APPENDIX C Solutions to Problem Set 3. Prove èdirectlyè that if and 2 are solutions of d pèxè dy + èqèxè + rèxèè y dx dx yèaè yèbè on the interval èa; bè, respectively for, and 2, then if 6 2. Z b a èxè 2 èxèrèxèdx : èsee ecture 3è 2. Discuss the implications of the Sturm-iouville Theorem for the following ODEèBVP èc.è d 2 f dx 2 + 2 f f èè f èè and their correspondence with the Fourier Theorem. èin other words, show that the Fourier theorem is a special case of the Sturm-iouville theorem.è The general solution of is given by f + 2 f fèxè c cosèxè+c 2 sinèxè: The boundary condition f èè implies,c sinèè + c 2 cosèè c 2 so c 2 : The boundary condition f èè then implies,c sinèè: 6
which will be satisæed èfor non-trivial c è if and only if n ;n; ; 2; 3; The Sturm-ouisville Theorem then tells us that the solutions æ n èxè "Z cos 2 n x dxè,2 cos 3. èprobem.6.2 IN THE TEXTè 7 n x è p if n q 2 cos, n xæ if n ; 2; 3;::: will form a complete orthonormal set of basis functions for the interval ë;ë. More explicitly, wehave Z Z èæ n ;æ m è æ n èxèæ m èxèdx 2 nx mx cos cos dx æ mn and any continuous function f on the interval ë;ë can be approximated by a series expansion of the form èc.2è where If we set then we can rewrite èc.2è as fèxè r 2 Z æ n a n n æ n æ n èxè n fèxè cos x dx: r Z n 2 æ n fèxè cos x dx n a n cos x fèxè a 2 + n with Z a n which is just the usual Fourier Cosine Series expansion of fèxè. n fèxè cos x dx 3. èproblem.6.2 in the textè èaè For éxé, solve the problem t, a 2 xx wèx; tè è;tè è; tè èx; è fèxè by means of a series expansion involving the eigenfunctions of æ + æ,æèè, æèè ; where wèx; tè and fèxè are prescribed functions. èsee ecture 4.è èbè If the end conditions are altered to read èc.3è è;tè è; tè+c x è; tè
3. èprobem.6.2 IN THE TEXTè 8 where cé is a constant, ænd an appropriate set of eigenfunctions and obtain a series solution to the problem. Applying separation of variables to the homogeneous version of the PDE we arrive at the following pair of coupled ODEs: èc.4è T +æt X + æ a 2 X Note ærst that only the second equation will serve as the ODE of a Sturm-iouville problem èit is the only second order linear equationè. Secondly, note that by setting èc.5è Xèè Xèè +cx èè we can assure that the ærst two boundary conditions are satisæed. We thus are lead to consider the following Sturm-iouville problem èc.6è æ + 2 æ æèè æèè +cæ èè Now the general solution of the ODE for this Sturm-iouville problem is èc.7è æèxè A cos èxè + B sin èxè in order to satisfy the ærst boundary condition æèèwemust set A. et us now impose the second boundary condition èc.8è Then the second boundary condition now requires èc.9è or èc.è B sin èè+cb cos èè : sin èè + c cos èè,c tan èè : This is unfortunately a transcendental equation for. It does, however, have an inænite èyet countableè number of roots., To, see this, æ we, note that the function tanèxè is periodic with period, and within any interval I n n, 2 ; n + 2ææ it is monotonically increasing and maps In onto the real line. Therefore, the graph of tan èxè intersects the line y, once and only once in each interval I n.wecan now apply Newton's method to write down an algorithm for ænding a root of èc.è in each interval I n. More explicitly, ifwe set fèè tanèè+c èc.2è r n; n 2 I n and then deæne r n;2, r n;3, ::: recursively by the formula èc.3è then èc.4è will be the root of èc.è. r n;i+ r n;i, f èr n;iè f èr n;i è tan èr n;iè+cr n;i sec 2 èr n;i è+c n lim i! r n;i ; i 2; 3; 4;::: et us assume that this has now been carried out - so have obtained an inænite set of solutions n of èc.è. Note that both sides of èc.è are odd functions of. Therefore, if is a solution so is,. Note also that the S- functions sinèxè and sin è,xè, sin èxè are not linearly independent. For this reason, we can neglect the negative roots of èc.è. We can also neglect the trivial root since it corresponds to the trivial function sinèxè.
3. èprobem.6.2 IN THE TEXTè 9 In summary, let r n; n, n ; 2; 3;:::, and let us deæne numbers n by èc.2è, èc.3è and èc.4è. Then the functions æ n èxè sin è n xè will constitute a complete set of eigenfunctions for the interval è;è corresponding to the solutions of the Sturm-iouville problem èc.6è. Moreover, if we renormalize the æ n by setting èc.5è æ n èxè æ R sin è n xè sin2 è n xè dx then the set fæ n j n 2 Ng will constitute a complete orthonormal basis for the space of continuous functions on the interval è;è: i.e., æ æ 2 èc.6è Z æ n èxèæ m èxèdx ifn m ifn 6 m : We can now apply the completeness property of the eigenfuctions æ n to write èc.7è Because, by construction, the boundary conditions èx; tè n a n ètèæ n èxè : æèè æèè +cæ èè è;tè è; T è+c x è; tè are automatically satisæed by this ansatz. Plugging èc.7è into the original PDE produces èc.8è n a n ètèæ nèxè, n a 2 a n ètèæ nèxè wèx; tè Applying the completeness property of the æ n we can replace the right hand side of èc.8è by èc.9è wèx; tè where the coeæcients w n ètè are determined by èc.2è Thus, èc.8è is equivalent to èc.2è w n ètè Z n w n ètèæ n èxè æ n èxèwèx; tè dx : P P P P n a nètèæ n èxè, n a2 a n ètèænèxè, n w nètèæ n èxè P, æ n a n ètèæ n èxè, a 2 a n ètèæ n èxè, w nètèæ n èxè P, æ n a n ètèæ n èxè+a 2 2 n a nètèæ n èxè, w n ètèæ n èxè n, a n ètè+a 2 2 n a nètè, w n ètè æ æ n èxè In the second step we have simply used the fact that the æ n èlike their un-normalized predecessors æ n è are by deænition solutions of æ n + 2 n æ n :
4. èprobem.8. IN TEXTè Multiplying the extreme sides of èc.2è by æ m èxè and integrating between and yields Z, æ a n ètè+a 2 2 n a nètè, w n ètè æ n èxèæ m èxè dx n, æz a n ètè+a 2 2 n a nètè, w n ètè n, æ a n ètè+a 2 2 n a nètè, w n ètè æ nm n a mètè+a 2 2 m a mètè, w m ètè æ n èxèæ m èxè dx Thus, in order èc.7è to satisfy the PDE in èc.3è the coeæcient functions a n ètè must thus be solutions of èc.22è a nètè+a 2 2 n a nètè w n ètè : This is ærst order linear ODE for which the general solution is well known èsee e.g., Boyce and DiPrima, Chapter 2è; it is given by the formula Z t a n ètè e,a2 2 n t e a2 èc.23è 2 n s w n èsè ds + c n with c n a constant representing the value of a n ètè when t. To æx the constants c n wenow impose the last boundary condition èc.24è fèxè èx; è a n èèæ n èxè c n æ n èxè : n n Multiplying the extreme sides of this equation by æ m èxè, integrating both sides between and, and employing the orthonormality properties èc.6è of the æ n èxè we obtain Z èc.25è c n fèxèæ n èxè dx : In summary, the solution to is given by èx; tè è Z t èz e,a2 2 n t e a2 2 n s n t, a 2 xx wèx; tè è;tè è; tè+c x è; tè èx; è fèxè æ n èx èwèx ;sè dx! Z! ds + fèx èæ n èx è dx æ n èxè where the constants n are determined by èc.2è, èc.3è, and è2è; and the functions æ n èxè are deæned by èc.5è. 4. èproblem.8. in textè Use a series expansion technique to solve the problem èc.26è @ @t, a2 @2 @x 2 èx; è è;tè t @ @xè; tè+cè; tè ;
where cé is a constant, in the region té, éxé. 4. èprobem.8. IN TEXTè et's ærst convert this to a homogeneous problem. Set èc.27è We want tochoose èx; tè so that èc.28è èèx; tè èx; tè+èx; tè : @è @x èèx; è èè;tè è; tè+cèè; tè These equations lead to the following conditions on èx; tè èc.29è èx; è è;tè,t x è; tè+cè; tè : The ærst two conditions will be satisæed by any function èx; tè of the form èc.3è èx; tè fèxèt, t with fèè. The second condition puts a restriction on the choice of f; viz., or f èèt + c èfèèt, tè ; To ænd a solution of this equation we set f èè+cfèè c : f èxè c, fèèc and integrate both sides. The result corresponding to the initial condition fèè is Plugging in x and solving for fèè we get Thus, we can take and èc.3è èx; tè t fèxè, fèè : fèè fèxè, c +c : c +c +c, t +c cèx, è, +c : Applying the diæerential operator @ t, a 2 @ 2 x to è èx; tè èx; tè+èx; tè and using èc.26è, we ænd èc.32è @è @t, a2 @2 è @x 2 èèx; è èè;tè +c @è @xè; tè+cèè; tè : The boundary conditions for è are thus homogeneous. To solve èc.32è we make the ansatz èèx; tè X n æ n ètèæ n èxè ;
4. èprobem.8. IN TEXTè 2 the æ n èxè being a complete basis of functions coming from the Sturm-ouiville problem y + 2 y yèè y èè+cyèè èthe diæerential equation with respect to the variable x coming from separation of variables of the homogeneous problem corresponding to è7èè. The general solution of satisfying yèè is y + 2 y yèxè A sin èxè : Imposing the boundary condition y èè+cyèè, requires or cos èè+c sin èè èc.33è tan èè, c Equation èc.33è has an inænite number of roots. et f n g denote the set of consecutive positive roots of èc.33è. The corresponding eigenfunctions are y n èxè sin è n xè : èsince both sides of èc.33è are odd functions of, if n is a root so is, n ; but the corresponding eigenfunctions are the same, except for a factor of -. The reason why we consider only the positive roots of è8è is to remove this redundancy.è By Sturm-ouiville theory, these functions are all othogonal with respect to the inner product An explicit computation reveals and so the functions èf; gè èy n ;y m è æ m;n, Z fèxègèxèdx : 2 n cosè n xè sinè n xè+ 2 x æ æææ æ m;n 2, cos è n è sin è n è 2 n æ m;n 2, 4 n sin è2 n è æ n èxè 2 sin è n xè 2, 4n sin è2 nè will form an orthonormal basis for the set of continuous functions on è;è. Now set and write èc.34è the æ n being determined by èc.35è èèx; tè X n +c X n w n 2, 4n sin è2 nè Plugging èc.34è and èc.35è into èc.32è yields æ n ètèæ n èxè 2 Z w n æ n èxè ; +c sin è n xè dx :
4. èprobem.8. IN TEXTè 3 or èc.36è X n æ nètèæ n èxè+ X n a 2 2 n æètèæ nèxè X n æ nètè+a 2 2 n æètè w n : w n æ n èxè The boundary condition èèx; è implies æ n ètè. Recalling that the general solution solution to a ærst order, linear, nonhomogeneous, ordinary diæerential equation with initial condition is where yètè ètè y + pètèy gètè yèè y o Z t ètè exp ètègèsèds + y o Z t pèxèdx èsee Boyce and DiPrima, Sec. 2.2è; we ænd that the solution of èè satisfying æ n èè is Thus, Finally, èèx; tè X n w n æ n ètè a 2 2 n w n a 2 n 2 èx; tè èèx; tè, èx; tè, e,a2 2 n t :, e,a2 2 n t æ n èxè ; X a 2 n n 2 with n and w n determined, respectively, by èc.33è and èc.35è. w n, e,a2 2 n t æ n èxè, t cèx, è, +c