Утверждена на заседании Академического совета факультета компьютерных наук (протокол от «25» сентября 2.3-09/2509-01) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ» Факультет компьютерных наук ПРОГРАММА подготовки к вступительному испытанию по Высшей математике для поступающих на образовательную программу магистратуры «Науки о данных Академический руководитель программы, Кузнецов С.О. Москва, 2020 год
Ïðåäâàðèòåëüíûå êðèòåðèè îöåíèâàíèÿ 10 çàäà à ðåøåíà; 9 íàéäåíû íåçíà èòåëüíûå îøèáêè, íå âëèÿþùèå íà õîä ðåøåíèÿ è îòâåò; 7-8 ðåøåíèå ñîäåðæèò ïðîáåëû èëè îøèáêè, îäíàêî åãî ìîæíî ïðèçíàòü âåðíûì èëè ïî òè âåðíûì; 4-6 ëèáî ðåøåíà ïîëîâèíà çàäà è, ëèáî íåäî åòû ñëèøêîì ñóùåñòâåííû, òîáû ïðèçíàòü ðåøåíèå âåðíûì (íî ñàìî ðàññóæäåíèå îñíîâàíî íà çäðàâûõ èäåÿõ); 2-3 çàäà à íå ðåøåíà, íî â òåêñòå åñòü èäåè, êîòîðûå ìîãóò ïðè äîëæíîì ðàçâèòèè ïðèâåñòè ê ðåøåíèþ; 1 ðåøåíèå íåâåðíî, íî " òî-òî â ýòîì åñòü"; 0 çàäà à íå ðåøåíà, (ïðî åðê) ðåøåíèå, ò.å. ëþáîé òåêñò, èìåþùèé îòíîøåíèå ê çàäà å, âïëîòü äî åå íîìåðà îòñóòñòâóåò. Óòî íåííûå êðèòåðèè ïðîâåðêè íî êàæäîé çàäà å ïóáëèêóþòñÿ îäíîâðåìåííî ñ íà- àëîì ïåðèîäà ïîäà è àïåëëÿöèè. Ðåøåíèå çàäà è äîëæíî áûòü ñâÿçíûì ìàòåìàòè åñêèì òåêñòîì, íå ïåðåõîäÿùåì ïðè ýòîì â "ñî èíåíèå ïî ðóññêîìó ÿçûêó". Â ðåøåíèè äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü ññûëêè íà òåîðåòè åñêèå ôàêòû ñ óêàçàíèåì íàçâàíèé èëè ôîðìóëèðîâîê òåîðåì, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ. Åñëè óòâåðæäåíèå, íà êîòîðîå ññûëàåòñÿ àáèòóðèåíò, íå ñîäåðæèòñÿ â ïðîãðàììå âñòóïèòåëüíûõ èñïûòàíèé, êîìèññèÿ âïðàâå ñ èòàòü ýòî íåäî åòîì ðåøåíèÿ. Íîìåð çàäàíèÿ è îòâåò (åñëè îí òðåáóåòñÿ) äîëæíû åòêî âûäåëÿòüñÿ íà ôîíå îñòàëüíîãî òåêñòà. åðíîâèêè íå ïðîâåðÿþòñÿ. Åäèíñòâåííîå âîçìîæíîå èñêëþ åíèå íà èñòîâèêå íàïèñàí ïðàâèëüíûé îòâåò è äàíà ññûëêà íà åðíîâèê. Ïðè îáíàðóæåíèè äâóõ íåçà åðêíóòûõ ðåøåíèé îäíîé è òîé æå çàäà è ïðîâåðÿþòñÿ îáà ðåøåíèÿ è âûñòàâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûé áàëë. Ïåðå åíü è ñîäåðæàíèå òåì äëÿ ïîäãîòîâêè Ëèíåéíàÿ àëãåáðà Âåêòîðû, ìàòðèöû è äåéñòâèÿ ñ íèìè. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòîðîâ. Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Âû èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé. Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå è ïî ñòîëáöó. Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ðàíã ìàòðèöû. Ñïåöèàëüíûå âèäû ìàòðèö. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìåòîä Êðàìåðà. Ìåòîä Ãàóññà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé. Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ è èõ ìàòðèöû. Èçìåíåíèå ìàòðèö ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è êâàäðàòè íîé ôîðìû ïðè ñìåíå áàçèñà." 1
Ñîáñòâåííûå èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû. Ñîáñòâåííûå è èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Õàðàêòåðèñòè åñêèé ìíîãî ëåí. Àííóëèðóþùèé è ìèíèìàëüíûé ìíîãî ëåíû. Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-Êýëè. Êâàäðàòè íûå ôîðìû. Ìàòðèöà êâàäðàòè íîé ôîðìû. Óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé (îòðèöàòåëüíîé) îïðåäåëåííîñòè êâàäðàòè íîé ôîðìû. Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà. Èíäåêñû èíåðöèè êâàäðàòè íûõ ôîðì. Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç èñëîâûå ìíîæåñòâà. Ãðàíè ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâà â êîíå íîìåðíîì äåéñòâèòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâ. Ñ åòíûå è íåñ åòíûå ìíîæåñòâà. èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëû. Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ïðèçíàêè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà. Ïåðâûé è âòîðîé çàìå àòåëüíûå ïðåäåëû. Ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Ïðîèçâîäíûå. Èññëåäîâàíèå è ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè. Ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë. Ãðàäèåíò ôóíêöèè. Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ìàòðèöà Ãåññå. Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Çàäà à íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Óñëîâèÿ äîïîëíÿþùåé íñæññòêîñòè. Ïîíÿòèå î êâàäðàòè íûõ ôîðìàõ. Âûïóêëûå ôóíêöèè è ìíîæåñòâà. Îïòèìèçàöèÿ ïðè íàëè èè îãðàíè åíèé. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà, ñå ñòàöèîíàðíûå òî êè. Ìåòîä ìíîæè òåëåé Ëàãðàíæà. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî èñ èñëåíèå. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû. Êðàòíûå èíòåãðàëû è èõ èñ èñëåíèå. Ïîíÿòèå ðÿäà è ñòî ñõîäèìîñòè. Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. Çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Èíòåãðèðîâàíèå è äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ðÿäû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé. Ïîíÿòèå ðåøåíèÿ. Ïîëå íàïðàâëåíèé. Èçîêëèíû. Èíòåãðàëüíûå êðèâûå. Çàäà è Êîøè. Óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííûõ. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. Óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè è Ðèêêàòè. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà. Îäíîðîäíûå ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Õàðàêòåðèñòè åñêîå óðàâíåíèå. Óñòîé èâîñòü ðåøåíèÿ ïî Ëÿïóíîâó. 2
Íåîäíîðîäíûå ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñ ïðàâîé àñòüþ â âèäå êâàçèìíîãî ëåíà. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî è ôàçîâûé ïîðòðåò. Ïîíÿòèå óñòîé èâîñòè ðåøåíèé äèíàìè åñêîé ñèñòåìû. Óñòîé èâîñòü ðåøåíèé ïî Ëÿïóíîâó. Àñèìïòîòè åñêàÿ óñòîé èâîñòü. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà Ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè. Àëãåáðà ìíîæåñòâ è åå çàêîíû. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóë àëãåáðû ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïðàâèëà êîìáèíàòîðèêè. Ïðàâèëî ïîäñ åòà êîëè åñòâà êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ. Ïðèíöèï Äèðèõëå. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè è ñî åòàíèÿ. Áèíîì Íüþòîíà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ. Ñî åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè. Ôîðìóëà âêëþ åíèé è èñêëþ åíèé. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ è èõ ñâîéñòâà (ðåôëåêñèâíîñòü, òðàíçèòèâíîñòü, ñèììåòðè íîñòü). Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòíîøåíèå ïîðÿäêà. àñòè íûå, ñëàáûå è ëèíåéíûå ïîðÿäêè. Îòíîøåíèÿ ïðåäïî òåíèÿ è ôóíêöèè ïîëåçíîñòè. Àëãåáðà ëîãèêè. Ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè. Íîðìàëüíûå ôîðìû (Ñ)ÄÍÔ, (Ñ)ÊÍÔ, ïîëèíîì Æåãàëêèíà. Èñ èñëåíèå âûñêàçûâàíèé, ëîãèêà ïðåäèêàòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ãðàôû. Èçîìîðôèçì ãðàôîâ. Ïîäãðàôû, öåïè, öèêëû. Ñâÿçíîñòü ãðàôîâ. Êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Äâóäîëüíûå ãðàôû. Ïëàíàðíûå ãðàôû. Êðèòåðèè ïëàíàðíîñòè. Äåðåâüÿ è èõ ñâîéñòâà. Îñòîâíûå äåðåâüÿ. Îðèåíòèðîâàííûå, óïîðÿäî åííûå è áèíàðíûå äåðåâüÿ. Ðàññòîÿíèå íà ãðàôå. Äèàìåòð, ðàäèóñ è öåíòðû ãðàôà. Ýéëåðîâû è ãàìèëüòîíîâû öèêëû. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ Ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà è ñëîæíîñòè àëãîðèòìà. Òåçèñ ¼ð à. Ìàøèíà Òüþðèíãà. RAMìàøèíà. Ïðîñòûå ñòðóêòóðû äàííûõ: ìàññèâ, ñïèñîê, î åðåäü, ñòåê, äåê. Ïîñëåäîâàòåëüíûé è áèíàðíûé ïîèñê. Àëãîðèòìû ñîðòèðîâêè îäíîìåðíîãî ìàññèâà è îöåíêà ñëîæíîñòè. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ãðàôîâ. Àëãîðèòì Äåéêñòðû. Àëãîðèòì Ïðèìà. Çàäà à î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, äèñêðåòíîå è íåïðåðûâíîå. Ñëó àéíûå ñîáûòèÿ è ñëó àéíûå âåëè èíû. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íåñêîëüêèõ ñëó àéíûõ âåëè èí. Óñëîâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèé ñëó àéíûõ âåëè èí (ìàòåìàòè åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ). Ñâîéñòâà ìàòåìàòè åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. Óñëîâíîå ìàòåìàòè åñêîå îæèäàíèå. Ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíûõ ñëó àéíûõ âåëè èí (áèíîìèàëüíîå, ãåîìåòðè åñêîå, ãèïåðãåîìåòðè åñêîå, ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà). Íîðìàëüíîå è ñâÿçàííûå ñ íèì ðàñïðåäåëåíèÿ, îñíîâíûå ñâîéñòâà, 3
Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêà, Âûáîðî íîå ðàñïðåäåëåíèå è âûáîðî íûå õàðàêòåðèñòèêè (ñðåäíåå, äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè). Ñòàòèñòè åñêîå îöåíèâàíèå. Òî å íûå îöåíêè. Ëèíåéíîñòü, íåñìåùåííîñòü, ýôôåêòèâíîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíîê. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë. Ìåòîä ìîìåíòîâ è ìåòîä íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ òî å íîé îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñòàòèñòè åñêèå âûâîäû è ïðîâåðêà ñòàòèñòè åñêèõ ãèïîòåç. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Óðîâåíü äîâåðèÿ è ïðîâåðêà çíà èìîñòè. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ïàðàìåòðàõ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû Ëèíåéíàÿ àëãåáðà [1] Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ó åáíèê äëÿ âóçîâ 4-å èçä. Ì.: Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1999. [2] Êóðîø À.Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1965. [3] Ïðàñîëîâ Â.Â. Çàäà è è òåîðåìû ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1996. [4] Ïðîñêóðÿêîâ È.Â. Ñáîðíèê çàäà ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Ëàíü, 2010. Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç [5] Áåñîâ Î.Â. Êóðñ ëåêöèé ïî ìàòåìàòè åñêîìó àíàëèçó. Ó åáíîå ïîñîáèå, àñòü 1,2. Ì.: ÌÔÒÈ, 2004. [6] Äåìèäîâè Á.Ï. (ðåäàêòîð). Çàäà è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè åñêîìó àíàëèçó äëÿ âòóçîâ. Èçäàíèå 6-å, ñòåðåîòèïíîå. Ì.: Íàóêà, 1968. [7] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç. Ó åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ â 2-õ ò. Ì.: ÂØ, 1970. [8] Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà. Ó åáíèê äëÿ âóçîâ, 7-å èçäàíèå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. [9] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Îñíîâû äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ èñëåíèÿ, òò. 13. 8-å èçäàíèå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ [10] Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èçäàíèå 4-å. Ì.: Íàóêà, 1974. [11] Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáîðíèê çàäà ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ì.: Èíòåãðàë- Ïðåññ, 1998. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà 4
[12] Àëåñêåðîâ Ô.Ò., Õàáèíà Ý.Ë., Øâàðö Ä.À. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, ãðàôû è êîëëåêòèâíûå ðåøåíèÿ 2-å èçäàíèå. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2014. [13] Áåðæ Ê. Òåîðèÿ ãðàôîâ è åå ïðèìåíåíèÿ. Ì.: ÈË, 1962. [14] Âèëåíêèí Í.ß. Êîìáèíàòîðèêà. Ì.: Íàóêà, 1969. [15] Êóçíåöîâ Î.Ï. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ èíæåíåðà. ÑÏá.: Ëàíü, 2004. [16] Ìàêàðîâ È.À., Òîêìàêîâà Ë.Ð. ÓÌÊ "Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà". Èçäàòåëüñêèé äîì ÍÈÓ ÂØÝ, 2014. Òåîðèÿ àëãîðèòìîâ [17] Àëåêñååâ Â., Òàëàíîâ Â. Ãðàôû è àëãîðèòìû. Ì.: Áèíîì. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2009. [18] Êîðìåí Ò., Ëåéçåðñîí., Ðèâåñò Ð. Àëãîðèòìû: ïîñòðîåíèå è àíàëèç. Ì.: ÌÖÍ- ÌÎ, 2000. [19] Øåíü À. Ïðîãðàììèðîâàíèå: òåîðåìû è çàäà è. Ì: ÌÖÌÍÎ, 2014. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè åñêàÿ ñòàòèñòèêà [20] Áîðîâêîâ À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ó åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. 2-å èçäàíèå. Ì.: Íàóêà, 1986. [21] Áîðîâêîâ À.À. Ìàòåìàòè åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007. [22] Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 8-å èçäàíèå. Ì.: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2005. [23] Èâ åíêî Ã.È., Ìåäâåäåâ Þ.È. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè åñêóþ ñòàòèñòèêó. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ËÊÈ, 2010. [24] Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè Ì.: Ìèð, 1975. [25] Øâåäîâ À.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè åñêàÿ ñòàòèñòèêà. 2-å èçäàíèå. Ì.: ÃÓ ÂØÝ, 2005. 5