Chuyên đề nâng cao 1 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG MA' MB ' MD ' MB ' 1.1. Trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD ' = MA' mà = ( gt) = = BC CA BC CA Xét MD ' B' và CBAcó D' MB = BCA ( cùng bù với góc A MB ) Và MD ' ' ' ' = MB = MD ' B ' CBA( g. g ) = MD = MB BC CA AB CA B' D' MC ' MB ' ta có : = = = B' D' = MC ' AB AB CA Chứng minh tương tự có D' C' = MB ', do đó tứ giác MC D B là hình bình hành. Nên A M đi qua trung điểm của B C Vậy M là trọng tâm của tam giác A B C 1.. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với IC tại I, đường thẳng này cắt, BC lần lượt tại D AD IB IE IA AB IA BE IB IE EBI IBA( g. g ) = = = ( ) IB AB IA Từ(1) và () có AD. BE = ID. IE D, E. ta có : AIB = ADI = 9 + DAI IAB ( g. g ) = = = ( 1) ( )( ) IC = CD ID = AD BC BE =. BC. BE BC. AD + AD. BE ID =. BC. BE BC. AD = IC. AB AB.. BC. AB. BE BC. AB. AD = IC. AB AB.. BC IB. IA. BC = IC. c a. b. c IB. b IA. a IC IB IA IA IB IC = = 1 = + + = 1 ab c. a b. c b. c c. a a. b
1.3. Vẽ tia Bx sao cho CBx =, Bx cắt cạnh tại D. Vẽ AE Bx, E Bx Ta có : BDC ABC ( CBD = B = ), BCD chung BD BC DC = = = BD = BC = a AB BC BD a a DC =. BC = vàad = DC = b AB b b ABE vuông tại E có ABE = ABC CBD = 6 AB b b Suy ra BE = = DE = BE BD = a ABE vuông tại E nên theo định lí Pytago ta có : 3 AE + BE = AB AE = AB BE = b 4 ADE vuông tại E nên theo định lí Pytago ta có : b a b a b 3 = + = 4 b AE + DE = AD 3 1 a a b + b ab + a = b a + = 4 4 b b + ab = a = a + b = ab 1.4. Cách 1 Từ D vẽ DF,từ E vã EG AB. Ta chứng minh được 4 4 3 3 3 3 DF = ( 1) EG AB DF AD ADF AEG ( g. g ) = ( ) EG AE Từ (1) và () có : AD = = ADC AEB ( c. g. c) ABC = B AB AE
Cách Từ D và E lần lượt vẽ DF AB, EG. BD = CE = S = S ABD E DF AB. DF =. EG = ( 1) EG AB DF AD ADF AEG ( g. g ) = ( ) EG AE Từ (1) và () có : AD = = ABE D ABE = D AB AE Cách 3. Vẽ tia BH, CK là các đường cao của tam giác ABD, E BH AE BD = CE S ABD = S E = = CK AD BH AB ABH K = CK AB AE ABE DBAE = CAD, = AD ABE = D ABC cân tại A 1.5. Giả sử MB MC.Gọi G là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của MN và CP. Vì MNAP là hình bình hành nên QPM = ANM ( 1) Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác PBM cân tại P và tam giác NCM cân tại N. Do đó PB = PM = AN và NC = NM = AP Kết hợp với MN AP suy ra PQ PQ KM PB NA = = = = PM PB KN PA NM ( ) Từ (1) và () có QPM ANM ( c. g. c)
= OMP = AMN 1.6. Vẽ MH AH tại H, NK tại K. Từ giả thiết ta có BAM = CAN, BAN = CAM AM MH HAM KAN ( g. g ) = AN NK SABM BM MH. AB AM. AB Do đó = = = S CN NK. AN. N BM AM. AB Nên = CN AN. BN AN. AB Chứng minh tương tự có : = CM AM... Do đó BM. BN = AM AB. AN AB CN CM AM. AN. BN Vậy = CN AB 1.7. Gọi N là điểm đối xứng của điểm I qua M. Ta có MN = MI MN MK Xét KNM và ABC có = BC KMN = B ( cùng bù với KMD ) NK MK KNM ABC c. g. c = 1 AB ML MK = AB Do đó ( ) ( ) Mà ( ) Từ (1) và () có : ML = NK = ML = NK AB AB Tương tự LN ML MK ML LMN ABC =, mà = ( gt) = LN = MK AB AB Tứ giác LNKM có ML = NK, LN = MK nên là hình bình hành, suy ra IM đi qua trung điểm của LK. Chứng minh tương tự có LM đi qua trung điểm của IK.
Vậy M là trọng tâm tam giác IKL 1.8. Cách 1 Trên tia đối của tia DA dựng điểm M : AD = DM. Dễ dàng thấy BAME là hình bình hành. Do đó AB = ME = DE = EC DMC vuông cân tại M. Tam giác EAB vuông có AE = AB, Tam giác BMC vuông có MB = MC (.. ) EAB BMC c g c AEB = MBC Do đó AEB + B = MBC + B = ADB = 45 Cách : Đặt AB = AD = DE = EC = a thì BD = a + a = a Lại có CD. ED = a. a = a nê n BD = CD. ED CD BD = = CDB BDE c g c BD ED DCB = DBE Vậy (.. ) DCB + DBE = DBE + DEB = ADB = 45 1.9. Từ M vẽ đường thẳng song song với các cạnh hình bình hành ABCD cắt các cạnh của hình này lần lượt tại E,F,G,H ( xem hình vẽ ) AG MG Do đó AGM DFM = CF MF Mà DH BF AG = DH; CF = MH; MG = FB nên = ( 1) MH MF Mặt khác, DHM = MGB = BFM ( ) Từ (1) và () suy ra DHM BFM Do đó MDH = MBF hay MDC = MBC 1.1. Trên nửa mặt phẳng bờ EA không chứa C vẽ tia Ex sao cho AEx B =. Gọi N là giao điểm của Ex và CA
Xét ABC và ANE có B = NAE ( đối đỉnh ) ABC = B = AEN AB = ABC ANE ( g. g ) = = vàabc = ANE AN AE Từ AB = suy ra AB. AE =. AN ( 1) AN AE Xét ( ) ( ) CDA CNE có DCA chung, ADC = CNE = ABC CD CDA CNE g g = CD CE CN CE = CN = = (. ).. ( ) CD. CE AB. AE =. CN. AN = CN AN =. = Từ (1) và () có ( )