Chương 11: Mômen động lượng Chủ đề trung tâm của chương này là mômen động lượng, là đạ lượng đóng va trò quan trọng trong động lực học chuyển động quay. Tương tự như nguyên lý bảo toàn động lượng, ta cũng có nguyên lý bảo toàn mômen động lượng. Mômen động lượng của một hệ cô lập là không đổ. Đố vớ mômen động lượng, một hệ cô lập là một hệ không có các mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ. Nếu có mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ thì hệ đó không cô lập. Gống như định luật bảo toàn động lượng, định luật bảo toàn mômen động lượng là một định luật cơ bản của vật lý, nó cũng có gá trị đố vớ các hệ tương đố và lượng tử. Tích vectơ và mômen lực Đều quan trọng kh xác định mômen động lượng là nhân 2 vectơ bằng toán tử tích có hướng. Xét lực F tác dụng lên chất đểm tạ vị trí vectơ r (hình 11.1). Như đã bết trong mục 10.6, độ lớn của mômen lực của lực này đố vớ một trục quay đ qua gốc là rf sn φ, trong đó φ là góc gữa các vectơ r và F. Trục mà lực F có xu hướng tạo ra chuyển động quay quanh nó là trục vuông góc vớ mặt phẳng tạo bở các vectơ r và F. Vectơ mômen lực τ được lên kết vớ các vectơ r và F. Ta có thể thết lập một mố lên hệ toán học gữa τ, r và F bở một toán tử được gọ là tích vectơ: τ = r F (11.1) Bây gờ ta đưa ra một định nghĩa chính thức của tích vectơ. Cho trước ha vectơ A và B bất kì, tích vectơ A B được định nghĩa như là vectơ thứ ba C có độ lớn bằng AB sn θ, trong đó θ là góc gữa ha vectơ A và B. Tức là nếu C được cho bở C = A B thì độ lớn của nó là C = AB sn θ. C A B (11.2) C ABsn (11.3) Hình 11.1: Vectơ mômen lực τ hướng vuông góc vớ mặt phẳng tạo bở vectơ vị trí r và vectơ lực tác dụng F. Trên hình vẽ này, r và F nằm trong mặt phẳng xy, nên mômen lực dọc theo trục z. Đạ lượng AB sn θ bằng dện tích của hình bình hành tạo bở ha vectơ A và B như chỉ ra trên hình 11.2. Hướng của vectơ C vuông góc vớ mặt phẳng tạo bở ha vectơ A và B, và 1
để xác định hướng này có thể dùng quy tắc bàn tay phả được mnh họa trên hình 11.2. Bốn ngón tay của bàn tay phả được chỉ theo chều vectơ A, sau đó được nắm theo hướng quay từ A đến B qua góc θ. Hướng ngón tay cá chỉ lên là hướng của A B = C. Phép nhân vectơ A B thường được gọ là tích chéo. Một số tính chất của phép nhân có hướng rút ra từ định nghĩa: 1. A B = B A 2. A A = 0 3. Nếu A vuông góc B thì A B = AB. 4. A (B + C )=A B + A C 5. d (A B ) = da db Tích chéo của ha vectơ A và B bất kì có thể được bểu dễn theo dạng định thức sau: A B = B + A A x B x j A y B y k A z = B z A y B y (11.4) (11.5) (11.6) A z B z A x B x Kha trển các định thức này được kết quả sau: A B A B A B ˆ A B A B A z B z j + A x B x ˆj A B A B zˆ y z z y A y B y k Nắm được định nghĩa tích vectơ, ta có thể xác định hướng của vectơ mômen lực. Nếu lực nằm trong mặt phẳng xy như trên hình 11.1, mômen lực τ được bểu dễn bằng một vectơ song song vớ trục z. Lực trên hình 11.1 tạo ra một mômen có xu hướng làm quay vật ngược chều km đồng hồ xung quanh trục z. Hướng của τ theo hướng dương của trục z. Mô hình phân tích : Hệ không cô lập (mômen động lượng) z x Hình dung một cá cột được dựng lên trên một hồ nước đóng băng (hình 11.3). Một ngườ trượt băng trượt nhanh về phía cá cột, theo hướng hơ lệch sang bên để không va vào cá cột. Kh cô ta trượt ngang qua cá cột, cô ta chìa tay ra bên hông và túm lấy cá cột. Hành động này làm cho cô ta chuyển động tròn xung quanh cá cột. Gống như ý tưởng về động lượng gúp ta phân tích chuyển động tịnh tến, một sự tương tự trong chuyển động quay, mômen x z Hình 11.2: Tích vectơ A B là vectơ C có độ lớn bằng AB sn θ, bằng dện tích của hình bình hành trong hình vẽ. x y y x (11.8) 2
động lượng, gúp ta phân tích chuyển động của vận động vên trượt băng này và các vật khác trong chuyển động tròn. Trong chương 9 ta đã trình bày dạng toán học của động lượng và sau đó đã chỉ ra đạ lượng này có gá trị như thế nào trong vệc gả bà toán. Ta sẽ theo các thủ tục tương tự đố vớ mômen động lượng. Xét một chất đểm khố lượng m có bán kính vectơ r, chuyển động vớ động lượng p như trên hình 11.4. Kh mô tả chuyển động tịnh tến, ta thấy rằng hợp lực tác dụng lên chất đểm bằng tốc độ thay đổ theo thờ gan của động lượng của chất đểm, F = dp (xem phương trình 9.3). Nhân có hướng các vế của phương trình 9.3 vớ r, vế trá sẽ cho mômen lực: r F = τ = r dp Tếp theo cộng vào vế phả số hạng (dr ) P, là số hạng bằng 0, vì dr = v, mà v //p. Do đó: τ = r dp + dr p Vế phả của phương trình này là đạo hàm của r p, xem phương trình (11.6). Do đó: d (r p ) τ = Phương trình này có dạng tương tự phương trình 9.3. Vì trong chuyển động quay mômen lực đóng va trò gống như va trò của lực trong chuyển động tịnh tến, kết quả này gợ ý rằng tổ hợp r p trong chuyển động quay đóng va trò như va trò của p trong chuyển động tịnh tến. Ta gọ tổ hợp này là mômen động lượng của chất đểm: Mômen động lượng tức thờ L của một chất đểm đố vớ một trục quay đ qua gốc O được xác định bở tích có hướng của véc tơ vị trí tức thờ của chất đểm và động lượng tức thờ p của nó: r (11.9) L r p (11.10) Hình 11.3: Kh ngườ trượt băng trượt ngang qua cá cột, cô ta chìa tay chụp lấy cá cột. Động tác này làm cho cô ta quay nhanh quanh cá cột theo vòng tròn. Hình 11.4: Mômen động lượng L của chất đểm là một véctơ cho bở L r p Bây gờ ta có thể vết (11.9) như sau: 3
Có dạng gống như định luật 2 Newton của chuyển động thẳng, F = d. Mômen lực làm cho mômen động lượng thay đổ gống như lực làm cho động lượng thay đổ. Chú ý rằng (11.11) đúng chỉ nếu τ và L được đo vớ cùng một trục. Công thức này cũng đúng đố vớ trục quay cố định bất kì trong một hệ quy chếu quán tính. Đơn vị trong hệ SI của mômen động lượng là kg.m 2 /s. Cũng chú ý là cả độ lớn và hướng của L phụ thuộc vào vệc chọn trục. Theo quy tắc bàn tay phả, ta thấy hướng của L vuông góc vớ mặt phẳng tạo bở và. Trên hình 11.4, r và L hướng theo trục z. Vì r p mv p, độ lớn của L là: p nằm trong mặt phẳng xy, do đó Trong đó là góc gữa và //. Nó cách khác, kh vận tốc tịnh tến của chất đểm hướng dọc theo đường thẳng đ qua trục quay, chất đểm có mômen động lượng bằng không so vớ trục. Mặt khác, nếu r vuông góc p, thì L mvr. Kh đó, chất đểm chuyển động như trường hợp nó nằm trên mép của bánh xe đang quay quanh trục trong mặt phẳng tạo bở r và p. r τ = d L p và L=0 kh Mômen động lượng của hệ chất đểm Dùng các kỹ thuật như trong mục 9.7, ta có thể chỉ ra rằng định luật 2 Newton đố vớ hệ chất đểm là: r p dp Fext Phương trình này cho thấy tổng ngoạ lực tác dụng lên hệ chất đểm thì bằng tốc độ bến thên theo thờ gan của động lượng toàn phần của hệ. Ta hãy xem một phát bểu tương tự như vậy có thể được thực hện đố vớ chuyển động quay hay không. Mômen động lượng toàn phần của hệ chất đểm đố vớ một trục quay nào đó được xác định bằng tổng véctơ mômen động lượng của từng chất đểm rêng bệt: Ltot L1 L2 L3... Ln L trong đó tổng vectơ được lấy trên toàn bộ n chất đểm của hệ. Lấy đạo hàm bểu thức này theo thờ gan ta có: dltot dl tot Ở đây ta đã dùng phương trình 11.11 để thay thế tốc độ bến thên theo thờ gan của mômen động lượng của mỗ chất đểm vớ mômen lực tác dụng lên mỗ chất đểm. p (11.11) L mvrsn (11.12) 4
Các mômen lực tác dụng lên các chất đểm của hệ là các mômen lực lên kết vớ các nộ lực gữa các chất đểm và các mômen lực lên kết vớ các ngoạ lực. Tuy nhên, các mômen lực lên kết vớ các nộ lực gữa các chất đểm thì bằng không. Nhắc lạ rằng theo định luật 3 Newton thì các nộ lực gữa các chất đểm bằng nhau về độ lớn nhưng ngược hướng. Nếu ta gả sử các lực này nằm trên đường thẳng nố từng cặp chất đểm, mômen lực tổng cộng xung quanh trục quay bất kì đ qua gốc O do mỗ cặp lực-phản lực gây ra bằng không (tức là cánh tay đòn từ O tớ gá của các lực thì bằng nhau đố vớ cả 2 chất đểm, và các lực ngược hướng nhau). Do đó, tổng các mômen nộ lực bằng không. Ta kết luận rằng mômen động lượng toàn phần của một hệ bến thên theo thờ gan chỉ kh có mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ: dl tot ext (11.13) Mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ bằng tốc độ bến thên theo thờ gan của mômen động lượng toàn phần của hệ đó. dptot Phương trình này trong chuyển động quay tương tự vớ phương trình Fext đố vớ hệ chất đểm. Phương trình 11.13 là bểu dễn toán học của sự dễn tả mô hình hệ không cô lập mômen động lượng. Nếu hệ không cô lập theo nghĩa có mômen lực tác dụng lên nó, thì mômen lực bằng tốc độ bến thên theo thờ gan của mômen động lượng. Mặc dù ta không chứng mnh ở đây, nhưng phát bểu này là đúng bất kể chuyển động của khố tâm. Nó có thể áp dụng ngay cả kh khố tâm đang ga tốc, mễn là mômen lực và mômen động lượng được đánh gá so vớ một trục quay đ qua khố tâm. Sắp xếp lạ phương trình 11.13 và lấy tích phân ta được ext Ltot Phương trình này trong chuyển động quay tương tự vớ phương trình của định lí xung lực-động lượng của hệ chất đểm (9.40). Phương trình này bểu dễn định lí xung lượng của mômen lực- mômen động lượng. Mômen động lượng của vật rắn quay Trong ví dụ 11.4, ta đã khảo sát mômen động lượng của một hệ có thể bến dạng. Bây gờ ta sẽ tập trung sự chú ý vào hệ không bến dạng, gọ là vật rắn. Xét vật rắn quay quanh một trục cố định trùng vớ trục z của hệ tọa độ như chỉ ra trên hình 11.7. Ta hãy xác định mômen động lượng của vật này. Mỗ chất đểm của vật này quay trong một mặt phẳng xy quanh trục z vớ tần số góc. Độ lớn của mômen động lượng của chất đểm khố lượng m quanh trục z là mvr. Do v r Hình 11.7: Kh vật rắn quay quanh trục, mômen động lượng L cùng hướng vớ vectơ vận tốc góc, theo mố lên hệ L I 5
(phương trình 10.10), ta có thể bểu dễn độ lớn của mômen động lượng của chất đểm này bằng: Vectơ L 2 L m r đố vớ chất đểm này hướng dọc theo trục z, gống như véctơ. Bây gờ ta có thể tìm mômen động lượng (trong trường hợp này chỉ có 1 thành phần z) của toàn bộ vật bằng cách lấy tổng L trên toàn bộ các chất đểm: trong đó 2 mr L z L 2 2 m r m r là mômen quán tính I của vật rắn đố vớ trục z (phương trình 10.15). Bây gờ ta lấy đạo hàm phương trình 11.14 theo thờ gan, chú ý I là hằng số đố vớ vật rắn: Trong đó là ga tốc góc so vớ trục quay. Vì như sau: dl z dl z bằng mômen ngoạ lực (phương trình 11.13), ta có thể vết phương trình11.15 Đây là định luật 2 Newton đố vớ chuyển động quay. Tức là, mômen ngoạ lực tác dụng lên vật rắn quay quanh một trục cố định thì bằng mômen quán tính đố vớ trục quay đó nhân vớ ga tốc góc đố vớ trục đó. Kết quả này gống như phương trình10.21, thu được bằng cách tếp cận lực, nhưng ta thu được phương trình11.16 bằng cách dùng khá nệm mômen động lượng. Như đã thấy trong mục 10.7, phương trình 11.16 là bểu dễn toán học của mô hình phân tích vật rắn chịu tác dụng của một mômen lực. Phương trình này cũng đúng cho vật rắn quay quanh một trục chuyển động, vớ đều kện là trục chuyển động này (1) đ qua khố tâm và (2) là một trục đố xứng. Nếu một vật thể đố xứng quay quanh một trục cố định đ qua khố tâm của nó, bạn có thể vết phương trình11.14 theo dạng véctơ L I, trong đó L là mômen động lượng toàn phần của vật rắn được tính so vớ trục quay. Hơn nữa, bểu thức này đúng cho vật bất kì, bất kể tính đố xứng của nó, nếu L ứng vớ thành phần mômen động lượng dọc theo trục quay. L z I (11.14) d I I (11.15) ext I (11.16) 6
Mô hình phân tích: hệ cô lập (mômen động lượng) Trong chương 9 ta đã thấy rằng động lượng toàn phần của một hệ chất đểm là không đổ nếu hệ cô lập, tức là kh ngoạ lực tác dụng lên hệ bằng không. Trong chuyển động quay, ta cũng có một định luật bảo toàn tương tự: Mômen động lượng toàn phần của một hệ không đổ cả độ lớn và hướng (bảo toàn) nếu tổng mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ bằng không, hoặc hệ cô lập. Phát bểu này thường được gọ là nguyên lý bảo toàn mômen động lượng và là cơ sở cho cách dễn tả mômen động lượng của mô hình hệ cô lập. thì Nguyên lý này được dẫn ra trực tếp từ phương trình11.13, trong đó chỉ ra rằng nếu dl tot ext 0 (11.17) Đố vớ hệ cô lập gồm một số chất đểm, ta vết định luật bảo toàn này là L L const, trong đó chỉ số n bểu thị chất đểm thứ n trong hệ. tot n Nếu một hệ cô lập đang quay, có thể bến dạng sao cho khố lượng của nó bị phân bố lạ theo một cách nào đó, thì mômen quán tính của hệ thay đổ. Vì độ lớn mômen động lượng của hệ là L I (phương trình 11.14). Sự bảo toàn mômen động lượng đò hỏ tích của I và là hằng số. Do đó mỗ sự thay đổ của I đò hỏ có một sự thay đổ của. Trong trường hợp này ta có thể bểu dễn nguyên lý bảo toàn mômen động lượng như sau: L const hay L L f (11.18) L Lf f const (11.19) Bểu thức này đúng cho cả chuyển động quay quanh trục cố định và chuyển động quay quanh trục đ qua khố tâm của hệ chuyển động, mễn là trục đó được gữ cố định theo một hướng. Ta chỉ cần mômen ngoạ lực bằng không. Nhều ví dụ chứng tỏ sự bảo toàn mômen động lượng của hệ bến dạng. Bạn có thể đã từng quan sát động tác quay của một ngườ trượt băng ở phần cuố của chương trình bểu dễn (Hình 11.10). Tốc độ góc của ngườ trượt băng lớn kh tay và chân của anh ta gần ngườ của anh ta. Bỏ qua ma sát gữa ngườ và băng, kh đó không có mômen ngoạ lực tác dụng lên ngườ trượt băng. Mômen quán tính của ngườ tăng kh tay và chân anh ta duỗ ra kh kết thúc động tác quay. Theo nguyên lý bảo toàn mômen động lượng, tốc độ góc của anh ta sẽ gảm. Tương tự, kh thợ lặn hoặc ngườ nhào lộn muốn thực hện động tác nhào lộn, họ thu tay và chân sát thân mình để tăng tốc độ quay. Trong các trường hợp này, ngoạ lực do trọng lực tác dụng lên khố tâm, do đó không gây ra mômen lực đố vớ trục quay đ qua đểm này. Cho nên, mômen động lượng đố vớ khố tâm được bảo toàn, tức là I I f f. Ví dụ kh ngườ thợ lặn muốn tăng gấp đô tốc độ góc, anh ta phả gảm mômen quán tính xuống một nửa gá trị ban đầu. 7
Trong phương trình 11.18, ta có một cách dễn tả thứ 3 về mô hình hệ cô lập. Bây gờ ta có thể phát bểu rằng năng lượng, động lượng, và mômen động lượng của một hệ cô lập đều không đổ. E E (nếu không có năng lượng truyền qua bên gớ của hệ) f f P P (nếu ngoạ lực tác dụng lên hệ bằng không) L Hình 11.10: Mômen động lượng được bảo toàn kh vận động vên Evgen Plushenko ngườ Nga gành huy chương vàng thực hện trong Olympc Mùa đông ở Turn năm 2006. L (nếu mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ bằng không) f Một hệ có thể là cô lập nếu xét theo một trong các đạ lượng này, nhưng không cô lập nếu xét theo các đạ lượng khác. Nếu hệ không cô lập xét về mặt động lượng hoặc mômen động lượng, nó thường sẽ không cô lập dướ dạng năng lượng vì có một lực hoặc mômen lực tác dụng lên hệ, và lực hoặc mômen lực này sẽ thực hện công lên hệ. Tuy nhên ta có thấy các hệ không cô lập xét về mặt năng lượng nhưng cô lập xét về mặt động lượng. Ví dụ, tưởng tượng bóp vào quả bóng (xem như hệ) trong tay bạn. Công được thực hện để nén quả bóng cho nên hệ không cô lập về năng lượng, nhưng không có lực nào tác dụng lên hệ, cho nên hệ cô lập về động lượng. Có thể phát bểu tương tự đố vớ vệc xoắn ha đầu một mẫu km loạ dà, dễ co gãn bằng cách dùng ha tay. Công được thực hện lên mẫu km loạ (hệ), cho nên năng lượng được tích trữ trong hệ không cô lập dướ dạng thế năng đàn hồ, nhưng mômen lực tác dụng lên hệ bằng không. Do đó hệ cô lập xét về mặt mômen động lượng. Một số ví dụ khác là va chạm của các vật lớn, trong đó thể hện các hệ cô lập về động lượng nhưng các 8
hệ không cô lập về năng lượng do năng lượng của hệ được gả phóng ra dướ dạng các sóng cơ (âm thanh). Chuyển động hồ chuyển và các con cù Một kểu chuyển động khác lạ và hấp dẫn có thể bạn đã bết là con cù quay quanh trục đố xứng của nó như trên hình 11.13a. Nếu con cù quay nhanh, trục đố xứng của nó quay quanh trục z, vẽ ra một hình nón, (Hình 11.13b). Chuyển động của trục đố xứng xung quanh trục thẳng đứng, được bết tớ như là chuyển động tến động, thường là chậm so vớ chuyển động quay của con cù. Hình 11.13. Chuyển động tến động của con cù quay quanh trục đố xứng của nó. a) Các ngoạ lực tác dụng lên con cù chỉ là phản lực pháp tuyến n và trọng lực Mg. Hướng của mômen động lượng L dọc theo trục đố xứng. b) Vì Lf L L nên con cù tến động quanh trục z. Câu hỏ nảy snh một cách tự nhên ở đây là tạ sao con cù không bị đổ xuống. Vì khố tâm của nó không ở ngay trên đểm trụ O, nên có một mômen lực tác dụng lên con cù đố vớ trục quay đ qua O, mômen lực này gây bở trọng lực Mg. Con cù sẽ đổ xuống nếu như nó không quay. Tuy nhên vì nó quay, nên nó có một mômen động lượng L hướng dọc theo trục đố xứng của nó. Ta sẽ chỉ ra rằng trục đố xứng này chuyển động xung quanh trục z (xảy ra chuyển động tến động) vì mômen lực làm cho hướng của trục đố xứng thay đổ. Sự mnh họa này là một ví dụ tuyệt vờ về tầm quan trọng của bản chất véctơ của mômen động lượng. 9
L ext Bểu thức này chỉ ra rằng trong khoảng thờ gan vô cùng nhỏ, mômen lực gây ra một độ bến thên mômen động lượng dl, cùng hướng vớ. Do đó, gống như véctơ mômen lực, dl cũng phả vuông góc vớ L. Hình 11.14c mnh họa chuyển động tến động của trục đố xứng của con quay. Trong khoảng thờ gan, độ bến thên mômen động lượng là dl L L. Vì dl vuông góc vớ L, nên độ lớn của L không thay đổ,. Hơn f nữa, sự thay đổ chỉ là hướng của L. Vì sự thay đổ mômen động lượng dl là theo hướng của, nằm trong mặt phẳng xy, nên con quay hồ chuyển chịu chuyển động tến động. d tot L f L Hình 11.14. a) Một con quay hồ chuyển được đặt trên một cá trụ ở đầu mút bên phả. b) Gản đồ đố vớ con quay chỉ ra các lực, mômen lực và mômen động lượng. c) Nhìn từ trên xuống (dọc theo trục z) các vectơ mômen động lượng của con quay tạ thờ đểm đầu và cuố của khoảng thờ gan rất ngắn. Để đơn gản hóa sự mô tả hệ, gả sử mômen động lượng toàn phần của bánh xe tến động là tổng của mômen động lượng I do quay và mômen động lượng do chuyển động của khố tâm so vớ trục đứng. Trong cách xử lý này, ta bỏ qua phần đóng góp của chuyển động của khố tâm và lấy mômen động lượng toàn phần chỉ là I. Trong thực hành, sự xấp xỉ này là tốt kh lớn. Gản đồ véctơ trên hình 11.14c cho thấy rằng trong khoảng thờ gan, véctơ mômen động lượng quay được một góc d, cũng là góc mà con quay hồ chuyển quay được. Từ tam gác véctơ tạo bở L, L, dl ta thấy rằng: f dl d ext d L L Mgr L CM 10
Cha cả 2 vế cho và dùng công thức L I ta thấy rằng tốc độ trục xe quay đố vớ trục thẳng đứng là: Tần số góc gọ là tần số tến động. Kết quả này chỉ đúng kh. Nếu không, sẽ lên quan đến một chuyển động phức tạp hơn nhều. Như bạn có thể thấy từ phương trình 11.20, đều kện P thỏa mãn kh rất lớn, tức là kh bánh xe quay rất nhanh. Hơn nữa, chú ý rằng tần số tến động suy gảm kh tăng, tức là kh bánh xe quay càng nhanh quanh trục đố xứng của nó. P d Mgr CM P (11.20) I P Một ví dụ về con quay hồ chuyển, gả sử bạn đang ở trên một con tàu vũ trụ trong không gan xa xô, và bạn cần thay đổ quỹ đạo của tàu. Để lá động cơ chạy đúng hướng, bạn cần phả xoay tàu vũ trụ. Tuy nhên, làm thế nào để bạn xoay con tàu vũ trụ trong không gan trống rỗng? Cách thứ nhất là phả có các động cơ tên lửa nhỏ bắn ra vuông góc vớ tàu, cung cấp một mômen lực đố vớ khố tâm của tàu. Một cơ cấu như vậy là đáng mong muốn, và nhều tàu vũ trụ có các tên lửa như vậy. Hình 11.15. a) Tàu vũ trụ mang theo một con quay đang đứng yên chưa quay. b) Con quay được đều khển cho quay. Tuy nhên, ta hãy khảo sát phương pháp khác lên quan tớ mômen động lượng, và không đò hỏ têu thụ nhên lệu tên lửa. Gả sử tàu vũ trụ mang một con quay hồ chuyển không 11
quay như trên hình 11.15a. Trong trường hợp này, mômen động lượng của tàu vũ trụ đố vớ khố tâm của nó bằng không. Gả sử con quay được làm cho quay, cung cấp cho nó một mômen động lượng khác không. Không có mômen ngoạ lực tác dụng lên hệ cô lập (tàu vũ trụ-con quay), cho nên mômen động lượng của hệ này phả bằng không theo mô hình hệ cô lập (mômen động lượng). Mômen động lượng của hệ bằng không nếu tàu vũ trụ quay theo chều ngược vớ chều quay của con quay sao cho véc tơ mômen động lượng của tàu và của con quay khử lẫn nhau. Kết quả của vệc làm cho con quay quay như trên hình 11.15b là tàu quay vòng. Bằng cách bố trí ba con quay theo ba trục vuông góc vớ nhau, có thể thu được sự quay mong muốn trong không gan. Hệu ứng này tạo ra một tình huống không mong muốn đố vớ tàu Voyager 2 trong chuyến bay của nó. Tàu này đã mang một máy gh âm (dùng băng) mà phần guồng (ống) của nó quay ở tốc độ rất cao. Mỗ lần máy thu băng được bật lên, guồng tác dụng như một con quay hồ chuyển và tàu bị quay theo hướng ngược lạ. Sự quay này đã được Trung tâm đều khển tàu (Msson Control) dùng các vò phun bắn về một phía để dừng sự quay. Câu hỏ 11.1: Cho ha quả cầu đặc và rỗng cùng khố lượng và bán kính. Chúng chuyển động quay cùng tốc độ góc. Hỏ quả cầu nào có mômen động lượng lớn hơn: (a) Quả cầu đặc. (b) Quả cầu rỗng. (c) Bằng nhau. (d) Không thể xác định. Câu hỏ 11.2: Một ngườ thợ lặn lao ra từ tàu xuống nước vớ cơ thể duỗ thẳng và quay chậm. Hỏ động năng quay của cô ấy sẽ như thế nào: (a) Tăng lên. (b) Gảm đ. (c) Không đổ. (d) Không thể xác định. Định nghĩa Tóm tắt chương 11 Cho trước ha vectơ A và B, tích vectơ A B là một vectơ C có độ lớn C = AB sn θ (11.3) trong đó θ là góc gữa ha vectơ A và B. Hướng của vectơ C = A B vuông góc vớ mặt phẳng tạo bở A và B, và hướng này được xác định bằng quy tắc bàn tay phả. 12
Vectơ mômen lực τ gây bở lực F đố vớ một trục quay đ qua gốc O trong hệ quy chếu quán tính được định nghĩa là τ = r F (11.1) p mv L Mômen động lượng đố vớ một trục quay đ qua gốc O của chất đểm có động lượng là (11.10) trong đó r là véc tơ vị trí của chất đểm so vớ gốc O. L r p Khá nệm và nguyên lý Thành phần z của mômen động lượng của một vật rắn đang quay đố vớ một trục z cố định là L z I (11.14) trong đó I là mômen quán tính của vật rắn đố vớ trục quay và là tốc độ góc của nó. Mô hình phân tích để gả bà toán 13
Câu hỏ lý thuyết chương 11 1. Nguồn gốc các ngô sao là khố khí lớn quay chậm. Trọng lực làm các khố khí này co lạ, gảm kích thước. Tốc độ góc của nó thay đổ như thế nào kh nó co lạ? Gả thích. 2. Tạ sao vớ một cây sào dà gúp ngườ đ trên dây gữ được thăng bằng? 3. Trong các cuộc đua mô tô, các tay đua lao qua các con dốc nhỏ và lúc đó mô tô lao trong không khí trong một thờ gan ngắn. Nếu tay đua vẫn rồ ga tăng tốc kh vừa rờ khỏ dốc và bay trong không khí, xe máy có xu hướng hướng mũ lên trên. Tạ sao? 4. Nếu tình trạng Trá đất ấm lên toàn cầu vẫn dễn ra 100 năm tếp theo, nó sẽ làm băng ở ha cực Trá đất tan chảy và nước sẽ phân bố ở gần xích đạo hơn. (a) Đều đó làm thay đổ mômen quá tính của Trá đất như thế nào? (b) Thờ gan của một ngày (thờ gan Trá đất quay vòng) gảm hay tăng? Gả thích. 5. Quan sát một con mèo được thả từ trên cao xuống ta thấy chân của nó luôn chạm đất trước, ngay cả kh nó được thả xuống từ tư thế nằm ngửa bụng. Các đoạn phm quay chậm cho thấy trong quá trình rơ xuống, con mèo đã xoay nửa ngườ phía trước của nó theo một hướng và xoay nửa ngườ phía sau của nó theo hướng ngược lạ (các hình từ trá sang phả bên dướ). Dựa vào định luật bảo toàn mômen động lượng, hãy gả thích các động tác đó của con mèo. Bà tập chương 11 1. Tính tổng mômen lực (phương, chều và độ lớn) tác dụng lên thanh như hình đố vớ trục vuông góc vớ mặt phẳng gấy và (a) Đ qua đểm O. (b) Đ qua đểm C. 2. Một chất đểm có vị trí được bểu dễn bằng hàm vectơ vị trí r = (4.00 + 6.00j ) m, và lực tác dụng lên nó đươc cho bở phương trình F = (3.00 + 2.00j ) N. (a) Tính mômen lực tác dụng lên chất đểm đố vớ gốc O. (b) Có đểm nào khác mà momen xoắn của lực F như trên đố vớ đểm đó ngược chều và có độ lớn bằng một nửa mômen lực đố vớ đểm O? (c) Có thể có nhều hơn một đểm như vậy không? (d) Có thể có 1 đểm như vậy nằm trên trục Oy không? (e) Có thể có nhều hơn một đểm như vậy nằm trên trục Oy hay không? (f) Xác định vectơ vị trí của một đểm. 14
3. Cho hệ gồm: một thanh nhẹ, mảnh có chều dà l = 1m, ha vật (xem như chất đểm) được gắn ha đầu thanh. Hạt một khố lượng m 1 = 4 kg và vật ha khố lượng m 2 = 3 kg. Hệ quay quanh tâm, trong mặt phẳng xy (như hình). Tính momen động lượng của hệ so vớ gốc bết tốc độ của mỗ hạt là 5,00 m / s. 4. Một vật nặng có m = 2kg được gắn vào đầu của một sợ dây quấn quanh ròng rọc như hình 11.18. Ròng rọc là một vành tròn bán kính R = 8cm và khố lượng M = 2 kg. Các nan hoa có khố lượng không đáng kể. (a) Tính tổng mômen lực đố vớ trục ròng rọc. (b) Kh vật chuyển động vớ tốc độ v thì ròng rọc quay vớ tốc độ góc = v. Xác định tổng mômen động lượng của hệ đố vớ trục R ròng rọc theo v. (c) Sử dụng kết quả câu a và τ = dl để tính ga tốc của ròng rọc. 5. Một hạt 5.00kg bắt đầu chuyển động từ gốc tạ t = 0. Vận tốc cho bở phương trình: Vớ v tính bằng m/s và t tính bằng s. v = (6t 2 + 2tj ) (a) Tìm vị trí của nó theo thờ gan. (b) Mô tả chuyển động của nó. (c) Tính ga tốc theo thờ gan (d) Tính tổng ngoạ lực tác động lên hạt theo thờ gan, (e) Tính tổng momen ngoạ lực so vớ gốc tác động lên hạt theo thờ gan, (f) Tính mômen động lượng so vớ gốc theo thờ gan (g) Tính động năng của hạt theo thờ gan, (h) Tính công suất của hạt theo thờ gan. 6. Một đĩa khố lượng đồng nhất m = 3,00 kg và bán kính r = 0,200 m quay quanh một trục cố định vuông góc vớ đĩa vớ tần số góc 6,00 rad / s. Tính độ lớn mômen động lượng của đĩa kh trục quay (a) Đ qua khố tâm của đĩa (b) Đ qua một đểm gữa khố tâm và vành đĩa. 7. Khoảng cách gữa tâm của ha bánh xe của một xe máy là 155 cm. Khố tâm của xe máy, kể cả ngườ lá nằm trên mặt đất 88 cm và ở gữa 2 bánh xe. Gả sử khố lượng của mỗ bánh xe không đáng kể so vớ ngườ lá và xe. Động cơ chỉ lá bánh sau. Hỏ gá trị ga tốc theo phương ngang nào của xe máy sẽ làm bánh xe trước văng lên khỏ mặt đất. 8. Một bàn xoay bán kính R = 2,00 m có mômen quán tính I = 250 kgm 2 và quay không có ma sát ở tốc độ 10,0 vòng / phút theo một trục vuông góc vớ nó. Một đứa trẻ nặng 25,0 15
kg nhảy lên vòng xoay và ngồ xuống cạnh vòng xoay. Tìm tốc độ góc mớ của vòng xoay? 9. Một học snh ngồ trên một chếc ghế xoay tự do cầm ha quả tạ, mỗ chếc có khố lượng 3,00 kg (như hình). Kh dang tay ra theo chều ngang (hình a), tạ cách trục quay là 1.00 m và học snh quay vớ tốc độ góc là 0,750 rad / s. Mômen quán tính của học snh là 3,00 kgm 2 và không đổ. Học snh co tay lạ theo chều ngang tớ vị trí quả tạ cách trục xoay 0,300 m (hình b). (a) Tìm tốc độ góc mớ của học snh. (b) Tìm động năng quay của hệ trước và sau kh học snh co tay. 10. Một khố gỗ có khố lượng M đăt trên bề mặt bàn nằm ngang không ma sát được gắn vào một thanh cứng có chều dà l và khố lượng không đáng kể (hình), thanh cứng này được gắn một đầu cố định vào bàn và có thể xoay quanh đầu này. Một vên đạn chuyển động trên bề mặt mặt bàn vớ vận tốc v có phương vuông góc vớ thanh cứng đến va chạm và cắm vào khố gỗ. (a) Tính mômen động lượng của hệ vên đạn khố gỗ đố vớ trục quay thẳng đứng đ qua đểm cố định của thanh cứng. (b) Tính tỷ số phần năng lượng của vên đạn đươc chuyển hóa thành nộ năng của hệ sau va chạm. 11. Một vên đạn nặng 0,.005kg được bắn vào cánh cửa nặng 18kg theo phương ngang vớ tốc độ 103 m/s, vên đạn cắm vào cửa ở vị trí các mép dướ một đoạn 10 cm (như hình). Cánh cửa rộng 1 m và có thể xoay quanh bản lề, bỏ qua ma sát. (a) Trước kh vên đạn chạm vào cánh cửa nó có mômen động lượng so vớ trục quay của cánh cửa hay không? (b) Nếu có hãy tính gá trị của mômen động lượng này, nếu không hãy gả thích. (c) Cơ năng của hệ vên đạn cánh cửa có bảo toàn trong suốt quá trình va chạm không? (d) Tốc độ góc của cánh cửa ngay sau kh va chạm là bao nhêu? (e) Tính tổng năng lượng của hệ vên đạn cánh cửa sau va chạm và xác định xem nó ít hơn hay bằng vớ động năng của vên đạn trước kh va chạm. 12. Ba vật có khố lượng bằng nhau được gắn vớ một thanh cứng không có khố lượng như hình. Thanh cứng đang nằm ngang, đứng yên thì bắt đầu xoay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng vớ trục quay đ qua đểm P. Gả sử m và d đã bết, hãy tìm 16
(a) Mômen quán tính của 3 vật này đố vớ trục quay qua P, (b) Mômen xoắn tác động lên hệ tạ t = 0, (c) Ga tốc góc của hệ tạ t = 0, (d) Ga tốc tếp tuyến của vật 3 tạ t = 0, (e) Động năng cực đạ của hệ, (f) Tốc độ góc tố đa thanh đạt được, (g) Mômen động lượng cực đạ của hệ và (h) Tốc độ cực đạ của vật ha. 13. Bắn một vên đạn có khố lượng m vớ tốc độ v về phía phả (như hình a) và đâm vào đầu thanh sắt cố định có khố lượng M, chều dà d, xoay quanh trục không ma sát vuông góc vớ mặt phẳng hình vẽ qua O (như hình). Chúng ta muốn xác định được tỷ số động năng thay đổ trong hệ do va chạm. (a) Mô hình phân tích nào thích hợp để mô tả chuyển động của vên đạn và thanh sắt? (b) Xác định mômen động lượng của hệ trước va chạm đố vớ trục quay qua O? (c) Mômen quán tính của hệ đố vớ trục qua O sau kh m cắm vào thanh. (d) Nếu tốc độ góc của hệ thống sau va chạm là ω, xác định mômen động lượng của hệ sau va chạm. (e) Tính tốc độ góc ω sau va chạm, (f) Tính động năng của cơ hệ trước kh va chạm và (g) Tính động năng của cơ hệ sau va chạm. (h) Tính tỷ số động năng trước và sau va chạm. 14. Ha ph hành ga (như hình), mỗ ngườ có khố lượng 75kg, được nố vớ nhau bằng một sợ dây dà 10 m và có khố lượng không đáng kể. Xem như họ cô lập trong không gan và quay quanh khố tâm của họ vớ tốc độ 5 m/s. Xem như các ph hành ga là các chất đểm (a) Tính độ lớn của mômen động lượng của hệ ha ph hành ga và (b) Tính động năng quay của hệ. Một ph hành ga kéo sợ dây thừng để rút ngắn khoảng cách gữa ha ngườ còn 5 m. Hãy tính (c) Mômen động lượng mớ của hệ, (d) Tốc độ mớ của ph hành ga và (e) Động năng quay mớ của hệ thống. (f) Hóa năng dự trữ trong cơ thể của ph hành ga đã được chuyển đổ thành cơ năng của hệ kh anh ta rút ngắn sợ dây là bao nhêu? 17
15. Hện tượng nóng lên của Trá đất đang rất được quan tâm bở vì ngay cả những thay đổ nhỏ trong nhệt độ Trá đất có thể có những hậu quả đáng kể. Ví dụ, nếu những tảng băng ở ha cực của Trá đất tan chảy hoàn toàn, thì nước trong các đạ dương nhều lên và làm tràn ngập nhều vùng duyên hả. Mô hình tảng băng ở 2 cực có khố lượng 2.3 10 19 kg và có dạng đĩa phẳng bán kính 6 10 5 m. Gả sử các tảng băng sau kh tan chảy sẽ tạo thành lớp vỏ hình cầu là nước bao quanh Trá đất. Hỏ độ dà một ngày đêm thay đổ một lượng bao nhêu so vớ hện tạ là 24 gờ/ngày? (tính theo gây và %). Cho khố lượng Trá đất là 5,972 10 24 kg và bán kính Trá đất là 6371 km. 18