1 Baøi taäp Cô hoïc heä chaát ñieåm 1. Hình 1 veõ hai haït P vaø Q khoái löôïng M vaø m, coù theå di chuyeån treân maët ngoaøi trôn cuûa moät khoái tr

1 Baøi taäp Cô hoïc heä chaát ñieåm 1. Hình 1 veõ hai haït P vaø Q khoái löôïng M vaø m, coù theå di chuyeån treân maët ngoaøi trôn cuûa moät khoái truï naèm ngang coá ñònh. Caùc haït ñöôïc noái vôùi nhau bôûi daây nheï khoâng giaõn daøi πa/2. Tìm caáu hình caân baèng cuûa heä vaø chöùng toû raèng noù khoâng oån ñònh. Hình 1: 2. Moät thanh ñeàu daøi 2a coù moät ñaàu gaén vaøo truïc trôn coá ñònh taïi O. Ñaàu coøn laïi noái vôùi ñieåm coá ñònh A, caùch O khoaûng caùch 2a veà phía treân, baèng loø xo ñaøn hoài chieàu daøi töï nhieân a vaø ñoä cöùng mg/2. Thanh chuyeån ñoäng trong maët phaúng thaúng ñöùng qua O. Chöùng toû raèng thanh coù hai vò trí caân baèng, vaø xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa chuùng. [Vò trí thaúng ñöùng höôùng leân cuûa thanh neùn loø xo thaønh loø xo coù chieàu daøi khoâng ñöôïc loaïi tröø.] Hình 2: Baøi taäp 2 3. Haøm theá naêng noäi (internal potential energy function) cho phaân töû goàm hai nguyeân töû ñöôïc xaáp xæ bôûi theá Morse V (r) =V 0 (1 e (r a)/b ) 2 V 0,

2 trong ñoù r laø khoaûng caùch taùch cuûa hai nguyeân töû, V 0,a,b laø nhöõng haèng soá döông. Haõy veõ ñoà thò cuûa theá Morse. Giaû söû phaân töû bò haïn cheá chuyeån ñoäng dao ñoäng trong ñoù taâm khoái G cuûa phaân töû coá ñònh, vaø caùc nguyeân töû di chuyeån treân moät ñöôøng thaúng coá ñònh ñi qua G. Chöùng toû raèng phaân töû coù moät caáu hình caân baèng duy nhaát vaø noù laø oån ñònh. Neáu caùc nguyeân töû coù khoái löôïng m, tìm taàn soá goùc cuûa dao ñoäng nhoû cuûa phaân töû. Hình 3: Theá Morse. 4. Theá naêng haáp daãn noäi (internal graviational potential energy) cuûa heä caùc chaát ñieåm thöôøng ñöôïc goïi laø naêng löôïng töï thaân (self energy) cuûa heä. (Caáu hình tham chieáu ñöôïc laáy laø caáu hình maø trong ñoù taát caû caùc chaát ñieåm ôû khoaûng caùch lôùn nhaát vôùi nhau.) Chöùng toû raèng naêng löôïng töï thaân cuûa quaû caàu khoái löôïng M phaân boá ñeàu, baùn kính R laø 3M 2 G/5R. 5. Hai khoái khoái löôïng M vaø m tröôït treân caùc maët trôn nghieâng goùc α vaø β so vôùi phöông ngang. Hai khoái ñöôïc noái vôùi nhau baèng daây maûnh khoâng giaõn vaét qua roøng roïc khoâng ma saùt. Tìm gia toác cuûa khoái m di chuyeån leân maët phaúng, vaø suy ra söùc caêng daây. Hình 4: Baøi taäp 5. 6. Xeùt heä chæ ra treân hình 1 cho tröôøng hôïp ñaëc bieät trong ñoù P, Q coù khoái löôïng 2m, m töông öùng. Heä ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ ôû vò trí ñoái

xöùng vôùi θ, goùc cuûa giöõa OP vaø phöông thaúng ñöùng höôùng leân, baèng π/4. Tìm phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho chuyeån ñoäng sau ñoù theo toïa ñoä θ. Tìm phaûn löïc phaùp cuûa khoái truï taùc duïng leân moãi haït. Chöùng toû raèng P laø haït ñaàu tieân rôøi khoûi khoái truï vaø ñieàu naøy xaûy ra khi θ 70 o. 7. Moät sôïi daây naëng khoái löôïng phaân boá ñeàu, chieàu daøi 2a, ñöôïc vaét ñoái xöùng qua moät caùi coïc trôn naèm ngang. Daây ñöôïc kích ñoäng nhoû vaø baét ñaàu tröôït qua coïc. Tìm toác ñoä cuûa daây khi noù vöøa rôøi khoûi coïc. 3 Hình 5: Baøi taäp 7. 8. Moät sôïi daây naëng khoái löôïng phaân boá ñaàu, chieàu daøi a ñöôïc giöõ naèm yeân vôùi hai ñaàu gaàn nhau vaø daây thoøng ñoái xöùng xuoáng döôùi. (ÔÛ vò trí naøy daây coù hai ñoaïn daøi thaúng ñöùng noái bôûi moät ñoaïn cong nhoû ôû ñaùy.) Moät trong hai ñaàu daây ñöôïc giaûi phoùng. Tìm vaän toác cuûa ñaàu töï do khi noù ñi xuoáng ñöôïc khoaûng caùch x. Hình 6: Baøi taäp 8. Suy ra moät coâng thöùc töông töï cho gia toác cuûa ñaàu töï do vaø chöùng toû raèng noù luoân luoân vöôït quaù g. Tìm khoaûng caùch rôi khi gia toác ñaït giaù trò 5g.

4 9. Moät sôïi daây naëng khoái löôïng M phaân boá ñeàu, chieàu daøi 4a coù moät ñaàu noái vaøo moät ñieåm coá ñònh treân maët baøn nhaün naèm ngang bôûi loøxo ñaøn hoài maûnh ñoä daøi töï nhieân a vaø moâñun ñaøn hoài 1 Mg, coøn ñaàu coøn laïi thoøng xuoáng döôùi 2 qua meùp baøn. Khi loøxo ñaøn hoài coù chieàu daøi töï nhieân cuûa noù, ñaàu töï do cuûa daây ruû xuoáng khoaûng caùch a so vôùi maët baøn (möùc ban ñaàu). Heä ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ ôû vò trí naøy. Chöùng toû raèng ñaàu töï do cuûa daây thöïc hieän dao ñoäng ñieàu hoøa vaø tìm chu kyø vaø bieân ñoä cuûa noù. Hình 7: Baøi taäp 9. 10. Moät caùi voøng ñang laên vôùi toác ñoä v treân maët ñaát khi noù chaïm doác ñeå ñi leân maët ñaát cao hôn (xem hình 8). Neáu voøng khoâng leân ñoä cao h ñöôïc trong quaù trình, tìm vaän toác cuoái cuûa noù. Hình 8: Voøng laên xuoáng doác. Baøi taäp 10 voøng laên leân doác. 11. Moät quaû banh khoái löôïng phaân boá ñeàu laên treân ñöôøng thaúng xuoáng maët phaúng nhaùm nghieâng goùc α so vôùi phöông ngang. Giaû söû banh chuyeån ñoäng phaúng (taâm chuyeån ñoäng trong maët phaúng), tìm phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cuûa banh, suy ra gia toác cuûa banh. 12. Moät hình truï troøn khoái löôïng phaân boá ñeàu (yo-yo) coù moät sôïi daây maûnh khoâng giaõn quaán chung quanh ñeå noù khoâng tröôït. Ñaàu töï do cuûa daây bò buoäc chaët vaøo moät ñieåm coá ñònh, vaø yo-yo ñi xuoáng theo ñöôøng thaúng ñöùng vôùi phaàn thaúng cuûa daây cuõng thaúng ñöùng. Caét nghóa taïi sao daây khoâng thöïc hieän coâng leân yo-yo. Tìm phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho yo-yo vaø suy ra gia toác cuûa noù.

5 Hình 9: Baøi taäp 12. 13. Hình 10 veõ moät cuoän giaáy treân maët saøn naèm ngang. Ban ñaàu giaáy treân cuoän coù baùn kính a vaø giaáy töï do ñaët thaønh ñöôøng thaúng treân saøn. Roài cuoän ñöôïc phoùng naèm ngang vôùi toác ñoä V theo caùch maø giaáy töï do bò cuoán vaøo cuoän. Tìm toác ñoä cuûa cuoän giaáy khi baùn kính cuûa noù taêng leân b. [Boû qua ñoä cöùng choáng uoán cuûa giaáy.] Suy ra raèng baùn kính cuûa cuoän khi noù ñeán traïng thaùi nghæ laø ( ) 3V 2 1/3 a 4ga +1. Hình 10: Cuoän giaáy di chuyeån veà beân phaûi vaø giaáy töï do ñöôïc cuoán vaøo. 14. Moät vaät theå cöùng coù hình daïng baát kyø khoái löôïng M vaø coù theå quay töï do quanh moät truïc naèm ngang. Khoái taâm cuûa vaät caùch truïc quay khoaûng caùch h, vaø moâmen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc quay laø I. Chöùng toû raèng chu kyø cuûa dao ñoäng beù cuûa vaät ñoái vôùi vò trí caân baèng höôùng xuoáng döôùi laø ( ) 1/2 I 2π. Mgh

6 Suy ra chu kyø cuûa dao ñoäng beù cuûa moät thanh chieàu daøi 2a khoái löôïng phaân boá ñeàu, quanh truïc naèm ngang vuoâng goùc vôùi thanh vaø caùch taâm cuûa thanh khoaûng caùch b. 15. Moät traùi banh khoái löôïng phaân boá ñeàu, baùn kính a, coù theå laên khoâng tröôït treân maët ngoaøi cuûa quaû caàu coá ñònh baùn kính b vaø taâm O. Ban ñaàu quaû ban ôû traïng thaùi nghæ taïi vò trí cao nhaát cuûa maët caàu khi chòu kích ñoäng nhoû. Tìm toác ñoä cuûa taâm G cuûa traùi banh theo bieán θ, goùc giöõa ñöôøng OG vaø phöông thaúng ñöùng höôùng leân. [Giaû söû chuyeån ñoäng phaúng.] 16. Moät traùi baùnh baùn kính a khoái löôïng phaân boá ñeàu taâm G coù theå laên khoâng tröôït leân maët trong cuûa quaû caàu roãng baùn kính b taâm O. Traùi banh ñi xuoáng trong maët phaúng thaúng ñöùng qua O. Tìm phöông trình baûo toaøn naêng löôïng cho traùi banh theo bieán θ, goùc giöõa ñöôøng OG vaø phöông thaúng ñöùng höôùng xuoáng döôùi. Suy ra chu kyø dao ñoäng beù cuûa traùi banh quanh vò trí caân baèng. 17. Treân hình 11 veõ taám vaùn moûng cöùng khoái löôïng phaân boá ñeàu, chieàu daøi 2b maø coù theå laên khoâng tröôït treân ñænh cuûa khuùc goã troøn nhaùm baùn kính a. Taám vaùn ban ñaàu ôû vò trí caân baèng, nghæ ñoái xöùng treân ñænh cuûa khuùc goã, khi noù bò kích ñoäng nheï. Tìm chu kyø dao ñoäng nhoû cuûa taám vaùn. Hình 11: Baøi taäp 17. 18. Chöùng toû raèng, neáu moät heä di chuyeån töø traïng thaùi nghæ naøy ñeán traïng thaùi nghæ khaùc trong khoaûng thôøi gian naøo ñoù, thì trung bình cuûa löïc ngoaøi toaøn phaàn treân khoaûng thôøi gian naøy phaûi baèng khoâng. Moät ñoàng hoà caùt khoái löôïng M ñöùng yeân treân neàn phaúng maø neàn naøy cuõng ño troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà caùt. Caùt ôû traïng thaùi nghæ trong hoác treân khi, taïi thôøi ñieåm t =0, moät khuaáy ñoäng nhoû laøm caùt baét ñaàu chaûy xuoáng. Caùt ñeán traïng thaùi nghæ ôû hoác döôùi sau moät khoaûng thôøi gian t = τ.

Tìm trung bình troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà caùt theo thôøi gian treân khoaûng thôøi gian [0,τ]. [Troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà caùt khoâng phaûi laø haèng theo thôøi gian. Ta coù theå ñöa ra luaän cöù raèng, khi caùt ñang chaûy xuoáng khoâng ngöøng, troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà caùt vöôït quaù trong löôïng thöïc.] 19. Chöùng toû raèng, neáu moät heä chuyeån ñoäng tuaàn hoaøn, thì trung bình cuûa löïc ngoaøi toaøn phaàn treân moät chu kyø phaûi baèng khoâng. Moät ngheä só tung höùng tung boán traùi banh khoái löôïng M, 2M, 3M vaø 4M moät caùch tuaàn hoaøn. Tìm trung bình theo thôøi gian (treân moät chu kyø) cuûa löïc toaøn phaàn maø anh ta taùc duïng leân caùc traùi banh. Ngheä só naøy muoán baêng qua moät caây caàu dao ñoäng maø khoâng chòu noãi troïng löôïng toaøn theå cuûa anh ta vaø caùc quaû banh. Neáu khi baêng qua caây caàu anh ta tung höùng caùc quaû banh thì coù giuùp gì cho anh khoâng? 20. Moät chieác xuoàng khoái löôïng M ôû traïng thaùi nghæ trong nöôùc yeân tænh vaø moät ngöôøi ngoài ôû muõi. Ngöôøi naøy ñöùng leân, ñi veà phía ñuoâi roài ngoài xuoáng. Neáu nöôùc caûn chuyeån ñoäng cuûa xuoàng tæ leä vôùi vaän toác cuûa xuoàng, chöùng toû raèng cuoái cuøng xuoàng seõ ñaït traïng thaùi nghæ taïi vò trí goác cuûa noù. [Keát quaû naøy ñoäc laäp vôùi haèng soá caûn vaø chi tieát chuyeån ñoäng cuûa ngöôøi.] 7 Hình 12: Baøi taäp 20. 21. Moät sôïi daây chieàu daøi a, khoái löôïng M phaân boá ñeàu ñöôïc giöõ ôû traïng thaùi nghæ vôùi hai ñaàu daây gaàn nhau vaø daây treo ñoái xöùng beân döôùi. (Taïi vò trí naøy, daây coù hai ñoaïn thaúng ñöùng daøi noái vôùi nhau baèng moät ñoaïn cong nhoû ôû döôùi cuøng.) Roài moät trong hai ñaàu daây ñöôïc buoâng ra. Coù theå chöùng minh, nhôø ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng (xem baøi taäp 8), vaän toác cuûa ñaàu daây töï do khi rôi xuoáng khoaûng caùch x ñöôïc cho bôûi v 2 = x(2a x)g. a x

8 Tìm phaûn löïc taùc duïng R do giaù mang leân ñaàu daây coá ñònh khi ñaàu daây töï 3 do rôi xuoáng khoaûng caùch x. Giaù mang seõ bò suïp neáu R vöôït quaù Mg. Tính 2 xem ñaàu daây töï do rôi ñöôïc khoaûng caùch bao xa tröôùc khi ñieàu naøy xaûy ra. 22. Moät sôïi xích nhoû chieàu daøi a, khoái löôïng M phaân boá ñeàu ñöôïc giöõ yeân baèng caùch treo thaúng ñöùng veà phía döôùi vaø moät ñaàu cuûa xích vöøa vaën chaïm maët baøn naèm ngang. Roài sôïi xích ñöôïc buoâng ra. Chöùng toû raèng khi sôïi xích ñang rôi, löïc do sôïi xích taùc duïng leân maët baøn luoân luoân gaáp ba laàn troïng löôïng thöïc cuûa xích khi naèm treân maët baøn. [Giaû söû raèng, tröôùc khi chaïm vaøo baøn, xích rôi töï do döôùi taùc duïng cuûa troïng löïc.] 23. Moät traùi banh baùn kính a khoái löôïng M phaân boá ñeàu coù theå laên khoâng tröôït treân maët ngoaøi nhaùm cuûa quaû caàu coá ñònh baùn kính b taâm O. Ban ñaàu traùi banh ôû traïng thaùi nghæ taïi ñieåm cao nhaát cuûa quaû caàu khi noù chòu moät kích ñoäng nhoû. Tìm toác ñoä cuûa taâm G cuûa traùi banh theo θ, goùc giöõa ñöôøng thaúng OG vaø ñöôøng thaúng ñöùng qua O. [Giaû söû chuyeån ñoäng phaúng.] Chöùng toû raèng traùi banh seõ rôøi khoûi quaû caàu khi cos θ =10/17. 24. Teân löûa khoái löôïng ban ñaàu M, M m laø khoái löôïng nhieân lieäu chaùy vôùi toác ñoä haèng soá vaø phuït ra khí xaû vôùi toác ñoä khoâng ñoåi u. Teân löûa khôûi haønh töø traïng thaùi nghæ vaø chuyeån ñoäng thaúng ñöùng döôùi troïng tröôøng ñeàu. Chöùng toû raèng vaän toác cöïc ñaïi maø teân löûa ñaït ñöôïc laø u ln γ gτ vaø ñoä cao cuûa noù luùc nhieân lieäu ñoát heát laø uτ ( 1 ln γ ) 1 γ 1 2 gτ2, trong ñoù γ = M/m. [Giaû söû raèng söï ñaåy sao cho teân löûa laáy ngay töùc khaéc.] Trong taàng thöù nhaát cuûa teân löûa Saturn V, khoái löôïng ban ñaàu laø 2, 8 10 6 kg, vôùi 2, 1 10 6 kg laø nhieân lieäu. Nhieân lieäu ñöôïc ñoát chaùy vôùi toác ñoä khoâng ñoåi treân 150 s vaø toác ñoä thoaùt khí laø 2600 ms 1. Duøng keát quaû treân tìm toác ñoä vaø ñoä cao cuûa Saturn V luùc taàng thöù nhaát chaùy heát. [g =9, 8 ms 2 vaø boû qua söùc caûn khoâng khí.] 25. [Chuyeån ñoäng cuûa teân löûa trong moâi tröôøng coù caûn] Moät teân löûa khoái löôïng ban ñaàu M, vôùi M m laø nhieân lieäu, ñoát chaùy nhieân lieäu cuûa noù vôùi toác ñoä khoâng ñoåi k vaø phuït khí xaû vôùi toác ñoä khoâng ñoåi u. Teân löûa khôûi haønh töø traïng thaùi nghæ vaø di chuyeån trong moâi tröôøng maø löïc caûn laø ɛkv, trong ñoù v laø vaän toác höôùng veà phía tröôùc, ɛ laø haèng soá döông beù. Khoâng coù troïng tröôøng. Tìm vaän toác cöïc ñaïi cuûa V teân löûa. Suy ra xaáp xæ caáp hai cuûa V khi ɛ beù.

26. [Teân löûa hai taàng] Moät teân löûa hai taàng coù taàng thöù nhaát khoái löôïng ban ñaàu M 1, vôùi (1 η)m 1 laø nhieân lieäu. Taàng thöù hai khoái löôïng ban ñaàu M 2, vôùi (1 η)m 2 laø nhieân lieäu, vaø taûi troïng trô (thieát bò mang theo) khoái löôïng m 0. ÔÛ moãi taàng khí thaûi phuït ra cuøng moät vaän toác. Teân löûa ban ñaàu ôû traïng thaùi nghæ trong khoâng gian töï do. Taàng ñaàu khai hoûa, vaøo luùc hoaøn taát, xaùc taàng moät (khoái löôïng ηm 1 ) ñöôïc loaïi boû. Roài taàng thöù hai ñöôïc khai hoûa. Tìm bieåu thöùc cho vaän toác cuoái V cuûa teân löûa vaø suy ra raèng V ñaït cöïc ñaïi khi tæ soá khoái löôïng α = M 2 /(M 1 + M 2 ) thoûa phöông trình α 2 +2αβ β =0, trong ñoù β = m 0 /(M 1 + M 2 ). Chöùng toû raèng khi β laø nhoû, giaù trò toái öu cuûa α xaáp xæ baèng β 1/2 vaø vaän toác cöïc ñaïi xaáp xæ baèng 2u ln γ, trong ñoù γ =1/η. 27. Moät gioït möa rôi thaúng ñöùng xuyeân qua söông döøng, khoái löôïng taäp trung khi noù rôi. Haït möa giöõ daïng caàu vaø toác ñoä gia taêng khoái löôïng tæ leä vôùi toác ñoä vaø bình phöông baùn kính cuûa noù. Chöùng toû raèng, neáu haït möa baét ñaàu rôi töø traïng thaùi nghæ vôùi baùn kính khoâng ñaùng keå, thì noù coù gia toác khoâng ñoåi g/7. 28. Moät vaät khoái löôïng 4m ôû traïng thaùi nghæ khi noù vôõ thaønh ba maûnh khoái löôïng 2m, m vaø m. Sau khi vôõ hai maûnh khoái löôïng m ñöôïc quan saùt thaáy chuyeån ñoäng vôùi cuøng vaän toác theo caùc höôùng taïo vôùi nhau goùc 120 o. Tìm tæ leä cuûa ñoäng naêng mang bôûi moãi maûnh. 9 Hình 13: Baøi taäp 28.

10 29. Chöùng toû raèng, trong va chaïm thaúng ñaøn hoài cuûa hai quaû caàu, vaän toác töông ñoái cuûa hai quaû caàu sau va chaïm baèng tröø vaän toác töông ñoái tröôùc khi va chaïm. Moät oáng ñaët coá ñònh thaúng ñöùng moät ñaàu naèm treân saøn naèm ngang. Moät quaû banh khoái löôïng M ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ ôû ñænh oáng ñöôïc theo sau gaàn noù bôûi moät quaû banh thöù hai khoái löôïng m. Quaû banh ñaàu naûy leân töø maët saøn vaø ngay töùc khaéc va chaïm vôùi quaû banh thöù hai töø treân rôi xuoáng. Giaû söû raèng caû hai va chaïm laø ñaøn hoài, chöùng toû raèng, khi m/m laø nhoû, quaû banh thöù hai seõ phoùng leân ñeán ñoä cao gaàn chín laàn chieàu daøi cuûa oáng. 30. Hai haït khoái löôïng m 1, m 2 vaø vaän toác v 1, v 2 va chaïm vaø dính vaøo nhau. Tìm vaän toác cuûa haït keát hôïp vaø chöùng toû raèng söï maát maùt ñoäng naêng do va chaïm laø m 1 m 2 2(m 1 + m 2 ) v 1 v 2 2. 31. Moät haït Q khoái löôïng 2m vaø hai haït khaùc P, R khoái löôïng m moãi haït, ñöôïc noái vôùi Q bôûi daây maûnh khoâng giaõn chieàu daøi a. Heä töï do di chuyeån treân maët baøn phaúng naèm ngang. Ban ñaàu P, Q, R ôû taïi caùc vò trí (0,a), (0, 0), (0, a) töông öùng sao cho chuùng naèm treân ñöôøng thaúng vôùi daây caêng. Roài Q ñöôïc phoùng theo höôùng x döông vôùi toác ñoä u. Bieåu dieãn söï baûo toaøn ñoäng löôïng, naêng löôïng cho heä naøy theo toïa ñoä x (dòch chuyeån cuûa Q) vaø θ (goùc quay cuûa moãi sôïi daây). Hình 14: Baøi taäp 31.

11 Chöùng toû raèng θ thoûa phöông trình θ 2 = u ( ) 1 a 2 cos 2 θ vaø suy ra raèng P vaø R seõ va chaïm sau khoaûng thôøi gian a u π/2 0 (2 cos 2 θ) 1/2 dθ. 32. Moät thanh ñeàu chieàu daøi 2a coù ñaàu beân döôùi tieáp xuùc vôùi maët baøn nhaün naèm ngang. Ban ñaàu thanh ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ ôû vò trí laøm moät goùc 60 o vôùi phöông thaúng ñöùng. Bieåu dieãn söï baûo toaøn ñoäng löôïng vaø naêng löôïng cho heä theo toïa ñoä x (dòch chuyeån ngang cuûa khoái taâm cuûa thanh) vaø θ (goùc giöõa thanh vaø phöông thaúng ñöùng höôùng leân). Suy ra raèng khoái taâm cuûa thanh di chuyeån treân ñöôøng thaúng ñöùng, vaø θ thoûa maõn phöông trình θ 2 = 3g a ( ) 1 2 cos θ. 4 3 cos 2 θ Bao laâu thì thanh chaïm maët baøn. Hình 15: Baøi taäp 32. 33. Moät taám bia bao goàm ñóa troøn khoái löôïng M phaân boá ñeàu baùn kính a coù theå xoay töï do quanh ñöôøng kính thaúng ñöùng coá ñònh cuûa noù. Ban ñaàu taám bia ôû traïng thaùi nghæ. Moät vieân ñaïn khoái löôïng m di chuyeån vôùi toác ñoä u doïc theo ñöôøng thaúng naèm ngang vuoâng goùc bia. Vieân ñaïn ghim vaøo bia ôû vò trí

12 Hình 16: Baøi taäp 33. caùch truïc quay khoaûng caùch b. Tìm vaän toác goùc cuoái cuûa bia. [Moâmen quaùn tính cuûa ñóa ñoái vôùi truïc laø Ma 2 /4.] Chöùng toû raèng naêng löôïng hao taùn khi va chaïm laø ( 1 2 mu2 Mu 2 Mu 2 +4mb 2 ). 34. Moät khoái truï troøn khoái löôïng M phaân boá ñeàu baùn kính a coù theå quanh töï do quanh truïc ñoái xöùng cuûa noù coá ñònh ôû vò trí thaúng ñöùng. Moät sôïi daây maûnh ñöôïc quaán quanh khoái truï ñeå cho noù khoâng tröôït vaø haït khoái löôïng m gaén vaøo ñaàu töï do. Ban ñaàu heä ôû traïng thaùi nghæ vôùi phaàn daây töï do caêng, naèm ngang vaø chieàu daøi b. Roài haït ñöôïc phoùng naèm ngang vôùi toác ñoä u vaø vuoâng goùc vôùi daây. Sôïi daây seõ töï cuoán quanh hình truï cuoái cuøng laø haït ñaùnh truùng vaø dính vaøo khoái truï. Tìm vaän toác goùc cuoái cuøng cuûa khoái truï. Hình 17: Baøi taäp 34. 35. Moät ñaùm maây khí giöõa caùc vì sao khoái löôïng toaøn phaàn M coù theå chuyeån ñoäng töï do trong khoâng gian. Ban ñaàu maây coù daïng caàu baùn kính a khoái löôïng phaân boá ñeàu quay quanh truïc ñi qua taâm cuûa noù vôùi vaän toác goùc Ω. Sau

ñoù maây ñöôïc quan saùt thaáy thay ñoåi daïng thaønh ñóa troøn maûnh khoái löôïng phaân boá ñeàu baùn kính b quay quanh truïc ñi qua taâm vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng. Tìm vaän toác goùc cuûa ñóa vaø söï gia taêng ñoäng naêng cuûa maây. 36. Moät haït ñöôïc treo leân giaù ñôõ baèng daây maûnh khoâng giaõn ñi qua voøng coá ñònh nhoû thaúng goùc beân döôùi giaù ñôõ. Ban ñaàu haït thöïc hieän chuyeån ñoäng hình noùn goùc 60 o, vôùi phaàn di ñoäng cuûa daây chieàu daøi a. Giaù ñôõ baây giôø chuyeån ñoäng ñi leân chaäm ñeå cho chuyeån ñoäng vaãn giöõ gaàn nhö hình noùn. Tìm goùc cuûa chuyeån ñoäng hình noùn naøy khi giaù ñôõ ñaõ ñöôïc naâng leân khoaûng caùch a/2. 13 Hình 18: Baøi taäp 36. 37. Moät caùi gaäy boùng chaøy khoái löôïng M vaø moâmen quaùn tính Mk 2 ñoái vôùi truïc ñi qua khoái taâm G vaø vuoâng goùc vôùi truïc ñoái xöùng. Gaäy ôû traïng thaùi nghæ khi quaû banh khoái löôïng m, chuyeån ñoäng vôùi vaän toác u treân ñöôøng thaúng qua truïc ñoái xöùng caùch G khoaûng caùch b. Chöùng toû raèng, va chaïm duø ñaøn hoài hay khoâng, coù moät ñieåm treân truïc ñoái xöùng cuûa gaäy maø töùc thôøi ôû traïng thaùi nghæ sau va chaïm vaø khoaûng caùch c töø ñieåm naøy ñeán G ñöôïc cho bôûi bc = k 2. Trong tröôøng hôïp ñaøn hoài tìm toác ñoä cuûa quaû banh sau va chaïm. [Troïng tröôøng (vaø söï boùp meùo) neân ñöôïc boû qua trong baøi taäp naøy.] 38. 39. Moät voøng khoái löôïng M phaân boá ñeàu baùn kính a ñang laên vôùi vaän toác V treân neàn naèm ngang khi noù gaëp moät baäc ñoä cao h (h <a). Chaát ñieåm C cuûa voøng tieáp xuùc vôùi baäc baát thình lình nghæ (döøng). Tìm toác ñoä töùc thôøi cuûa khoái taâm, vaø vaän toác goùc töùc thôøi cuûa voøng, ngay sau va chaïm. Suy ra raèng chaát ñieåm C khoâng theå giöõ ñöùng yeân treân caïnh cuûa baäc neáu ( V 2 > (a h)g 1 2a) h 2.

14 Hình 19: Baøi taäp 37. Giaû söû raèng chaát ñieåm C giöõ treân caïnh cuûa baäc. Chöùng toû raèng voøng seõ leo leân baäc neáu ( V 2 >hg 1 2a) h 2. Suy ra raèng voøng khoâng theå leo leân baäc theo caùch moâ taû neáu h>a/2. Hình 20: Baøi taäp 39. 40. Chaát ñieåm P tröôït treân maët trong trôn cuûa hình noùn troøn goùc - nöûa α. Truïc ñoái xöùng cuûa hình noùn thaúng ñöùng vôùi ñænh O chæ xuoáng döôùi. Chöùng toû raèng thaønh phaàn thaúng ñöùng cuûa moâmen ñoäng löôïng ñoái vôùi O ñöôïc baûo toaøn trong chuyeån ñoäng. Phaùt bieåu moät ñaïi löôïng ñoäng löïc thöù hai ñöôïc baûo toaøn. Ban ñaàu P caùch O khoaûng caùch a khi noù ñöôïc phoùng naèm ngang doïc theo maët trong hình noùn vôùi toác ñoä u. Chöùng toû raèng, trong chuyeån ñoäng

15 sau ñoù, khoaûng caùch r töø P ñeán O thoûa phöông trình [ ] u ṙ 2 2 (r + a) =(r a) 2g cos α. r 2 Tröôøng hôïp A, khoâng coù maët troïng tröôøng, tìm r vaø goùc phöông vò φ nhö laø haøm cuûa t. Veõ quyõ ñaïo cuûa P (khi ñöôïc nhìn töø beân treân) khi α = π/6. Tröôøng hôïp B, vôùi α = π/3, tìm giaù trò u sao cho r dao ñoäng giöõa a vaø 2a trong chuyeån ñoäng sau ñoù. Vôùi giaù trò naøy cuûa u, chöùng toû r seõ ñaàu tieân trôû veà giaù trò r = a sau moät thôøi gian 2 3 ( ) 1/2 a 2 ξdξ g 1 [(ξ 1)(2 ξ)(2 + 3ξ)]. 1/2 Hình 21: Baøi taäp 40. 41. Moät caùi voøng troøn khoái löôïng M phaân boá ñeàu coù theå tröôït töï do treân maët baøn naèm ngang trôn, vaø moät con boï khoái löôïng m coù theå chaïy treân voøng. Heä ôû traïng thaùi nghæ khi con boï baét ñaàu chaïy. Tìm goùc quay ñeán cuoái cuûa voøng khi con boï chaïy heát moät voøng cuûa voøng. 42. [Con laéc cöùng toång quaùt] Moät vaät theå cöùng coù hình daïng baát kyø khoái löôïng M vaø coù theå quay töï do quanh truïc naèm ngang. Khoái taâm cuûa vaät caùch truïc quay khoaûng caùch h. Moâmen quaùn tính cuûa vaät ñoái vôùi truïc quay laø I. Chöùng toû raèng chu kyø dao ñoäng beù cuûa vaät quanh vò trí caân baèng beân döôùi laø ( ) 1/2 I 2π. Mgh

16 Hình 22: Baøi taäp 41. Suy ra chu kyø cuûa dao ñoäng beù cuûa thanh chieàu daøi 2a khoái löôïng phaân boá ñeàu quanh truïc naèm ngang vuoâng goùc vôùi thanh caùch khoái taâm khoaûng caùch b. Hình 23: Baøi taäp 42. 43. Moät traùi banh bi-da ôû traïng thaùi nghæ treân baøn khi noù bò phoùng veà phía tröôùc vôùi toác ñoä V vaø khoâng coù vaän toác goùc. Tìm toác ñoä cuûa traùi banh khi cuoái cuøng noù baét ñaàu laên. Tính ñoäng naêng hao taùn trong quaù trình naøy. 44. Moät traùi banh khoái löôïng phaân boá ñeàu ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ treân maët phaúng nhaùm nghieâng goùc α vôùi maët phaúng naèm ngang. Heä soá ma saùt giöõa traùi banh vaø maët phaúng laø µ. Traùi banh seõ laên hay tröôït xuoáng maët phaúng. Tìm gia toác cuûa traùi banh trong moãi tröôøng hôïp. 45. Moät ñóa troøn khoái löôïng M baùn kính a ñöôïc quay chung quanh truïc ñoái xöùng cuûa noù coá ñònh ôû vò trí naèm ngang. Moät con boï chaïy vôùi toác ñoä khoâng ñoåi udoïc theo meùp ñóa. Ban ñaàu ñóa ñöôïc giöõ ôû traïng thaùi nghæ vaø ñöôïc giaûi

17 Hình 24: Baøi taäp 43. Hình 25: Baøi taäp 44. phoùng khi con boï ñeán vò trí thaáp nhaát. Ñieàu kieän ñeå con boï ñaït ñeán vò trí cao nhaát cuûa ñóa? 46. Moät khoái truï troøn khoái löôïng phaân boá ñeàu (yo-yo) coù moät daây maûnh khoâng giaõn quaán chung quanh ñeå noù khoâng tröôït. Ñaàu cuoái cuûa daây ñöôïc coät vaøo moät giaù ñôõ vaø yo-yo di chuyeån treân ñöôøng thaúng ñöùng vôùi phaàn thaúng cuûa daây cuõng thaúng ñöùng. Cuøng luùc giaù ñôõ di chuyeån thaúng ñöùng leân treân vôùi dòch chuyeån Z(t) taïi thôøi ñieåm t. Tìm gia toác cuûa yo-yo. Ñieàu gì xaûy ra neáu heä baét ñaàu töø traïng thaùi nghæ vaø giaù ñôõ di chuyeån leân vôùi gia toác 2g? 47. Moät khoái truï troøn ñoái xöùng truïc khoái löôïng M nhöng khoái löôïng phaân boá khoâng ñeàu coù moâmen quaùn tính Mk 2 ñoái vôùi truïc ñoái xöùng cuûa noù. Khoái truï ñöôïc ñaët leân baêng chuyeàn nhaùm naèm ngang vuoâng goùc vôùi höôùng di chuyeån cuûa baêng chuyeàn. Ban ñaàu caû khoái truï laãn baêng chuyeàn ôû traïng thaùi nghæ khi baêng chuyeàn baét ñaàu chuyeån ñoäng vôùi vaän toác V (t). Giaû söû khoâng coù tröôït, tìm vaän toác cuûa khoái truï taïi thôøi ñieåm t.

18 Hình 26: Baøi taäp 45. Hình 27: Baøi taäp 46. Giaûi thích lyù do caùc thuøng röôïu laên troøn treân baêng chuyeàn (thay vì chuyeån ñoäng tôùi) neáu chuùng ñöôïc ñaët vuoâng goùc vôùi baêng chuyeàn. 48. Moät thanh chieàu daøi 2a khoái löôïng phaân boá ñeàu coù moät ñaàu treân baøn nhaùm vaø caân baèng ôû vò trí thaúng ñöùng höôùng leân. Roài thanh bò kích ñoäng nheï. Cho tröôùc khoâng coù söï tröôït cuûa ñaàu thanh ôû vò trí thaáp, chöùng toû raèng, trong chuyeån ñoäng sau ñoù, goùc θ maø thanh laøm vôùi phöông thaúng ñöùng höôùng leân thoûa phöông trình 2a θ 2 =3g(1 cos θ). Baây giôø xeùt phaàn treân cuûa thanh chieàu daøi 2γa (hình 29). Cho T, S vaø K laø caùc löïc caêng, löïc tröôït vaø caëp löïc (ngaãu) taùc duïng leân cuûa thanh gaây ra do phaàn döôùi. Baèng caùch xeùt phaàn treân cuûa thanh laø vaät theå cöùng trong chuyeån ñoäng phaúng, tìm bieåu thöùc cuûa S vaø K theo θ. Neáu moät oáng khoùi maûnh cao baét ñaàu ñoå. Ñieåm naøo treân oáng khoùi laø ñieåm oáng khoùi gaõy ñaàu tieân.

19 Hình 28: Baøi taäp 47. Hình 29: Baøi taäp 48. 49. Moät saøn nhaùm naèm trong maët phaúng naèm ngang z =0vaø caùc maët phaúng x =0vaø y =0ñöôïc chieám bôûi caùc böùc töôøng nhaün thaúng ñöùng. Moät panel cöùng tam giaùc ABC khoái löôïng m phaân boá ñeàu. Ñænh A cuûa panel ñöôïc ñaët treân saøn taïi ñieåm (2, 2, 0) vaø caùc ñænh B, C naèm yeân tieáp xuùc vôùi töôøng taïi caùc ñieåm (0, 1, 6), (1, 0, 6) töông öùng. Cho tröôùc ñænh A khoâng tröôït. Tìm caùc phaûn löïc taùc duïng cuûa töôøng. Suy ra phaûn löïc taùc duïng cuûa saøn. 50. Baøn caøpheâ truyeàn thoáng ôû Ñan maïch coù moät taám kính khoâng ñoái xöùng hình tam giaùc ñaët treân giaù ñôõ ba chaân taïi caùc ñænh. Chöùng toû raèng, duø hình daïng tam giaùc coù laø theá naøo thì moãi chaân seõ chòu moät phaân ba trong löôïng cuûa taám kính. 51. Ba quaû banh ñoàng nhaát ñöôïc ñaët tieáp xuùc vôùi nhau treân baøn naèm ngang vaø moät quaû banh ñoàng nhaát thöù tö ñöôïc ñaët leân ñænh cuûa ba quaû. Chöùng toû raèng boán quaû banh khoâng theå caân baèng tröø phi (i) heä soá ma saùt giöõa caùc traùi banh ít nhaát laø 3 2, vaø (ii) heä soá ma saùt giöõa moãi traùi banh vôùi maët baøn ít nhaát laø 1 4 ( 3 2).

20 Hình 30: OÁng khoùi 120 ft cuûa xöôûng thuoäc coâng ty baøn chaûi ôû Wymondham, Norfolk bò ñoå naêm 1988. Baøi taäp Phöông trình Lagrange 1. Moät sôïi xích xe ñaïp goàm N maét xích noái vôùi nhau thaønh moät voøng kín. Xích coù theå tröôït töï do treân maët baøn naèm ngang. Xích coù bao nhieâu baäc töï do? Coù bao nhieâu ñaïi löôïng ñöôïc baûo toaøn trong chuyeån ñoäng? Soá lôùn nhaát caùc maét xích coù theå coù vôùi chuyeån ñoäng cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh bôùi chæ nguyeân lyù baûo toaøn? 2. [Maùy Attwood] Moät roøng roïc khoái löôïng 2m coù theå quay töï do chung quanh truïc ñoái xöùng naèm ngang cuûa noù. Hai koái löôïng m, 3m ñöôïc noái vôùi nhau bôûi daây maûnh khoâng giaõn vaét qua roøng roïc khoâng tröôït. Toaøn boä heä thöïc hieän chuyeån ñoäng phaúng vôùi caùc khoái löôïng chuyeån ñoäng thaúng ñöùng. Laáy goùc quay cuûa roøng roïc laøm toïa ñoä suy roïng, vieát phöông trình Lagrange cho chuyeån ñoäng. Suy ra gia toác höôùng leân cuûa khoái löôïng m. 3. Moät roøng roïc nheï coù theå quay töï do quanh truïc ñoái xöùng naèm ngang cuûa noù. Moät sôïi daây maûnh khoâng giaõn vaét qua roøng roïc. ÔÛ moät ñaàu daây mang khoái löôïng 4m, trong khi ñaàu daây coøn laïi mang moät roøng roïc nheï thöù hai. Moät sôïi daây thöù hai vaét qua roøng roïc naøy vaø mang caùc khoái löôïng m vaø 4m taïi caùc ñaàu daây. Toaøn boä heä thöïc hieän chuyeån ñoäng phaúng vôùi caùc khoái löôïng chuyeån ñoäng thaúng ñöùng. Tìm caùc phöông trình Lagrange vaø suy ra gia toá cuûa moãi khoái löôïng.

21 Hình 31: Baøi taäp 49. Hình 32: Baøi taäp 50. 4. Moät caùnh cöûa khoái löôïng phaân boá ñeàu roäng 2a coù theå ñung ñöa töï do treân caùc baûn leà cuûa noù. Ñöôøng noái caùc baûn leà leäch goùc α so vôùi phöông thaúng ñöùng. Laáy goùc quay cuûa cöûa töø vò trí caân baèng laøm toïa ñoä suy roäng vieát phöông trình Lagrange cho chuyeån ñoäng. Suy ra chu kyø cuûa dao ñoäng beù cuûa cöûa quanh vò trí caân baèng. 5. Moät khoái truï khoái löôïng löôïng m phaân boá ñeàu baùn kính a laên treân maët ngoaøi nhaùm cuûa khoái truï naèm ngang coá ñònh baùn kính b. Trong chuyeån ñoäng, caùc truïc cuûa hai khoái truï giöõ song song vôùi nhau. Cho θ laø goùc giöõa maët phaúng chöùa truïc khoái truï vôùi phöông thaúng ñöùng. Laáy θ laøm toïa ñoä suy roäng, vieát phöông trình Lagrange vaø kieåm chöùng raèng noù töông ñöông phöông trình baûo toaøn naêng löôïng. Ban ñaàu khoái truïc C ôû traïng thaùi nghæ treân ñònh khoái truï coá ñònh khi noù ñöôïc cho moät dòch chuyeån nhoû. Tìm, nhö laø haøm cuûa θ, thaønh phaàn phaùp cuûa löïc phaûn taùc duïng treân C. Suy ra raèng C seõ rôøi khoûi khoái truï coá ñònh khi θ = cos 1 (4/7). Giaû söû raèng söï laên tieáp tuïc ñeán thôøi ñieåm naøy coù thöïc teá khoâng?

22 Hình 33: Baøi taäp 51. Hình 34: Baøi taäp 1. 6. Moät ñóa troøn khoái löôïng M phaân boá ñeàu baùn kính a coù theå laên treân ñöôøng ray nhaùm naèm ngang. Moät chaát ñieåm khoái löôïng m ñöôïc treo vaøo khoái taâm C cuûa ñóa bôûi daây maûnh khoâng giaõn chieàu daøi b. Toaøn boä heä chuyeån ñoäng trong maët phaúng thaúng ñöùng qua ñöôøng ray. Laáy toïa ñoä suy roäng x, chuyeån dòch theo phöông ngang cuûa C, vaø θ, goùc giöõa daây vaø phöông thaúng ñöùng höôùng xuoáng döôùi. Vieát caùc phöông trình Lagrange. Chöùng toû raèng x laø toïa ñoä cyclic vaø tìm ñoäng löôïng baûo toaøn töông öùng p x. p x laø ñoäng löôïng ngang cuûa heä? Cho tröôùc θ laø nhoû trong chuyeån ñoäng, tìm chu kyø beù cuûa chaát ñieåm. 7. Moät quaû caàu khoái löôïng m phaân boá ñeàu laên xuoáng moät treân moät caùi neâm nhaùm khoái löôïng M vaø goùc α, neâm naøy coù theå tröôït treân maët baøn nhaün naèm ngang. Toaøn boä heä chuyeån ñoäng phaúng. Heä coù bao nhieâu baäc töï do? Vieát phöông trình Lagrange. Vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät trong ñoù M =3m/2, tìm (i) gia toác cuûa neâm, vaø (ii) gia toác cuûa quaû caàu ñoái vôùi neâm. 8. Moät thanh cöùng chieàu daøi 2a coù ñaàu thaáp hôn tieáp xuùc vôùi maët saøn naèm ngang. Ban ñaàu thanh taïo moät goùc α vôùi phöông thaúng ñöùng höôùng leân khi

23 Hình 35: Baøi taäp 2. noù ñöôïc giaûi phoùng töø traïng thaùi nghæ. Chuyeån ñoäng sau ñoù xaûy ra maët phaúng thaúng ñöùng. Laáy toïa ñoä suy roäng x, dòch chuyeån taâm thanh theo phöông ngang, vaø θ, goùc giöõa thanh vaø phöông thaúng ñöùng höôùng leân. Vieát caùc phöông trình Lagrange. Chöùng toû raèng x giöõ laø haèng soá trong chuyeån ñoäng vaø kieåm raèng θ - phöông trình töông ñöông vôùi phöông trình baûo toaøn naêng löôïng. Tìm, theo goùc θ, phaûn löïc taùc duïng taùc duïng leân thanh do saøn. 9. Moät chaát ñieåm P ñöôïc noái vôùi moät ñaàu cuûa daây maûnh khoâng giaõn ñi qua moät loã nhoû O trong baøn naèm ngang trôn vaø keùo daøi veà beân döôùi baøn theân ñöôøng thaúng ñöùng. P tröôït treân maët phaúng beân treân cuûa baøn trong khi daây ñöôïc keùo xuoáng döôùi theo caùch cho tröôùc. (Giaû söû chieàu daøi cuûa phaàn naèm ngang cuûa daây laø R(t) taïi thôøi ñieåm t.) Laáy θ, goùc giöõa OP vaø ñöôøng thaúng tham chieáu coá ñònh naøo ñoù trong maët baøn laøm toïa ñoä suy roäng vieát phöông trình Lagrange. Chöùng toû raèng θ laø toïa ñoä cyclic vaø tìm (vaø nhaän daïng) ñoäng löôïng baûo toaøn töông öùng p θ. Taïi sao ñoäng naêng khoâng baûo toaøn? Neáu giaù trò haèng cuûa p θ laø ml, tìm söùc caêng daây taïi thôøi ñieåm t. 10. Moät chaát ñieåm P khoái löôïng m tröôït doïc theo moät coïng theùp cöùng thaúng trôn. Coïng theùp coù moä ñieåm coá ñònh taïi goác O, vaø ñöôïc laøm quay trong maët phaúng xy vôùi vaän toác goùc Ω. Laáy r, khoaûng caùch töø P ñeán O, nhö laø toïa ñoä suy roäng vaø vieát phöông trình Lagrange. Ban ñaàu chaát ñieåm caùch O khoaûng caùch a vaø ñöùng yeân ñoái vôùi coïng theùp. Tìm vò trí cuûa noù luùc t. Tìm haøm naêng löôïng h vaø chöùng toû raèng noù baûo toaøn cho duø raøng buoäc phuï thuoäc thôøi gian.

24 Hình 36: Baøi taäp 3. 11. Moät truï troøn khoái löôïng phaân boá ñeàu (yo-yo) coù sôïi daây maûnh khoâng giaõn quaán chung quanh noù ñeán noãi khoâng tröôït. Ñaàu töï do cuûa daây ñöôïc buoäc vaøo giaù ñôõ vaø yo-yo chuyeån ñoäng treân ñöôøng thaúng ñöùng vôùi phaàn thaúng cuûa daây cuõng thaúng ñöùng. Cuøng luùc giaù ñôõ di chuyeån thaúng ñöùng leân treân vôùi dòch chuyeån Z(t) taïi thôøi ñieåm t. Laáy goùc quay cuûa yo-yo nhö laø toïa ñoä suy roäng vaø vieát phöông trình Lagrange. Tìm gia toác cuûa yo-yo. Gia toác höôùng leân cuûa cuûa giaù ñôõ ñeå cho taâm cuûa yo-yo ñöùng yeân. Tìm bieåu thöùc cho naêng löôïng toaøn phaàn E = T + V taïi thôøi ñieåm t. 12. Moät chaát ñieåm ñöôïc buoäc vaøo giaù bôûi daây maûnh khoâng giaõn ñi qua moät voøng nhoû coá ñònh beân döôùi giaù ñôõ. Chaát ñieåm di chuyeån trong maët phaúng thaúng ñöùng vôùi daây caêng. Taïi cuøng thôøi gian giaù ñôõ ñöôïc laø di chuyeån leân treân vôùi dòch chuyeån Z(t) taïi thôøi ñieåm t. Taùc ñoäng laø chaát ñieåm dao ñoäng gioáng con laéc ñôn maø ñoä daøi cuûa noù taïi thôøi ñieåm t laø a Z(t), trong ñoù a laø haèng soá döông. Laáy goùc giöõa daây vaø phöông thaúng ñöùng höôùng xuoáng döôùi laøm toïa ñoä suy roäng vieát phöông trình Lagrange. Tìm haøm naêng löôïng h vaø naêng löôïng toaøn phaàn E vaø chöùng toû raèng h = E mż 2. Noù coù baûo toaøn?

25 Hình 37: Baøi taäp 4. Hình 38: Baøi taäp 5. Hình 39: Baøi taäp 6.

26 Hình 40: Baøi taäp 7. Hình 41: Baøi taäp 8. Hình 42: Baøi taäp 9.

27 Hình 43: Baøi taäp 10. Hình 44: Baøi taäp 11. Hình 45: Baøi taäp 12.

28 Giaûi thích Caùch tính vectô ñoäng löôïng, vectô moâmen ñoäng löôïng cuûa heä. Vectô ñoäng löôïng cuûa heä ñöôïc tính nhôø ñònh lyù chuyeån ñoäng cuûa khoái taâm C ( ) P = m k ṙ k = m k ṙ C = Mṙ C. Hình 1: Heä quy chieáu di ñoäng Cx y z. Ñeå tính vectô moâmen ñoäng löôïng cuûa heä, ta choïn moät ñieåm ñaëc bieät cuûa heä laøm cöïc (thöôøng laø khoái taâm), goïi laø C. Chuyeån ñoäng cuûa heä ñöôïc phaân tích thaønh hôïp cuûa hai chuyeån ñoäng: (1) chuyeån ñoäng ñoái vôùi heä di ñoäng Cx y z (Cx Ox, Cy Oy, Cz Oz), heä naøy chuyeån ñoäng tònh tieán vôùi heä quy chieáu coá ñònh Oxyz; (2) chuyeån ñoäng theo gaén vôùi heä di ñoäng. Ta coù r k = r C + r k, r k = CM k ṙ k = ṙ C + r k. Soá haïng r k laø vaän toác töông ñoái cuûa chaát ñieåm ñoái vôùi heä quy chieáu di ñoäng, coøn ṙ C laø vaän toác theo cuûa chaát ñieåm trong chuyeån ñoäng cuûa heä ñoäng ñoái vôùi heä quy chieáu coá ñònh Oxyz. Vectô moâmen ñoäng löôïng cuûa heä L O = ( ) r k m k (ṙ C + r k )= m k r k ṙ C + m k r k r k = r C Mṙ C + m k r k r k.

29 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät quan troïng: a) Heä chuyeån ñoäng tònh tieán, r k laø vectô haèng neân r k = 0, L O = r C Mṙ C. b) Heä chuyeån ñoäng quay quanh truïc qua O. Choïn C O, r C = 0, r k = r k vaø ṙ k = ωk r k, L O = m k r k (ωk r k ) [( ) = ω m k rk 2 k ] m k (r k k)r k. Trong tröôøng hôïp naøy thöôøng ta caàn tính moâmen ñoäng löôïng ñoái vôùi truïc quay L. Chieáu ñaúng thöùc treân xuoáng truïc (xem hình 2) Hình 2: [( ) ] L = ω m k rk 2 m k (r k k) 2 = ω m k d 2 k = J ω. Vieäc thieát laäp phöông trình toång quaùt ñoäng löïc hoïc, (F k m k r k )δr k =0.

30 cho coá theå (goàm voâ soá chaát ñieåm) thöôøng laøm cho ngöôøi môùi baét ñaàu luùng tuùng. Caùc saùch giaûi baøi taäp thöôøng khoâng trình baøy roõ gaây ra tình traïng lô mô cuûa ngöôøi hoïc. Döôùi ñaây ta giaûi thích roõ caùch tính toaùn. Ta phaân bieät caùc tröôøng hôïp: 1) Coá theå chuyeån ñoäng tònh tieán (toái ña coù 3 baäc töï do). Choïn r =(x, y, z) laøm ñieåm khaûo saùt (caùc toïa ñoä suy roäng). Ta coù vôùi moïi k. Töø ñoù, ṙ k = ṙ δr k = δr, r k = r, F k δr k = ( ) F k δr = R δr, ( m k r k δr k = m k ) r δr = M r δr, trong ñoù R = n F k laø toång hình hoïc caùc löïc chuû ñoäng, M = n m k laø khoái löôïng cuûa coá theå. 2) Coá theå chuyeån ñoäng quay quanh truïc ñi qua O. Choïn ϕ (goùc quay) laøm tham soá ñònh vò heä (toïa ñoä suy roäng). Ta coù, vôùi moïi k, ṙ k = ϕk r k δr k = δϕk r k, r k = ϕk r k + ϕk ( ϕk r k ), r k δr k = δϕ r k (k r k )= k r k 2 ϕδϕ = d 2 k ϕδϕ, trong ñoù k laø vectô ñôn vò cuûa truïc quay xaùc ñònh baèng quy taéc vaën nuùt chai, d k laø khoaûng caùch töø chaát ñieåm thöù k ñeán truïc quay. Töø ñoù, F k δr k = δϕ ( ) F k (k r k )=δϕk r k F k = M δϕ, ( ) m k r k δr k = m k d 2 k ϕδϕ = J ϕδϕ, trong ñoù M = k ( n r k F k ) laø toång moâmen cuûa löïc chuû ñoäng ñoái vôùi truïc quay, J =( n m kd 2 k ) laø moâmen quaùn tính cuûa coá theå vôùi truïc quay.

3) Coá theå chuyeån ñoäng toång quaùt laø hôïp cuûa chuyeån ñoäng tònh tieán vaø quay. Ta coù theå thöïc hieän theo caùch nhö hai tröôøng hôïp treân. Chuù yù vectô quay trong tröôøng hôïp naøy coù phöông chieàu thay ñoåi theo t. 31