¼ Arithmetic sequences Season 02 Episode 08 Time frame 4 periods Prerequisites : Objectives : ÓÚÖ Ø ÓÒÔØ Ó ÖØÑØ ÕÙÒº Ò ÓÙØ Ø ÑÒ ÓÖÑÙÐ ÓÙØ ÖØÑØ ÕÙÒ º Materials : Ò ÛÖ Ø ÓÖ Ø ØÑ ÛÓÖº Ä ÓÒ ÓÙØ ÖØÑØ ÕÙÒ º ÜÖ ÓÙØ ÖØÑØ ÕÙÒ º ÌÖÑ ÖÓÑ ÚÒ ÖÒØ ÕÙÒ º ÑÖ 1 Matching game 10 mins ÈÔÖ ÛØ ÒÙÑÖ Ö Ò ÓÙØ ØÓ Ø Ð º ËØÙÒØ ÑÒÐ ØÓ Ò Ø ÓØÖ ÒÙÑÖ ØØ ÓÙÐ ÔÖØ Ó Ø Ñ ÕÙÒº Ö Ø ØÖÑ Ö Ô ÛØ ØÖ ÓÒ Ø ÔÔÖº 2 Team work 45 mins ÏÓÖÒ Ò Ø ØÑ ÖÓÑ Ø ÔÖÚÓÙ ÔÖØ ØÙÒØ Ú ØÓ ÐÐ Ò Ò ÛÖ Ø ÓÙØ ØÖ ÕÙÒº 3 Lesson 30 mins Ì ÑÒ Ö ÙÐØ ÓÙØ ÖØÑØ ÕÙÒ Ö ÓÛÒ ÛØ ÑÖº 4 Exercises Remaining time ÜÖ ÓÙØ ÖØÑØ ÕÙÒ Ú ØÓ ÓÒ Ò ÖÓÙÔ Ó ÓÖ ØÙÒØ º
Arithmetic sequences Season 02 Episode 08 Document Answer sheet 1º ÏÖØ Ò Ø ÐÐ ÐÓÛ Ø Ö Ø Ú ØÖÑ Ó ÝÓÙÖ ÕÙÒ Ò Ø ÓÖÖØ ÓÖÖº 2º ÏÖØ Ò Ø ÐÐ ÐÓÛ Ø ÒÜØ Ú ØÖÑ Ó ÝÓÙÖ ÕÙÒº 3º ÏÖØ Ò Ø ÐÐ ÐÓÛ Ø ØÖÑ Ó ÝÓÙÖ ÕÙÒ ÛÓ Ò Ö ÚÒº ÓÖ ÜÑÔÐ Ò Ø Ö Ø ÐÐ ÝÓÙ Ú ØÓ ÛÖØ Ø 20Ø ØÖÑ Ò ÝÓÙÖ ÕÙÒº 20 25 50 100 4º ÏØ Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ d ØÛÒ ØÛÓ ÓÒ ÙØÚ ØÖÑ Ò ÝÓÙÖ ÕÙÒ d = 5º Äس ÒÓØ a 1 Ø Ö Ø ØÖÑ Ò ÝÓÙÖ ÕÙÒ a 2 Ø ÓÒ ØÖÑ Ò Ó ÓÒº Ú Ø ÒÓØØÓÒ ÒÓØ Ø ÚÐÙ Ó Ø ØÖÑ ÒÜØ ØÓ Ó Ø ØÖÑ ÐÓÛº a 6 a 12 a 153 a n 6º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ ÒÝ ØÖÑ a n Ò Ø ÒÜØ ØÖѺ 7º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ ØÖÑ a n Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ d Ò Ø Ö Ø ØÖÑ a 1 º 8º Í Ø ÓÖÑÙÐ ÝÓÙ ÓÙÒ Ò Ø ÔÖÚÓÙ ÕÙ ØÓÒ ØÓ ÓÑÔÙØ ÖØÐÝ Ø ØÖÑ º a 200 a 250 a 500 a 1000 9º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ ÒÝ ØÖÑ a n Ò Ø ØÖÑ a 2 º 10º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ ÒÝ ØÖÑ a n Ò Ø ØÖÑ a 5 º 11º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ ÒÝ ØÛÓ ØÖÑ a n Ò a m º
¾ 12º ÈÐ Ø Ö Ø ØÒ ØÖÑ Ó ÝÓÙÖ ÕÙÒ ÓÒ Ø ÖÔ ÐÓÛº ÌÓ Ó Ó ÓÓ ÓÒÚÒÒØ Ð ÓÒ Ø y¹ü º ½ ¾ ½¼ 13º ÏØ Ó ÝÓÙ ÒÓØ ÓÙØ Ø ÖÔ Ó Ø ÕÙÒ 14º ÓÑÔÙØ Ø ÙÑ Ó Ø Ö Ø Ú ØÖÑ Ó ÝÓÙÖ ÕÙÒº 15º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ Ø ÙÑ Ó Ø Ö Ø Ú ØÖÑ Ø ÒÙÑÖ Ó ØÖÑ Ø Ö Ø ØÖÑ Ò Ø Ø ØÖѺ 16º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ Ø ÙÑ Ó Ø Ö Ø ØÒ ØÖÑ Ø ÒÙÑÖ Ó ØÖÑ Ø Ö Ø ØÖÑ Ò Ø ØÒØ ØÖѺ 17º Ò ÖÐØÓÒ ØÛÒ Ø ÙÑ Ó Ø Ö Ø n ØÖÑ Ø ÒÙÑÖ Ó ØÖÑ Ø Ö Ø ØÖÑ Ò Ø n¹ø ØÖѺ
Arithmetic sequences Season 02 Episode 08 Document Lesson ½ ÒØÓÒ Ò ÖØÖÓÒ ÕÙÒ Ó ÒÙÑÖ (a n ) ÖØÑØ Ø ÖÒ ØÛÒ ØÛÓ ÓÒ ÙØÚ ØÖÑ ÓÒ ØÒØ ÒÙÑÖº ÁÒØÙØÚÐÝ ØÓ Ó ÖÓÑ ÓÒ ØÖÑ ØÓ Ø ÒÜØ ÓÒ Û ÐÛÝ Ø Ñ ÒÙÑÖº Definition 1 Arithmetic sequence A sequence of numbers (a n ) is arithmetic if, for any positive integer n, a n+1 a n = d where d is a fixed real number, called the common difference of the sequence. We can also write that a n+1 = a n +d. This equality is called the recurrence relation of the sequence. Proposition 1 Graph of an arithmetic sequence The graph of an arithmetic sequence is a straight line. ¾ ÊÐØÓÒ ØÛÒ ØÖÑ Proposition 2 Explicit definition For any positive integer n, a n = a 1 +(n 1) d. This equality is called the explicit definition of the sequence. ÈÖÓÓº Ö Ø Ø ÕÙÐØÝ ØÖÙ ÛÒ n = 1 a 1 = a 1 + 0 d = a 1 + (1 1) dº ÌÒ ÙÔÔÓ ØØ Ø ØÖÙ ÓÖ ÚÐÙ n = k ÑÒÒ ØØ a k = a 1 +(k 1) dº ÌÒ ÖÓÑ Ø ÒØÓÒ Ó Ø ÕÙÒ a k+1 = a k +d = a 1 +(k 1) d+d = a 1 +k dº ËÓ Ø ÓÖÑÙÐ ØÖÙ ÓÖ n = k +1 ØÓÓº ËÓ Ø³ ØÖÙ ÓÖ n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 Ø ÓÖ ÐÐ ÚÐÙ Ó nº Proposition 3 Relation between two terms For any two positive integers n and m, a n = a m +(n m) d. ÈÖÓÓº ÖÓÑ Ø ÜÔÐØ ÒØÓÒ Ó Ø ÕÙÒ (a n ) a n = a 1 + (n 1) d Ò a m = a 1 +(m 1) d Ó a n a m = (a 1 +(n 1) d) (a 1 +(m 1) d) = n d m d = (n m)dº ÌÖÓÖ a n = a m +(n m) dº
ÄÑØ ÛÒ n ÔÔÖÓ + Theorem 1 Limit of an arithmetic sequence The limit of an arithmetic sequence (a n ) of common difference d is equal to + when d > 0; is equal to when d < 0; is equal to a 1, trivially, if d = 0. ÈÖÓÓº ËÙÔÔÓ ØØ a 1 > 0 Ò d > 0 Ò ÓÒ Ö ÒÝ ÖÐ ÒÙÑÖ Kº ÌÒ Ø ÒÕÙØÓÒ a n > K ÓÖ a 1 +(n 1)d > K ÓÐÚ Ý ÒÝ ÔÓ ØÚ ÒØÖ n Ù ØØ n > K a 1 d + 1º Ì ÑÒ ØØ ÓÖ ÒÝ ÖÐ ÒÙÑÖ K ØÖ Ü Ø ÓÑ ÒØÖ N Ù ØØ ÓÖ ÒÝ n N a N > Kº Ì ÜØÐÝ Ø ÒØÓÒ Ó Ø Ø ØØ lima n = + º ËÙÔÔÓ ØØ a 1 > 0 Ò d < 0 Ò ÓÒ Ö ÒÝ ÖÐ ÒÙÑÖ Kº ÌÒ Ø ÒÕÙØÓÒ a n < K ÓÖ a 1 +(n 1)d < K ÓÐÚ Ý ÒÝ ÔÓ ØÚ ÒØÖ n Ù ØØ n > K a 1 d + 1º Ì ÑÒ ØØ ÓÖ ÒÝ ÖÐ ÒÙÑÖ K ØÖ Ü Ø ÓÑ ÒØÖ N Ù ØØ ÓÖ ÒÝ n N a N < Kº Ì ÜØÐÝ Ø ÒØÓÒ Ó Ø Ø ØØ lima n = º Ì Ð Ø ØÙØÓÒ ÛÒ d = 0 ÓÚÓÙ ÐÐ ØÖÑ Ö ÕÙÐ ØÓ a 1 º ËÙÑ Ó ÓÒ ÙØÚ ØÖÑ Theorem 2 Sum of consecutive terms Let (a n ) be an arithmetic sequence, The sum S n of all the terms between a 1 and a n, S n = a 1 +a 2 +...+a n 1 +a n, or more precisely S = n i=1 a i, is given by the formula S = n a 1 +a n. 2 ÈÖÓÓº Ì ØÖ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÖÑÙÐ ØÓ ÛÖØ Ø ÙÑ Ò ØÛÓ ÖÒØ ÛÝ ÓÒ ÓÒ Ø Ö Ø ØÖÑ Ø ÓØÖ ÓÒ Ø Ð Ø ØÖѺ Í Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ó ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ½º¾ Û Ú ÓÒ ÓÒ Ò Ò ÓÒ Ø ÓØÖ Ò S n = a 1 +a 2 +...+a n 1 +a n S n = a 1 +a 1 +d+...+a 1 +(n 2)d+a 1 +(n 1)d S n = a 1 +a 2 +...+a n 1 +a n S n = a n (n 1)d+a n (n 2)d+...+a n d+a n. ÏÒ Û Ø ØÛÓ ÜÔÖ ÓÒ Ó S n ÐÐ ØÖÑ ÒÚÓÐÚÒ d Ö ÒÐÐ Ò Û Ò ÙÔ ÛØ ÑÒÝ ØÑ Ø ÙÑ a 1 +a n Ö ØÖ ÛÖ Ó ØÖÑ Ò S n Ó 2S n = n(a m +a n ) S n = n a 1 +a n. 2
Arithmetic sequences Season 02 Episode 08 Document Exercises 8.1 ÒÐ ÕÙÖ Ñ ÖÓÑ ÑØ Ø º ÌÛÓ ÕÙÖ Ò ÖÓÛ Ò ÑØ Ø Ò ÕÙÖ Ò ÖÓÛ Ò ½¼ ÑØ Ø º Ì ÔÖÓ Ò ÕÙÒº ØÖÑÒ ÓÖ Ø ÕÙÒ 1º Ø Ö Ø ØÖÑ 2º Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ 3º Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÒÖÐ ØÖÑ 4º ÓÛ ÑÒÝ ÑØ Ø Ö Ò ÖÓÛ Ó ¾ ÕÙÖ º 8.2 ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖ ÒØÙÖÐ ÒÙÑÖ Ù ØØ Ø Ô Ó Ò ÕÙÐØÖÐ ØÖÒÐ Ò ÓÖÑ Ý ØØ ÒÙÑÖ Ó ÔÓÒØ º ÓÖ n 1 ÐØ u n Ø ÖÒ ØÛÒ Ø n¹ø ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖ Ò Ø ÔÖÚÓÙ ÓÒº 1º Ò Ø Ü Ö Ø ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖ º 2º Ú Ø Ö Ø ØÖÑ Ó Ø ÕÙÒ (u n )º ÏØ Ò Ó ÕÙÒ ÓÙÐ Ø 3º ÏÖØ Ø Ü Ö Ø ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖ Ù Ò ÓÒ ÙØÚ ØÖÑ Ó Ø ÕÙÒ (u n )º 4º Ù ÓÖÑÙÐ ØÓ Ò ÖØÐÝ Ø n¹ø ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖº 5º Í Ø ÓÖÑÙÐ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø 36Ø ØÖÒÙÐÖ ÒÙÑÖº Á Ø ÒÙÑÖ ÑÓÙ ÓÖ ÓØÖ Ö ÓÒ 8.3 Ì ØÖ ØÖÑ Ó Ò ÖØÑØ ÕÙÒ ¹ Ò Ø th ØÖÑ º ØÖÑÒ 1º Ø Ö Ø ØÖÑ a 1 Ò Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ d 2º Ø 51 st ØÖѺ 8.4 ÁÒ Ò ÖØÑØ ÕÙÒ Ø Ö Ø Ò ÚÒØ ØÖÑ Ö x 2 Ò 6 + x 5x 2 Ö ÔØÚÐݺ Á Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ x ØÖÑÒ Ø ÔÓ Ð ÚÐÙ Ó xº 8.5 Ì ØÛÐØ ØÖÑ Ó Ò ÖØÑØ ÕÙÒ Ò Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ ØÛÒ Ù Ú ØÖÑ º ØÖÑÒ Û ØÖÑ ÚÐÙ Ó º 8.6 ÁÒ ÚÒ ÖØÑØ ÕÙÒ Ø Ö Ø ØÖÑ ¾ Ø Ð Ø ØÖÑ ¾ Ò Ø ÙÑ Ó ÐÐ Ø ØÖÑ ½º Ò Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒº
8.7 ÓÖÞÓÒØÐ ÐÒ ÒØÖ Ø Ô Ó ØÖÒ Ø ÓÙÖ ÔÓÒØ Ò Ú Ø ÒØÓ Ú ÔÖØ ÓÛÒ ÐÓÛº ½ ¾ Á Ø Ô Ó ØÖÒ ÒØÖ Ø Ò Ø ÛÝ Ý ½ ÔÖÐÐÐ ÐÒ Ó Û ÒØÖ Ø Ø Ø ÓÙÖ ÔÓÒØ Ò Ø ÒÙÑÖ Ó ÔÖØ ÒØÓ Û Ø ØÖÒ ÛÐÐ Úº 8.8 Ì ØÛÓ ÔÖÓÐÑ ÔÔÖ ÓÒ Ø ÊÒ ÈÔÝÖÙ º Ì ÔÔÝÖÙ Û ÒÑ ØÖ ÐÜÒÖ ÀÒÖÝ ÊÒ ËÓØØ ÒØÕÙÖÒ ÛÓ ÔÙÖ Ø ÔÔÝÖÙ Ò ½ Ò ÄÙÜÓÖ ÝÔØ Ø Û ÔÔÖÒØÐÝ ÓÙÒ ÙÖÒ ÐÐÐ ÜÚØÓÒ Ò ÓÖ ÒÖ Ø ÊÑ ¹ ÙÑ Ø ÑÑÓÖÐ ØÑÔÐ Ó ÈÖÓ ÊÑ ÁÁµº Ì ÖØ ÅÙ ÙÑ ÛÖ Ø ÔÔÝÖÙ ÒÓÛ ÔØ ÕÙÖ Ø Ò ½º ÁØ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÛÐйÒÓÛÒ ÅØÑØÐ ÈÔÝÖ ÐÓÒ ÛØ Ø ÅÓ ÓÛ ÅØÑØÐ ÈÔÝÖÙ º ÈÖÓÐÑ ¼º Ú ½¼¼ Ø Ó ÖÐÝ ÑÓÒ ÑÒ Ó ØØ Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ Ø Ñ Ò Ó ØØ Ø ÙÑ Ó Ø ØÛÓ ÑÐÐ Ø ½» Ø ÙÑ Ó Ø ØÖ ÐÖ Øº ÈÖÓÐÑ º Ú ½¼ Ø Ó ÖÐÝ ÑÓÒ ½¼ ÑÒ Ó ØØ Ø ÓÑÑÓÒ ÖÒ ½» Ó Ø Ó ÖÐݺ
Document 1 Ö ÓÖ Ø ÑØÒ Ñ