CHÖÔNG VII LÔØI GIAÛI GIAÛI TÍCH CHO MOÄT SOÁ TRÖÔØNG HÔÏP 1
I. Heäoån ñònh Tröôøng hôïp lyù töôûng. Doøng chaûy taàng. So saùnh giöõa moâ hình loø troän toát vaø tröôøng hôïp doøng chaûy taàng. Quaù trình chuyeån taûi vaø khueách taùn. Moät soá öùng duïng cuûa doøng chaûy taàng cho soâng suoái. Moät soá öùng duïng cho vuøng cöûa soâng ñoái vôùi moâ hình loø trộn tốt. II. Heä khoâng oån ñònh Khi khoâng coù khueách taùn roái. Caùc moâ hình lan toûa. III.Moät soácoâng thöùc aùp duïng.
Heä oån ñònh 1.Tröôøng hôïp lyù töôûng ÔÛ ñaây chuùng ta xeùt hai daïng maãu daïng hoà doøng kín vaø hoàdoøng roái. Sô ñoà keânh hình hoäp chöõ nhaät 3
Xeùt keânh nhö laø hình hoäp chöõ nhaät (boû qua phöông y,z) phöông trình caân baèng khoái löôïng cho 1 ñôn vò coù chieàu daøi laø: C V = Win Wout ± reaction (7.1) t (boûqua söï laéng ñoïng) C V = JinAc JoutAc ± reaction (7.) t V : theåtích ñôn vò A c = B.H [L ] B: chieàu roäng [L] H: chieàu saâu [L] J in,i out : doøng khoái löôïng vaøo vaø ra [ML /T] 4
Doøng chaûy taàng (PFR: Plud-flow reactor) Moâ taûraèng trong ñoaïn keânh chæxaûy ra söï ñôn chuyeån (chuyeån taûi) Doøng vaøo: J in =.C (7.3) : vaän toác doøng chaûy : [LT -1 ] = Q / A c Doøng ra: C J out =C+. x x C J out =C+ x x (7.4) (7.5) Phaûn öùng (baäc I) Reaction= k VC (7.6) 5
Thay caùc giaùtrò vaøo phöông trình (7.) C C V = AC c AcC+ x k VC t x C = Ac x k VC(7) x Ta coù V=A c. x,khi x thì C Cvaø khi ñoù ta coù C C =- kc t x Khi ôû traïng thaùi caân baèng C dc = = kc t dx (7.7) (7.8) (7.9) 6
Vôùi ñieàu kieän bieân x =, C = C Ta seõ coù nghieäm C Ce k x = (7.1) 7
So saùnh giöõa moâ hình loø troän toát (CSTR: continuously stirred tank reactor) vaø tröôøng hôïp doøng chaûy taàng (PFR) Moâ hình CSTR : Q C = Cin Q + kv C Q β = = C Q+ kv in 1 β = 1 + kτ Thôøi gian löu nöôùc 11 τ. W k W β (7.11) β = (7.1) 8
Moâ hình loødoøng kín C β = = e C τ = w in x k x kτ 1 1 w β = e τw = ln k β τ > τ wcsrt ( ) w( PFR) (7.13) Thôøi gian löu nöôùc cuûa moâ hình loøtroän toát lôùn hôn moâ hình doøng chaûy taàng 9
Loø doøng ôûñaây xaûy ra quaùtrình ñôn chuyeån (advection) vaø söïphaân taùn (diffusion) Doøng ñi vaøo C Jin = C E x (vôùi E laøheä soá roái khueách taùn. ) (7.14) Doøng ñi ra (phaân tích baèng chuoãi Taylor baäc I) C C C Jout = C+ x E + x x x x x Thay vaøo phöông trình (7.) ta coù C C C V = AC c AcC + x EAc + t x x C C + EAc + x k VC x x x (7.15) (7.16) 1
Vì V=A c. x, khi x thì C Cvaøkhi ñoù C C C = + E kc t x x Tröôøng hôïp oån ñònh: = (7.17) C t = dc d C E kc dx + dx (7.18) Giaûi heä phöông trình (7.18) baèng nhieàu phöông trình khaùc nhau. Phöông phaùp ñôn giaûn laø tìm nghieäm döôùi daïng C = e λ x 11
Phöông trình ñaëc tröng cuûa pt (7.18) Eλ λ K = (7.19) Giaûi heä phöông trình 4KE λ1, λ = 1± 1+ = E E 1± 1+ 4 KE η = Nghieäm seõ laø: λ x C Fe Ge ( η ) = 1 + (7.) F,G laøhaèng soá tích phaân. Caùc haèng soá seõ ñöôïc tìm töø ñieàu kieän bieân. λ x 1
C Ñieàu kieän bieân taïi x =L: x Ñieàu kieän bieân taïi x =: Töøphöông trình (7.14) ta coù C uc in = uc E x= x Töø(7.) vaø(7.1) ta coù λ λ L λ L x= Fe 1 + λ Ge = 1 L = (7.1) (7.) Taïi x = L (7.3) Taïi x = uc = uf ( + G) E( λf + λ G) in 1 ( u Eλ ) F + ( u Eλ ) G = uc (7.4) 1 in 13
Giaûi phöông trình (7.3) vaø(7.4) tìm ñöôïc F vaø G F = uc λ e λl in λ L λ λ 1 1 ( u Eλ ) λ e ( u E ) e 1 uc λe λ1l in 1 λ L λ λ 1 1 G = ( u E λ ) λ e ( u E ) e λ L λ L 1 (7.5) (7.6) Caùc haèng soá naøy cuøng vôùi phöông trình (7.) cho pheùp chuùng ta tính ñöôïc noàng ñoä doïc keânh trong tröôøng hôïp oån ñònh Hai ñieàu kieän bieân treân ñöôïc goïi laø ñieàu kieän Dancwerts 14
SoáPeclet vaø Damkohler: Phöông trình (7.18) vieát laïi: = dc d C E kc dx + dx Ta ñöa ra caùc ñaïi löôïng khoâng thöùnguyeân cuûa khoaûng caùch vaønoàng ñoä: x x* = L C C* = C in 15
Thay vaøo phöông trình treân ta ñöôïc dc * E d C * = + kc * dx* L dx * Chia hai veá cho /L ta ñöôïc: dc * E d C * kl C = + * dx* L dx* C dc * 1 d C * = + DC* a (7.7) dx* P dx * e 16
Vôùi 17
Moät soá öùng duïng cuûa doøng chaûy taàng (PFR) cho soâng suoái 1. Nguoàn ñieåm Sô ñoà nguoàn ñieåm Sô ñoà caân baèng khoái löôïng cuûa nguoàn ñieåm vôùi doøng phaân taàng 18
Ñieàu kieän noàng ñoä C trong moâ hình PFR Cho nguoàn ñieåm taïi x=, muïc tieâu: xaùc ñònh C. _Phöông trình caân baèng löu löôïng: Q = Q W +Q r _Phöông trình caân baèng khoái löôïng: QC = Q W C w +Q r C r Q + Q C = Q C +Q C ( ) r W W w r r C = C = Q C +Q C Q + Q W w r r W r W+QrC Q Q r r W + (7.8) 19
Thay giaùtrò C vaøo coâng thöùc tính noàng ñoä trong tröôøng hôïp PFR C Ce = k x Ta seõ tính ñöôïc phaân boá noàng ñoä C Neáu Qr Qw? vaø C C r w C = thì: W = (7.9) Q
. Nguoàn phaân boá Sô ñoà nguoàn phaân phoái Töø phöông trình caân baèng khoái löôïng trong tröôøng hôïp oån ñònh, ta coù: dc = V kc + Sd dx Taïi x =, C = C thì nghieäm k x S d 1 C = Ce + e k k x (7.3) (7.31) 1
Moät soá öùng duïng cho vuøng cöûa soâng ñoái vôùi moâ hình MFR (Mix-flow reactor) Moâ hình phaân taùn roái laø moâ hình cô sôû cuûa vuøng cöûa soâng moät chieàu 1. Nguoàn ñieåm Nguoàn ñieåm vôùi heä roái Xeùt nguoàn ñieåm vaøo keânh coù caùc ñaëc tính coá ñònh
Baøi toaùn ñaët ra laøxaùc ñònh noàng ñoä ban ñaàu laø bao nhieâu (vôùi nguoàn ñieåm cho taïi x = ) Vieát laïi trong tröôøng hôïp moâ hình khueách taùn (MFR) Vôùi λ x C Fe Ge λ = 1 + (7.3) λ x ( η ) 1 λ = E ± + 1 1 4 (7.33) Caùc haèng soá tính tích phaân coù theå tính töø ñieàu kieän bieân C = khi x - C = khi x λ Ta chöùng minh ñöôïc 1 C = Ce C 1 = Ce x λ x (7.34) (7.35) vôùi x x > 3
Söû duïng phöông trình caân baèng khoái löôïng taïi ñieåm x = dc1 dc W + AC1 EA AC + EA = (7.36) x= x= dx dx x= x= Thay (7.34) vaø (7.35) taïi x= vaøo (7.36) W + AC EAλC AC + EAλ C = Khi E 1 C W = Q 1 1+ 4η W 1 (1+ 1+ 4 η) x E C = e x (7.37) (7.38) Q 1+ 4η W 1 (1 1+ 4 η) x E C = e x (7.39) Q 1+ 4η moâ hình MFR trôû thaønh PFR 4
. Nguoàn phaân phoái 5
Lôøi giaûi töông ñoái phöùc taïp vaø ñöôïc Thomann vaø Mueller (1987) ñöa ra nghieäm: Sd C= e e x k 14 + η 14 + η 1 (1+ 14) + η a (1 14) + η x *1 E * E (7.4) Sd 14 + η 1 (1+ 14)( + η xa ) 14 + η+ 1 (1 14) + η x E E C= 1 e * e x a(7.41) k 14 + η 14 + η Sd 14 + η+ 1 (1+ 14) + η a (1 14)( + η xa ) *1 E * E C= e e k 14 + η x < a(7.4) Nghieäm treân truøng vôùi nghieäm trong tröôøng hôïp doøng kín khi E beù. 6
Heäkhoâng oån ñònh 1. Ñoái vôùi heäkín (E = ) C t C = kc x (7.43) Vôùi ñieàu kieän ban ñaàu t =, C = C, x = C Ce kt x = khi t = C = trong caùc tröôøng hôïp khaùc (7.44) Hay C = Ce C = k x khi x = t trong caùc tröôøng hôïp khaùc (7.45) 7
. Caùc moâ hình lan toûa.1 Söï lan toaû giaùn ñoaïn: Söïtaûi naïp xaûy ra trong 1 thôøi gian raát ngaén (víduïtraøn daàu) * Neáu chæcoù söïphaân taùn(k =, = ) C C = E (7.46) t x (phöông trình treân coi nhö laøñònh luaät cuûa Fick) Cxt (,) x m P 4Et = e (7.47) π Et m p : toång khoái löôïng treâm 1 dieän tích maët caét ngang cuûa phaân phoái chuaån [ML - ] Ñoä leäch chuaån σ = Et 8
* Neáu chæcoù söïkhueách taùn vaøchuyeån taûi C C C = + E t x x (7.48) Nghieäm seõ laø Cxt (,) = ( x t) m p 4 Et π Et e (7.49) 9
* Khueách taùn, chuyeån taûi vaøphaân huûy C C C = + E KC t x x (7.5) Nghieäm seõ laøvôùi ñieàu kieän x = cho noàng ñoä hay taûi löôïng Cxt (,) = ( x t) m p 4Et πet e Kt (7.51) 3
. Söï lan toaû lieân tuïc (Continuous spilts): nghóa laø söï taûi naïp xaûy ra vaøgiöõ nguyeân trong 1 ñoaïn thôøi gian (voâ haïn hay höõu haïn) * Neáu thôøi gian voâ haïn Nghieäm trong tröôøng hôïp naøy (vôùi ñieàu kieän caùc heä soálaø const) x x C (1 Γ ) (1 ) E x tγ +Γ x t E + Γ Cxt (,) = e erfc e erfc + Et Et (O Loughlin and Bowmer 1975) (7.5) KE Γ= 1+ 4 η; n = β : ñoäleäch maãu erfc = 1- erf erf : haøm sai β erf( b) = e df π b 31
* Neáu thôøi gian höõu haïn x C (1 ) Γ x tγ x t ( τ) Γ E Cxt (,) = e erfc erfc + + Et Et ( τ) x (1 +Γ) x+ tγ x+ t ( τ) Γ E + e erfc erfc (7.53) Et Et ( τ) 3
Moät soácoâng thöùc aùp duïng Noàng ñoä trung bình C = n 1 i= ( C + C )( t t ) i i+ 1 i+ 1 i ( t t ) Khoái löôïng M Q C( t t ) Thôøi gian toàn taïi t = n 1 i= n 1 n * n (7.54) = (7.55) ( Ct + C t )( t t ) i= i i i+ 1 i+ 1 i+ 1 i ( C + C )( t t ) i i+ 1 i+ 1 i (7.56) 33
Ñoäleäch thôøi gian S n 1 i= t n 1 ( Ct )( ) i + Ci+ 1ti+ 1 ti+ 1 ti = C + C t t i= Toác ñoätrung bình ( )( ) i i+ 1 i+ 1 i E = x x = 1 t t 1 ( ) t t S S 1 ( ) t t 1 t (7.57) (7.58) (7.59) 34
Toác ñoä phaân huyûbaäc 1: K = 1 ( t ) t1 ln M M 1 (7.6) Trong tröôøng hôïp ñöa phöông trình lan truyeàn khoâng oån ñònh veàdaïng khoâng thöùnguyeân: C C C = + E KC t x x (7.61) 35
Ñaët caùc soákhoâng thöù nguyeân C C* = C kx x* = t* = kt Thay vaøo phöông trình (7.61) C* C* C* = + µ t* x* x* C * 36
Neáu : η = KE : soá muõ η? 1 : quaù trình phaân taùn laø chuûyeáu η > 1 η 1 : phaân taùn + chuyeån taûi.1< η < 1 η = 1 : chuû yeáu laø chuyeån taûi. η <.1 37