå (3; 0), à îñü Oy â òî êå (0; 9). Çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé. Ïðîõîäèò ëè ýòà ïðÿìàÿ åðåç òî êó (1; 11)? Åñëè çàäàíà òî êà, ëåæàùàÿ íà îñè Oy, òî êîýôôèöèåíò b èçâåñòåí è ðàâåí îðäèíàòå òî êè, ò.å. b 9. Äëÿ òîãî òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò k, íóæíî ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû òî êè (3; 0) â óðàâíåíèå y kx 9, k 3. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ìîæíî íàéòè è äðóãèì ñïîñîáîì. Ïðÿìàÿ ïðîõîäèò åðåç äâå òî êè, ïîýòîìó èõ êîîðäèíàòû (3; 0) è (0; 9) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ïðÿìîé: 0 3kb, 3 k, 9 b; b 9. Óðàâíåíèå ïðÿìîé y 3x 9. Ïðÿìàÿ y 3x 9 íå ïðîõîäèò åðåç òî êó (1; 11), òàê êàê åå êîîðäèíàòû íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ïðÿìîé. Äåéñòâèòåëüíî, 11 3(1)9. Îòâåò: y 3x 9. Ïðÿìàÿ íå ïðîõîäèò åðåç òî êó (1; 11). Çàäàíèå 4. Ïàðàáîëà ñ âåðøèíîé â òî êå (1; ) ïðîõîäèò åðåç òî êó ñ êîîðäèíàòàìè (1; 8). Â êàêèõ òî êàõ ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ? Óðàâíåíèþ ïàðàáîëû óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû äâóõ çàäàííûõ â óñëîâèè òî åê: 1 1 ( ) a b( ) c, 8 a bc; a bc, 6 b; a bc, 8 a bc; b 3, a c 5.

104 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 103 Òî êà (1; ) ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ïàðàáîëû, çíà èò, ïî ôîðìóëå êîîðäèíàò âåðøèíû ïàðàáîëû b b xb, 1, b a. a a Ïîëó èëè, òî b a 3, çíà èò a 1,5. Èìååì b 3, a 1,5, êîýôôèöèåíò c íàéäåì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñ 3,5. Óðàâíåíèå ïàðàáîëû èìååò âèä y 1,5x 3x 3,5. Äëÿ òîãî òîáû îïðåäåëèòü, â êàêèõ òî êàõ ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ, íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå 1,5x 3x 3,5 0. Äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ ìåíüøå íóëÿ, ïîýòîìó óðàâíåíèå êîðíåé íå èìååò, ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ. Îòâåò: y 1,5x 3x 3,5; ïåðåñå åíèé ñ îñüþ Ox íåò. Çàäàíèå 5. Ïðè êàêîì çíà åíèè ïàðàìåòðà k ïàðàáîëà y 4x 1x k êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ? 1-é ñïîñîá. Íàéäåì àáñöèññó òî êè êàñàíèÿ. Òàê êàê êàñàíèå âîçìîæíî òîëüêî â âåðøèíå, òî íàéäåì àáñöèññó âåðøèíû: x a. a 8 b 1 3 Âåðøèíà ïàðàáîëû ëåæèò íà îñè àáñöèññ, ïîýòîìó îðäèíàòà âåðøèíû ðàâíà íóëþ: Îòñþäà íàéäåì k; k k. -é ñïîñîá. Ïî óñëîâèþ ïàðàáîëà ñ îñüþ àáñöèññ èìååò òîëüêî îäíó îáùóþ òî êó. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó- àå, åñëè äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 4x 1x k 0 ðàâåí íóëþ. Òàê êàê D k 0, òî k 9. Îòâåò: 9.

105 104 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 6. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè 3 y x x 5x 5. Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî åê A, B, èc. Òî êè A è B ÿâëÿþòñÿ òî êàìè ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñüþ Ox. Äëÿ òîãî òîáû íàéòè èõ êîîðäèíàòû, ðåøèì óðàâíåíèå: 3 x x 5x 5 0, x ( x 1) 5( x 1) 0, ( x 5)( x 1) 0. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ èñëà 5, 5 è 1. Âñå ýòè èñëà ÿâëÿþòñÿ àáñöèññàìè òî åê ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñüþ Ox. Òàê êàê 5 1, òî òî êà B èìååò êîîðäèíàòû 5; 0, òî êà A èìååò êîîðäèíàòû (1; 0). Êîîðäèíàòû òî êè C íàéòè ïðîùå: àáñöèññà ðàâíà íóëþ, à îðäèíàòà ðàâíà y(0) 5. Îòâåò: A (1; 0), B ( 5; 0), C (0; 5). ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Óñòàíîâèòå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ôóíêöèÿìè è èõ ãðàôèêàìè. Ôóíêöèè çàäàíû ôîðìóëàìè: à) y 4 ; x á) ó 4õ x; â) ó õ 1. 1) ïàðàáîëà; ) ãèïåðáîëà; 3) ïðÿìàÿ. Îòâåò:.

106 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 105. Ãðàôèêó ôóíêöèè y 5 ïðèíàäëåæèò òî êà x 1) (0; 1) 3) (10; 0,) ) (10; ) 4) (5; 1 ) 5 3. Ãðàôèêó ôóíêöèè y 3 ïðèíàäëåæèò òî êà x 1) (0; 3) 3) (10; 0,3) ) (10; 0,3) 4) (18; 1 ) 9 4. Ãðàôèêó ôóíêöèè y 7 ïðèíàäëåæèò òî êà x 1) (0; 7) 3) (10; 0,7) ) 49; 1 4) (14; ) 7 5.  êàêèõ êîîðäèíàòíûõ åòâåðòÿõ ðàñïîëîæåí ãðàôèê k ôóíêöèè y, åñëè åìó ïðèíàäëåæèò òî êà (; 5)? x 1)III )IèIII 3)IèII 4)IIIèIV 6.  êàêèõ êîîðäèíàòíûõ åòâåðòÿõ ðàñïîëîæåí ãðàôèê k ôóíêöèè y, åñëè åìó ïðèíàäëåæèò òî êà ( 5;? ) x 1)III )IIèIII 3)IIèIV 4)IèIV 7.  êàêèõ êîîðäèíàòíûõ åòâåðòÿõ ðàñïîëîæåí ãðàôèê k ôóíêöèè y, åñëè åìó ïðèíàäëåæèò òî êà (; 5)? x 1)I )IèIV 3)IIèIV 4)IIIèIV 8. Ïî ãðàôèêó êâàäðàòè íîé ôóíêöèè ó àõ bx c îïðåäåëèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ à è c. 1) a < 0 è c < 0 ) a < 0 è c > 0 3) a > 0 è c < 0 4) a > 0 è c > 0

107 106 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 9. Ïî ãðàôèêó êâàäðàòè íîé ôóíêöèè ó àõ bx c îïðåäåëèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ à è c. 10. Íà êàêîì èç ðèñóíêîâ èçîáðàæåí ãðàôèê êâàäðàòè íîé ôóíêöèè ó àõ bx c, åñëè èçâåñòíî, òî a 0 è êâàäðàòíûé òðåõ ëåí èìååò êîðíè ðàçíûõ çíàêîâ? 1) 3) ) 4) 11. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ïàðàáîëà. Ãðàôèêîì êàêîé èç ôóíêöèé îíà ÿâëÿåòñÿ? 1) y ( x ) ) y x 1) a <0èc <0 ) a <0èc >0 3) a>0èc <0 4) a>0èc >0 3) y ( x ) 4) y ( x )

108 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Óñòàíîâèòå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ôóíêöèÿìè è èõ ãðàôèêàìè. 1) y x ) y x 3) y x 4) y x À. Â. Á. Ã. Îòâåò: À Á  à 13. Ïî ãðàôèêó ëèíåéíîé ôóíêöèè ó kõ b îïðåäåëèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ k è b. 1) k < 0 è b < 0 ) k < 0 è b > 0 3) k > 0 è b < 0 4) k > 0 è b > 0

109 108 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 14. Ïî ãðàôèêó ëèíåéíîé ôóíêöèè ó kõ b îïðåäåëèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ k è b. 15. Ãðàôèêè ôóíêöèé y 5x 7 è y x 1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå 1) (; 3) 3) (3; ) ) (; 3) 4) (3; ) 16. Ãðàôèêè ôóíêöèé y 1x 5 è y 3x 4 ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå 1) (7; 1) 3) (1; 7) ) (7; 1) 4) (7; 1) 17. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y x 3x 4. Óêàæèòå êîîðäèíàòó òî êè M. àñòü 1) k < 0 è b < 0 ) k < 0 è b > 0 3) k > 0 è b < 0 4) k > 0 è b > 0 1) (0; 1) ) (0; 1) 3) (1; 0) 4) (1; 0) 18. Ïðÿìàÿ ó kõ b ïåðåñåêàåò îñü Ox â òî êå (; 0), à îñü Oy â òî êå (0; 6). Çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé. Ïðîõîäèò ëè ýòà ïðÿìàÿ åðåç òî êó (1; 9)? 19. Ïðÿìàÿ ó kõ b ïåðåñåêàåò îñü Ox â òî êå (4; 0), à îñü Oy â òî êå ñ îðäèíàòîé 1. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé. Â êàêîé êîîðäèíàòíîé åòâåðòè íåò òî- åê ýòîé ïðÿìîé?

110 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Ïðè êàêîì çíà åíèè k ïàðàáîëà y x 3x k êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ? 1. Ïðè êàêîì çíà åíèè m ïàðàáîëà y x 4x m êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ?. Ïðè êàêîì çíà åíèè k ïàðàáîëà y 5x 4x k êàñàåòñÿ îñè àáñöèññ? Íàéäèòå òî êó êàñàíèÿ. 3. Ïðÿìàÿ y 9õ ïåðåñåêàåò ïàðàáîëó y õ 10 â äâóõ òî êàõ. Âûÿñíèòå êîîðäèíàòû òî êè Â, åñëè èçâåñòíî, òî îíà ëåæèò íèæå îñè àáñöèññ. 4. Ïðîõîäÿò ëè åðåç îäíó òî êó ïðÿìûå y 8 x, y x, y 3x. 5.. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà àëå êîîðäèíàò Î (0; 0) è ðàäèóñîì R èìååò âèä: x y R. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî êå À (a; b) èðàäèóñîì R èìååò âèä: ( x a) ( yb) R. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) x Çàäàíèå 1. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä y. Óêàæèòå ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. 8 1) 8 ) 4 3) 4) Ïî óñëîâèþ çàäàíî óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, ñ öåíòðîì â íà àëå êîîðäèíàò.  ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì âèäîì óðàâíåíèÿ òàêîé îêðóæíîñòè ïîëó àåì, òî R = 8. Òàê êàê çíà- åíèå ðàäèóñà îêðóæíîñòè âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, òî R 8 4. Îòâåò: 4.

111 110 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 9) ( y) 16. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè. 1) (9; ) ) (9; ) 3) (9; 4) 4) (3; ) Ñðàâíèì óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî êå À (a; b) è ðàäèóñîì R: ( x a) ( yb) R ñ óðàâíåíèåì, çàäàííûì ïî óñëîâèþ ( x 9) ( y) 16. Ïîëó èì, òî a 9, b, òîãäà êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè (9; ). Îòâåò:. Çàäàíèå 3. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü. Çàïèøèòå åå óðàâíåíèå. Äëÿ òîãî òîáû çàïèñàòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, íóæíî çíàòü êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè À(a; b) è ðàäèóñ îêðóæíîñòè R. Èç åðòåæà öåíòð îêðóæíîñòè èìååò êîîðäèíàòû (3; 1), à R. Òåïåðü ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà åíèÿ â óðàâíåíèå îêðóæíîñòè: ( x a) ( yb) R. Ïî- ëó èì ( x 3) ( y1) 4. Îòâåò:( x 3) ( y1) 4. Çàäàíèå 4. Îêðóæíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì x y x 8y8 0. Íàéäèòå öåíòð îêðóæíîñòè è åå ðàäèóñ. Ïðåîáðàçóåì äàííîå óðàâíåíèå, âûäåëèâ â êàæäîé ñêîáêå ïîëíûé êâàäðàò: ( x x) ( y 8y) 8 0, ( x x 1) ( y 8y16)

112 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ 111 Ïîëó èì ( x 1) ( y4) 5. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì ðàäèóñ îêðóæíîñòè: R 5, R 5. Öåíòð îêðóæíîñòè òî êà (1; 4). Îòâåò: öåíòð îêðóæíîñòè òî êà (1; 4), ðàäèóñ R 5. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ àñòü 1 1. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä x y 16. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè. Îòâåò:.. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä x y 4. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 1) 8 ) 3) 4 4) Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 1) ( y3) 4. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè. 1) (1;3) ) (1;3) 3) (1; 3) 4) (1; 3) 4. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 1) ( y3) 4. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè. 1) (1; 3) ) (3; 1) 3) (1; 3) 4) (1; 3) 5. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 4) ( y9) 1. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè. 1) (4;9) ) (; 3) 3) (; 3) 4) (9;1) 6. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 1) ( y) 1. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 1) 1 ) 6 3) 4 3 4) 3

113 11 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 7. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 9) ( y4) 1. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 1) 3 ) 3) 1 4) 0,5 8. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 1) ( y) 9. Óêàæèòå ðèñóíîê, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ýòà îêðóæíîñòü. 1) 3) ) 4)

114 Òåìà 5. ÏÐßÌÎÓÃÎËÜÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 3) ( y) 4. Óêàæèòå ðèñóíîê, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ýòà îêðóæíîñòü. 1) 3) ) 4)

115 114 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 10. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x ) y 1. Óêàæèòå ðèñóíîê, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ýòà îêðóæíîñòü. 1) 3) ) 4) 11. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè. Îòâåò:.

116 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ýòîé îêðóæíîñòè. Îòâåò:. àñòü 13. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü, çàäàííóþ óðàâíåíèåì 11 x y Îêðóæíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì x y x y7 0. Íàéäèòå öåíòð îêðóæíîñòè è åå ðàäèóñ. 15. Îêðóæíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì x y 4x 8y19 0. Íàéäèòå öåíòð îêðóæíîñòè è åå ðàäèóñ. 16. Îêðóæíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì x y 6y5 0. Íàéäèòå öåíòð îêðóæíîñòè è åå ðàäèóñ. ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ D(y) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàåòñÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ãðàôè åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ôóíêöèè åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìîæåò ñ èòû-

117 116 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß âàòüñÿ ïî ãðàôèêó. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ íàäî ñïðîåêòèðîâàòü âñå òî êè ãðàôèêà ôóíêöèè íà îñü Îõ. Åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè åñêè (ôîðìóëîé) è åå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íå óêàçàíà, òî ýòî îçíà àåò, òî ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íà åñòåñòâåííîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. E(y) ìíîæåñòâî çíà åíèé (îáëàñòü çíà åíèé) ôóíêöèè y, êîòîðûå îíà ïðèíèìàåò ïðè âñåõ çíà åíèÿõ àðãóìåíòà èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ïðîùå âñåãî íàõîäèòü ìíîæåñòâî çíà åíèé ôóíêöèè, åñëè çàäàí åå ãðàôèê. Â ýòîì ñëó àå íàäî ñïðîåêòèðîâàòü âñå òî êè ãðàôèêà ôóíêöèè íà îñü Oy. Ïîëó èâøååñÿ ìíîæåñòâî òî åê áóäåò ìíîæåñòâîì çíà åíèé ôóíêöèè. Ýòî ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ êîíå íûì èñëîì òî åê, ñîñòîÿòü èç îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ïðîìåæóòêîâ. Íóëè ôóíêöèè. Äëÿ ôóíêöèè fx ( ), çàäàííîé ãðàôè åñêè, ýòî àáñöèññû òî åê, â êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ èëè êàñàåòñÿ åå. òîáû íàéòè íóëè ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè åñêè, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå fx ( ) 0. Ôóíêöèÿ f(x) âîçðàñòàåò íà ìíîæåñòâå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x 1 è x èç ìíîæåñòâà X, òàêèõ òî x 1 < x, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x 1 ) < f(x ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ìíîæåñòâå X, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ çíà åíèé àðãóìåíòà èç ýòîãî ìíîæåñòâà áîëüøåìó çíà åíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå çíà åíèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f(x) óáûâàåò íà ìíîæåñòâå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x 1 è x èç ìíîæåñòâà X, òàêèõ òî x 1 < x, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f(x 1 )> f(x ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ìíîæåñòâå X, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ çíà åíèé àðãóìåíòà èç ýòîãî ìíîæåñòâà áîëüøåìó çíà åíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå çíà åíèå ôóíêöèè. Ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè y kx b, k R, b R 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: D(y) (; ). ) Îáëàñòü çíà åíèé: E(y) (;), åñëè k 0. E(y) {b}, åñëè k 0. 3) Ìîíîòîííîñòü:

118 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 117 åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ y âîçðàñòàåò íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ; åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ y óáûâàåò íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ñâîéñòâà îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y k, k 0 x 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: D (y) (; 0)(0; ). ) Îáëàñòü çíà åíèé: E(y) (; 0)(0; ). 3) Ìîíîòîííîñòü: åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ y óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå (0; ) è íà ïðîìåæóòêå (; 0); åñëè k<0, òî ôóíêöèÿ y âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (0; ) è íà ïðîìåæóòêå (; 0). Ñâîéñòâà äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè y Px Q( x) ãäå P(x) èq(x) ìíîãî ëåíû îò x 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(y) ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå x, íå îáðàùàþùèå çíàìåíàòåëü Q(x) â íóëü. ) Ìíîæåñòâî çíà åíèé E(y) çàâèñèò îò êîíêðåòíîé ôóíêöèè.

119 118 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ñâîéñòâà êâàäðàòè íîé ôóíêöèè y ax bx c a R, b R, c R êîýôôèöèåíòû, a 0 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(y) ). ) Ãðàôèê êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà ïàðàáîëà ñ âåðøèíîé â òî êå ñ àáñöèññîé x â, a b íàïðàâëåííàÿ âåòâÿìè ââåðõ, åñëè a>0; íàïðàâëåííàÿ âåòâÿìè âíèç, åñëè a < 0. 3) Ìíîæåñòâî çíà åíèé: E(y)[y â ; ), åñëè a>0; E(y)(; y â ], åñëè a <0,y â îðäèíàòà âåðøèíû ïàðàáîëû. Ñâîéñòâà ôóíêöèè y 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(y)[0; ). ) Ìíîæåñòâî çíà åíèé E(y)[0; ). 3) Ìîíîòîííîñòü: ôóíêöèÿ y âîçðàñòàåò íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. x

120 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 119 ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèå 1. Ãðàôèê îïèñûâàåò äâèæåíèå ïàðóñíîé ÿõòû, êîòîðàÿ ïåðâóþ àñòü ïóòè ïðîøëà ïîä ïàðóñîì. Ñïóñòèâ ïàðóñ, îíà ïðîäîëæèëà äâèæåíèå. 1) Íàéäèòå ñêîðîñòü ÿõòû «ïîä ïàðóñîì» è «áåç ïàðóñà» (âûðàçèâ åå â êì/ ). ) Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò íà àëà äâèæåíèÿ íàõîäèëàñü ÿõòà åðåç 50 ìèíóò, åðåç àñà? 3) Ñêîëüêî âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ ÿõòå íà îáðàòíûé ïóòü, åñëè îíà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ òîé æå ñêîðîñòüþ, òî è íà ïåðâîì ó àñòêå «ïîä ïàðóñîì»? 1) Ïîä ïàðóñîì ÿõòà ïðîøëà 30 êì çà 60 ìèí, ò.å. çà 1, s çíà èò åå ñêîðîñòü áûëà v 30 êì/. Áåç ïàðóñà ÿõòà t ïðîøëà 5 êì çà 60 ìèí, çíà èò åå ñêîðîñòü áûëà 5 êì/. Îòâåò:ñêîðîñòü ÿõòû «ïîä ïàðóñîì» 30 êì/, ñêîðîñòü ÿõòû «áåç ïàðóñà» 5 êì/. ) Íà ãðàôèêå íàéäåì òî êó ñ àáñöèññîé, ðàâíîé 50. Íàéäåì îðäèíàòó ýòîé òî êè. Îíà ðàâíà 5. Ïîëó èëè, òî çà 50 ìèí ÿõòà ïðîéäåò 5 êì. Àíàëîãè íî, çà 10 ìèí 35 êì. Îòâåò:5êì,35êì.

121 10 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 3) Îáðàòíûé ïóòü ñîñòàâëÿåò 35 êì. Ñêîðîñòü ÿõòû 30 êì/. s 35 7 Íàéäåì âðåìÿ îáðàòíîãî ïóòè: t, òî ñîñòàâëÿåò 1 àñ 10 ìèíóò. v 30 6 Îòâåò:1 10ìèí. Çàäàíèå. Ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôèêîì. Óêàæèòå: à) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè; á) îáëàñòü çíà åíèé ôóíêöèè; â) ïðîìåæóòêè, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ; ã) íóëè ôóíêöèè; ä) ïðîìåæóòêè âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè. à) Äëÿ òîãî òîáû íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çàäàííîé ãðàôè åñêè, íàäî ñïðîåêòèðîâàòü âñå òî êè ãðàôèêà íà îñü Ox. Ïîëó åííûé ïðîìåæóòîê è áóäåò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè D(y) (4; 7). á) Äëÿ òîãî òîáû íàéòè ìíîæåñòâî çíà åíèé ôóíêöèè, çàäàííîé ãðàôè åñêè, íàäî ñïðîåêòèðîâàòü âñå òî êè ãðàôèêà íà îñü Oy. Ïîëó åííûé ïðîìåæóòîê è áóäåò ìíîæåñòâîì çíà åíèé ôóíêöèè E(y) (; 4). â) Íàäî íàéòè òå ïðîìåæóòêè îñè Ox, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïîëîæåí âûøå îñè Ox. Ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íà ïðîìåæóòêå (3; 5) è íà ïðîìåæóòêå (5; 7). Â òî êå x 5 ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü.

122 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 11 ã) Íàäî íàéòè òå òî êè, â êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè ïåðåñåêàåò îñü Ox èëè êàñàåòñÿ åå. Íóëÿìè ôóíêöèè áóäóò 5 è 3. ä) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì, íî äëÿ òîãî òîáû ïðî èòàòü ãðàôèê, äîñòàòî íî çíàòü ãðàôè åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè íà ïðîìåæóòêå: ãðàôèê ôóíêöèè «ïîäíèìàåòñÿ ââåðõ». Ïîëó àåì, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (4; 1] è íà ïðîìåæóòêå [5; 7). Çàäàíèå 3. Èñïîëüçóÿ ãðàôèê ôóíêöèè y f(x), îïðåäåëèòå, êàêîå óòâåðæäåíèå âåðíî. 1) Íóëÿìè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ èñëà 7; ; 4. ) Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå [; ). 3) f(x) <0ïðè7 <x <0. 4) f(0) 4. Íóëÿìè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ èñëà 7 è4. f() 6 0, ïîýòîìó x íå ÿâëÿåòñÿ íóëåì ôóíêöèè. f(0). Ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ (() fx 0 ), ò.å. ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïîëîæåí âûøå îñè àáñöèññ, ïðè 7 <x <4. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (; ]. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå [; ). Îòâåò:.

123 1 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 4. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y x. 3 à) Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ àðãóìåíòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ? á) Êàêîâà îáëàñòü åå çíà åíèé? â) Êàêèå çíà åíèÿ ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ, åñëè 3x 15,? ã) Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî êè ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿìè. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè è ñ ïîìîùüþ åãî îòâåòèì íà âîïðîñû. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî íî çíàòü êîîðäèíàòû ëþáûõ äâóõ òî åê, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé ïðÿìîé. Íàéäåì èõ. x 3 3 y 0 4 Îòâåòèì íà âîïðîñû: à) Ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ (y >0). Ãðàôè åñêè ýòî ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûøå îñè àáñöèññ íàõîäèòñÿ òà àñòü ïðÿìîé, îðäèíàòû òî åê êîòîðîé áîëüøå íóëÿ; íàéäåì àáñöèññû ýòèõ òî åê: (3; ). Îòâåò: (3; ). á) Ôóíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà åíèÿ, ïîýòîìó îáëàñòü çíà åíèé (; ). Îòâåò: (; ). â) y(3) 0, y(1,5) 3. Åñëè 3 x 1,5, òî 0 y 3. Îòâåò: [0; 3].

124 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 13 ã) Òî êà ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ óæå íàéäåíà: (3; 0). Òî êó ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ îðäèíàò íàéäåì ïî ãðàôèêó: (0; ). Îòâåò: (3; 0) òî êà ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ è (0; ) òî êà ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ îðäèíàò. Çàäàíèå 5. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y x 6x 5. à) Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ àðãóìåíòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ? á) Óêàæèòå íàèìåíüøåå çíà åíèå ôóíêöèè. â) Êàêîâà îáëàñòü åå çíà åíèé? ã) Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî åê ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Ox. ä) Óêàæèòå ïðîìåæóòêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè. å) Êàêèå çíà åíèÿ ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ, åñëè 0 x 4? Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y x 6x 5. Ãðàôèêîì êâàäðàòè íîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íàéäåì êîîðäèíàòû âåðøèíû ïàðàáîëû è òî êè ïåðåñå åíèÿ ñ îñÿìè êîîðäèíàò. b xâ 3, y â y(3) 4. Âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâëåíû ââåðõ, êîîðäèíàòû âåðøèíû (3;4). a Íàéäåì òî êè ïåðåñå åíèÿ ñ îñÿìè êîîðäèíàò: x y à) Âûøå îñè àáñöèññ (y >0) íàõîäÿòñÿ òî êè ãðàôèêà ñ àáñöèññàìè áîëüøå 5 èëè ìåíüøå 1. Îòâåò:(; 1)è(5;);

125 14 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß á) Íàèìåíüøåå çíà åíèå ôóíêöèè y 4 ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â ñâîåé âåðøèíå. Îòâåò:4 íàèìåíüøåå çíà åíèå ôóíêöèè; â) Ôóíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà åíèÿ, áîëüøèå, åì çíà åíèå â ñâîåé âåðøèíå. Îòâåò:[4; ). ã) Òî åê ïåðåñå åíèÿ ñ îñüþ Ox äâå. Èõ êîîðäèíàòû (1; 0) è (5; 0). Îòâåò:(1;0)è(5;0). ä) Ïðàâåå àáñöèññû âåðøèíû ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ëåâåå óáûâàåò. Îòâåò: ïðîìåæóòîê âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè [3;), ïðîìåæóòîê óáûâàíèÿ ôóíêöèè (; 3]. å) Èçîáðàçèì ãðàôèê ôóíêöèè y x 6x 5, åñëè 0 x 4. Äëÿ òîãî òîáû íàéòè çíà åíèÿ ôóíêöèè, ìîæíî íàéòè îðäèíàòû âñåõ òî åê ïîëó èâøåãîñÿ ãðàôèêà. Ñïðîåêòèðóåì òî êè ãðàôèêà íà îñü îðäèíàò, ïîëó èì îòðåçîê [4; 5]. Îòâåò:[4; 5]. Çàìå àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ îáëàñòè çíà åíèé íåäîñòàòî íî áûëî íàéòè çíà åíèÿ

126 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 15 ôóíêöèè íà êîíöàõ ïðîìåæóòêà [0; 4]: y(0) 5, y(4) 3. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå [0; 3] è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå [3; 4], ïîýòîìó íà ïðîìåæóòêå [; 4] ïðèíèìàåò çíà åíèÿ ìåíüøå 3. x Çàäàíèå 6. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y x Íàéäèòå åå îáëàñòü çíà åíèé. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó èì y x 1, 3 x 3. Ïîñòðîèì ãðàôèê ëèíåéíîé ôóíêöèè ñ âûêîëîòîé òî êîé. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íàéäåì êîîðäèíàòû äâóõ òî åê, ïðèíàäëåæàùèõ ïðÿìîé. x 0 3 y 1 0 Ïîñòðîèì ïðÿìóþ è «âûêîëåì» òî êó, êîòîðàÿ íå ïðèíàäëåæèò ïðÿìîé. Êîîðäèíàòû ýòîé òî êè (3; ). Îáëàñòüþ çíà åíèé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ äâà ïðîìåæóòêà ( ; ) è ( ; ). Îòâåò:îáëàñòü çíà åíèé ìíîæåñòâî âñåõ èñåë, êðîìå.

127 16 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 7. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè x x 15, x 3, y x 3, x 3, 4x 4, x 3. à) Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ àðãóìåíòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ? á) Êàêîâà îáëàñòü åå çíà åíèé? Íàéäèòå çíà åíèå ôóíêöèè ïðè x 5. â) Ïðè êàêèõ çíà åíèÿõ x âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî y 1? ã) Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî åê ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Ox è îñüþ Oy. ä) Óêàæèòå ïðîìåæóòêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè. Ïîñòðîèì ãðàôèê êóñî íî çàäàííîé ôóíêöèè. Äëÿ ýòîãî íà êàæäîì èç òðåõ çàäàííûõ èíòåðâàëîâ ïîñòðîèì çàäàííóþ íà íåì ôóíêöèþ. 1) Íà èíòåðâàëå 3 x 3 ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y x x 15. Ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Íàéäåì åå âåðøèíó. x â 1, y â 16. Îäíà òî êà ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Ox (3; 0) ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó, äðóãàÿ (5; 0) íå ïðèíàäëåæèò åìó. ) Íà èíòåðâàëå x 3 ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y x 3. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé, ÿâëÿþùåéñÿ ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè, äîñòàòî íî çíàòü êîîðäèíàòû äâóõ òî- åê. x 4 5 y 1 3) Íà èíòåðâàëå x 3 ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y 4x 4. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé, ÿâëÿþùåéñÿ ãðàôèêîì ýòîé ôóíêöèè, äîñòàòî íî çíàòü êîîðäèíàòû äâóõ òî- åê. x 4 6 y 8 0

128 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 17 Ïî ãðàôèêó îòâåòèì íà äîïîëíèòåëüíûå âîïðîñû. à) Ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà åíèÿ ïðè x < 6. á) Ôóíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà åíèÿ. Îáëàñòü çíà åíèé ôóíêöèè (; ). Y(5). â) y 1 ïðè 3 x 1, à òàêæå îðäèíàòû òî åê ïðÿìîé y x + 3 ìîãóò áûòü ìåíüøå èëè ðàâíû 1. Íàéäåì àáñöèññû ýòèõ òî åê: x 3 1, x 15. Îòâåò: íà äâóõ ïðîìåæóòêàõ [3; 1] è [15; ). ã) Òî êè ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñüþ Ox: ( 6; 0, ) (3; 0). Òî êà ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ îñüþ Oy: (; 0 15). ä) Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò ïðè 1 x 3. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå (; 1] è íà ïðîìåæóòêå [3; ).

129 18 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôèêîì. à) Óêàæèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè. 1) (;) 3) [; ] ) [; 4] 4) (;)(4; ) á) Óêàæèòå îáëàñòü çíà åíèé ýòîé ôóíêöèè. 1) (; ) 3) [;] ) [; 4] 4) (; )(4;). Ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôèêîì. à) Óêàæèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè. 1) [; 5] ) (3; 1) 3) (1; 8) 4) [0; 8) á) Óêàæèòå îáëàñòü çíà åíèé ýòîé ôóíêöèè. 1) [; 5] ) (3; 1) 3) (1; 8) 4) [0; 8)

130 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ Èñïîëüçóÿ ãðàôèê ôóíêöèè y f(x), îïðåäåëèòå, êàêîå óòâåðæäåíèå âåðíî. 1) f (3) 1. ) Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå (0; ). 3) Íàèáîëüøåå çíà åíèå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïðè x = 3. 4) f (1) Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè yf(x). Èç ïðèâåäåííûõ óòâåðæäåíèé âûáåðèòå âåðíîå. 1) Íàèìåíüøåå çíà åíèå ôóíêöèè yf(x) ðàâíî. ) Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå [; ). 3) f(1) > f(4). 4) f(x) <0ïðè õ <0.

131 130 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 5. Ëèôò ïîäíèìàëñÿ ñî âòîðîãî ýòàæà è îñòàíàâëèâàëñÿ íà òðåáóåìûõ ýòàæàõ. 1) Íà âûñîòå êàêîãî ýòàæà îêàæåòñÿ ëèôò åðåç 1 ñåêóíä îò íà àëà äâèæåíèÿ? Îòâåò:. ) Íà ñêîëüêî ýòàæåé ïîäíÿëñÿ ëèôò çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ? Îòâåò:. 3) Êàêîâà ñêîðîñòü ëèôòà, åñëè âûñîòà ýòàæà 3 ìåòðà? Îòâåò:. 4) Ìåæäó êàêèìè ýòàæàìè áóäåò ëèôò åðåç 14 ñåêóíä? Îòâåò:. 6. Ãðóçîâàÿ ìàøèíà îòïðàâèëàñü èç ìàãàçèíà íà ñêëàä è âåðíóëàñü îáðàòíî. Íà ñêëàäå ïîä çàãðóçêîé îíà ïðîâåëà àñà. Ãðàôèê îïèñûâàåò çàâèñèìîñòü ïðîéäåííîãî ìàøèíîé ïóòè (s, êì/ ) îò âðåìåíè ïóòè (t, ìèí).

132 Òåìà 6. ÔÓÍÊÖÈÈ 131 1) Íàéäèòå ñêîðîñòü ìàøèíû ïðè äâèæåíèè èç ìàãàçèíà íà ñêëàä è îáðàòíî. Îòâåò:. ) Íà ñêîëüêî ìèíóò áîëüøå ïîòðåáîâàëîñü ìàøèíå íà îáðàòíóþ äîðîãó? Îòâåò:. 3) Ñêîëüêî êèëîìåòðîâ ïðîøëà ìàøèíà åðåç 40 ìèí? Îòâåò:. 7. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â òå åíèå äíÿ. Îïðåäåëèòå ïî ãðàôèêó: 1) Ìàêñèìàëüíîå çíà åíèå òåìïåðàòóðû â ýòîò äåíü. Îòâåò:. ) Â êàêîå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ òåìïåðàòóðíûé ìàêñèìóì? Îòâåò:. 3) Â êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè òåìïåðàòóðà áûëà âûøå 15 Ñ? Îòâåò:. 4) Â êàêîå âðåìÿ òåìïåðàòóðà áûëà 10 Ñ? Îòâåò:.

133 13 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß àñòü x 8. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y 4. Êàêèå çíà åíèÿ îíà ïðèíèìàåò ïðè 0 x 6? 3 9. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y 0, x 1. Êàêèå çíà- åíèÿ îíà ïðèíèìàåò ïðè x 5? 10. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y x 5. Êàêèå çíà åíèÿ îíà ïðèíèìàåò ïðè x 1? 11. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y 5x. Êàêèå çíà åíèÿ îíà ïðèíèìàåò ïðè 1 x 4? 1. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y (x 3). Óêàæèòå åå îáëàñòü çíà åíèé. x x 13. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y. Óêàæèòå åå îáëàñòü x çíà åíèé. 14. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y 3x x 5. Êàêèå çíà åíèÿ ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ, åñëè 1 x? 15. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y 4x 5x 8. Êàêèå çíà åíèÿ ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ, åñëè x 3? 16. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè y x 6x 1. Êàêèå çíà åíèÿ ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ, åñëè 0 x 4? Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ Â øêîëüíîì êóðñå àëãåáðû èçó àþòñÿ àðèôìåòè åñêàÿ è ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèè. Â ïåðâîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû îáû íî ïðåäñòàâëåíû çàäà è, ðåøàåìûå ëèáî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû n-îãî ëåíà ïðîãðåññèè, ëèáî ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ýòè ôîðìóëû íàäî çíàòü íàèçóñòü.

134 Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ 133 Âî âòîðîé àñòè ýêçàìåíàöèîííîé ðàáîòû ïðåäëàãàþòñÿ çàäàíèÿ, òðåáóþùèå ïðèìåíåíèÿ ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë, õàðàêòåðèñòè åñêîãî ñâîéñòâà ïðîãðåññèé, à òàêæå çàäàíèÿ, ðåøåíèå êîòîðûõ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé è èõ ñèñòåì, íåðàâåíñòâ è èõ ñèñòåì. ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Îïðåäåëåíèå Ôîðìóëà n-îãî ëåíà Ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà Õàðàêòåðèñòè åñêîå ñâîéñòâî Ñóììà n ïåðâûõ ëåíîâ Àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèåé (a n ) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êàæäûé ëåí êîòîðîé, íà èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó ëåíó, ñëîæåííîìó ñ îäíèì è òåì æå èñëîì d (d ðàçíîñòü ïðîãðåññèè). Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n an 1 an d (1) Ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèåé (b n ) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòëè íûõ îò íóëÿ èñåë, êàæäûé ëåí êîòîðîé, íà- èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó ëåíó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå èñëî q (q çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè). Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n b b q, b (6) n 1 n n 0 n an a1 dn 1 () bn b1 q, bn (7) an1 an1 an, n 1 (3) S S n n a1 an n (4) a1 dn 1 n (5) b b b n n1 n 1, S S 1 0 n 1 (8) n n bq n b1, q 1 q 1 b q n 1 1, q 1 q 1 (9) (10)

135 134 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Ôîðìóëà n-ãî ëåíà Àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Çàäàíèå 1. Â àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) a 1 5, a 7. Íàéäèòå äâàäöàòü ïåðâûé ëåí ýòîé ïðîãðåññèè. Ïî ôîðìóëå n-îãî ëåíà () a1 a1 d( 1 1) a1 0d. Òàê êàê ïî óñëîâèþ a 1 5 òî a1 5 0d. Îñòàëîñü íàéòè ðàçíîñòü ïðîãðåññèè: d a a1, ò.å. d 7 5. a Îòâåò: a Çàäàíèå. Êàêîå èñëî íå ÿâëÿåòñÿ ëåíîì àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè 4; 7; 10;? 1) 8 ) 64 3) 95 4) 17 Çàïèøåì ôîðìóëó n-îãî ëåíà: an a1 dn 1. Â èñõîäíîé ïðîãðåññèè a 1 4, d 7 4 3, ïîýòîìó an n n Ïðîâåðèì: ÿâëÿåòñÿ ëè èñëî 8 ëåíîì èñõîäíîé ïðîãðåññèè. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå 8 3n 1. Ïîëó àåì, òî n 9, ò.å. 8 äåâÿòûé ëåí ïðîãðåññèè (a 9 8). Ïðîâåðèì: ÿâëÿåòñÿ ëè èñëî 64 ëåíîì èñõîäíîé ïðîãðåññèè. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå 64 3n 1. Ïîëó àåì, òî n 1, ò.å. 64 äâàäöàòü ïåðâûé ëåí ïðîãðåññèè (a 1 64). Ïðîâåðèì: ÿâëÿåòñÿ ëè èñëî 95 ëåíîì èñõîäíîé ïðîãðåññèè. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå 95 3n 1. Ïîëó àåì, òî n 31, ò.å. n íå íàòóðàëüíîå èñëî è èñëî 95 íå ÿâëÿåòñÿ ëåíîì ïðîãðåññèè.

136 Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ 135 Ïðîâåðèì: ÿâëÿåòñÿ ëè èñëî 17 ëåíîì èñõîäíîé ïðîãðåññèè. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå 17 3n 1.Ïî- ëó àåì, òî n 4, ò.å. 17 ñîðîê âòîðîé ëåí ïðîãðåññèè (a 4 17). Èòàê, òîëüêî èñëî 95 íå ÿâëÿåòñÿ ëåíîì èñõîäíîé ïðîãðåññèè. Îòâåò:3. Çàäàíèå 3. Áðèãàäà â ÿíâàðå èçãîòîâèëà 8 äåòàëåé, à â êàæäûé ñëåäóþùèé ìåñÿö èçãîòàâëèâàëà íà 7 äåòàëåé áîëüøå, åì â ïðåäûäóùèé. Ñêîëüêî äåòàëåé áðèãàäà èçãîòîâèò â ñåíòÿáðå? Òàê êàê áðèãàäà êàæäûé ñëåäóþùèé ìåñÿö èçãîòàâëèâàëà íà 7 äåòàëåé áîëüøå, åì â ïðåäûäóùèé, òî ìû èìååì àðèôìåòè åñêóþ ïðîãðåññèþ ñ ðàçíîñòüþ 7. Ïåðâûé ëåí ïðîãðåññèè ðàâåí 8. Ôîðìóëà n-îãî ëåíà äëÿ äàííîé ïðîãðåññèè áóäåò èìåòü âèä: an 8 7 ( n 1 ), ò.å. an 7 n 1. Òàê êàê n 9, òîa Îòâåò: 64. Çàäàíèå 4. Ñêîëüêî îòðèöàòåëüíûõ ëåíîâ ñîäåðæèò àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (à n ): 18; 17, 3;...? òî òðåáóåòñÿ íàéòè? Ñêîëüêî ëåíîâ ïðîãðåññèè îòðèöàòåëüíû, ò.å. òðåáóåòñÿ íàéòè èñëî n. Çàïèøåì ôîðìóëó n-îãî ëåíà äëÿ äàííîé ïðîãðåññèè a 18 d( n 1 ). Êàê íàéòè ðàçíîñòü ïðîãðåññèè? n d a a1 17, 3 ( 18) 0, 7. Ïîäñòàâèì çíà åíèå d â ôîðìóëó n-îãî ëåíà: an 18 0,( 7 n 1 ). Ïðè êàêèõ n ëåíû ïðîãðåññèè îòðèöàòåëüíû? Ðåøèì íåðàâåíñòâî a n ,( 7 n 1) 0 18, 7 0, 7n 0 7n 187 n 6 5 7

137 136 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çíà èò, äâàäöàòü øåñòîé ëåí ïðîãðåññèè ïîñëåäíèé îòðèöàòåëüíûé ëåí ïðîãðåññèè, à äâàäöàòü ñåäüìîé ïåðâûé ïîëîæèòåëüíûé ëåí ïðîãðåññèè. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó n-ãî ëåíà. a6 a 18 0,( 7 6 1) 18 0, , 5 0, ,( 7 1) 1807, , 0, 7 Îòâåò: 6. Çàäàíèå 5. Èçâåñòíî, òî â àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) a1 a5 4, a a6 16. Íàéäèòå ðàçíîñòü è ïåðâûé ëåí ïðîãðåññèè. Ïî óñëîâèþ èçâåñòíî, òî a1 a5 4, a a6 16. òîáû ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, âûðàçèì êàæäûé èç ëåíîâ ïðîãðåññèè åðåç à 1 è d. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó n-ãî ëåíà äëÿ a, a5, a6. a a1 d a5 a1 4d a a 5d 6 1 Ïîäñòàâèì â ñèñòåìó: a1 a1 4d 4, a1 d a1 5d 16. Ðåøèì ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè, äëÿ ýòîãî âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ à 1 è ïîäñòàâèì âî âòîðîå óðàâíåíèå: a1 d, d dd 5d 16. Ðåøèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé d.

138 Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ 137 d 3d 16 4d 6d 3d 16 3d 4d 0 0 3d 4d 0 0 Åãî êîðíè: è Ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ: d, 1 d 3, èëè 3. a1 6 a Îòâåò: a1 6, d ; a1 4, d Ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Çàäàíèå 6. Íàéäèòå øåñòîé ëåí ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè ; 6;... 1) 43 ) 336 3) 486 4) é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû n-ãî ëåíà) Ïî ôîðìóëå n-ãî ëåíà ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè (7) 6 1 b6 b1 q b q 6 Òàê êàê b 1, à q 3, òî 1 5. b b  îòâåòå ïèøåì 3). b 6 5 -é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû) Òàê êàê çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè ðàâåí 3, òî b , b , Îòâåò: 3. b , b

139 138 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 7. Ìåæäó èñëàìè è3âñòàâüòå òàêèå òðè èñëà, êîòîðûå âìåñòå ñ äàííûìè èñëàìè îáðàçóþò ãåîìåòðè åñêóþ ïðîãðåññèþ. Èç óñëîâèÿ çàäàíèÿ èìååì b1, b5 3. Ñëåäóåò íàéòè b, b 3, b Ïî ôîðìóëå n-îãî ëåíà b5 b1 q, ò.å. 3 q è q Äëÿ çíàìåíàòåëÿ ïðîãðåññèè äâå âîçìîæíîñòè: 1) q ; )q. Â ïåðâîì ñëó àå èìååì ãåîìåòðè åñêóþ ïðîãðåññèþ ; 4; 8; 16; 3. Âî âòîðîì: ; 4; 8; 16; 3. Îòâåò: ; 4; 8; 16; 3 èëè ; 4; 8; 16; 3. Ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà Çàäàíèå 8. Ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (b n ) çàäàíà óñëîâèÿìè: b1 4, bn 1 bn 3. Íàéäèòå ïÿòûé ëåí ïðîãðåññèè. 1-é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîé ôîðìóëû) Ïî ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå èìååì: b b , b3 b , b4 b , b5 b é ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû n-îãî ëåíà) Íåîáõîäèìî íàéòè b 5. Òàê êàê â ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè q 1,òîq 3. Ôîðìóëà n-îãî ëåíà èìååò âèä bn bn n 43 1 è b b n Îòâåò: 34.

140 Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ 139 Õàðàêòåðèñòè åñêîå ñâîéñòâî Çàäàíèå 9. Â àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) a 71 38, a Íàéäèòå ñåìüäåñÿò âòîðîé ëåí ýòîé ïðîãðåññèè. Äëÿ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè õàðàêòåðèñòè åñêîå an1 an1 ñâîéñòâî èìååò âèä an, n 1, ïîýòîìó a a a Ïîäñòàâèì èçâåñòíûå äàííûå. Îòâåò: a Çàäàíèå 10. Â ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè (b n ) b , b Íàéäèòå çíàìåíàòåëü è ïåðâûé ëåí ýòîé ïðîãðåññèè. Òàê êàê çàäàíû äåâÿòûé è îäèííàäöàòûé ëåíû ïðîãðåññèè, òî ìîæíî íàéòè äåñÿòûé ëåí ïðîãðåññèè. Âîñïîëüçóåìñÿ õàðàêòåðèñòè åñêèì ñâîéñòâîì: bn bn1 bn 1. b b b b ) b 10 4 èëè ) b Òîãäà çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè ðàâåí 1) q b èëè ) q b b b 1 4 Çàïèøåì ôîðìóëó n-ãî ëåíà äëÿ äåñÿòîãî ëåíà ïðîãðåññèè b b q, 9 ò.å ) 4 b 4 è b 1 4 : ; ) 4 b 4 è b 1 4 : Îòâåò: çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè ðàâåí 4 èëè (4); ïåðâûé ëåí ïðîãðåññèè ðàâåí

141 140 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß a n Ñóììà n ïåðâûõ ëåíîâ Çàäàíèå 11. Â àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) 3n 4. Íàéäèòå ñóììó øåñòíàäöàòè ïåðâûõ ëåíîâ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñóììû n ïåðâûõ ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè èñïîëüçóþò äâå ôîðìóëû Sn a 1 an n è a d n Sn 1 ( 1) n. Êàêóþ èç íèõ â äàííîì ñëó àå óäîáíåå ïðèìåíÿòü? Ïî óñëîâèþ èçâåñòíà ôîðìóëà n-ãî ëåíà èñõîäíîé ïðîãðåññèè: an 3 n 4. Ìîæíî íàéòè ñðàçó è a 1,èa 16 áåç íàõîæäåíèÿ d. Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé. a a S , ãäå a ,àa S Îòâåò: 344. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ àñòü 1 1. Íàéäèòå äåâÿòûé ëåí àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè 3; 7; 1) 33 ) 34 3) 35 4) 36. Íàéäèòå âîñüìîé ëåí àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè an 5 05, n. Îòâåò:. 3. Â àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) a1 1, a 3. Íàéäèòå äâåíàäöàòûé ëåí ýòîé ïðîãðåññèè. Îòâåò:. 4. Êàêîå èñëî íå ÿâëÿåòñÿ ëåíîì àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè: 5; 8; 11;? 1) 53 ) 6 3) 8 4) 95

142 Òåìà 7. ÀÐÈÔÌÅÒÈ ÅÑÊÀß È ÃÅÎÌÅÒÐÈ ÅÑÊÀß ÏÐÎÃÐÅÑÑÈÈ Íàéäèòå øåñòîé ëåí ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè 18; 64; 1) ) 4 3) 6 4) 8 6. Íàéäèòå ïÿòûé ëåí ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè b n n 3 1. Îòâåò:. 7. Íàéäèòå åòâåðòûé ëåí àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (a n ), åñëè a3 a5 4. 1) 9 ) 10 3) 15 4) 1 8. Íàéäèòå ñóììó äåâÿòè ïåðâûõ ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè 4; 11; 1) 86 ) 88 3) 90 4) 9 9. Êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, çàäàííîé ôîðìóëîé n-íîãî ëåíà, ïîñòàâüòå â ñîîòâåòñòâèå âåðíîå óòâåðæäåíèå. À. a n 3n Á. b n 3n Â. c n 3 n 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ; ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ; 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïðîãðåññèåé. 10. Ðàêåòà çà ïåðâóþ ñåêóíäó ïðîëåòåëà 300 ì. Çà êàæäóþ ñëåäóþùóþ ñåêóíäó ðàêåòà ïðîëåòàëà íà 00 ì áîëüøå, åì çà ïðåäûäóùóþ. Êàêîå ðàññòîÿíèå (â êèëîìåòðàõ) ïðîëåòåëà ðàêåòà çà øåñòóþ ñåêóíäó? Îòâåò:. 11. Ðàêåòà çà ïåðâóþ ñåêóíäó ïðîëåòåëà 300 ì. Çà êàæäóþ ñëåäóþùóþ ñåêóíäó ðàêåòà ïðîëåòàëà íà 00 ì áîëüøå, åì çà ïðåäûäóùóþ. Êàêîå ðàññòîÿíèå (â ìåòðàõ) ïðîëåòåëà ðàêåòà çà øåñòü ñåêóíä? Îòâåò:. 1. Ïîåçä çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîøåë 00 ì. Çà êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïîåçä ïðîõîäèë íà 100 ì áîëüøå, åì çà ïðåäûäóùóþ. Êàêîå ðàññòîÿíèå (â ìåòðàõ) ïðîøåë ïîåçä çà n-þ ìèíóòó? 1) 100n 00 3) 00n 100 ) 100n 100 4) 00n 00

143 14 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 13. Íàéòè øåñòîé ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, çàäàííîé ðåêóððåíòíûì ñïîñîáîì b 1 1, b 1, b n1 b n1 b n n. 1) 5 ) 6 3) 7 4) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a n çàäàíà ôîðìóëîé a n n n 1. Íàéäèòå íîìåð ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàâíîãî 7. Îòâåò:. àñòü 15. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ îáðàçóþò àðèôìåòè- åñêóþ ïðîãðåññèþ (À < ÀÑ < ÂÑ). Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí 36 ñì. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÀÑ. 16.  àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (a n ) èçâåñòíî, òî a 3 3, à 5 4. Íàéäèòå ñóììó ñåìè ïåðâûõ ëåíîâ ïðîãðåññèè. 17.  ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè (b n ) b 1 8, b 3 4. Íàéäèòå b  àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè (à n ) èçâåñòíî, òî a 1 4, a Íàéäèòå òðèíàäöàòûé ëåí ïðîãðåññèè. 19. Ñêîëüêî îòðèöàòåëüíûõ ëåíîâ ñîäåðæèò àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ (à n ): 16; 15, 6...? 0. Äàíà àðèôìåòè åñêàÿ ïðîãðåññèÿ: 3,3;,9... Ñêîëüêî ïîëîæèòåëüíûõ ëåíîâ îíà ñîäåðæèò? 1. Íàéòè øåñòîé ëåí àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè: à 1 ; à ; 9,4; a 4 ; 11, Ìåæäó èñëàìè 3è48âñòàâüòå òàêèå òðè èñëà, êîòîðûå âìåñòå ñ äàííûìè èñëàìè îáðàçóþò àðèôìåòè- åñêóþ ïðîãðåññèþ.  îòâåòå çàïèøèòå íàéäåííûå òðè èñëà. 3.  ãåîìåòðè åñêîé ïðîãðåññèè (b n ) b , b Íàéäèòå ïåðâûé ëåí ýòîé ïðîãðåññèè.

144 Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ 1 ÇÀÄÀ È ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäà è (íà ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ, ñèñòåìû óðàâíåíèé, îòíîøåíèÿ) Çàäàíèå 1. Èç 4 ïîåçäîâ, ïðèõîäÿùèõ íà ñòàíöèþ, îòíîøåíèå ïàññàæèðñêèõ ê ñêîðûì ïîåçäàì ñîñòàâëÿåò 4 : 3. Ñêîëüêî ñêîðûõ ïîåçäîâ ïðèõîäèò íà ñòàíöèþ. Èç âñåõ ïîåçäîâ 4 àñòè ñîñòàâëÿþò ïàññàæèðñêèå ïîåçäà, à 3 àñòè ñêîðûå. Ïîëó àåì, òî èç 7 àñòåé ñêëàäûâàåòñÿ èñëî ïîåçäîâ, ïðèõîäÿùèõ íà ñòàíöèþ. Íà îäíó àñòü ïðèõîäèòñÿ 4 : 7 6 ïîåçäîâ. Òàê êàê ñêîðûõ 3 àñòè, òî èõ ïîåçäîâ. Îòâåò:18ïîåçäîâ. Çàäàíèå.Äâà êàðàíäàøà è òðè ëàñòèêà áûëè êóïëåíû çà 45 ðóáëåé, à òðè êàðàíäàøà è åòûðå ëàñòèêà çà 65 ðóáëåé. Ñêîëüêî ñòîèò îäèí êàðàíäàø è îäèí ëàñòèê? 1-é ñïîñîá àðèôìåòè åñêèé. êàðàíäàøà è 3 ëàñòèêà ñòîÿò 45 ðóá., ïîýòîìó 6 êàðàíäàøåé è 9 ëàñòèêîâ ñòîÿò â òðè ðàçà äîðîæå ðóá. Òàê êàê 3 êàðàíäàøà è 4 ëàñòèêà ñòîÿò 65 ðóá., òî 6 êàðàíäàøåé è 8 ëàñòèêîâ ñòîÿò ðóá. 6 êàðàíäàøåé è 9 ëàñòèêîâ ñòîÿò 135 ðóá. 6 êàðàíäàøåé è 8 ëàñòèêîâ ñòîÿò 130 ðóá. 1 ëàñòèê ñòîèò 5 ðóá Ïîëó àåì, òî êàðàíäàø ñòîèò 15 ðóá., à âìåñòå îíè ñòîÿò 0 ðóáëåé. -é ñïîñîá àëãåáðàè åñêèé. Ïóñòü îäèí êàðàíäàø ñòîèò x ðóáëåé, à îäèí ëàñòèê y ðóáëåé, òîãäà ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïî óñëîâèþ çàäà è:

145 144 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß x 3y 45, 6x 9y 135, y 5, 3x 4y 65; 6x 8y 130; x 15. Îäèí êàðàíäàø è îäèí ëàñòèê ñòîÿò x + y (ðóá.) Îòâåò:0ðóá. Çàäà è íà ïðîöåíòû Ïðîöåíòîì èñëà íàçûâàåòñÿ åãî ñîòàÿ àñòü, íàïðèìåð: 1% ýòî îäíà ñîòàÿ èñëà, 1% îò èñëà 500 ýòî èñëî 5, 3% ýòî òðè ñîòûõ èñëà, 3% îò èñëà 500 ýòî èñëî 15. Îòñþäà ëåãêî ïîëó àþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ïîëåçíî ïîìíèòü: 50% èñëà x ýòî åãî ïîëîâèíà (0,5 x); 5% èñëà x ýòî åãî åòâåðòü (0,5 x èëè 1 4 x); 0% èñëà x ýòî åãî ïÿòàÿ àñòü (0, x èëè 1 5 x); 75% èñëà x ýòî åãî òðè åòâåðòè (0,75 x èëè 3 4 x); 100% èñëà x ýòî âñå èñëî (x). Ðåøåíèå ëþáûõ çàäà íà ïðîöåíòû ñâîäèòñÿ ê îñíîâíûì òðåì äåéñòâèÿì ñ ïðîöåíòàìè: íàõîæäåíèå ïðîöåíòîâ îò èñëà Ïðèìåð. Íàéòè 15% îò èñëà 60. 0, Îòâåò:9. íàõîæäåíèå èñëà ïî åãî ïðîöåíòàì Ïðèìåð. Íàéòè èñëî, 1% êîòîðîãî ðàâíû 30. 1% èñêîìîãî èñëà íàì èçâåñòíû ýòî 30. Êàêîå æå ýòî èñëî? Ýòî èñëî (õ) ïðèíèìàåì çà 100% è íàõîäèì åãî: 1% % õ

146 Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Îòâåò: , x 50. x 1 íàõîæäåíèå ïðîöåíòíîãî îòíîøåíèÿ èñåë Ïðèìåð. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò 10 îò 600? % 0 %. 600 Îòâåò: 0%. Ñðåäè çàäà íà ïðîöåíòû, ïðåäëàãàþùèõñÿ íà ýêçàìåíå, ìîæíî âûäåëèòü íåñêîëüêî òèïîâ. Çàäàíèå 3. Ñïðîñ íà òîâàð óâåëè èëñÿ â 5 ðàç. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè èëñÿ ñïðîñ? 1) 500% ) 100% 3) 00% 4) 400% Ïåðâîíà àëüíûé ñïðîñ íà òîâàð (a) ñîñòàâëÿë 100%. Ñïðîñ óâåëè èëñÿ è ñòàë 5a. Ïðîèçîøëî óâåëè åíèå íà 4a. Óâåëè åíèå ñîñòàâèëî 400%. Îòâåò:400%. Çàäàíèå 4. Îáúåì òîâàðîâ óâåëè èëñÿ íà 00%. Âî ñêîëüêî ðàç ïðîèçîøëî óâåëè åíèå? Ïåðâîíà àëüíûé îáúåì òîâàðîâ (a) ñîñòàâëÿë 100%. Îí óâåëè èëñÿ è ñòàë a a 3a. Ïðîèçîøëî óâåëè åíèå â òðè ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà àëüíûì îáúåìîì. Îòâåò:âòðèðàçà. Çàäàíèå 5. Êâàðòïëàòà ñîñòàâëÿëà 000 ðóá. Êàêîé ñòàëà êâàðòïëàòà ïîñëå åå óâåëè åíèÿ íà 0%? 000 ðóá. ñîñòàâëÿþò 100%, x ðóá. ñîñòàâëÿåò 10%. Íàéäåì èç ïðîïîðöèè, êàêîé ñòàëà êâàðòïëàòà ïîñëå óâåëè åíèÿ: x (000 10) : Îòâåò: 400 ðóá.

147 146 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 6. Ìàãàçèí â ïåðâûé äåíü ïðîäàë 40% èìåþùèõñÿ îâîùåé. Çà âòîðîé äåíü îí ïðîäàë 80% îâîùåé, ïðîäàííûõ â ïåðâûé äåíü. Â òðåòèé äåíü îñòàâøèåñÿ 8 êã. Ñêîëüêî êèëîãðàììîâ îâîùåé áûëî â ìàãàçèíå ïåðâîíà àëüíî? Îáîçíà èì çà õ (êã) âåñ èìåâøèõñÿ â ìàãàçèíå îâîùåé. Òîãäà â ïåðâûé äåíü ìàãàçèí ïðîäàë 0,4 õ (êã), à çà âòîðîé äåíü 0,8 (0,4 õ) êã. Çíàÿ, òî â òðåòèé äåíü áûëî ïðîäàíî 8 êã îâîùåé, ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèå: 04, õ 08, ( 04, õ) 8 õ, 0,8 õ 8, õ 100. Îòâåò:100êã. Çàäàíèå 7. Öåíà èçäåëèÿ ñîñòàâëÿëà 1000 ðóá. è áûëà ñíèæåíà ñíà àëà íà 10%, à çàòåì åùå íà 0%. Êàêîâà îêîí àòåëüíàÿ öåíà òîâàðà? Ïîäîáíûå çàäà è, íà íàø âçãëÿä, óäîáíî ðåøàòü ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû ðàññóæäåíèé: Ïåðâîå ñíèæåíèå öåíû òîâàðà áûëî íà 0, ðóá. Ïîñëå ïåðâîãî ñíèæåíèÿ öåíà òîâàðà ñîñòàâèëà ðóá. Âòîðîå ñíèæåíèå öåíû òîâàðà áûëî íà 0, ðóá. Ïîñëå âòîðîãî ñíèæåíèÿ öåíà òîâàðà ñîñòàâèëà ðóá. Îòâåò:70ðóáëåé.

148 Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Çàäàíèå 8. Öåíó òîâàðà ïîâûñèëè íà 5%, çàòåì íîâóþ öåíó ïîâûñèëè åùå íà 10% è, íàêîíåö, ïîñëå ïåðåðàñ- åòà ïðîèçâåëè ïîâûøåíèå öåíû åùå íà 1%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïîâûñèëè ïåðâîíà àëüíóþ öåíó òîâàðà? Îáîçíà èì ïåðâîíà àëüíóþ öåíó òîâàðà çà õ (ðóá.), òîãäà ïîñëå ïåðâîãî ïîâûøåíèÿ öåíà òîâàðà ñòàëà 1,5õ. Âòîðîå ïîâûøåíèå öåíû áûëî íà 0,1 1,5õ. Ïîñëå íåãî öåíà òîâàðà ñòàëà 1,5õ 0,1 1,5õ 1,375õ. Òðåòüå ïîâûøåíèå öåíû íà 1% ïðîèçâîäèëîñü îò öåíû, ïîëó åííîé ïîñëå âòîðîãî ïîâûøåíèÿ, è ñîñòàâèëî 0,1 1,375õ 0,165õ. Ïîñëå ïîñëåäíåãî ïîâûøåíèÿ öåíà òîâàðà ñîñòàâèëà 1,375õ 0,165 õ 1,54õ. Ñõåìà ðàññóæäåíèé áûëà ñëåäóþùåé: Îñòàëîñü âûÿñíèòü ïðîöåíò ïîâûøåíèÿ ïåðâîíà àëüíîé öåíû. Öåíà áûëà ïîâûøåíà íà 1,54õ õ 0,54õ ðóá., òî ñîñòàâëÿåò 54% îò ïåðâîíà àëüíîé öåíû. Îòâåò:54%. Çàäàíèå 9. Ñáåðåãàòåëüíûé áàíê â êîíöå ãîäà íà èñëÿåò 3% ê ñóììå, íàõîäèâøåéñÿ íà ñ åòó. Íà ñêîëüêî ðóáëåé óâåëè èòñÿ ïåðâîíà àëüíûé âêëàä â 1000 ðóáëåé åðåç ãîäà? Ýòà çàäà à íà òàê íàçûâàåìûå «ñëîæíûå ïðîöåíòû». Òàê ãîâîðÿò, êîãäà â çàäà å èäåò ðå ü î ïîýòàïíîì èçìåíåíèè íåêîòîðîé âåëè èíû. Â äàííîì ñëó àå ðàññìîòðèì äâà ýòàïà íà ïåðâîì íà èñëÿåòñÿ ïðîöåíò íà ñóììó, íàõîäèâøóþñÿ íà ñ åòó ïåðâûé ãîä, à íà âòîðîì ýòàïå ïðîèçâîäèòñÿ íà èñëåíèå ïðîöåíòîâ íà ñóììó, ïîëó èâøóþñÿ

149 148 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ïîñëå ïåðâîãî ýòàïà, ò.å. íà ñóììó ñ óæå íà èñëåííûìè ïðîöåíòàìè ïîñëå ïåðâîãî ãîäà ðóá. ïåðâîíà àëüíàÿ ñóììà âêëàäà. Íà èñëåííûå ïðîöåíòû ïîñëå ïåðâîãî ãîäà ñîñòàâÿò 0, Ïî îêîí àíèè ïåðâîãî ãîäà íà ñ åòó îêàæåòñÿ , Ïî îêîí àíèè âòîðîãî ãîäà ïðîöåíòû ñîñòàâÿò 0, ,9. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå äâóõ ëåò ñóììà âêëàäà ñîñòàâèò ,9 1060,9. Ïåðâîíà- àëüíûé âêëàä áûë óâåëè åí íà 60,9 ðóá. Îòâåò: 60,9 ðóáëåé. Çàäàíèå 10. Ïîñëå èñòå åíèÿ äâóõ ëåò ñóììà áàíêîâñêîãî âêëàäà, ïîëîæåííîãî ïîä 3% ãîäîâûõ, âûðîñëà íà 304,5 ðóáëÿ. Íàéäèòå ïåðâîíà àëüíóþ ñóììó âêëàäà. Ïóñòü À ðóáëåé ïåðâîíà àëüíàÿ ñóììà âêëàäà. Òîãäà åðåç ãîä ñóììà âêëàäà ñîñòàâèëà A 003, A A ( 1003, ) 103, À ðóá. Çà âòîðîé ãîä ïðîöåíòû ñîñòàâèëè 003, ( 103, A ). åðåç äâà ãîäà ñóììà âêëàäà ñòàíåò ðàâíîé 103, A 003, ( 103, A) 103, 103, A. Ïîëó àåì óðàâíåíèå: 1, 03 1, 03 A A 304, 5, 0, 0609 A 304, 5, A Îòâåò: 5000 ðóáëåé. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß 1. Öåíó òîâàðà ïîâûñèëè íà 100%, à çàòåì ñíèçèëè íà 50%. Êàê èçìåíèòñÿ öåíà òîâàðà? 1) íå èçìåíèòñÿ ) âîçðàñòåò â ðàçà 3) âîçðàñòåò âïîëîâèíó 4) âîçðàñòåò â ïîëòîðà ðàçà

150 Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Öåíó òîâàðà ïîâûñèëè íà 50%, à çàòåì ñíèçèëè íà 50%. Êàê èçìåíèòñÿ öåíà òîâàðà? 1) íå èçìåíèòñÿ ) ñíèçèòñÿ íà åòâåðòü 3) âîçðàñòåò íà òðåòü 4) ñíèçèòñÿ íà òðåòü 3. Íåêîòîðîå èñëî óìåíüøèëè íà 0%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íàäî óâåëè èòü ðåçóëüòàò, òîáû ïîëó èòü ïåðâîíà àëüíîå èñëî? 1) íà 0% 3) íà 50% ) íà 5% 4) íà 10% 4. Âêëàä èê ïîëîæèë â ñáåðáàíê ðóá. èç ðàñ åòà 1% ãîäîâûõ. Êàêèì áóäåò åãî âêëàä åðåç îäèí ãîä? 1) ) ) ) Ñáåðáàíê â êîíöå ãîäà íà èñëÿåò 4% ãîäîâûõ ê ñóììå, íàõîäÿùåéñÿ íà ñ åòó â íà àëå ãîäà. Êàêèì ñòàíåò ïåðâîíà àëüíûé âêëàä â 500 ð. åðåç îäèí ãîä? 1) 504 ) 550 3) 580 4) Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíîãî ó àñòêà ïëîùàäüþ 19 ì, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîãî áîëüøå äðóãîé íà 4 ì. Îòâåò:. 7. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíîãî ó àñòêà ïëîùàäüþ 5 ì, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîãî áîëüøå äðóãîé íà 4 ì. Îòâåò:. 8. Íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè îò ñòåí êîìíàòû ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû ïëîùàäüþ 4 ì íàõîäèòñÿ êîâåð ðàçìåðàìè 3 ì ì. Êàêîâî ðàññòîÿíèå îò êîâðà äî ñòåí êîìíàòû? Âûáåðèòå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâèþ çàäà è. 9. Ñáåðåãàòåëüíûé áàíê â êîíöå ãîäà íà èñëÿåò % ê ñóììå, íàõîäèâøåéñÿ íà ñ åòó. Íà ñêîëüêî ðóáëåé óâåëè èòñÿ ïåðâîíà àëüíûé âêëàä â 5000 ðóá. åðåç 3 ãîäà? Îòâåò:.

151 150 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 10. Ñáåðáàíê â êîíöå ãîäà íà èñëÿåò 5% ê ñóììå, íàõîäèâøåéñÿ íà ñ åòó. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óâåëè èòñÿ ïåðâîíà àëüíûé âêëàä â 000 ðóá. åðåç ãîäà? Îòâåò:. 11. Èçäåëèå, öåíà êîòîðîãî 500 ðóá., ñíà àëà ïîäîðîæàëî íà 10%, à çàòåì åùå íà 0%. Êàêîâà îêîí àòåëüíàÿ öåíà èçäåëèÿ? 1. Öåíó íà íåêîòîðûé òîâàð ñíà àëà ñíèçèëè íà 30%, à çàòåì ïîâûñèëè íà 0%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ èçìåíèëàñü ïåðâîíà àëüíàÿ öåíà òîâàðà? 13. Öåíó íåêîòîðîãî òîâàðà ñíèçèëè íà 15%, à ïîòîì åùå íà 0%. Íàéäèòå îáùèé ïðîöåíò ñíèæåíèÿ öåíû. 14. Íàéäèòå ïåðâîíà àëüíóþ ñóììó âêëàäà (â ðóáëÿõ), åñëè ïîñëå èñòå åíèÿ òðåõ ëåò îíà âûðîñëà íà 765,1 ðóá. ïðè % ãîäîâûõ. 15. Â ïåðâûé äåíü ñî ñêëàäà áûëî îòïóùåíî 0% èìåâøèõñÿ ÿáëîê. Âî âòîðîé äåíü 180% îò òîãî êîëè åñòâà ÿáëîê, êîòîðîå áûëî îòïóùåíî â ïåðâûé äåíü. Â òðåòèé äåíü îñòàâøèåñÿ 88 êã ÿáëîê. Ñêîëüêî êèëîãðàììîâ ÿáëîê áûëî íà ñêëàäå ïåðâîíà àëüíî? 16. Ïðè ïîâûøåíèè öåíû áèëåòà íà 5% èñëî çðèòåëåé â êèíîòåàòðå óìåíüøèëîñü íà %. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ èçìåíèëàñü âûðó êà òåàòðà? 17. Öåíà ïåðâîãî òîâàðà ïîâûñèëàñü íà 30%, à ïîòîì åùå íà 5%. Öåíà âòîðîãî òîâàðà ïîâûñèëàñü íà 5%. Ïîñëå ïîâûøåíèÿ öåíû òîâàðîâ ñðàâíÿëèñü. Íàéäèòå, íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïåðâîíà àëüíàÿ öåíà îäíîãî òîâàðà áîëüøå ïåðâîíà àëüíîé öåíû äðóãîãî òîâàðà. 18. Çàðïëàòà áûëà ïîâûøåíà äâà ðàçà çà îäèí ãîä íà îäèí è òîò æå ïðîöåíò. Ïðè òàêîì ïîâûøåíèè âìåñòî 100 ðóá. çà îäèí äåíü ðàáî èé ñòàë ïîëó àòü 15,44 ðóá. Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ïîâûñèëàñü çàðïëàòà. 19. Â ñòîëîâîé ïðåäïðèÿòèÿ îáåäàþò 400 åëîâåê. Äèàãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäàæ îáåäåííûõ áëþä ïðåä-

152 Òåìà 8. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ ñòàâëåíà íà ðèñóíêå. Êàêèå óòâåðæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîäàæè îáåäåííûõ áëþä âåðíû? 1. Ñóïû âûáèðàþò ìåíåå 80 åëîâåê.. Áóòåðáðîäû âûáèðàþò áîëåå 80 åëîâåê. 3. Ñóïû è äåñåðòû âûáèðàþò îäèíàêîâîå êîëè åñòâî ëþäåé. 4. àùå âñåãî âûáèðàþò ñàëàòû. 5. Íàïèòêè ñ äåñåðòàìè âûáèðàþò áîëåå 30% ðàáîòíèêîâ ïðåäïðèÿòèÿ. 0. Â ñòîëîâîé ïðåäïðèÿòèÿ îáåäàþò 400 åëîâåê. Äèàãðàììà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäàæ íàïèòêîâ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå. Êàêèå óòâåðæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîäàæè íàïèòêîâ íåâåðíû? 1. Ñîêè âûáèðàþò ìåíåå 10 åëîâåê.. Êîôå âûáèðàþò áîëåå 100 åëîâåê. 3. Âîäó è ñîêè âûáèðàþò áîëüøå, åì êîôå. 4. àùå âñåãî âûáèðàþò àé. 5. Êîôå, âîäó è ñîêè âûáèðàþò ìåíåå 00 ðàáîòíèêîâ ïðåäïðèÿòèÿ.

153 15 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 1. Ïîñåùàåìîñòü íà àëüíîé øêîëû â ðàçíûå äíè íåäåëè ïðåäñòàâëåíà íà äèàãðàììå. Óêàæèòå âåðíûå óòâåðæäåíèÿ, åñëè â íà àëüíîé øêîëå îáó àåòñÿ 500 ó àùèõñÿ. 1. Áîëüøå 90% ó àùèõñÿ ïðèñóòñòâîâàëî íà óðîêàõ òðè äíÿ â íåäåëþ.. Áîëüøå 80% ó àùèõñÿ ïðèñóòñòâîâàëî íà óðîêàõ åòûðå äíÿ â íåäåëþ 3. Ìåíüøå âñåãî ó àùèõñÿ íà óðîêàõ â åòâåðã. 4. Â ïÿòíèöó ïðèñóòñòâîâàëî 400 åëîâåê. 5. Â ïîíåäåëüíèê îòñóòñòâîâàëî ìåíåå 50 åëîâåê. Òåìà 9. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Çàäà è íà «äâèæåíèå» ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Äåéñòâèå äâèæåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ êîìïîíåíòàìè: ïðîéäåííûé ïóòü, ñêîðîñòü è âðåìÿ. Èçâåñòíî ñîîòíîøåíèå ìåæäó íèìè: Ïóòü = ñêîðîñòü âðåìÿ Çàäàíèå1.Ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà îò ïîñåëêà äî ñòàíöèè áûëà íà 1 êì/ áîëüøå, åì íà îáðàòíîì ïóòè. Íà îáðàòíûé ïóòü îí çàòðàòèë íà ìèíóòû áîëüøå. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïóíêòàìè 7 êì. Íàéäèòå ïåðâîíà àëüíóþ ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà. Ïóñòü x (êì/ ) ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà.

154 Òåìà 9. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ 153 Åñëè x êì/ ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà îò ïîñåëêà äî ñòàíöèè, òî (x 1) êì/ ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà íà îáðàòíîì ïóòè. Âðåìÿ âåëîñèïåäèñòà îò ïîñåëêà äî ñòàíöèè 7 x, à âðåìÿ îáðàòíîãî äâèæåíèÿ 7 x 1. Òàê êàê âðåìÿ îáðàòíîãî äâèæåíèÿ íà ìèíóòû (ò.å. 1 íà ) áîëüøå, ñîñòàâèì è ðåøèì óðàâíåíèå: x 1 x 30 Îòâåò:15êì/ ñêîðîñòü âåëîñèïåäèñòà. Çàäàíèå. Êàòåð ïðîøåë 16 êì ïî òå åíèþ ðåêè è7êì îáðàòíî, çàòðàòèâ íà âåñü ïóòü 45 ìèí. Ñêîðîñòü òå åíèÿ ðåêè ðàâíà êì/. Íàéäèòå ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü êàòåðà. Ïóñòü x (êì/ ) ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà. Ñêîðîñòü êàòåðà ïî òå åíèþ (x + ) êì/, à ïðîòèâ òå- åíèÿ (x ) êì/. Âðåìÿ äâèæåíèÿ êàòåðà ïî òå åíèþ 16 x, à ïðîòèâ òå åíèÿ 7 x. Íà âåñü ïóòü êàòåð ïîòðàòèë 16 7 x, èëè 45 ìèí. x Ïåðåâåäåì 45 ìèí â àñû: 45 ìèí = 3 4 ( ) Ðåøèì óðàâíåíèå x x 4. Îòâåò: ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà 30 êì/. Çàäà è «íà ðàáîòó» ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ðàáîòó õàðàêòåðèçóåò òðè êîìïîíåíòà äåéñòâèÿ: âðåìÿ ðàáîòû; îáúåì ðàáîòû; ïðîèçâîäèòåëüíîñòü (êîëè åñòâî ïðîèçâåäåííîé ðàáîòû â åäèíèöó âðåìåíè). Ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè êîìïîíåíòàìè: Îáúåì ðàáîòû âðåìÿ ðàáîòû ïðîèçâîäèòåëüíîñòü.

155 154 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Çàäàíèå 3. Äâå êîïèðîâàëüíûå ìàøèíû ïå àòàþò ðóêîïèñü. Åñëè âñþ ðóêîïèñü áóäåò ïå àòàòü ïåðâàÿ ìàøèíà, òî ðàáîòà áóäåò âûïîëíåíà íà 4 ìèíóòû ïîçæå, åì äâå ìàøèíû, ðàáîòàÿ âìåñòå. Åñëè ïå àòàòü âñþ ðóêîïèñü áóäåò âòîðàÿ ìàøèíà, òî îíà íàïå àòàåò íà 5 ìèíóò ïîçæå, åì îáå ìàøèíû, ðàáîòàÿ âìåñòå. Çà ñêîëüêî ìèíóò ìîæåò íàïå àòàòü ýòó ðóêîïèñü âòîðàÿ ìàøèíà? Ïóñòü âðåìÿ ïå àòè âñåé ðóêîïèñè ïåðâîé ìàøèíîé x (ìèí), à âòîðîé y (ìèí). Òîãäà âðåìÿ îáùåé ðàáîòû äâóõ ìàøèí ìîæíî íàéòè äâóìÿ ñïîñîáàìè: x 4èy 5. Ïîýòîìó ïîëó èì ïåðâîå óðàâíåíèå: x 4 y 5. Ïðèìåì çà åäèíèöó ðàáîòó ïî ïå àòè âñåé ðóêîïèñè. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ïåðâîé ìàøèíû 1 x, ïðîèçâîäèòåëüíîñòü âòîðîé ìàøèíû 1, îáùàÿ èõ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü y 1 1 x y. Çíàÿ èõ îáùåå âðåìÿ ðàáîòû (x 4), ìîæíî ñîñòàâèòü âòîðîå óðàâíåíèå 1 1 x 4 1. x y x 4 y5, Ðåøàÿ ñèñòåìó 1 1, ïîëó èì, òî âòîðàÿ ìàøèíà ìîæåò íàïå àòàòü ðóêîïèñü çà 35 x 4 1 x y ìèíóò. Îòâåò: âòîðàÿ ìàøèíà ìîæåò íàïå àòàòü ðóêîïèñü çà 35 ìèíóò. Çàäà è íà «êîíöåíòðàöèþ», íà «ñìåñè è ñïëàâû» ÒÅÎÐÈÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Â òàêèõ çàäà àõ àñòî âñòðå àþòñÿ ïîíÿòèÿ «ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå» èëè «êîíöåíòðàöèÿ». Íàïðèìåð, åñëè â çàäà å èäåò ðå ü î 9%-íîì ðàñòâîðå óêñóñà, òî ìîæíî ïîíÿòü, òî â ýòîì ðàñòâîðå 9% èñòîãî óêñóñà, à îñòàëüíûå 91% ïðèõîäèòñÿ íà âîäó, ñ êîòîðîé ñìåøèâàëñÿ èñòûé óêñóñ. Òàêæå ìîæíî ñêàçàòü, òî 0,09 àñòè ñîñòàâëÿåò â ýòîì ðàñòâîðå èñòûé óêñóñ, à 0,91 àñòè ïðèõîäèòñÿ íà

156 Òåìà 9. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ 155 âîäó. Ïîíÿòíî, òî îáúåì âñåãî ðàñòâîðà ïðèíèìàåòñÿ çà 100% (èëè çà 1). Â çàäà àõ ýòîãî òèïà îáû íî ïðèñóòñòâóþò òðè âåëè èíû, ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîòîðûìè ïîçâîëÿåò ñîñòàâëÿòü óðàâíåíèå: êîíöåíòðàöèÿ (äîëÿ èñòîãî âåùåñòâà â ñìåñè); êîëè åñòâî èñòîãî âåùåñòâà â ñìåñè (èëè ñïëàâå); ìàññà ñìåñè (ñïëàâà). Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýòèìè âåëè èíàìè ñëåäóþùåå: Ìàññà ñìåñè êîíöåíòðàöèÿ êîëè åñòâî èñòîãî âåùåñòâà. Çàäàíèå 4. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû íàäî äîáàâèòü ê 0 ë ïÿòèïðîöåíòíîãî ðàñòâîðà ñîëè, òîáû ïîëó èòü åòûðåõïðîöåíòíûé ðàñòâîð? Ñîëü ñîäåðæèòñÿ â êàæäîì èç ðàñòâîðîâ. Â 0 ë 5%-íîãî ðàñòâîðà ñîëè ñîäåðæèòñÿ 0 0,05 1 (åä.) ñîëè. Åå êîëè- åñòâî íå ìåíÿåòñÿ. Äîëèâàåòñÿ òîëüêî âîäà. Óçíàåì, êàêîâî åå êîëè åñòâî. Îáîçíà èì x (ë) êîëè åñòâî äîáàâëåííîé âîäû. Èç óñëîâèÿ çàäà è ïîëó àåì, òî 4%-íóþ êîíöåíòðàöèþ ðàñòâîðà õàðàêòåðèçóåò óðàâíåíèå 004,. Ðåøåíèåì 1 0 x óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ x 5. Îòâåò:5ë. Çàäàíèå 5. Èìåþòñÿ äâà êóñêà ñïëàâà ìåäè è öèíêà ñ ïðîöåíòíûì ñîäåðæàíèåì ìåäè 4% è 65% ñîîòâåòñòâåííî. Â êàêîì îòíîøåíèè íóæíî âçÿòü ýòè ñïëàâû, òîáû, ïåðåïëàâèâ, ïîëó èòü ñïëàâ, ñîäåðæàùèé 50% ìåäè? Èçîáðàçèì ñõåìàòè åñêè óñëîâèå çàäà è: êîíöåíòðàöèÿ 0,4 ìàññà ñïëàâà x + êîëè åñòâî ìåäè 0,4x êîíöåíòðàöèÿ 0,65 ìàññà ñïëàâà y êîëè åñòâî ìåäè 0,65y êîíöåíòðàöèÿ 0,5 ìàññà ñïëàâà xy êîëè åñòâî ìåäè 0,5(xy)

157 156 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Êîëè åñòâî ìåäè â êàæäîì ñïëàâå íàéäåíî ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âåëè èíàìè. Ìîæåì ñîñòàâèòü óðàâíåíèå: 0,4 x 0,65 y 0,5(xy). Â ýòîì óðàâíåíèè äâå íåèçâåñòíûõ, à â çàäà å òðåáóåòñÿ íàéòè èõ îòíîøåíèå x. Ðåøàÿ óðàâíåíèå, ïîëó èì y 4x 65y 50(x y), 15y 8x, x : y 5:. Îòâåò: íóæíî âçÿòü ïåðâûé è âòîðîé ñïëàâû â îòíîøåíèè5ê. ÇÀÄÀ È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß 1. Ñêîðîñòü òåïëîõîäà ïî òå åíèþ ðåêè ðàâíà 45, êì/, à ïðîòèâ òå åíèÿ ðåêè ðàâíà 36, êì/. Íàéäèòå ñêîðîñòü òå åíèÿ ðåêè è ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü òåïëîõîäà.. Ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî òå åíèþ ðåêè ðàâíà 5,6 êì/, à ïðîòèâ òå åíèÿ ðåêè ðàâíà 16, êì/. Íàéäèòå ñêîðîñòü òå åíèÿ ðåêè è ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè. 3. Îò äâóõ ïðèñòàíåé, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 9,6 êì, îäíîâðåìåííî íàâñòðå ó äðóã äðóãó îòïðàâèëèñü äâå ëîäêè. Ñêîðîñòü êàæäîé èç íèõ â ñòîÿ åé âîäå ðàâíà 3, êì/. Ñêîðîñòü òå åíèÿ ðåêè ðàâíà,7 êì/. åðåç êàêîå âðåìÿ ëîäêè âñòðåòÿòñÿ? Îòâåò äàéòå â ìèíóòàõ. 4. Ìîòîðíàÿ ëîäêà, ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êîòîðîé ðàâíà 18 êì/, çà 5 àñîâ äâèæåíèÿ ïðîòèâ òå åíèÿ ðåêè ïðîõîäèò òàêîé æå ïóòü, êàê çà 4 àñà äâèæåíèÿ ïî òå åíèþ ðåêè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîïëûâåò çà åòâåðòü àñà áðîøåííàÿ â ýòó ðåêó ñïè êà? Îòâåò óêàæèòå â ìåòðàõ. 5. Ëîäêà ïëûëà 3 ïîòå åíèþ è4 ïðîòèâ òå åíèÿ. Çà ýòî âðåìÿ îíà ïðîøëà 108 êì. Ñêîðîñòü ëîäêè ïðîòèâ òå åíèÿ ñîñòàâëÿåò 60 % ñêîðîñòè ëîäêè ïî òå åíèþ. Íàéòè ñêîðîñòü òå åíèÿ ðåêè. 6. Çà àñà ãðóçîâèê ïðîåçæàåò íà 0 êì áîëüøå, åì ëåãêîâîé àâòîìîáèëü çà 1 àñ. Ñêîðîñòü ëåãêîâîãî àâòîìîáèëÿ â 1,5 ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè ãðóçîâèêà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü êàæäîãî.

158 Òåìà 9. ÒÅÊÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀ È ÀÑÒÈ Äâà ìîòîöèêëèñòà îòïðàâëÿþòñÿ íàâñòðå ó äðóã äðóãó îäíîâðåìåííî èç äâóõ ïóíêòîâ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 00 êì, è âñòðå àþòñÿ åðåç 4. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü êàæäîãî âåëîñèïåäèñòà, åñëè ñêîðîñòü ó îäíîãî èç íèõ íà 10 êì/ áîëüøå, åì ó äðóãîãî. 8. Äâà òóðèñòà îòïðàâëÿþòñÿ íàâñòðå ó äðóã äðóãó îäíîâðåìåííî èç äâóõ ïóíêòîâ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 44 êì, è âñòðå àþòñÿ åðåç 4. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü êàæäîãî ïåøåõîäà, åñëè ñêîðîñòü ó îäíîãî èç íèõ îíà íà 1 êì/ áîëüøå, åì ó äðóãîãî. 9. Åñëè âåëîñèïåäèñò áóäåò åõàòü ñî ñêîðîñòüþ 1 êì/, òî îí îïîçäàåò íà 1 àñ. Åñëè æå îí áóäåò åõàòü ñî ñêîðîñòüþ 18 êì/, òî îí ïðèåäåò íà 1 ðàíüøå. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí äîëæåí åõàòü, òîáû ïðèåõàòü âîâðåìÿ? 10. Åñëè òóðèñò áóäåò èäòè ñî ñêîðîñòüþ 3 êì/, òî îí îïîçäàåò íà àñà. Åñëè æå îí áóäåò èäòè ñî ñêîðîñòüþ 5 êì/, òî îí ïðèäåò íà ðàíüøå. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí äîëæåí èäòè, òîáû ïðèáûòü âîâðåìÿ? 11. Èç ãîðîäîâ  è À, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 90 êì, âûåõàëè îäíîâðåìåííî íàâñòðå ó äðóã äðóãó äâà âåëîñèïåäèñòà, ñêîðîñòü îäíîãî èç íèõ áûëà íà 3 êì/ áîëüøå ñêîðîñòè äðóãîãî. åðåç 3 àñà âåëîñèïåäèñòû îêàçàëèñü íà ðàññòîÿíèè 9 êì äðóã îò äðóãà. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ åõàë êàæäûé âåëîñèïåäèñò? 1. Èç ãîðîäîâ ÑèÀ,ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî 30 êì, âûåõàëè îäíîâðåìåííî íàâñòðå ó äðóã äðóãó äâà ìîòîöèêëèñòà, ñêîðîñòü îäíîãî èç íèõ áûëà íà 5 êì/ áîëüøå ñêîðîñòè äðóãîãî. åðåç 4 àñà ìîòîöèêëèñòû îêàçàëèñü íà ðàññòîÿíèè 0 êì äðóã îò äðóãà. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ åõàë êàæäûé ìîòîöèêëèñò? 13. òîáû âûïîëíèòü çàäàíèå â ñðîê, ðàáî èé äîëæåí áûë èçãîòàâëèâàòü åæåäíåâíî ïî 10 äåòàëåé. Óñîâåðøåíñòâîâàâ ñòàíîê, îí óâåëè èë åæåäíåâíóþ âûðàáîòêó íà 30% è ïîòîìó âûïîëíèë çàäàíèå íà 3 äíÿ ðàíüøå ñðîêà. Ñêîëüêî âñåãî äåòàëåé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü ðàáî èé?

159 158 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 14. òîáû âûïîëíèòü çàäàíèå â ñðîê, òîêàðü äîëæåí áûë èçãîòàâëèâàòü åæåäíåâíî ïî 50 äåòàëåé. Óñîâåðøåíñòâîâàâ ñòàíîê, îí óâåëè èë åæåäíåâíóþ âûðàáîòêó íà 10% è ïîòîìó âûïîëíèë çàäàíèå íà 1 äåíü ðàíüøå ñðîêà. Ñêîëüêî âñåãî äåòàëåé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü ðàáî èé? 15. òîáû âûïîëíèòü çàäàíèå â ñðîê, ðàáî èé äîëæåí áûë èçãîòàâëèâàòü åæåäíåâíî ïî 0 äåòàëåé. Óñîâåðøåíñòâîâàâ ñòàíîê, îí óâåëè èë åæåäíåâíóþ âûðàáîòêó íà 40% è ïîòîìó âûïîëíèë çàäàíèå íà äíÿ ðàíüøå ñðîêà. Ñêîëüêî âñåãî äåòàëåé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü ðàáî èé? 16. Ê 40%-íîìó ðàñòâîðó ñîëÿíîé êèñëîòû äîáàâèëè 50 ã èñòîé êèñëîòû, ïîñëå åãî êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðà ñòàëà ðàâíîé 60%. Íàéäèòå ïåðâîíà àëüíûé âåñ ðàñòâîðà. 17. Êàêîå êîëè åñòâî âîäû íóæíî äîáàâèòü â 1 ëèòð 9%-íîãî ðàñòâîðà óêñóñà, òîáû ïîëó èòü 3%-íûé ðàñòâîð? 18. Ñïëàâèëè äâà ñëèòêà, ñîäåðæàíèå öèíêà â êîòîðûõ áûëî 64% è 84% ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó èëñÿ ñïëàâ, ñîäåðæàùèé 76% öèíêà. Åãî âåñ 50 ã. Ñêîëüêî âåñèë êàæäûé èç ñïëàâëåííûõ ñëèòêîâ? 19. Èìåþòñÿ äâà êóñêà ñïëàâà ìåäè è öèíêà ñ ïðîöåíòíûì ñîäåðæàíèåì ìåäè 30% è 55% ñîîòâåòñòâåííî. Â êàêîì îòíîøåíèè íóæíî âçÿòü ýòè ñïëàâû, òîáû, ïåðåïëàâèâ, ïîëó èòü ñïëàâ, ñîäåðæàùèé 40% ìåäè? 0. Êàêîå êîëè åñòâî âîäû íàäî äîáàâèòü êë18%-íîãî ðàñòâîðà ñîëè, òîáû ïîëó èòü 16%-íûé ðàñòâîð? Òåìà 10. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Âñòðå àÿñü ñ ðàçëè íûìè ñëó àéíûìè ñîáûòèÿìè, ìû àñòî äàåì îöåíêó ñòåïåíè èõ äîñòîâåðíîñòè. Äîëþ óñïåõà

160 Òåìà 10. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 159 òîãî èëè èíîãî ñîáûòèÿ À ìàòåìàòèêè âûðàæàþò èñëîì è íàçûâàþò âåðîÿòíîñòüþ ýòîãî ñîáûòèÿ Ð(À). Äëÿ âû èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ, êîòîðîå ìîæåò çàêîí èòüñÿ êîíå íûì èñëîì ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êëàññè åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè: m PA ( ), n ãäå m èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïðè êîòîðûõ ñîáûòèå À ïðîèñõîäèò, n èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Íàïðèìåð, äëÿ âû èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ «âûïàëî äâà î êà» ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè, íàéäåì èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ áðîñàíèÿ èãðàëüíîé êîñòè èõ øåñòü; èç íèõ èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ íàñòóïëåíèþ ñîáûòèÿ «âûïàëî äâà î êà» òîëüêî îäíî. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ïîëó àåì, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ «âûïàëî äâà î êà» ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè ðàâíà 1 6. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèå 1. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âûïàäåò èñëî î êîâ, êðàòíîå 3. Â ðåçóëüòàòå îäíîãî áðîñàíèÿ èãðàëüíîé êîñòè ìîæåò íàñòóïèòü îäíèì èç øåñòè ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ: âûïàëî «îäíî î êî», «äâà î êà», «òðè î êà», «åòûðå î êà», «ïÿòü î êîâ», «øåñòü î êîâ». Ïðè ýòîì èñëà, êðàòíûå 3, âûïàäàþò â äâóõ ñëó àÿõ: âûïàëî «òðè î êà» è âûïàëî «øåñòü î êîâ».

161 160 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü òîãî, òî ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âûïàäåò èñëî î êîâ, êðàòíîå 3, ðàâíà 6, ò.å Îòâåò: 1 3. Çàäàíèå.Ìàëûø, íå óìåþùèé èòàòü, èãðàåò ñ òðåìÿ êàðòî êàìè ðàçðåçíîé àçáóêè «è», «ì», «ð». Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî, èñïîëüçóÿ âñå êàðòî êè, îí âûëîæèò ñëîâî «ìèð»? Ïîäñ èòàåì, ñêîëüêî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, íå îáÿçàòåëüíî îñìûñëåííûõ, ìîæåò ïîëó- èòüñÿ: «èìð», «èðì», «ìèð», «ìðè», «ðèì», «ðìè», ò.å. øåñòü ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Òîëüêî â îäíîì èç íèõ ïîëó èòñÿ ñëîâî «ìèð», ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü âûëîæèòü ñëîâî «ìèð» ðàâíà 1. Êñòàòè, âåðîÿòíîñòü âûëîæèòü ñëîâî «ðèì» 6 òîæå ðàâíà 1 6. Îòâåò: 1 6. Çàäàíèå 3. Â ÿùèêå ëåæàò 10 îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ: çåëåíûõ, 3 êðàñíûõ, 5 ñèíèõ. Èç ÿùèêà âûíóëè íàóäà ó îäèí øàð. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî âûíóòûé øàð: 1) çåëåíûé; ) íå çåëåíûé. 1) Ïóñòü ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, òî âûíóòûé øàð çåëåíûé. èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïûòà ðàâíî 10. èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïðè êîòîðûõ ñîáûòèå À ïðîèñõîäèò, ðàâíî äâóì. Ïîëó àåì, òî âåðîÿòíîñòü âçÿòü çåëåíûé øàð ðàâíà PA ( ) 0., 10

162 Òåìà 10. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 161 ) Ïóñòü ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, òî âûíóòûé øàð íå çåëåíûé, ò.å. îí èëè êðàñíûé èëè ñèíèé. èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïûòà ðàâíî 10. èñëî âñåõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ íàñòóïëåíèþ ñîáûòèÿ À, ðàâíî 8 (òðè êðàñíûõ èëè ïÿòü ñèíèõ). Ïîëó- àåì, òî âåðîÿòíîñòü âçÿòü íå çåëåíûé øàð ðàâíà 8 PA ( ) 08., 10 Îòâåò: 1) 0,; ) 0,8. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âûïàäåò èñëî î êîâ, êðàòíîå.. Ìàëûø, íå óìåþùèé èòàòü, èãðàåò ñ òðåìÿ êàðòî êàìè ðàçðåçíîé àçáóêè «î», «ñ», «ê». Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî, èñïîëüçóÿ âñå êàðòî êè, îí âûëîæèò ñëîâî «ñîê»? 3. Ìàëûø, íå óìåþùèé èòàòü, èãðàåò ñ òðåìÿ êàðòî êàìè ðàçðåçíîé àçáóêè «î», «ê», «ê». Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî, èñïîëüçóÿ âñå êàðòî êè, îí âûëîæèò ñëîâî «êîê»? 4. Ìàëûø, íå óìåþùèé èòàòü, èãðàåò ñ åòûðüìÿ êàðòî êàìè ðàçðåçíîé àçáóêè «à», «ì», «ì», «à». Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî, èñïîëüçóÿ âñå êàðòî êè, îí âûëîæèò ñëîâî «ìàìà»? 5. Ìàëûø, íå óìåþùèé èòàòü, èãðàåò ñ åòûðüìÿ êàðòî êàìè ðàçðåçíîé àçáóêè «ò», «ñ», «î», «ë». Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî, èñïîëüçóÿ âñå êàðòî êè, îí âûëîæèò ñëîâî «ñòîë»? 6. Â ÿùèêå ëåæàò 10 îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ: 1 çåëåíûé, 3 êðàñíûõ, 6 ñèíèõ. Èç ÿùèêà âûíóëè íàóäà ó îäèí øàð. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî âûíóòûé øàð: 1) êðàñíûé; ) íå êðàñíûé.

163 16 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 7. Â ÿùèêå ëåæàò 0 îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ: 1 çåëåíûõ, 3 êðàñíûõ, 5 ñèíèõ. Èç ÿùèêà âûíóëè íàóäà ó îäèí øàð. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî âûíóòûé øàð: 1) ñèíèé; ) íå ñèíèé. 8. Â ÿùèêå ëåæàò 0 îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ: 1 çåëåíûõ, 3 êðàñíûõ, 5 ñèíèõ. Èç ÿùèêà âûíóëè íàóäà ó îäèí øàð. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, òî âûíóòûé øàð êðàñíûé èëè ñèíèé? 9. Â áàðàáàíå ëåæàò îäèíàêîâûå íà îùóïü øàðû ëîòåðåè ñ íîìåðàìè îò 1 äî 36. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, òî íîìåð âûíóòîãî íàóäà ó øàðà äåëèòñÿ: 1) íà 3; ) íà 4? 10. Â áàðàáàíå ëåæàò îäèíàêîâûå íà îùóïü øàðû ëîòåðåè ñ íîìåðàìè îò 1 äî 36. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, òî íîìåð âûíóòîãî íàóäà ó øàðà îêàæåòñÿ: 1) ïðîñòûì èñëîì; ) ñîñòàâíûì èñëîì; 3) êâàäðàòîì êàêîãî-ëèáî íàòóðàëüíîãî èñëà? 11. Íà êàðòå íåîáèòàåìîãî îñòðîâà îòìå åíî 10 ìåñò, â äâóõ èç íèõ çàðûòû êëàäû. Áûâøèé ïèðàò âûáèðàåò íàóäà ó îäíî èç îòìå åííûõ ìåñò è íà èíàåò êîïàòü. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, òî ïèðàò íàòêíåòñÿ íà êëàä? 1. Íà êàðòå íåîáèòàåìîãî îñòðîâà îòìå åíî 10 ìåñò, â äâóõ èç íèõ çàðûòû êëàäû. Áûâøèé ïèðàò âûáèðàåò íàóäà ó îäíî èç îòìå åííûõ ìåñò è íà èíàåò êîïàòü. Óáåäèâøèñü, òî â âûáðàííîì ìåñòå êëàäà íåò, îí ñëó- àéíûì îáðàçîì âûáèðàåò îäíî èç îñòàâøèõñÿ ìåñò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, òî ïèðàò íàòêíåòñÿ íà êëàä? Òåìà 11. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ñòàòèñòè åñêèå äàííûå ïîçâîëÿþò ïðèíèìàòü ïðàâèëüíûå óïðàâëåí åñêèå ðåøåíèÿ, âûÿâëÿòü çàêîíîìåðíîñòè, îïèñûâàòü ÿâëåíèÿ ïîâñåäíåâíîé æèçíè.

164 Òåìà 11. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ 163 Ñðàâíèâàòü ìåæäó ñîáîé íåñêîëüêî ñîâîêóïíîñòåé ñòàòèñòè åñêèõ äàííûõ, ìîæíî, èñïîëüçóÿ ðàçëè íûå èõ èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Ðàçìàõîì íàáîðà èñåë íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì èñëîì. Ñðåäíèì àðèôìåòè åñêèì (ñðåäíèì çíà åíèåì) íåñêîëüêèõ èñåë íàçûâàåòñÿ èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ ñóììû ýòèõ èñåë ê èõ êîëè åñòâó. Ìîäà ýòî èñëî, êîòîðîå âñòðå àåòñÿ â èñëîâîì ðÿäó àùå âñåãî. èñëîâîé ðÿä ìîæåò èìåòü îäíó ìîäó èëè íåñêîëüêî, íî ìîæåò è íå èìåòü ìîäû. Ìåäèàíà ýòî èñëî, êîòîðîå äåëèò óïîðÿäî åííûé ðÿä èñåë íà äâå ðàâíûå ïî êîëè åñòâó ýëåìåíòîâ àñòè. Åñëè èñëî èñåë ðÿäà íå åòíî, òî ìåäèàíà ýòî èñëî, íàõîäÿùååñÿ â ñåðåäèíå óïîðÿäî åííîãî ðÿäà èñåë. Åñëè êîëè åñòâî èñåë â ðÿäå åòíî, òî ìåäèàíà ðàâíà ïîëóñóììå èñåë, ñòîÿùèõ íà ñðåäíèõ ìåñòàõ. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Çàäàíèå 1. Íàéäèòå ðàçìàõ, ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå, ìîäó, ìåäèàíó èñëîâîãî ðÿäà 5, 5, 6, 5, 9. 9 íàèáîëüøåå èñëî ðÿäà, 5 íàèìåíüøåå. Ðàçìàõ èñëîâîãî ðÿäà ðàâåí Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè åñêîãî íàéäåì ñóììó èñåë ðÿäà è èõ êîëè åñòâî 5 øòóê. Ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå ðàâíî àùå âñåãî â èñëîâîì ðÿäó âñòðå àåòñÿ èñëî 5, çíà- èò ìîäà ðÿäà ðàâíà 5.

165 164 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Óïîðÿäî èì ðÿä èñåë ïî âîçðàñòàíèþ è íàéäåì ñåðåäèííîå èñëî ðÿäà: 5, 5, 5, 6, 9. Ìåäèàíà ðÿäà ðàâíà 5. Îòâåò.Ðàçìàõ ðÿäà ðàâåí 4, ñðåäíåå ðÿäà ðàâíî 6, ìîäà ðàâíà 5, ìåäèàíà ðàâíà 5. Çàäàíèå. Íàéäèòå ðàçìàõ, ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå, ìîäó, ìåäèàíó èñëîâîãî ðÿäà 35, 30, 5, 50, 45, íàèáîëüøåå èñëî ðÿäà, 5 íàèìåíüøåå. Ðàçìàõ èñëîâîãî ðÿäà ðàâåí 50 5 = 5. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè åñêîãî, íàéäåì ñóììó èñåë ðÿäà è èõ êîëè åñòâî 6 øòóê. Ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå ðàâíî , Äàííûé ðÿä ìîäû íå èìååò, òàê êàê êàæäîå èç èñåë âñòðå àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç. Óïîðÿäî èì ðÿä èñåë ïî âîçðàñòàíèþ è íàéäåì ñåðåäèííîå èñëî ðÿäà: 5, 30, 35, 40, 45, 50. Â äàííîì ðÿäå 6 èñåë, ïîýòîìó ìåäèàíó ðÿäà íàéäåì, êàê ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå èñåë 35 è 40. Ìåäèàíà ðÿäà ðàâíà 37,5. Îòâåò: Ðàçìàõ ðÿäà ðàâåí 5, ñðåäíåå ðÿäà è ìåäèàíà ðàâíû 37,5. Çàäàíèå 3. Ðîñò Ïåòðà ðàâåí 154 ñì, à ìåäèàíà ðîñòîâ âñåõ ìàëü èêîâ åãî êëàññà ðàâíà 15 ñì. Êàêîå èç óòâåðæäåíèé âåðíî? 1) Â êëàññå åñòü îáÿçàòåëüíî ìàëü èê (íå Ïåòð) ðîñòîì áîëåå 15 ñì. ) Â êëàññå åñòü îáÿçàòåëüíî ìàëü èê ðîñòîì ìåíåå 15 ñì. 3) Â êëàññå åñòü îáÿçàòåëüíî ìàëü èê íèæå Ïåòðà. 4) Â êëàññå åñòü îáÿçàòåëüíî ìàëü èê âûøå Ïåòðà.

166 Òåìà 11. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ 165 Ìåäèàíà ýòî ñåðåäèííîå èñëî óïîðÿäî åííîãî ðÿäà. Àíàëèç óñëîâèÿ ïîêàçûâàåò, òî â êëàññå åñòü äâå ãðóïïû ìàëü èêîâ. Ðîñò ìàëü èêîâ ïåðâîé ãðóïïû ìåíüøå èëè ðàâåí 15 ñì, ðîñò ìàëü èêîâ âòîðîé ãðóïïû âûøå èëè ðàâåí 15 ñì. Ïåòð âõîäèò âî âòîðóþ ãðóïïó, çíà èò, îäèí èëè íåñêîëüêî ìàëü èêîâ äîëæíû áûòü â ïåðâîé ãðóïïå, ò.å. èõ ðîñò äîëæåí áûòü ìåíüøå èëè ðàâåí 15 ñì. Ïîýòîìó óòâåðæäåíèÿ 1) è 4) íåâåðíû. Óòâåðæäåíèå ) òàêæå íåâåðíî. Â êà åñòâå ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü ðÿä ðîñòîâ òðîèõ ìàëü èêîâ: 15, 15, 154. Òàê êàê ìåäèàíà ðîñòîâ ìåíüøå ðîñòà Ïåòðà, çíà èò, â êëàññå åñòü ìàëü èê ðîñòîì ìåíåå 154 ñì. Îòâåò: 3. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß àñòü 1 1. Ðàññìîòðèòå ðÿä èñåë: 5; 5; 1; 4; 3. Íàéäèòå: à) ðàçìàõ; á) ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå; â) ìåäèàíó; ã) ìîäó.. Ðàññìîòðèòå ðÿä èñåë: 4; 9; 5; ; ; 5. Íàéäèòå: à) ðàçìàõ; á) ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå; â) ìåäèàíó; ã) ìîäó. 3. Íà ãðàôèêå æèðíûìè òî êàìè ïîêàçàíû öåíû îäíîé àêöèè àâòîìîáèëüíîãî çàâîäà â ïåðèîä ñ 5 ïî 10 îêòÿáðÿ 009 ãîäà (â ðóáëÿõ çà àêöèþ). Äëÿ íàãëÿäíîñòè æèðíûå òî êè íà ãðàôèêå ñîåäèíåíû ëèíèåé.

167 166 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß à) Îïðåäåëèòå ïî ãðàôèêó ðàçíîñòü íàèáîëüøåé è íàèìåíüøåé öåíû â ïåðèîä ñ 5 ïî 7 îêòÿáðÿ 009 ãîäà. Îòâåò äàéòå â ðóáëÿõ. á) Îïðåäåëèòå ñðåäíåå çíà åíèå è ìîäó öåíû îäíîé àêöèèñ5ïî9îêòÿáðÿ 009 ãîäà. â) Áðîêåð êóïèë 5 îêòÿáðÿ 70 àêöèé è ïðîäàë 9 îêòÿáðÿ. åìó ðàâíà ïðèáûëü áðîêåðà? ã) Áðîêåð êóïèë 6 îêòÿáðÿ 40 àêöèé è ïðîäàë èõ 7 îêòÿáðÿ. Ñêîëüêî ïîòåðÿë îí äåíåã íà ýòîé ñäåëêå? 4. Ðîñò Îëüãè ðàâåí 146 ñì, à ñðåäíèé ðîñò âñåõ äåâî åê èç åå êëàññà ðàâåí 148 ñì. Êàêîå èç óòâåðæäåíèé âåðíî? 1) Â êëàññå âñå äåâî êè, êðîìå Îëüãè, èìåþò ðîñò 148 ñì. ) Â êëàññå îáÿçàòåëüíî åñòü äåâî êà ðîñòîì 148 ñì. 3) Â êëàññå îáÿçàòåëüíî åñòü äåâî êà ðîñòîì áîëåå 148 ñì. 4) Â êëàññå îáÿçàòåëüíî åñòü äåâî êà ðîñòîì 150 ñì. 5. Çàïèñàí ðîñò 5 ó àùèõñÿ: 14, 14, 136, 138, 144. Íà ñêîëüêî îòëè àåòñÿ ìåäèàíà ýòîãî íàáîðà èñåë îò åãî ñðåäíåãî àðèôìåòè åñêîãî? 6. Â ðÿäó äàííûõ, ñîñòîÿùèõ èç 10 èñåë, íàèáîëüøåå èñëî óâåëè èëè íà 8. Êàê èçìåíèòñÿ ïðè ýòîì: à) ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå; á) ðàçìàõ? 7. Â ðÿäó äàííûõ, ñîñòîÿùèõ èç 10 èñåë, íàèìåíüøåå èñëî óìåíüøèëè íà 5. Êàê èçìåíèòñÿ ïðè ýòîì: à) ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå; á) ðàçìàõ? 8. Â ðÿäó èñåë 4, 6, _, 1, 10 îäíî èñëî îêàçàëîñü ñòåðòûì. Âîññòàíîâèòå åãî, çíàÿ, òî ñðåäíåå àðèôìåòè åñêîå ýòèõ èñåë ðàâíî Â ðÿäó èñåë 4, 6, _, 1, 10 îäíî èñëî îêàçàëîñü ñòåðòûì. Âîññòàíîâèòå åãî, çíàÿ, òî ðàçìàõ ðÿäà ðàâåí 10.

168 Òåìà 11. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ Â ôåðìåðñêîì õîçÿéñòâå îòâåäåíî ïîä ïøåíèöó äâà ó àñòêà 5 ãà è 15 ãà. Ñðåäíÿÿ óðîæàéíîñòü íà ïåðâîì ó àñòêå ñîñòàâëÿåò 5 öñ1ãà,íàâòîðîì 15 öñ1ãà. åìó ðàâíà ñðåäíÿÿ óðîæàéíîñòü ïøåíèöû â ýòîì õîçÿéñòâå?

169 168 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ÒÅÎÐÅÒÈ ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß Ìîäóëü «Ãåîìåòðèÿ» Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß a, b, c ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. α, β, γ óãëû òðåóãîëüíèêà, A óãîë, ëåæàùèé ïðîòèâ ñòîðîíû a, B óãîë, ëåæàùèé ïðîòèâ ñòîðîíû b, C óãîë, ëåæàùèé ïðîòèâ ñòîðîíû c. h a, h b, h c âûñîòû òðåóãîëüíèêà, îïóùåííûå èç âåðøèí, ñîîòâåòñòâåííî íà ñòîðîíû a, b è c. R ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëü - íèêà. r ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê. P ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, p ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. S ïëîùàäü ìíîãîóãîëüíèêà èëè êðóãà Ñ äëèíà îêðóæíîñòè. Òðåóãîëüíèêè Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà â òî êå ïåðåñå åíèÿ äåëÿòñÿ â îòíîøåíèè : 1, ñ èòàÿ îò âåðøèíû. Êàæäàÿ ìåäèàíà äåëèò òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîâåëèêèõ òðåóãîëüíèêà. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ òî êîé ïåðåñå åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà. Öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, ÿâëÿåòñÿ òî êîé ïåðåñå åíèÿ åãî áèññåêòðèñ. Åñëè óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî ïëîùàäè ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ ñòîðîí, çàêëþ àþùèõ ðàâíûå óãëû. S = 1 ah, S = 1 bcsin abc A, a S = 4 R, S = pr, S = p( p a)( p b)( p c ) (ôîðìóëà Ãåðîíà)

170 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 169 a b c = = = R (òåîðåìà ñèíóñîâ) sin A sin B sinc a = b + c bccosa (òåîðåìà êîñèíóñîâ) Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (a-êàòåò, b-êàòåò, c-ãèïîòåíóçà) Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå a + b = c (òåîðåìà Ïèôàãîðà). Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî c òðåóãîëüíèêà, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû: R =. Ñóììà îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 90. Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ëåæàùèé ïðîòèâ óãëà â 30, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû. Ñèíóñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. Êîñèíóñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòå íóçå. Òàíãåíñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ïðèëåæàùåìó. Êîòàíãåíñîì îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèëåæàùåãî êàòåòà ê ïðîòèâîëåæàùåìó. Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå òðè îòðåçêà âûñîòà, ìåäèàíà è áèññåêòðèñà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèþ, ðàâíû. Ïàðàëëåëîãðàìì Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà òî êîé ïåðåñå åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿò åãî íà åòûðå ðàâíîâåëèêèõ òðåóãîëüíèêà.

171 170 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû è ïàðàëëåëüíû. = a S ah, S = absin( a, b ), ãäå a è b ñìåæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà, h a âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå a. Ïðÿìîóãîëüíèê Èìååò âñå ñâîéñòâà ïàðàëëåëîãðàììà. Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû. S = ab, ãäå a è b ñìåæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðîìá Èìååò âñå ñâîéñòâà ïàðàëëåëîãðàììà. Âñå ñòîðîíû ðîìáà ðàâíû. Äèàãîíàëè ðîìáà ïåðïåíäèêóëÿðíû è äåëÿò åãî óãëû ïîïîëàì. Êâàäðàò Èìååò âñå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíèêà. Ñòîðîíû êâàäðàòà ðàâíû. Äèàãîíàëè êâàäðàòà ïåðïåíäèêóëÿðíû è ðàâíû. Òðàïåöèÿ a + b S = h, ãäå a è b îñíîâàíèÿ òðàïåöèè, h åå âûñîòà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå. S круга Êðóã è îêðóæíîñòü =πr, ãäå r ðàäèóñ êðóãà. C = π r, ãäå r ðàäèóñ îêðóæíîñòè.

172 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 171 Âïèñàííûå óãëû Âïèñàííûé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà ïîëóîêðóæíîñòü, ïðÿìîé. Âïèñàííûé åòûðåõóãîëüíèê Â ëþáîì âïèñàííîì åòûðåõóãîëüíèêå ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180. Îïèñàííûé åòûðåõóãîëüíèê Â ëþáîì îïèñàííîì åòûðåõóãîëüíèêå ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå åíû ñåêóùåé, òî íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå åíû ñåêóùåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå åíû ñåêóùåé, òî ñóììà îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÀÊÒÈÂÍÎÃÎ ÎÁÓ ÅÍÈß (ñ êîììåíòàðèÿìè, ðåøåíèÿìè, îòâåòàìè) Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê Çàäàíèå 1. Äàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 6. Íàéäèòå: 1) ïåðèìåòð; ) âûñîòó; 3) ïëîùàäü; 4) ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 5) äëèíó âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 6) ïëîùàäü âïèñàííîãî êðóãà; 7) ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 8) äëèíó âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 9) ïëîùàäü âïèñàííîãî êðóãà; 10) ïëîùàäü åòûðåõóãîëüíèêà ÎÀ 1 ÑÂ 1. 1) Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå âñåõ åãî ñòîðîí: Ð = = 18.

173 17 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ) Âñå âûñîòû â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ðàâíû. Íàéäåì, íàïðèìåð, âûñîòó BB 1 èç òðåóãîëüíèêà ABB 1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà: BB1 = AB AB 1 = 6 3 = 7. BB 1 = 7 = 9 3 = ) Íàéäåì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, çíàÿ äëèíó ñòîðîíû ÀÑ, è ïðîâåäåííóþ ê íåé âûñîòó BB 1 : S ABC = 0,5 AC BB = 0, = ) Â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå öåíòðû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàþò. Öåíòðîì îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿ òî êà ïåðåñå åíèÿ ìåäèàí, áèññåêòðèñ è âûñîò. Ðàäèóñîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ OB 1 1 = BB = 3 3 =

174 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 173 5) Äëèíà âïèñàííîé îêðóæíîñòè Ñ ðàâíà, ãäå r = OB =. C = 3π ) Ïëîùàäü âïèñàííîãî êðóãà S ðàâíà r OB 1 3. S =π 3 = 3 π. = = ( ) π r, ãäå 7) Â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ýòî òî êà ïåðåñå åíèÿ ìåäèàí, áèññåêòðèñ è âûñîò, ïîýòîìó ðàäèóñîì îïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ OB = BB = 3 3 = ) Äëèíà îïèñàííîé îêðóæíîñòè Ñ ðàâíà π R, ãäå R = OB = 3. C = 4 3π. 9) Ïëîùàäü îïèñàííîãî êðóãà ðàâíà π R, ïîýòîìó S =π ( 3) = 1π. 10) Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà, ïåðåñåêàÿñü, îáðàçóþò øåñòü òðåóãîëüíèêîâ ðàâíûõ ïî ïëîùàäè, ïîýòîìó 1 SOBC = S 1 ABC 6. Íàéäåì ïëîùàäü åòûðåõóãîëüíèêà ÎÀ 1 ÑÂ 1 : 1 SOA CB = S 1 OB1C = SABC = = 6 6 Ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê Çàäàíèå. Äàí ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ îñíîâàíèåì 16 è áîêîâîé ñòîðîíîé 10. Íàéäèòå:

175 174 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 1) ïëîùàäü; ) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; 3) ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 4) îïðåäåëèòå âèä óãëà À; 5) âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê áîêîâîé ñòîðîíå; 6) ìåäèàíó, ïðîâåäåííóþ ê áîêîâîé ñòîðîíå. 1) Ïðîâåäåì âûñîòó AH ê îñíîâàíèþ BC. Íàéäåì AH ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç òðåóãîëüíèêà AHC: AH = 10 8 = = 36 = SABC = AH BC = 6 16 = 48. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ìîæíî íàéòè è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí P = = 36, ïîýòîìó ïîëóïåðèìåòð ðàâåí 18. ( ) ( ) ( ) S ABC = = = = 6 8 = 48.

176 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 175 ) Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè R íàéäåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà Ïîëó èì: S ABC AB BC AC R = = = = 8. 4S ABC AB BC AC =. 4R 3) Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè r íàéäåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà S = p r, ãäå ABC AB + BC + AC p = = = 18 è S = 48. Èìååì: 48 8 r = = = ) Íàéäåì âèä óãëà À. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ BC = AB + AC AB AC cos A, 16 = cos A, cos A = = 0,8. 00 Ïîëó èëè, òî cos A < 0, çíà èò, A òóïîé. 5) Äëÿ íàõîæäåíèÿ âûñîòû, ïðîâåäåííîé ê áîêîâîé ñòîðîíå, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà: S ABC 1 S 48 = AC BN. BN = ABC = = 9,6. AC 10

177 176 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 6) Íàéäåì äëèíó ìåäèàíû BM, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ÀÑ. Íàéäåì cos ACB èç òðåóãîëüíèêà ÀÑÍ: cos ACB = 0,8. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ BM = BC + MC BC MC cos ACB, BM = ,8, BM = 153, BM = 153 = Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê Çàäàíèå 3. Äàí ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè 6 è 8. Íàéäèòå: 1) ïåðèìåòð; ) ïëîùàäü; 3) ðàäèóñ îïèñàííîãî êðóãà; 4) ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 5) òðèãîíîìåòðè åñêèå ôóíêöèè ìåíüøåãî óãëà; 6) âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ãèïîòåíóçå; 7) ìåäèàíó, ïðîâåäåííóþ ê ãèïîòåíóçå; 8) áèññåêòðèñó áîëüøåãî óãëà.

178 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 177 1) Íàéäåì òðåòüþ ñòîðîíó (ãèïîòåíóçó). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà: АВ = АС + ВС = = = 100. AD = 10. Íàéäåì ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà P = = 4. ) Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ, ò.å. 1 1 SABC = AC BC = 8 6 = 4. 3) Öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ãèïîòåíóçû, ïîýòîìó ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû: 1 1 R = AB = 10 = 5. 4) Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè r íàéäåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà S = p r, ãäå S ABC AB + BC + AC 4 p =. Ïîëó èì, r = = =. p 1 5) Â èñõîäíîì òðåóãîëüíèêå ìåíüøåé ñòîðîíîé ÿâëÿåòñÿ êàòåò ÂÑ, ïîýòîìó ìåíüøèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ óãîë À. ABC AC cos = = 8 BC A, sin A = = 6, AB 10 AB 10 BC 6 3 AC 8 4 tg A = = =, ctg A = = =. AC 8 4 BC 6 3 6) Äëÿ íàõîæäåíèÿ âûñîòû, ïðîâåäåííîé ê ãèïîòåíóçå, âûðàçèì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà åðåç ãèïîòåíóçó è âûñîòó ÑÍ: SABC = AB CH. Çíàÿ ïëîùàäü, íàéäåì ÑÍ: 1

179 178 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß = SABC CH AB, = 4 CH =, ) Òàê êàê â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê ãèïîòåíóçå, ðàâíà åå ïîëîâèíå, òî CM = AB = 1 1 = 10 = 5. 8) Äëÿ íàõîæäåíèÿ äëèíû áèññåêòðèñû CL ïðÿìîãî óãëà Ñ èñïîëüçóåì ñâîéñòâî áèññåêòðèñû óãëà òðåóãîëüíèêà: AL AC 8 4 = = =, LB BC 6 3 3AL = 4LB. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, AL + LB = 10. Ðåøèì ñèñòåìó 3AL = 4 LB, AL = 10 LB ; 3(10 LB) = 4 LB, AL = 10 LB ; Ïîëó èì AL = 40, à BL = Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ èç òðåóãîëüíèêà CLB : 7LB = 30, AL = 10 LB. 30 0,8 CL = LB sin 4, CL = LB B = 7 =. sin B sin LCB sin LCB sin45 7

180 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 179 Ïàðàëëåëîãðàìì Çàäàíèå 4. Ðàçíîñòü óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå ïàðàëëåëîãðàììà, ðàâíà 100. Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà. 1) Ïóñòü ìåíüøèé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí õ, òîãäà áîëüøèé óãîë ðàâåí x. Òàê êàê ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, â ïàðàëëåëîãðàììå ðàâíà 180, òî x x = 180 è x = 40. ) Áîëüøèé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 140. Îòâåò: 40 è 140. Çàäàíèå 5. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå Î è AB = 13, AD = 14, BD = 15. Íàéäèòå: 1) ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà; ) ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÎ; 3) âûñîòû ïàðàëëåëîãðàììà. 1) Ïàðàëëåëîãðàìì ðàçáèâàåòñÿ äèàãîíàëüþ BD íà äâà òðåóãîëüíèêà, ðàâíûõ ïî ïëîùàäè. Ïëîùàäü òðåóãîëüíè-

181 180 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß êà ABD ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå Ãåðîíà èëè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ABD. Îïóñòèì âûñîòó ê BT ê ñòîðîíå AD. Ââåäåì îáîçíà åíèÿ AT = x, TD = 14 x. Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ïèôàãîðà âûðàçèì âûñîòó BT èç äâóõ ïîëó åííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: BT = 169 x è BT = 5 (14 x ). Ñîñòàâèâ ðàâåíñòâî, íàéäåì x, à çàòåì è âûñîòó BT. 169 x = 5 (14 x ), 8x = 140, x = AT = 5. Èç òðåóãîëüíèêà ABT íàéäåì BT: BT = 169 5, BT = 1. Íàéäåì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABD: 1 1 SABD = BT AD = 1 14 = 84. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàâíà 168. ) Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàçáèâàþò åãî íà åòûðå ðàâíîâåëèêèõ òðåóãîëüíèêà, ïîýòîìó ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABO â åòûðå ðàçà ìåíüøå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà: SABO = S ABCD = ) Îäíà âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà óæå íàéäåíà: BT = 1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ äðóãîé âûñîòû ïàðàëëåëîãðàììà BH, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ñâÿçàííîé ñ âûñîòàìè.

182 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 181, , 1 1 SABCD = BH DC = BH BH =. 13 Çàäàíèå 6. Â åòûðåõóãîëüíèêå ABCD AB CD è A = C. Äîêàæèòå, òî ABCD ïàðàëëåëîãðàìì. Äîêàçàòåëüñòâî 1) Äîêàæåì, òî BC AD. Ïðîâåäåì äèàãîíàëü BD è äîêàæåì ðàâåíñòâî óãëîâ ADB è DBC. ) Èç òðåóãîëüíèêà ADB: ADB = 180 BAD ABD (1) 3) Èç òðåóãîëüíèêà DBC : DBC = 180 BCD BDC ()

183 18 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 4) BAD = BCD ïî óñëîâèþ, à ABD = BDC êàê íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ïðè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ AB è DC è ñåêóùåé BD. 5) Èç (1) è () ñëåäóåò, òî ADB = DBC, ïîýòîìó BC AD (ïî ïðèçíàêó ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ). 6) Èìååì: AB CD (ïî óñëîâèþ) è BC AD (ïî äîêàçàííîìó), çíà èò, ABCD ïàðàëëåëîãðàìì ïî îïðåäåëåíèþ. Êâàäðàò Çàäàíèå 7. Â êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 6 íàéäèòå: 1) äèàãîíàëü; ) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; 3) ïëîùàäü îïèñàííîãî êðóãà; 4) ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; 5) äëèíó âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 1) Äèàãîíàëü êâàäðàòà íàéäåì èç òðåóãîëüíèêà ABD ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà: ВD = АB + AD, ВD = АB + AD, BD = 7 = 6. ) Â êâàäðàòå öåíòðû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò ñ òî êîé ïåðåñå åíèÿ äèàãîíàëåé. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè R ðàâåí ïîëîâèíå äèàãîíàëè: 1 1 R = BD = 6 = 3. 3) Íàéäåì ïëîùàäü îïèñàííîãî êðóãà: ( ) S =π R =π 3 = 18π.

184 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 183 4) Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â êâàäðàò, ðàâåí ïîëîâèíå ñòîðîíû êâàäðàòà: 1 1 r = AB = 6 = 3. 5) Íàéäåì äëèíó âïèñàííîé îêðóæíîñòè Ñ = πr = π 3 = 6π. Òðàïåöèÿ Çàäàíèå 8. Áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàâíû 5. Âûñîòà òðàïåöèè ðàâíà 4, à áîëüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 10. Íàéäèòå: 1) ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè; ) ïëîùàäü òðàïåöèè. 1) Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè (L) ðàâíà ïîëóñóììå îñíîâàíèé, çíà èò, òðåáóåòñÿ íàéòè ìåíüøåå îñíîâàíèå BC. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå îïóñòèì âûñîòó òðàïåöèè èç âåðøèíû Â. Äâå âûñîòû ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàçáèâàþò òðàïåöèþ íà òðè ôèãóðû: äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà è ïðÿìîóãîëüíèê BNHC. Ìåíüøåå îñíîâàíèå òðàïåöèè BC = 10 HD. Íàéäåì HD ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç òðåóãîëüíèêà CHD: HD = 5 4 = 3. Ïîëó èì, òî BC = 10 3 = 4. Íàéäåì ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè BC + AD L = = = 7.

185 184 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß ) Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà BC + AD SABCD = CH = 4 = 8. Çàäàíèå 9. Äàíà òðàïåöèÿ ABCD ñ îñíîâàíèÿìè AD = 16, BC =. Áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè ðàâíû 13 è 15. Äèàãîíàëè òðàïåöèè ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå Å. Íàéäèòå: 1) ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè; ) âûñîòó; 3) ïëîùàäü. 1) Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè (L) ðàâíà ïîëóñóììå îñíîâàíèé òðàïåöèè: BC + AD + 16 L = = = 9. ) òîáû íàéòè âûñîòó èñõîäíîé íåðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, èñïîëüçóåì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå: ïðîâåäåì îòðåçîê BN, ïàðàëëåëüíûé CD. Îòðåçîê BN ðàçáèâàåò òðàïåöèþ íà äâå àñòè: ïàðàëëåëîãðàìì BCDN è òðåóãîëüíèê ABN. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABN, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû Â, ðàâíà âûñîòå èñõîäíîé òðàïåöèè.

186 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 185 Íàéäåì âûñîòó òðåóãîëüíèêà ABN. Èç òðåóãîëüíèêà ABH ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà BH = 13 x. Èç òðåóãîëüíèêà BHN ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ( ) BH = x. ( ) x = 13 x, x = 5 è BH = 1. 3) Íàéäåì ïëîùàäü òðàïåöèè: BC + AD SABCD = BH = 9 1 = 108. Çàäàíèå 10. Â òðàïåöèè ABCD ñ îñíîâàíèÿìè BC è AD äèàãîíàëè ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå Î. Äîêàæèòå: òðåóãîëüíèêè BOC è DOA ïîäîáíû.

187 186 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß Äîêàçàòåëüñòâî: 1) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ íàéäåì ïàðû ðàâíûõ óãëîâ. BOC = AOB (êàê âåðòèêàëüíûå), CBO = ADO (êàê íàêðåñò ëåæàùèå ïðè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ BC è AD è ñåêóùåé BD ), ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè BOC è DOA ïîäîáíû ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Öåíòðàëüíûå è âïèñàííûå óãëû Çàäàíèå 11. Ïî äàííûì ðèñóíêà íàéäèòå óãîë õ. Óãîë ABC ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì, ïîýòîìó åãî ãðàäóñíàÿ ìåðà ðàâíà ïîëîâèíå ãðàäóñíîé ìåðû äóãè AB, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. Ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ÀÂ ðàâíà 360 ( ) = = 16, ïîýòîìó x = 63. Çàäàíèå 1. Öåíòðàëüíûé óãîë MON íà 50 áîëüøå âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà äóãó MN. Íàéäèòå êàæäûé èç ýòèõ óãëîâ.

188 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß 187 Âïèñàííûé óãîë MAN è öåíòðàëüíûé MON óãîë îïèðàþòñÿ íà îäíó è òó æå äóãó MN, ïîýòîìó MAN = 1 MON. Ïî óñëîâèþ MON = MAN Ïîëó èì, òî MON = MON + 50, çíà èò, MON = è MAN = 50. ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ àñòü 1 1. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, åñëè ÀÑ = 7, ÂÑ = 8, DÑÂ = 30.. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂN, åñëè ÀB = 7, AN = Íàéäèòå íåðàçâåðíóòûå óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå åíèè äâóõ ïðÿìûõ, åñëè ñóììà äâóõ èç íèõ ðàâíà Íàéäèòå íåðàçâåðíóòûå óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå åíèè äâóõ ïðÿìûõ, åñëè ðàçíîñòü äâóõ èç íèõ ðàâíà 64.

189 188 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 5. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 5 è 10. Âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê áîëüøåé èç íèõ, ðàâíà 4. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. 6. Â 10 ì äðóã îò äðóãà ðàñòóò äâå áåðåçû. Èçìåðèëè èõ âûñîòó: ó îäíîé 35 ì, ó äðóãîé 11 ìåòðîâ. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ âåðõóøêàìè? 7. Äëÿ óñòàíîâêè òóðèñòè åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ íà ðàâíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà âáèòû òðè êîëûøêà. Êðàéíèå íàõîäÿòñÿ îò ïðÿìîé òðîïèíêè íà ðàññòîÿíèè 4 ì è 7 ì. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì íàõîäèòñÿ îò òðîïèíêè ñðåäíèé êîëûøåê? 8. Êàêîé ìèíèìàëüíîé äëèíû äîëæíà áûòü ëåñòíèöà, òîáû îíà äîñòàëà äî îêíà äà íîãî äîìèêà íà âûñîòå 4 ìåòðîâ, åñëè åå íèæíèé êîíåö îòñòîèò îò äîìà íà ðàññòîÿíèè 3 ìåòðîâ?? 3 м 4 м

190 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè èìååò ôèãóðà? 10. Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè èìååò ôèãóðà? 11. Ñêîëüêî öåíòðîâ ñèììåòðèè èìååò ôèãóðà? 1. Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè èìååò ôèãóðà, åñëè ABCD êâàäðàò? D A C 13. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü ñ ãîðèçîíòàëüíûì è âåðòèêàëüíûì äèàìåòðàìè. Ñêîëüêî îñåé ñèììåòðèè èìååò ýòà ôèãóðà? B

191 190 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 14. Íàéäèòå âûñîòó ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ìåíüøóþ âûñîòó ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè 1 è 16.. Äàí ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè 1 è 16. Íàéäèòå êîñèíóñ ìåíüøåãî óãëà òðåóãîëüíèêà. 3. Íàéäèòå ìåäèàíó, ïðîâåäåííóþ ê ãèïîòåíóçå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè 1 è Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñ îñíîâàíèåì 16 è áîêîâîé ñòîðîíîé 10 íàéäèòå âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê îñíîâàíèþ. 5. Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì 16 è áîêîâîé ñòîðîíîé Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñ îñíîâàíèåì 16 è áîêîâîé ñòîðîíîé 10 íàéäèòå âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê áîêîâîé ñòîðîíå. 7. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíû 0, à êîñèíóñ óãëà ïðè îñíîâàíèè òðåóãîëüíèêà ðàâåí 0,8. Íàéäèòå îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà.

192 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Íàéäèòå ñòîðîíó èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè ñòîðîíà ïîëó åííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Íàéäèòå áèññåêòðèñó èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè ñòîðîíà ïîëó åííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî åòûðåõóãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Íàéäèòå ñòîðîíó íîâîãî åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè ñòîðîíà äàííîãî åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà. 31. Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî åòûðåõóãîëüíèêà ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû îòðåçêàìè. Íàéäèòå ïëîùàäü íîâîãî åòûðåõóãîëüíèêà, åñëè ñòîðîíà äàííîãî åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà. 3. Äàí ðîìá ñ äèàãîíàëÿìè 16 è 30. Íàéäèòå ñòîðîíó ðîìáà. 33. Äàí ðîìá ñ äèàãîíàëÿìè 16 è 30. Íàéäèòå ïëîùàäü ðîìáà. 34. Äàí ðîìá ñ äèàãîíàëÿìè 6 è 8. Íàéäèòå âûñîòó ðîìáà. 35. Äàí ðîìá ñ äèàãîíàëÿìè 6 è 8. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ðîìá. 36. Â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD ïðîâåäåíà äèàãîíàëü BD. Íàéäèòå ñòîðîíó AD ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè AB = 6, ADB = 30, BDC = Íàéäèòå ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè áèññåêòðèñà îäíîãî èç åãî óãëîâ äåëèò ñòîðîíó ïàðàëëåëîãðàììà íà îòðåçêè 10 è Áîëüøàÿ âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 6. Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè áèññåêòðèñà îäíîãî èç åãî óãëîâ äåëèò ñòîðîíó ïàðàëëåëîãðàììà íà îòðåçêè 10 è 14.

193 19 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 39. Íàéäèòå äëèíó ìåíüøåé äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ñî ñòîðîíàìè 3 3 è è óãëîì Íàéäèòå äëèíó áîëüøåé äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ñî ñòîðîíàìè 3 3 è è óãëîì Äàíà ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ, áîêîâûå ñòîðîíû êîòîðîé ðàâíû 10. Âûñîòà òðàïåöèè ðàâíà 6, à áîëüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 0. Íàéäèòå ìåíüøåå îñíîâàíèå òðàïåöèè. 4. Â ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíû 10, âûñîòà òðàïåöèè ðàâíà 6, à áîëüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 0. Íàéäèòå ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè. 43. Íàéäèòå ñóììó âñåõ âíóòðåííèõ óãëîâ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. 44. Íàéäèòå ñóììó âñåõ âíåøíèõ óãëîâ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. 45. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó âíóòðåííåãî óãëà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. 46. Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó âíåøíåãî óãëà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. 47. Ïî äàííûì ðèñóíêà íàéäèòå óãîë õ. 48. Ïî äàííûì ðèñóíêà íàéäèòå óãîë õ (ò. Î öåíòð îêðóæíîñòè).

194 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß Öåíòðàëüíûé óãîë KOC íà 60 áîëüøå âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà äóãó KC. Íàéäèòå óãîë KOC. 50. Öåíòðàëüíûé óãîë LON íà 70 áîëüøå âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà äóãó LN. Íàéäèòå ýòîò âïèñàííûé óãîë. 51. Íà ïîëóîêðóæíîñòè MN âçÿòû òî êè À è Â òàê, òî MA = 1, NB = 40. Íàéäèòå AB. 5. Íà ïîëóîêðóæíîñòè MN âçÿòû òî êè À è Â òàê, òî MA = 100, NB = 100. Íàéäèòå AB. 53. Íà ïîëóîêðóæíîñòè MN âçÿòû òî êè À è Â òàê, òî MA = 7, NB = 40. Íàéäèòå õîðäó ÀÂ, åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí Íà ïîëóîêðóæíîñòè MN âçÿòû òî êè À è Â òàê, òî MA = 4, NB = 18. Íàéäèòå õîðäó ÀÂ, åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí Íà ïîëóîêðóæíîñòè MN âçÿòû òî êè À è Â òàê, òî MA = 7, NB = 18. Íàéäèòå õîðäó ÀÂ, åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí Õîðäà NT ñòÿãèâàåò äóãó, ðàâíóþ 10, à õîðäà NA äóãó â 110. Íàéäèòå óãîë ANN. 57. Õîðäû MN è AB îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå Ñ. Íàéäèòå óãîë BCN, åñëè MA = 7, NB = Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé. 1) Êîòàíãåíñîì îñòðîãî óãëà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ïðèëåæàùåìó. ) Ñèíóñîì îñòðîãî óãëà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. 3) Åñëè óãëû âåðòèêàëüíûå, òî îíè ðàâíû. 4) Åñëè óãëû ðàâíû, òî îíè ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíûìè.

195 194 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 59. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé. 1) Êîòàíãåíñîì îñòðîãî óãëà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèëåæàùåãî êàòåòà ê ïðîòèâîëåæàùåìó. ) Êîñèíóñîì îñòðîãî óãëà â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. 3) Ëþáîé ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì. 4) Ëþáîé ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. 60. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé. 1) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. ) Ëþáîé êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. 3) Åñëè òðåóãîëüíèêè èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè, òî òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 4) Åñëè òðåóãîëüíèêè ðàâíû, òî îíè èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. 61. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé. 1) Ëþáîé ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. ) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì. 3) Åñëè ñóììà äâóõ óãëîâ ðàâíà 180, òî îíè ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè. 4) Åñëè óãëû ñìåæíûå, òî èõ ñóììà ðàâíà 180. àñòü 6. Â òðåóãîëüíèêå ñî ñòîðîíàìè 7, 9 è 14 íàéäèòå äëèíó ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê áîëüøåé ñòîðîíå. 63. Íàéäèòå äëèíó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 0, 0, 4.

196 Òåìà 1. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß Â òðåóãîëüíèêå MBO BO = 5, OÍ = 4, ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà MBO ðàâåí 10. Íàéäèòå MB. 65. Â òðåóãîëüíèêå MNP ñòîðîíà MN íå äëèííåå 1, ñòîðîíà NP íå äëèííåå 5, à åãî ïëîùàäü íå ìåíüøå 30. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà MNP. 66. Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 8. Íàéäèòå ìåíüøóþ äèàãîíàëü øåñòèóãîëüíèêà. 67. Â òðàïåöèþ ABCD (BC AD) âïèñàíà îêðóæíîñòü. ÂÑ = 1, AD = 16. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè, åñëè CD = Äàíà òðàïåöèÿ ABCD ñ îñíîâàíèÿìè AD = 11, BC = 4. Áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè ðàâíû 0 è 15. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. 69. Äàíà òðàïåöèÿ ABCD ñ îñíîâàíèÿìè AD = 11, BC = 4. Áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè ðàâíû 0 è 15. Äèàãîíàëè òðàïåöèè ïåðåñåêàþòñÿ â òî êå O. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BOC. 70. Äàíû êîîðäèíàòû äâóõ âåðøèí òðåóãîëüíèêà MXN : Ì(0; 4) è N(4; 6). Íàéäèòå êîîðäèíàòû òðåòüåé âåðøèíû Õ, åñëè èçâåñòíî, òî òî êà Õ ëåæèò íà ïðÿìîé b, çàäàííîé óðàâíåíèåì ó = õ, è òðåóãîëüíèê MXN èìååò íàèìåíüøèé ïåðèìåòð. 71. Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, äèàãîíàëü êîòîðîé ðàâíà 8 è ñîñòàâëÿåò ñ îñíîâàíèåì óãîë Îäíà èç äèàãîíàëåé ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè äåëèò ýòó òðàïåöèþ íà äâà ïðÿìîóãîëüíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîé òðàïåöèè, åñëè ìåíüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà òðàïåöèè ðàâíà.

197 196 ÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÅ ÒÐÅÍÈÐÎÂÎ ÍÛÅ ÇÀÄÀÍÈß 73. Îòðåçêè KE è OP ïåðåñåêàþòñÿ è òî êîé ïåðåñå åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Äîêàæèòå, òî KOE EPK Δ = Δ. 74. Îòðåçêè KE è OP ïåðåñåêàþòñÿ è òî êîé ïåðåñå åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Äîêàæèòå, òî S KOE= S PEO. 75. Â åòûðåõóãîëüíèêå ABCD (BC AD) è B = D. Äîêàæèòå, òî ABCD ïàðàëëåëîãðàìì. 76. Â åòûðåõóãîëüíèêå ABCD ABC = ADC è ABC + BCD = 180. Äîêàæèòå, òî ABCD ïàðàëëåëîãðàìì. 77. Äîêàæèòå, òî åñëè ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ åãî âûñîòîé, òî òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 78. Äîêàæèòå, òî åñëè áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ åãî âûñîòîé, òî òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 79. Õîðäû ÀÂ è ÑÊ äèàìåòðû îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, òî õîðäû ÀÊ è ÂÑ ðàâíû. 80. Õîðäû ÀÂ è ÑÊ äèàìåòðû îêðóæíîñòè. Äîêàæèòå, òî BAK = BCK. 81. Îòðåçêè ÎÂ è ÑK ïåðåñåêàþòñÿ â èõ îáùåé ñåðåäèíå. Äîêàæèòå, òî ïðÿìûå OC è BK ïàðàëëåëüíû. 8. Äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå åíû ñåêóùåé. Äîêàæèòå, òî áèññåêòðèñû ñîîòâåòñòâåííûõ óãëîâ ïàðàëëåëüíû. 83. Äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå åíû ñåêóùåé. Äîêàæèòå, òî áèññåêòðèñû îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ïåðïåíäèêóëÿðíû. 84. Â ðàçíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ABC (ÀÑ áîëüøàÿ ñòîðîíà) ïðîâåäåíû âûñîòà AH è áèññåêòðèñà AD. Äîêàæèòå, òî óãîë ìåæäó âûñîòîé è áèññåêòðèñîé ðàâåí ïîëóðàçíîñòè óãëîâ Â è Ñ. 85. Äîêàæèòå, òî îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äèàãîíàëåé òðàïåöèè, ðàâåí ïîëóðàçíîñòè îñíîâàíèé.

198 Ìîäóëü ÓÊÀÇÀÍÈß «Àëãåáðà» Òåìà 1. èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé 1.1. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ èñåë 17. Ïðåäñòàâüòå êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû â âèäå ñòåïåíè. Ñìîòðèòå òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ïðåîáðàçóéòå âûðàæåíèå ê âèäó Ñìîòðèòå òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ è íà, è íà 5. Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 11.. Ðàçëîæèòå èñëà 180 è 70 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ðàçëîæèòå èñëà 180 è 70 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ðàçëîæèòå èñëà 168 è 450 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ðàçëîæèòå èñëà 168 è 450 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë 660 è 94, äëÿ ýòîãî ðàçëîæèòå ýòè èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàê- æå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 1.

199 198 ÓÊÀÇÀÍÈß 7. Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë 46 è 990, äëÿ ýòîãî ðàçëîæèòå ýòè èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè , Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ïðîñòûì èñëîì íàçûâàåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå èñëî, êîòîðîå èìååò òîëüêî äâà íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ: 1 è ñàìî ýòî èñëî Ðàññìîòðèòå ïîñëåäîâàòåëüíûå íàòóðàëüíûå ñòåïåíè èñëà 3, ïîïðîáóéòå âûÿñíèòü çàêîíîìåðíîñòü. Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Òàê êàê îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà õ íà 16 ðàâåí 9, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 16n 9, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. Äàëåå èñëî õ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì x 44 n 1. Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Òàê êàê îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà õ íà 4 ðàâåí 1, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 4n 1, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. Äàëåå èñëî n ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå 4k, 4k1, 4k, 4k 3, ãäå k íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Òàê êàê îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà à íà 1 ðàâåí 7, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå a 1n 7, ãäå n íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå èñëî. Òîãäà a a 5 1n 7 1n n 144n Òàê êàê îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà à íà 5 ðàâåí, à äðóãîãî íàòóðàëüíîãî èñëà ðàâåí 4, òî ýòè èñëà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 5n, y 5m 4, ãäå n è m íåêîòîðûå íàòóðàëüíûå èñëà. Òîãäà x y 5n 5m 51.

200 Òåìà 1. èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé Òàê êàê îñòàòîê îò äåëåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî èñëà à íà 5 ðàâåí, à äðóãîãî íàòóðàëüíîãî èñëà ðàâåí 4, òî ýòè èñëà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x 5n, y 5m 4, ãäå n è m íåêîòîðûå íàòóðàëüíûå èñëà. Òîãäà x y 5n 5m 4 5mn 10m 0n Ïðåäñòàâüòå âûðàæåíèå â âèäå Òàê êàê èñëî äåëèòñÿ íà, òî ïîñëåäíÿÿ öèôðà â çàïèñè ýòîãî èñëà ðàâíà. Òåïåðü íàäî ó åñòü ïðèçíàê äåëèìîñòè íà Ïðèïèñàâ ñïðàâà è ñëåâà îäèíàêîâóþ öèôðó ê èñëó 14, ìû äîëæíû ïîëó èòü èñëî, ñóììà öèôð êîòîðîãî äåëèòñÿ íà Íàéäèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå èñåë 48 è , , Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èñåë 10, 80, Ñòåïåíü ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì 38. Ïîäñòàâüòå çíà åíèÿ x è a â âûðàæåíèå x a. xa 39. Ïîäñòàâüòå çíà åíèÿ x è y â âûðàæåíèå Ïîäñòàâüòå çíà åíèÿ x è y â âûðàæåíèå x 4 4 y 4 y. 16x 1.4. Êâàäðàòíûé êîðåíü. Êîðåíü òðåòüåé ñòåïåíè 33. Ðàññìîòðèòå êâàäðàò âûðàæåíèÿ Ïðåäñòàâüòå âûðàæåíèå â âèäå Âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 3, ¹ Ïðè âû èñëåíèè çíà åíèÿ âûðàæåíèÿ 6, 5 58, 5 ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ..

201 00 ÓÊÀÇÀÍÈß 38. Ïðè âû èñëåíèè çíà åíèÿ âûðàæåíèÿ ïðèìåíèòå ôîðìóëó êâàäðàòà ðàçíîñòè. 39. Ïðåäñòàâüòå êàæäîå èñëî â âèäå àðèôìåòè åñêîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ, èëè èñëà åìó ïðîòèâîïîëîæíîãî. È ñðàâíèòå ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ. 40. Ïðåäñòàâüòå êàæäîå èñëî â âèäå êîðíÿ òðåòüåé ñòåïåíè. È ñðàâíèòå ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ Âûðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ 33. Ñãðóïïèðóéòå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè ñëåäóþùèì îá- 3 3 x y xy x y.  ïåðâûõ ñêîáêàõ ïðè- ðàçîì ìåíèòå ôîðìóëó ñóììû êóáîâ, âî âòîðûõ îáùèé ìíîæèòåëü xy. âûíåñèòå 34. Ñãðóïïèðóéòå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè ñëåäóþùèì îá- 9x 1xy4y 3x y.  ïåðâûõ ñêîá- ðàçîì: êàõ ïðèìåíèòå ôîðìóëó êâàäðàòà ñóììû. 35. Ñãðóïïèðóéòå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè ñëåäóþùèì îá- p 3m 4p 9m. Âî âòîðûõ ñêîáêàõ ðàçîì: ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. 36.  èñëèòåëå èñïîëüçóéòå ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà (ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 8).  çíàìåíàòåëå âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü. 37.  èñëèòåëå èñïîëüçóéòå ôîðìóëó êâàäðàòà ñóììû, à â çíàìåíàòåëå ñãðóïïèðóéòå ñëàãàåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì: 6ax x 3a 1 è âûíåñèòå çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü 3a  èñëèòåëå èñïîëüçóéòå ãðóïïèðîâêó è âûíåñèòå çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü y 1. Ñì. òàêæå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹  èñëèòåëå ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êóáîâ.  çíàìåíàòåëå êâàäðàòà ñóììû.

202 Òåìà 1. èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé Ñíà àëà ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè. Â èñëèòåëå ïåðâîé äðîáè ïðèìåíèòå ôîðìóëó êâàäðàòà ñóììû. Â èñëèòåëå âòîðîé äðîáè ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. 41. Ñíà àëà ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè. Â èñëèòåëå ïåðâîé äðîáè îáðàòèòå âíèìàíèå íà èñëî ñëàãàåìûõ. Ýòî ïîäñêàæåò âàì ïðèåì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Â çíàìåíàòåëå âòîðîé äðîáè ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ ëåíà íà ìíîæèòåëè. Â ñëó àå çàòðóäíåíèÿ ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ïðèâåäèòå äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ó òèòå, òî 3 3 m 1 1m. 43. Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè èñëèòåëü äðîáè, ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êóáîâ, è ñîêðàòèòå äðîáü íà îáùèé n ìíîæèòåëü 43 9 n. 44. Â èñëèòåëå ïåðâîé äðîáè èñïîëüçóéòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, à â çíàìåíàòåëå âòîðîé äðîáè ñóììû êóáîâ. 3 õ 45. Â ïåðâûõ ñêîáêàõ ïðèâåäèòå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. 9 Ïîëó èòå. Âî âòîðûõ ñêîáêàõ ïðèìåíèòå ôîðìóëó êâàäðàòà ðàçíîñòè é ñïîñîá. Ââåäèòå íîâóþ ïåðåìåííóþ a x è ðàçëîæèòå êâàäðàòíûé òðåõ ëåí a a íà ìíîæèòåëè. -é ñïîñîá. Ïðåäñòàâüòå âûðàæåíèå â âèäå 4 x x 11 è èñïîëüçóéòå ãðóïïèðîâêó. 47. Âûðàæåíèå ñîñòîèò èç øåñòè ñëàãàåìûõ. Ñãðóïïèðóéòå èõ ïî òðè è âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü (íàïðèìåð, â ïåðâûõ ñêîáêàõ ñãðóïïèðóéòå âñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå p ). 48. Âûðàæåíèå ñîñòîèò èç øåñòè ñëàãàåìûõ. Ñãðóïïèðóéòå èõ ïî òðè è âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü (íàïðèìåð, â ïåðâûõ ñêîáêàõ ñãðóïïèðóéòå âñå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå m ).

203 0 ÓÊÀÇÀÍÈß 49. Âûïîëíÿéòå äåéñòâèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî è àêêóðàòíî.  ïåðâûõ ñêîáêàõ ñíà àëà ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè è èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü ïåðâîé äðîáè, à çàòåì ïðèâåäèòå äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ õ Ñíà àëà ïðåîáðàçóéòå ìíîæèòåëü õ, çàìåíèâ îòðèöàòåëüíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè íà ïîëîæèòåëüíûé. Äàëåå èçáàâüòåñü îò äâóõýòàæíîñòè â çíàìåíàòåëå.  ñëó àå çàòðóäíåíèé ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 10.  ñêîáêàõ, ïðåæäå åì ïðèâîäèòü äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè çíàìåíàòåëè êàæäîé äðîáè. 51.  ïåðâîé äðîáè è â èñëèòåëå, è â çíàìåíàòåëå ðàñêðîéòå ñêîáêè è ïðèìåíèòå ãðóïïèðîâêó. Âî âòîðîé äðîáè ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. 5.  èñëèòåëå âûäåëèòå ñòåïåíè èñåë 5è3.Ïîëó èòå: n n n. n  èñëèòåëå âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü. Ïîëón èòå: n 1 n Ââåäèòå íîâóþ ïåðåìåííóþ a n è ñîêðàòèòå äðîáü a a 1 3 a. 55. Ââåäèòå íîâóþ ïåðåìåííóþ a x.  èñëèòåëå ïåðâîé äðîáè èñïîëüçóéòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, à â çíàìåíàòåëå âòîðîé äðîáè ðàçíîñòè êóáîâ. 56.  ïåðâûõ ñêîáêàõ ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè çíàìåíàòåëè êàæäîé äðîáè, äëÿ ýòîãî âûíåñèòå ìíîæèòåëü y. Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ òîæäåñòâåííî âûðàæåíèþ 7 y 7, y 0.  âûðàæåíèè èñëèòåëå êâàäðàò ðàçíîñòè y y 7y âûäåëèòå 57. Íå òîðîïèòåñü ñ ðåøåíèåì. Âíèìàòåëüíî ïîñìîòðèòå íà âûðàæåíèå â ñêîáêàõ è ñðàâíèòå åãî ñ âûðàæåíèåì a 4a 4, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ðàçíîñòè. â

204 Òåìà 3. Ñèñòåìû óðàâíåíèé Èñïîëüçóéòå ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî èñëà õ : x x. 59. Âûïîëíèòå ñëåäóþùóþ çàìåíó: a x 9. Âûðàçèòå ïåðåìåííóþ õ åðåç ïåðåìåííóþ à è ïîäñòàâüòå â èñõîäíîå âûðàæåíèå. Òåìà 3. Ñèñòåìû óðàâíåíèé 14. Óìíîæüòå è ïåðâîå, è âòîðîå óðàâíåíèå íà 1 è ïðèâåäèòå ïîäîáíûå ñëàãàåìûå é ñïîñîá. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèòå èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ èëè ó è ïîäñòàâüòå âî âòðîå óðàâíåíèå. -é ñïîñîá. Ðàññìîòðèòå âòîðîå óðàâíåíèå è ïîïðîáóéòå «óâèäåòü» ôîðìóëó êâàäðàòà ñóììû. Òîëüêî íå çàáóäüòå, òî óðàâíåíèå a 5 èìååò äâà ðåøåíèÿ. 16. Ïðåîáðàçóéòå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Ïåðåíåñèòå âñå ñëàãàåìûå â ëåâóþ àñòü è ïðèìåíèòå ôîðìóëó êâàäðàòà ðàçíîñòè. 17. Óäîáíåå ðåøàòü ñèñòåìó ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ïîëó àåì, òî õ = 5, ó = 4 è èñõîäíàÿ ñèñòåìà ðàñïàäàåòñÿ íà åòûðå ñèñòåìû. 18. Ïðè ñëîæåíèè óðàâíåíèé ïîëó èòå, òî õ = 5. Äàëåå èñõîäíàÿ ñèñòåìà ðàñïàäàåòñÿ íà åòûðå ñèñòåìû. 19. Ñëîæèòå óðàâíåíèÿ è ïîëó èòå, òî õ = 5. Ñèñòåìà èìååò åòûðå ðåøåíèÿ. 0. Ðåøèòå ñèñòåìó ìåòîäîì ñëîæåíèÿ, ïðè ýòîì ïîëó èòå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå x x Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 5.. Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ðàññìîòðèòå ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Ïîëó èòå âîçìîæíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (5; ). Ïðîâåðüòå, óäîâëåòâîðÿåò ëè ýòà ïàðà èñåë âòîðîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû. 4. Âî âòîðîì óðàâíåíèè ïðèìåíèòå ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ è çàìåíèòå âûðàæåíèå x y èñëîì 13.

205 04 ÓÊÀÇÀÍÈß Òåìà 4. Íåðàâåíñòâà 0. Ðàñêðîéòå ñêîáêè è ïîëó èòå íåðàâåíñòâî 05, n Ðåøèòå äâîéíîå íåðàâåíñòâî 0 3 t.. Èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà ñèñòåìû ïîëó èòå x 14,.Èç âòîðîãî íåðàâåíñòâà: x Ðåøåíèåì ïåðâîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê 1 ;. Ðåøåíèåì âòîðîãî íåðàâåíñòâà îòðåçîê 3 3; Êîðíè óðàâíåíèÿ (1)è(3). Ðåøåíèå íåðàâåíñòâà ïðîìåæóòîê ; 1. Ïðîèçâåäèòå îòáîð êîðíåé, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîìó ïðîìåæóòêó. 5. Ðàñêðîéòå ñêîáêè è ïðèâåäèòå ïîäîáíûå ñëàãàåìûå. Ïîëó èòå. 6. Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Óðàâíåíèå èìååò êîðíè 1è.Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ; 15,. 9. Ðåøåíèåì ëèíåéíîãî íåðàâåíñòâà ïðè à 0 ÿâëÿåòñÿ ëó. À åñëè à = 0? 30. Âûíåñèòå îáùèé ìíîæèòåëü. Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x 1 x 4 0, êîòîðîå ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì èíòåðâàëîâ. Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 8. Òåìà 5. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè 5.1. Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû 18. Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 5.. Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Íàéäèòå îðäèíàòû òî åê ïåðåñå åíèÿ ãðàôèêîâ ôóíêöèé.

206 Òåìà 6. Ôóíêöèè Çàïèøèòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé åðåç äâå òî êè. Ïðîâåðüòå, ïðèíàäëåæèò ëè òðåòüÿ òî êà ýòîé ïðÿìîé. 5.. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè 13. Ïðåîáðàçóéòå óðàâíåíèå ê âèäó x y Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 4. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x 1) ( y1) Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 4. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè èìååò âèä ( x ) ( y4) Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 4. Òåìà 6. Ôóíêöèè 8. Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 5. x x 13. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ y ïîëó èì x y = x + 1, x Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñìîòðèòå ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 5. Òåìà 7. Àðèôìåòè åñêàÿ è ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèè 15. Ïóñòü ÀÂ à 1, òîãäà ÀÑ à 1 +d è ÂÑ à 1 +d. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâåí ÀÂ + ÀÑ + ÂÑ 3à 1 +3d èëè 36, ïîýòîìó à 1 + d 1.

207 06 ÓÊÀÇÀÍÈß 16. Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè åñêîå ñâîéñòâî àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè, íàéäèòå à 4, à çàòåì ïî ôîðìóëå n-îãî ëåíà è à 1, è d. 17. b 3 b 1 q, çíà èò, q 3. Âûðàçèòå b 5 åðåç b Èñïîëüçóéòå õàðàêòåðèñòè åñêîå ñâîéñòâî àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè èëè ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 4. à 41 0 íå ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì ëåíîì ïðîãðåññèè. 0. Çàïèøèòå ôîðìóëó n-îãî ëåíà. Ïîëó èòå íåðàâåíñòâî an 0, n Íàéäèòå à 4, èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè åñêîå ñâîéñòâî àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè. Äàëåå íàéäèòå ðàçíîñòü ïðîãðåññèè.. Èìååì: à 1 =3èà 5 = 48. Èñïîëüçóéòå ôîðìóëó n-îãî ëåíà. 3. Ñì. ðåøåíèå òèïîâîãî çàäàíèÿ ¹ 10.

208 ÎÒÂÅÒÛ Ìîäóëü «Àëãåáðà» Òåìà 1. èñëà è âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé 1.1. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ èñåë ,, 4, 6, , 4, 7 0, âåðíî âåðíî , , 5, 9, , 11, 11 5,

209 08 ÎÒÂÅÒÛ 1.. Ïðèáëèæåííûå çíà åíèÿ 1 3 áîëüøå êã 0,91 ì 0,7 ñì , â 4,4 ðàçà , ,6 0, ,71 0, p 1030

210 ÎÒÂÅÒÛ Ñòåïåíü ñ öåëûì ïîêàçàòåëåì > >

211 10 ÎÒÂÅÒÛ 1.4. Êâàäðàòíûé êîðåíü. Êîðåíü òðåòüåé ñòåïåíè 1 3 7,3 1 0, , , a < b a > b , < 13 4,8 1, âåðíî ,7 8; 3 7; ; ; ; ; 3; 4 3

212 ÎÒÂÅÒÛ Âûðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ x 5 x x p 36 1 b 4 b, b x y, y 3 x ; x 0,01 3 x x 1 4 ab a b, a b x, 0 y x x, x y, 1 4 xy y 0 4 ab b a, a ± ab b a+ b a ( x+ y)( x y ) ( 3x y) ( 3x y+ 1) ( p+ 3m) ( p 3m 1) +, a b 0,5 ( x 1 ), x 1 3

213 1 ÎÒÂÅÒÛ a +, a 1 x 1 3 y 1, x 1,009 4x 3 x, x 5 x 0, x 5 x 1, 1,4 x 1,, 3 1 m , x ( ) 93 x, x 9, 90 ( )( x 1 x + ) ( + 1 )( ) x y p n ( m 1)( m 1) + ( x 1)( x 4) x 3, x ± 3 x 5 4 x 0, ± 4 x b 15 0,5 n 4, n ( x )( x ) 3 1, x 1; 0,1 7, y 7, y Îêîí àíèå òàáëèöû

214 ÎÒÂÅÒÛ 13 Òåìà. Óðàâíåíèÿ 1 3 1, ; ± 4 0; Ðåøåíèé íåò 9; , ,5 1 8

215 14 ÎÒÂÅÒÛ Òåìà 3. Ñèñòåìû óðàâíåíèé 1 3 (1; 4) ( 3; ), (4; 1,5) ( 1; ) (; 3) (1; 3) (1; 0), (4; 3) (1; 1) (6; 1), (1; 6) (1; 5), (5; 1) 4 (5; 6), (5; 6), ( 5; 6), ( 5; 6) (4; 1), (16; 4) 3 4 (,5; 0,5) (5; ), ( 5; ), (1; ) 4

216 ÎÒÂÅÒÛ 15 Òåìà 4. Íåðàâåíñòâà ( ; 4) ( ; [ ; 8] [ 8; 1) [ 5; 0) ; 3 3 ( ;5) ( 5; + ) Ðåøåíèé íåò 11 (0,5; 1,5) ( ; + ) [ 1; 1] ( ; 5) ( 5;1)

217 16 ÎÒÂÅÒÛ Òåìà 5. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè 5.1. Óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû y = 3x + 6, y = 0,5x 1, 1 äà II åòâ ,8; (0,4; 0) B (1; 9) äà; (; 4) 5.. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè 1. (0; 0) x + (y ) = 9 1. (x ) + (y + ) = Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà àëå êîîðäèíàò (0; 0) è ðàäèóñîì Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî êå (1; 1) è ðàäèó ñîì Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî êå (; 4) è ðàäèó ñîì Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî êå (0; 3) è ðàäèóñîì.

218 ÎÒÂÅÒÛ 17 Òåìà 6. Ôóíêöèè 1. à) 1; á) 3.. à) 3; á) ) 4. ) 5. 1) íà âûñîòå ïÿòîãî ýòàæà; ) íà ïÿòü ýòàæåé; 3) ýòàæà â ñåêóíäó èëè 1 ì/ñ; 4) ìåæäó ïÿòûì è øåñòûì. 6. 1) 75 êì/ è 50 êì/ ; ) íà 0 ìèíóò; 3) 50 êì. 7. 1) 0 Ñ; ) â 15 ; 3) ñ 1 äî 1 ; 4) â Åñëè 0 x 6, òî y Åñëè x 5, òî y 1, Åñëè x 1, òî 1 y Åñëè 1 x 4, òî 0,5 y Îáëàñòü çíà åíèé ïðîìåæóòîê [; + ). 13. Îáëàñòü çíà åíèé ìíîæåñòâî âñåõ èñåë, êðî ìå Åñëè 1 x, òî 7 y Åñëè x 3, òî 9 y Åñëè 0 x 4, òî 1 y 8.

219 18 ÎÒÂÅÒÛ Òåìà 7. Àðèôìåòè åñêàÿ è ãåîìåòðè åñêàÿ ïðîãðåññèè , , ,7 3 14,5; 5,5; 36,75 5 5

220 ÎÒÂÅÒÛ 19 Òåìà 8. Òåêñòîâûå çàäà è àñòè ì ì 1 300,04 ðóá ,5% 660 ðóá. 16% % ðóá. 00 êã óìåíüøèëàñü íà,5% íà 9,% 1% ,,3,5 1,,4 Òåìà 9. Òåêñòîâûå çàäà è àñòè ,5; 40,7 4,7;0, ;60 0; 30 5; 6 14,4 3, ; 15 35; ã ë 0 ã, 30 ã 3: 0,5 ë

221 0 ÎÒÂÅÒÛ Òåìà 10. Ýëåìåíòû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1 0, ,3; 0, ,5; 0,75 0, ; ; ; , Òåìà 11. Ýëåìåíòû ñòàòèñòèêè 1. à) 4; á) 3,6; â) 4; ã) 5. à) 7; á) 4,5; â) 4,5; ã) 3. à) 500; á) 650 è 750; â) 17500; ã) , 6. à) óâåëè èòñÿ íà 0,8; á) óâåëè èòñÿ íà 8 7. à) óìåíüøèòñÿ íà 0,5; á) óìåíüøèòñÿ íà è ,5 9

222 ÎÒÂÅÒÛ 1 Òåìà 1. Ïëàíèìåòðèÿ Ìîäóëü «Ãåîìåòðèÿ» ; ; , ; , , ,8, ; 76 60;

223 ÎÒÂÅÒÛ Îêîí àíèå òàáëèöû ; ,4,3, ,3 4 1π ,4 (4; 4) 64 6

224 Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена в электронной или механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной системе без получения разрешения от издателя. Копирование, воспроизведение и иное использование книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность. Издание для дополнительного образования қосымша білім алуға арналған баспа Для среднего школьного возраста орта мектеп жасындағы балаларға арналған ОГЭ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Кочагин Вадим Витальевич Кочагина Мария Николаевна ОГЭ 019 МАТЕМАТИКА Сборник заданий: 850 заданий с ответами (орыс тілінде) Ответственный редактор А. Жилинская. Ведущий редактор Т. Судакова Художественный редактор А. Кашлев. Технический редактор Л. Зотова Компьютерная верстка А. Григорьев. Корректор Т. Кожевникова ООО «Издательство «Эксмо» 13308, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел.: 8 (495) Home page: info@eksmo.ru Өндіруші: «ЭКСМО» АҚБ Баспасы, 13308, Мәскеу, Ресей, Зорге көшесі, 1 үй. Тел.: 8 (495) Home page: info@eksmo.ru. Тауар белгісі: «Эксмо» Интернет-магазин : Интернет-дүкен : Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы». Қазақстан Республикасындағы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС. Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию, в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы» Қазақстан Республикасында дистрибьютор және өнім бойынша арыз-талаптарды қабылдаушының өкілі «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы қ., Домбровский көш., 3«а», литер Б, офис 1. Тел.: 8 (77) /91/9; RDC-Almaty@eksmo.kz Өнімнің жарамдылық мерзімі шектелмеген. Сертификация туралы ақпарат сайтта: Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Эксмо» Өндірген мемлекет: Ресей. Сертификация қарастырылған Продукция соответствует требованиям ТР ТС 007/011 Дата изготовления / Подписано в печать Формат / 16. Гарнитура «SchoolBook». Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,0. Тираж экз. Заказ

225 Оптовая торговля книгами «Эксмо»: ООО «ТД «Эксмо» , Московская обл., Ленинский р-н, г. Видное, Белокаменное ш., д. 1, многоканальный тел.: По вопросам приобретения книг «Эксмо» зарубежными оптовыми покупателями обращаться в отдел зарубежных продаж ТД «Эксмо» International Sales: International wholesale customers should contact Foreign Sales Department of Trading House «Eksmo» for their orders. По вопросам заказа книг корпоративным клиентам, в том числе в специальном оформлении, обращаться по тел.: +7 (495) , доб Оптовая торговля бумажно-беловыми и канцелярскими товарами для школы и офиса «Канц-Эксмо»: Компания «Канц-Эксмо»: 1470, Московская обл., Ленинский р-н, г. Видное-, Белокаменное ш., д. 1, а/я 5. Тел.:/факс +7 (495) (многоканальный). сайт: В Санкт-Петербурге: в магазине «Парк Культуры и Чтения БУКВОЕД», Невский пр-т, д. 46. Тел.: +7(81) , Полный ассортимент книг издательства «Эксмо» для оптовых покупателей: Москва. ООО «Торговый Дом «Эксмо». Адрес: 14701, Московская область, Ленинский р-н, г. Видное, Белокаменное шоссе, д. 1. Телефон: +7 (495) Нижний Новгород. Филиал «Торгового Дома «Эксмо» в Нижнем Новгороде. Адрес: , г. Нижний Новгород, ул. Карпинского, д. 9, бизнес-парк «Грин Плаза». Телефон: +7 (831) (9, 93, 94). Санкт-Петербург. ООО «СЗКО». Адрес: 1909, г. Санкт-Петербург, пр. Обуховской Обороны, д. 84, лит. «Е». Телефон: +7 (81) / server@szko.ru Екатеринбург. Филиал ООО «Издательство Эксмо» в г. Екатеринбурге. Адрес: 6004, г. Екатеринбург, ул. Новинская, д. щ. Телефон: +7 (343) (0/03/04/05/06/08). petrova.ea@ekat.eksmo.ru Самара. Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Самаре. Адрес: 44305, г. Самара, пр-т Кирова, д. 75/1, лит. «Е». Телефон: +7(846) RDC-samara@mail.ru Ростов-на-Дону. Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Ростове-на-Дону. Адрес: 34403, г. Ростов-на-Дону, ул. Страны Советов, д. 44 А. Телефон: +7(863) info@rnd.eksmo.ru Центр оптово-розничных продаж Cash&Carry в г. Ростове-на-Дону. Адрес: 34403, г. Ростов-на-Дону, ул. Страны Советов, д. 44 В. Телефон: (863) Режим работы: с 9-00 до rostov.mag@rnd.eksmo.ru Новосибирск. Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Новосибирске. Адрес: , г. Новосибирск, Комбинатский пер., д. 3. Телефон: +7(383) eksmo-nsk@yandex.ru Хабаровск. Обособленное подразделение в г. Хабаровске. Адрес: , г. Хабаровск, пер. Дзержинского, д. 4, литера Б, офис 1. Телефон: +7(41) eksmo-khv@mail.ru Тюмень. Филиал ООО «Издательство «Эксмо» в г. Тюмени. Центр оптово-розничных продаж Cash&Carry в г. Тюмени. Адрес: 650, г. Тюмень, ул. Алебашевская, д. 9А (ТЦ Перестройка+). Телефон: +7 (345) / 97/ eksmo-tumen@mail.ru Краснодар. ООО «Издательство «Эксмо» Обособленное подразделение в г. Краснодаре Центр оптово-розничных продаж Cash&Carry в г. Краснодаре Адрес: , г. Краснодар, ул. Сормовская, д. 7, лит. «Г». Телефон: (861) (0). Республика Беларусь. ООО «ЭКСМО АСТ Си энд Си». Центр оптово-розничных продаж Cash&Carry в г.минске. Адрес: 0014, Республика Беларусь, г. Минск, пр-т Жукова, д. 44, пом. 1-17, ТЦ «Outleto». Телефон: ; Режим работы: с до exmoast@yandex.by Казахстан. РДЦ Алматы. Адрес: , г. Алматы, ул. Домбровского, д. 3 «А». Телефон: +7 (77) (91,9). RDC-Almaty@eksmo.kz Интернет-магазин: Украина. ООО «Форс Украина». Адрес: г. Киев, ул. Вербовая, д. 17а. Телефон: +38 (044) sales@forsukraine.com Полный ассортимент продукции Издательства «Эксмо» можно приобрести в книжных магазинах «Читай-город» и заказать в интернет-магазине Телефон единой справочной службы 8 (800) Звонок по России бесплатный. Интернет-магазин ООО «Издательство «Эксмо» Розничная продажа книг с доставкой по всему миру. Тел.: +7 (495) imarket@eksmo-sale.ru

226