1-2.pm6

Bản ghi

1 ÏËÎÑÊÀß ÇÀÄÀ À ÒÅÎÐÈÈ ÓÏÐÓÃÎÑÒÈ ÄËß ÊÎÍÑÎËÜÍÎÉ ÏÎËÎÑÛ Ñ ÌÈÊÐÎÑÒÐÓÊÒÓÐÎÉ Â.Â.Âàñèëüåâ, Ñ.À.Ëóðüå, Èíñòèòóò ïðîáëåì ìåõàíèêè ÐÀÍ Èíñòèòóò ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè ÐÀÍ Óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ñðåäû ñ ìèêðîñòðóêòóðîé, ïîëó åííûå â ðàáîòàõ [,], ïðèâëåêàþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà è èçãèáà êîíñîëüíîé ïîëîñû, èìåþùåé â ðàìêàõ êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè ñèíãóëÿðíîå ðåøåíèå [,4]. Ïîêàçàíî, òî òåîðèÿ óïðóãîñòè, ó èòûâàþùàÿ ñòðóêòóðó ñðåäû, ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü ñèíãóëÿðíîñòü êëàññè åñêîãî ðåøåíèÿ. Íà îñíîâå ïîëó åííîãî ðåøåíèÿ è ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ ïî èçãèáó êîìïîçèòíûõ áàëîê îïðåäåëåíà âåëè èíà ñòðóêòóðíîãî ïàðàìåòðà, âõîäÿùåãî â óðàâíåíèÿ ïðåäëàãàåìîãî âàðèàíòà òåîðèè óïðóãîñòè. Îáñóæäàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîëó åííûì ðåøåíèåì è òðàäèöèîííûì ðåøåíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ. Êëþ åâûå ñëîâà: òåîðèÿ óïðóãîñòè, ïëîñêàÿ çàäà à, êîíñîëüíàÿ ïîëîñà, ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ. PLANE PROBLEM OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR A CANTILEVER STRIP WITH MICROSTRUCTURE V.V.Vasiliev, S.A. Lurie, Institute for Problems in Mechanics, Russian academy of Sciences, 0 Vernadsogo, Moscow 956, Russia Institute of Applied Mechanics, Russian academy of Sciences, Leningradsii pr. 7, Moscow, 5040, Russia The equations of the theory of elasticity for solids with microstructure obtained in [,] are applied to the plane problem for a cantilever strip which has a singular solution in the classical elasticity [,4]. The theory which taes into account the solid microstructure allows us to eliminate the singularity of the classical solution. The obtained solution in conjunction with eperimental study of composite beams is used to determine the microstructural parameter which enters the equations of the proposed theory. The correspondence between the obtained solution and the traditional Strength of Materials solution is discussed. Keywords: theory of elasticity, plane problem, cantilever strip, strength of materials.. Êëàññè åñêîå ðåøåíèå ïëîñêîé çàäà è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ êîíñîëüíîé ïîëîñû Ðàññìîòðèì ïîëîñó, ïîêàçàííóþ íà ðèñ. è îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèÿìè êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå σ τ y σ y τó + = 0, + = 0, τ ó = τ y y ó, () σ = E( ε + νε ), σ = E( ε + νε ), τ = Gε, () y y y y y 6

2 u, v y, u ε = ε = ε v y = + y y () ãäå E = E/( ν ). Ðèñ. Êîíñîëüíàÿ ïîëîñà Cantilever beam Ïî ïðè èíàì, êîòîðûå áóäóò ÿñíû èç äàëüíåéøåãî, âñå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè, îòìå åíû âåðõíåé åðòîé. Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà è îá èçãèáå êîíñîëüíîé ïîëîñû áóäåì ñ èòàòü ìàòåðèàë íåñæèìàåìûì â íàïðàâëåíèè îñè y (ðèñ. ), ò.å. ïðèìåì, òî ε y = 0 òîãäà ñîîòíîøåíèÿ óïðóãîñòè (), ()ïðèìóò âèä u u σ = E, τy = G ν ' + y, (4) ãäå (*)' = d(*) / d. Ðåøåíèå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì ãðàíè íûì óñëîâèÿì ïðè = 0 u = 0, v = 0, (5) è ïðè y =± h τ y = 0, σ = 0. (6) y Äëÿ äëèííîé ïîëîñû (l >> h) ðåøåíèå çàäà è â ðàññìàòðèâàåìîé ïîñòàíîâêå, ïîëó åííîå â ðàáîòå [], îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè äëÿ ïåðåìåùåíèé, îñåâûõ íîðìàëüíûõ è êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé 64

3 P P G y P y s u = l y+ + y+ e, (7) 4 5 sin sinα ( ) Ebh Gbh Eh h Gb λ λ P P E v = ( l ) + h ( e s ) 4Ebh Gbh 5 G λ, (8) P P E sinα y s σ = ( l ) y e, (9) bh bh G λ sinλ τ y P P cosλ cosαy s = ( h y ) e. (0) 4bh bh λ sinλ Çäåñü b òîëùèíà ïîëîñû, à ïàðàìåòðû α è λ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè tgλ = λ, λ = α h, α = ( E/ G) s. Ñèñòåìû ôóíêöèé è (cosλ cos αy), à òàêæå y è sinα y ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè è îðòîãîíàëüíûìè. Ïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ èçãèáà áàëîê, îñíîâàííàÿ íà çàêîíå ïëîñêèõ ñå åíèé, ïðèíèìàåìîì â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ, ïðåäïîëàãàåò, òî äåôîðìàöèè ñäâèãà â áàëêå îòñóòñòâóåò, ò. å. òî G. Â ýòîì ñëó àå ðåøåíèå (7)-(0) óïðîùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: P P u = ( l ) y, v = ( ) l Ebh 4Ebh P P σ = ( l ) y, τ y = ( h y ). bh 4bh () Ñðàâíèì òî íîå ðåøåíèå (7)-(0) ñ ïðèêëàäíûì ðåøåíèåì (). Ïðèíèìàÿ = 0, òî ñîîòâåòñòâóåò çàêðåïëåííîìó ñå åíèþ ïîëîñû, è ñóììèðóÿ ðÿä â ïðàâîé àñòè ðàâåíñòâà (0), ìîæíî çàêëþ èòü [,4], òî ïðè -h < y < h êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ τ y( = 0, y) = P/bh. Ïðè y = ±h èç ðåøåíèÿ (0) ñëåäóåò, òî τ y( h) = 0. Òàêèì îáðàçîì, â çàêðåïëåííîì ñå åíèè ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå îïèñûâàåòñÿ ðàçðûâíîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé â èíòåðâàëå -h < y < h è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà åãî êîíöàõ y = ± h. Â ðåçóëüòàòå ýòà ôóíêöèÿ îêàçûâàåòñÿ íå äèôôåðåíöèðóåìîé â òî êàõ ( = 0, y = ± h) è ðåøåíèå ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ () ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíûì. Äåéñòâèòåëüíî, ðÿä â ïðàâîé àñòè ðåøåíèÿ (9) äëÿ σ ðàñõîäèòñÿ â òî êàõ ( = 0, y = ± h), ò. å. íàïðÿæåíèå σ â ýòèõ òî êàõ íåîãðàíè åííî âîçðàñòàåò. Çàìåòèì, òî ñèíãóëÿðíîñòü ðåøåíèÿ ñîõðàíÿåòñÿ è ïðè îòêàçå îò ïðåäïîëîæåíèÿ î íåñæèìàåìîñòè ìàòåðèàëà ïî âûñîòå ïîëîñû [5,6]. Ïîëó åííûé ðåçóëüòàò, ò. å. áåñêîíå íî áîëüøîå íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå â óãëîâîé òî êå çàêðåïëåííîãî êðàÿ ïîëîñû íà ðèñ., òðóäíî ïðèçíàòü ïðàâèëüíûì, òàê êàê îí 65

4 ÿâíî ïðîòèâîðå èò âûðàæåíèþ (), òðàäèöèîííî èñïîëüçóåìîìó â òåõíèêå ïðè ïðîåêòèðîâàíèè êîíñîëüíûõ áàëîê. Áîëåå òîãî â ðàáîòå [] ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîêàçàíî, òî ñèíãóëÿðíîñòü ðåøåíèÿ (9) íå îêàçûâàåò âëèÿíèÿ íà ïðî íîñòü áàëîê, è íå èìååò ôèçè åñêîé ïðèðîäû.. Ñîîòíîøåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ êîíñîëüíîé ïîëîñû ñ ìèêðîñòðóêòóðîé Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ, ïîëó åííûõ â ðàçäåëå, íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ïîëîñû õàðàêòåðèçóåòñÿ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè íàïðÿæåíèé â îêðåñòíîñòè óãëîâûõ òî åê çàêðåïëåííîãî êðàÿ. Îäíàêî óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ () îñíîâàíû íà ïðåäïîëîæåíèè î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè íàïðÿæåíèé ïî ãðàíÿì áåñêîíå íî ìàëîãî ýëåìåíòà ñïëîøíîé ñðåäû, ââåäåííîì â òåîðèþ óïðóãîñòè Î. Êîøè â 87 ã. Çàìåòèì, òî â 887 ã. Â. Ôîéãò ââåë ïðèìåíèòåëüíî ê êðèñòàëëàì áîëåå îáùóþ ìîäåëü ñïëîøíîé ñðåäû, ïðåäïîëîæèâ, òî ïî ãðàíÿì ýëåìåíòà äåéñòâóþò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå ìèêðîìîìåíòû. Ýòà ìîäåëü ïîñëóæèëà îñíîâîé äëÿ òàê íàçûâàåìûõ ìîìåíòíûõ òåîðèé óïðóãîñòè [7], íå ïîëó èâøèõ øèðîêîãî ïðàêòè åñêîãî ïðèìåíåíèÿ â ñâÿçè ñ òðóäíîñòÿìè, âîçíèêàþùèìè ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè ïîñòîÿííûõ, âõîäÿùèõ â ñîîòíîøåíèÿ óïðóãîñòè äëÿ ìèêðîìîìåíòîâ. Àíàëîãè íàÿ ïðîáëåìà õàðàêòåðíà è äëÿ òàê íàçûâàåìûõ ãðàäèåíòíûõ òåîðèé [8], â êîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿ óïðóãîñòè ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé íå òîëüêî íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè, íî è èõ ãðàäèåíòû. Â ðàáîòàõ [,] ïîñòðîåí âàðèàíò òåîðèè óïðóãîñòè, îñíîâàííûé íà àíàëèçå ðàâíîâåñèÿ ýëåìåíòà, èìåþùåãî íå áåñêîíå íî ìàëûå, à ìàëûå, íî êîíå íûå ðàçìåðû. Ïðè ýòîì óñòàíîâëåíî, òî ñîîòíîøåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ñðåäû ñ ìèêðîñòðóêòóðîé ôîðìàëüíî ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè ()-(), à ãðàíè íûå óñëîâèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà è ñ óñëîâèÿìè (5) è (6). Ïîëó åííûå óðàâíåíèÿ, â îòëè èå îò êëàññè- åñêèõ óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè, âêëþ àþò îáîáùåííûå íàïðÿæåíèÿ è ïåðåìåùåíèÿ, êîòîðûå îáîçíà- àþòñÿ âåðõíåé åðòîé è ñâÿçàíû ñ òðàäèöèîííûìè íàïðÿæåíèÿìè è ïåðåìåùåíèÿìè (áåç åðòû) ñëåäóþùèì îáðàçîì: ( ) r σ, σ, τ = ( σ, σ, τ ) ( σ, σ, τ ), () y y y y y y (, ) (, ) (, ) uv = uv r uv, () ãäå r - ìèêðîñòðóêòóðíûé ïàðàìåòð ñðåäû, îïðåäåëÿåìûé ýêñïåðèìåíòàëüíî, à - îïåðàòîð Ëàïëàñà.. Ðåøåíèå çàäà è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ êîíñîëüíîé ïîëîñû ñ ìèêðîñòðóêòóðîé Îñíîâíàÿ èäåÿ ðåøåíèÿ çàêëþ àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Îáîáùåííûå íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè σ, τ y, ε, ε y è ïåðåìåùåíèÿ u, v óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè ()-(). Ãðàíè íûå óñëîâèÿ (5) äëÿ u è v, íà êðàþ = 0, à òàêæå ãðàíè íûå óñëîâèÿ (6) äëÿ σ y è τ y íà êðàÿõ y = ±h ñîîòâåòñòâóþò ãðàíè íûì óñëîâèÿì êëàññè åñêîé òåîðèè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà è (ðèñ. ). Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå êëàññè åñêîé òåîðèè, ò.å. ñîîòíîøåíèÿ (7)-(0), ìîæíî ñ èòàòü ðåøåíèåì çàäà è îáîáùåííîé òåîðèè. Òðàäèöèîííûå ïåðåìåùåíèÿ u, v ïîëó àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà () ñ ãðàíè íûìè óñëîâèÿìè íà çàêðåïëåííîì êðàþ ïîëîñû = 0: 66 u = 0, v = 0. (4) Òðàäèöèîííûå íàïðÿæåíèÿ íàõîäÿòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè íûì óñëîâèÿì íà ïðîäîëüíûõ êðàÿõ ïîëîñû y = ± h (ðèñ. ):

5 τ = 0. (5) y Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, â ðåçóëüòàòå ýòîãî ðåøåíèÿ óñòðàíÿåòñÿ ñèíãóëÿðíîñòü êëàññè åñêîãî ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì îïðåäåëåíèå ïðîãèáà ïîëîñû v() è âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì () äëÿ v, ò.å. =. (6) v r v v Ïðàâàÿ àñòü óðàâíåíèÿ (6) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (8), ïðè åì v óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó ãðàíè íîìó óñëîâèþ (5). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6), óäîâëåòâîðÿþùåå âòîðîìó óñëîâèþ (4), èìååò âèä P P Plr r / v= l r ( l ) e 4Ebh + + 5Gbh Ebh P E e r s e + Gb G r s s r /. λ (7) Îñåâîå ïåðåìåùåíèå íàõîäèòñÿ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ (), ò.å. u u y u r + = u. (8) ãäå u îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (7) è óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó ãðàíè íîìó óñëîâèþ (5). Ó èòûâàÿ, òî ïåðåìåùåíèå u ÿâëÿåòñÿ íå åòíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé y, çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8) P P h y u = ( r l) y r y 4Ebh + + Gbh 0 sin ( α ) s P r / + Ay ( + rye ) + Gb λ sin λ r s α ( ) ξ + Ae sinα y+ Ae sin β y, y e η (9) ãäå η = α +, r ξ = β +. r Âõîäÿùèå â ðåøåíèå (9) ëåíû, âêëþ àþùèå ñèëó Ð, ÿâëÿþòñÿ àñòíûì ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (8). ëåíû, ñîäåðæàùèå êîíñòàíòû A è A, A ÿâëÿþòñÿ àñòíûìè ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ (8), êîòîðûå ïîçâîëÿþò óäîâëåòâîðèòü ãðàíè íîå óñëîâèå u( = 0, y) = 0, íà çàêðåïëåííîì êîíöå ïîëîñû (ðèñ. ). Ïðè = 0 èìååì 67

6 Pr P h y u ( = 0, y) = y+ r y Ebh Gbh 0 6 P sin ( α y) + Ay + Gb λ sin λ r s α + A sinα y+ A sin β y. ( ) Èç óñëîâèÿ u = 0 ñëåäóåò P P A=, A = 4Gb h Gb sin [ r ( s ) ]. (0) λ λ α Òîãäà P E h u ( = 0, y) = r + r y + A sinβ y = 0. Ebh G 0 Ïðèìåì β = π( ) / h. Ðàçëàãàÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå ýòîãî ðàâåíñòâà â ðÿä Ôóðüå ïîëó èì, ñîîòâåòñòâåííî, Psin[ π ( )/] E h A = r r + Ebh [ π ( ) / ] G 0, =,,... () Òàêèì îáðàçîì, îñåâîå ïåðåìåùåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè (9 ). Äëÿ òîãî, òîáû íàéòè êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå, âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì óðàâíåíèåì (), ò.å. τ τ τ ( ) τy. y y y y r + = () Çäåñü τ y îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (0). Ïî ïîñòðîåíèþ ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (6). Ó èòûâàÿ, òî íàïðÿæåíèå ÿâëÿåòñÿ åòíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé y, çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (). P P cosα y τ y = ( h y r ) + e 4 bh bh λ ( r s ) λsin λ[ r ( s α) ] y s + B ch B + e cosγ y. r s 68

7 ãäå γ = s. r Êàê è ðàíåå, ëåíû, âêëþ àþùèå ñèëó P, ñîîòâåòñòâóþò àñòíîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (), à ëåíû ñ êîíñòàíòàìè B è B ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèþ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ïîçâîëÿþò óäîâëåòâîðèòü ãðàíè íûå óñëîâèÿ τ y( y, =± h) = 0 íà ïðîäîëüíûõ êðàÿõ ïîëîñû (ðèñ. ) Èç ýòèõ óñëîâèé, ó èòûâàÿ, òî tgλ = λ ïîëó èì B Pr Pr α,, bh ch h r bh r s r s h = B = ( / ) λ ( )[ ( α) ]cosγ è îêîí àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä τ P chy/ r h y r ( 4 bh ch h / r y = + P cosαy r α cosγy s + e, bh + λ( r s ) λsin λ[ r ( s α) ] λ( r s )[ r ( s α) ] cosγh () ãäå tgλ = λ, s G = λ ( ), α = λ / h. E h Íîðìàëüíîå îñåâîå íàïðÿæåíèå σ ìîæåò áûòü íàéäåíî èç ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ (), ò.å. σ σ σ y r ( + ) = σ. (4) Çäåñü σ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (9). Ïîñêîëüêó ãðàíè íûå óñëîâèÿ íà íàïðÿæåíèÿ íà ïðîäîëüíûõ êðàÿõ ïîëîñû íå íàêëàäûâàþòñÿ, òî â êà åñòâå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4) ìîæåò áûòü ïðèíÿòî åãî àñòíîå ðåøåíèå, êîòîðîå èìååò âèä σ P P E e sinα y = ( ). (5) s l y bh bh G λsin λ[ r ( s α)] Ðÿä â ïðàâîé àñòè ðàâåíñòâà () ñõîäèòñÿ, ò.å. â îòëè èå îò ðåøåíèÿ (9) ïîëó åííîå âûðàæåíèå äëÿ σ íå èìååò îñîáåííîñòè â óãëîâîé òî êå çàêðåïëåííîãî êðàÿ ñ êîîðäèíàòàìè = 0, y = ±h (ðèñ.). Íàïðÿæåíèÿ σ, îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâîì (5) î åâèäíî óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ îòíîñèòåëüíî h ìîìåíòîâ òàê êàê ysinα ydy = 0 ( =,,...). h 69

8 4. Îïðåäåëåíèå ïîñòîÿííûõ Â ïîëó åííîå ðåøåíèå âõîäÿò òðè ïîñòîÿííûå ìîäóëü óïðóãîñòè E, ìîäóëü ñäâèãà G è ñòðóêòóðíûå ïîñòîÿííàÿ r. Ìîäóëè E è G ìîãóò áûòü íàéäåíû òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà r íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ñïåöèàëüíûé ýêñïåðèìåíò. Ïðåäïîëîæèì, òî äëèíà áàëêè äîñòàòî íî âåëèêà (l >> h) è ðàññìîòðèì åå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå âäàëè îò çàêðåïëåííîãî êðàÿ = 0, çàïèøåì âûðàæåíèÿ (7), (9), (), è (5) äëÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé P P h y u = ( r l) y r y, 4Ebh + + 4Gbh 5 (6) P P = + 4Ebh 5Gbh v l, (7) P σ = ( ), l y (8) bh τ P chy/ r h y r 4 bh ch h / r. (9) y = Íàéäåì îñåâóþ è ñäâèãîâóþ äåôîðìàöèè, ò.å. ε u P = = (l y ) Ebh, (0) ε y ( h y r ) u v Pr P = + = + y Ebh 4Gbh. () Çàìåòèì, òî â ïîñòðîåííîé òåîðèè çàêîí Ãóêà âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ îáîáùåííûõ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé, ò.å. σ = ε τ = ε ε ε = ε ε ε ε. () E, y E y, (, y ) (, y ) r (, y ) Êàê ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ (8) è (0) çàêîí Ãóêà σ = Eε, âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ òðàäèöèîííûõ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé. Îäíàêî äëÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé (9) è äåôîðìàöèé ñäâèãà () òðàäèöèîííûé çàêîí Ãóêà íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïðè èíà ýòîãî ñâÿçàíà ñ òåì, òî îïåðàòîð Ëàïëàñà, âõîäÿùèé â ðàâåíñòâà () è () îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ äëÿ σ è ε, êîòîðûå ëèíåéíî çàâèñÿò îò è y, è îòëè íûì îò íóëÿ äëÿ τ y è ε y, êîòîðûå çàâèñÿò îò y. Çàìåòèì, òî çàêîí Ãóêà ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåí äëÿ îäíîðîäíûõ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé è, êàê ïîêàçàíî ýêñïåðèìåíòàëüíî À.Â. Àíäðååâûì [,9], íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïîëåé ñ ãðàäèåíòàìè íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé. 70

9 Ðàâåíñòâî () ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà r. Ìàêñèìàëüíàÿ âåëè èíà äåôîðìàöèè ñäâèãà èìååò ìåñòî ïðè y = 0, ò.å. â ñåðåäèíå ñå åíèÿ ïîëîñû. Ïðè y = 0 ðàâåíñòâî () äàåò Pr P ( h r ) m ε y = +. Ebh 4Gbh Îòñþäà r h 4 Gbh m y ( G/ E) P ε =. () Ýòî âûðàæåíèå îïðåäåëÿåò ïàðàìåòð r åñëè èçâåñòíà äåôîðìàöèÿ ñäâèãà m ε y è ìîäóëè óïðóãîñòè è ñäâèãà ìàòåðèàëà áàëêè E è G. Ñõåìà ýêñïåðèìåíòà, ïîçâîëÿþùåãî îïðåäåëèòü äåôîðìàöèþ ñäâèãà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ., à ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ áàëêà ïîêàçàíà íà ðèñ.. m ε y, Ðèñ. Ñõåìà ýêñïåðèìåíòà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà r Schematic diagram of the eperiment undertaen to determine parameter r Íà ïîâåðõíîñòè áàëêè óñòàíàâëèâàåòñÿ ëàçåð, ëó êîòîðîãî ôîêóñèðóåòñÿ â òî êå À ýêðàíà, îòñòîÿùåãî îò ýêðàíà íà ðàññòîÿíèå L. Ïðè èçãèáå áàëêè ëó ïåðåìåùàåòñÿ â òî êó A è èçìåðÿåòñÿ óãîë ïîâîðîòà êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè áàëêè α = (ΑΑ )/L. Â öåíòðå ñå åíèÿ áàëêè çàêðåïëÿåòñÿ ñòåðæåíü, êîòîðûé ïîâîðà èâàåòñÿ âìåñòå ñ ñå åíèåì. Íà ñòåðæíå óñòàíàâëèâàåòñÿ ëàçåð, ëó êîòîðîãî ôîêóñèðóåòñÿ â òî êå Â íà ýêðàíå è ïåðåìåùàåòñÿ â òî êó B ïðè èçãèáå áàëêè, òî ïîçâîëÿåò èçìåðèòü óãîë ïîâîðîòà â öåíòðå ñå åíèÿ α = (ΒΒ )/L. Äåôîðìàöèÿ ñäâèãà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ε = α α. m y 7

10 Ðèñ. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ êîìïîçèòíàÿ áàëêà Eperimental composite beam Ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäîâàëñÿ èçãèá äâóõîïîðíîé áàëêè, íàãðóæåííîé ñèëîé â ñåðåäèíå ïðîëåòà. Â ñèëó ñèììåòðèè, ïîëîâèíó òàêîé áàëêè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîíñîëüíóþ áàëêó, íàãðóæåííóþ îïîðíîé ðåàêöèåé. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ áàëêà (ðèñ. ) áûëà èçãîòîâëåíà èç ýïîêñèäíîãî óãëåïëàñòèêà, àðìèðîâàííîãî â ïîïåðå íîì íàïðàâëåíèè ñòåêëÿííûìè âîëîêíàìè è èìåëà ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû (ðèñ.): l = 00 ìì, m b = 89,7 ìì, h = 5,8 ìì. Ïðè ñèëå Ð = 4,5 ÊÍ ïîëó åíà äåôîðìàöèÿ ñäâèãà ε y = 0,007. Äëÿ òîãî, òîáû íàéòè ïàðàìåòð r ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (), íåîáõîäèìî çíàòü ìîäóëè óïðóãîñòè è ñäâèãà ìàòåðèàëà E è G. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ìîäóëåé ðàññìîòðèì áàëêó, äëèíà êîòîðîé l íàñòîëüêî ïðåâûøàåò âûñîòó h (ðèñ. ), òî ïðè îïðåäåëåíèè ïðîãèáà â ñå åíèè = l âëèÿíèå ïîãðàíè íûõ ýôôåêòîâ, âîçíèêàþùèõ â îêðåñòíîñòè çàêðåïëåííîãî êîíöà ïîëîñû = 0, ìîæíî íå ó èòûâàòü. Òîãäà èç ðàâåíñòâà (7) ïîëó èì Pl Pl vl = v( = l) = +. (4) Ebh 5Gbh Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà åíèÿ: vb l l v% =, l =. Pl h Òîãäà ñîîòíîøåíèå (4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: 7

11 l v% = +. (5) E 5G Ñîîòíîøåíèå (5) â ïðèíöèïå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü E è G åñëè îïðåäåëèòü ïðîãèáû v l äâóõ áàëîê ñ ÿâëÿåòñÿ çíà èòåëüíîé. Â ñâÿçè ñ ýòèì, ìîäóëü óïðóãîñòè E îïðåäåëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç îïûòà íà îñåâîå íàãðóæåíèå áàëêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïîëó åí Å = 05,84 ÃÏà. Òîãäà ôîðìóëà (5) äàåò G = 5,96 ÃÏà è èç óðàâíåíèÿ () ñëåäóåò. r = 0,076h ìì Çàìåòèì, òî áàëêà áûëà èçãîòîâëåíà ïðåññîâàíèåì èç ñëîåâ ñ òîëùèíîé,5 ìì, ò.å. ïàðàìåòð r ñîèçìåðèì ñî ñòðóêòóðíûì ïàðàìåòðîì áàëêè. ðàçëè íûìè çíà åíèÿìè îòíîñèòåëüíî äëèíû l è l. Îäíàêî òàêîé ñïîñîá îáåñïå èâàåò âûñîêóþ òî - íîñòü òîëüêî åñëè âåëè èíà ( l l ) 5. Àíàëèç ïîëó åííûõ ðåçóëüòàòîâ Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå (7), îïðåäåëÿþùåå ïðîãèá ïîëîñû. Ýòî âûðàæåíèå ñîñòîèò èç ïîëèíîìèàëüíîé àñòè è äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûì ýôôåêòàì, ëîêàëèçîâàííûì â îêðåñòíîñòÿõ çàêðåïë ííîãî ñå åíèÿ ïîëîñû ( = 0). Êðàåâîé ýôôåêò, âêëþ àþùèé ïàðàìåòð r, ñîîòâåòñòâóåò ðàññìàòðèâàåìîìó âàðèàíòó òåîðèè óïðóãîñòè. Åñëè îòáðîñèòü ëåíû, ñîäåðæàùèå ïàðàìåòð r, ðåøåíèå (7) âûðîæäàåòñÿ â ðàâåíñòâî (8), ñîîòâåòñòâóþùåå êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè. Ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò âòîðîé êðàåâîé ýôôåêò, îïðåäåëÿåìûé ïàðàìåòðàìè s. Åñëè íå ó èòûâàòü ýòîò êðàåâîé ýôôåêò è îòáðîñèòü ñóììó ïî, ïîëó èì ïðîãèá (7), ñîîòâåòñòâóþùèé ñäâèãîâîé ìîäåëè Ñ.Ï. Òèìîøåíêî. Åñëè ïðèíÿòü G, ðåøåíèå âûðîæäàåòñÿ â ðàâåíñòâî (), ñîîòâåòñòâóþùåå ñîïðîòèâëåíèþ ìàòåðèàëîâ. Äëÿ êîìïîçèòíîé áàëêè ñ ïàðàìåòðàìè, ïðèâåäåííûìè â ðàçäåëå 4, èçìåíåíèå áåçðàçìåðíîãî ïðîãèáà v% = v/ vm, ãäå vm = Pl /Ebh - ìàêñèìàëüíûé ïðîãèá, ñîîòâåòñòâóþùèé ðåøåíèþ (), ïî îñåâîé êîîðäèíàòå % = / l ïîêàçàíî íà ðèñ. 4. Ñïëîøíàÿ ëèíÿÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ (), à øòðèõîâàÿ - ðàâåíñòâó (7). Ïîïðàâêà, ñâÿçàííàÿ ñ êðàåâûìè ýôôåêòàìè, íå ïðåâûøàåò %. Ðèñ. 4. Ðàñïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîãî ïðîãèáà ïî îñåâîé êîîðäèíàòå, ñîîòâåñòâóþùèå ðàâåíñòâàìè () ( ) è (7) ( ) Dependences of the normalized deflåction on the aial coordinate corresponding to Eqs () ( ) and (7) ( ) 7

12 Ðàñïðåäåëåíèå îòíîñèòåëüíîãî íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåãî â ñå åíèè = 0 ïîëîñû, ò.å. σ% = σ / σm, ãäå σ m = Pl /bh - ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîïðîòèâëåíèþ ìàòåðèàëîâ, ïî êîîðäèíàòå ó% = y/ h, ïîêàçàíî íà ðèñ. 5. Ðèñ. 5. Ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîãî íîðìàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåãî â çàêðåïëåííîì ñå åíèè ïîëîñû, ïî òîëùèíå ïîëîñû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâàì () ( ), (9) ( ) è (5)( ) Distributions of the normalized normal stress acting in the fied cross section of the beam over the beam thicness corresponding to Eqs. () ( ), (9) ( ) and (5) ( ) Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ (), ò.å. ðåøåíèþ ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ, øòðèõîâàÿ- ðåøåíèþ (), à òî å íàÿ ïîëó åííîìó âûøå ðåøåíèþ (5). Êàê ñëåäóåò èç ðèñ.5, ñèíãóëÿðíîñòü íàïðÿæåíèÿ â óãëîâîé òî êå ïîëîñû (ïðè = 0 è y % = ) õàðàêòåðíàÿ äëÿ ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè, â ïîëó åííîì ðåøåíèè îòñóòñòâóåò. Ìàêñèìàëüíîå íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå îòëè àåòñÿ îò íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ïî òðàäèöèîííîé ôîðìóëå () íà %. Íà ðèñ. 6, ïðåäñòàâëåíî ðàñïðåäåëåíèå ïî òîëùèíå ïîëîñû îòíîñèòåëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ äåéñòâóþùåãî â ñå åíèè = 0 ïîëîñû, ò.å. τ% y = τy / τm, ãäå τ m = P/4bh - ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèþ (). Ñïëîøíàÿ ëèíÿÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ (), ò.å. ñîïðîòèâëåíèþ ìàòåðèàëîâ, øòðèõîâàÿ- ðåøåíèþ (0) êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè, à òî å íàÿ ïîëó åííîìó âûøå ðåøåíèþ (). Êàê ñëåäóåò èç ðèñ.6, ïðåäëàãàåìàÿ òåîðèÿ äàåò, â îòëè èå îò êëàññè åñêîé òåîðèè, ðåãóëÿðíîå ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî òîëùèíå çàêðåïëåííîã î êðàÿ ïîëîñû. Ìàêñèìàëüíîå êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå îòëè àåòñÿ îò ðåøåíèÿ (), ñîîòâåòñòâóþùåãî òðàäèöèîííîé ôîðìóëå Ä.È. Æóðàâñêîãî íà %. 6. Çàêëþ åíèå Ïîëó åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò çàêëþ èòü, òî ñèíãóëÿðíîñòü, ïîÿâëÿþùàÿñÿ â ðåøåíèè çàäà è êëàññè åñêîé òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ êîíñîëüíîé ïîëîñû, ñâÿçàíà ñ ôåíîìåíîëîãè åñêîé ìîäåëüþ îäíîðîäíîé ñðåäû, íà êîòîðîé îñíîâàíà êëàññè åñêàÿ òåîðèÿ. Ýòà ñèíãóëÿðíîñòü îòñóòñòâóåò â ðåøåíèè òåîðèè 74

13 Ðèñ. 6. Ðàñïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåãî â çàêðåïëåííîì ñå åíèè ïîëîñû, ïî òîëùèíå ïîëîñû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâàì ()( ), (0) ( ) è () ( ) Distributions of the normalized shear stress acting in the fied cross section of the beam over the beam thicness corresponding to Eqs. () ( ), (0) ( ) and () ( ) óïðóãîñòè, ó èòûâàþùåé ìèêðîñòðóêòóðó ñðåäû. Ïîëó åííîå â ðàìêàõ ýòîé òåîðèè íàïðÿæåíèÿ â áîëüøåé ñòåïåíè ñîîòâåòñòâóþò ñîïðîòèâëåíèþ ìàòåðèàëîâ åì òåîðèè óïðóãîñòè, òî ïîäòâåðæäàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé, èñïîëüçóþùèõñÿ äëÿ ðàñ åòà êîíñîëüíûõ áàëîê. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ãðàíòà ÐÔÔÈ ¹ à. Àâòîðû áëàãîäàðÿò Â.À.Ñàëîâà çà ïîìîùü â ïðîâåäåíèè ýêñïåðåìåíòà. Ñïàñèáî! Áèáëèîãðàôè åñêèé ñïèñîê. Âàñèëüåâ Â.Â., Ëóðüå Ñ.À. Ìîäåëü ñïëîøíîé ñðåäû ñ ìèêðîñòðóêòóðîé // Êîìïîçèòû è Íàíîñòðóêòóðû. 05. ò. 7. ¹. Ñ. -0. Âàñèëüåâ Â.Â., Ëóðüå Ñ.À. Îáîáùåííàÿ òåîðèÿ óïðóãîñòè //Èçâ. ÐÀÍ. ÌÒÒ. 05. ¹ 4. Ñ Âàñèëüåâ Â.Â., Ëóðüå Ñ.À. Î ñèíãóëÿðíîñòè ðåøåíèÿ â ïëîñêîé çàäà å òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ êîíñîëüíîé ïîëîñû // Èçâ. ÐÀÍ. ÌÒÒ. 04. ¹ 4. Ñ Âàñèëüåâ Â.Â. Ñèììåòðèÿ òåíçîðà íàïðÿæåíèé è ñèíãóëÿðíûå ðåøåíèÿ â òåî ðèè óïðóãîñòè // Èçâ. ÐÀÍ. ÌÒÒ. 00. ¹. Ñ Âàñèëüåâ Â.Â., Ëóðüå Ñ.À. Ïëîñêàÿ çàäà à òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ îðòîòðîïïîé êîíñîëüíîé ïîëîñû // Èçâ. ÐÀÍ. ÌÒÒ ¹ 5. Ñ Lurie S.A., Vasiliev V.V. The Biharmonic Problem in the Òheory of Elasticity. Australia etc: Gordon and Breach, 995, 65p. 7. Íîâàöêèé Â. Òåîðèÿ óïðóãîñòè. Ì. Ìèð, ñ. 8. Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity // Int. Journal of Solids and Structures V.. Ð Àíäðååâ À. Èíæåíåðíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèé íàïðÿæåíèé â äåòàëÿõ ìàøèí. Ìàøèíîñòðîåíèå, 976, 70 ñ. 75

14 References. Vasiliev V.V., Lurie S.A. Model sploshnoi sredy s microstructuroi [Model of a solid with microstructure]. Composites and Nanostructures. 05. Vol.6. No.. P Vasiliev V.V., Lurie S.A. Generalized theory of elasticity// Mechanics of Solids. 05. No. 4. P Vasiliev V.V., Lurie S.A. On singular solution in plane problem of theory of elasticity for a cantilever strip// Mechanics of Solids. 04. No. 4. P Vasiliev V.V. Symmetry of the stress tensor and singular solutions in the theory of elasticity// Mechanics of Solids. 00. No.. P Vasiliev V.V., Lurie S.A. Plane problem of theory of elasticity for an orthotropic cantilever strip// Mechanics of Solids No.5. P Lurie S.A., Vasiliev V.V. The biharmonic problem in the theory of elasticity. Australia etc: Gordon and Breach, Nowaci W. Theory of Elasticity. Warszawa, Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity// Int. Journal of Solids and Structures V.. P Andreev A.V. Eperimental study of stress concentration in machine parts. Moscow: Machinostroenie, 976. Ñâåäåíèÿ îá àâòîðàõ Â.Â. Âàñèëüåâ: ä-ð òåõí. íàóê, àêàäåìèê ÐÀÍ, ãë. íàó íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîáëåì ìåõàíèêè ÐÀÍ, ã. Ìîñêâà, Ðîññèÿ, vvvas@dol.ru, òåë. 8(96) Ñ.À. Ëóðüå: ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ïðîáëåì ìåõàíèêè ÐÀÍ, ã. Ìîñêâà, Ðîññèÿ, salurie@mail.ru, òåë. 8(90)