Second order sliding mode and adaptive observer for synchronization of a chaotic system: a comparative study

Bản ghi

1 Second order sliding mode and adaptive observer for synchronization of a chaotic system: a comparative study Francisco J. Bejarano, Malek Ghanes, Jean-Pierre Barbot, Leonid Fridman To cite this version: Francisco J. Bejarano, Malek Ghanes, Jean-Pierre Barbot, Leonid Fridman. Second order sliding mode and adaptive observer for synchronization of a chaotic system: a comparative study. IFAC World Congress, Jul 28, Séoul, North Korea. inria HAL Id: inria Submitted on 9 Dec 28 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 ËÓÒ ÓÖÖ ÐÒ ÑÓ Ò ÔØÚ Ó ÖÚÖ ÓÖ ÝÒÖÓÒÞØÓÒ Ó ÓØ Ý ØÑ ÓÑÔÖØÚ ØÙÝ ÖÒ Ó Âº ÖÒÓ ÅÐ Ò ÂÒ¹ÈÖÖ ÖÓØ ÄÓÒ ÖÑÒ ÕÙÔ ÓÑÑÒ ËÝ ØÑ Ëµ ÆË ÚÒÙ Ù ÈÓÒÙ ¼½ ÖݹÈÓÒØÓ ÖÒ ¹ÑÐ ßÖÒ ÓºÖÒÓ ÅÐºÒ ÖÓØÐÒ ºÖµ ÆØÓÒÐ ÙØÓÒÓÑÓÙ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÅÜÓ ÒÒÖÒ ÙÐØÝ Ú ÓÒ Ó ÐØÖÐ ÒÒÖÒ ÍÆÅ ¼½¼ ÅÜÓ ºº ¹ÑÐ ÐÖÑÒ ÖÚÓÖºÙÒѺÑܵ ØÖØ ½º ÁÆÌÊÇÍÌÁÇÆ ¾º ÈÊÇÄÅ ËÌÌÅÆÌ ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓØ Ý ØÑ ẋ (t) = a(x 2 (t) x (t)) + x 2 (t)x 3 (t) + m (t) ẋ 2 (t) = b (x (t) + x 2 (t)) x (t)x 3 (t) ẋ 3 (t) = cx 3 (t) ex 4 (t) + x (t)x 2 (t) + m (t) ½µ ẋ 4 (t) = fx 3 (t) dx 4 (t) + x (t)x 3 (t) + m 2 (t) y (t) = x (t) y 2 (t) = x 2 (t) ÛÖ x i R i =, 2, 3, 4µ Ö Ø ØØ Ó Ø Ý ØÑ m Ò m 2 ÖÔÖ ÒØ Ø ÒÓÖÑØÓÒ ØÓ ØÖÒ ÑØØ Û ÓÖ Ø Ó ÖÚØÓÒ ÔÖÓÐÑ Ö ÓÒ Ö Ø ÙÒÒÓÛÒ ÒÔÙØ y Ò y 2 Ö Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ø Ý ØÑ Ø Ö Ø ÒÐ ØÓ ÒØ Ý ÔÙÐ ÒÒк ÙÑÔØÓÒº ¾º½º Ì ÒÐ m Ò m 2 Ö ÙÑ ØÓ ÖÒØÐ ÓÙÒ Ò ÛØ Ø ÖÚØÚ ÓÙÒº Ì ÓÐ ØÓ ÖÓÒ ØÖÙØ Ø ØØ x 3 Ò x 4 Û ÐÐÓÛ ØÓ ÖÓÒ ØÖÙØ Ø Ñ m Ò m 2 º ÓÖ ÚÒ Ù ÓÐ ØÛÓ ÔÔÖÓ Ö Ø Ø ÒÑÐÝ Ò Ó¹ ÖÚÖ ÓÒ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ ØØ ÐÐÝ ÐÐÓÛ ØÓ ÓØÒ ÒÓÖÑØÓÒ ÖÓÑ Ø ÖÚØÚ Ó Ø ÓÙØÔÙØ Ò ÓÒ ÕÙÒØÐÝ ØÓ ÖÓÒ ØÖÙØ Ø ØØ Ò Ø Ñ ÙÒÒÓÛÒ ÒÔÙØ µ Ò Ò ÔØÚ Ó ÖÚÖº ÓÑÔÖ ÓÒ ØÛÒ Ø ØÛÓ ÑØÓ ÛÐÐ Ù º ÁØ ÓÙÐ ÒÓØ ØØ ÒÙÐÖØÝ ÔÔÖ Ò Ø ÔÓÒØ x = ØØ ÖÓÑ Ø ÓÙØÔÙØ x Ò x 2 ÒÓØ ÔÓ Ð ØÓ ÒÓÛ Ø ØØ x 3 Ò x 4 Ò ÓÒ ÕÙÒØÐÝ ÒØÖ Ø Ñ m Ò m 2 º ẋ a, = b (x + x 2 ) + v v = ˆx,3 + λ s /2 sign s ˆx,3 = α sign s s = x 2 x a, ÁÒ Ø ÛÝ Ø ÖÚØÚ Ó s Ø Ø ÓÖÑ ṡ = x x 3 v µ ÓÓ Ò Ø Ò λ (α+m)(+θ) 2 θ α +M Ò α > M d dt (x x 3 ) < θ < µ Û Ø ÓÖÒ ØÓ ÄÚÒØ µ ÄÚÒØ µ Ò ÚÐ ¼µ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÐÒ ÑÓØÓÒ ØØ s (t) = ṡ (t) = ØÖ ÓÑ ÒØ ØÑ T º ÆÓØ ØØ ÓÖ s = v = ˆx 3 ØÖÓÖ ÖÓÑ µ Û Ø ˆx,3 (t) x (t) x 3 (t) ÖÓÑ µ Û Ò ÖÓÒ ØÖÙØ x 3 (t) ÔÖÓÚ x (t) º ÌÙ Ø Ó ÖÚÖ ÓÖ x 3 Ò Ò Ø ÓÖÑ ˆx,3 (t) x ˆx 3 (t) = (t) ε x (t) µ ˆx 3 (t τ) x (t) < ε ¾µ µ ÛÖ τ Ò ε Ö ÒÓÙ ÑÐÐ ÓÒ ØÒØ º ÌÙ Û Ø Ø ÒØØÝ ˆx 3 (t) x 3 (t) ÓÖ x (t) εº ÊÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó x 4 ÆÓÛ ÒÒ ȳ 3 (t) = x 3 (t) ÒÛ ÓÙØÔÙØ Û Ò ÖÛÖØ Ø ÝÒÑ ÕÙØÓÒ Ò ½µ ÐÒÖ Ý ØÑ ÛØ ÓÙØÔÙØ ÒØÓÒ Ò ÙÒÒÓÛÒ ÒÔÙØ ØØ º ËÍÈʹÌÏÁËÌÁÆ ÇËÊÎÊ Ö Ø Ò ÓÖÖ ØÓ ÒÖØ ÒÛ ÓÙØÔÙØ ÒÑÐÝ Ø ÚÖ¹ Ð x 3 Û Ù Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÒÒ Ø Ó ÖÚÖ ÓÖ ˆx 3 Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÛÝ Ì ÓÒ ØÒØ τ Ó Ò ÒÓÙ ÑÐÐ ÙØ Ö ØÒ Ø ÑÔÐÒ ØÑ Ù ÙÖÒ Ø ÖÐÞØÓÒ Ó Ø Ó ÖÚÖº Ì ÓÒ ØÒØ ε ÓÙÐ Ó Ò ÙÒØÐÝ ØÓ ÚÓ Ø ÒÙÐÖØÝ ÙØ Ð Ó ÓÙÐ ÒÓØ ØØ ÒÝ ØÑØÓÒ Ò Ø ÞÓÒ Ò ÒÓØ ÓÒ Ö Ò ÔØÐ ØÑØÓÒº

3 ẋ ẋ2 ẋ3 ẋ4 ¹a a x y 2 ȳ 3 [ ] b b x 2 ¹y ¹c ¹e x ȳ 3 m 3 y y 2 m 2 f ¹d x 4 y ȳ 3 w A x D [ y y 2 ȳ 3 ȳ φ(y,y 2,ȳ 3) ] [ ] = x ÆÓÛ ÐØ z Ò Ý Ø ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ z = Az + φ(y, y 2, ȳ 3 ) ÌÙ ÒÒ e z = x z Û ÓØÒ Ø ÝÒÑ ÕÙØÓÒ ÓÖ e z e z (t) = Ae z (t) + Dw (t) µ y z = Ce z ÀÒ Ø Ý ØÑ µ ÐÐÝ ÐÒÖ Ý ØÑ ÛØ ÙÒÒÓÛÒ ÒÔÙØ Ù Ø Ø ÓÖØ Ó Ý ØÑ ÓÒ Ö Ò ÖÒÓ ¼µº ÌÒ ÓÖ Ø ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó x 4 Û ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÙØ ÛØ ÐØØÐ ÑÓØÓÒ Ø ÐÓÖØÑ ÔÖÓÔÓ Ò ÖÒÓ ¼µº ÌØ Ø ÔÖÓ¹ ÔÓ Ò ÖÒÓ ¼µ ØÓ ÓØÒ Ò ÐÖ ÜÔÖ ÓÒ Ó e z Ò ØÖÑ Ó Ø ÓÙØÔÙØ y z Ò Ø ÖÚØÚ º ÌÙ Û Ø Ø ÕÙÐØ 2 y z = Ce z d dt (CD) y z = (CD) CAe z ØÙ Û Ø 3 [ ] + [ ] C y z (t) e z (t) = (CD) CA (CD) y z (t) C µ µ ËÒ Û ÐÖÝ ÒÓÛ Ø Ö Ø ØØ Û ÓÐÚ µ ÓÖ e z,4 Ø ÓÙÖØ ØØ Ó e z º ÌÙ e z,4 = e [ė z, ė z,3 + a (e z, e z,2 ) ce z,3 + e z, e z,2 e z,2 e z,3 ] º½ ÊÐÞØÓÒ Ó Ø Ó ÖÚÖ Ù Ò ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÌÓ ÖÙ Ø Ø ÝÒÑ Ò Ú ÑÐÐÖ Ò Ò Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ Û Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Ð¹ ÐÒÖ ØÑØÓÖ x ÛÓ ÝÒÑ ÓÚÖÒ Ý Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ [ ] [ ] c e y y x = x L (ȳ f d y ȳ 3 ỹ 3 ) 3 Ā ½¼µ ỹ 3 = [ ] x C Ì ÑØÖÜ L Ó Ò Ó ØØ Ø ÒÚÐÙ Ó Ø ÑØÖÜ ( Ā L C ) Ú ÒØÚ ÖÐ ÔÖغ ÁÒ [ Ø ] ÛÝ Û x3 Ú ØØ Ø ÝÒÑ ÕÙØÓÒ ÓÖ ē = x Ö x 4 2 Y ÙÐÐ ÖÓÛ ÖÒ ÑØÖÜ Ù ØØ Y Y = º 3 Ì ÑØÖÜ X + Ò ØÓ Ø Ô ÙÓ¹ÒÚÖ Ó Xº Ì ÑØÖÜ ÓÒ Ö Ò µ ÐÓÒ ØÓ ÓÖØ Ó ÑØÖ Ó ÙÐÐ ÓÐÙÑÒ ÖÒº ÀÒ Ò Ù X + = ( X T X ) X T º µ ē (t) = ( Ā LC ) ē (t) + w (t) ÛÖ w Ò Ò µº ÀÒ Û Ø ÓÑ ÙÔÔÖ ÓÙÒ ÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ó ē Ò ÓÖ Ø ÒÓÖÑ Ó ē ØØ ē (t) γ exp ( λt) ē() + µ w (t) γ λ µ Ö ÔÓ ØÚ ÓÒ ØÒØ ÌØ ÛØ Ø ØÑØÓÖ ½¼µ ē ÓÒ ØÖÒ ØÓ ØÝ Ò ÞÓÒ ÔÒÒ ÓÒ Ø ÑÔÐØÙ Ó m Ò m 2 Ò Ø ÞÓÒ Ò Ñ ÑÐÐÖ Ý ÑÓÚÒ Ø ÒÚÐÙ Ó ( Ā LC ) ÑÓÖ ØÓ Ø ÐØ Ò Ø ÐØ Ð¹ÔÐÒº ÌÒ ÓÐÐÓÛÒ Ø ÐÖ ÜÔÖ ÓÒ ÓØÒ Ò µ Û Ò Ø Ó ÖÚÖ ÓÖ x 4 Ù Ò Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ ÓÐÐÓÛ ẋ a,2 = e [a (x 2 x ) + cˆx 3 x x 2 + x 2ˆx 3 ] + x 4 + v 2 v 2 = v 2, + λ 2 s 2 signs 2 v 2, = α sign s 2 s 2 = e (x x 3 ) x a,2 x4 + v ˆx 4 (t) = 2, x (t) ε ˆx 4 (t τ) x (t) < ε ÛÖ x 4 Ø ÓÒ ÓÑÔÓÒÒØ Ó Ø ÚØÓÖ x Ò Ò ½¼µº ÌÒ Ø ØÑ ÖÚØÚ Ó s 2 ṡ 2 = x 4 x 4 + v 2 ÌÙ ÓÖ λ 2 (α2+m2)(+θ) 2 θ α 2+M 2 Ò α 2 > M 2 d dt (x 4 x 4 ) < θ < µ ØÖ ÓÑ ÒØ ØÑ T 2 Û Ø s 2 = Ò ṡ 2 = ØÖÓÖ ˆx 4 x 4 ÓÖ x (t) εº º¾ Å ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ì ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó m Ñ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÛÝ ẋ a,3 = a (x 2 x ) + x 2ˆx 3 + v 3 v 3 = v 3, + λ 3 s 3 signs 3 v 3, = α 3 signs 3 v ˆm = 3, x (t) ε ˆm (t τ) x (t) < ε s 3 = x x 3 a ÌÙ ÓÖ α 3 Ò λ 3 Ø ÝÒ λ 3 (α3+m3)(+θ) θ 2 α 3+M 3 Ò α 3 > M 3 ṁ < θ < µ ØÖ ÓÑ ÒØ ØÑ Û Ø Ø ÕÙÐØ s 3 = ṡ 3 = º ÌÙ Û Ø Ø ÕÙÐØÝ ˆm m ÓÖ x (t) ε Ì ÖÓÒ ØÖÙØÓÒ Ó m 2 Ñ Ò ÑÐÖ ÛÝ ØØ ẋ a,4 = b (x + x 2 ) + fx 3 dx 4 + v 4 v 4 = v 4, + λ 4 s 4 signs 4 v 4, = α 4 signs 4 ˆm 2 = v 4, x (t) ε ˆm 2 (t τ) x (t) < ε s 4 = x 2 + x 4 x a,4 ÌÙ ØÒ ÒØÓ ÓÙÒØ ½µ Ò Ø ÖÚØÚ Ó x a,4 ÛØ Ø ÓÓ Ò Ó α 4 Ò λ 4 Ø ÝÒ Ø ÒÕÙÐØ λ 4 (α4+m4)(+θ) 2 θ α 4+M 4 Ò α 4 > M 4 ṁ 2 < θ < µ ÄÚÒØ µ ÄÚÒØ µµ Û Ø ØÖ ÓÑ ÒØ ØÑ ˆm 2 m 2 ÓÖ x (t) ε

4 ÊÑÖº º½º Ø ÐÒ Ø Ñ ØØ ÙÖÒ Ø Ø¹ ÑØÓÒ Ó Ø ØØ x 3 Ø ÙÒØ ÛØ ØÓ Ù x (t) Ò Ø Ó x (t) ε ÙØ Ø Ù ØØÓÒ ÚÒ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÐÒ º ÁØ ÒÓÛÒ ØØ ÙÖÒ Ø ÖÐÞ¹ ØÓÒ Ó Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ s Ò ṡ Ö ÒÓØ ÜØÐÝ ÞÖÓ Ò Ò Ø Ó ÚÒ µ Û ÖÐÐÝ Ú Ø ÕÙÐØÝ ˆx,3 (t) = x (t)x 3 (t) + (t) ÛÖ ÖÔÖ ÒØ Ø ØÑØÓÒ ÖÖÓÖ Ò Û Ó ÒÓØ ØÒ ØÓ ÞÖÓº ÌÒ ØÖ ÚÒ ÓÚÖ x Ø ÝÐ Ø ÕÙÐØÝ x 3 := ˆx,3 x = x 3 x Û ÑÒ ØØ ÛÒ x ÚÖÝ ÐÓ ØÓ ÞÖÓ Ø ÖÖÓÖ ØÛÒ x 3 Ò x 3 ÕÙÐ ØÓ O (/x )º ÌÖÓÖ Ò ÑÐÐ ÒÓÖÓÓ Ó x = Ø ÖÖÓÖ ØÛÒ x 3 Ò x 3 ÜØÖÑÐÝ º Ì Ù ØÝ Ø ØÖÙØÙÖ Ó ˆx 3 º º ÈÌÁÎ ÇËÊÎÊ Ì ÑÓÐ Ó ÓØ Ý ØÑ ½µ Ò ÖÛÖØØÒ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒØÖÓÒÒØ ÓÑÔØ ÓÖÑ X = A (y 2 )X + g (y, X, X 2 ) + φ (t) ½½µ y = C X X 2 = A 2 (y )X 2 + g 2 (y, X 2, X ) + φ 2 (t) ½¾µ y 2 = C 2 X 2 ÛÖ X = (x, x 3, x 4, x 5 ) T Ø ØØ Ó Ø Ö Ø Ù Ý ØÑ ÛØ x 5 := m 2 X 2 = (x 2, x 3, x 6 ) T Ø ØØ Ó Ø ÓÒ Ù Ý ØÑ ÛØ x 6 := m º y = [x, x 2 ] T Ö Ø ÓÙØÔÙØ Ó Ø ÛÓÐ Ý ØÑ Ò y 2 ( ) y c A (y 2 ) = A 2 (y ) = a(y y 2 ) + x 6 ex g (y, X 2, X ) = 4 + y y 2 + x 6 fx 3 dx 4 + y x 3 ( ) b(y + y 2 ) g 2 (y, X 2, X ) = cx 3 ex 4 + y y 2 ] [ φ i (t) = i =, 2 ṁ i C = ( ) C 2 = ( ) º ÊÑÖº º½º Ì Ó Ó Ø ÚÖÐ Ó Ù Ý ¹ ØÑ Ò ÓÒ Ö Ò ÓÖÖ ØÓ ÔÖØ Ò ÓÒ Ù¹ Ý ØÑ Ø Ñ m Ò Ò Ø ÓØÖ ÓÒ Ø Ñ m 2 º ÁØ ÐÖ ØØ ÓØÖ Ó Ò ÓÒ Ö Ò ÓÖÖ ØÓ ÖÔÖ ÒØ Ø Ù Ý ØÑ ÔÖÓÚ Ø Ò ÖÝ ÓÒØÓÒ ØÓ Ò Ò ÔØÚ Ö Ø º ÆÜØ ÐØ Ù ÒØÖÓÙ Ò ÔØÚ Ó ÖÚÖ Ò ÓÖÖ ØÓ ØÑØ Ø Ý Øѳ ØØ Ò Ø ÙÒÒÓÛÒ ÒÔÙØ ÑÙй ØÒÓÙ Ðݺ ÁØ ÓÒ ÒØÖÓÒÒØÓÒ ØÛÒ ÚÖÐ Ù Ý ØÑ Û Ø ÓÑ ÖÕÙÖ ÔÖÓÔÖØ Ù ØØ Ø ÔÖÓÔÖØÝ Ó ÒÔÙØ ÔÖ ØÒÝ ÀÑÑÓÙÖ ¼µ Ò ¼µµº Ø Ö Ø ÐØ Ù ÒØÖÓÙ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÙÑÔØÓÒ Ò ÓÖÖ ØÓ ØÐ Ø Ö ÙÐØ ÓÒÖÒÒ Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ Ò ÑÓÖ ØÐ Ò Ò ¼µµº ÙÑÔØÓÒº º½º ½º Ì ÒÐ X Ò X 2 Ö ÙÑ ÓÙÒ Ò ØÓ ÖÙÐÖÐÝ ÔÖ ØÒØ ÀÑÑÓÙÖ ¼µ Ò ¼µµ Ò ÓÖÖ ØÓ ÙÖÒØ Ø Ó ÖÚÐØÝ ÔÖÓÔÖØÝ Ó Ù Ý ØÑ ½½µ Ò ½¾µ Ö ÔØÚÐݺ ¾º A (y 2 ) Ò A 2 (y ) Ö ÙÒÓÖÑÐÝ ÓÙÒº º g (y, X, X 2 ) ÐÓÐÐÝ ÄÔ ØÞ ÛØ Ö ÔØ ØÓ X 2 Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÛØ Ö ÔØ ØÓ (y, X )º º g 2 (y, X 2, X ) ÐÓÐÐÝ ÄÔ ØÞ ÛØ Ö ÔØ X Ò ÙÒÓÖÑÐÝ ÛØ Ö ÔØ ØÓ (y, X 2 )º º Ì ÙÒÒÓÛÒ ÙÒØÓÒ ṁ i (t) i =, 2µ Ö ÙÑ ØÓ ÓÙÒº ÌÒ Ò ÔØÚ Ó ÖÚÖ ÓÖ ÒØÖÓÒÒØ Ù Ý ØÑ ½½µ Ò ½¾µ ØÑØÒ Ø ØØ Ò ÙÒÒÓÛÒ ÔÖѹ ØÖ ÚÒ Ý Z = A (y 2 )Z + g (y, Z, Z 2 ) + S CT (y ŷ ) S = θ S A T (y 2)S S A (y 2 ) + C T C ŷ = C Z ½ µ Z 2 = A 2 (y )Z 2 + g 2 (y, Z 2, Z ) + S2 CT 2 (y 2 ŷ 2 ) S 2 = θ 2 S 2 A T 2 (y )S 2 S 2 A 2 (y ) + C2 T C 2 ŷ 2 = C 2 Z 2 ½µ ÛÖ Z = (ˆx, ˆx 3, ˆx 4, ˆx 5 ) T Z 2 = (ˆx 2, ˆx 3, ˆx 6 ) T S i = Si T > i =, 2º ÆÓØ ØØ S CT Ò S2 CT 2 Ö Ø Ò Ó Ø Ó ÖÚÖ ½ µ Ò ½µ Ö ÔØÚÐݺ ÊÑÖº º¾º ÁØ ÛÓÖØ ÒÓØÒ ØØ S Ò S 2 Ö ÓÙÒ ÓÖ θ Ò θ 2 ÐÖ ÒÓÙ Ù ØÓ Ø ÔÖ ØÒÝ Ó ÒÔÙØ ÓÒ Ö Ò ÙÑÔØÓÒ º½º ÆÓÛ Ò ÓÖÖ ØÓ ÙÖÒØ Ø ÓÒÚÖÒ Ó Ø ÔÖÓ¹ ÔÓ Ó ÖÚÖ ÙÒØ ÓÒØÓÒ Ö ØÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ Ö ÙÐغ ÒÓØ Ø ØÑØÓÒ ÖÖÓÖ ǫ = X Z Ò ǫ 2 = X 2 Z 2 ÛÓ ÝÒÑ Ö ÚÒ Ý ǫ = [A (y 2 ) S CT C ]ǫ ½µ +g (y, X, X 2 ) g (y, Z, Z 2 ) + φ (t) ǫ2 = [A 2 (y ) S2 CT 2 C 2]ǫ 2 ½µ +g 2 (y, X 2, X ) g 2 (y, Z 2, Z ) + φ 2 (t) º Ì ÚÐÙ Ó θ Ò θ 2 Ö Ó Ò ØÓ Ø Ý Ø ÒÕÙй Ø δ = (θ Γη) > δ 2 = (θ 2 Γ η ) > ½µ ÛÖ Γ = µ + µ 2, ÛØ µ i = µ i λmin(s ) λ min(s 2), i =, 2; Ò µ = k k 2 µ 2 = k 3 k 4 η ], [º Ì ÔÖÑØÖ k, k 2, k 3 k 4 Ö ÔÓ ØÚ ÓÒ ØÒØ Ò λ min (S ), λ min (S 2 ) Ö Ø ÑÒÑÐ ÒÚÐÙ Ó S Ò S 2 Ö ÔØÚÐݺ ÄÑÑ º½º ÓÒ Ö Ø Ý ØÑ ½ µ¹ ½µ Ò ØØ ¹ ÙÑÔØÓÒ º½ ÓÐ º ÌÒ Ø Ý ØÑ ½ µ¹ ½µ ÔÖع Ð ÜÔÓÒÒØÐ Ó ÖÚÖ ÓÖ Ý ØÑ ½½µ¹ ½¾µ ÓÖ θ Ò θ 2 Ø ÝÒ Ø ÒÕÙÐØ ½µº ÙÖØÖÑÓÖ Ø Ó ÖÚÖ ÓÒÚÖ ÖØÖÖÐÝ Ø ÛØ ÓÒÚÖÒ ÖØ Ü Ý ÔÖÑØÖ δ δ = min(δ, δ 2 )º ËØ Ó ÔÖÓÓ º½º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛÒ ÄÝÔÙÒÓÚ ÙÒ¹ ØÓÒ ÒØ V o = V + V 2 ÛÖ V = ǫ T S ǫ Ò V 2 = ǫ T 2 S 2ǫ 2 º ÖÓÑ ÙÑÔØÓÒ º½ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒÕÙÐØ ÓÐ

5 S k g (y, X, X 2 ) g (y, Z, Z 2 )} k 2 ǫ 2 S 2 k 3 g 2 (y, X 2, X ) g 2 (y, Z 2, Z )} k 4 ǫ º φ k 5 º φ 2 k 6 º ÓÑÔÙØÒ Ø ØÑ ÖÚØÚ Ó V o Ý Ù Ò Ø ÓÚ ÒÕÙÐØ Ø ÓÐÐÓÛ ØØ V o θ ǫ T S ǫ + 2µ ǫ ǫ 2 + φ ½µ θ 2 ǫ T 2 S 2 ǫ 2 + 2µ 2 ǫ 2 ǫ + φ 2 ÆÓÛ ÓÒ Ö ØØ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒÕÙÐØ Ö Ø λmin(s i ) ǫ i 2 ǫ i 2 S i λ max(s i ) ǫ i 2, i =, 2. Ý ÛÖØÒ ½µ Ò ØÖÑ Ó ÙÒØÓÒ V Ò V 2 Ø ÓÐÐÓÛ ØØ V o θ V θ 2 V 2 + 2( µ + µ 2 ) V V2 + k 5 + k 6 ÛÖ Ø ÔÖÑØÖ µ µ 2 Ö Ò Ù Ø ÓÖ ÐÑÑ º½º ÆÜØ Ý Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÒÕÙÐØÝ V V2 υ 2 V + 2υ V 2 υ ], [ ÓÒ Ø V o (θ Γ)V (θ 2 Γ υ )V 2 + k 5 + k 6. ÛÖ Γ Ò Ù Ø ÓÖ ÐÑÑ º½º Ý ØÒ δ Ò r Ù ØØ δ = min(δ, δ 2 ) Ò r = k 5 +k 6 ÓÒ V o δv o + r. ½µ ÒÐÐÝ Ý ÓÓ Ò θ Ò θ 2 Ù ØØ Ø ÒÕÙÐØ ½µ Ö Ø Ò ÙÒØÐÝ ÐÖ Ø ÒÕÙÐØÝ ½µ ÓÛ ØØ ÖØÖÖÐÝ ÓÙÒ ÔÖØÙÖØÓÒ ÛÐÐ ÒÓØ Ö ÙÐØ Ò ÐÖ ÖÖÓÖ ØÑØÓÒ ÚØÓÒ º Ì Ò Ø ÔÖÓÓº º ÆÍÅÊÁÄ ÅÈÄ Æ ÁËÍËËÁÇÆË ÓÖ Ø Ý ØÑ ½µ Û Ù Ø ÔÖÑØÖ a = 42.5 b = 24 c = 3 d = 2 e = 5 f = 4º Ì ÔÖÑØÖ Ù ÓÖ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ Ó ÖÚÖ Ö α = 7 7 λ = 7 3 α 2 = 3 λ 2 = α 3 = λ 3 = 2, α 4 = 6 λ 4 = 3º ÓÖ Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ Ø ÔÖÑØÖ Ù Ö θ = θ 2 = 4º ÙÖ ½ Ò ¾ ÓÛ Ø ØÖØÓÖ Ó Ø ØØ x 3 Ò x 4 ÛÐÐ Ø ÓÒ Ó ˆx 3 Ò ˆx 4 ÓÖ ÓØ Ø ÙÔÖ¹ ØÛ ØÒ Ò Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ º Ï Ò Ò Ø ÙÖ ØØ Ø ØÖØÓÖ Ó Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ Ó ÖÚÖ ÓÒÚÖ ÑÙ ØÖ ØÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÔØÚ Ó¹ ÖÚÖº ÙÖ Ò ÓÛ Ø Ñ m Ò m 2 ØÓØÖ ÛØ ØÖ ØÑØÓÒ ˆm Ò ˆm 2 Ö ÔØÚÐݺ ÁÒ Ø ÙÖ Û ÒÓØ ØØ Ø ÒÙÐÖØÝ Ò Ø ÔÓÒØ x = Ø ÑÓÖ Ø ØÑØÓÒ Ó Ø Ñ Ñ ÛØ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ØÒ Ø ÓÒ Ñ ÛØ Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖº Ì ÐÖ Ù ØÓ Ø ÜÔÐÒØÓÒ Ó ÊÑÖ º½ Ò Ø Ø ØØ Ò ÐÐ Ó ÖÓ ε Ò ÒØÖ Ò x = Ø ÒÓØ ÓÒ ØÑØÓÒ ÒØÖ Ó Ø ØØ ÒÓÖ Ó Ø Ñ º ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ø Ø ÓØ Ó ÖÚÖ ÛØ Ö ÔØ ØÓ ÔÖÑØÖ ÙÒÖØÒØ Û ÒØÖÓÙ ÚÖØÓÒ Ó ½± Ò Ø ÒÓѹ ÒÐ ÔÖÑØÖ º ÙÖ Ò ÓÛ ÓÛ Ø ÔÖÑØÖ º ½º x 3 ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆx 3 Ù Ò Ø ÙÔÖ¹ ØÛ ØÒ ÓØ ÐÒµ Ò ÔØÚ ÐÒµ Ó ÖÚÖ º ¾º x 4 ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆx 4 Ù Ò Ø ÙÔÖ¹ ØÛ ØÒ ÓØ ÐÒµ Ò ÔØÚ ÐÒµ Ó ÖÚÖ ÙÒÖØÒØ Ø Ø ÚÓÖ Ó Ø Ó ÖÚÖ º ÁÒ Ø Ó Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ Ø ÔÖÑØÖ ÙÒÖØÒØÝ ØÖÓÝ ÓÑÔÐØÐÝ Ø ØÑØÓÒ Ó Ø Ñ º ÆÚÖ¹ ØÐ ÒÓ ÑØØÖ ÛØ Ó ÖÚ Ù Ò Ø Ø ØÑØÓÒ Ó Ø Ñ Ò ÓÒ Ö ÙÒÔØк ÊÑÖº º½º ÓÖ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ Ó ÖÚÖ Û Ó ÓÑ ÑÙÐØÓÒ ÛØ x = ØØ ÛØÓÙØ Ù Ò ÐÒÖ ØÑØÓÖº ÁÒ Ø ÑÙÐØÓÒ ÒÓØ ÓÛÒ Ö Û ÓØÒ Ö ÖÖÓÖ Ò Ø ØÑØÓÒ Ó x 4 Û Ø Ò Ø ÖÖÓÖ Ó Ø ØÑØÓÒ Ó m 2 º ÁØ Û Ù ØÓ Ø Ø ØØ Ù Ò x = Ø ÚÖÐ ØÓ ØÑØ ÛØ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØÑ Ñ ÑÙ ØÖ Ò ÓÖ ÚÒ Ò ÔØÐ ØÑØÓÒ Ø ÑÔÐÒ ØÔ ÑÙ Ø ÖÙ ÓÒ ÖÐݺ ÊÊÆË Àº ÀÑÑÓÙÖ Âº ÄÓÒ Ç ÖÚÖ ÝÒØ ÓÖ Øع Ò Ý ØÑ ³ÈÖÓ ¾Ø Á ÓÒÖÒ ÓÒ ÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐ ÀÓÒÓÐÙÐÙ ÀÛº ½¼º ź Ò Âº ÄÓÒ Ò º ÐÙÑÒÙ Ç ÖÚй ØÝ ËØÙÝ Ò Ç ÖÚÖ¹ ÁÒØÖÓÒÒØ ÓÖÑ ÓÖ ËÒ ÓÖÐ ÁÒÙØÓÒ ÅÓØÓÖ³ ÈÖÓ Ø Á ÓÒÖ¹ Ò ÓÒ ÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐ ËÒ Ó Ñ¹ Ö ÍË ¾¼¼ ½ ¹½ ÑÖ Í˺

6 x º º Å m ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆm Ù Ò Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÓØ ÐÒµ Ò ÔØÚ ÐÒµ Ó ÖÚÖ º º Å m 2 ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆm 2 Ù Ò Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÓØ ÐÒµ Ò ÔØÚ ÐÒµ Ó ÖÚÖ º º Å m 2 ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆm 2 ÓØ ÐÒµ ÓÖ Ø Ý ØÑ ÛØ % Ó ÙÒÖØÒØÝ Ò Ø ÔÖÑØÖ º ÓÚ ÛØ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ Ó ÖÚÖ ÐÓÛ ÛØ Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ º ÄÚÒØ ½ ËÐÒ ÓÖÖ Ò ÐÒ ÙÖÝ Ò ÐÒ ÑÓ ÓÒØÖÓг ÁÒØÖÒØÓÒÐ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÒØÖÓÐ ÚÓк ÒÓº ÔÔº ½¾¹½¾ º º ÄÚÒØ ½ ÊÓÙ Ø ÜØ ÖÒØØÓÒ Ú ÐÒ ÑÓ ØÒÕÙ³ ÁÒØÖÒØÓÒÐ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÒØÖÓÐ ÚÓк ÒÓº ÔÔº ¹ º º ÚРĺ ÖÑÒ Ò º ÄÚÒØ ¾¼¼ ËÓÒ¹ÇÖÖ ËÐÒ¹ÅÓ Ç ÖÚÖ ÓÖ ÅÒÐ ËÝ ØÑ ³ Á ÌÖÒ ØÓÒ ÓÒ ÙØÓÑØ ÓÒØÖÓÐ ÚÓк ¼ ÒÓº ½½ ÔÔº ½¹½º ºÂº ÖÒÓ Äº ÖÑÒ Ò º ÈÓÞÒÝ ¾¼¼ ÜØ ØØ ØÑØÓÒ ÓÖ ÐÒÖ Ý ØÑ ÛØ ÙÒÒÓÛÒ Ò¹ ÔÙØ ÓÒ ÖÖÐ ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ ÐÓÖØѳ ÁÒØÖÒØÓÒÐ ÂÓÙÖÒÐ Ó ÊÓÙ Ø Ò ÆÓÒÐÒÖ ÓÒØÖÓÐ ÈÙÐ ÓÒ ÐÒ Ó½¼º½¼¼¾»ÖÒº½½¼ º ºº É Ëºº Ù ºÊº Ò Ø Ðº ¾¼¼ ÇÒ ÓÙÖ¹ ÑÒ ÓÒÐ ÓØ Ý Øѳ Ó ËÓÐÙØÓÒ Ò ÖØÐ ÚÓк ¾ ÒÓº ÔÔº ½½¹½¾º º º Å m ÓÐ ÐÒµ Ò Ø ØÑØÓÒ ˆm ÓØ ÐÒµ ÓÖ Ø Ý ØÑ ÛØ % Ó ÙÒÖØÒØÝ Ò Ø ÔÖÑØÖ º ÓÚ ÛØ Ø ÙÔÖ¹ØÛ ØÒ Ó ÖÚÖ ÐÓÛ ÛØ Ø ÔØÚ Ó ÖÚÖ