I في التعليم المتوسط ترجمة الا ستاذ : فرقوس عبدالحق أهم الخواص التي تساعد على البرهان في الهندسة

I في التعليم المتوسط ترجمة الا ستاذ : فرقوس عبدالحق أهم الخواص التي تساعد على البرهان في الهندسة

لا ثبات خاصية ما ي الهندسة يمكن اتباع الخطوات التالية : نبدأ برسم شكل يمث ل الوضعية المدروسة. ر الشكل حسب المعطيات (منتصف قطعة زاوية قاي مة مستقيمات متوازية...إلخ.) شف ن من ب ن الخواص ال تنطبق ع ى المطلوب نبحث عن الخاصية ال يكون الشكل ف ا (العمود الا وسط من الجدول الا تي) مماثلا للشكل المرسوم. لتحرير الجواب يكفي ذكر الخاصية المستعملة (كما ي العمود الا يمن) ثم تحقيق فرضيا ا و استخلاص المطلوب (كما ي العمود الا يسر). 06 إ ى 01.................... (1) 14 إ ى 07............................ (2) 22 إ ى 15............................ (3) 29 إ ى 23..................... (4) 32 إ ى 30........................... (5) 35 إ ى 33......................... (6) 39 إ ى 36........................... (7) 53 إ ى 40............................... (8) 62 إ ى 54............................... (9) 69 إ ى 63....... (10) 2/14

النقطة تنتم إ ى القطعة [] ( = 1 2 و = (أو. [] منتصف ي و بالتا ي 1 إذا انتمت نقطة إ ى قطعة مستقيمة و كانت متساوية البعد عن طرف ا فا ن هذه النقطة ي منتصف القطعة. بما أن متوازي الا ضلاع فا ن قطريھ متناصفان و بالتا ي منتصف [] و أيضا منتصف. [] ي 2 متوازي الا ضلاع (كيفي مستطيل مربع مع ن) القطران متناصفان (يتقاطعان ي منتصف ما). متوازي أضلاع بما أن نظ ة بالنسبة إ ى فا ن ي منتصف القطعة ].[ و متناظرتان بالنسبة إ ى و إذا كانت 3 متناظرت ن بالنسبة إ ى فا ن. [ ] منتصف القطعة ي بما أن المستقيم (d) محور القطعة [] يقطعها ي فا ن منتصف. [] (d) 4 محور قطعة مستقيم هو المستقيم العمودي ع ى هذه القطعة ي منتصفها. [] هو محور القطعة (d) بما أن مثلث قاي م وتره [] و مركز الداي رة املحيطة بھ فا ن. [] منتصف الوتر ( ) 5 مركز الداي رة املحيطة بالمثلث القاي م هو منتصف الوتر. (d) المستقيم المثلث ي يشمل I منتصف [] و يوازي الضلع [] و بالتا ي J.[] منتصف الضلع ي (d) I J ي 6 مثلث المستقيم الذي يشمل منتصف أحد الا ضلاع و يوازي ضلعا ثانيا فا نھ يشمل منتصف الضلع الثالث ). 3/14

أن فا ن بما.(d 1 )//(d 2 ) (d 2 ) (d 3 ) و (d 1 ) (d 3 ) (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) 7 المستقيمان العموديان ع ى نفس المستقيم هما مستقيمان متوازيان. أن ) 2 (d 1 )//(d و ) 3 (d 2 )//(d فا ن بما.(d 1 )//(d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) 8 إذا كان مستقيمان متوازي ن فا ن كل مستقيم يوازي أحدهما فهو يوازي الا خر. المستقيمان t) (v و y) (u مقطوعان بالقاطع (zw) و الزاويتان vgw و ẑe y متبادلتان داخليا و متقايستان إذن.(vt)//(uy) v u w E z G يتوازى ح 9 مستقيمان يكفي أن ي شك ل t معهما قاطع زاويت ن متبادلت ن y داخليا و متقايست ن. المستقيمان (vt) و (uy) مقطوعان بالقاطع (zw) و الزاويتان vgw و ẑe y متماثلتان و متقايستان إذن.(vt)//(uy) v u w E z G يتوازى ح 10 مستقيمان يكفي أن ي شك ل t معهما قاطع زاويت ن متماثلت ن y و متقايست ن. بما أن متوازي الا ضلاع فا ن.()//() و ()//() ي 11 متوازي الا ضلاع (كيفي مستطيل مع ن مربع) كل ضلع ن متقابل ن (متقايسان و) حاملاهما متوازيان. متوازي الا ضلاع ي المثلث لدينا I منتصف [] و J منتصف [] فحسب نستنتج أن.(I J)//() I J ي 12 مثلث المستقيم الذي يشمل منتصف ي ضلع ن يوازي حامل الضلع الثالث ). 4/14

فا ن () متناظران و بما أن () بالنسبة إ ى.()//() 13 المستقيمان المتناظران بالنسبة إ ى نقطة هما مستقيمان متوازيان. النقط M من جهة و النقط N من جهة أخرى ع ى استقامة واحدة و ذا ال تيب مع M فحسب = N نستنتج أن.(MN)//() M N 14 إذا كانت النقط M من جهة و النقط N من جهة أخرى ع ى استقامة واحدة و بنفس ال تيب بحيث () فا ن المستقيم ن M = N و (MN) متوازيان. أن فا ن بما.(d 2 ) (d 3 ) (d 1 ) (d 3 ) و (d 1 )//(d 2 ) (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) 15 إذا عامد مستقيم أحد مستقيم ن متوازي ن فا نھ يعامد الا خر. ن فا ن قطر ي ھ بما أن مع متعامدان أي ().() مع ن ن ق طرا المع 16 (أو المربع) متعامدان. بما أن مستطيل فا ن () () () ().() () و () () مستطيل ي 17 المستطيل (أو المربع) كل ضلع ن متتالي ن حاملاهما متعامدان. 5/14

بما أن.(d) () (d) هو محور [] فا ن (d) [] هو محور (d) 18 محور قطعة مستقيم هو مستقيم يعامدها ( ي المنتصف). بما أن (d) هو المماس ي النقطة T للداي رة ) ) ال مركزها فا ن.(d) (T ) (d) ( ) T 19 المماس لداي رة ي نقطة م ا يعامد المستقيم القطري الذي يمر من هذه النقطة. بما أن 2 = 2 + 2 فحسب نستنتج المثلث أن.() () قاي م ي أي 2 = 2 + 2 20 [] إذا كان مثلث ي هو الضلع الا طول بحيث المثلث 2 = 2 + 2 فا ن قاي م و وتره هو الضلع.[] هو المتوسط بما أن [M] المتعلق بالضلع [] بحيث فا ن المثلث M = 2 قاي م ي أي ().() M ي 21 مثلث إذا كان طول المتوسط المتعلق با حد الا ضلاع يساوي نصف طول هذا الضلع فا ن هذا المثلث قاي م و وتره هو ذلك الضلع. أن الرأس ينتم إ ى الداي رة بما ال قطرها [] فا ن المثلث.() () أي قاي م ي 22 إذا كان أحد أضلاع مثلث قطرا للداي رة املحيطة بھ فا ن هذا المثلث قاي م و وتره هو ذلك الضلع. ()//() بما أن : ()//() و فا ن متوازي الا ضلاع. ربا ي إذا كان ي 23 كل ضلع ن متقابل ن حاملاهما متوازيان فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. 6/14

بما أن القطرين [] و [ ] متناصفان فا ن الربا ي متوازي الا ضلاع. 24 إذا كان لربا ي قطران متناصفان (يتقاطعان ي منتصف ما) فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. الربا ي غ متصالب و فيھ = و ()//() و بالتا ي متوازي الا ضلاع. 25 إذا كان لربا ي (غ متصالب) ضلعان متقايسان و حاملاهما متوازيان فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. بما أن = و = فا ن الربا ي متوازي الا ضلاع. 26 إذا كان ي ربا ي كل ضلع ن متقابل ن متقايسان فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. ي الربا ي لدينا : = و = إذا متوازي الا ضلاع. 27 إذا كان ي ربا ي كل زاويت ن متقابلت ن متقايستان فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. النقطتان و من جهة و النقطتان و من جهة أخرى متناظرتان بالنسبة إ ى و بالتا ي فالربا ي متوازي الا ضلاع. 28 إذا كان لربا ي مركز تناظر فا ن هذا الربا ي متوازي الا ضلاع. الربا ي بما أن» = #» # فا ن متوازي الا ضلاع. إذا كانت 29 أربع نقط بحيث الربا ي #» = فا ن #» متوازي الا ضلاع. 7/14

بما أن = = = فا ن الربا ي مع ن. 30 إذا كان لربا ي أربعة أضلاع متقايسة فا ن هذا الربا ي مع ن. متوازي الا ضلاع بحيث () () (قطراه متعامدان) و بالتا ي مع ن. متوازي الا ضلاع 31 إذا كان لمتوازي الا ضلاع قطران متعامدان فا نھ مع ن. 32 إذا كان لمتوازي الا ضلاع ضلعان متتاليان متقايسان فهو مع ن. بما أن متوازي الا ضلاع و فيھ = فا ن الربا ي مع ن. متوازي الا ضلاع إذا كان لربا ي 33 ثلاث زوايا قاي مة فا ن هذا الربا ي مستطيل. بما أن () () () () و () () فا ن الربا ي مستطيل. بما أن متوازي الا ضلاع بحيث = (قطراه متقايسان) فا ن مستطيل. 34 إذا كان لمتوازي الا ضلاع قطران متقايسان فهو مستطيل. متوازي الا ضلاع بما أن متوازي الا ضلاع و فيھ () () فا ن مستطيل. 35 إذا كان لمتوازي الا ضلاع ضلعان متتاليان متعامدان فهو مستطيل. متوازي الا ضلاع بما أن مستطيل بحيث = (ضلعان متتاليان ع. فا ن مرب متقايسان) مستطيل 36 إذا كان لمستطيل ضلعان متتاليان متقايسان فهو مربع. 8/14

37 إذا كان لمع ن ضلعان متتاليان متعامدان فهو مربع. 38 إذا كان لمستطيل قطران متعامدان فهو مربع. ن بحيث بما أن مع () () (ضلعان متتاليان ع. و متعامدان) فا ن مرب مع ن بما أن مستطيل بحيث () () (قطراه متعامدان) ع. فا ن مرب مستطيل مربع. مع ن 39 إذا كان لمع ن قطران متقايسان فهو مربع. ن بحيث بما أن مع = (قطراه متقايسان) فا ن فا ن أن منتصف القطعة ] [ بما. = = 2 [ ] منتصف 40 منتصف قطعة مستقيم تبعد بنفس المسافة عن طرف ا. المثلث متساوي الساق ن رأسھ الا سا و بالتا ي. = 41 للمثلث المتساوي الساق ن ضلعان متقايسان (لهما نفس الطول) المثلث متقايس الا ضلاع و بالتا ي. = = المثلث متقايس الا ضلاع 42 للمثلث المتقايس الا ضلاع ثلاثة أضلاع متقايسة (لها نفس الطول). بما أن متوازي الا ضلاع فا ن. = و = ي 43 متوازي الا ضلاع ع) (كيفي مع ن مستطيل مرب كل ضلع ن متقابل ن متقايسان. متوازي الا ضلاع 9/14

ن فا ن بما أن مع أضلاعھ الا ربعة متقايسة أي. = = = مع ن 44 الا ضلاع الا ربعة للمع ن (أو المربع) متقايسة (لها نفس الطول). بما أن مستطيل فا ن قطريھ متقايسان أي. = مستطيل 45 قطرا المستطيل متقايسان (لهما نفس الطول). النقطتان و تنتميان إ ى الداي رة ال مركزها إذا. = 46 إذا انتمت نقطتان إ ى نفس الداي رة فا ما تبعدان بنفس المسافة عن مركزها. النقطة M تنتم إ ى محور القطعة [] إذا ف تبعد بنفس المسافة عن طرف ا أي M = M M 47 إذا انتمت نقطة إ ى محور قطعة مستقيم فا ا تبعد بنفس المسافة عن طرف ا. xy منصف الزاوية إ ى تنتم مع () () و () () إذا ف تبعد بنفس المسافة عن ضلع ا أي. = x y 48 إذا انتمت نقطة إ ى منص ف زاوية فا ا تبعد بنفس المسافة عن ضلع ا. ي المثلث لدينا : I منتصف [] و J منتصف أن فحسب [] نستنتج 2.I J = I J ي 49 مثلث طول القطعة الواصلة ب ن منتصف ي ضلع ن يساوي نصف طول الضلع الثالث ). 10/14

بما أن ) (EF H و (EG) K H K 50 بحيث ) )//(GF (HK فحسب إذا كانت () M و () N نستنتج أن : E بحيث ()//(MN) فا ن :. EF E H = EG EK = GF HK G F. M = N = MN بما أن المثلث قاي م ي فحسب نستنتج أن :. 2 = 2 + 2 51 ي المثلث القاي م مربع طول الوتر يساوي مجموع مرب ي طو ي الضلع ن القاي م ن. المثلث قاي م ي و M منتصف الوتر [] فحسب نظرية نستنتج أن : 2.M = M المثلث القاي م ي 52 طول المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر. النقطة ي G مركز ثقل المثلث و ] [ هو المتوسط المتعلق بالضلع [] و بالتا ي :.G = 2 3 G 53 مركز ثقل المثلث (نقطة تلا ي المتوسطات) يبعد عن كل رأس بث ل طول المتوسط الذي يشمل هذا الرأس. بما أن متوازي الا ضلاع فا ن. = و = ي 54 متوازي الا ضلاع (كيفي مع ن مستطيل مربع) كل زاويت ن متقابلت ن متقايستان. متوازي الا ضلاع ي المثلث لدينا :. + +Ĉ = 180 55 مجموع أقياس زوايا المثلث يساوي 180. بما أن المثلث قاي م ي فا ن :. +Ĉ = 90 ي 56 المثلث القاي م الزاويتان الحادتان متتامتان (مجموعهما يساوي 90). 11/14

بما أن المثلث متساوي الساق ن رأسھ الا سا فا ن :. = ي 57 المثلث المتساوي الساق ن زاويتا القاعدة متقايستان. بما أن المثلث متقايس الا ضلاع فا ن :. = = Ĉ = 60 58 للمثلث المتقايس الا ضلاع ثلاث زوايا متقايسة و قيس كل م ا يساوي 60. الزاويتان x z و ŷ t متقابلتان بالرأس إذا :.x z = ŷ t z x y t 59 الزاويتان المتقابلتان بالرأس متقايستان. بما أن [) هو منص ف الزاوية xy فا ن :.x = y = xy 2 x y y منصف الزاوية [ 60 منص ف زاوية يقسمها إ ى زاويت ن متجاورت ن و متقايست ن (لهما نفس القيس). الزاويتان و تحصران نفس القوس و بالتا ي فهما متقايستان أي :. = 61 الزاويتان المرسومتان داخل داي رة و اللتان تحصران نفس القوس هما زاويتان متقايستان. 12/14

الزاوية املحيطية و الزاوية المركزية تحصران نفس القوس و بالتا ي :. = 2 62 قيس زاوية محيطية ي داي رة يساوي نصف قيس الزاوية المركزية ال تحصر نفس القوس معها. النقطتان M و M متناظرتان بالنسبة إ ى المستقيم (d) إذا (d) هو محور القطعة ].[MM M (d) M 63 إذا كانت نقطتان متناظرت ن بالنسبة إ ى مستقيم فا ن هذا المستقيم هو محور القطعة الواصلة ب ن النقطت ن. النقطة فا ن بما أن = تنتم إ ى محور القطعة.[] 64 كل نقطة متساوية المسافة عن طر ي قطعة مستقيم ي نقطة تنتم إ ى محور هذه القطعة. فا ن بما أن () ( ) المستقيم ( ) هو الارتفاع المتعلق بالضلع [] ي المثلث. 65 المستقيم الذي يشمل أحد رؤوس مثلث و يعامد حامل الضلع المقابل لهذا الرأس هو الارتفاع المتعلق ذا الضلع. المثلث. القطعة ال 66 طرفاها أحد رؤوس مثلث و منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس ي المتوسط المتعلق ذا الضلع. أن النقطة ي منتصف بما الضلع [] فا ن القطعة [] ي المتوسط المتعلق بالضلع [] ي المستقيم () يقسم الزاوية إ ى زاويت ن متقايست ن إذا. هو منصف الزاوية () 67 المستقيم الذي يقسم زاوية إ ى زاويت ن متقايست ن هو منصف هذه الزاوية. 13/14

بما = أن () () و () () فا ن النقطة تنتم إ ى منصف الزاوية (إذا نصف المستقيم [) هو منصف الزاوية.( x y 68 كل نقطة متساوية البعد عن ضل ي زاوية ي نقطة تنتم إ ى منصف هذه الزاوية. أن المثلث متساوي بماا الساق ن رأسھ الا سا M منتصف [] و () ( M) (M ) فا ن هو : المتوسط المتعلق بالقاعدة [] محور القاعدة [] الارتفاع المتعلق بالقاعدة. و منصف الزاوية [] M 69 محور قاعدة المثلث المتساوي الساق ن هو أيضا الارتفاع المتعلق ذه القاعدة المتوسط المتعلق ا و منصف زاوية الرأس الا سا. الع لم م غرس ك ل ف خ ر ف اف ت خ ر و اح ذ ر ي ف وت ك ف خ ر ذ اك الم غرس و اع ل م ب ا ن الع ل م ل ي س ي ن ال ه م ن هم ه في م ط ع م أ و م ل ب س في ح ال ت ي ه : ع ار يا أ و م ك ت س ل م الذ ي ي ع ن ى ب ه إ لا أ خ و الع ف اج ع ل ل ن ف س ك م ن ه ح ظا و اف را و اه ج ر ل ه ط يب ال رق اد و ع بس ف ل ع ل ي و ما إ ن ح ضر ت ب م ج ل س ك ن ت ال ري يس و ف خ ر ذ اك الم ج ل س س ا ن ب يك ع ن ت ف صيل ه ا ب ب ي ان تة أ خي ل ن ت ن ال الع ل م إ لا ب س ذ ك اء و حر ص و اج ت ه اد و ب ل غ ة و ص ح ب ة أ س ت اذ و ط ول ز م ان 14/14