LECTURE 6 Llc Trnfm Tchniqu. Rviw of Llc Trnfm Thm 6.. L f b funcion on h hlf lin ë; è wih h following rori. f; f ;f ;:::;f èn,è r coninuou 2. f ènè i icwi coninuou 3. Thr i conn K, nd M uch h jfèèj K f M: Thn h Llc rnfm ll i f é, nd movr L h L L ëfëèè L ëf ëèè. f ènèi èè, fèèd, f èèd, f ènè èèd h f ènèi èè n L ëfëèè, n, fèè,æææ,f èn,2è èè, f èn,è èè : Thm 6.2. If F èè L ëfëèè nd Gèè Lëgëèè boh i f é, hn L, ëf èègèèë Thm 6.3. If F èè Lëfëèè hn fèè 2i fè, ègèèd æ+i F èèd æ,i fèègè, èd : Hr h conn æ i chon o h ll h ingulrii of h ingrnd occur o h lf of Rèè æ. F é, h conour my b clod by n inæni micircl in h lf hlf ln. Eml 6.4. Th following ml how how h Llc rnfm cn b ud o conruc oluion of h boundry vlu roblm è6.è è6.2è è6.3è in h rgion é, é., 2 2 2 è; è è;è fèè 22
Mulilying è6.è by, nd ingring long from o w g which bcom è6.4è onc w mloy h iniil condiion è; è. If è; è i uæcinly wll bhvd, nd è6.4è bcom. REVIEW OF LAPLACE TRANSFORM 23 èè, 2 2 2 L ëë, è; è, 2 2 2 ; 2 æ 2 2, 2 Lëë 2 2 2 2 L ëë 2 è; è, 2 æè; è : Rgrding hi cond dr linr diærnil quion wih conn coæcin, w hv gnrl oluion è6.5è æè; è Aèè, + Bèè : In dr h our oluion b boundd funcion of f ll, w will dmnd h i Llc rnfm go o zro!. Thi will rquir h coæcin Bèè. To drmin Aèè, w no h h boundry condiion h i Llc rnfm è6.6è è;èfèè æè;èlëfëèè : On h ohr hnd, whn w vlu è6.5è,whv è6.7è æè;èaèè : Comring hi wih è6.4è wih è6.5è w h h coæcin Aèè mu b cly L ëfëèè. Thu, è6.8è To ænd h oluion è; è wnow no h è6.9è nd ly h Convoluion Thm o g è6.è è6.è æè; è L ëfëèè, :, 2 2, 4 32 2 è; è L, Lëfë 2 2 32, 2 4 2 fè, è,32, 2 4 2 d
Eml 6.5. L è; è ify h quion è6.2è è6.3è. REVIEW OF LAPLACE TRANSFORM 24, 2 2 2 è; è fèè f, éé+, é. A bf, h Llc rnfm of h h quion èwih rc o h im vribl è i è6.4è æè; è, è; è, 2 2 2æè; è æè; è, fèè, 2 2 æ 2 2 æ 2, 2 æ, fèè 2 : Th gnrl oluion o dinry diærnil quion of h fm i è6.5è yèè A, y, èèy + qèèy gèè B + y 2 èègèè W ëy ;y 2 ëèè d y èè+ y èègèè W ëy ;y 2 ëèè d y èè whr y èè nd y 2 èè r nywo linrly indndn oluion of h cronding homognou roblm y + èèy + qèèy : ès Boyc nd DiPrim, Scion 3.6.2.è In h c hnd, w cn k è6.6è è6.7è è6.8è nd y èè, y 2 èè gèè,fèè 2 W ëy ;y 2 ëèè y y 2, y y 2 2 o w hv æè; è A + 2 fèèd, è6.9è + B,, è6.2è fèèd 2 In dr o void unconrolld growh in æè; è! + w rquir B 2, è6.2è fèèd nd imilrly o conrol h bhvi of æè; è!,,w rquir A,, 2 è6.22è fèèd
So è6.23è è6.24è è6.25è è6.26è è6.27è è6.28è è6.29è è6.3è æè; è, 2, + 2,, 2 2. THE METHOD OF IMAGES 25 fèèd + 2, fèèd, fèèd, + 2 è,è fèèd + +,, 2, j,j fèèd + + +, 2, j,j fèèd Th hird com fm h obrvion h è6.3è è,è, 2 2 2 fèèd, 2,, fèèd è,è fèèd, fèèd j,j fèèd j,j ; 8 2 è,;è è,è, j,j è6.32è ; 8 2 è; +è Now w mloy h idniy h 2, j,j2 4 2 èè 2, è6.33è j,j o wri è6.34è è6.35è è6.36è L ëè; èë èè æè; è L Tking h invr Llc rnfm of boh id, w g è6.37è è; è +, +, 2, j,j2 4 2 èèfèèd + j,j2, 4 2 fèèd èè, 2 j,j 2 2, 4 2 fèèd : 2. Th Mhod of Img Conidr now h roblm è6.38è è6.39è è6.4è, 2 2 2 è; è fèè ; éé è;è ; éé : No h in h mn of hi roblm w r givn no infmion nd kd no quion bou h bhvi of oluion!,. Y in h rcding ml, h umion h æè; è w wll bhvd!æ, w crucil o h drminion of h conn of ingrion Aèè nd Bèè; which in urn llowd u o conruc n lici oluion. Thu, h chniqu ud in h rcding ml cn no b lid dircly o h c hnd.
2. THE METHOD OF IMAGES 26 Bu iml rick will uæc. W imly nd h domin of fèè o h whol rl lin by dæning Th rul of h rcding ml hn imli è6.4è will ify h diærnil quion nd h boundry condiion fè,è,fèè ; 8 2 R + : è; è +, j,j 2 2, 4 2 fèèd, 2 2 2 è; è fèè : W now vrify h hi oluion lo iæ h boundry condiion Sing in è6.4è yild è6.42è è;è ; éé+ : è;è +, 2, 2 4 2 fèèd : Noing h h onnil funcion i vn funcion of nd h h funcion fèè i dænd o b n odd funcion of, w conclud h h ingrnd in è6.42è i n odd funcion of nd o i ingrl bwn, nd + vnih. Thu, è;è : Homwk: 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5