Taøi lieäu öû duïng rong lôù Phöông Trình Vi Phaân 29 GIAÙ TRÒ RIEÂNG VAØ NGHIEÄM DÖÔNG CUÛA PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN DAÏNG P-LAPLACE Tieán ó Nguyeãn Thanh Vuõ. MÔÛ ÑAÀU Trong chöông naøy chuùng oâi nghieân cöùu öï oàn aïi nhieàu nghieäm döông cuûa höông rình vi haân khoâng huaàn nhaá daïng -Lalacian vôùi ñieàu kieän bieân Dirichle: { (φ (u = λ(h(f (u+g( rong (,, (P λ u( = u( =, rong ñoù φ ( = 2, >, vaø λ>. Giaû öû nhö au: (H f laø moä haøm lieân uïc khoâng aâm reân [, +. (H2 h(τ dτ < + vaø h( > vôùi a.e (,. (H3 g laø moä haøm khoâng aâm khaû ích reân (, vaø oàn aïi h( f ( + g(. (, hoûa Trong chöông naøy, moä nghieäm u cuûa (P λ ñöôïc goïi laø döông neáu u C([, ], IR C ([, ], IR vaø φ (u C ([, ], IR hoûa (P λ,ñoànghôøiu khoâng aâm vaø khoâng ñoàng nhaá reân [, ]. Khibaøioaùn (P λ coù nghieäm u hì λ ñöôïc goïi laø giaù rò rieâng cuûa (P λ vaø u ñöôïc goïi laø haøm rieâng cuûa (P λ. Taä hôï aá caû caùc giaù rò rieâng cuûa (P λ ñöôïc kyù hieäu laø E, öùclaø E {λ> : (P λ coù nghieäm döông }. (. Keá quaû chính laø ñònh lyù au..2. Ñònh lyù. Giaû öû caùc ñieàu kieän (H-(H3 ñöôïc hoûa. Giaû öû f ( > vaø f (x khoâng giaûm reân (, +. Neáu λ E hì (,λ ] E, rongñoùe ñöôïc ñònh nghóa ôû (.. Ñeå chöùng minh ñònh lyù reân, chuùng oâi duøng caùc ñònh lyù veà ñieåm baá ñoäng vaø caùc ñònh lyù naøy ñöôïc nhaéc laïi rong ñoïan 2. 2. LYÙ THUYEÁT ÑIEÅM BAÁT ÑOÄNG Trong ñoaïn naøy chuùng oâi haù bieåu ñònh lyù veà ñieåm baá ñoäng ñoái vôùi moä oaùn öû comac. Trong ñoïan naøy coøn ñeà caä ôùi haøm loõm 2 vaø oùan öû T. 2.-Ñònh nghóa. Cho V laø moä aä môû khaùc roãng rong moä khoâng gian ñònh chuaån X. Cho T Giaù rò rieâng: eigenvalue. Haøm rieâng: eigenfuncion. 2 Loõm: concave. Thí duï: haøm y = x 2 laø haøm loõm.
2 laø moä aùnh xaï öø V vaøo X. AÙnh xaï T ñöôïc goïi laø aùnh xaï comac neáu T lieân uïc reân V vaø T ( V comac. Ñònh lyù au höôøng ñöôïc goïi laø ñònh lyù ñieåm baá ñoäng Schauder. 2.2-Ñònh lyù. Cho S laø moä aä loài khaùc roãng vaø bò chaën rong khoâng gian Banach X, T laø moä aùnh xaï comac öø S vaøo S. Khi ñoù oàn aïi ñieåm baá ñoäng cuûa T rong S. 2.3- Ñònh lyù. Xeù khoâng gian C[, ] goàm caùc haøm höïc lieân uïc reân [,] vaø ñöôïc rang bò chuaån u nhö au u u = u u( vôùi moïi u C[, ]. [,] Khi ñoù khoâng gian (C[, ],. u laø khoâng gian Banach. Ñònh lyù au laø moä röôøng hôï ñaëc bieä cuûa ñònh lyù Acoli. 2.4 Ñònh lyù Acoli. Cho X C[, ] laø khoâng gian goàm caùc haøm höïc lieân uïc reân [, ] vaø chuaån. X cuûa khoâng gian naøy laø chuaån u. Giaû öû A laø moä aä con cuûa X. Khi ñoù A laø moä aä comac rong (X,. X neáu vaø chæ neáu A bò chaën öøng ñieåm vaø ñoàng lieân uïc, nghóa laø A coù hai ính chaá au: (i Vôùi moãi x [, ], aä{u(x :u A} bò chaën rong IR. (ii Vôùi moïi oá döông ε cho röôùc, oàn aïi oá döông δ ao cho: vôùi moïi u A vaø vôùi moïi x, y [, ], neáu x y <δhì a coù u(x u(y <ε. Trong chöông naøy khoâng gian Banach X ñöôïc choïn laø khoâng gian C[, ] vôùi chuaån. rong noù laø chuaån u nhö au u = u [,] u( vôùi moïi u C[, ]. Ngoaøi ra, chuùng oâi coøn öû duïng kyù hieäu K = {y X : y laø moä haøm loõm khoâng aâm vôùi y( = y( = }, K r = {y K : y <r} vôùi moïi oá döông r. (2. Ta ñaõ kyù hieäu φ khi giôùi hieäu baøi oaùn (P λ rong ñoaïn môû ñaàu, deã haáy φ ( = /( gn( laø haøm ngöôïc cuûa φ. Töø haøm h vaø u K a eõ ñònh nghóa laàn löôï oá vaø T λ (u.ñaë ( z( = λ(h(τ f(u+g(τdτ φ φ ( λ(h(τ f(u+g(τdτ, vôùimoïi (,. Goïi laø nghieäm cuûa höông rình z( =reân (,. (2.2 Ta nhaän haáy oá ñöôïc xaùc ñònh oá vì haøm lieân uïc z hì aêng ngaë reân (, vaø z( + < <z(. Ta kyù hieäu :
(T u( := (T u( := φ ( φ λ( h(τ f (u+g(τdτ λ( h(τ f (u+g(τ dτ,,,. 3 (2.3 { (T u(, vaø (T λ u( := (2.4 (T u(. Töø ñònh nghóa cuûa T λ,vôùimoãiu K a haáy (T λ u( =(T u( =(T u( laø giaù rò lôùn nhaá cuûa T λ u reân [, ]. Hôn nöõa, a cuõng coù (φ ((T λ ( = λh(, u(f (u(, vôùia.e (,, ñieàu naøy chöùng oû moãi ñieåm baá ñoäng cuûa oaùn öû T λ rong K laø moä nghieäm cuûa baøi oaùn (P λ. Chuùng oâi eõ aù duïng ñònh lyù ñieåm baá ñoäng ñoái vôùi oaùn öû T λ. Baây giôø a kieåm vaøi ính chaá cuûa T λ. 2.5. Boå ñeà. Giaû öû caùc ñieàu kieän (H-(H3 ñöôïc hoûa vaø R laø moä oá döông baá kyø. Xeù K vaø K R nhö rong (2.. Khi ñoù (i T λ (K K. (ii Bao ñoùng cuûa T λ (K R laø moä aä comac rong K. (iii T λ : K R K laø moä oaùn öû comac. Chöùng minh (i Coi u K. Khiñoù ñöôïc xaùc ñònh nhö (2.2. Giaû öû, [,] vaø <.Ta coù (T λ u( (T λ u( = (T u( (T u( = φ λ( h(τ f (u+g(τdτ φ λ( h(τ f (u+g(τdτ = ( φ λ( h(τ f (u+g(τdτ = ( (T λ u (, ñieàu naøy uy ra T λ u hì loõm rong (,. Töông öï, T λ u hì loõm reân (,. Deã haáy T λ u hì khoâng aâm vaø (T λ u( = (T λ u( =. Doñoù, T λ u K. Vaäy T λ (K K. (ii Bôûi ñònh lyù Acoli, a chæ haûi chöùng minh T λ (K R bò chaën vaø ñoàng lieân uïc (equiconinuou laø ñuû keá luaän bao ñoùng cuûa T λ (K R laø aä comac rong K. Tröôùc heá a kieåm ính bò chaën. Giaû öû u K R. Khi ñoù, vôùi baá kyø (, hì
4 u( u R, cho neân f (u( M R vôùi M R =max{f (x : x }, vaø do ñoù φ λ( h(τ f (u+g(τdτ,, (T λ u( = ( φ λ( h(τ f (u+g(τdτ,. ( λ( h(τ M R + g(τ dτ = con, φ ñieàu naøy uy ra T λ (K R laø moä aä bò chaën. Baây giôø a chöùng minh T λ (K R hì ñoàng lieân uïc. Giaû öû, 2 [, ]. Tacoù vôùi C φ (T λ u( 2 (T λ u( = (T u( 2 (T u( 2 = φ λ( h(τ f (u(τ + g(τ dτ, 2 ( φ λ( h(τ M R + g(τ dτ, ( ( 2 φ λ( h(τ M R + g(τ dτ, = 2 C neáu 2, ( λ( h(τ M R + g(τ dτ laø moä haèng oá. Töông öï, T λ u( 2 (T λ u( 2 C 2 khi 2,rongñoùC 2 laø moä haèng oá. Neáu 2,bôûi(T u( =(T u( a uy ra T λ u( 2 (T λ u( = = (T u( 2 (T u( 2 ( = (T u( φ λ( h(τ f (u(τ + g(τ dτ (T u( + φ λ( h(τ f (u(τ + g(τ dτ φ ( λh(τ f (u(τ + g(τ dτ 2 + φ λ( h(τ f (u(τ + g(τ dτ ( φ λ( h(τ M R + g(τ dτ 2 ( + λ( h(τ M R + g(τ dτ 2 φ φ ( 2 φ = 2 C 3 ( λ( h(τ M R + g(τ dτ ( λ( h(τ M R + g(τ dτ
5 ( vôùi C 3 φ λ( h(τ M R + g(τ dτ laø moä haèng oá. Do ñoù, T λ u( 2 (T λ u( 2 C 4 vôùi moïi, 2 [, ], rongñoù C 4 max{c,c 2,C 3 } laø haèng oá khoâng huï huoäc cuõng nhö khoâng huï huoäc u. Ñieàu naøy uy ra T λ (K R hì ñoàng lieân uïc. Theo ñònh lyù Acoli hì T λ (K R laø aä comac rong K. (iii Theo ñònh nghóa, T λ : K R K laø moä oaùn öû comac neáu noù coù ính chaá (ii vaø lieân uïc. Do ñoù a chæ caàn chöùng minh öï lieân uïc cuûa T λ : K R K nhö au. Giaû öû daõy {y n } hoäi uï ôùi y rong X =(C[, ],., nghóa laø, lim max y n( y( =. Vì T λ laø moä oaùn öû comac, oàn aïi moä daõy con n {T λ y ni } i cuûa {T λ y n } n hoäi uï ôùi v X; nghóa laø, lim max (T λy ni ( v( =.Do ñoù oàn aïi moä oá döông M ao cho (T λ y ni ( M vôùi moïi [, ], i IN. Vôùi moãi i IN, a xeù oá ni nhö rong (2.2. Trong [, ], daõy{ ni } i coù moä daõy con hoäi uï ôùi [, ], a coù heå giaû öû maø khoâng maá ính oång quaù raèng daõy con naøy laø oaøn boä daõy, nghóa laø a coù lim ni =. Ta eõ chöùng minh lim (T λ y ni (T λ y =. Giaû öû. Taxeùdaõy {(T y ni (} vôùi ni (T y ni ( = λ( h(τ f (y ni (τ + g(τ dτ = φ φ ( χ [,ni ](τ λ( h(τ f (y ni (τ + g(τ dτ, rong ñoù haøm ñaëc röng χ [,ni ] ñöôïc ñònh nghóa bôûi {, neáu τ [, χ [,ni ](τ = ni ], neáu τ [, ni ] Ta vieá goïn bieåu höùc cuûa (T y ni ( nhö au (T y ni ( = φ ( (χ [, ni ]λ(hf(y ni +g(τ dτ. Vôùi moïi τ [, ] a haáy daõy {(χ [,ni ]λ(hf(y ni +g(τ} i bò chaën bôûi λ(h(τ M+g(τ, haøm naøy khoâng huï huoäc vaøo i vaø khaû ích reân [, ]. Hôn nöõa, daõy naøy hoäi uï ôùi (χ [,] λ(hf(y+g(τ. Theo ñònh lyù hoäi uï bò chaën Lebegue, vôùi moïi [,] a coù φ φ lim (χ [,ni ]λ(hf(y ni +g(τ dτ = χ [,] λ(hf(y+g(τ dτ. { ( } Do ñoù, vôùi moïi [,] daõy φ (χ [,ni ]λ(hf(y ni +g(τ dτ ( hoäi uï ôùi ( i (χ [,] λ(hf(y+g(τ dτ (. Hôn nöõa, daõy naøy bò chaën bôûi ( λ(h(τ M + g(τ dτ (, haøm naøy khoâng huï huoäc vaøo i vaø khaû ích reân
6 [,]. AÙ duïng laïi ñònh lyù hoäi uï bò chaën Lebegue a ñöôïc daõy { ( } (χ [,ni ]λ(hf(y ni +g(τ dτ hoäi uï ôùi φ φ ( (χ [,] λ(hf(y+g(τ dτ Do ñoù, lim (T y ni ( = = φ φ λ(hf(y+g(τ dτ. λ(hf(y+g(τ dτ vôùi moïi [,]. ( λ(hf(y+g(τ dτ vôùi moïi [, ]. Töông öï, lim (T y ni ( = φ Ta haáy oá hoûa ñònh nghóa (2.2 öông öùng vôùi y K. (T y ni ( ni =(T y ni ( ni,choa ñöôïc λ(hf(y+g(τ dτ = φ φ ( Thaä vaäy, vì λ(hf(y+g(τ dτ. Do ñoù, vôùi moïi [, ] daõy {(T λ y ni (} i hoäi uï ôùi (T λ y(. Hôn nöõa, daõy naøy cuõng hoäi uï ôùi v(, cho neân T λ y v vaø nhö heá hì lim T λ y ni T λ y =. Baây giôø a chöùng minh lim T λy n T λ y =. Giaû öû baèng lyù luaän haûn chöùng n raèng ñieàu naøy ai. Khi ñoù oàn aïi ε> vaø moä daõy con {T λ y nj } j ao cho T λ y nj T λ y ε vôùi moïi j IN. Tuy nhieân, nhö ñaõ chöùng minh ôû reân hì oàn aïi moä daõy con cuûa {T λ y nj } j hoäi uï ôùi T λ y. Ñieàu naøy maâu huaån vôùi ính chaá cuûa ε. Do ñoù oaùn öû T λ hì lieân uïc. Vaäy T λ : K R K laøoaùnöûcomac. 3. CHÖÙNG MINH ÑÒNH LYÙ TRONG ÑOAÏN Giaû öû u laø moä nghieäm döông cuûa höông rình (P λ vôùi λ = λ. Xeù K u = {u K : u( u (, (, }. Vôùi baá kyø u K u, λ (,λ ], deã chöùng minh raèng (T λ u( (T λ u ( (T λ u ( =u (, for [, ]. Do ñoù T (K u K u. Bôûi ñònh lyù ñieåm baá ñoäng Schauder, T λ coù moä ñieåm baá ñoäng rong K u. Deã haáy ñieåm baá ñoäng naøy laø nghieäm döông cuûa (P λ vaø do ñoù λ laø moä giaù rò rieâng cuûa (P λ. Nhö vaäy, λ E. =================================== Chuù hích veà ính chaá cuûa haøm loõm khoâng aâm huoäc aä K: Giaû öû y K.Khiñoù (i y( ( y, [, ]; (ii y( δ( δ y, [δ, δ], rong ñoù haèng oá δ laøhaèngoáuøyyùhuoäc(, 4. =========================================== TS Nguyeãn Thanh Vuõ bieân oaïn. nguyenhanhvu6@gmail.com www.nguyenhanhvu.com