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OÂN THI O HOÏ MOÂN TOÙN KINH TEÁ (Bieâ soaï: Traà Ngoïc Hoäi - 007) PHÀN II: XÙ SUÁT - Ù OÂNG THÖÙ Ô BÛN. OÂN VEÀ TOÅ HÔÏP.. Ñòh ghóa: Moät toå hôïp chaäp cuûa phaà töû laø moät hoùm hoâg coù thöù töï goàm phaà töû phaâ bieät ñöôïc ruùt ra töø phaà töû ñaõ cho. Ví duï: aùc toå hôïp chaäp cuûa 3 phaà töû x, y, z laø:.. oâg thöùc tíh toå hôïp: Goïi Ta coù coâg thöùc: Ví duï: 6 0 0! 38760. 6!4! {x,y}; {x,z}; {y,z}. laø soá toå hôïp chaäp cuûa phaà töû.!!! huù yù: Treâ maùy tíh coù phím chöùc aêg r, ta tíh 0 r 6 = 6 0 baèg caùch baám.3. Baøi toùa löïa choï: Moät loâ haøg chöùa N saû phaåm, trog ñoù coù N saû phaåm loaïi vaø N- N saû phaåm loïai B. hoï gaãu hieâ ra saû phaåm (0 < < N). Vôùi moãi soá guyeâ thoûa 0 N, 0 - N-N. Tìm soá caùch choï ra saû phaåm, trog ñoù coù ñuùg saû phaåm loaïi. Lôøi giaûi Ñeå choï ra saû phaåm, trog ñoù coù ñuùg saû phaåmloaïi ta tieá haøh böôùc: Böôùc : hoï saû phaåm loaïi töø N saû phaåm loaïi. Soá caùch choï laø. N Böôùc : hoï - saû phaåm loaïi B töø N-N saû phaåm loaïi B. Soá caùch choï laø. NN

Theo guyeâ lyù haâ ta coù soá caùch ra saû phaåm, trog ñoù coù ñuùg saû phaåm loaïi laø:. ÑÒNH NGHÓ XÙ SUÁT.. Pheùp thöû vaø bieá coá.. N NN ) Pheùp thöû laø moät thí ghieäm ñöôïc thöïc hieä trog höõg ñieàu ieä xaùc ñòh aøo ñoù. Moät pheùp thöû coù theå cho hieàu eát quaû haùc hau, moãi eát quaû ñöôïc goïi laø moät bieá coá. Ví duï: Thöïc hieä pheùp thöû laø tug moät co xuùc xaéc ñoàg chaát 6 maët. aùc bieá coá coù theå xaûy ra laø: Xuaát hieä maët chaám; Xuaát hieä maët coù chaám chaü, ) Bieá coá taát yeáu, í hieäu (OÂmeâga), laø bieá coá haát thieát phaûi xaûy ra hi thöïc hieä pheùp thöû. Ví duï: Khi tug moät co xuùc xaéc 6 maët, bieá coá Xuaát hieä maët coù soá chaám hoâg quaù 6 laø bieá coá taát yeáu. 3) Bieá coá baát haû, í hieäu, laø bieá coá hoâg bao giôø xaûy ra hi thöïc hieä pheùp thöû. Ví duï: Khi tug moät co xuùc xaéc 6 maët, bieá coá Xuaát hieä maët coù soá chaám lôù hô 6 laø bieá coá baát haû. 4) Bieá coá gaãu hieâ laø bieá coá coù theå xaûy ra cuõg coù theå hoâg xaûy ra hi thöïc hieä pheùp thöû. Ta thöôøg duøg caùc í töï,,, B,, ñeå chæ caùc bieá coá gaãu hieâ. Ví duï: Khi tug moät co xuùc xaéc 6 maët, bieá coá Xuaát hieä maët chaám laø moät bieá coá gaãu hieâ. Trog caùc ví duï mih hoïa sau, hi tug moät co xuùc xaéc 6 maët, ta goïi j (j =,,,6) laø bieá coá Xuaát hieä maët j chaám. coá ñòh bôûi: Mih hoïa: 5) Bieá coá toåg cuûa hai bieá coá vaø B, í hieäu + B (hay B) laø bieá + B xaûy ra xaûy ra hoaëc B xaûy ra. où ít haát moät trog hai bieá coá hoaëc B xaûy ra.

Ta coù theå môû roäg haùi ieäm toåg cuûa bieá coá,,, hö sau: + + + xaûy ra où ít haát trog bieá coá,,, xaûy ra. Ví duï: Tug moät co xuùc xaéc 6 maët, goïi laø bieá coá Xuaát hieä maët coù soá chaám hoâg quaù vaø B laø bieá coá Xuaát hieä maët coù soá chaám chaü, ta coù: = + B = + 4 + 6 6) Bieá coá tích cuûa hai bieá coá vaø B, í hieäu B (hay B) laø bieá coá ñòh bôûi: B xaûy ra xaûy ra vaø B xaûy ra. Nhö vaäy, bieá coá tích B xaûy ra hi vaø chæ hi caû hai bieá coá vaø B ñoàg thôøi xaûy ra. Mih hoïa: Ta coù theå môû roäg haùi ieäm tích cuûa bieá coá,,, hö sau: xaûy ra Taát caû bieá coá,,, ñoàg thôøi xaûy ra. Ví duï: Tug moät co xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieá coá sau: : Xuaát hieä maët coù soá chaám chaü. B : Xuaát hieä maët coù soá chaám lôù hô hay baèg 5. : Xuaát hieä maët coù soá chaám hoû hô hay baèg 5. Ta coù: B = 6 vaø B =. 7) Bieá coá sô caáp laø bieá coá haùc bieá coá baát haû vaø hoâg theå phaâ tích döôùi daïg toåg cuûa hai bieá coá haùc. 3

Ta coù theå xem caùc bieá coá sô caáp hö laø caùc guyeâ töû hoû haát hoâg theå phaâ chia ñöôc öõa. Moät bieá coá baát yø seõ laø toåg cuûa moät soá bieá coá sô caáp aøo ñoù, ta goïi höõg bieá coá sô caáp ñoù thuaä lôïi cho bieá coá. Nhö vaäy, moïi bieá coá sô caáp ñeàu thuaä lôïi cho bieá coá taát yeáu, trog hi hoâg coù bieá coá sô caáp aøo thuaä lôïi cho bieá coá baát haû. Ví duï: Khi tug moät co xuùc xaéc 6 maët, ta coù taát caû 6 bieá coá sô caáp laø j (j =,,,6). Goïi laø bieá coá xuaát hieä maët coù soá chaám leû. Khi ñoù: = + 3 + 5. Do doù coù 3 bieá coá sô caáp thuaä lôïi cho bieá coá laø, 3, 5. 8) Hai bieá coá vaø B ñöôïc goïi laø xug haéc eáu B =, ghóa laø vaø B hoâg bao giôø ñoàg thôøi xaûy ra trog cuøg moät pheùp thöû. Ví duï: Tug moät co xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieá coá : : Xuaát hieä maët coù soá chaám chaü. B : Xuaát hieä maët chaám. : Xuaát hieä maët coù soá hoâg quaù. Ta coù vaø B xug haéc hög vaø thì hoâg ( = ). 9) Bieá coá ñoái laäp cuûa bieá coá, í hieäu, laø bieá coá ñòh bôûi xaûy ra hoâg xaûy ra Mih hoïa: Nhö vaäy, vaø xug haéc, hô öõa + =, ghóa laø haát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät trog hai bieá coá hoaëc xaûy ra hi thöïc hieä pheùp thöû. Ví duï: Tug moät co xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieá coá : Xuaát hieä maët coù soá chaám chaü. B : Xuaát hieä maët coù soá chaám leû. Ta thaáy gay B laø bieá coá ñoái laäp cuûa. 0) aùc bieá coá ñoàg haû aêg laø caùc bieá coá coù haû aêg xaûy ra hö hau hi thöïc hieä pheùp thöû. Ví duï: Khi tug gaãu hieâ moät co xuùc xaéc ñoàg chaát 6 maët, caùc bieá coá sô caáp j (j =,,,6) laø ñoàg haû aêg. 4

.. Ñòh ghóa xaùc suaát. Giaû söû hi tieá haøh moät pheùp thöû ø, coù taát caû bieá coá sô caáp ñoàg haû aêg coù theå xaûy ra, trog ñoù coù m bieá coá sô caáp thuaä lôïi cho bieá coá. Tæ soá m ñöôïc goïi laø xaùc suaát cuûa bieá coá, í hieäu laø ). Nhö vaäy, ) = Soá bieá coá sô caáp thuaä lôïi cho Toåg soá bieá coá sô caáp coù theå xaûy ra.3. oâg thöùc tíh xaùc suaát löïa choï. Xeùt moät loâ haøg chöùa N saû phaåm, trog doù coù N saû phaåm loaïi, coø laïi laø loaïi B. hoï gaãu hieâ töø loâ haøg ra saû phaåm (0< < N). Khi ñoù, vôùi moãi 0 N thoûa 0 - N-N, xaùc suaát ñeå trog saû phaåm choï ra coù ñuùg saû phaåm loaïi laø: p () N NN N 3. OÂNG THÖÙ OÄNG XÙ SUÁT 3.. oâg thöùc coäg xaùc suaát ) oâg thöùc coäg xaùc suaát thöù haát. Vôùi vaø B laø hai bieá coá xug haéc, ta coù +B) = ) + B) Môû roäg: Vôùi,,, laø bieá coá xug haéc töøg ñoâi, ta coù: + + + ) = ) + ) + + ) ) Heä quaû: Vôùi laø moät bieá coá baát yø, ta coù ) ) 3) oâg thöùc coäg xaùc suaát thöù hai: Vôùi vaø B laø hai bieá coá baát yø, ta coù: 5

+ B) = ) + B) - B) Ví duï : Moät loâ haøg chöùa 5 saû phaåm goàm 0 saû phaåm toát vaø 5 saû phaåm xaáu. hoï gaãu hieâ töø loâ haøg ra 4 saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå trog 4 saû phaåm choï ra coù: a) Soá saû phaåm toát hoâg ít hô soá saû phaåm xaáu. b) Ít haát saû phaåm xaáu. Lôøi giaûi. Goïi j (j = 0,,,4) laø bieá coá coù j saû phaåm toát vaø (4-j) saû phaåm xaáu coù trog 4 saû phaåm choï ra. Khi ñoù 0,,, 4 xug haéc töøg ñoâi vaø theo oâg thöùc tíh xaùc suaát löïa choï vôùi N = 5, N = 0, = 4 (ôû ñaây loaïi laø loaïi toát), ta coù: Töø ñoù ta tíh ñöôïc: 0 3 5 ) ; 365 600 ) ; 365 j 0 5 4 j 5 j ) 4 00 ) ; 365 0 4 ). 365 ) 450 365 a) Goïi laø bieá coá soá saû phaåm toát hoâg ít hô soá saû phaåm xaáu. Ta coù: = 4 + 3 +. Töø ñaây do tíh xug haéc töøg ñoâi cuûa, 3, 4, oâg thöùc coäg thöù haát cho ta: ) 4 ) 3 ) ) 0 600 450 365 365 365 0,93 b) Goïi B laø bieá coá coù ít haát saû phaåm xaáu trog 4 saû phaåm choï ra. Khi ñoù, bieá coá ñoái laäp B laø bieá coá hoâg coù saû phaåm xaáu aøo trog 4 saû phaåm choï ra eâ B = 4. Suy ra xaùc suaát cuûa B laø 6

0 ( B) B) 4 ) 0,846 365 P. Ví duï : Moät lôùp hoïc coù 00 sih vieâ, trog ñoù coù 60 sih vieâ gioûi Toaù, 70 sih vieâ gioûi h vaê vaø 40 sih vieâ gioûi caû hai moâ Toaù vaø h vaê. hoï gaãu hieâ moät sih vieâ cuûa lôùp. Tìm xaùc suaát ñeå choï ñöôïc sih vieâ gioûi ít haát moät trog hai moâ Toaù hoaëc h vaê. Lôøi giaûi Goïi - laø bieá coá sih vieâ ñöôïc choï gioûi moâ Toaù. - B laø bieá coá sih vieâ ñöôïc choï gioûi moâ h vaê. Khi ñoù - B laø bieá coá sih vieâ ñöôïc choï gioûi caû hai moâ Toaù vaø h vaê. - + B laø bieá coá sih vieâ ñöôïc choï gioûi ít haát moät trog hai moâ Toaù hoaëc h vaê. Do ñoù 60 70 40 P ( B) ) B) B) 0,9. 00 00 00 4. OÂNG THÖÙ NHÂN XÙ SUÁT 4.. Xaùc suaát coù ñieàu ieä. ) Ñòh ghóa: Xaùc suaát coù ñieàu ieä cuûa bieá coá bieát bieá coá B ñaõ xaûy ra, í ieäu /B), laø xaùc suaát cuûa bieá coá hög ñöôïc tíh trog tröôøg hôïp bieá coá B ñaõ xaûy ra roài. Ví duï: Thaûy moät co xuùc xaéc ñoàg chaát 6 maët. Xeùt caùc bieá coá sau: - laø bieá coá xuaát hieä maët coù soá chaám chaü. - B laø bieá coá xuaát hieä maët coù soá chaám leû. - laø bieá coá xuaát hieä maët coù soá chaám hoû hô hay baèg 4. - D laø bieá coá xuaát hieä maët coù soá chaám lôù hô hay baèg 4. Khi ñoù - /B) = 0 - /) = /4 = 0,5 - /D) = /3 Nhaä xeùt: Trog ví duï treâ ta coù xaùc suaát cuûa bieá coá laø ) = 3/6 = 0,5. Do ñoù /B) < ); /) = ); /D) > ). 7

Ñieàu ñoù cho thaáy xaùc suaát coù ñieàu ieä cuûa bieá coá coù theå hoû hô, coù theå baèg hög cuõg coù theå lôù hô xaùc suaát thoâg thöôøg ). Ñaëc bieät, ta thaáy xaùc suaát ñeå bieá coá xaûy ra laø 0,5 hoâg phuï thuoäc vaøo vieäc bieát hay chöa bieát bieá coá ñaõ xaûy ra. Ta oùi bieá coá ñoäc laäp vôùi bieá coá theo ñòh ghóa sau: ) Tíh ñoäc laäp: Neáu /B) = ), ghóa laø söï xuaát hieä cuûa bieá coá B hoâg aûh höôûg ñeá xaùc suaát cuûa bieá coá, thì ta oùi ñoäc laäp vôùi B. 4.. oâg thöùc haâ xaùc suaát thöù haát Neáu bieá coá ñoäc laäp vôùi bieá coá B thì B cuõg ñoäc laäp vôùi vaø ta coù B) = ) B) Môû roäg: Vôùi,,, laø bieá coá ñoäc laäp töøg ñoâi, ghóa laø vôùi moïi i j, i vaø j ñoäc laäp, ta coù: ) = ) ) ). 4.3. oâg thöùc haâ xaùc suaát thöù hai Vôùi, B laø hai bieá coá baát yø, ta coù B) = ) B/) = B)/B) Môû roäg: Vôùi,,, laø bieá coá baát yø, ta coù: ) = ) / ) / - ). haúg haï: B) = )B/)/B). Ví duï: où hai loâ haøg, moãi loâ chöùa 5 saû phaåm, trog ñoù loâ I goàm 0 saû phaåm toát, 5 saû phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saû phaåm toát vaø 7 saû phaåm xaáu. hoï gaãu hieâ töø moãi loâ saû phaåm. a) Tíh xaùc suaát ñeå trog 4 saû phaåm choï ra coù saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu. Tíh xaùc suaát ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ I. 8

Lôøi giaûi Goïi i, B i (i = 0,, ) laà löôït laø caùc bieá coá coù i saû phaåm toát vaø ( - i) saû phaåm xaáu coù trog saû phaåm ñöôïc choï ra töø loâ I, loâ II. Khi ñoù - 0,, xug haéc töøg ñoâi vaø ta coù: 0 ) ) ) 0 0 5 0 5 0 5 5 5 0 5 0 ; 05 50 ; 05 45. 05 - B 0, B, B xug haéc töøg ñoâi vaø ta coù: B 0 B ) B ) ) 0 87 5 87 5 0 87 5 - i vaø B j ñoäc laäp. ; 05 56 ; 05 8. 05 a) Goïi laø bieá coá choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaûm xaáu. Ta coù: = 0 B + B + B 0. Do tíh xug haéc töøg ñoâi, oâg thöùc coäg xaùc suaát cho ta: ) = 0 B ) + B ) + B 0 ). Töø ñaây, do tíh ñoäc laäp, oâg thöùc haâ xaùc suaát thöù haát cho ta: 9

) 0)B) )B ) )B0) 0 8 50 56 45.... 05 05 05 05 05 05 0,365. b) Giaû söû ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu. Khi ñoù bieá coá ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ I trog tröôøg hôïp aøy chíh laø xaùc suaát coù ñieàu ieä /). Theo oâg thöùc haâ xaùc suaát thöù hai, ta coù Suy ra ) ) /). ) /) ). Maët haùc = B Vì hai bieá coá vaø B ñoäc laäp eâ theo oâg thöùc haâ thöù haát ta coù: P Do ñoù xaùc suaát caà tìm laø: 50 56 ) B ) ) B ). 05 05 ( ) 0,540 /) ) 0,365 0,6957. 0,540. 5. OÂNG THÖÙ XÙ SUÁT ÑÀY ÑUÛ VØ OÂNG THÖÙ BYES 5.. Heä bieá coá ñaày ñuû vaø xug haéc töøg ñoâi. aùc bieá coá,,, ñöôïc goïi laø moät heä bieá coá ñaày ñuû vaø xug haéc töøg ñoâi eáu hai tíh chaát sau ñöôïc thoûa: - + + + = ; - i j, i j =, ghóa laø caùc bieá coá,,, xug haéc töøg ñoâi vaø haát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät bieá coá j aøo ñoù xaûy ra hi thöïc hieä moät pheùp thöû baát yø. Nhaä xeùt: Vôùi,,, laø moät heä ñaày ñuû vaø xug haéc töøg ñoâi ta coù ) + ) + + ) =. 0

Ví duï: où hai hoäp, moãi hoäp chöùa 0 vieâ bi, trog ñoù hoäp I goàm 6 bi ñoû, 4 bi traég; hoäp II goàm 8 ñoû, traég.töø moãi hoäp, choï ra bi. Xeùt caùc bieá coá sau: - i (i = 0,, ) laø bieá coá coù i bi ñoû vaø -i bi traég coù trog bi laáy töø hoäp I. - B j (j = 0,, ) laø bieá coá coù j bi ñoû vaø -j bi traég coù trog bi laáy töø hoäp II. Khi ñoù ta coù caùc heä sau laø caùc heä ñaày ñuû, xug haéc töøg ñoâi: - 0,,. - B 0, B, B. - 0 B 0, 0 B, 0 B, B 0, B, B, B 0, B, B. - 0 B 0, 0 B + B 0, 0 B + B + B 0, B + B, B. 5.. oâg thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ho,,, laø moät heä bieá coá ñaày ñuû vaø xug haéc töøg ñoâi. Khi ñoù, vôùi laø moät bieá coá baát yø, ta coù: 5.3. oâg thöùc Bayes: ) j)/ j) j Vôùi caùc giaû thieát hö trog 4., ta coù vôùi moãi : /) )/ ) )/ ) ) )/ ) j j j Ví duï. où hai loâ haøg, moãi loâ chöùa 5 saû phaåm, trog ñoù loâ I goàm 0 saû phaåm toát, 5 saû phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saû phaåm toát vaø 7 saû phaåm xaáu. hoï gaãu hieâ töø loâ I saû phaåm boû sag loâ II, sau ñoù töø loâ II laáy ra saû phaåm. a) Tíh xaùc suaát ñeå trog saû phaåm choï ra töø loâ II coù saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ II. Tíh xaùc suaát ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ I. Lôøi giaûi. Goïi - laø bieá coá choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ II. - j (j = 0,, ) laø bieá coá coù j saû phaåm toát vaø ( - j) saû phaåmxaáu coù trog saû phaåm ñöôïc choï ra töø loâ I.

Khi ñoù 0,, laø heä ñaày ñuû, xug haéc töøg ñoâi vaø ta coù: 0 ) ) ) 0 0 5 0 5 0 5 5 5 0 5 0 ; 05 50 ; 05 45. 05 a) Yeâu caàu cuûa baøi toaù laø tíh xaùc suaát ). Theo oâg thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ta coù: ) = 0 ) / 0 ) + ) / ) + ) / ). Ta coù: 9 0 7 8 P ( / ) / ) / ) 98 7 0 7 7 7 36 7 36 70 36 Suy ra xaùc suaát cuûa bieá coá laø ) 0 ) / 0 ) ) / ) ) / ) 0 7 50 7 45 70.... 05 36 05 36 05 36 0,53 b) Giaû söû ñaõ choï ñöôïc saû phaåm toát vaø saû phaåm xaáu töø loâ II. Khi ñoù bieá coá ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát caà tìm chíh laø xaùc suaát coù ñieàu ieä /). ùp duïg oâg thöùc Bayes vaø söû duïg eát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a) ta coù

)/ ) /) ) 50 7. 05 36 0,53 0,489. 6. OÂNG THÖÙ BERNOULLI 6.. oâg thöùc Beroulli Tieá haøh pheùp thöû ñoäc laäp trog höõg ñieàu ieä hö hau. Giaû söû ôû moãi pheùp thöû, bieá coá hoaëc xaûy ra vôùi xaùc suaát p hoâg ñoåi, hoaëc hoâg xaûy ra vôùi xaùc suaát q = p. Khi ñoù, vôùi moãi 0, ta coù oâg thöùc Beroulli tíh xaùc suaát ñeå trog pheùp thöû, bieá coá xaûy ra ñuùg laà laø: ) pq 6.. Heä quaû: Vôùi caùc giaû thieát hö treâ ta coù: - Xaùc suaát ñeå trog pheùp thöû bieá coá hoâg xaûy ra laà aøo laø q. - Xaùc suaát ñeå trog pheùp thöû bieá coá luoâ luoâ xaûy ra laø p. Ví duï. Moät maùy saû xuaát saû phaåm vôùi tæ leä saû phaåm loaïi toát laø 60%. ho maùy saû xuaát 5 saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå trog 5 saû phaåm thu ñöôïc coù: a) 3 saû phaåm toát. b) Ít haát 3 saû phaåm toát. Lôøi giaûi. Goïi ( = 0,,,5) laø bieá coá coù saû phaåm toát vaø (5-) saû phaåm xaáu coù trog 5 saû phaåm thu ñöôïc. ùp duïg oâg thöùc Beroulli vôùi = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta coù: P ( ) p q 5 (0,6) (0,4) 5 a) Xaùc suaát ñeå trog 5 saû phaåm thu ñöôïc coù 3 saû phaåm toát laø: 3 3 P ( 3 ) (0,6) (0,4) 0,3456. 5 b) Xaùc suaát ñeå trog 5 saû phaåm thu ñöôïc coù ít haát 3 saû phaåm toát chíh laø 3 + 4 + 5 ). Ta coù: 3 4 ) 5 3 ) 0,3456 0,6856. 4 5 4 ) (0,6) 4 5 ) (0,4) (0.6) 5 3

B - ÑÏI LÖÔÏNG NGÃU NHIEÂN - PHÂN PHOÁI XÙ SUÁT. KHÙI NIEÄM VEÀ ÑÏI LÖÔÏNG NGÃU NHIEÂN... Ñòh ghóa: Ñaïi löôïg gaãu hieâ laø moät ñaïi löôïg haä giaù trò thöïc tuøy theo eát quaû cuûa pheùp thöû. Ta duøg caùc í töï: X, Y, Z, chæ caùc ñaïi löôïg gaãu hieâ. aùc í töï: x, y, z, chæ giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïg gaãu hieâ... Phaâ loaïi: a) Loaïi rôøi raïc: Laø loaïi ñaïi löôïg gaãu hieâ chæ haä höõu haï hoaëc voâ haï ñeám ñöôïc caùc giaù trò. Ví duï: Tieá haøh thí ghieäm. Goïi X laø soá thí ghieäm thaøh coâg. Khi ñoù X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ rôøi raïc chæ haä + giaù trò 0; ;..;. b) Loaïi lieâ tuïc: Laø loaïi ñaïi löôïg gaãu hieâ haä voâ haï hoâg ñeám ñöôïc caùc giaù trò maø thoâg thöôøg caùc giaù trò aøy laáp í moät ñoaï aøo ñoù trog taäp caùc soá thöïc. Ví duï: Goïi T laø hieät ñoä ño ñöôïc taïi moät ñòa phöôg. Ta coù T laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ lieâ tuïc..3. Luaät phaâ phoái: a) Tröôøg hôïp rôøi raïc: Vôùi X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ rôøi raïc haä caùc giaù trò taêg daà : x 0, x,,x ta laäp baûg: X x 0 x.. x P p 0 p. p trog ñoù: - p = X = x ) 0 vôùi = 0,,,. - p, ghóa laø p 0 + p + + p =. 0 Ví duï: Moät loâ haøg chöùa 0 saû phaåm, trog ñoù coù 6 saû phaåm toát vaø 4 saû phaåm xaáu. hoï gaãu hieâ töø loâ haøg ra saû phaåm. Goïi X laø soá saû phaåm toát coù trog saû phaåm choï ra. Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X laø ñaïi löôïg gaãu hieâ rôøi raïc coù theå haä caùc giaù trò laø 0,,. ùp duïg oâg thöùc tíh xaùc suaát löïa choï ta ñöôïc: 4

p p p Vaäy luaät phaâ phoái cuûa X laø 0 X X X 0) ) ) 0 64 0 64 0 0 64 0 ; 5 8 ; 5. 3 X 0 P /5 8/5 /3 b) Tröôøg hôïp lieâ tuïc: Tröôøg hôïp X lieâ tuïc, thay cho vieäc lieät eâ caùc giaù trò cuûa X ôû doøg treâ, ta chæ ra ñoaï [a;b] maø X haä giaù trò ôû ñoaï ñoù (a, b coù theå höõu haï hoaëc voâ haï). oø thay cho xaùc suaát p 0, p,, p ta ñöa ra haøm maät ñoä f(x) thoaû caùc tíh chaát sau: - f(x) 0 vôùi moïi x [a;b]. b - f ( x) dx. a - P X ) ( f ( x) dx.. Ù ÑË SOÁ UÛ ÑÏI LÖÔÏNG NGÃU NHIEÂN... Mode: Mode cuûa ñaïi löôïg gaãu hieâ X, í hieäu Mod(X), laø giaù trò x 0 cuûa X ñöôïc xaùc ñòh hö sau: - Neáu X rôøi raïc thì x 0 laø giaù trò maø xaùc suaát X = x 0 ) lôù haát trog soá caùc xaùc suaát X = x). - Neáu X lieâ tuïc thì x 0 laø giaù trò maø haøm maät ñoä f(x) ñaït giaù trò lôù haát. Nhö vaäy, Mod(X) laø giaù trò ti chaéc haát cuûa X, töùc laø giaù trò maø X thöôøg laáy haát. huù yù raèg Mod(X) coù theå haä hieàu giaù trò haùc hau. Ví duï: Xeùt laïi ví duï treâ, ta coù X 0 P /5 8/5 /3 Do ñoù Mod(X) =. 5

.. Kyø voïg (hay Giaù trò trug bìh). ) Kyø voïg cuûa ñaïi löôïg gaãu hieâ X, í hieäu M(X), laø soá thöïc ñöôïc xaùc ñòh hö sau: - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaâ phoái X x 0 x.. x P p 0 p. p thì M ( X ) x p, ghóa laø 0 M(X) = x 0 p 0 + x p + + x p thì - Neáu X lieâ tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieà xaùc ñòh [a;b] M ( X ) xf ( x) dx. b a Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treâ, ta coù X coù phaâ phoái hö sau: Do ñoù yø voïg cuûa X laø X 0 P /5 8/5 /3 M(X) = 0./5 +.8/5 +./3 =,. ) Tíh chaát: Kyø voïg coù caùc tíh chaát sau: Tíh chaát : Kyø voïg cuûa moät ñaïi löôïg gaãu hieâ haèg baèg chíh haèg soá ñoù, ghóa laø: M() = (: ost). Tíh chaát : Vôùi laø haèg soá ta coù M(X) = M(X). Tíh chaát 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tíh chaát 4: Vôùi hai löôïg gaãu hieâ ñoäc laäp X vaø Y ta coù M(XY) = M(X)M(Y)..3. Phöôg sai vaø ñoä leäch chuaå. ) Phöôg sai cuûa ñaïi löôïg gaãu hieâ X, í hieäu D(X), laø soá thöïc hoâg aâm ñòh bôûi: 6

D(X) = M((X - ) ) trog ñoù = M(X) laø yø voïg cuûa X. aê baäc hai cuûa phöôg sai ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaå, í hieäu (X ). Vaäy. ( X ) D( X ) ) oâg thöùc tíh phöôg sai: Töø ñòh ghóa cuûa phöôg sai ta coù coâg thöùc haùc ñeå tíh phöôg sai hö sau: D(X) = M(X ) [M(X)] trog ñoù M(X ), M(X) laà löôït laø yø voïg cuûa X vaø X. Nhö vaäy, - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaâ phoái X x 0 x.. x P p 0 p. p thì coâg thöùc treâ trôû thaøh x 0 0 D(X) p ( x p ) thì - Neáu X lieâ tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieà xaùc ñòh [a;b] b D( X ) x f ( x) dx ( a b a xf ( x) dx) Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treâ, ta coù X coù phaâ phoái hö sau: X 0 P /5 8/5 /3 vaø yø voïg cuûa X laø M(X) =,ø. Suy ra phöôg sai cuûa X laø: D(X) = M(X ) [M(X)] = 0./5 +.8/5 +./3 - (,) = 3/75 0,467. Ñoä leäch chuaå cuûa X laø: ( X ) D( X ) 0,467 0,653. 3) Tíh chaát: Phöôg sai coù caùc tíh chaát sau: Tíh chaát : Phöôg sai cuûa moät ñaïi löôïg gaãu hieâ haèg baèg 0, ghóa laø: D() = 0 Tíh chaát : Vôùi laø haèg soá ta coù 7

D(X) = (D(X). Tíh chaát 3: Vôùi X, Y laø hai ñaïi löôïg gaãu hieâ ñoäc laäp ta coù: D(X + Y) = D(X) + D(Y). huù yù: Ta coù theå söû duïg phaà meàm thoág eâ trog caùc maùy tíh boû tuùi SIO 500MS, 570MS,..) ñeå tíh yø voïg, phöôg sai vaø ñoä leäch chuaå cuûa ñaïi löôïg gaãu hieâ rôøi raïc. Ví duï: Xeùt ñaïi löôïg gaãu hieâ rôøi raïc X coù phaâ phoái hö sau: X 0 P /5 8/5 /3 ) Vaøo MODE SD: Baám MODE vaø baám soá öùg vôùi SD, treâ maø hìh seõ hieä leâ chöõ SD. ) Xoùa boä hôù thoág eâ: Baám SHIFT MODE (Scl) =. Kieåm tra laïi: Baám REPLY Up hoaëc Dow thaáy = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: x i ; p i M + (DT) 0 ; (baám SHIFT,) a b/c 5 M + ; 8 a b/c 5 M + ; a b/c 3 M + 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám REPLY Dow ñeå ieåm tra vieäc haäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu aøo sai thì ñeå maø hìh gay soá lieäu ñoù, haäp soá lieäu ñuùg vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ví duï: Nhaäp sai 0 ; a b/c 5 M + (DT). Khi ieåm tra ta thaáy: - x = 0 (ñuùg). - Freq = /5 (sai) Söûa hö sau: Ñeå maø hìh ôû Freq = /5, baám a b/c 5 = thì haä ñöôïc soá lieäu ñuùg Freq = /5. Soá lieäu aøo bò haäp dö thì ñeå maø hìh ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M + thì toøa boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taà soá töôg öùg) seõ bò xoùa. haúg haï, haäp dö 3 ; a b/c 3 M + (DT). Khi ieåm tra ta thaáy x 4 = 3 (dö). Ta ñeå maø hìh ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M + thì toøa boä soá lieäu dö (goàm giaù trò cuûa X = 3 vaø xaùc suaát töôg öùg /3) seõ bò xoùa. huù yù: Sau hi ieåm tra vieäc haäp soá lieäu xog, phaûi baám ñeå xoùa maø hìh vaø thoùat hoûi cheá ñoä chæh söûa. 5) Ñoïc eát quaû: - Baám SHIFT ( X ) = ta ñöôïc yø voïg M(X) =,. 8

- Baám SHIFT (x ) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaå (X) 0, 653. - Suy ra phöôg sai D(X) = [(X)] = (0,653) = 0,467. huù yù: Ñoái vôùi maùy SIO 500, coù moät soá thay ñoåi hö sau: Baám MODE ñeå vaøo MODE SD. Xoùa boä hôù thoág eâ baèg caùch baám SHIFT =. Kieåm tra laïi baèg caùch baám SHIFT 6 thaáy ra 0 laø ñaõ xoùa. Khi haäp soá lieäu, ta thay ; baèg. 3. PHÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI. 3.. Ñòh ghóa: Ñaïi löôïg gaãu hieâ X ñöôïc goïi laø coù phaâ phoái sieâu boäi, í hieäu X H(N, N, ), trog ñoù N, N, laø caùc soá guyeâ döôg, 0 <, N < N, eáu X rôøi raïc haä caùc giaù trò guyeâ töø max{0; + N - N} ñeá mi{; N } theo oâg thöùc tíh xaùc suaát löïa choï: X ) N N 3.. aùc ñaëc soá cuûa phaâ phoái sieâu boäi. Giaû söû X coù phaâ phoái sieâu boäi X H(N, N, ). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá hö sau: a) Kyø voïg: b) Phöôg sai. M X ) vôùi p N N N N ( p. N D( X ) pq vôùi q p. N Ví duï. Moät hoäp chöùa bi goàm 8 bi ñoû vaø 4 bi xah. hoï gaãu hieâ töø hoäp ra 4 bi. Goïi X laø soá bi ñoû coù trog 4 bi choï ra. Haõy tìm luaät phaâ phoái cuûa X vaø xaùc ñòh yø voïg, phöôg sai cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X coù phaâ phoái sieâu boäi X H(N, N, ) vôùi N = ; N = 8, = 4. Do ñoù X haä caùc giaù trò guyeâ töø max {0; 4+8-} = 0 ñeá mi{4; 8} = 4 vôùi caùc xaùc suaát ñòh bôûi: 8 X ) 4 Töø ñaây ta tíh ñöôïc X = 0) = /495; X = ) = 3/495; X = ) = 68/495; 4 4 9

X = 3) = 4/495; X = 4) = 70/495. Vaäy luaät phaâ phoái cuûa X laø: X 0 3 4 P /495 3/495 68/495 4/495 70/495 Kyø voïg cuûa X laø 8 M(X) p 4., 667. Phöôg sai cuûa X laø N- 8 8-4 D(X) pq 4. ( ) 0, 6465. N- - 4. PHÂN PHOÁI NHÒ THÖÙ 4.. Ñòh ghóa: Ñaïi löôïg gaãu hieâ X ñöôïc goïi laø coù phaâ phoái hò thöùc, í hieäu X B(,p), trog ñoù soá guyeâ döôg, 0 < p <, eáu X rôøi raïc haä + giaù trò guyeâ 0,,, vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tíh theo theo oâg thöùc Beroulli: P ( X ) Tröôøg hôïp =, ta coø oùi X coù phaâ phoái Beroulli, í hieäu X B(p). 4.. aùc ñaëc soá cuûa phaâ phoái hò thöùc. Giaû söû X coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá hö sau: a) Mode: Mod(X) =, trog ñoù laø soá guyeâ thoûa p q p q +. b) Kyø voïg: M(X) = p. c) Phöôg sai: D(X) = pq Ví duï: Moät loâ haøg chöùa raát hieàu saû phaåm, trog ñoù tæ leä saû phaåm loaïi toát laø 60%. hoï gaãu hieâ töø loâ haøg ra 5 saû phaåm. Goïi X laø soá saû phaåm toát coù trog 5 saû phaåm choï ra. Haõy tìm luaät phaâ phoái cuûa X. Xaùc ñòh yø voïg vaø phöôg sai cuûa X. Hoûi giaù trò ti chaéc haát cuûa X laø bao hieâu? p q. Lôøi giaûi. Ta thaáy X coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p) vôùi = 5, p = 0,6. Suy ra X haä 6 giaù trò guyeâ 0,,, 5 vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tíh theo theo oâg thöùc Beroulli: P ( X ) p q 5 (0,6) (0,4) Töø ñaây ta tíh ñöôïc X = 0) = 0,004; X = ) = 0,0768; X = ) = 0,304; 5. 0

X = 3) = 0,3456; X = 4) = 0,59; X = 5) = 0,07776. Vaäy luaät phaâ phoái cuûa X laø: X 0 3 4 5 P 0,004 0,0768 0,304 0,3456 0,59 0,07776 - Kyø voïg cuûa X laø M(X) = p = 5.0,6 = 3. - Phöôg sai cuûa X laø D(X) = pq = 5.0,6. 0,4 =,. - Giaù trò ti chaéc haát cuûa X chíh laø Mod(X): Mod(X) = vôùi laø soá guyeâ thoûa p q p q + 5. 0,6 0,4 5. 0,6 0,4 +,6 3,6 = 3. Vaäy giaù trò ti chaéc haát cuûa X laø = 3. 4.3. Ñòh lyù: ho X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ coù phaâ phoái sieâu boäi X H(N, N, ). Giaû söû raèg raát hoû so vôùi N. Khi ñoù coù theå xaáp xæ X baèg ñaïi löôïg gaãu hieâ Y coù phaâ phoái hò thöùc X Y, trog ñoù Y N B(,p) vôùi p, ghóa laø: N X ) p q ( = 0,, ) Ví duï: Moät loâ haøg chöùa 0000 saû phaåm, trog ñoù coù 8000 saû phaåm toát vaø 000 saû phaåm xaáu. hoï gaãu hieâ töø loâ haøg ra 0 saû phaåm. Tíh xaùc suaát choï ñöôïc 7 saû phaåm toát. Lôøi giaûi Goïi X laø soá saû phaåm toát coù trog 0 saû phaåm choï ra. Khi ñoù X coù phaâ phoái sieâu boäi X H(N, N, ) vôùi N = 0000; N = 8000; =0. Vì = 0 raát hoû so vôùi N = 0000 eâ ta coù theå xem hö X coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p) vôùi = 0; p = N /N = 8000/0000 = 0,8. Do ñoù xaùc suaát choï ñöôïc 7 saû phaåm toát laø: 7 7 3 0 X7) (0,8) (0,) 0,03.

5. PHÂN PHOÁI POISSON 5.. Ñòh ghóa: Ñaïi löôïg gaãu hieâ X ñöôïc goïi laø coù phaâ phoái Poisso, í hieäu X a), trog ñoù haèg soá a > 0, eáu X rôøi raïc haä voâ haï ñeám ñöôïc caùc giaù trò guyeâ = 0,,, vôùi caùc xaùc suaát ñòh bôûi: sau: P ( X e ) 5.. aùc ñaëc soá cuûa phaâ phoái Poisso. Giaû söû X coù phaâ phoái Poisso X a). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá hö a) Kyø voïg: M(X) = a. b) Phöôg sai. D(X) = a a! a. 5.3. Tíh chaát:. Giaû söû X, X ñoäc laäp, coù phaâ phoái Poisso X a ), X a ). Khi ñoù X + X cuõg coù phaâ phoái Poisso: X + X a + a ). 5.4. Ñòh lyù Poisso: ho X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p). Giaû söû raèg haù lôù vaø p haù beù (thoâg thöôøg p < 0,). Khi ñoù coù theå xaáp xæ X baèg ñaïi löôïg gaãu hieâ Y coù phaâ phoái Poisso: X Y, trog ñoù Y a) vôùi a = p, ghóa laø: P ( X e ) a! a ( = 0,, ) Ví duï: Moät maùy deät coù 000 oág sôïi. Xaùc suaát ñeå trog moät giôø maùy hoaït ñoäg coù oág sôïi bò ñöùt laø 0,%. Tìm xaùc suaát ñeå trog moät giôø coù hoâg quaù oág sôïi bò ñöùt. Lôøi giaûi Goïi X laø toåg soá oág sôïi bò ñöùt trog moät giôø hoaït ñoäg cuûa maùy thì X coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p) vôùi = 000, p = 0,00. Vì = 000 haù lôù vaø p = 0,00 haù beù eâ ta coù theå xem X coù phaâ phoái Poisso: X a) vôùi a = p = 000.0,00 =. Xaùc suaát ñeå coù hoâg quaù oág sôïi bò ñöùt trog moät giôø hoaït ñoäg cuûa maùy laø: P (0 X ) X 0) X ) X ) 0 e e 0!! 0,6767. e!

6. PHÂN PHOÁI HUÅN 6.. Ñòh ghóa: Ñaïi löôïg gaãu hieâ X ñöôïc goïi laø coù phaâ phoái chuaå, í hieäu X N(, ), trog ñoù, laø caùc haèg soá vaø > 0, eáu X lieâ tuïc vaø coù haøm maät ñoä xaùc ñòh treâ R ñòh bôûi: f, ( x) e ( x ) 6.. aùc ñaëc soá cuûa phaâ phoái chuaå. Giaû söû X coù phaâ phoái chuaå X N(, ). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá hö sau: a) Mode: Mod (X) =. b) Kyø voïg: M(X) =. c) Phöôg sai: D(X) = 6.3. Haøm Gauss: Haøm Gauss f(x) laø haøm maät ñoä cuûa ñaïi löôïg gaãu hieâ X coù phaâ phoái chuaå chíh taéc X N(0,):. x f ( x) e. Haøm Gauss laø haøm soá chaü (ghóa laø f(-x) = f(x)), lieâ tuïc treâ R. Ngöôøi ta ñaõ laäp baûg giaù trò cuûa haøm Gauss, trog ñoù ghi caùc giaù trò f(x) treâ ñoaï [0;3,99]. Khi x > 3,99, haøm Gauss giaûm raát chaäm, do ñoù ta xaáp xæ: x > 3,99, f(x) f(3,99) 0,000. Ví duï: Tra baûg giaù trò haøm Gauss ta coù: f(,4) 0,083; f(-,5) = f(,5) 0,0396. f(-6,) = f(6,) f(3,99) 0,000. 6.4. Haøm Laplace. Haøm laplace (x) laø haøm soá xaùc ñòh treâ R ñòh bôûi: ( x) 3 x t e 0 Haøm Laplace y = (x) laø haøm soá leû (ghóa laø (-x) = - (x)), lieâ tuïc treâ R. Ngöôøi ta ñaõ laäp baûg giaù trò cuûa haøm Laplace, trog ñoù ghi caùc giaù trò (x) treâ ñoaï [0; 5]. Khi x > 5, haøm Laplace taêg raát chaäm, do ñoù ta xaáp xæ: dt. x > 5, (x) (5) 0,5.

Ví duï: Tra baûg giaù trò haøm Laplace ta coù: (,4) 0,379; (-,5) = - (,5) - 0,484. (-6,) = - (6,) - (5) -0,5. 6.5. oâg thöùc tíh xaùc suaát cuûa phaâ phoái chuaå. ho X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ coù phaâ phoái chuaå X N(, ). Khi ñoù, xaùc suaát ñeå X laáy caùc giaù trò thuoäc [a;b] laø: trog ñoù (x) laø haøm Laplace. Ñaëc bieät, vôùi moãi > 0, ta coù: b a a X b) ( ) ( ) () Ví duï: Troïg löôïg cuûa moät loaïi saû phaåm laø ñaïi löôg gaãu hieâ coù phaâ phoái chuaå vôùi troïg löôïg trug bìh 50g vaø phöôg sai 00g. Moät saû phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi eáu coù troïg löôïg töø 45g ñeá 55g. Tíh tæ leä saû phaåm loaïi cuûa loaïi saû phaåm treâ. Lôøi giaûi Goïi X laø troïg löôïg cuûa loaïi saû phaåm ñaõ cho. Töø giaû thieát ta suy ra X coù phaâ phoái chuaå X N(, ) vôùi = 50, = 00 ( = 0). Vì moät saû phaåm ñöôïc xeáp vaøo loaïi hi coù troïg löôïg töø 45g ñeá 55g eâ tæ leä saû phaåm loaïi chíh laø xaùc suaát 45 X 55). ùp duïg coâg thöùc treâ ta coù 45 55 50 45 50 X 55) ( ) ( ) 0 0 (0,5) ( 0,5) (0,5).0,95 0,383. (Tra baûg giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc (0,5) = 0,95). Vaäy tæ leä saû phaåm loaïi laø 38,3%. 6.6. Ñòh lyù Moivre-Laplace: ho X laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p). Giaû söû raèg haù lôù vaø p hoâg quaù gaà 0 cuõg hoâg quaù gaà (thoâg thöôøg 0, p 0,9). Khi ñoù coù theå xaáp xæ X 4

baèg ñaïi löôïg gaãu hieâ Y coù phaâ phoái chuaå: X Y, trog ñoù Y N(, ) vôùi = p, pq (q = -p) ghóa laø: ) ( ) ( a) P ( X ) f ( ). ( = 0,,, ) b) P ( X ) ( < ) trog ñoù f(x) laø haøm Gauss; (x) laø haøm Laplace. Ví duï. Saû phaåm do moät haø maùy saû xuaát ñöôïc ñoùg thaøh töøg ieä, moãi ieä goàm 0 saû phaåm, trog ñoù coù 6 saû phaåm toát vaø 4 saû phaåm xaáu. Khaùch haøg choï caùch ieåm tra hö sau: Töø moãi ieä choï gaãu hieâ ra 3 saû phaåm; eáu thaáy coù ít haát saû phaåm toát thì haä ieä ñoù, göôïc laïi thì loaïi ieä ñoù. Kieåm tra 40 ieä trog raát hieàu ieä. Tíh xaùc suaát ñeå coù: a) 93 ieä ñöôïc haä. b) Töø 90 ñeá 0 ieä ñöôïc haä. Lôøi giaûi Tröôùc heát ta tìm xaùc suaát ñeå moät ieä ñöôïc haä hi haùch haøg ieåm tra ieä ñoù. Theo giaû thieát moãi ieä chöùa 0 saû phaåm goàm 6 saû phaåm toát vaø 4 saû phaåm xaáu, haùch haøg choï gaãu hieâ ra 3 saû phaåm; eáu thaáy coù ít haát saû phaåm toát thì choï ieä.do ñoù theo oâg thöùc tíh xaùc suaát löïa choï ta coù xaùc suaát ñeå moät ieä ñöôïc haä laø: p P 0 0 3 0 6 4 6 4 3 ( 3) P3 () P3 (3) 3 3 Goïi X laø toåg soá ieä haøg ñöôïc haä trog 40 ieä ñöôïc ieåm tra, X coù phaâ phoái hò thöùc X B(,p) vôùi = 40, p = /3. Vì = 40 haù lôù vaø p = /3 hoâg quaù gaà 0 cuõg hoâg quaù gaà eâ ta coù theå xem X coù phaâ phoái chuaå hö sau: X N(, ) vôùi = p = 40./3 = 93,3333, pq 40. / 3./ 3 5,5777. a) Xaùc suaát ñeå coù 93 ieä ñöôïc haä laø: 93 9393,33 X 93) f( ) f( ) 5, 5777 5, 5777 0,398 f( 0,06) f(0,06) 0,074. 5, 5777 5, 5777 5, 5777 (Tra baûg giaù trò haøm Gauss ta ñöôïc f(0,06) = 0,398). b) Xaùc suaát ñeå coù töø 90 ñeá 0 ieä ñöôïc haä laø: 3. 5

0 90 90 X0) ( ) ( ) 0 93, 3333 90 93, 3333 ( ) ( ) 5, 5777 5, 5777 (,99) ( 0,6) (,99) (0,6) 0,49865 0,57 0,7435. (Tra baûg giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc (,99) = 0,49865; (0,6) = 0,57). BØI TÄP Baøi : où ba haåu suùg I, II vaø III baé ñoäc laäp vaøo moät muïc tieâu. Moãi haåu baé vieâ. Xaùc suaát baé truùg muïc tieâu cuaû ba haåu I, II vaø III laà löôït laø 0,7; 0,8 vaø 0,5. Tíh xaùc suaát ñeå a) coù haåu baé truùg. b) coù haåu baé truùg. c) coù 3 haåu baé truùg. d) ít haát haåu baé truùg. e) haåu thöù ba baé truùg bieát raèg coù haåu truùg. Baøi : où hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa 0 bi, trog ñoù hoäp I goàm 9 bi ñoû, bi traég; hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traég. Laáy gaãu hieâ töø moãi hoäp bi. a) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc 4 bi ñoû. b) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc bi ñoû vaø bi traég. c) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc 3 bi ñoû vaø bi traég. d) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc 3 bi ñoû vaø bi traég. Haõy tìm xaùc suaát ñeå bi traég coù ñöôïc cuûa hoäp I. Baøi 3: Moät loâ haøg chöùa 0 saû phaåm goàm 6 saû phaåm toát vaø 4 saû phaåm xaáu. Khaùch haøg ieåm tra baèg caùch laáy ra töøg saû phaåm cho ñeá hi aøo ñöôïc 3 saû phaåm toát thì döøg laïi. a) Tíh xaùc suaát ñeå haùch haøg döøg laïi ôû laà ieåm tra thöù 3. b) Tíh xaùc suaát ñeå haùch haøg döøg laïi ôû laà ieåm tra thöù 4. b) Giaû söû haùch haøg ñaõ döøg laïi ôû laà ieåm tra thöù 4. Tíh xaùc suaát ñeå ôû laà ieåm tra thöù 3 haùch haøg gaëp saû phaåm xaáu. Baøi 4: Moät hoäp bi goàm 5 bi ñoû, 4 bi traég vaø 3 bi xah coù cuøg côõ. Töø hoäp ta ruùt gaãu hieâ hoâg hoøa laïi töøg bi moät cho ñeá hi ñöôïc bi ñoû thì döøg laïi. Tíh xaùc suaát ñeå 6

a) ñöôïc bi traég, bi xah vaø bi ñoû. b) hoâg coù bi traég aøo ñöôïc ruùt ra. Baøi 5: Saû phaåm X baù ra ôû thò tröôøg do moät haø maùy goàm ba phaâ xöôûg I, II vaø III saû xuaát, trog ñoù phaâ xöôûg I chieám 30%; phaâ xöôûg II chieám 45% vaø phaâ xöôûg III chieám 5%. Tæ leä saû phaåm loaïi do ba phaâ xöôûg I, II vaø III saû xuaát laà löôït laø 70%, 50% vaø 90%. a) Tíh tæ leä saû phaåm loïai oùi chug do haø maùy saû xuaát. b) hoï mua gaãu hieâ moät saû phaåm X ôû thò tröôøg. Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saû phaåm loaïi. Theo baï, saû phaåm aáy coù haû aêg do phaâ xöôûg aøo saû xuaát ra hieàu haát? c) hoï mua gaãu hieâ saû phaåm X (trog raát hieàu saû phaåm X) ôû thò tröôøg. ) Tíh xaùc suaát ñeå coù 80 saû phaåm loaïi. ) Tíh xaùc suaát ñeå coù töø 80 ñeá 85 saû phaåm loaïi. Baøi 6: où ba cöûa haøg I, II vaø III cuøg ih doah saû phaåm Y. Tæ leä saû phaåm loaïi trog ba cöûa haøg I, II vaø III laà löôït laø 70%, 75% vaø 50%. Moät haùch haøg choï haãu hieâ moät cöûa haøg vaø töø ñoù mua moät saû phaåm a) Tíh xaùc suaát ñeå haùch haøg mua ñöôïc saû phaåm loaïi. b) Giaû söû ñaõ mua ñöôïc saû phaåm loaïi. Theo baï, haû aêg göôøi haùch haøg aáy ñaõ choï cöûa haøg aøo laø hieàu haát? Baøi 7: où hai hoäp I vaø II moãi hoäp chöùa bi, trog ñoù hoäp I goàm 8 bi ñoû, 4 bi traég; hoäp II goàm 5 bi ñoû, 7 bi traég. Laáy gaãu hieâ töø hoäp I ba bi roài boû sag hoäp II; sau ñoù laáy gaãu hieâ töø hoäp II boá bi. a) Tíh xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traég töø hoäp II. b) Giaû söû ñaõ laáy ñöôïc ba bi ñoû vaø moät bi traég töø hoäp II. Tìm xaùc suaát ñeå trog ba bi laáy ñöôïc töø hoäp I coù hai bi ñoû vaø moät bi traég. Baøi 8: où ba hoäp moãi hoäp ñöïg 5 vieâ bi trog ñoù hoäp thöù haát coù bi traég, 4 bi ñe; hoäp thöù hai coù bi traég, 3 bi ñe; hoäp thöù ba coù 3 bi traég, bi ñe. a) Laáy gaãu hieâ töø moãi hoäp moät bi. ) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc caû 3 bi traég. ) Tíh xaùc suaát ñöôïc bi ñe, bi traég. 3) Giaû söû trog 3 vieâ laáy ra coù ñuùg bi traég.tíh xaùc suaát ñeå bi traég ñoù laø cuûa hoäp thöù haát. b) hoï gaãu hieâ moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy gaãu hieâ ra 3 bi. Tíh xaùc suaát ñöôïc caû 3 bi ñe. Baøi 9: où 0 hoäp saû phaåm cuøg loïai, moãi hoäp chöùa raát hieàu saû phaåm, trog ñoù coù 0 hoäp cuûa xí ghieäp I, 6 hoäp cuûa xí ghieäp II vaø 4 hoäp cuûa xí ghieäp III. 7

Tæ leä pheá phaåm cuûa caùc xí ghieäp laà löôït laø %, 4% vaø 5%. Laáy gaãu hieâ ra moät hoäp vaø choï gaãu hieâ ra 3 saû phaåm töø hoäp ñoù. a) Tíh xaùc suaát ñeå trog 3 saû phaåm choï ra coù ñuùg pheá phaåm. b) Giaû söû trog 3 saû phaåm choï ra coù ñuùg pheá phaååm. Tíh xaùc suaát ñeå pheá phaåm ñoù cuûa xí ghieäp I. Baøi 0: où 0 sih vieâ ñi thi, trog ñoù coù 3 thuoäc loïai gioûi, 4 haù vaø 3 trug bìh. Trog soá 0 caâu hoûi thi qui ñòh thì sih vieâ loïai gioûi traû lôøi ñöôïc taát caû, sih vieâ haù traû lôøi ñöôïc 6 caâu coø sih vieâ trug bìh ñöôïc 0 caâu. Goïi gaãu hieâ moät sih vieâ vaø phaùt moät phieáu thi goàm 4 caâu hoûi thì ah ta traû lôøi ñöôïc caû 4 caâu hoûi. Tíh xaùc suaát ñeå sih vieâ ñoù thuoäc loïai haù. Baøi : où hai hoäp I vaø II, trog ñoù hoäp I chöùa 0 bi traég vaø 8 bi ñe; hoäp II chöùa 8 bi traég vaø 6 bi ñe. Töø moãi hoäp ruùt gaãu hieâ bi boû ñi, sau ñoù boû taát caû caùc bi coø laïi cuûa hai hoäp vaøo hoäp III (roãg). Laáy gaãu hieâ bi töø hoäp III. Tíh xaùc suaát ñeå trog bi laáy hoäp III coù traég, ñe. Baøi : où hai hoäp cuøg côõ. Hoäp thöù haát chöùa 4 bi traég 6 bi xah, hoäp thöù hai chöùa 5 bi traég vaø 7 bi xah. hoï gaãu hieâ moät hoäp roài töø hoäp ñoù laáy ra bi thì ñöôïc bi traég. Tíh xaùc suaát ñeå vieâ bi tieáp theo cuõg laáy töø hoäp treâ ra laïi laø bi traég Baøi 3 : Moät loâ haøg goàm a saû phaåm loaïi I vaø b saû phaåm loaïi II ñöôïc ñoùg gôùi ñeå göûi cho haùch haøg. Nôi haä ieåm tra laïi thaáy thaát laïc saû phaåm. hoï gaãu hieâ ra saû phaåm thì thaáy ñoù laø saû phaåm loaïi I. Tíh xaùc suaát ñeå saû phaåm thaát laïc cuõg thuoäc loaïi I. Baøi 4: où 3 hoäp phaá, trog ñoù hoäp I chöùa 5 vieâ toát vaø 5 vieâ xaáu, hoäp II chöùa 0 vieâ toát vaø 4 vieâ xaáu, hoäp III chöùa 0 vieâ toát vaø 0 vieâ xaáu. Ta gieo moät co xuùc xaéc caâ ñoái. Neáu thaáy xuaát hieä maët chaám thì ta choï hoäp I; eáu xuaát hieä maët hoaëc 3 chaám thì choï hoäp II, coø xuaát hieä caùc maët coø laïi thì choï hoäp III. Töø hoäp ñöôïc choï laáy gaãu hieâ ra 4 vieâ phaá. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ñöôïc ít haát vieâ toát. Baøi 5: où hai ieä haøg I vaø II. Kieä thöù haát chöùa 0 saû phaåm, trog ñoù coù 8 saû phaåm loaïi. Kieä thöù hai chöùa 0 saû phaåm, trog ñoù coù 4 saû phaåm loaïi. Laáy töø moãi ieä saû phaåm. Sau ñoù, trog 4 saû phaåm thu ñöôïc choï gaãu hieâ saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå trog saû phaåm choï ra sau cuøg coù ñuùg saû phaåm loaïi. Baøi 6: Moät xaï thuû baé 0 vieâ ñaï vaøo moät muïc tieâu. Xaùc suaát ñeå vieâ ñaï baé ra truùg muïc tieâu laø 0,8. Bieát raèg: Neáu coù 0 vieâ truùg thì muïc tieâu chaéc chaé bò dieät. Neáu coù töø ñeá 9 vieâ truùg thì muïc tieâu bò dieät vôiù xaùc suaát 80%. Neáu coù vieâ truùg thì muïc tieâu bò dieät vôùi xaùc suaát 0%. 8

a) Tíh xaùc suaát ñeå muïc tieâu bò dieät. b) Giaû söû muïc tieâu ñaõ bò dieät. Tíh xaùc suaát coù 0 vieâ truùg. Baøi 7: Moät maùy saû xuaát saû phaåm vôùi tæ leä saû phaåm loaïi laø 60%. Moät loâ haøg goàm 0 saû phaåm vôùi tæ leä saû phaåm loaïi laø 60%. ho maùy saû xuaát saû phaåm vaø töø loâ haøg laáy ra 3 saû phaåm. a) Tíh xaùc suaát ñeå soá saû phaåm loaïi coù trog 3 saû phaåm do maùy saû xuaát baèg soá saû phaåm loaïi coù trog 3 saû phaåm ñöôïc laáy ra töø loâ haøg. b) Giaû söû trog 6 saû phaåm thu ñöôïc coù saû phaåm loaïi. Tíh xaùc suaát ñeå saû phaåm loaïi ñoù ñeàu do maùy saû xuaát. Baøi 8: Nöôùc giaûi haùt ñöôïc chôû töø Saøi Goø ñi Vuõg Taøu. Moãi xe chôû 000 chai bia Saøi Goø, 000 chai coca vaø 800 chai öôùc traùi caây. Xaùc suaát ñeå chai moãi loaïi bò beå treâ ñöôøg ñi töôg öùg laø 0,%; 0,% vaø 0,3%. Neáu hoâg quaù chai bò beå thì laùi xe ñöôïc thöôûg. a) Tíh xaùc suaát coù ít haát chai bia Saøi Goø bò beå. b) Tíh xaùc suaát ñeå laùi xe ñöôïc thöôûg. c) Laùi xe phaûi chôû ít maát maáy chuyeá ñeå xaùc suaát coù ít haát moät chuyeá ñöôïc thöôûg hoâg hoû hô 0,9? Baøi 9: Moät maùy tíh goàm 000 lih ieä, 800 lih ieä B vaø 000 lih ieä. Xaùcsuaát hoûg cuûa ba lih ieä ñoù laà löôït laø 0,0%; 0,05% vaø 0,005%. Maùy tíh gög hoaït ñoäg hi soá lih ieä hoûg hieàu hô. aùc lih ieä hoûg ñoäc laäp vôùi hau. a) Tíh xaùcsuaát ñeå coù ít haát lih ieä B bò hoûg. b) Tíh xaùc suaát ñeå maùy tíh gög hoaït ñoäg. c) Giaû söû trog maùy ñaõ coù lih ieä hoûg. Tíh xaùc suaát ñeå maùy tíh gög hoaït ñoäg. Baøi 0: Troïg löôïg cuûa moät loaïi saû phaåm ñöôïc qua saùt laø moät ñaïi löôïg gaãu hieâ coù phaâ phoái chuaå vôùi trug bìh 50g vaø phöôg sai 00g. Nhöõg saû phaåm coù troïg löôïg töø 45g ñeá 70g ñöôïc xeáp vaøo loaïi. hoï gaãu hieâ 00 saû phaåm (trog raát hieàu saû phaåm). Tíh xaùc suaát ñeå a) coù ñuùg 70 saû phaåm loaïi. b) coù hoâg quaù 60 saû phaåm loaïi. c) coù ít haát 65 saû phaåm loaïi. Baøi : Saû phaåm trog moät haø maùy ñöôïc ñoùg thaøh töøg ieä, moãi ieä goàm 4 saû phaåm trog ñoù coù 8 saû phaåm loaïi vaø 6 saû phaåm loaïi B. Khaùch haøg choï caùch ieåm tra hö sau: töø moãi ieä laáy ra 4 saû phaåm; eáu thaáy soá saû phaåm thuoäc loaïi hieàu hô soá saû phaåm thuoäc loaïi B thì môùi haä ieä ñoù; göôïc laïi thì loaïi ieä ñoù. Kieåm tra 00 ieä (trog raát hieàu ieä). Tíh xaùc suaát ñeå a) coù 4 ieä ñöôïc haä. 9

b) coù töø 40 ñeá 45 ieä ñöôïc haä. c) coù ít haát 4 ieä ñöôïc haä. Baøi : Saû phaåm trog moät haø maùy ñöôïc ñoùg thaøh töøg ieä, moãi ieä goàm 0 saû phaåm Soá saû phaåm loaïi trog caùc hoäp laø X coù phaâ phoái hö sau: X 6 8 P 0.9 0. Khaùch haøg choï caùch ieåm tra hö sau: töø moãi ieä laáy ra saû phaåm; eáu thaáy caû saû phaåm ñeàu loaïi thì môùi haä ieä ñoù; göôïc laïi thì loaïi ieä ñoù. Kieåm tra 44 ieä (trog raát hieàu ieä). a) Tíh xaùc suaát ñeå coù 53 ieä ñöôïc haä. b) Tíh xaùc suaát ñeå coù töø 5 ñeá 56 ieä ñöôïc haä. c) Phaûi ieåm tra ít haát bao hieâu ieä ñeå xaùc suaát coù ít haát ieä ñöôïc haä hoâg hoû hô 95%? Baøi 3: Moät maùy saû xuaát saû phaåm vôùi tæ leä saû phaåm ñaït tieâu chuaå laø 80% vaø moät maùy haùc cuõg saû xuaát loaïi saû phaåm aøy vôùi tæ leä saû phaåm ñaït tieâu chuaå laø 60%. hoï gaãu hieâ moät maùy vaø cho saû xuaát 00 saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå a) coù 70 saû phaåm ñaït tieâu chuaå. b) coù töø 70 ñeá 90 saû phaåm ñaït tieâu chuaå. c) coù hoâg ít hô 70 saû phaåm ñaït tieâu chuaå. Baøi 4: Moät maùy saû xuaát saû phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm laø % vaø moät maùy haùc cuõg saû xuaát loaïi saû phaåm aày vôùi tæ leä pheá phaåm laø %. hoï gaãu hieâ moät maùy vaø cho saû xuaát 000 saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå a) coù 4 pheá phaåm. b) coù töø 4 ñeá 0 pheá phaåm. Baøi 5: Moät xí ghieäp coù hai maùy I vaø II. Trog gaøy hoäi thi, moãi coâg haâ döï thi ñöôïc phaâ moät maùy vaø vôùi maùy ñoù seõ saû xuaát 00 saû phaåm. Neáu soá saû phaåm loaïi hoâg ít hô 70 thì coâg haâ ñoù seõ ñöôïc thöôûg. Giaû söû ñoái vôùi coâg haâ X, xaùc suaát saû xuaát ñöôïc saû phaåm loaïi vôùi caùc maùy I vaø II laà löôït laø 0.6 vaø 0,7. a) Tíh xaùc suaát ñeå coâg haâ X ñöôïc thöôûg. b) Giaû söû coâg haâ X döï thi 50 laà. Soá laà ñöôïc thöôûg ti chaéc haát laø bao hieâu? Baøi 6: Trog gaøy hoäi thi, moãi chieá só seõ choï gaãu hieâ moät trog hai loaïi suùg vaø vôùi haåu suùg choï ñöôïc seõ baé 00vieâ ñaï. Neáu coù töø 65 vieâ trôû 30

leâ truùg bia thì ñöôïc thöôûg. Giaû söû ñoái vôùi chieá só, xaùc suaát baé vieâ truùg bia baèg haåu suùg loaïi I laø 60% vaø baèg haåu suùg loaïi II laø 50%. a) Tíh xaùc suaát ñeå chieá só ñöôïc thöôûg. b) Giaû söû chieá só döï thi 0 laà. Hoûi soá laà ñöôïc thöôûg ti chaéc haát laø bao hieâu? c) hieá só phaûi tham gia hoäi thi ít haát bao hieâu laà ñeå xaùc suaát coù ít haát moät laà ñöôïc thöôûg hoâg hoû hô 98%? Baøi 7: Moät göôøi thôï saê baé 4 vieâ ñaï. Bieát xaùc suaát truùg ñích cuûa moãi vieâ ñaï baé ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïg gaãu hieâ chæ soá vieâ ñaï truùg ñích. a) Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. b) Tìm yø voïg vaø phöôg sai cuûa X. Baøi 8: où hai loâ haøg I vaø II, moãi loâ chöùa raát hieàu saû phaåm. Tæ leä saû phaåm loaïi coù trog hai loâ I vaø II laà löôït laø 70% vaø 80%. Laáy gaãu hieâ töø moãi loâ saû phaåm. a) Tíh xaùc suaát ñeå soá saû phaåm loaïi laáy töø loâ I lôù hô soá saû phaåm loaïi laáy töø loâ II. b) Goïi X laø soá saû phaåm loaïi coù trog 4 saû phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm yø voïg vaø phöôg sai cuûa X. Baøi 9: ho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 0 bi; trog ñoù hoäp I goàm 6 bi ñoû, 4 bi traég vaø hoäp II goàm 7 bi ñoû, 3 bi traég. Ruùt gaãu hieâ töø moãi hoäp hai bi. a) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc hai bi ñoû vaø hai bi traég. b) Goïi X laø ñaïi löôïg gaãu hieâ chæ soá bi ñoû coù trog 4 bi ñöôïc ruùt ra. Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. Baøi 30: Moät maùy saû xuaát saû phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 0%. Moät loâ haøg goàm 0 saû phaåm vôùi tæ leä pheá phaåm 30%. ho maùy saû xuaát 3 saû phaåm vaø töø loâ haøg laáy ra 3 saû phaåm. Goïi X laø soá saû phaåm toát coù trog 6 saû phaåm aøy. a) Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. b) Khoâg duøg luaät phaâ phoái cuûa X, haõy tíh M(X), D(X). Baøi 3: ho hai hoäp I vaø II, moãi hoäp coù 0 bi; trog ñoù hoäp I goàm 8 bi ñoû, bi traég vaø hoäp II goàm 6 bi ñoû, 4 bi traég. Ruùt gaãu hieâ töø hoäp I hai bi boû sag hoäp II, sau ñoù ruùt gaãu hieâ töø hoäp II ba bi. a) Tíh xaùc suaát ñeå ñöôïc caû ba bi traég. b) Goïi X laø ñaïi löôïg gaãu hieâ chæ soá bi traég coù trog ba bi ñöôïc ruùt ra töø hoäp II. Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. Xaùc ñòh yø voïg vaø phöôg sai cuûa X. Baøi 3: où ba loâ saû phaåm, moãi loâ coù 0 saû phaåm. Loâ thöù i coù i+4 saû phaåm loaïi (i =,, 3). 3

a) hoï gaãu hieâ moät loâ roài töø loâ ñoù laáy ra 3 saû phaåm. Tíh xaùc suaát ñeå trog 3 saû phaåm ñöôïc laáy ra coù ñuùg saû phaåm loaïi. b) Töø moãi loâ laáy ra saû phaåm. Goïi X laø toåg soá saû phaåm loaïi coù trog 3 saû phaåm ñöôïc laáy ra. Tìm luaät phaâ phoái cuûa X vaø tíh Mod(X), M(X), D(X). Baøi 33: Moät göôøi thôï saê coù 5 vieâ ñaï. Ngöôøi ñoù ñi saê vôùi guyeâ taéc: eáu baé truùg muïc tieâu thì veà gay, hoâg ñi saê öõa. Bieát xaùc suaát truùg ñích cuûa moãi vieâ ñaï baé ra laø 0,8. Goïi X laø ñaïi löôïg gaãu hieâ chæ soá vieâ ñaï göôøi aáy söû duïg trog cuoäc saê. a) Tìm luaät phaâ phoái cuûa X. b) Tìm yø voïg vaø phöôg sai cuûa X. ------------------------------------------- 3