CÁC DẠNG TOÁN ĐẾM TRỌNG TÂM P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG 1. BÀI TOÁN ĐẾM NGƯỜI, VẬT Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1. Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.. Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù caùch xeáp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai ñoaïn : Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù! caùch xeáp caùc em vaøo choã. Töôïng töï, coù! caùch xeáp hoïc sinh tröôøng B vaøo choã. Keát luaän: coù.!! = 10800 caùch. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 1 caùch choïn gheá ñeå ngoài. Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A: coù caùch choïn hoïc sinh tröôøng B. Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù caùch choïn, v.v Vaäy: coù 1..10..8...1.1 =.!.! = 17700 caùch. Bài : Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng. Người ta chọn ra viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả màu? Soá caùch choïn bi trong soá 1 bi laø: C = 1. 1 Caùc tröôøng hôïp choïn bi ñuû caû maøu laø: * ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù * 1 ñoû + traéng + 1 vaøng: coù 1 1 C C C = 180 C C C = 0 1 * 1 ñoû + 1 traéng + vaøng: coù CCC = 00 Do ñoù soá caùch choïn bi ñuû caû maøu laø: 180 + 0 + 00 = 70 Vaäy soá caùch choïn ñeå bi laáy ra khoâng ñuû maøu laø: 1 70 =. Bài : Người ta xếp ngẫu nhiên lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến cạnh nhau. 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn,, 1,, )? 1. * Xeáp caùc phieáu soá 1,,, coù! = caùch. * Sau ñoù xeáp phieáu soá vaøo caïnh phieáu soá coù caùch. Vaäy: coù. = 8 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi.. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho soá chaün laø! caùch. Soá caùch xeáp cho soá leû laø:! caùch. Vaäy coù. = 1 caùch. * Töông töï cuõng coù 1 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû ôû beân traùi. Vaäy: coù 1 + 1 = caùch. Bài : Người ta viết các chữ số 0, 1,,,, lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số được sắp thành?. Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số được sắp thành? Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 01!
Soá coù chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a 0 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f {1,, }. Do ñoù: f coù caùch choïn a coù caùch choïn (tröø 0 vaø f) b coù caùch choïn (tröø a vaø f) c coù caùch choïn (tröø a, b, f) d coù caùch choïn (tröø a, b, c, f) e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f) Vaäy: coù...1 = 88 soá. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f {0,, }. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,,,,). Do ñoù coù! soá * Khi f {, } thì: f coù caùch choïn a coù caùch choïn b coù caùch choïn c coù caùch choïn d coù caùch choïn e coù 1 caùch choïn Do ñoù coù...1 = 19 soá. Vaäy: coù 10 + 19 = 1 soá chaün. Bài : Một thầy giáo có 1 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có cuốn sách Văn, cuốn sách Nhạc và cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra cuốn và tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï. Vaäy soá caùch taëng laø 9 A = 080. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát loaïi saùch. Soá caùch choïn cuoán saùch töø 1 cuoán saùch laø: A = 80 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 01! 1 8 A.7 = 00 A.A = 010 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: A.A 9 = 080 Soá caùch choïn caàn tìm laø: 80 (00 + 010 + 080) = 7900 Bài : Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, nhaø vaät lí nam laø: C.C = 18 1 1 1 C.C.C =.. = 0 Soá caùch choïn nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C.C = 1 Vaäy: coù 0 + 18 + 1 = 90 caùch choïn Bài 7: Một đội văn nghệ có 0 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra người sao cho: 1. Có đúng nam trong người đó.. Có ít nhất nam và ít nhất 1 nữ trong người đó. 1. Choïn nam vaø nöõ: coù C.C = 00 caùch.. Coù ít nhaát nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: * nam vaø nöõ: coù 00 caùch
C.C = 00 caùch 1 * nam vaø 1 nöõ: coù C 10.C 10 = 100 caùch Vaäy coù: 00 + 00 + 100 = 1900 caùch. Bài 8: Có 9 viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách chọn ra viên bi, trong đó có đúng viên bi đỏ.. Có bao nhiêu cách chọn ra viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. 1. Coù: C caùch choïn ra vieän bi ñoû. C 1 caùch choïn ra vieân bi coøn laïi. Vaäy coù: 1 C. C = 710 caùch choïn. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: * xanh, ñoû, 0 vaøng coù * xanh, ñoû, vaøng coù * 1 xanh, 1 ñoû, vaøng coù Vaäy coù taát caû: C 9.C + C 9.C.C + 9 9 1 1 9 C.C caùch C.C.C caùch C.C.C caùch 1 1 C 9.C.C = 0 caùch. Bài 9: Có thẻ trắng và thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1,,,,. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. Coù khaû naêng: 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün coù!! caùch. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû coù!! caùch Vaäy taát caû coù:!! +!! caùch. Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, người ở địa điểm B, còn người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Coù taát caû: C.C = C.C = C.C = 10 caùch 9 9 9 7 Bài 11: Một lớp học có 0 học sinh, trong đó có cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong người đó có ít nhất một cán bộ lớp. Coù khaû naêng: * 1 caùn boä lôùp vaø hoïc sinh thöôøng: coù * caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù Vaäy soá choïn laø: C.C 18 + 8 C.C C.C 18 C.C 18 = caùch. Bài 1: Xếp viên bi đỏ có bán kính khác nhau và viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho viên bi đỏ xếp cạnh nhau và viên bi xanh xếp cạnh nhau? 1. Tröôùc heát xeáp vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø Sau ñoù xeáp vieân bi xanh vaøo oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: 7 A. C = 80 caùch.. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù caùch xeáp. Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø! Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø:.! = caùch. Bài 1: Cho A là một hợp có 0 phần tử. 1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 7 A. C. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 01!
0 0 0 0 0 0 1. Soá taäp con cuûa A laø: C + C + C +... + C = 0. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: T = C + C +... + C 0 0 0 0 C 0 0 C 0 C 0... C 0 0 0 0 0 0 0 0 C 0 C 0... C 19 0 0 0 0 0 C0 C0 C 0... C 0 = ( C0 + C0 + C 0 +... + C 0 ) Ta coù: 0 = (1 1) 0 = + + C + C + C +... + C = + + + + + + + 0 0 0 T = C0 + C 0 +... + C 0 = C 0 = 9 1. Bài 1: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra học sinh để đi làm công tác Mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong học sinh đó phải có ít nhất: 1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.. Một học sinh nữ và một học sinh nam. 1. Neáu trong hoïc sinh phaûi coù ít nhaát hoïc sinh nöõ vaø hoïc sinh nam thì coù tröôøng hôïp: * nam vaø nöõ: coù C 10.C 10 caùch. Vaäy taát caû coù:. C.C = 10800 caùch.. Neáu trong hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù tröôøng hôïp: * 1 nam vaø nöõ: coù * nam vaø nöõ: coù * nam vaø 1 nöõ: coù 1 1 1 Vaäy taát caû coù:. C.C +. C.C = 1000 caùch. Bài 1: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 1 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C. Cần chọn học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho học sinh này thuộc không quá trong lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Soá caùch choïn hoïc sinh töø 1 hoïc sinh ñaõ cho laø: 1 C = 9 Soá caùch choïn hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau: Lôùp A coù hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. Soá caùch choïn laø: C C C = 10 1 Lôùp B coù hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: Soá caùch choïn laø: C C C = 90 1 Lôùp C coù hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: Soá caùch choïn laø: C C C = 0 1 Soá caùch choïn hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: 10 + 90 + 0 = 70 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 9 70 = caùch. Bài 1: Từ một nhóm gồm 1 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn ra 1 học sinh sao cho có ít nhất học sinh khối A và đúng học sinh khối C. Tính số cách chọn. Soá caùch choïn hoïc sinh khoái C laø: C = 10 Choïn 1 hoïc sinh trong soá hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn baát kì laø: Soá caùch choïn ñöôïc hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: Soá caùch choïn ñöôïc hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát hoïc sinh khoái A laø: C C + C C = 10 + = 110 9 1 10 10 1 10 9 1 10 C C 10 C1C 10 1 C = 0000 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 01!
Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát hoïc sinh khoái A laø: ( ) 1 9 10 10 1 10 C C.C + C.C = 1819 Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát hoïc sinh khoái A laø: 1 9 10 C ( + ) C C 1.C10 C 1.C 10 = 18190 Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện có 1 người, gồm 1 nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có nam và 1 nữ. Coù C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng 1 1 1 caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát, thì coù CC 8 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù Vaäy taát caû coù: 1 1 1 1 C C caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba. 1 8 1 1 C C. C C. C C = 07900 caùch phaân coâng. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có câu lý thuyết và bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? ĐS: Đề gồm câu lý thuyết và 1 bài tập: Đề gồm 1 câu lý thuyết và bài tập: C. C = C. C = 0 Vậy có: + 0 = 9 đề thi. Baøi : Một lớp học có 0 học sinh, trong đó gồm nam và 1 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và nữ. c) Có nam và nữ. d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. ĐS: a) C 0 b) 0 e) C C C 1. 1 1 1 C C c) C. C d) C. C + C. C + C. C + C Baøi : Có tem thư khác nhau và bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra tem thư, bì thư và dán tem thư ấy lên bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 100. Baøi : Một túi chứa viên bi trắng và viên bi xanh. Lấy ra viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a) viên bi cùng màu? b) viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a) 0. b) 10. Baøi : Từ 0 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 100. Baøi : Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: a) Có đúng 1 bông hồng đỏ? b) Có ít nhất bông hồng vàng và ít nhất bông hồng đỏ? ĐS: a) 11 b) 10. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 01!