ÂÅÑÒÍÈÊ ÂÃÓ, Ñåðèÿ ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, 2003, ¹ 2 ÓÄÊ Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ ÍÅÎÃÐÀÍÈ ÅÍÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÂÎËÍÎÂÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÍÀ ÑÅÒÈ * 2003 À. Â. Êîïûòèí Âî

Bản ghi

1 ÓÄÊ 5795 Î ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÈ ÍÅÎÃÐÀÍÈ ÅÍÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÂÎËÍÎÂÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÍÀ ÑÅÒÈ * À Â Êîïûòèí Âîðîíåæñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò Ðàññìàòðèâàåòñÿ âîëíîâîå óðàâíåíèå íà ãðàôå utt u () ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè (òå îïåðàòîð âçÿòèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó âäîëü êàæäîãî ðåáðà ) Äîêàçûâàåòñÿ òî äëÿ òîãî òîáû âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ () áûëè îãðàíè åíû ïî ðàâíîìåðíîé íîðìå íåîáõîäèìî è äîñòàòî íî òîáû ñïåêòð îïåðàòîðà ñîäåðæàëñÿ â ( ) è îïåðàòîð íå èìåë ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé Ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ãðàôîâ äëÿ êîòîðûõ ýòè óñëîâèÿ íå âûïîëíÿþòñÿ à ñëåäîâàòåëüíî óðàâíåíèå () èìååò íåîãðàíè åííûå ðåøåíèÿ Ãèïåðáîëè åñêèå óðàâíåíèÿ íà ñåòÿõ (ãåîìåòðè åñêèõ ãðàôàõ) è ñîîòâåòñòâóþùèå ñïåêòðàëüíûå çàäà è èíòåíñèâíî èçó àþòñÿ óæå áîëåå ëåò Ïðîäâèæåíèÿ â ýòîé îáëàñòè ïîëó åíû ïî íåñêîëüêèì íàïðàâëåíèÿì Óñòàíîâëåíû îñöèëëÿöèîííûå ñâîéñòâà ñïåêòðà êðàåâîé çàäà è íà ñåòè (ñì [5] [7]) ïîëó åíû îöåíêè íà ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ (ñì [ ]) íàéäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà è Êîøè (ñì [8]) ïîëó åí àíàëîã ôîðìóëû Äàëàìáåðà (ñì []) Â íàñòîÿùåé ðàáîòå óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðàëüíûìè ñâîéñòâàìè îïåðàòîðà Ëàïëàñà Áåëüòðàìè íà ñåòè è íàëè èåì ó ñîîòâåòñòâóþùåãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ íåîãðàíè åííûõ ïî âðåìåíè ðåøåíèé Ïóñòü X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî è L ( X) áàíàõîâà àëãåáðà ëèíåéíûõ îãðàíè- åííûõ îïåðàòîðîâ äåéñòâóþùèõ â X Îïðåäåëåíèå Ñåìåéñòâî {() Ct : t } îïåðàòîðîâ èç L ( X) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî íåïðåðûâíîé êîñèíóñ-ôóíêöèåé (ÊÎÔ) åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: Ct ( s) Ct ( s) CtCs ( ) ( )t s ; C() I I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð â X ; Ctx () íåïðåðûâíà ïî t ïðè ëþáîì x X Ëèíåéíûé îïåðàòîð A: D( A) X X ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ DA ( ) íàçûâàåòñÿ ãåíåðàòîðîì ÊÎÔ C åñëè * Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò --7) è x X : ïðåäåë lm( C( t) x x) / t t DA ( ) ñóùåñòâóåò Ax C t x x / t C x lm( ( ) ) () t Ñ êàæäîé ÊÎÔ áóäåì ñâÿçûâàòü ñèëüíî íåïðåðûâíóþ ñèíóñ-ôóíêöèþ (ÑÎÔ) S îïðåäåëÿåìóþ êàê Stx () Csxds () x X t t Êàê èçâåñòíî (ñì [9]) çàäà à Êîøè u Au () u() ϕ u () ψ () äëÿ óðàâíåíèÿ () ñ îïåðàòîðîì A: D( A) X X òàêèì òî DA ( ) X è ρ( A) ðàâíîìåðíî êîððåêòíî ðàçðåøèìà (ñì îïðåäåëåíèå â [9]) òîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà A ÿâëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì ñèëüíî íåïðåðûâíîé ÊÎÔ C Â ýòîì ñëó àå ðåøåíèå çàäà è () () ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ut () Ct () ϕ St () ψ () Ôóíêöèè ïðåäñòàâèìûå â âèäå () íàçûâàþòñÿ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè çàäà è () () (ñëîâî «îáîáùåííîå» ìû áóäåì îïóñêàòü â äàëüíåéøåì) Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè åñêèé ãðàô n ñâÿçíîå ìíîæåñòâî â ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îáúåäèíåíèå êîíå íîãî èñëà êðèâîëèíåéíûõ îòðåçêîâ { e } m íàçûâàåìûõ ðåáðàìè ãðàôà òî êàìè ïåðåñå åíèÿ êîòîðûõ ìî- 68

2 Î ñóùåñòâîâàíèè íåîãðàíè åííûõ ðåøåíèé âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ íà ñåòè 69 ãóò áûòü ëèøü èõ êîíöû íàçûâàåìûå âåðøèíàìè ãðàôà Ôèêñèðóåì íåêîòîðûå âåðøèíû ïðèíàäëåæàùèõ åäèíñòâåííîìó ðåáðó è íàçîâåì èõ ãðàíè íûìè Ìíîæåñòâî ãðàíè íûõ âåðøèí îáîçíà èì åðåç Îñòàëüíûå âåðøèíû íàçîâåì âíóòðåííèìè Ïðè ýòîì íå èñêëþ àåòñÿ âîçìîæíîñòü òîãî òî Ïóñòü C ( ) ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé u : çàäàííûõ íà è îáðàùàþùèõñÿ â íóëü íà Â ïðîñòðàíñòâå C ( ) ðàññìîòðèì îïåðàòîð d / dx äâóêðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó âäîëü êàæäîãî ðåáðà e ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D( ) ñîñòîÿùåé èç ôóíêöèé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà êàæäîì îòðåçêå è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ñîãëàñîâàíèÿ â ëþáîé âíóòðåííåé âåðøèíå v : dv ( ) α () vu( v ) ( ) ãäå α() v {()} α dv a ïðèïèñûâàåìûé v íàáîð ïîëîæèòåëüíûõ èñåë dv () êîëè åñòâî îòðåçêîâ ïðèìûêàþùèõ ê v u ñóæåíèå ôóíêöèè u íà e v à åðåç u( v ) îáîçíà åíà ïðîèçâîäíàÿ u â òî êå v ïðè ïàðàìåòðèçàöèè e â íàïðàâëåíèè «îò v» Çàìåòèì òî çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì áîëåå îáùèé ïî ñðàâíåíèþ ñ [] ñëó àé êîãäà îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ âîîáùå ãîâîðÿ íåñèììåòðè åñêèì Ðàññìîòðèì çàäà ó Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ u () t ( u)() t () u() ϕ u () ψ (5) Òåîðåìà Îïåðàòîð ïîðîæäàåò â C ( ) ñèëüíî íåïðåðûâíóþ ÊÎÔ C Ýòà ÊÎÔ C ñòðîèòñÿ ìåòîäîì ïðîäîëæåíèé â [] Ïóñòü äëèíû ðåáåð e ãðàôà ðàöèîíàëüíî ñîèçìåðèìû Â ýòîì ñëó àå íå îãðàíè èâàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé áóäåì ñ èòàòü òî âñå ðåáðà èìåþò åäèíè íóþ äëèíó Òåîðåìà Äëÿ òîãî òîáû ÊÎÔ C ïîðîæäàåìàÿ îïåðàòîðîì áûëà îãðàíè åíà íà íåîáõîäèìî è äîñòàòî íî òîáû ñïåêòð ñîäåðæàëñÿ â [ ) è îïåðàòîð íå èìåë ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ÊÎÔ C îãðàíè åíà íà Òîãäà σ( C()) [ ] â ñèëó ëåììû 6 èç [] Â òî æå âðåìÿ êàê ëåãêî âèäåòü åñëè λ ñîáñòâåííîå çíà åíèå îïåðàòîðà òî cos λ σ( C()) Îòñþäà ñëåäóåò òî σ( ) Çàìåòèì òî ðåçîëüâåíòà R λ îïåðàòîðà âïîëíå íåïðåðûâíà (ñì []) Òîãäà ïî òåîðåìå Ãèëüáåðòà êîðíåâîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà åíèÿ R λ êîíå íîìåðíî Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðîâ è R λ ñîâïàäàþò à ñ ó åòîì òåîðåìû 9 èç [] ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïîëíà â C ( ) ðåçîëüâåíòà R λ íå èìååò ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé è ñëåäîâàòåëüíî íå èìååò èõ è îïåðàòîð Ïóñòü òåïåðü σ( ) è îïåðàòîð íå èìååò ïðèñîåäèíåííûõ ôóíêöèé Ñïåêòð σ( ) ñîñòîèò èç êîíå íîãî íàáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîáñòâåííûõ çíà åíèé âèäà { λ ( ω ) } ãäå ω [ ] { } m Ïîñêîëüêó ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç D( ) ðàçëàãàåòñÿ â ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà (ñì òåîðåìó â []) à ìíîæåñòâî D( ) î åâèäíî ïëîòíî â C ( ) ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ïîëíà â C ( ) Çàìåòèì òî èñëà µ cosω ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà- åíèÿìè îïåðàòîðà C () Òàê êàê êàæäàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà C () ïðîñòðàíñòâî C ( ) ðàçëîæèìî â ïðÿìóþ ñóììó C ( ) H H H µ µ µ (6) ãäå H µ ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà C () îòâå àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà åíèþ µ Ïóñòü ϕ ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ èç C ( ) åðåç ϕ îáîçíà èì ïðîåêöèþ ϕ íà ïîäïðîñòðàíñòâî H µ { } Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê áóäåì ñ èòàòü òî êàæ- äîìó ñîáñòâåííîìó çíà åíèþ λ ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíà ñ òî íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ Ïîñêîëüêó ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé { } ïîëíà â ïîäïðîñòðàíñòâå H µ èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå ϕ lm cj ãäå { K j } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå íûõ ïîäìíîæåñòâ Òîãäà Ct ( ) ϕ lm cj cos( ωt t) (7) Äëÿ êàæäîãî < ω < îáîçíà èì f() t sn( ωt ω) C( t) ϕ sn( ωt) C( t ) ϕ snω

3 7 À Â Êîïûòèí g() t cos( ωtc ) ( t ) ϕ cos( ωt ω) C( t) ϕ snω Ëåãêî âèäåòü òî äëÿ êàæäîãî ( < ω < ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Ct () ϕ cos( ωtf ) () t sn( ωtg ) () t (8) Ïîêàæåì òî ôóíêöèÿ f() t -ïåðèîäè íà Èìååì sn ω f( t) sn( ωt ω ) C( t) ϕ sn( ωt) C( t ) ϕ sn( ωt ω )lm c cos( ωt t) j sn( ωt)lm c cos( ω ( t ) t) j lm c [sn( ωt ω )cos( ωt t) j sn( ωt)cos( ω( t ) t)] lm cj [sn( ωt sn( ω t ) sn( ω t) sn(ωt ω t)] snω lm c cos( t) j Òàêèì îáðàçîì f( t) lm cj cos( t) (9) Èç ðàâåíñòâà () ñëåäóåò -ïåðèîäè íîñòü ôóíêöèè f Äåëàÿ àíàëîãè íûå âûêëàäêè äëÿ ôóíêöèè g ïîëó àåì ðàâåíñòâî g( t) lm cj sn( t) () èç êîòîðîãî ñëåäóåò -ïåðèîäè íîñòü ôóíêöèè g Îáîçíà èì ϕ ϕ ϕ ω f() t C() t ϕ Èç ðàâåíñòâà (7) ñëåäóåò - èëè -ïåðèîäè íîñòü ôóíêöèè f Îêîí àòåëüíî ïîëó àåì Ct () ϕ Ct () ϕ Ct () ϕ ω ω f () t [cos( ωt) f() t sn( ωt) g ()] t () Ïîñêîëüêó ïðåäñòàâëåíèå (6) èìååò ìåñòî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ϕ èç C ( ) èç íåãî ñëåäóåò íå òîëüêî îãðàíè åííîñòü íî è êâàçèïåðèîäè íîñòü ÊÎÔ C Ñ ó åòîì òåîðåìû èç [] ëåãêî ïîëó àåì Ñëåäñòâèå Äëÿ òîãî òîáû ðåøåíèå çàäà è () (5) áûëî îãðàíè åíî íà ïðè ëþáûõ ϕ è ψ èç C ( ) íåîáõîäèìî è äîñòàòî íî òîáû ñïåêòð îïåðàòîðà ñîäåðæàëñÿ â \{} è ñîñòîÿë èç ïîëóïðîñòûõ ñîáñòâåííûõ çíà åíèé Çàìåòèì òî óñëîâèå / σ( ) ýêâèâàëåíòíî òîìó òî Ñëåäóþùèå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò òî îïåðàòîð ìîæåò èìåòü êàê ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè òàê è êîìïëåêñíûå ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ à çíà èò ñîîòâåòñòâóþùåå âîëíîâîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü íåîãðàíè åííûå ðåøåíèÿ Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ãðàô-öèêë ñîñòîÿùèé èç îäíîé åäèíñòâåííîé âåðøèíû è îäíîãî ðåáðà åäèíè íîé äëèíû êîòîðîå íà èíàåòñÿ è çàêàí èâàåòñÿ â ýòîé âåðøèíå * Çàäà à íà ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ îïåðàòîðà ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé çàäà å íà îòðåçêå [ ] u λu x [ ] u() u() u () u () Ðåøåíèå çàäà è () èìååò âèä ux ( ) Ae Be () ãäå λ ω à êîíñòàíòû A è B óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ω ω A B Ae Be () ω ω A ( B) Ae Be ω ω Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû ðàâåí ( e ) ( e ) è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè e ω òå ïðè ω n è λ ( n) Â òî æå âðåìÿ ðàíã ñèñòåìû (8) ïðè e ω è ðàâåí åäèíèöå à çíà èò èìååòñÿ òîëüêî îäíà ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ âòîðàÿ ïðèñîåäèíåííàÿ Ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä un( x) cos( nx) à ïðèñîåäèíåííàÿ ê íåé x vn( x) sn( nx) n( ) n * Àâòîðîì ýòîãî ïðèìåðà ÿâëÿåòñÿ äîöåíò ÂÃÓ À Â Áîðîâñêèõ

4 Î ñóùåñòâîâàíèè íåîãðàíè åííûõ ðåøåíèé âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ íà ñåòè 7 Ïðèìåð Ðàññìîòðèì ãðàô èçîáðàæåííûé íà ðèñ Ðèñ Ïðèìåð ãðàôà Çäåñü âåðøèíà v ãðàíè íàÿ à v v è v âíóòðåííèå Ïóñòü ðåáðî e ïàðàìåòðèçîâàíî â íàïðàâëåíèè îò v ê v e îò v ê v e îò v ê v è e îò v ê v Çàäà à íà ñîáñòâåííûå çíà åíèÿ îïåðàòîðà èìååò âèä: u λu x [ ] u() u() u() u() u() u() u() u() u() u () u () u () u () u () u () u () () Ðåøåíèå ýòîé çàäà è íà -îì ðåáðå èìååò âèä: u( x) Ae Be ãäå λ ω à êîíñòàíòû A è B óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå A B Az Bz A B Az Bz A B Az Bz A B Az Bz A B A B Az Bz Az Bz (5) Az Bz A B Az Bz A B ãäå z e ω Ïîêàæåì òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû 6 D z ( z )(z z z z ) ïîìèìî êîðíåé z ± èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè ìîäóëü êîòîðûõ îòëè åí îò Ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì z z z z z 6 z z z z > 6 ( ) âñå êîðíè óðàâíåíèÿ 6 z z z z (6) êîìïëåêñíû Ïóñòü âñå êîðíè óðàâíåíèÿ (6) ïî ìîäóëþ ðàâíû Òîãäà îíè èìåþò âèä z cosα ± snα z 56 cos β ± sn β è z 78 cos γ ± sn γ Èìååì z z z z 6 ( z cosα sn α)( z cosα sn α) ( z cosβ sn β)( z cosβ sn β) ( z cosγ sn γ)( z cosγ sn γ) z z α z z β ( cos )( cos ) ( z z cos γ ) Îáîçíà èì a cosα b cos β è c cos γ Òîãäà èñëà a b è c óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå a b c 5 ab bc ac 8 5 abc (7) ïðè åì abc [ ] Óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (7) íà a è âû èòàÿ èç íåãî âòîðîå ïîëó àåì ðàâåíñòâî a bc 5/ 8 Âûðàæàÿ èç íåãî bc è ïîäñòàâëÿÿ â òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (7) ïîëó àåì óðàâíåíèå 8a 5a (8) Îáîçíà èì fa ( ) 8a 5a Èìååì f ( ) < f () > Ïîñêîëüêó f () a a 5 ôóíêöèÿ f âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ [ 5/] [5/] è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêå [ 5/5/] À òàê êàê f ( 5/ ) 55/ 8 < óðàâíåíèå (8) èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü íà îòðåçêå [ ] Ïîñêîëüêó ñèñòåìà (7) ñèììåòðè íà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåí-

5 7 À Â Êîïûòèí íûõ a b è c åñëè îíà èìååò ðåøåíèå òî â ýòîì ðåøåíèè çíà åíèÿ a b è c ñîâïàäàþò Òîãäà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (7) ñëåäóåò òî a b c Íî òàêîå ðåøåíèå î åâèäíî íå óäîâëåòâîðÿåò íè âòîðîìó íè òðåòüåìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû () Ñëåäîâàòåëüíî ñèñòåìà (7) íå èìååò ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ abc [ ] Òàêèì îáðàçîì ïðåäïîëîæåíèå î òîì òî âñå êîðíè óðàâíåíèÿ (6) ïî ìîäóëþ ðàâíû íå âåðíî Íàëè èå ó äåòåðìèíàíòà ñèñòåìû (5) êîìïëåêñíîãî êîðíÿ z òàêîãî òî z îçíà àåò òî èñëî ω óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâó e ω z êîìïëåêñíî è èìååò íåíóëåâóþ äåéñòâèòåëüíóþ àñòü Ñëåäîâàòåëüíî ñîáñòâåííîå çíà åíèå λ ω îïåðàòîðà òàêæå êîìïëåêñíî ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ Áàñêàêîâ À Ã Ãàðìîíè åñêèé àíàëèç êîñèíóñíîé è ýêñïîíåíöèàëüíîé îïåðàòîðíûõ ôóíêöèé / À Ã Áàñêàêîâ // Ìàòåì ñá 98 T (66) Ñ Çàâãîðîäíèé Ì Ã Ñïåêòðàëüíàÿ ïîëíîòà êîðíåâûõ ôóíêöèé êðàåâîé çàäà è íà ãðàôå/ Ì Ã Çàâãîðîäíèé // ÄÀÍ 99 Ò 5 ¹ Ñ 8 8 Êîïûòèí À Â Íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèè ýâîëþöèîííûõ çàäà íà ñåòÿõ/ À Â Êîïûòèí Àâòîðåô äèññ êàíä ôèç-ìàò Âîðîíåæ ÂÃÓ 9 c Ïîêîðíûé ÞÂ Î ôóíêöèè Ãðèíà çàäà è Äèðèõëå íà ãðàôå / Þ B Ïîêîðíûé È Ã Êàðåëèíà // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ 99 Ò 8 ¹ Ñ Ïîêîðíûé Þ Â Òåîðåìû Øòóðìà äëÿ óðàâíåíèé íà ãðàôàõ / Þ Â Ïîêîðíûé Î Ì Ïåíêèí // Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ 989 Ò 9 ¹ 6 Ñ Ïîêîðíûé Þ Â Î òåîðåìàõ ñðàâíåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé íà ãðàôàõ / Þ Â Ïîêîðíûé Î Ì Ïåíêèí // Äèôôåðåíö óðàâíåíèÿ 989 Ò 5 ¹ 7 Ñ 5 7 Ïîêîðíûé Þ Â Î ðàñïðåäåëåíèè íóëåé ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé çàäà è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ íà ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòè / Þ Â Ïîêîðíûé Â Ë Ïðÿäèåâ // Äîêëàäû ÐÀÍ 999 T 6 ¹ C Al-Mehmet F Nonlnear waves n networs / F Al-Mehmet Academe-Verlag 99 7 p 9 Fattorn H O Second-order lnear dfferental euatons n Banach spaces / H O Fattorn Amsterdam 985 Ncase S Some results on spectral theory over networs appled to nerve mpuls transmsson / S Ncase // Lect Notes Math ¹ 77 Sprnger-Verlag 985 C 5 5